第三章 金属塑性变形的力学基础
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
金属塑性成形原理
第三章 金属塑性变形的力学基础
塑性理论（塑性力学）
金属在外力作用下由弹性状态进人塑性状态，研究金属 在塑性状态下的力学行为。
研究塑性力学行为时，通常采用以下基本假设：
(1)连续性假设 变形体内均由连续介质组成，即整个变 形体内不存在任何空隙。这样，应力、应变、位移等物 理量都是连续变化的，可化为坐标的连续函数。 (2)匀质性假设 变形体内各质点的组织、化学成分都是 均匀而且是相同的，即各质点的物理性能均相同，且不 随坐标的改变而变化。
因此，这九个应力分量只有六个是独立的。
二、点的应力状态
物体变形时的应力状态是表示物体内所承受应力的情 况。只有了解变形体内任意一点的应力状态，才可能推 断出整个变形体的应力状态。 点的应力状态是指受力物体内一点任意方位微分面上所 受的应力情况。 这里要说明如何完整地表示受力物体内一点的应力状态， 亦将证明若已知过一点的三个互相垂直的微分面上的九 个应力分量，则可求出过该点任意微分面上的应力分量， 就表明该点的应力状态完全被确定。
三向应力状态：
两向应力状态(或平面应力状态)： 圆柱应力状态
单向应力状态
球应力状态
2.应力状态按主应力分类：
①只有一个主应力不为零称单向应力状态； ②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)； ③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)； ④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应 力状态又称复杂应力状态。
应力分量的正、负号规定如下： 在单元体上，外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之 称为负面， 在正面上，指向坐标轴正向的应力分量取正号，反之取负号； 在负面上，指向坐标轴负向的应力分量取正号，反之取负号。
按此规定，正应力分量以拉为正，以压为负。
由于单元体处于静力平衡状态，故绕单元体各轴 的合力矩必须等于零，由此可以导出切应力互等 定理。
2．体积力
体积力是与变形体内各质点的质量成正比的力，如重 力、磁力和惯性力等。对一般的塑性成形过程，由于体 积力与面力相比要小得多，可以忽略不计。因此，一般 都假定是在面力作用下的静力平衡力系。
但是在高速成形时，如高速锤锻造、爆炸成形等，惯性 力不能忽略。在锤上模锻时，坯料受到由静到动的惯性 力作用，惯性力向上，有利于金属填充上模，故锤上模 锻通常将形状复杂的部位设置在上模。
若取三个应力主方向为坐标轴，则一点的应力状态只有 三个主应力，应力张量为
在主轴坐标系中斜微分面上应力分量的公式可以简化为 下列表达式
应力张量的三个不变量为
用应力张量不变量，可以判别应力状态的异同。现举例 说明，设有以下两个应力张量
上述两个应力张且是否表示同一应力状态，可以通过求 得的应力张旦不变量是否相同来判别。按式(3-14)计算， 上述两个应力状态的应力张量不变量相等，均为
三、张量和应力张量
(一)张量的基本知识 1．角标符号
ij (i, j x, y, z )
2．求和约定
ai xi p
i 1,2,3
有的角标重复出现，有的角标不重复出现，将重复出现 的角标称为哑标，不重复出现的角标称为自由标。自由 标不包含求和的意思，但它可表示该表达式的个数。
3、张量的基本概念
可以证明，该方程必然有三个实根，也就是三个主应力。 将解得的每一个主应力代入式(3-12)中的任意两式，并与 式(3-13)联解，便就求出三个互相垂直的主方向。
2．应力张量不变量
根据应力状态特征方程式(3-15)可解得一点的主应力大 小。在推导式(3-15)过程中，坐标系是任意选取的，说明 求得的三个主应力的大小与坐标系的选择无关，这说明 对于一个确定的应力状态，主应力只能有一组值，即主 应力具有单值性。因此，应力状态特征方程式(3-15)中的 系数J1、 J2 、 J3也应该是单值的，不随坐标而变。 于是可以得出如下的重要结论：尽管应力张量的各分量 随坐标而变，但按式(3-14)的形式组成的函数值是不变的， 所以将J1、 J2 、 J3分别称为应力张量的第一、第二、第 三不变量。
