绝对值方程的解法

（来自《点拨》）
a
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知2－讲
【例6】 下列各式中无论m为何值，一定是正数的是
(C )
A. m
B. m + 1
C. m + 1
D．－(－m)
导引：选项A中当m＝0时，不符合题意；选项B中
当m＝－1时， m + 1 ＝0，不符合题意；选项
D中－(－m)＝m显然不符合题意；选项C中，
因为 m ≥0，所以 m ＋1≥1，符合题意．
知识点
绝对值的性质
1. 当 a > 0 时, |a|=________;Biblioteka Baidu
2. 当 a = 0 时, |a|=________;
3. 当 a< 0 时, |a|=________;
由此可以看出，任何一个有理数的绝对值总是
正数 或0(通常也称非负数).即对任意有理数a，
总有
|a|≥0.
a
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知2－讲
1.非负性：任何一个有理数的绝对值总是正数和0， (也称非负数)，即|a|≥0.
a
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练习1
解下列方程： (1)｜x-5｜+2x=-5；
(2)｜3x-1｜=丨2x+1丨；
a
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探究2
例2： 解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．
分析： 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值
符号，这可用“零点分段法”，
即令x-2=0,2x+1=0，分别 得到x=2,x= 1
2
将数轴分成三段：
问题1.这个方程与之前所解的方程有什么不同？ 如何利用绝对值知识来解方程？
问题2. 解方程的过程和步骤怎么写？
分析：若|a|＝|b|,则a=b或a=-b。 解：根据绝对值的意义，得
2x-1= x+3① 或 2x-1= -(x+3)②
解①得x=4 解②得x=
∴方程的解为x=4或x=
a
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探究1
例1 已知：有理数x、y、z满足xy<0,yz>0,并且丨x丨 =3，丨y丨=2，丨z+1丨=2，求x+y+z的值。
(2)｜x-2｜+｜2x+1｜=8；
x=2.5或 x=-1.5
x=3或x= 7
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a
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由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无 法进行统一的代数运算．通常的方法是分别按照绝对值 符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝时值符号， 转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的
怎样求含有绝对
值的方程的解呢？
a
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探究1
问题1. 如何解关于x的方程|x|＝7？
解：根据绝对值的意义，得
X=7或 x= -7
∴方程的解为X=7或x=-7
a
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探究1
【探究一 】解关于x的方程|x|＝a (a为常数)
解：当a>0时，x=a或x=-a； 当a=0时，x=0；
当a<0时，方程无解。
分类讨论的思想！
解：由丨z+1丨=2，得z+1=±2，所以z=1或z=-3
由xy<0知x，y异号；由yz>0知，y，z同号；
又丨x丨=3，丨y丨=2，故
当z=1时，x=-3,y=2，此时x+y+z=-3+2+1=0
当z=-3时，x=3,y=-2。此时x+y+z=3+(-2)+(-3)=-2
∴x+y+z的值为0或-2.
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【例】〈易错题〉若|x|＝x，则x是( C )
A．正数
B．0
C．非负数
D．非正数
错误答案：A
错解分析：一个非负数的绝对值是它本身，错解中只考
虑了正数，而忽视了0；|x|＝x表示的意义是：
一个数的绝对值等于它本身；而绝对值等
于它本身的数是正数和0.
解答这类题一定要把正数和0两种情况都考虑到，不要忽视
a
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探究1
设某数为x，根据条件列方程。
某数的绝对值为7. 某数与2的差的绝对值为7. 某数的2倍与1的差的绝对值与某数与3的和的绝对 值相等. 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫含有绝 对值的方程。如： |x|＝7；| x-2 |＝7；| x-2 |＝7；|2x1|＝|x+3|； 都是含有绝对值的方程。
a
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探究1
【探究二 】解关于x的方程| x-2 |＝7
问题1.如何解关于x的方程|x-2|＝7？
问题2. 解方程的过程和步骤怎么写？
解：根据绝对值的意义，得
x-2=7① 或 x-2=-7②
解①得x=9
解②得x=-5
∴方程的解为x =9或x=-5
a
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探究1
【探究三 】解关于x的方程|2x-1|＝|x+3|
得：x=4,它不在所给的范围 1 ≤x＜2之内，所以x=4不是方
2
程的解，应舍去；
(3)当x≥2时，原方程化为 (x-2)+(2x+1)=7，
解得：x= 8 ,所以在所给的范围x≥2之内，x= 8
3
3
是方程的解；
综上所述，原方程的解为x=
a
8 3
或x=-2
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练习2
解下列方程： (1)｜x+3｜-｜1-x｜=x+1；
用2， 1
2
x>2，
1 2
≤ x≤2，x＜
1 2
，然后在每一段上去掉绝
对值符号再求解。
a
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探究2
解：
（1）当x＜ 1 时，原方程化为 -(x-2)-(2x+1)=7，
2
解得：x=-2,在所给的范围x＜ 1 之内，x=-2是方程
2
的解。 （2）当
1 2
≤x＜2时，原方程化为 -(x-2)+(2x+1)=7，解
“0”．
（来自《点拨》）
a
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绝对值方程的解法
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知识回顾
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开 原点的距离．但除零以外，任何一个绝对值都是表示两个不 同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由 于这个性质，所以含有绝对值的方程的求解过程又出现了一 些新特点．
一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的 非负实数：
（来自《点拨》）
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总结
知2－讲
由绝对值的非负性得：|m|≥0，所以 |m|＋1一定是正数．
a
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总结
(1)有关绝对值的问题，需利用数轴来分析，这 样解题更直观明了，能体现“数”与“形”的完美统 一； (2)对于已知一个数的绝对值，求这个数解的情 况， 解答时，常常利用数形结合思想、分类讨 论思想，从而避免漏解的错误．
2.互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a与b互 为相反数，则|a|= |b|.反之，若两个数的绝对值相等， 则这两个数相等或互为相反数，即若|a|= |b|, 则a＝b或a＝－b. 拓展：几个非负数的和为0，则这几个非负数均为 0.即|a|+|b|+|c|+ …+|m|=0 ，则a＝b＝c＝…＝m＝0.
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知2－讲
【例】 下列各式中无论m为何值，一定是正数的是
(C )
A. m
B. m + 1
C. m + 1
D．－(－m)
导引：选项A中当m＝0时，不符合题意；选项B中
当m＝－1时， m + 1 ＝0，不符合题意；选项
D中－(－m)＝m显然不符合题意；选项C中，
因为 m ≥0，所以 m ＋1≥1，符合题意．