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圆周运动等效重力场问题

B圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律最高点最低点（平衡位置）速度最大、拉力最大临界最高点：重力提供向心力，速度最小等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向②在复合场中找出等效最低点、最高点。

最高、低点：T与等效重力共线③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理例1：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A处放一质量为m的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求及运动过程中的最大拉力变式1：如图所示，ABCD为表示竖立放在场强为E=104V/m的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A为水平轨道的一点，而且把一质量m=100g、带电q=10－4C的小球，放在水平轨道的A点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。

（g=10m/s2）求：（1）它到达C点时的速度是多大？（2）它到达C点时对轨道压力是多大？（3）小球所能获得的最大动能是多少？VCY例2：在水平方向的匀强电场中，用长为L的轻质绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，小球静止在A处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至B点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D时的速度大小变式2：质量为的m小球连在穿过光滑水平面上的小孔的绳子末端,使小球在平面内绕O点做半径为a圆周运动,线速度为v（1）求此时绳子上的拉力（2）若将绳子瞬间放松后又拉直，将做半径为b的圆周运动，求放松时间（3）小球做半径为b的圆周运动时绳子的拉力+练习1：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O，用一根长度的绝缘细绳把质量为、带有正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细绳与竖直方向的夹角为。

重力场中圆周运动

gL V 51≥∴gLmM m v 20+≤∴gLV 22≤gL mMm v 50+≥∴[P14.] (一).重力场中的圆周运动问题例1．长L 的轻绳一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球,现使小球在竖直平面内作圆周运动,小球通过最低点和最高点时所受的绳拉力分别为T 1和T 2(速度分别为v 0和v ).求证：(1)T 1－T 2＝6mg (2)gL v 50≥证明：(1)由牛顿第二定律，在最低点和最高点分别有： T 1－mg ＝m v 02/L ① T 2＋mg ＝m v 2/L ②T 1－T 2＝2mg ＋(m/L )(v 02－v 2) ③由机械能守恒得：m v 02/2＝m v 2/2＋mg2L ，得：v 02－v 2＝4g L ④由③、④两式得：T 1－T 2＝6mg (2) 由②式知，由于绳拉力T 2≥0，可得gL v ≥代入④式得：gL v 50≥[P15.]例2、如图示,M 为悬挂在竖直平面内某一点O 的木质小球，（可以看作质点）悬线长为L ，质量为m 的子弹以水平初速v0射入球在中而未穿出,要使子弹射入小球后，小球能在竖直平面内运动，悬线始终不发生松弛,求子弹的初速度v0的大小应满足的条件（不计空气阻力）解：若小球能在竖直平面内作圆周运动，到最高点的速度为V m 1V 2 / L ≥ m 1 g 式中m 1 =(M+m)由机械能守恒定律 1/2 m 1V 2+m 1g ×2L= 1/2 m 1V 12由动量守恒定律 m v 0 = (M+m) V 1若小球只能在下半个圆周内作摆动 1/2 m 1V 22 =m 1gh ≤m 1gL[P16.]2005广东物理卷14．（12分）如图11所示，半径R=0.40m 的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A 。

一质量m=0.10kg 的小球，以初速度v 0=7.0m/s 在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s 2的匀减速直线运动，运动4.0m 后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C 点。

等效法处理电场中的圆周运动

例1 光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为m g 33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v .例2如图所示，半径R = 0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直平面内，加上某一方向的匀强电场时，带正电的小球沿轨道内侧做圆周运动．圆心O 与A 点的连线与竖直成一角度θ，在A 点时小球对轨道的压力N = 120N ，此时小球的动能最大．若小球的最大动能比最小动能多32J ，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）．则：（1）小球的最小动能是多少？（2）小球受到重力和电场力的合力是多少？（3）现小球在动能最小的位置突然撤去轨道，并保持其他量都不变，若小球在0.04s 后的动能与它在A 点时的动能相等，求小球的质量．例3、如图12所示为一真空示波管的示意图，电子从灯丝K 发出（初速度可忽略不计），经灯丝与A 板间的电压U 1加速，从A 板中心孔沿中心线KO 射出，然后进入两块平行金属板M 、N 形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入M 、N 间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P 点。