因此，表示点应力状态的九个应力分量构成一个二阶张 量，称为应力张量，可用张量符号
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
由于切应力互等，所以应力张量是二阶对称张量，可以 简写为 11 12 13 ij 22 23 33
截面C—C上Q点的全应力
微小面积dA可叫做过Q点在N方向的微分面，用其外法线 方向命名。
将Q点的全应力S在三个坐标轴上的投影称为应力分量， 如图3—2b所示。
每个应力分量可用带两个下角标的符号来表示，第一个 下角标表示该应力分量所在之微分面，第二个下角标表 示其作用方向。
因此，在一般情况下，变形体内一点的 全应力S的大小和方向取决于过该点所 切取截面的方位。现以单向均匀拉伸为 例进行分析。图3—3所示，过试棒内一 点Q并垂直于拉伸轴线横截面c—c上的 应力为
(二)应力张量 在一定的外力条件下，受力物体内任意点的应力状态 已被确定，如果取不同的坐标系，则表示该点应力状态 的九个应力分量将有不同的数值，而该点的应力状态并 没有变化。因此，在不同坐标系中的应力分量之间应该 存在一定的关系。
kr ij lki lrj (i, j 1, 2,3; k , r 1, 2,3)
变形温度对40Cr钢正挤压等效应变的影响
(变形速度：10mm/s；压下量：15mm；摩擦因子(m)：0.2) (a) 1123K (b) 1173K (c) 1223K
wk.baidu.com
(a)
(b)
(c)
一、外力和应力 (一)外力 塑性成形是利用金属的塑性，在外力的作用下使其成形 的一种加工方法。
作用于金属的外力可以分为两类： 一类是作用在金属表面上的力，称为面力或接触力，它 可以是集中力，但更一般的是分布力； 第二类是作用在金属物体每个质点上的力，称为体积力。
每一分量称为应力张量之分量。 根据张量的基本性质，应力张量可以叠加和分解、存在 三个主轴(主方向)和三个主值(主应力)以及三个独立的应 力张量不变量。
四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面
1．主应力 这种切应力为零的微分面称为主平面。
主平面上的正应力叫做主应力。
主平面的法线方向也就是主应力方向，叫做应力主方向 或应力主轴。
S x Sl l S y Sm m S Sn n z
将Sx、Sy、Sz的值代入式(3-5)，整理后得
根据线性方程理论，只有在齐次线性方程组[式(3-12)]的 系数组成的行列式等于零的条件下，该方程组才有非零 解。
展开行列式．整理后得
设
应力状态特征方程
此外，还要建立变形体由弹性状态进入塑性状态并使继 续进行塑性变形时所具备的力学条件，即屈服准则。
第一节应力分析
应力分析之目的：
在于求变形体内的应力分布，即求变形体内各点的应力 状态及其随坐标位置的变化，这是正确分析工件塑性加 工有关问题的重要基础。 一个物体受外力作用后，其内部质点在各方向上都受到 应力的作用，这时不能以某一方向的应力来说明其质点 的受力情况，于是就需要引入一个能够完整地表示出质 点受力情况的物理量——应力张量。
4．主应力图
受力物体内一点的应力状态，可用作用在应力单元体 上的主应力来描述，只用主应力的个数及符号来描述一 点应力状态的简图称为主应力图。一般，主应力图只表 示出主应力的个数及正、负号，并不表明所作用应力的 大小。
(二)应力 1．单向受力下的应力及其分量 在外力作用下，物体内各质点之间就会产生相互作用 的力，叫做内力。 单位面积上的内力称为应力。 图3—2a表示一物体受外力系P1 、P2…的作用而处于平 衡状态。设Q为物体内任意一点，过Q点作一法线为阿的 截面c—c，面积为A。此截面将该物体分为两部分并移去 上半部分。这样，截面c—c可看成是物体下半部的外表 面，作用在c—c截面上的内力就变成外力，并与作用在 下半部分的外力保持平衡。这样．内力问题就可转化为 外力问题来处理。
