组合数学及其图论试题库

组合数学及其图论1、一个图G 是指一个有序三元组（V （G ），E （G ），G ϕ），其中G ϕ是：________________.关联函数2、是有40个点的简单图且 中任两个点之间有且只有1条路，则。

393、只有一个顶点所构成的图称为：________________平凡图4、如果H 是G 的子图，其中V （H ）=V （G ）和E （G ）=E （H ）至少有一个不成立，就称H 是G 的：_____________.真子图5、设G 是p 阶简单图，则__________________等号成立当且仅当G 是完全图。

q(G)≤p(p-1)/26、如果一条途径的_________与___________相同，就称这条途径为闭途径。

起点 终点7、如果对图G=（V ，E ）的任何两个顶点u 与v ，G 中存在一条（u-v ）路，则称G 是___________否则称为是______________连通图、 非连通图8、设G 是P 阶连通图，则__________________.q(G)≥p-1 9、若二分图有Hamilton 回路，则与满足 。

10、若G 是2-边连通图，则G 有强连通的________________. 定向图11、边数最少的连通图是 。

树12、没有回路的连通图称为_______________.树13、的图是图或图。

平凡图，不连通图14、树T的每一个非悬挂点都是T的 __________.割点15、二分图中若与满足，则必有完美对集。

16、给定一个图G，如果图G的一个生成子图T是一棵树，则称T是G的一个_______________.生成树17、设G是无环图，e是G的一条边，则τ(G)=___________________________.τ（G－e）+τ(G·e)18、是阶简单图，则，等号成立当且仅当是图。

，完全图 2、19、___________________________的生成树称为最优生成树。

连通赋权图中具有最小权20、的一个对集是最大对集的充要条件是。

中无可扩路21、一个有向图D，如果略去每条弧的方向时所得无向图是一棵树，就称D为_____________________.有向树22、经过G的每条边的迹称为G的Euler迹，如果这条迹是闭的，则称这条闭迹为G的 ________________.Euler环游23、是简单图且，则。

24、若 是 -正则图，则 。

25、简单图 满足 ，则 是 图。

不连通图， 平凡图 26、 的图是 图或 图。

227、树 恰有两个悬挂点，则 。

连通28、有生成树的充要条件是 。

3029、若是有31个点的连通图且中每条边都是割边，则。

1 30、阶图是连通图，则。

，31、若是的一个对集，则，等号成立当且仅当是 对集。

完美对集32、每位上的数字互异且非零的两位数共有____________个。

7233、现在有10双不同的鞋。

为了保证能够有一双鞋被选出，至少要从这20只鞋中取出____________只鞋。

1134、712345()x x x x x ++++展开式中231345x x x x 的系数为____________。

42035、序列 1, c, c 2, …, c n , …的生成函数是_______________。

1()||11f x cx cx=<-;36、数值函数f 和g 的卷积f *g 的通项f *g (r) = 。

0)()(0≥-∑=r i r g i f ri .37、叙述下列概念：发点，收点，中间点。

参考要点：D 包含两个特定的顶点x 和y ，x 设有向连通图D=（V ，A ）满足：仅有出弧而没有入弧，称为发点；y 仅有入弧而没有出弧，称为收点；D 中其余顶点既有出弧有入弧，称为中间点。

38、在一次围棋擂台赛中，双方各出n 名选手。

规则是双方先各自排定一个次序，设甲方排定的次序是1x ，,2x，n x ，乙方排定的次序为1y ，2y ，n y 。

1x 与1y 先比赛，胜的一位与对方下一位选手比赛。

按这种方法直到有一方的最后一位选手出场并输给对方，比赛结束。

问最多进行几场比赛可定胜负（假定比赛无平局）。

参考要点：建立一个有向图D=（V ，A ），V={,,,,,,2121y y x x x n n y , }，如果i x 与i y 之间连一条弧，其方向从胜者指向负者。

则D 的每一条弧对应一场比赛，D 中弧的数目就是这次比赛的次数。

根据规则，每一名选手至多输一场，所以D 中每个顶点的入度至多为1，但,n x n y 必有一个入度为1，另一个为0。

12))()((1-≤+=∑=n y d x d A ni i D i D ，即至多2n-1场比赛可定胜负。

39、用一些圆面覆盖平面上取定的2n 个点。

试证：若每个圆面至少覆盖n+1个点，则任两个点能由平面上的一条折线所连接，而这条折线整个地被某些圆面所覆盖。

参考答案：构造图G=（V ，E ）如下：V 就取平面上给定的2n 个点，两个不同的顶点如果含在同一个圆面上，就在这两个顶点之间连上一条边（边也含在这个平面上）。

所得图是一个简单图，而且每个顶点的度至少是n ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≥22)(n n G δ，由推论，G 是连通图，所以G 中任两点之间有一条路连接。