已知M 、N 两板间的电压为U 2，两板间的距离为d ，板长为L ，电子的质量为m ，电荷量为e ，不计电子受到的重力及它们之间的相互作用力。

（1）求电子穿过A 板时速度的大小；（2）求电子从偏转电场射出时的侧移量；（3）若要使电子打在荧光屏上P 点的上方，可采取哪些措施？1、解析：小球同时受到重力和电场力作用，这时也可以认为小球处在等效重力场中. 小球受到的等效重力为mg mg mg G 332)33()(22=+=' 等效重力加速度g m G g 332='=' 与竖直方向的夹角︒=30θ，如图甲所示.所以B 点为等效重力场中轨道的最高点，由题意，小球刚好能做完整的圆周运动，小球运动到B 点时的速度R g v B '=在等效重力场中应用机械能守恒定律22021)cos (21B mv R R g m mv ++'=θ 将g '、B v 分别代入上式，解得给小球的初速度为gR v )13(20+= 2、解：（1）、（2）小球在电场和重力场的复合场中运动，因为小球在A 点具有最大动能，所以复合场的方向由O 指向A ，在AO 延长线与圆的交点B 处小球具有最小动能E kB ．设小球在复合场中所受的合力为F ，则有；Rv m F N A 2=- 即：4.08.01202kA A E v m F ==- 带电小球由A 运动到B 的过程中，重力和电场力的合力做功，根据动能定理有：-F 2R = E KB -E KA = -32由此可得：F = 20N ，E KB =8J即小球的最小动能为8J ，重力和电场力的合力为20N ．（3）带电小球在B 处时撤去轨道后，小球做类平抛运动，即在BA 方向上做初速度为零的匀加速运动，在垂直于BA 方向上做匀速运动．设小球的质量为m ，则：2R = 12 F mt 2 得：m = Ft 24R= 0.01kg图甲3解：（1）设电子经电压U l加速后的速度为v0，由动能定理得解得：（2）电子以速度v0进入偏转电场后，垂直于电场方向做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，设偏转电场的电场强度为E，电子在偏转电场巾运动的时间为t，加速度为a，电子离开偏转电场时的侧移量为y，由牛顿第二定律和运动学公式得，，。

“等效法”巧解复合场的圆周运动问题

“等效法”巧解复合场的圆周运动问题
摘要:
物理教学中，等效法是常用的一种方法，等效法是从效果等同出发研究物理现象和物理过程的一种科学方法。

等效的概念在中学物理中应用很广。

例如，力的合成和分解，运动的合成与分解，热功当量，电路的总电阻，交流电的有效值等；他们的计算都是应用等效法得出的。

带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是高中物理教学中一类重要而典型的题型。

对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。

若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。

所谓“等效法”就是先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将α=F合/m 视为“等效重力加速度”。

再将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解即可。

下面通过两个实例分析说明“等效法”在此类问题中的应用。

等效重力场法(静电场)

m
v2 2 R
T2 6mg
R
B
拓展一
如果加上场强为E，方向竖直向上的匀强电场，而且小球带正电，电量大小为q，且Eq>mg,刚好能在竖直平面内做圆周运动。（1）小球在什么位置速度最小，为多少，此时绳的拉力为多大？（2）小球在什么位置速度最大，为多少，此时绳的拉力为多大？ Eq
分析：等效重力场：重力场、匀强电场叠加而成的复合场等效重力：重力和电场力的合力等效重力加速度：等效重力与物体质量的比值

(Eq

mg)2R

1 2
mv12

1 2
mv22
T2

(Eq

mg
)

m
v2 2 R
v2
5(Eq mg )R m
T2 6(Eq mg )
拓展二
如果将电场的方向改为水平向右，且Eq=mg,此时（1）小球在什么位置速度最小，为多少，此时绳的拉力为多大？（2）小球在什么位置速度最大，为多少，此时绳的拉力为多大？
B点: 等效“最低点” A点：等效“最高点”
A
T
Eq
B
G
G'
解题步骤：等效重力 G' 2mg
解：（1）小球在A点速度最小。
2mg m v12 R
v1
2gR T1 0
（2）小球在B点速度最大。
动能定理

