绝对值方程的解法

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含绝对值的一元三次方程解法

含绝对值的一元三次方程解法1. 引言一元三次方程是数学中常见的方程形式之一。

当方程中含有绝对值时，解方程的方法可能会有所不同。

本文将介绍含有绝对值的一元三次方程的解法。

2. 解法步骤解含有绝对值的一元三次方程可以按照以下步骤进行：步骤一：确定绝对值的取值范围首先需要确定方程中绝对值的取值范围。

可以通过观察方程的系数和常数项来得到。

步骤二：分情况讨论根据绝对值的取值范围，我们将方程分为不同的情况进行讨论。

- 当绝对值的取值范围满足某个条件时，将绝对值去掉并恢复原方程形式。

- 当绝对值的取值范围不满足某个条件时，将绝对值去掉并取反，得到一个新的方程。

步骤三：解方程根据分情况讨论的结果，我们可以得到新的一元三次方程。

然后，可以采用通常的解方程的方法来求解。

步骤四：检验解的合法性在得到方程的解后，需要对解进行检验，确保解是符合原方程的。

3. 实例演示下面以一个具体的例子来演示含有绝对值的一元三次方程的解法：假设我们要解方程：|x|³ + 2x = 9步骤一：确定绝对值的取值范围。

由于绝对值函数的结果始终为正数，所以我们可以得出绝对值的取值范围为x ≥ 0。

步骤二：分情况讨论。

- 当x ≥ 0 时，绝对值去掉并恢复原方程形式。

得到方程 x³ + 2x = 9。

- 当 x < 0 时，绝对值取反。

得到方程 -x³ + 2x = 9。

步骤三：解方程。

- 对于第一种情况，我们可以采用传统的解一元三次方程的方法求解。

得到解 x = 2。

- 对于第二种情况，我们同样可以采用传统的解一元三次方程的方法求解。

得到解 x = -1。

步骤四：检验解的合法性。

将求解得到的解代入原方程，检验两边是否相等。

在这个例子中，将 x = 2 和 x = -1 代入方程均可以得到等式成立。

4. 总结含有绝对值的一元三次方程的解法可以通过分情况讨论和传统的解方程的方法来求解。

在解方程后，需要对得到的解进行检验，确保解是符合原方程的。

初中数学知识归纳解绝对值方程组不等式的问题

初中数学知识归纳解绝对值方程组不等式的问题绝对值方程组和不等式是初中数学中常见的问题类型，掌握解决这些问题的方法对于学生来说非常重要。

在本文中，我们将归纳和总结初中数学中解绝对值方程组和不等式的方法，以帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、绝对值方程的解法1. 直接法当绝对值方程中只有一个绝对值，并且绝对值内的表达式等于一个确定的值时，我们可以直接将表达式取绝对值，然后根据等式两边取相反数或者保持不变，得到方程的解。

例如：|3x-2| = 4，我们可以将3x-2的绝对值取正负两种情况进行讨论：当3x-2 > 0时，方程变为3x-2 = 4，解得x = 2；当3x-2 < 0时，方程变为-(3x-2) = 4，解得x = -2/3。

2. 分段法当绝对值方程中有多个绝对值时，我们可以根据绝对值内的表达式的正负情况，将方程拆分为多个子方程，并分别求解。

例如：|2x+5| - |3x-1| = 7，我们可以根据2x+5和3x-1的正负情况，将方程拆分为以下四种情况进行讨论：当2x+5 > 0，3x-1 > 0时，方程变为2x+5 - (3x-1) = 7，解得x = -3/5；当2x+5 > 0，3x-1 < 0时，方程变为2x+5 + (3x-1) = 7，解得x = 3；当2x+5 < 0，3x-1 > 0时，方程变为-(2x+5) - (3x-1) = 7，无解；当2x+5 < 0，3x-1 < 0时，方程变为-(2x+5) + (3x-1) = 7，无解。

二、绝对值不等式的解法1. 图像法对于一元绝对值不等式，我们可以通过绘制数轴上绝对值内的表达式的图像，然后根据图像的位置来确定不等式的解集。

例如：|2x+3| < 5，我们可以绘制2x+3的图像并确定其在数轴上的位置。

然后根据图像的位置，我们可以发现解集为-4 < x < 1。

含绝对值的函数方程解法

含绝对值的函数方程解法
对于含有绝对值的函数方程，求解的过程需要考虑绝对值的两种情况：正数和负数。

下面将介绍两种常见的解法。

1. 正数解法
当绝对值中的变量取正数时，可以将绝对值去除，直接求解函数方程。

例如，对于方程 $f(x) = |x - a| + b = c$，其中 $a,b,c$ 都是已知的实数常数，我们可以按照以下步骤求解：
1. 当 $x - a > 0$ 时，$|x - a| = x - a$，因此方程可转化为 $f(x) = x - a + b = c$；
2. 将方程整理为 $x = c - b + a$。

因此，当 $x - a > 0$ 时，方程的解为 $x = c - b + a$。

2. 负数解法
当绝对值中的变量取负数时，可以将绝对值去除，并加上负号，再求解函数方程。

例如，对于方程 $f(x) = |x - a| + b = c$，我们可以按照以下步骤
求解：
1. 当 $x - a < 0$ 时，$|x - a| = -(x - a)$，因此方程可转化为 $f(x) = -(x - a) + b = c$；
2. 将方程整理为 $x = a + c - b$。

