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参数方程PPT优秀课件1
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
y
cos 2
（ 为参数）
的普通方程是 y 1 2x2x[1,1] .
y c o s2 1 2 s in 2 1 2 x 2
典型例题—参数方程与普通方程的互化
例2.
（1）设 y t 1, t为参数,曲线y2xy10
的参数方程是.源自t2 3t点椭圆
x2 a2
y2 b2
1(ab0)的参数方程：
x a cos ,
y
b
sin
(为参数).
知
识
二、参数方程与普通方程的互化
要
点
1.将所给的参数方程化为普通方程的过程，就是
消去参数的过程.但不要忘了参数的范围！
2.引入适当的参数，将普通方程化为参数方程. 普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的 参数不同，所得的参数方程也不一样.
4 1 + s i n 2
,
1 6 < |P A ||P B |< 4 . 7
典型例题—曲线上的点到定点或定直线的距离
例4设直线l:x2y20，交椭圆C: x2 y2 1
94
于 A , B 两点，在椭圆C 上找一点 P ，使 ABP
面积最大 . 分析：因为三角形一边AB为定值，故只需
高二数学选修4-4
y
cos 2
（ 为参数）
的普通方程是 y 1 2x2x[1,1] .
y c o s2 1 2 s in 2 1 2 x 2
典型例题—参数方程与普通方程的互化
例2.
（1）设 y t 1, t为参数,曲线y2xy10
的参数方程是.源自t2 3t点椭圆
x2 a2
y2 b2
1(ab0)的参数方程：
x a cos ,
y
b
sin
(为参数).
知
识
二、参数方程与普通方程的互化
要
点
1.将所给的参数方程化为普通方程的过程，就是
消去参数的过程.但不要忘了参数的范围！
2.引入适当的参数，将普通方程化为参数方程. 普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的 参数不同，所得的参数方程也不一样.
4 1 + s i n 2
,
1 6 < |P A ||P B |< 4 . 7
典型例题—曲线上的点到定点或定直线的距离
例4设直线l:x2y20，交椭圆C: x2 y2 1
94
于 A , B 两点，在椭圆C 上找一点 P ，使 ABP
面积最大 . 分析：因为三角形一边AB为定值，故只需
高二数学选修4-4
参数方程优秀课件
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
例4、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3cos y 3sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
r
P 1(x 1, y 1)
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
x a r cos 所以 y b r sin
-5
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
２、圆的参数方程
x a r cos y b r sin
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
2.参数方程与普通方程的概念 3.参数方程与普通方程的互化
4.应用 5. 小结
（1）轨迹问题 （2）求最值
思考1：圆心为原点，半径为r 观察1 的圆的参数方程是什么呢？ 如果点 P 的坐标为 ( x ,y ), 圆半径为 r , P OP 0 ,根据三角函数定义 ,点 P 的横坐标 x 、 纵坐标 y 都是 的函数 ,即 r o x r cos ① y r sin
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
例4、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3cos y 3sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
r
P 1(x 1, y 1)
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
x a r cos 所以 y b r sin
-5
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
２、圆的参数方程
x a r cos y b r sin
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
2.参数方程与普通方程的概念 3.参数方程与普通方程的互化
4.应用 5. 小结
（1）轨迹问题 （2）求最值
思考1：圆心为原点，半径为r 观察1 的圆的参数方程是什么呢？ 如果点 P 的坐标为 ( x ,y ), 圆半径为 r , P OP 0 ,根据三角函数定义 ,点 P 的横坐标 x 、 纵坐标 y 都是 的函数 ,即 r o x r cos ① y r sin
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
参数方程ppt课件演示文稿
＋( 10cos α)t＋32＝0，设 M、N 对应的参数分别为 t1、t2，而由参数 t 的几何意义得|PM|
(t 为
参数)．
思路点拨：参数方程通过消去参数可以化为普通方程．对于(1)直接消去参数 k 有困难， 可通过两式相除，先降低 k 的次数，再运用代入法消去 k；对于(2)可运用恒等式(sin θ＋cos θ)2 ＝1＋sin 2θ 消去 θ；对于(3)可运用恒等式(11－＋tt22)2＋(1＋2t t2)2＝1 消去 t.