1 面力 面力可分为作用力、反作用力和摩擦力。 作用力是由塑性加工设备提供的，用于 使金属坯料产生塑性变形。在不同的塑 性加工工序中，作用力可以是压力、拉 力或剪切力。 反作用力是工具反作用于金属坯料的力。 一般情况下，作用力与反作用力互相平 行，并组成平衡力系，如图3—1中 P=P’(P—作用力、P’反作用力)。 摩擦力是金属在外力作用下产生塑性 变形时，在金属与工具的接触面上产生 阻止金属流动的力。方向与金属质点移 动的方向相反，如图3—1中T。
上述这个物理量P对于新的空间坐标系xk的九个分量为 Pkr(k，r＝1’，2’，3’)。若这个物理量P在坐标系xi中的九 个分量Pij与在坐标系xk中的九个分量Pkr之间存在下列线性 变换关系，是二阶张量的判别式。
Pkr Pij lki lrj (i, j 1,2,3; k , r 1,2,3)
(3)各向同性假设 变形体内各质点在各方向上的物理性能、 力学性能均相同，也不随坐标的改变而变化。
(4)初应力为零 物体在受外力之前是处于自然平衡状， 即物体变形时内部所产生的应力仅是由外力引起的； (5)体积力为零 体积力如重力、磁力、惯性力等与面力相 比是十分微小，可忽略不计。
(6)体积不变假设 物体在塑性变形前后的体积不变。
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面；
②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面；
z z zx xz x xy yx z' zy 3 y y 旋转 2 y' x' 1
yz
x
③主应力：主平面上的正应力，用1 、2 、3 表示， 有1≥2≥3。
现设图3-7中的斜微分面 ABC是待求的主平面。面 上的切应力 0，因而正 应力就是全应力， 即 S 。于是全应力S在 三个坐标抽上的投影为
若过Q点作任意切面c1—c1，其 法线心与拉伸轴成 角，面积为 F1。由于是均匀拉伸，故截面 cl—c1上的应力是均布的。
因此，在单向均匀拉伸条件下， 可用一个 0 来表示其一点的应力 状态，称为单向应力状态。
2．多向受力下的应力分量
塑性成形时，变形体一般 是多向受力，显然不能只用 一点某切面上的应力求得该 点其他方位切面上的应力， 也就是说，仅仅用某一方位 切面上的应力还不足以全面 地表示出一点的受力情况。 为了全面地表示一点的受力 情况，就需引入单元体及点 的应力状态的概念。
这个物理量则为张量，用矩阵表示
P 11 Pij P21 P31
P 12 P22 P32
P 13 P23 P33
4．张量的某些基本性质 (1)存在张量不变量 张量的分量一定可以组成某些函数f(Pij)， 这些函数值与坐标轴的选取无关，即不随坐标而变，这样的函 数就叫做张量的不变量。对于二阶张量，存在三个独立的不变 量。 (2)张量可以叠加和分解 几个同阶张量各对应的分量之和或差 定义为另一同阶张量。两个相同的张量之差定义为零张量。 (3)张量可分对称张量、非对称张量、反对称张量 若Pij＝Pji， 则为对称张量，若Pij不等于Pji则为非对称张量；若Pij＝-Pji ， 则为反对称张量。 (4)二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 如取主轴为坐标轴， 则两个下角标不同的分量都将为零，只留下两个下角标相同的 三个分量，称为主值。
在塑性理论中，分析问题需要从静力学、几何学和物理 学等角度来考虑。
静力学角度是从变形体中质点的应力分析出发，根据静 力平衡条件导出应力平衡微分方程。 几何学角度是根据变形体的连续性和匀质性假设，用几 何的方法导出小应变几何方程。
物理学角度是根据实验和基本假设导出变形体内应力与 应变之间的关系式，即本构方程。
所以，上述两个应力状态相同。
3、应力椭球面
应力椭球面是在主轴坐标系个点应力状态的几何表达。
于是可得下式，为椭球面方程
其主半轴的长度分别 等于 1 、 2 、 3 。这个 椭球面称为应力椭球 面，如图3-8所示。对 于一个确定的应力状 态，任意斜切面上全 应力矢量S的端点必 然在椭球面上。