因此，当 $x - a < 0$ 时，方程的解为 $x = a + c - b$。

需要注意的是，在求解含有绝对值的函数方程时，我们需要分
别考虑正数和负数的情况，并得到两组解。

最后，我们可以将两组
解合并为一个解集。

以上就是含绝对值的函数方程的解法。

希望以上内容能对你有
所帮助！。

绝对值方程的解法

绝对值方程的解法一、形如d cx b ax +=+的方程的解法：当两个式子的绝对值相等时，绝对值内的两个式子可以相等或互为相反数。

例：322+=-x x所以，对于d cx b ax +=+这类绝对值方程，可以得到ax+b=cx+d 或ax+b=-(cx+d)，一般有两个解，解完无须检验。

巩固：解下列绝对值方程：1、1312+=-x x2、28520-=+x x二、形如d cx b ax +=+的方程的解法：从绝对值的意义出发分类讨论：①当ax+b ≥0时，b ax b ax +=+，得ax+b=cx+d ，解完需把解代入验证是否满足ax+b ≥0，若不满足应舍去；②当ax+b ＜0时，)(b ax b ax +-=+，得-(ax+b)=cx+d ，解完需把解代入验证是否满足ax+b ＜0，若不满足应舍去。

例：1792-=+x x巩固：解下列绝对值方程：1、9513+=-x x2、341084-=+x x二、形如q d cx b ax =+±+的方程的解法：（零点分段法）对于这类方程，因为不知道x 的取值范围，所以无法确切的判断绝对值里的式子的符号，故而需分类讨论。

例：321=-+-x x①推断零点：使各个绝对值内的式子正负性发生改变时x 的值即为零点。

x=1时，01=-x ；x=2时，02=-x ；即x=1和x=2为零点。

②分类讨论：当x ＜1时，方程可化为(1-x)+(2-x)=3；解得x=0，x=0在x ＜1的范围内，故成立；当1≤x ＜2时，方程可化为(x-1)+(2-x)=3；即1=3，舍去；当x ≥2时，方程可化为(x-1)+(x-2)=3；解得x=3，x=3在x ≥2的范围内，故成立。

综上所述，x=0或x=3。

巩固：解下列绝对值方程：1、1172==++x x2、7712=-+-x x3、167253=--+x x4、2410325=--+x x课后作业：解下列绝对值方程：1、5332-=-x x2、256-=+x x3、15923=-++x x。

绝对值方程的解法

绝对值方程的解法
绝对值方程的解法：
1、定义法：根据绝对值的定义把绝对值号去掉，把一个方程变成两个方程来解。

这种方法只适用于较简单的含绝对值的方程。

2、平方法：对于较简单的含绝对值的方程，去掉绝对值符号的又一个简单方法是方程两边平方。

3、零点分区法：这种方法适合于稍微复杂一些的情况，首先令各绝对值号内的式子等于零。

由此解得几个X的值把整个褛分为几个区间，解题时要按这几个区间逐一讨论，特别是解得的值要研究是否落
在所给的区间。

4、数轴法X-A的绝对值的几何意义是，在数轴上表示数A的点到X 点的距离，根据这个几何意义解某些绝对值方程，具有直观简捷等特点。

【重点梳理】-初一数学-绝对值方程

核心知识点一：形如 ax + b = c (a ≠ 0) 型的绝对值方程的解法：
①当c < 0 时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；
②当c = 0 时，原方程变为 ax + b = 0 ，即ax + b = 0 ，解得 x =- b ；
a ③当c > 0 时，原方程变为ax +
b =
c 或ax + b = -c ，解得 x = c - b 或 x = -c - b ．
a a
核心知识点二：形如 ax + b = cx + d (ac ≠ 0) 型的绝对值方程的解法：
①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d )； ②分别解方程ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d )；
③将求得的解代入原方程检验，舍去不满足原方程的解．
核心知识点三：形如 ax + b = cx + d (ac ≠ 0) 型的绝对值方程的解法：
①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d )； ②分别解方程ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d ).
绝对值方程の重点梳理
一、基础知识梳理
二、知识体系梳理。

解绝对值方程式

解绝对值方程式绝对值方程式一直是初高中数学中的一个重要话题，解绝对值方程式是我们通过数学方法来求解含有绝对值符号的方程。

在本文中，我将介绍解绝对值方程式的基本方法和一些常见的例子。

希望通过阅读本文，您能更加清晰地理解和掌握解绝对值方程式的技巧。

一、绝对值的定义在开始讨论解绝对值方程式之前，先让我们回顾一下绝对值的定义。

绝对值是表示一个实数与零的距离的非负数。

对于任何实数 x ，其绝对值记作 |x| ，定义如下：当x ≥ 0 时，|x| = x当 x < 0 时，|x| = -x二、解绝对值方程式的基本原则解绝对值方程式的关键是找到使得方程式成立的变量的取值。

为此，我们可以采用以下的基本原则来解绝对值方程式：1. 分情况讨论由于绝对值的定义是基于 x 的正负情况的，所以我们需要根据方程中绝对值内的表达式的正负情况来进行讨论。

常见的情况包括：a. 绝对值内的表达式大于等于 0b. 绝对值内的表达式小于 0c. 绝对值内的表达式等于 02. 消去绝对值符号一旦我们根据绝对值内表达式的正负情况分成几种情况，我们可以分别对这些情况进行处理。

