(2019新版)人教A版高中数学必修一第一章 第4节 集合的运算(1)

（2019新版）人教A版高中数学必修一集合之间的关系

集合的运算（1）

一．知识点：

1．交集的概念

一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．

2．交集的图示法

两个集合A，B的交集可用Venn图表示，如图阴影部分．

3．交集的性质

(1)A∩B＝B∩A；

(2)A∩A＝A；

(3)A∩∅＝∅∩A＝∅；

(4)如果A⊆B，则A∩B＝A.

4．并集的概念

一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”．

5．并集的图示法

集合A与B的并集，可用图(1)或图(2)中的阴影表示．

6．并集的性质

(1)A∪B＝B∪A；

(2)A∪A＝A；

(3)A∪∅＝∅∪A＝A；

(4)如果A⊆B，则A∪B＝B.

7．全集

在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示．

8．补集

如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A 在U中的补集，记作∁U A，读作“A在U中的补集”．

9．补集的图示法

全集通常用矩形区域表示，全集与它的任意一个真子集之间的关系，可用Venn图表示，如图所示．

10．补集的性质

(1)A∪∁U A＝U；

(2)A∩∁U A＝∅；

(3)∁U(∁U A)＝A.

小结：

(1)A∩B中的元素是指同时属于集合A和集合B的全部元素，也就是说A∩B是集合A与B的全部“公共”元素所组成的集合．

(2)A∪B中的元素包含三种情况：①x∈A，但x∉B；②x∈B，但x∉A；③x∈A，且x∈B.

(3)∁U A包含三层意思：①A⊆U；②∁U A是一个集合，且∁U A⊆U；③∁U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合．

考点一：交集、并集的简单应用

例1：已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝()

A．{1,4}B．{2,3}

C．{9,16} D．{1,2}

[精解详析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}

∴B＝{1,4,9,16}

∴A∩B＝{1,4}．所以A

练习：若集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{2，3，4}，则A∩B＝（）

A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，2，3，4}解：∵A＝{1，3}，B＝{2，3，4}，∴A∩B＝{3}．故选：C．

作业：

1. 已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤3}，N＝{2，4，6}，那么M∩N＝（）

A．{2}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，6}解：∵集合M＝{x∈Z|1≤x≤3}＝{1，2，3}，N＝{2，4，6}，∴M∩N＝{2}．故选：A．例2：已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B＝{x||x﹣1|≤2}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{1，2}D．{﹣1，0，1，3}解：∵集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B＝{x||x﹣1|≤2}＝{x|﹣1≤x≤3}，

∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．

练习：已知集合A ＝{x|﹣1≤x ≤2，x ∈Z}，集合B ＝{x|x ＞0}，则集合A ∩B 的子集个数为 （ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解：∵集合A ＝{x|﹣1≤x ≤2，x ∈Z}＝{﹣1，0，1，2}，集合B ＝{x|x ＞0}，∴A ∩B ＝{1，2}，∴集合A ∩B 的子集个数为22＝4．故选：D ． 作业：

2．已知集合A ＝{x|﹣2≤x ＜1或2＜x ≤3}，集合B ＝{﹣2，﹣1，1，2，3}，则集合A ∩B 中的元素个数为（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解：∵A ＝{x|﹣2≤x ＜1或2＜x ≤3}，B ＝{﹣2，﹣1，1，2，3}， ∴A ∩B ＝{﹣2，﹣1，3}，∴A ∩B 中的元素个数为3．故选：B ． 例3：已知集合A ＝{x|0≤x ≤4}，B ＝{x|x ﹣2＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x|0≤x ＜2}

B ．{x|x ＜2}

C ．{x|0≤x ≤4}

D ．{x|x ≤4}

解：∵A ＝{x|0≤x ≤4}，B ＝{x|x ＜2}，∴A ∩B ＝{x|0≤x ＜2}．故选：A ．

练习：已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x ⎪⎪⎪

⎩⎪⎨

⎪⎧ 3－x>0

3x ＋6>0，集合B ＝{m|3>2m －1}，求：A ∩B. 解：∵A ＝⎩⎨⎧

x ⎪⎪⎪⎭

⎬⎫

⎩⎪⎨

⎪⎧ 3－x>03x ＋6>0＝{x|－22m －1}＝{m|m<2}． 用数轴表示集合A ，B ，如图．

∴A ∩B ＝{x|－2

3.已知集合A ＝{x|0＜x ＜2}，B ＝{x|x ＞1}，则A ∩B ＝ ． 解：∵集合A ＝{x|0＜x ＜2}，B ＝{x|x ＞1}，∴A ∩B ＝{x|1＜x ＜2}． 例4：若集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,4}，则集合A ∪B ＝( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2}

D ．{0}

解析：选A 由并集的概念，可得A ∪B ＝{0,1,2,3,4}．

练习：已知集合A ＝{x|x （x 2﹣6x+8）＝0}，A ∪B ＝{0，2，4，6}，则集合B 中必有的元素