2mg.2R

1 2
mv12

1 2
mv22
v2
5 2gR
T2
2mg m v22 R
等效重力场法
【知识回顾】
用长为R的细线栓一个质量为m的小球，刚好能在竖直平面内做圆周运动。求：（1）小球在什么位置速度最小，为多少，此时绳的拉力为多大？（2）小球在什么位置速度最大，为多少，此时绳的拉力为多大？

“等效重力场”模型(解析版)--2024届新课标高中物理模型与方法

2024版新课标高中物理模型与方法“等效重力场”模型目录一.“等效重力场”模型解法综述二．“等效重力场”中的直线运动模型三．“等效重力场”中的抛体类运动模型四．“等效重力场”中的单摆类模型五．“等效重力场”中的圆周运动类模型一.“等效重力场”模型解法综述将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法．中学物理中常见的等效变换有组合等效法(如几个串、并联电阻器的总电阻)；叠加等效法(如矢量的合成与分解)；整体等效法(如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动)；过程等效法(如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能)“等效重力场”建立方法--概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系．具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二．“等效重力场”中的直线运动模型【运动模型】如图所示，在离坡底为L的山坡上的C点树直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A到坡底B之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30º．若物体从A点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间．(g=10m/s2，sin37º=0.6，cos37º=0.8)因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向．建立“等效重力场”如图所示“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角30°，大小：g =gcos30°带电小球沿绳做初速度为零，加速度为g 的匀加速运动S AB=2L cos30° ①S AB=12g t2 ②由①②两式解得t=3L g“等效重力场”的直线运动的几种常见情况匀速直线运动匀加速直线运动匀减速直线运动1如图所示，相距为d的平行板A和B之间有电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场．电场中C点距B板的距离为0.3d，D点距A板的距离为0.2d，有一个质量为m的带电微粒沿图中虚线所示的直线从C点运动至D点，若重力加速度为g，则下列说法正确的是()A.该微粒在D点时的电势能比在C点时的大B.该微粒做匀变速直线运动C.在此过程中电场力对微粒做的功为0.5mgdD.该微粒带正电，所带电荷量大小为q=mg E【答案】　C【解析】　由题知，微粒沿直线运动，可知重力和电场力二力平衡，微粒做匀速直线运动，微粒带负电，B、D 错误；微粒从C点运动至D点，电场力做正功，电势能减小，A错误；此过程中电场力对微粒做的功为W= Fx=mg(d-0.3d-0.2d)=0.5mgd，C正确．2(2023·全国·高三专题练习)AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。

高考物理二轮复习等效法处理电场中的圆周运动专题测试

班级姓名座号“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系及其规律。

具体如下：等效重力场⇔重力场、电场叠加而成的复合场等效重力⇔重力、电场力的合力等效重力加速度⇔等效重力与物体质量的比值等效“最低点”⇔物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”⇔物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能⇔等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律：一、在重力场中:1、临界最高点：2mvmgl=得：v gl=特点: mg 与绳的拉力在同一直线上,且方向相同2、最低点: 物体速度最大,绳的拉力最大特点: mg 与绳的拉力在同一直线上,且方向相反注意：不论最高点还是最低点，速度与合力必垂直，电场中带电粒子在竖直平面内做圆周运动：二、复合场中：1、临界状态在等效“最高点”：2'mvmgl=得：'v g l=等效“最高点”：物体速度最小，绳的拉力最小。