为了简化计算，我们可以将绝对值符号消去，将绝对值方程式转化为一个等价的非绝对值方程式。

三、解一元绝对值方程式的步骤现在，让我们来具体讨论一下解一元绝对值方程式的步骤。

步骤一：分情况讨论根据绝对值内的表达式的正负情况，将方程式分成多种情况。

步骤二：消去绝对值符号对于每种情况，将绝对值方程式转化为一个等价的非绝对值方程式。

消去绝对值符号后，我们得到了一元方程式。

步骤三：解方程解转化后的一元方程式，并得到最终的解集。

步骤四：验证解集将得到的解集带入原方程，验证解集的正确性。

接下来，我将用几个例子来说明解绝对值方程式的具体过程。

例子一：|x + 2| = 4步骤一：分情况讨论我们需要考虑两种情况：x + 2 ≥ 0 和 x + 2 < 0当x + 2 ≥ 0 时，方程可以简化为 x + 2 = 4当 x + 2 < 0 时，方程可以简化为 -(x + 2) = 4步骤二：消去绝对值符号针对第一种情况，将绝对值符号消除后，我们得到 x + 2 = 4针对第二种情况，将绝对值符号消除后，我们得到 -(x + 2) = 4步骤三：解方程解第一种情况的方程得到 x = 2解第二种情况的方程得到 x = -6步骤四：验证解集将得到的解集带入原方程进行验证，验证结果表明解集 {2, -6} 是原方程的解。

解绝对值方程的方法

解绝对值方程的方法绝对值方程是初中数学中常见的一种方程类型，解绝对值方程的方法有多种，本文将介绍其中的两种常用方法：分情况讨论法和代数法。

一、分情况讨论法分情况讨论法是解绝对值方程的常用方法之一，它的基本思想是将绝对值的取值范围分成几个情况，然后分别讨论每种情况下的方程解。

举个例子来说明分情况讨论法的具体步骤。

假设我们要解方程|2x-1|=3。

首先，我们将绝对值的取值范围分为两种情况：当2x-1≥0时，|2x-1|=2x-1；当2x-1<0时，|2x-1|=-(2x-1)。

对于第一种情况，即2x-1≥0，我们可以得到2x-1=3，解得x=2。

对于第二种情况，即2x-1<0，我们可以得到-(2x-1)=3，解得x=-1。

因此，原方程的解为x=2和x=-1。

使用分情况讨论法解绝对值方程时，我们需要根据绝对值的取值范围进行合理的分情况讨论，并对每种情况下的方程进行求解。

这种方法的优点是思路清晰，能够将问题分解为若干个简单的子问题，但对于复杂的绝对值方程，可能需要分的情况较多，计算量较大。

二、代数法代数法是解绝对值方程的另一种常用方法，它的基本思想是利用绝对值的定义进行代数变形，从而得到方程的解。

举个例子来说明代数法的具体步骤。

假设我们要解方程|2x-1|=3。

根据绝对值的定义，当2x-1≥0时，|2x-1|=2x-1；当2x-1<0时，|2x-1|=-(2x-1)。

对于第一种情况，即2x-1≥0，我们可以得到2x-1=3，解得x=2。

对于第二种情况，即2x-1<0，我们可以得到-(2x-1)=3，解得x=-1。

通过代数变形，我们得到了与分情况讨论法相同的结果。

使用代数法解绝对值方程时，我们需要根据绝对值的定义进行代数变形，并将方程转化为一元一次方程进行求解。

这种方法的优点是计算量相对较小，适用于简单的绝对值方程。

综上所述，解绝对值方程的方法有分情况讨论法和代数法两种常用方法。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。

第六讲绝对值与一元一次方程

第六讲绝对值与一元一次方程一、含绝对值的一次方程1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a =-；③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a --=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+；②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+．（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=；②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=．（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =； ②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f+≥，求出x的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d+=+-+和()()ax b ex f cx d+=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．二.例题讲解：【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11 提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B 提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.习题训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.方程││x-2│-1│=2的解是________.6.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.7.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.8.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.9.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200110.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n11.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数12.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个13.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在14.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)15.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)16.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)17.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.18.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值. (“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.。

初中数学知识归纳解绝对值方程不等式的问题

初中数学知识归纳解绝对值方程不等式的问题绝对值方程和不等式是初中数学中的重要内容，掌握了解题方法和技巧，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

本文将对初中数学中解绝对值方程和不等式的方法进行归纳总结，帮助学生更好地掌握这些知识。

一、绝对值方程的解法绝对值方程一般形式为 |x| = a，其中 a 是一个非负实数。

解绝对值方程的基本思路是根据绝对值的性质将方程拆分成正负两种情况进行求解。

1. 当x≥0 时，|x| = x，此时方程化简为 x = a，解得 x = a。

2. 当 x<0 时，|x| = -x，此时方程化简为 -x = a，解得 x = -a。

因此，绝对值方程 |x| = a 的解为 x = a 或 x = -a。

扩展：绝对值方程 |x + b| = a，其中 a 为非负实数，b 为任意实数。

若a≥0，则 |x + b| = a 的解为 x = -b ± a。

二、绝对值不等式的解法绝对值不等式一般形式为 |x| < a 或 |x| > a，其中 a 是一个正实数。

解绝对值不等式的方法也是根据绝对值性质进行分类讨论。

1. 当x≥0 时，|x| < a 化简为 x < a，解得0 ≤ x < a。

2. 当 x<0 时，|x| < a 化简为 -x < a，解得 x > -a。

综合上述情况，绝对值不等式 |x| < a 的解为 -a < x < a。

3. 当x≥0 时，|x| > a 化简为 x > a 或 x < -a。

4. 当 x<0 时，|x| > a 化简为 -x > a，解得 x < -a。

综合上述情况，绝对值不等式 |x| > a 的解为 x < -a 或 x > a。

扩展：绝对值不等式 |x + b| < a，其中 a 为正实数，b 为任意实数。

绝对值方程的解法

绝对值方程的解法绝对值方程的解法一、形如ax+b=cx+d的方程的解法：当两个式子的绝对值相等时，绝对值内的两个式子可以相等或互为相反数。

例如：x-2=2x+3.因此，对于ax+b=cx+d这类绝对值方程，可以得到ax+b=cx+d或ax+b=-(cx+d)，一般有两个解，解完无需检验。

巩固：解下列绝对值方程：1、2x-1=3x+12、x+20=5x-28二、形如ax+b=cx+d的方程的解法：从绝对值的意义出发分类讨论：①当ax+b≥0时，ax+b=ax+b，得ax+b=cx+d，解完需把解代入验证是否满足ax+b≥0，若不满足应舍去。