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的 消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数 的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如 sin2θ＋cos2θ＝1 等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．
【例 2】 (2010 年苏、锡、常、镇模拟)已知曲线 C 的方程 y2＝3x2－2x3，设 y＝tx，t 为 参数，求曲线 C 的参数方程．
4．直线
l
的参数方程为x＝t＋3 y＝3－t
，(参数
t∈R)，圆
C
的参数方程为x＝2cos y＝2sin
θ θ＋2
(参
数 θ∈[0,2π))，则圆心到直线 l 的距离为________．
解析：参数方程化为普通方程分别为 l：x＋y＝6，C：x2＋(y－2)2＝4，所以圆心(0,2) 到直线的距离 d＝ 4 ＝2 2.
y 解：(1)两式相除，得 k＝2yx，将其代入，得 x＝1＋3·22yxx2， 化简得所求的普通方程是 4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得 y2＝2－x.又 x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为 y2＝2－x，x∈[0,2]． (3)由(11－ ＋tt22)2＋(1＋2tt2)2＝1，得 x2＋4y2＝1， 又 x＝11－＋tt22≠－1，得所求的普通方程是 x2＋4y2＝1(x≠－1)．
【公开课课件】《椭圆的参数方程》课件
椭圆的参数方程
x a cos （ 为参数 ） 0,2 y b sin
练习
x 2 3 cos P是椭圆 （ 为参数）上一点， y 2 sin
OP的倾斜角为 4 ，则点P的坐标为（ (B) (A) ）
(A) ( 6 , 2 ) (C) (2 3, 3) (B) ( 3, 3 ) (D) (4,3)
y M B A
A，B，M三点固定，设 MBx |AM|=a，|BM|=b，
M 0
B A
x
设M(x,y)则x=acos ,y=bsin ,
。 所以M点的轨迹为椭圆。
例题与练习
例1、把下列参数方程化为普通方程
x 3cos , （1） y 5sin .
x 8cos , （2） y 6sin .
x2 例３ 点P在椭圆 y 2 1 上运动，直线x+2y4
2=0交椭圆于点A、B，问P处于何处时，P到直线
的距离最大？
y A P O B x
例3
已知椭圆 ，点P(x,y)是椭圆 上一点， ⑴求x2＋y2的最大值与最小值； ⑵求3x＋5y的范围；⑶若四边形ABCD内接于 椭圆，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4， 求四边形ABCD的最大面积。 ⑴方法一（参数法） 方法二（消元法）要注意元的范围22 ⑵参数法，化归法（转化为直线与椭圆有交 点，从而消元所得的一元二次方程的Δ≥0 ⑶ 关键：求出B、D到直线AC的最大距离.
说明：
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.
高中数学选修4-4第二讲——参数方程 精品优选公开课件
坐标.
x 3 2cos
y
4
2sin
PA2PB2
( 4 2 c) 2 o ( 4 s 2 s) i 2 ( n 2 2 c) 2 o ( 4 s 2 s) i 2
6 0 8 (3 c o 4 ssi)n
6 04s0in ()
练习
1、曲线
x y
1 t2 (t为参数）与x轴的交点坐标是(
4t 3
B
)
A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(±25/16, 0)
2、方程xy csions(为参数)所表示的曲线上一点的坐标是( D ) A(2，7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0)
圆周运动中，当物 体绕定轴作匀速运动 时，物体上的各个点 都作匀速圆周运动，
怎样刻画运动中点 的位置呢？
y
M(x, y)
r
M0
o
x
如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x, y)， 那么θ=ωt. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有
cost x,sint y
r
r
即
xrcost yrsint
1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数
2.三角法：利用三角恒等式消去参数
3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征, 整体上消去
化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中 注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值 范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。
(1)求
y x
的最小值与最大值
(2)求x－y的最大值与最小值
参数方程的概念优秀课件
一
曲线的参数方程
1．参数方程的概念
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
投放点
分析： 即求飞行员在离救援点
的水平距离多远时，开始投 放物资？
？ 救援点
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y
x 100t,
500
M(x,y)
y
500
1 2
gt
2.