由G 的构造，这条路被若干个圆面覆盖。

40、在二元正则树T 中，它的分支点数和树叶数t 满足：r=t-1。

参考答案：因为正则二元树T 的弧数为r+t-1，顶点度数的总和为2+3（r-1）+t 。

由顶点度数与边数的关系，有2（r+t-1）=2+3（r-1）+t 得r=t-1。

41、某编辑部收到由n 个人所寄的一些问题的解，他们发现每个人寄来四个不同问题的解，每个问题的解恰好由两个人同时给出。

问他们共收到几个不同问题的解。

参考答案：首先建立图G=（V ，E ），G 的n 个顶点代表n 个人。

两个不同的顶点iv 和jv 之间连接的边数等于这两个点所对应的两个人同时给出相同问题解的个数。

由条件，G 的每一条边对应一个问题的解，每个顶点的度为4。

因而共收到q （G ）=2n 个不同问题的解。

42、有十七位学者，每一位都给其余的人写一封信，信的内容是讨论3个论文题目中的任一个，而且2个人相互通信所讨论的是同1个题目。

证明至少有三位学者，他们之间通信所讨论的是同一个论文题目。

参考答案：做一个完全子图17K ，它的17个顶点代表17位学者，把其中的边染成3种颜色：如果两个学者讨论的是第i 个题目，就将连接相应的2个顶点的边染上第i 种颜色（i=1，2，3）。

这样就得到3色完全图17K 。

由定理172)1)3,3((32)1(323=+-=+-≤r r r 。

因此，这个3色完全图17K 中有一个同色三角形。

这个同色三角形所对应的3位学者之间通信所讨论的是同一个论文题目。

43、证明3,3K 和5K 是非平面图。

参考答案：3,3K 含有6个顶点，9条边，但最短回路长度为4，不满足222)(---≤g gp g g G q ，因此不是平面图。

5K 有5个顶点，10条边，不满足6)(3)(-≤G p G q ，故不是平面图。

44、在一次象棋擂台赛中,双方各出n 名选手.比赛的规则是双方各自排定一个次序,设甲方排定的次序为x 1,x 2,…, x n ,乙方排定的次序为y 1,y 2,…,y n . x 1与y 1先比赛,胜的一位与对方输的下一位选手比赛.按这种方法进行比赛,直到有一方的最后一位选手出场比赛并且输给对方,比赛就结束,问最多进行几场比赛可定胜负(假定比赛不出现平局)?参考要点：建立一个有向图D=(V,A),V={ x 1,x 2,…, x n , y 1,y 2,…,y n },如果x i 与y i 进行过一场比赛,就在x i 与y i 之间连一条弧.其方向从胜者指向负者,则D 的每一条弧对应一场比赛,D 中弧的数目就是这次比赛的次数.根据比赛的规则,每一名选手至多输一场,故D 中每个顶点的入度至多为1,但x n 与y n 必有一个入度为1,另一个为0.因此|A|∑=-≤+=ni i D i D n y d x d 112))()((即至多进行2n-1场比赛就可以确定胜负。

45、平面上有n 条线段,n ≥3,其中任意3条都有公共端点.证明这n 条线段有一个公共端点。

参考要点：设G 是连通图,则G 中任意两个不同的顶点i v 与j v 之间有一条路连接.若记这条路的长度为l ,显然1-≤p l .则1)(≥≥l ij ij a r .而对于任意的)1(p i i ≤≤,因G 连通,且3)(≥G p ,则有0)()2(>=≥i G ii ii v d a r ,所以R(G)中没有零元素.设i v 与j v 是G 中的任意两个不同的顶点.因为0)1()2(≠+++=-p ij ij ij ij a a a r存在11-≤≤p l ,)(0)1()(ij ij l ij a a a =≠,则在G 中有一条长为l 的途径连接i v 与j v .因而从i v 与j v 有一条路,故G 是连通图。

46、证明任意六个人中有三个人互相认识，或有三个人互不认识。

. 证：构图如下：图的顶点代表这6个人，两个顶点相邻当且仅当对应的两个人互相认识。

则对于图中任意一个点或。

不妨设及它的3个邻点为。

若中有任意两个点，不妨设为，相邻，则 对应的3个人互相认识；否则，中任意两个点不邻，即它们对应的3个人互不认识。

47、给定图：1、给出图 的一个生成树；2、给出图 的点连通度；3、给出图 的最大对集；4、给出图的一个最长回路；5、给出图 的直径和半径。

答案1、2、33、4、5、2 ，248、试给出一个算法,求连通赋权图中最大权的生成树.算法：1)在中选取边，使尽可能的大；2)若已经选定边，则在中选取边，使满足以下两条：I. 不含回路；II. 在满足Ⅰ的前提下，使尽可能的大。

3）当2)不能继续执行时，停止。

49、设是连通简单图，证明中存在个顶点，使得仍是连通图。

证：是连通简单图，设其最大度点为。

设是关于的保距生成树，则，故中至少有个悬挂点，不妨设为，则连通，是的生成子图，即连通。

50、对下图，求一个最优生成树。

答案51、证明任意六个人中有三个人互相认识，或有三个人互不认识。

.证：构图如下：图的顶点代表这6个人，两个顶点相邻当且仅当对应的两个人互相认识。

则对于图中任意一个点或。

不妨设及它的3个邻点为。

若中有任意两个点，不妨设为，相邻，则对应的3个人互相认识；否则，中任意两个点不邻，即它们对应的3个人互不认识。

52、给定图问：1、作图的一个最长回路；2、给出图的一个生成树；3、给出图的点连通度；4、给出图的最大对集；5、作出图的闭包。