②当ax+b＜0时，ax+b=-(ax+b)，得-(ax+b)=cx+d，解完需把解代入验证是否满足ax+b＜0，若不满足应舍去。

例如：2x+9=7x-1.巩固：解下列绝对值方程：1、3x-1=5x+92、4x+8=10x-34二、形如ax+b±cx+d=q的方程的解法：（零点分段法）对于这类方程，因为不知道x的取值范围，所以无法确切地判断绝对值里的式子的符号，因此需要分类讨论。

例如：x-1+x-2=3①推断零点：使各个绝对值内的式子正负性发生改变时x 的值即为零点。

x=1时，x-1=0；x=2时，x-2=0；即x=1和x=2为零点。

②分类讨论：当x＜1时，方程可化为(1-x)+(2-x)=3；解得x=0，x=0在x＜1的范围内，故成立；当1≤x＜2时，方程可化为(x-1)+(2-x)=3；即1=3，舍去；当x≥2时，方程可化为(x-1)+(x-2)=3；解得x=3，x=3在x≥2的范围内，故成立。

综上所述，x=0或x=3.巩固：解下列绝对值方程：1、x+2+x=7+1/22、2x-1+x-7=7/33、3x+5-2x-7=16/44、5x+2-3x-10=24 课后作业：解下列绝对值方程：。

绝对值方程（组）的几种解法

绝对值方程（组）的几种解法带有绝对值的方程（组），一般都是通过划分区间，去掉绝对值，分段讨论求解.但对于一些特殊的绝对值方程（组），采取特殊方法，就可以避免一般方法的复杂运算.本文介绍的几种特殊解法，供读者参考.一、利用绝对值定义在解题时，利用|a |≥0,把方程（组）变形，简化，然后求其解.例1 解方程组：⎩⎨⎧-=+=-++(2)42|1|(1) 3|2||1|y x y x 解：由（2），|1|+x ≥0，⎩⎨⎧=--+=-++∴-=-∴≥≥-∴(4).0)2(2|1|(3) 3)2(|1|:.2|2|.2,042y x y x y y y y 原方程变形为（3）×2＋（4）得：|x +1|=2.解得：.3,121-==x x代入（3）得：y =3. ∴方程组的解为：⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.3,3 ,3,12211y x y x 二、利用不等式性质将方程适当变形，利用不等式公式中等号成立的条件，求方程（组）的解.例2 解方程：.|4||2||6|4224-=-+--x x x x解：由绝对值不等式知，若a 、b 为实数，则|a +b |≤|a |+|b|, (1)由于|,4||)2()6(||2||6|4224224-=++--≥++--x x x x x x λ因为（1）式中等号成立的充要条件是a ·b ≥0，所以,0)2)(6(224≥+--x x x:,3,0)3()2(2222解得≥∴≥-+x x x.33-≤≥x x 或三、利用复数模长公式适当引入复变量代换，把实数问题转化为复数问题，然后利用复数模长公式的特性，求得方程（组）的解.例3 解方程22|2042644|222+-=++-++x x x x x x将原方程变形得：(2).22|204244|(1)|,|||||||.221)1(||,4)2(||,5)12(||,4)2(,5)12(.224)2(5)12(|2222121222212222212122222+-≤++-++∴-≤-+-=+-=-++=++=++=++=+-=++-++x x x x b x x z z z z x x x z z x z x z i x z i x z x x x x 又则设由于（1）式当且仅当z 1、z 2共线且方向相同时等号成立.若（2）式等号成立，有：,42512x x +=+解得x =2. ∴方程的解为x =2.四、利用|a |2=a 2(a ∈R )在解方程（组）时，注意到a ∈R 时，有|a |2=a 2,可以去掉绝对值，把方程（组）简化.例4 解方程：321=--x x 解：由根式定义知：0≤x ≤1 设],2,0[,sin 2πθθ∈=x 则原方程化为：32|cos sin |=-θθ 上式两边平方得：,972sin ,922sin 1==-θθ .18249,.18249,1824922cos 1sin ,2942cos 2是原方程的解经检验即±=±=±=-=∴±=∴x x θθθ 五、利用函数性质把方程和函数联系在一起，利用函数的性质，可以直接求解.例5 解方程组：⎩⎨⎧=+=+(2) .10||2||5(1) ,6||2||y x y x 解：分别以－x 、－y 及同时以－x 、－y 作代换（1）、（2）均不变，知它们的图象关于x 轴、y 轴和原点对称.因此，设x ≥0,y ≥0得：⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+.25,1:.1025,62y x y x y x 解得依x 轴、y 轴及原点对称，可得另三组解：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧-==.25,1 ;25,1 ;25,1y x y x y x。

绝对值方程的解法

绝对值方程的解法绝对值方程是一种在数学中常见的方程类型，其中含有绝对值符号。

它们的解法相较于其他方程类型略有不同，需要通过考虑绝对值的两种可能取值情况来确定解的范围。

本文将介绍两种常见的解绝对值方程的方法：图像法和代数法。

一、图像法图像法是一种直观且易于理解的解绝对值方程的方法。

它通过绘制绝对值函数的图像，观察函数与坐标轴的交点来确定方程的解。

例如，考虑以下绝对值方程：|2x - 3| = 5首先，我们需要将方程两边的绝对值符号去除，并考虑两种可能的情况：情况1：2x - 3 = 5解这个方程得到 x = 4。