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资,
以点 B(5,4)也在曲线上．把点 E(3,2)的坐标代入方程组，得到
3＝t2＋1， 2＝2t，
即tt＝ ＝±1. 2，
故方程组无解，所以点 E 不在曲线上．
(2)因为点 F(10，a)在曲线 C 上，
所以1a＝ 0＝2tt2，＋1， 解得ta＝＝36， 或at＝＝－－36，， 所以 a＝±6.
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲 线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方 法是一致的．
参数方程表示的曲线上的点
[例 1] 已知曲线 C 的参数方程为xy＝＝2t2t＋1， (t 为参数)． (1)判断点 A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)与曲线 C 的位置关系； (2)若点 F(10，a)在曲线 C 上，求实数 a 的值．
[解] (1)把点 A(1,0)的坐标代入方程组，解得 t＝0，所以点 A(1,0)在曲线上．把点 B(5,4)的坐标代入方程组，解得 t＝2，所
曲线的参数方程
1．参数方程的概念
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
投放点
分析： 即求飞行员在离救援点
的水平距离多远时，开始投 放物资？
？ 救援点
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y
x 100t,
500
M(x,y)
y
500
1 2
gt
2.
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资,
以点 B(5,4)也在曲线上．把点 E(3,2)的坐标代入方程组，得到
3＝t2＋1， 2＝2t，
即tt＝ ＝±1. 2，
故方程组无解，所以点 E 不在曲线上．
(2)因为点 F(10，a)在曲线 C 上，
所以1a＝ 0＝2tt2，＋1， 解得ta＝＝36， 或at＝＝－－36，， 所以 a＝±6.
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲 线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方 法是一致的．
参数方程表示的曲线上的点
[例 1] 已知曲线 C 的参数方程为xy＝＝2t2t＋1， (t 为参数)． (1)判断点 A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)与曲线 C 的位置关系； (2)若点 F(10，a)在曲线 C 上，求实数 a 的值．
[解] (1)把点 A(1,0)的坐标代入方程组，解得 t＝0，所以点 A(1,0)在曲线上．把点 B(5,4)的坐标代入方程组，解得 t＝2，所
人教A版高中数学选修4-4直线的参数方程 名师公开课市级获奖课件(24张)
预习导学
课堂讲义
当堂检测
跟踪演练 3 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 2 x＝3－ 2 t， (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相 y＝ 5＋ 2t 2 同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴) 中，圆 C 的方程为 ρ＝2 5sin θ .
预习导学 课堂讲义 当堂检测
[预习导引] 直线的参数方程
经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为
α α
π ≠ 2 的直线 l 的参数方程为
(t 为参数)，其中参数 t 的几何意义是：|t|是直线 → l 上任一点 M(x，y)到点 M (x ，y )的距离，即|t|＝|M M|.
1 x＝1＋2t， 解析 由题意可得直线 l 的参数方程为 (t 为参数)， y＝5＋ 3t 2 1 3 代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋ t－5＋ t－2＝0，解得 2 2 t＝－6( 3＋1).根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1).
答案 6( 3＋1)
直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同，过定点
x＝x0＋at， b M0(x0，y0)，斜率为a的直线的参数方程是 (a、b 为 y ＝ y ＋ bt 0
常数，t 为参数).
预习导学
课堂讲义
当堂检测
π 跟踪演练 1 直线 l 经过点 M0(1，5)，倾斜角为 3 ，且交直线 x －y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
同一条直线，则 λ 与 t 的关系是(
)
A.λ＝5t C.t＝5λ
B.λ＝－5t D.t＝－5λ
解析 由x－x0，得－3λ＝tcos α，由y－y0，得4λ＝tsin α，消
参数方程 课件(共29张PPT)
解:根据题意,作出如图所示的单位圆.所要求的函数 f(θ)＝
sin cos
θθ－－12的最大值与最小值,就转化为求动点
P
与定点(2,1)
连线的斜率的最大值与最小值.从图可以得知,当直线 PM
和圆相切时,分别得到其最大值与最小值.设直线 PM 的斜
率为 k,所以,其方程为:y－1＝k(x－2),即 kx－y＋1－2k＝0.
2α(0＜α＜2π),M 为 PQ 的中点.
(1)求 M 的轨迹的参数方程;
(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的
轨迹是否过坐标原点.
【解】 (1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此 M(cos α＋cos 2α,sin α＋sin 2α).
2π).