特点: mg 和qE的合力与绳的拉力在同一直线上,且方向相同2、等效“最低点”: 物体速度最大,绳的拉力最大特点: mg 和qE 的合力与绳的拉力在同一直线上,且方向相反注意：不论最高点还是最低点，速度与合力必垂直例1、光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A处放一质量为m的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为mg 33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v .例2如图所示，半径R = 0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直平面内，加上某一方向的匀强电场时，带正电的小球沿轨道内侧做圆周运动．圆心O 与A 点的连线与竖直成一角度θ，在A 点时小球对轨道的压力N = 120N ，此时小球的动能最大．若小球的最大动能比最小动能多32J ，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）．则：（1）小球的最小动能是多少？（2）小球受到重力和电场力的合力是多少？（3）现小球在动能最小的位置突然撤去轨道，并保持其他量都不变，若小球在0.04s后的动能与它在A 点时的动能相等，求小球的质量．练习：1、如图1所示，细线拴一带负电的小球，球处在竖直向下的匀强电场中，使小球在竖直平面内做圆周运动，则（）A．小球不可能做匀速圆周运动B．当小球运动到最高点B时绳的张力一定最小C．小球运动到最低点A时，球的线速度一定最大D．小球运动到最低点A时，电势能一定最大图1 图22、如图2所示，一个绝缘光滑半圆轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E，在其上端与圆心等高处有一个质量为m，带电荷量为+q的小球由静止开始下滑，则（）A．小球运动过程中机械能守恒 B．小球经过最低点时速度最大C．小球在最低点对环的压力大小为（mg+qE） D．小球在最低点对环的压力大小为4（mg+qE）3、如图所示，一半径为R的绝缘圆形轨道竖直放置，圆轨道最低点与一条水平轨道相连，轨道都是光滑的。

等效重力场

等效重力场专题物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。

此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。

那么，如何实现这一思想方法呢？一、概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。

具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、处理方法的迁移练习：1. 在光滑水平面上的O 点系一长为L 的绝缘细线，线的另一端系一质量为m 、带电量为q 的小球，如图所示．当沿细线方向加上场强为E 的匀强电场后，小球处于平衡状态，现给小球一垂直于细线的初速度0v ，使小球在水平面上开始运动．若0v 很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为A ．2mlqEπB ．ml qE πC ．2mlqEπD ．无法确定2. 如右图所示，在方向水平的匀强电场中，一个不可伸长的不导电细线一端连着一个质量为m 的带电小球，另一端固定于O 点．把小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放．已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为θ，若在此过程中线始终绷紧，求（1）小球经过最低点时细线对小球的拉力．（2）小球在什么位置时速度最大．3. 已知如图，匀强电场方向水平向右，场强m v E /105.16⨯=，丝线长L=40cm ，上端系于O 点，下端系质量为41.010m kg -=⨯，带电量为104.910q C -=+⨯的小球，将小球从最低点A 由静止释放，求：⑴小球摆到最高点时丝线与竖直方向的夹角多大？ ⑵摆动过程中小球的最大速度是多大？4. 如图所示，固定的半圆形绝缘光滑轨道置于正交的匀强电场和匀强磁场叠加的区域中。

等效重力场法(静电场)

TR
2021/3/9
B G
2
解题步骤
解：（1）小球在最高点A速度最小。
由于小球刚好在竖直面内做圆周运动，所以在最高点只有重力提
供向心力
mg
m
v12
R
v1 gR
此时绳的拉力最小 T1 0
A
（2）小球在最低点B速度最大。
由B到 A应用动能定理
m2gR1 2m12v1 2m22 v v2 5gR
T2
分析：等效重力场：重力场、匀强电场叠加而成的复合场等效重力：重力和电场力的合力
2021/等3/9 效重力加速度：
G T
等效“最高点”
4
解题步骤：等效重力 G' Eqmg
解：（1）小球在等效“最高点”速度最小。
由于小球刚好在竖直面内做圆周运动，所以在等效“最高点”只有
等效重力提供向心力
Eqmg
mg
mv22 R
T2 6mg
R
B
2021/3/9
3
拓展一
如果加上场强为E，方向竖直向上的匀强电场，而且小球带正电，电量大小为q，且Eq>mg,刚好能在竖直平面内做圆周运动。（1）小球在什么位置速度最小，为多少，此时绳的拉力为多大Eq？（2）小球在什么位置速度最大，为多少，此时绳的拉力等效为“多最大低点？”
等效重力场法
匀强电场和重力场复合场应用
2021/3/9
1
【知识回顾】
用长为R的细线栓一个质量为m的小球，刚好能在竖直平面内做圆周运动。求：（1）小球在什么位置速度最小，为多少，此时绳的拉力为多大？（2）小球在什么位置速度最大，为多少，此时绳的拉力为多大？
A
特点：最低点：（B点）物体自由时可以平衡的位置最高点：（A点）最低点关于圆心对称的位置

