(2019新版)人教A版高中数学必修一第一章 第4节 集合的运算(1)
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(2019新版)人教A版高中数学必修一集合之间的关系
集合的运算(1)
一.知识点:
1.交集的概念
一般地,对于两个给定的集合A,B,由属于A又属于B的所有元素构成的集合,叫做A,B的交集,记作A∩B,读作“A交B”.
2.交集的图示法
两个集合A,B的交集可用Venn图表示,如图阴影部分.
3.交集的性质
(1)A∩B=B∩A;
(2)A∩A=A;
(3)A∩∅=∅∩A=∅;
(4)如果A⊆B,则A∩B=A.
4.并集的概念
一般地,对于两个给定的集合A,B,由两个集合的所有元素构成的集合,叫做A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”.
5.并集的图示法
集合A与B的并集,可用图(1)或图(2)中的阴影表示.
6.并集的性质
(1)A∪B=B∪A;
(2)A∪A=A;
(3)A∪∅=∅∪A=A;
(4)如果A⊆B,则A∪B=B.
7.全集
在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.
8.补集
如果给定集合A是全集U的一个子集,由U中不属于A的所有元素构成的集合,叫做A 在U中的补集,记作∁U A,读作“A在U中的补集”.
9.补集的图示法
全集通常用矩形区域表示,全集与它的任意一个真子集之间的关系,可用Venn图表示,如图所示.
10.补集的性质
(1)A∪∁U A=U;
(2)A∩∁U A=∅;
(3)∁U(∁U A)=A.
小结:
(1)A∩B中的元素是指同时属于集合A和集合B的全部元素,也就是说A∩B是集合A与B的全部“公共”元素所组成的集合.
(2)A∪B中的元素包含三种情况:①x∈A,但x∉B;②x∈B,但x∉A;③x∈A,且x∈B.
(3)∁U A包含三层意思:①A⊆U;②∁U A是一个集合,且∁U A⊆U;③∁U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合.
考点一:交集、并集的简单应用
例1:已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=()
A.{1,4}B.{2,3}
C.{9,16} D.{1,2}
[精解详析](1)∵A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A}
∴B={1,4,9,16}
∴A∩B={1,4}.所以A
练习:若集合A={x|x2﹣4x+3=0},B={2,3,4},则A∩B=()
A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2,3,4}解:∵A={1,3},B={2,3,4},∴A∩B={3}.故选:C.
作业:
1. 已知集合M={x∈Z|1≤x≤3},N={2,4,6},那么M∩N=()
A.{2}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4,6}解:∵集合M={x∈Z|1≤x≤3}={1,2,3},N={2,4,6},∴M∩N={2}.故选:A.例2:已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},集合B={x||x﹣1|≤2},则A∩B=()A.{0,1,2}B.{﹣1,0,1,2}C.{1,2}D.{﹣1,0,1,3}解:∵集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},集合B={x||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3},
∴A∩B={﹣1,0,1,2}.故选:B.
练习:已知集合A ={x|﹣1≤x ≤2,x ∈Z},集合B ={x|x >0},则集合A ∩B 的子集个数为 ( ) A .1
B .2
C .3
D .4
解:∵集合A ={x|﹣1≤x ≤2,x ∈Z}={﹣1,0,1,2},集合B ={x|x >0},∴A ∩B ={1,2},∴集合A ∩B 的子集个数为22=4.故选:D . 作业:
2.已知集合A ={x|﹣2≤x <1或2<x ≤3},集合B ={﹣2,﹣1,1,2,3},则集合A ∩B 中的元素个数为( ) A .2
B .3
C .4
D .5
解:∵A ={x|﹣2≤x <1或2<x ≤3},B ={﹣2,﹣1,1,2,3}, ∴A ∩B ={﹣2,﹣1,3},∴A ∩B 中的元素个数为3.故选:B . 例3:已知集合A ={x|0≤x ≤4},B ={x|x ﹣2<0},则A ∩B =( ) A .{x|0≤x <2}
B .{x|x <2}
C .{x|0≤x ≤4}
D .{x|x ≤4}
解:∵A ={x|0≤x ≤4},B ={x|x <2},∴A ∩B ={x|0≤x <2}.故选:A .
练习:已知全集U =R ,集合A =⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪
⎩⎪⎨
⎪⎧ 3-x>0
3x +6>0,集合B ={m|3>2m -1},求:A ∩B. 解:∵A =⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫
⎩⎪⎨
⎪⎧ 3-x>03x +6>0={x|-2
∴A ∩B ={x|-2 3.已知集合A ={x|0<x <2},B ={x|x >1},则A ∩B = . 解:∵集合A ={x|0<x <2},B ={x|x >1},∴A ∩B ={x|1<x <2}. 例4:若集合A ={0,1,2,3},B ={1,2,4},则集合A ∪B =( ) A .{0,1,2,3,4} B .{1,2,3,4} C .{1,2} D .{0} 解析:选A 由并集的概念,可得A ∪B ={0,1,2,3,4}. 练习:已知集合A ={x|x (x 2﹣6x+8)=0},A ∪B ={0,2,4,6},则集合B 中必有的元素