(1)x2＋y2＝(－1＋2cos θ)2＋( 3＋2sin θ)2 ＝4( 3sin θ－cos θ)＋8＝8sin(θ－π6)＋8, ∴当 θ－π6＝π2,即 θ＝23π时,(x2＋y2)max＝16. (2)x＋y＝2(sin θ＋cos θ)＋ 3－1 ＝2 2sin(θ＋π4)＋ 3－1, ∴当 θ＋π4＝32π,即 θ＝54π时, (x＋y)min＝ 3－2 2－1.
变式训练
1.(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参 数方程为yy＝＝2t＋t 1， (t 为参数),曲线 C 的参数方程为
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,
并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线 l 的参数方程为xy＝＝2t＋t 1 (t 为参数),由 x＝t＋ 1,得 t＝x－1,代入 y＝2t,得到直线 l 的普通方程为 2x－y－2 ＝0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2＝2x. 联立方程组yy＝2＝22xx－1 ,解得公共点的坐标为(2,2),(12,－ 1).
直线和圆的参数方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
即x x0 , y y0 tcos,sin ,
所以 x x0 t cos , y y0 t sin ,
即 x x0 t cos , y y0 t sin ,
所以,经过点 M 0 x0 , y0 ,倾斜角为 的直线
l 的参数 方程是为
x x0 t cos , y y0 t sin .
t2 2
0, 即
cos 2sin 0,于是直线l的斜率为
1
k tan 2 .
因此,
直线l的方程是y
1
1 2
x
2,
即 x 2 y 4 0.
思考 例2的解法对一般圆锥曲线 适用吗?把 "中点"改为"三等分点",直线l的方程怎样求 ?
例5 当前台风中心 P 在某海滨
城市O向东 300km处生成, 并以40
到A，B两点旳距离之积．
解：(1)直线旳参数方程是
x＝1＋
3 2t
y＝1＋12t
(t 是参数)．
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 A1＋ 23t1，1＋12t1，B1＋ 23t2，1＋21t2. 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4， 整理得到 t2＋( 3＋1)t－2＝0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
方向向量 e 的方向总是向上.此时,若 t 0, 则 M 0M 的方向向上;若t 0,则 M 0M 的方 向向下;若 t 0,则点M与点M 0重合.
【基本题型】
例1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线
参数方程ppt课件
考虑多种情况
注意单位的统一
在求解参数方程时，需要注意单位的 统一，避免出现单位不匹配的情况。
对于某些参数方程，可能需要考虑多 种情况，分别进行讨论和求解。
03 参数方程的应用实例
物理中的参数方程应用
总结词
描述物理中参数方程的应用，如行星运动、电磁波传播等。
详细描述
在物理学中，参数方程被广泛应用于描述各种现象，如行星运动轨迹、电磁波 传播路径等。这些参数方程通过引入一些变化的参数，能够精确地描述物理量 之间的关系，帮助我们更好地理解物理规律。
参数方程在其他领域的应用将有助于 推动相关领域的技术进步和理论发展 。
随着科技的发展，参数方程在数据科 学、机器学习等领域的应用也将逐渐 增多，为解决实际问题提供更多思路 和方法。
如何提高参数方程的应用水平
加强数学教育和普及工作，提高公众对参数方程的认识和理解，培养更多的数学人才和应用 型人才。
加强学科交叉和合作，促进参数方程与其他学科的融合和应用，共同推动相关领域的发展。
理解。
参数方程与线性代数的关联
参数方程可以用于描述线性代 数中的向量和矩阵的变化规律 。
通过参数方程，可以理解线性 变换的概念，以及矩阵的运算 和性质。
参数方程在解决线性代数问题 中也有一定的应用，例如求解 线性方程组、矩阵的逆和行列 式等。
参数参数方程与复变函数的关系
复变函数是一种描述复数域上的函数的方法，而参数方程可以用于描述复数域上的 函数的变化规律。
参数方程ppt课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 参数方程的基本概念 • 参数方程的求解方法 • 参数方程的应用实例 • 参数方程与其他数学知识的关联 • 参数方程的未来发展与展望
01 参数方程的基本概念
相关主题
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x 100t , 1 2 （1） y 500 gt . 2
x f (t ), y g (t ).