高考典型例题：等效重力场

运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的运动一、等效法将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。

中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。

具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、题型归类（1）单摆类问题（振动的对称性）例1、如图2-1所示`，一条长为L 的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡，细线与竖直线的夹角为α。

求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动，对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。

等效分析：对小球在B 点时所受恒力力分析（如图2-2），将重力与电场力等效为一个恒力，将其称为等效重力可得：αcos mgg m ='，小球就做只受“重力”mg ′与绳拉力运动，可等效为单摆运动。

规律应用：如图2-3所示，根据单摆对称运动规律可得，B 点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，当悬线与竖直线的夹角满足αβ2=，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。

高考物理一轮复习圆周运动等效重力场问题

在 C 点的圆轨道径向应用牛顿第二定律，有： NC
qE

m VC2 R
……②
解得：VC
4qER 2gR 2m / s ………③ m
NC 5qE 2mg 3N …………………………④
（3）∵mg=qE=1N
∴合场的方向垂直于 B、C 点的连线 BC，从 B 到 D 由动能定理
3
mg 3
向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型。最高点
应为等效重力方向上直径对应的点
B，则
B
点应满足“重力”当好提供向心力即： mg

mv
2 B
据动
R
能定理：

mg 2 R

1 2
mv
2 B

1 2
mv02
解得： v0
10 3gR 3
5
3
2
2
O B
300
C VC

A
VC D
Y
V D= (2 3 1)gL
变式 2：
（1）小球做半径为 a 的圆周运动，则 T= m v2 a
（2）由几何关系，S= a2 b2 vt ，得 t= a2 b2 v
（3）绳子拉紧瞬间径向速度立即消失，小球只剩切向速度 v va ，则 T ma2v2
练习 3：
E
O
R
300
图 3-1
E
N qE
R
300 mg
mg
图 3-2
B
R
O 300
图 3-3 mg
对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力 mg ，大小

等效重力场法(静电场)

解：（1）小球在A点速度最小。
2mg m v12 R
v1
2gR T1 0
（2）小球在B点速度最大。
动能定理
2mg.2R
1 2
mv12
1 2
mv22
v2
5 2gR
T2
2mg m v22 R
T2 6 2mg
5/30/2021
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【课后练习】
如图所示，在离坡顶为L的山坡上的C点竖直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A到坡底B之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m的物体穿于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角为30°．若物体从A点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没发生形变，求物体在细绳上滑行的时间．
TR
5/30/2021
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B G
解题步骤
解：（1）小球在最高点A速度最小。
由于小球刚好在竖直面内做圆周运动，所以在最高点只有重力提
供向心力
mgБайду номын сангаас
m
v12
R
v1 gR
此时绳的拉力最小 T1 0
A
（2）小球在最低点B速度最大。
由B到 A应用动能定理
mg2R
1 2
mv12
1 2
mv22
v2
5gR
效重力提供向心力 Eq mg m v12
R
v1
(Eq mg )R m
此时 T1 0
（2）小球在等效“最低点”速度最大。
动能定理
(Eq
mg)2R
1 2
mv12
1 2
mv22
T2
(Eq
mg
)

[重力场,电场,粒子]浅析带电粒子在重力场与匀强电场中的圆周运动问题

浅析带电粒子在重力场与匀强电场中的圆周运动问题当带电粒子在电场中受到静电力、重力以及其他的外力作用且有力做功时，粒子的动能将发生改变，粒子将做非匀速圆周运动，此时粒子的向心力将由这些力在圆周半径方向上的合力提供，通常利用牛顿第二定律和功能关系解决相关问题。

一、考虑重力作用，利用牛顿第二定律和功能关系求解带电粒子在匀强电场中的圆周运动带电粒子在匀强电场和重力场共同作用的场中做圆周运动的问题，是一类重要而典型的题型。

在考虑重力作用的情况下，对于带电粒子在匀强电场中的圆周运动的处理通常是利用牛顿第二定律与功能关系。

与不考虑重力的情况相比，主要是注意重力对解题的影响。

例1（1）要使小滑块能运动到半圆形轨道的最高点L，小滑块应在水平轨道上离N点多远处释放？（2）这样释放的小滑块通过P点时对轨道的压力是多大？（P为半圆形轨道的中点）解析：（1）小滑块刚能通过轨道最高点的条件是，解得。