第三章 金属塑性变形的力学基础
塑性理论（塑性力学）
金属在外力作用下由弹性状态进人塑性状态，研究金属 在塑性状态下的力学行为。
研究塑性力学行为时，通常采用以下基本假设：
(1)连续性假设 变形体内均由连续介质组成，即整个变 形体内不存在任何空隙。这样，应力、应变、位移等物 理量都是连续变化的，可化为坐标的连续函数。 (2)匀质性假设 变形体内各质点的组织、化学成分都是 均匀而且是相同的，即各质点的物理性能均相同，且不 随坐标的改变而变化。
因此，这九个应力分量只有六个是独立的。
二、点的应力状态
物体变形时的应力状态是表示物体内所承受应力的情 况。只有了解变形体内任意一点的应力状态，才可能推 断出整个变形体的应力状态。 点的应力状态是指受力物体内一点任意方位微分面上所 受的应力情况。 这里要说明如何完整地表示受力物体内一点的应力状态， 亦将证明若已知过一点的三个互相垂直的微分面上的九 个应力分量，则可求出过该点任意微分面上的应力分量， 就表明该点的应力状态完全被确定。
三向应力状态：
两向应力状态(或平面应力状态)： 圆柱应力状态
单向应力状态
球应力状态
2.应力状态按主应力分类：
①只有一个主应力不为零称单向应力状态； ②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)； ③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)； ④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应 力状态又称复杂应力状态。
应力分量的正、负号规定如下： 在单元体上，外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之 称为负面， 在正面上，指向坐标轴正向的应力分量取正号，反之取负号； 在负面上，指向坐标轴负向的应力分量取正号，反之取负号。
按此规定，正应力分量以拉为正，以压为负。
由于单元体处于静力平衡状态，故绕单元体各轴 的合力矩必须等于零，由此可以导出切应力互等 定理。
2．体积力
体积力是与变形体内各质点的质量成正比的力，如重 力、磁力和惯性力等。对一般的塑性成形过程，由于体 积力与面力相比要小得多，可以忽略不计。因此，一般 都假定是在面力作用下的静力平衡力系。
但是在高速成形时，如高速锤锻造、爆炸成形等，惯性 力不能忽略。在锤上模锻时，坯料受到由静到动的惯性 力作用，惯性力向上，有利于金属填充上模，故锤上模 锻通常将形状复杂的部位设置在上模。
若取三个应力主方向为坐标轴，则一点的应力状态只有 三个主应力，应力张量为
在主轴坐标系中斜微分面上应力分量的公式可以简化为 下列表达式
应力张量的三个不变量为
用应力张量不变量，可以判别应力状态的异同。现举例 说明，设有以下两个应力张量
上述两个应力张且是否表示同一应力状态，可以通过求 得的应力张旦不变量是否相同来判别。按式(3-14)计算， 上述两个应力状态的应力张量不变量相等，均为
三、张量和应力张量
(一)张量的基本知识 1．角标符号
ij (i, j x, y, z )
2．求和约定
ai xi p
i 1,2,3
有的角标重复出现，有的角标不重复出现，将重复出现 的角标称为哑标，不重复出现的角标称为自由标。自由 标不包含求和的意思，但它可表示该表达式的个数。
3、张量的基本概念
可以证明，该方程必然有三个实根，也就是三个主应力。 将解得的每一个主应力代入式(3-12)中的任意两式，并与 式(3-13)联解，便就求出三个互相垂直的主方向。
2．应力张量不变量
根据应力状态特征方程式(3-15)可解得一点的主应力大 小。在推导式(3-15)过程中，坐标系是任意选取的，说明 求得的三个主应力的大小与坐标系的选择无关，这说明 对于一个确定的应力状态，主应力只能有一组值，即主 应力具有单值性。因此，应力状态特征方程式(3-15)中的 系数J1、 J2 、 J3也应该是单值的，不随坐标而变。 于是可以得出如下的重要结论：尽管应力张量的各分量 随坐标而变，但按式(3-14)的形式组成的函数值是不变的， 所以将J1、 J2 、 J3分别称为应力张量的第一、第二、第 三不变量。