（2）
关于参数的几点说明： 1.参数是联系变数x,y的桥梁, 2.参数方程中参数可以有物理意义, 几 何意义, 也可以没有明显意义。 3.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方 程形式不一样，复杂程度也不一样。 4.在实际问题中要确定参数的取值范围
X，y没有直接关系，也就是 说我们找不到标准方程了。 怎么办？
y 500
100m/s
思考，用 化归法
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运 动合成： （1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。
o
x
y 500
解：设物资出舱后t时刻，水平 位移为x，垂直高度为y，则有
找准参数后，可以大大简化方程
缺点
有些曲线的参数不好找
Y
A B θ N P M
O
如图以原点为圆心，分别以a、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B是大 圆半径OA与小圆的交点，过点A作 AM⊥Ox，垂足为M，过点B作BP⊥AM， 垂足为P，求当半径OA绕O旋转时点P X 的轨迹的参数方程。 分析： 设点P的坐标是( x，y)，是以Ox为始边， 为终边的正角，取 为参数
认知目标： 1. 弄清曲线参数方程的概念 2. 能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 3.化参数方程为普通方程
情感目标： 一个好的朋友，是一剂良药
能力目标： 善于发现两个不同事物之间的关系，并利用这个 关系将两个事物结合。
Y
这是一个圆，就找圆的标准方程， 圆心坐标以及半径：
2 （x a） ( y b) 2 R 2
关系，并利用这个关系将两个事物结合。
《专业数学》P94 课后习题：1、2
R=5
（a,b）=(4,2),R=5
O(4,2) O X
2 （x 4） ( y 2)2 52
这种方程统称为曲线的普通方程
思考： 谁告诉你这是一个圆的。如果我们一开 始不知道这是一个圆，那该怎么办
引例：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞 行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应离救援点的 水平距离多远时，开始投放物资？
2、普通方程与参数方程的比较：
普通方程 曲线上点M（x,y)直接满足方 程f (x , y) =0时；方程f (x , y) =0就是曲线的普通方程。
参数方程
当方程中x与y之间的关系不易发 现时，可通过一个参数寻找他们 的关系，为参数方程。
用法
比喻
自由恋爱
红娘介绍
优点
直接，简单，方便 有些曲线方程较复杂，甚至 无解
学生练习：
请思考，用三角函数的知识将 下列参数方程转化为普通方程。
x a cos y b sin
认知目标： 1. 曲线参数方程的概念 2. 如何求简单曲线的参数方程 3.如何化参数方程为普通方程
转化方法一：简单的参数方程可用代入法消去参数 1、分别找 1、有参数 x、y与参数的关系。 情感目标：一个好的朋友，是一剂良药 2、联立方程组 2、一一对应 转化方法二：含有三角函数的参数方程，可用相关 能力目标：善于发现两个不同事物之间的 三角公式消除
作BN⊥Ox
Y
A B θ N
P(X,y)
X M
O O
x OM | OA | cos y PM BN | OB | sin x a cos ∴ (1) y b sin
参数方程出来了，然后如何将 参数方程改写为普通方程
3、化参数方程为普通方程：
转换思想：参数方程和普通方程是曲线的两种不同形式，只要能 把参数方程的参数去掉，就得到了普通方程。 转化方法一：简单的参数 方程可用代入法消去参数
x 100t , 1 2 y 500 gt . 2
转化方法二：含有三角 函数的参数方程，可用 相关三角公式消除
代入消元
x a cos y b sin
三角函数公式
1 x 2 y 500 g ( ) 2 100
普通方程是什么， 用作课堂练习。
化下面参数方程为普通方 程，并指明方程所表示的曲线 类型和形状
1 2 x t 2 1 y t 4
解：由（2）式得
t x (4 y)2 1 y x 即 8
1 2 2
它表示顶点在原点，对称轴为 x轴，焦点在（1/32,0）开口 向右的抛物线
x 100t , 令y 0, 1 2 y 500 gt . 得t 10.10s. 2 代入x 100t , 得 x 1010m.
o
x
答案我们算出来了，这个曲线的 方程我们得到了吗？
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标（x, y）都可 以表示为某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定 的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系 x,y之间关系的变数t叫做参变数, 简称参数.
x f (t ), y g (t ).