情况2：2x - 3 = -5解这个方程得到 x = -1。

因此，绝对值方程 |2x - 3| = 5 的解为 x = 4 和 x = -1。

图像法通过绘制绝对值函数 y = |2x - 3| 和 y = 5 的图像，观察它们的交点来验证解的正确性。

在图像中，我们可以看到2个交点分别对应方程的两个解。

二、代数法代数法是另一种解绝对值方程的常见方法。

它通过代数运算和数学推理，直接得到方程的解。

考虑以下绝对值方程：|2x - 3| = 5代数法中的基本思路是考虑绝对值的两种可能取值情况，并将方程转化为两个无绝对值符号的方程来求解。

情况1：当 2x - 3 为正数时，即 2x - 3 = 5解这个方程得到 x = 4。

情况2：当 2x - 3 为负数时，即 2x - 3 = -5解这个方程得到 x = -1。

因此，绝对值方程 |2x - 3| = 5 的解为 x = 4 和 x = -1，与图像法的结果一致。

在代数法中，我们将绝对值去除后得到两个方程，并分别解这两个方程。

通过这种方式，我们可以直接得到方程的解，而无需绘制图像。

总结起来，解绝对值方程的方法有图像法和代数法两种。

图像法通过绘制绝对值函数的图像，观察函数与坐标轴的交点来确定方程的解。

代数法通过考虑绝对值的两种可能取值情况，并将方程转化为两个无绝对值符号的方程来求解。

解绝对值方程

解绝对值方程绝对值方程是指形如|ax + b| = c的方程，其中a、b和c是已知实数，x则是未知数。

解决绝对值方程的关键是找出x的取值，使得|ax + b| = c成立。

我们可以通过以下步骤解决绝对值方程：步骤一：去绝对值号。

根据绝对值的定义，当ax + b大于等于0时，|ax + b| = ax + b；当ax + b小于0时，|ax + b| = -(ax +b)。

因此，我们可以分别列出两个方程：1.当ax + b大于等于0时，ax + b = c；2.当ax + b小于0时，-(ax + b) = c。

步骤二：分情况讨论。

我们需要根据a的取值来讨论不同情况。

情况一：a不等于0。

在这种情况下，我们可以将两个方程进一步化简：1. ax + b = c；2. -ax - b = c。

情况一.1：ax + b = c。

推导如下：ax = c - b；x = (c - b) / a。

情况一.2：-ax - b = c。

推导如下：-ax = c + b；x = -(c + b) / a。

因此，在a不等于0的情况下，绝对值方程可能有两个解，分别是x = (c - b) / a和x = -(c + b) / a。

情况二：a等于0，b不等于0。

在这种情况下，我们可以将两个方程进一步化简：1. b = c；2. -b = c。

情况二.1：b = c。

由于a等于0，无论x取任何值，方程都成立。

因此，绝对值方程有无穷多个解。

情况二.2：-b = c。

由于a等于0，无论x取任何值，方程都成立。

因此，绝对值方程有无穷多个解。

情况三：a等于0，b等于0，c不等于0。

由于a等于0，b等于0，方程恒成立。

因此，绝对值方程有无穷多个解。

情况四：a等于0，b等于0，c等于0。

由于a等于0，b等于0，方程恒成立。

因此，绝对值方程有无穷多个解。

综上所述，解绝对值方程的关键在于找出x的取值，使得|ax +b| = c成立。

根据不同的情况，我们可以得出绝对值方程可能有两个解、无穷多个解，或者恒成立。

高中数学绝对值方程解题技巧

高中数学绝对值方程解题技巧绝对值方程是高中数学中常见的一种题型，解决这类问题需要掌握一些技巧和方法。

本文将介绍一些常见的绝对值方程解题技巧，并通过具体的例题进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这些技巧。

一、绝对值方程的定义和性质绝对值方程是指方程中含有绝对值符号的方程，通常形式为|ax + b| = c。

其中，a、b、c为已知实数，x为未知数。

解绝对值方程的关键在于利用绝对值的定义和性质，将方程转化为两个简单的线性方程。

二、绝对值方程的基本解法1. 消去绝对值符号对于形如|ax + b| = c的绝对值方程，首先要将绝对值符号消去。

根据绝对值的定义，当x满足ax + b = c时，|ax + b| = c成立；当x满足ax + b = -c时，|ax + b| =c也成立。

因此，我们可以得到两个方程：ax + b = c和ax + b = -c。

2. 解线性方程将消去绝对值符号后的方程ax + b = c和ax + b = -c分别解得x的值，即可得到绝对值方程的解。

举例说明：例题1：解方程|2x + 3| = 5。

解答：根据基本解法，我们先消去绝对值符号，得到两个方程：2x + 3 = 5和2x + 3 = -5。

解第一个方程2x + 3 = 5，得到x = 1。

解第二个方程2x + 3 = -5，得到x = -4。

所以，方程|2x + 3| = 5的解为x = 1和x = -4。

例题2：解方程|3x - 2| = 7。

解答：同样地，我们消去绝对值符号，得到两个方程：3x - 2 = 7和3x - 2 = -7。

解第一个方程3x - 2 = 7，得到x = 3。

解第二个方程3x - 2 = -7，得到x = -5/3。

所以，方程|3x - 2| = 7的解为x = 3和x = -5/3。

三、绝对值方程的拓展应用除了基本的绝对值方程解法外，我们还可以将绝对值方程与其他类型的方程相结合，进一步拓展应用。

七年级绝对值方程的7种解法

七年级绝对值方程的7种解法
1.完全分开法：
将绝对值方程分为两个等价的数学式，一个是原式，另一个是原式的
绝对值表达式，然后分别求解。

2.弹性分开法：
不用把绝对值方程分为两个等价的数学式，而是直接把两个部分弹性
分开计算，把绝对值表达式作为一组，把原式相当于一组，分别求解。

3.解析法：
解析法是将绝对值方程看作一个整体，把方程中绝对值变成乘积，也
就是将二次式全部写几次，然后把相同的项系数求和，再去解整个二
次式，最后就可以求得绝对值方程的解。