因此，表示点应力状态的九个应力分量构成一个二阶张 量，称为应力张量，可用张量符号
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
由于切应力互等，所以应力张量是二阶对称张量，可以 简写为 11 12 13 ij 22 23 33
截面C—C上Q点的全应力
微小面积dA可叫做过Q点在N方向的微分面，用其外法线 方向命名。
将Q点的全应力S在三个坐标轴上的投影称为应力分量， 如图3—2b所示。
每个应力分量可用带两个下角标的符号来表示，第一个 下角标表示该应力分量所在之微分面，第二个下角标表 示其作用方向。
因此，在一般情况下，变形体内一点的 全应力S的大小和方向取决于过该点所 切取截面的方位。现以单向均匀拉伸为 例进行分析。图3—3所示，过试棒内一 点Q并垂直于拉伸轴线横截面c—c上的 应力为
(二)应力张量 在一定的外力条件下，受力物体内任意点的应力状态 已被确定，如果取不同的坐标系，则表示该点应力状态 的九个应力分量将有不同的数值，而该点的应力状态并 没有变化。因此，在不同坐标系中的应力分量之间应该 存在一定的关系。
kr ij lki lrj (i, j 1, 2,3; k , r 1, 2,3)
变形温度对40Cr钢正挤压等效应变的影响
(变形速度：10mm/s；压下量：15mm；摩擦因子(m)：0.2) (a) 1123K (b) 1173K (c) 1223K
wk.baidu.com
(a)
(b)
(c)
一、外力和应力 (一)外力 塑性成形是利用金属的塑性，在外力的作用下使其成形 的一种加工方法。
作用于金属的外力可以分为两类： 一类是作用在金属表面上的力，称为面力或接触力，它 可以是集中力，但更一般的是分布力； 第二类是作用在金属物体每个质点上的力，称为体积力。
每一分量称为应力张量之分量。 根据张量的基本性质，应力张量可以叠加和分解、存在 三个主轴(主方向)和三个主值(主应力)以及三个独立的应 力张量不变量。
四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面
1．主应力 这种切应力为零的微分面称为主平面。
主平面上的正应力叫做主应力。
主平面的法线方向也就是主应力方向，叫做应力主方向 或应力主轴。
S x Sl l S y Sm m S Sn n z
将Sx、Sy、Sz的值代入式(3-5)，整理后得
根据线性方程理论，只有在齐次线性方程组[式(3-12)]的 系数组成的行列式等于零的条件下，该方程组才有非零 解。
展开行列式．整理后得
设
应力状态特征方程
此外，还要建立变形体由弹性状态进入塑性状态并使继 续进行塑性变形时所具备的力学条件，即屈服准则。
第一节应力分析
应力分析之目的：
在于求变形体内的应力分布，即求变形体内各点的应力 状态及其随坐标位置的变化，这是正确分析工件塑性加 工有关问题的重要基础。 一个物体受外力作用后，其内部质点在各方向上都受到 应力的作用，这时不能以某一方向的应力来说明其质点 的受力情况，于是就需要引入一个能够完整地表示出质 点受力情况的物理量——应力张量。
4．主应力图
受力物体内一点的应力状态，可用作用在应力单元体 上的主应力来描述，只用主应力的个数及符号来描述一 点应力状态的简图称为主应力图。一般，主应力图只表 示出主应力的个数及正、负号，并不表明所作用应力的 大小。
(二)应力 1．单向受力下的应力及其分量 在外力作用下，物体内各质点之间就会产生相互作用 的力，叫做内力。 单位面积上的内力称为应力。 图3—2a表示一物体受外力系P1 、P2…的作用而处于平 衡状态。设Q为物体内任意一点，过Q点作一法线为阿的 截面c—c，面积为A。此截面将该物体分为两部分并移去 上半部分。这样，截面c—c可看成是物体下半部的外表 面，作用在c—c截面上的内力就变成外力，并与作用在 下半部分的外力保持平衡。这样．内力问题就可转化为 外力问题来处理。