（2）
关于参数的几点说明： 1.参数是联系变数x,y的桥梁, 2.参数方程中参数可以有物理意义, 几 何意义, 也可以没有明显意义。 3.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方 程形式不一样，复杂程度也不一样。 4.在实际问题中要确定参数的取值范围
X，y没有直接关系，也就是 说我们找不到标准方程了。 怎么办？
y 500
100m/s
思考，用 化归法
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运 动合成： （1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。
o
x
y 500
解：设物资出舱后t时刻，水平 位移为x，垂直高度为y，则有
找准参数后，可以大大简化方程
缺点
有些曲线的参数不好找
Y
A B θ N P M
O
如图以原点为圆心，分别以a、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B是大 圆半径OA与小圆的交点，过点A作 AM⊥Ox，垂足为M，过点B作BP⊥AM， 垂足为P，求当半径OA绕O旋转时点P X 的轨迹的参数方程。 分析： 设点P的坐标是( x，y)，是以Ox为始边， 为终边的正角，取 为参数
认知目标： 1. 弄清曲线参数方程的概念 2. 能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 3.化参数方程为普通方程
情感目标： 一个好的朋友，是一剂良药
能力目标： 善于发现两个不同事物之间的关系，并利用这个 关系将两个事物结合。
Y
这是一个圆，就找圆的标准方程， 圆心坐标以及半径：
2 （x a） ( y b) 2 R 2
关系，并利用这个关系将两个事物结合。
《专业数学》P94 课后习题：1、2
R=5
（a,b）=(4,2),R=5
O(4,2) O X
2 （x 4） ( y 2)2 52
这种方程统称为曲线的普通方程
思考： 谁告诉你这是一个圆的。如果我们一开 始不知道这是一个圆，那该怎么办
引例：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞 行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应离救援点的 水平距离多远时，开始投放物资？
2、普通方程与参数方程的比较：
普通方程 曲线上点M（x,y)直接满足方 程f (x , y) =0时；方程f (x , y) =0就是曲线的普通方程。
参数方程
当方程中x与y之间的关系不易发 现时，可通过一个参数寻找他们 的关系，为参数方程。
用法
比喻
自由恋爱
红娘介绍
优点
直接，简单，方便 有些曲线方程较复杂，甚至 无解
学生练习：
请思考，用三角函数的知识将 下列参数方程转化为普通方程。
x a cos y b sin
认知目标： 1. 曲线参数方程的概念 2. 如何求简单曲线的参数方程 3.如何化参数方程为普通方程
转化方法一：简单的参数方程可用代入法消去参数 1、分别找 1、有参数 x、y与参数的关系。 情感目标：一个好的朋友，是一剂良药 2、联立方程组 2、一一对应 转化方法二：含有三角函数的参数方程，可用相关 能力目标：善于发现两个不同事物之间的 三角公式消除
作BN⊥Ox
Y
A B θ N
P(X,y)
X M
O O
x OM | OA | cos y PM BN | OB | sin x a cos ∴ (1) y b sin
参数方程出来了，然后如何将 参数方程改写为普通方程
3、化参数方程为普通方程：
转换思想：参数方程和普通方程是曲线的两种不同形式，只要能 把参数方程的参数去掉，就得到了普通方程。 转化方法一：简单的参数 方程可用代入法消去参数
x 100t , 1 2 y 500 gt . 2
转化方法二：含有三角 函数的参数方程，可用 相关三角公式消除
代入消元
x a cos y b sin
三角函数公式
1 x 2 y 500 g ( ) 2 100
普通方程是什么， 用作课堂练习。
化下面参数方程为普通方 程，并指明方程所表示的曲线 类型和形状
1 2 x t 2 1 y t 4
解：由（2）式得
t x (4 y)2 1 y x 即 8
1 2 2
它表示顶点在原点，对称轴为 x轴，焦点在（1/32,0）开口 向右的抛物线
x 100t , 令y 0, 1 2 y 500 gt . 得t 10.10s. 2 代入x 100t , 得 x 1010m.
o
x
答案我们算出来了，这个曲线的 方程我们得到了吗？
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标（x, y）都可 以表示为某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定 的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系 x,y之间关系的变数t叫做参变数, 简称参数.