4.代入法：
把绝对值方程的解代入绝对值表达式中，然后求原式的值是否等于被
代入的值，看是否满足方程的等式，如果满足的话就说明绝对值方程
的组解求出了。

5.图解法：
将构成绝对值方程的绝对值表达式图示出来，然后找到两个组解，分
别代入原式中求解。

6.记号法：
使用记号法在组解的符号上做一个合理的假定，然后通过检验来求解绝对值方程的两个组解。

7.减法法：
利用原式的另一属性（减去y的绝对值），将绝对值方程中的绝对值表达式分成两组：y与减去y的绝对值，再同时解两个一次方程组，最后就可以求得绝对值方程的组解。

含绝对值的解与不等式求解

含绝对值的解与不等式求解绝对值函数在数学中具有重要的应用价值，尤其是在解方程和不等式问题上。

本文旨在探讨含绝对值的解以及如何求解不等式。

一、含绝对值的方程解法对于形如|a|x + b| = c的绝对值方程，需要分别讨论x的取值范围，并找出满足条件的解。

下面将介绍两种常用解法。

1.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，因此可以将方程化简为两个线性方程来求解。

考虑到x的取值情况，可以得到以下两个方程：a*x + b = c x >= 0；-a*x - b = c x < 0。

解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。

当a为负数时，绝对值函数为减函数。

同样可以将方程化简为两个线性方程来求解，但此时每个方程对应的x的取值范围相反：-a*x + b = c x >= 0；a*x - b = c x < 0。

解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。

1.2 代数法求解对于一元绝对值方程|a|x + b| = c，可以将方程分解为两个方程：a*x + b = c 或 a*x + b = -c。

解出以上两个方程的解集分别为S1和S2，则原方程的解集为S1 ∪ S2。

二、含绝对值的不等式解法对于形如|a|x + b| < c的绝对值不等式，同样需要根据a的正负情况进行分类讨论。

2.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，可以将不等式化简为两个线性不等式：a*x + b < c x >= 0；-a*x - b < c x < 0。

解出以上两个不等式可得到两个解集，分别为S1和S2。

由于题目要求不等式的解集，因此需要求得S1 ∪ S2的交集。

当a为负数时，绝对值函数为减函数，将不等式化简为以下两个线性不等式：-a*x + b < c x >= 0；a*x - b < c x < 0。

绝对值方程的解法初一

绝对值方程的解法初一绝对值方程是初中数学中比较基础的一部分，也是初中数学考试中出现频率比较高的一个知识点。

在解绝对值方程时，我们需要掌握一些基本的方法和技巧，才能够更加准确地求出方程的解。

一、绝对值方程的定义绝对值方程是指一个方程中含有绝对值符号的方程，通常形式为：|x| = a，其中a为一个非负实数。

二、绝对值方程的解法解绝对值方程的方法主要有以下几种：方法一：分情况讨论法当绝对值符号内的表达式为正数时，方程变为x = a；当绝对值符号内的表达式为负数时，方程变为x = -a。

因此，我们可以将方程分成两种情况进行讨论，分别求出方程的解。

例如，对于方程|2x - 1| = 5，我们可以分别讨论2x - 1 > 0和2x - 1 < 0的情况，得到x = 3和x = -2的两组解。

方法二：代数法我们可以将绝对值符号内的表达式拆分成两种情况，一种是当x≥0时，|x| = x；另一种是当x<0时，|x| = -x。

然后将方程化简为一个一元二次方程，进而求出方程的解。

例如，对于方程|2x - 3| - x = 1，我们可以将绝对值符号内的表达式拆分成两种情况：当2x - 3≥0时，|2x - 3| = 2x - 3；当2x - 3<0时，|2x - 3| = -(2x - 3)。

然后将方程化简为一个一元二次方程，得到x = 4/3和x = -1/2的两组解。

方法三：图像法我们可以将绝对值符号内的表达式视为一条折线，然后根据方程所表示的图像进行分析，求出方程的解。

例如，对于方程|2x - 5| + |x + 1| = 6，我们可以将绝对值符号内的表达式视为两条折线，然后根据方程所表示的图像进行分析，得到x = -2、x = 1和x = 3的三组解。