1 面力 面力可分为作用力、反作用力和摩擦力。 作用力是由塑性加工设备提供的，用于 使金属坯料产生塑性变形。在不同的塑 性加工工序中，作用力可以是压力、拉 力或剪切力。 反作用力是工具反作用于金属坯料的力。 一般情况下，作用力与反作用力互相平 行，并组成平衡力系，如图3—1中 P=P’(P—作用力、P’反作用力)。 摩擦力是金属在外力作用下产生塑性 变形时，在金属与工具的接触面上产生 阻止金属流动的力。方向与金属质点移 动的方向相反，如图3—1中T。
上述这个物理量P对于新的空间坐标系xk的九个分量为 Pkr(k，r＝1’，2’，3’)。若这个物理量P在坐标系xi中的九 个分量Pij与在坐标系xk中的九个分量Pkr之间存在下列线性 变换关系，是二阶张量的判别式。
Pkr Pij lki lrj (i, j 1,2,3; k , r 1,2,3)
(3)各向同性假设 变形体内各质点在各方向上的物理性能、 力学性能均相同，也不随坐标的改变而变化。
(4)初应力为零 物体在受外力之前是处于自然平衡状， 即物体变形时内部所产生的应力仅是由外力引起的； (5)体积力为零 体积力如重力、磁力、惯性力等与面力相 比是十分微小，可忽略不计。
(6)体积不变假设 物体在塑性变形前后的体积不变。
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面；
②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面；
z z zx xz x xy yx z' zy 3 y y 旋转 2 y' x' 1
yz
x
③主应力：主平面上的正应力，用1 、2 、3 表示， 有1≥2≥3。
现设图3-7中的斜微分面 ABC是待求的主平面。面 上的切应力 0，因而正 应力就是全应力， 即 S 。于是全应力S在 三个坐标抽上的投影为
若过Q点作任意切面c1—c1，其 法线心与拉伸轴成 角，面积为 F1。由于是均匀拉伸，故截面 cl—c1上的应力是均布的。
因此，在单向均匀拉伸条件下， 可用一个 0 来表示其一点的应力 状态，称为单向应力状态。
2．多向受力下的应力分量
塑性成形时，变形体一般 是多向受力，显然不能只用 一点某切面上的应力求得该 点其他方位切面上的应力， 也就是说，仅仅用某一方位 切面上的应力还不足以全面 地表示出一点的受力情况。 为了全面地表示一点的受力 情况，就需引入单元体及点 的应力状态的概念。
这个物理量则为张量，用矩阵表示
P 11 Pij P21 P31
P 12 P22 P32
P 13 P23 P33
4．张量的某些基本性质 (1)存在张量不变量 张量的分量一定可以组成某些函数f(Pij)， 这些函数值与坐标轴的选取无关，即不随坐标而变，这样的函 数就叫做张量的不变量。对于二阶张量，存在三个独立的不变 量。 (2)张量可以叠加和分解 几个同阶张量各对应的分量之和或差 定义为另一同阶张量。两个相同的张量之差定义为零张量。 (3)张量可分对称张量、非对称张量、反对称张量 若Pij＝Pji， 则为对称张量，若Pij不等于Pji则为非对称张量；若Pij＝-Pji ， 则为反对称张量。 (4)二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 如取主轴为坐标轴， 则两个下角标不同的分量都将为零，只留下两个下角标相同的 三个分量，称为主值。
在塑性理论中，分析问题需要从静力学、几何学和物理 学等角度来考虑。
静力学角度是从变形体中质点的应力分析出发，根据静 力平衡条件导出应力平衡微分方程。 几何学角度是根据变形体的连续性和匀质性假设，用几 何的方法导出小应变几何方程。
物理学角度是根据实验和基本假设导出变形体内应力与 应变之间的关系式，即本构方程。
所以，上述两个应力状态相同。
3、应力椭球面
应力椭球面是在主轴坐标系个点应力状态的几何表达。
于是可得下式，为椭球面方程
其主半轴的长度分别 等于 1 、 2 、 3 。这个 椭球面称为应力椭球 面，如图3-8所示。对 于一个确定的应力状 态，任意斜切面上全 应力矢量S的端点必 然在椭球面上。