三、绝对值方程的注意事项在解绝对值方程时，有一些需要注意的事项：1. 方程的解可能包含多组解。

2. 方程的解可能不存在。

3. 在分情况讨论法中，需要根据方程的实际情况进行分类讨论。

初中数学重点梳理：含绝对值的方程及方程组

含绝对值方程知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中含绝对值方程的常见题型及其求解方法，本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-； ③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a--=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+．（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=； ②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=．（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =； ②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．例题精讲【试题来源】【题目】若关于x 的方程｜｜x-2｜-1｜=a 有三个整数解．则a 的值是多少？【答案】a=1【解析】解：若a ＜0，原方程无解，所以a ≥0．由绝对值的定义可知｜x-2｜-1=±a ，所以｜x-2｜=1±a ．(1) 若a ＞1，则｜x-2｜=1-a ＜0，无解｜x-2｜=1＋a ，x 只能有两个解x=3+a 和x=1-a ．(2) 若0≤a ≤1，则由｜x-2｜=1+a ，求得x=1-a 或x=3+a ；由｜x-2｜=1-a ，求得x=1+a 或x=3-a ．原方程的解为x=3+a ，3-a ，1+a ，1-a ，为使方程有三个整数解，a 必为整数，所以a 只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a ≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．综上可知，a=1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围【答案】a≥1【解析】解：设x为方程的负根，则-x=ax+1，即所以应有a＞-1，反之，a＞-1时，原方程有负根．设方程有正根x，则x=ax＋1，即所以a＜1，反之，a＜1时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？【答案】a≥3【解析】解：(1)当x≤-2时，｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．(2)当-2＜x＜1时，｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．(3)当x≥1时，｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．所以，只有当a≥3时，原方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是【答案】0【解析】解：根据关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，可得出：a＞0，由|4x﹣3|+b=0有两个解，可得出：b＜0，由|3x﹣2|+c=0只有一个解，可得出：c=0，故|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|可化简为：|a|+|b|﹣|a﹣b|=a﹣b﹣a+b=0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】(北京市“迎春杯”竞赛题)【题目】│x+3│-│x-1│=x+1;【答案】为x=-5,-1,3【解析】解：当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】(第15届江苏省竞赛题)【题目】已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.【答案】-3，6【解析】解：|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|，∴|x+2|+|1-x|+|y-5|+|1+y|=9，（1）当x≥1，y≥5时，x+2+x-1+y-5+y+1=9，2x+2y=12，x+y=6，（2）当-2≤x＜1，-1≤y＜5时，x+2+1-x+5-y+y+1=9，但-3≤x+y＜6，（3）当x＜-2，y＜-1时，-x-2+1-x+5-y-1-y=9，-2x-2y=6，x+y=-3，故x+y最小值为-3，最大值为6．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况【答案】如下解析【解析】解：（1）当k<0时,原方程无解（2）当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;（3）当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k此时原方程有四解:x=-3±(2±k);（4）当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;（5）当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】(“华杯赛”邀请赛试题)【题目】设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.【答案】b=±3【解析】解：由题意得|x-a|=b±3，x-a=±(b±3)x-a=b+3,b-3,-b+3,-b-3有三个则其中两个相等，b+3和b-3,-b+3和-b-3不会相等所以b+3=-b+3，即b=0此时只有两个3和-3所以b+3=-b-3，即b=-3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b+3，即b=3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b-3，即b=0此时只有两个3和-3所以b=±3【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】若关于的方程|1﹣x|=mx有解，则实数m的取值范围【答案】m≥0或m＜﹣1【解析】解： |1﹣x|=mx，①当x≥1时，x﹣1=mx，（1﹣m）x=1，m≠1时，x=，∴≥1，解得：0＜m＜1；②当x＜1时，1﹣x=mx，（1+m）x=1，m≠﹣1时，x=，＜1，∴1+m＜0或1+m≥1，∴m＜﹣1或m≥0；综上所述：解集是：m≥0或m＜﹣1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x+3|+|x﹣6|=a有解，那么a的取值范围是【答案】a≥9【解析】解：（1）当x≥6时，原方程化为x+3+x﹣6=a，∴x=≥6∴a≥9（2）当﹣3≤x＜6时，原方程化为﹣x﹣3﹣x+6=a，∴x=＜﹣3，∴a＞9（3）当x＜﹣3时，原方程化为﹣x﹣3+6﹣x=a∴x=＜﹣3∴a＞9综上，a≥9方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是【答案】a＞1或a≤﹣1【解析】解：①当ax﹣a≥0，a（x﹣1）＞0，解得：x≥1且a≥0或x≤1且a≤0，②正根条件：x＞0，x=ax﹣a，即x=＞0，解得：a＞1 或a＜0，由①，即得正根条件：a＞1且x≥1，或者a＜0，0＜x≤1，③负根条件：x＜0，得：﹣x=ax﹣a，解得：x=＜0，即﹣1＜a＜0，由①，即得负根条件：﹣1＜a＜0，x＜0，根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取a＞1（此时x≥1，没负根），或者a≤﹣1（此时0＜x≤1，没负根）综合可得，a＞1或a≤﹣1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有【答案】﹣3，﹣2，﹣1，0【解析】解：（1）当2a+7≥0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7+2a﹣1=8解得a=0.5解不等式2a+7≥0，2a﹣1≥0得，a≥﹣3.5，a≥0.5，所以a≥0.5，而a又是整式，故a=0.5不是方程的一个解；（2）当2a+7≤0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7﹣2a+1=8解得a=﹣3.5解不等式2a+7≤0，2a﹣1≤0得，a≤﹣3.5，a≤0.5，所以a≤﹣3.5，而a又是整数，故a=﹣3.5不是方程的一个解；（3）当2a+7≥0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7﹣2a+1=8解得a可为任何数．解不等式2a+7≥0，2a﹣1≤0得，a≥﹣3.5，a≤0.5，所以﹣3.5≤a≤0.5，而a又是整数，故a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0．（4）当2a+7≤0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7+2a﹣1=8，可见此时方程不成立，a无解．综合以上4点可知a的值有四个：﹣3，﹣2，﹣1，0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】5习题演练【试题来源】【题目】方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是【答案】2【解析】解：①当x≥2时，由原方程，得3x+x﹣2=4，即4x﹣2=4，解得x=3/2（舍去）；②当0＜x＜2时，由原方程，得3x﹣x+2=4，解得x=1；③当x＜0时，由原方程，得﹣3x﹣x+2=4，解得x=﹣．综上所述，原方程有2个解【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个【答案】0,1【解析】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥4/3时，原方程就可化简为：3x﹣4+3x+2=6，解得：x=4/3；第二种：当﹣2/3＜x＜4/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4+3x+2=6，恒成立；第三种：当x≤﹣2/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4﹣3x﹣2=6，解得：x=﹣2/3；所以x的取值范围是：﹣2/3≤x≤4/3，故符合条件的整数位：0，1【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个【答案】2【解析】解：根据题意，知（1）|x﹣2|﹣|x﹣6|=1，①当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；②当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=1，即﹣4=1，显然不成立；③当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=1，解得x=4.5；（2）|x﹣2|﹣|x﹣6|=﹣1，④当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=﹣1，解得x=﹣3，不合题意，舍去；⑤当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=﹣1，即﹣4=﹣1，显不成立；⑥当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=﹣1，解得x=3.5；综上所述，原方程的解是：x=4.5，3.5，共有2个【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则A．0，2，4全是根 B.0，2，4全不是根 C.0，2，4不全是根 D.0，2，4之外没有根【答案】A【解析】解：①当x≥4时，原方程化为x﹣4=0，解得x=4，在所给的范围x≥4之内，x=4是原方程的解；②当3≤x＜4时，原方程化为4﹣x=0，解得x=4，不在所给的范围3≤x＜4之内，x=4不是原方程的解；③当2≤x＜3时，原方程化为x﹣2=0，解得x=2，在所给的范围2≤x＜3之内，x=2是原方程的解；④当1≤x＜2时，原方程化为2﹣x=0，解得x=2，不在所给的范围1≤x＜2之内，x=2不是原方程的解；⑤当0≤x＜1时，原方程化为x=0，在所给的范围0≤x＜1之内，x=0是原方程的解；⑥当﹣1≤x＜0时，原方程化为x=0，不在所给的范围﹣1≤x＜0之内，x=0不是原方程的解；⑦当﹣2≤x＜﹣1时，原方程化为x+2=0，解得x=﹣2，在所给的范围﹣2≤x＜﹣1之内，x=﹣2是原方程的解；⑧当x＜﹣2时，原方程化为﹣2﹣x=0，解得x=﹣2，不在所给的范围x＜﹣2之内，x=﹣2不是原方程的解．综上，可知原方程的解为x=4，2，0，﹣2．故选A．【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5【试题来源】【题目】使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|=c恰好有两个解的所有实数c的取值范围【答案】c＞3或1＜c＜3【解析】解：（1）当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：x=，由＜1，得：c＞3；（2）当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：c=3，有无数多解；（3）当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6=c，解得：x=，由2≤＜3，得：1＜c≤3；（4）当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6=c，解得：x=，由≥3，得：c ≥1．故当c＞3时，原方程恰有两解：，；当1＜c＜3时，原方程恰有两解：，．故答案为：c＞3或1＜c＜3【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3含绝对值的方程组知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本讲主要介绍解含有绝对值的方程四种方法：定义法、平方法、零点分区法、数轴、取这几个方程的公共解。

数学技巧的提升解实际问题中的指数绝对值方程

数学技巧的提升解实际问题中的指数绝对值方程数学技巧的提升——解实际问题中的指数绝对值方程在数学中，指数与绝对值方程是我们经常遇到的一类问题。

解决这类方程需要掌握一定的技巧和方法。

本文将介绍一些数学技巧，帮助您提升解决实际问题中的指数绝对值方程的能力。

一、指数方程的解法指数方程一般形式为：a^x = b，其中a和b为已知数。

我们需要求解x的值。

当指数底数相同，即a为正实数且不等于1时，可以使用对数法求解。

对于方程a^x = b，我们可以取对数得到x = loga(b)。

例如，对于方程2^x = 8，我们可以取以2为底的对数，得到x = log2(8) = 3。

当指数底数不同，无法直接使用对数法求解时，我们需要考虑使用换底公式来求解。

换底公式为loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c为任意不等于1的正数。

例如，对于方程5^x = 125，无法直接使用对数法求解。

我们可以将底数5转化为以10为底的对数，即x = log5(125) = log10(125) /log10(5)。

二、绝对值方程的解法绝对值方程一般形式为：|ax + b| = c，其中a、b和c为已知数。

我们需要求解x的值。

对于绝对值方程，我们可以根据绝对值的定义进行分情况讨论。

当(ax + b)为正数时，即ax + b > 0时，方程简化为ax + b = c；当(ax + b)为负数时，即ax + b < 0时，方程简化为-(ax + b) = c。

然后分别求解这两个简化后的线性方程。

例如，对于方程|2x - 1| = 5，当2x - 1 > 0时，方程简化为2x - 1 = 5，解得x = 3；当2x - 1 < 0时，方程简化为-(2x - 1) = 5，解得x = -2。

三、指数绝对值方程的解法将指数方程和绝对值方程相结合，就得到了指数绝对值方程。

我们要解决的问题是：如何解决同时包含指数和绝对值的方程。

绝对值方程的解法

含绝对值的一元三次方程解法

初中数学知识归纳解绝对值方程组不等式的问题

含绝对值的函数方程解法

绝对值方程的解法

绝对值方程的解法

【重点梳理】-初一数学-绝对值方程

解绝对值方程式

解绝对值方程的方法

第六讲 绝对值与一元一次方程

初中数学知识归纳解绝对值方程不等式的问题

绝对值方程的解法

绝对值方程（组）的几种解法

绝对值方程的解法

解绝对值方程

高中数学绝对值方程解题技巧

七年级绝对值方程的7种解法

含绝对值的解与不等式求解

绝对值方程的解法初一

初中数学重点梳理：含绝对值的方程及方程组

数学技巧的提升解实际问题中的指数绝对值方程

第六讲绝对值与一元一次方程