小滑块由释放点到最高点的过程中，由动能定理得，解得（2）小滑块在从P点到最高点的过程中，由动能定理得，小滑块运动到P点时，由牛顿第二定律得，解得N=l.5N。

二、考虑重力作用，带电粒子在匀强电场中做圆周运动的等效处理（一）带电粒子在竖直面内的圆周运动带电粒子在匀强电场和重力场共同作用的场中做圆周运动时，分析在竖直面内的运动时常常会涉及一些能否会做完整的圆周运动问题，对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大，若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简洁。

“等效法”的具体内容是先求出重力与静电力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将视为“等效重力加速度”。

再将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解即可。

1.静电力与重力方向垂直，处理等效最高点问题。

例2 如图2所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角θ=30。

的斜面，AC部分为竖直平面内半径为R的圆弧轨道，斜面与圆弧图2轨道相切，整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中。

浅析带电粒子在重力场与匀强电场中的圆周运动问题

浅析带电粒子在重力场与匀强电场中的圆周运动问题作者：应德勇来源：《中学生数理化·高二高三版》2015年第03期当带电粒子在电场中受到静电力、重力以及其他的外力作用且有力做功时，粒子的动能将发生改变，粒子将做非匀速圆周运动，此时粒子的向心力将由这些力在圆周半径方向上的合力提供，通常利用牛顿第二定律和功能关系解决相关问题。

在考虑重力作用的情况下，对于带电粒子在匀强电场中的圆周运动的处理通常是利用牛顿第二定律与功能关系。

与不考虑重力的情况相比，主要是注意重力对解题的影响。

例1如图1所示，在E=1×l03V/m的水平向左的匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置，轨道与一水平绝缘轨道MN连接，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，其半径R=40cm，一带正电荷量q=l×10-4C的小滑块的质量m=40g，与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s2，求：（1）要使小滑块能运动到半圆形轨道的最高点L，小滑块应在水平轨道上离N点多远处释放？（2）这样释放的小滑块通过P点时对轨道的压力是多大？（P为半圆形轨道的中点）解析：（1）小滑块刚能通过轨道最高点的条件是，解得。

点评：轨道模型的特点是轨道对物体的作用力参与提供物体做圆周运动的向心力，但不参与做功。

“等效重力场”解答匀强电场问题

“等效重力场”解答匀强电场问题解题应用1．解直线运动例1 如图1所示，在离坡顶为l 的山坡上的C 点树直固定一根直杆，杆高也是L 。

杆上端A 到坡底B 之间有一光滑细绳，一个带电量为q 、质量为m 的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角 30=θ。

若物体从A 点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间。

（2/10s m g =，60.037sin = ，80.037cos = ）解析因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向。

建立“等效重力场”如图2所示，“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角 30，大小：30cos gg ='带电小球沿绳做初速度为零，加速度为g '的匀加速运动30cos 2L S AB = ①221t g S AB '=② 由①②两式解得gL t 3=在竖直向下的匀强电场中，以V 0初速度竖直向上发射一个质量为m 带电量为q 的带正电小球，求上升的最大高度。

重力环境对比：例2、小球以V 0初速度竖直向上抛出一个质量为m 的物体，求物体上升的最大高度。

2．解抛类运动例3 如图3所示，在电场强度为E 的水平匀强电场中，以初速度为0v 竖直向上发射一个质量为m 、带电量为+q 的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度。

解析建立等效重力场如图4所示，等效重力加速度g ' 设g '与竖直方向的夹角为θ，则θcos gg =' E图1图2v ）E图3 xyv ）其中22arcsin ）（）（mg qE qE +=θ则小球在“等效重力场”中做斜抛运动θsin 0v v x = θc o s 0v v y = 当小球在y 轴方向的速度减小到零，即0=y v 时，两者的合速度即为运动过程中的最小速度220min sin ）（）（qE mg qE v v v v x +===θ例 4 如图5-1所示，匀强电场水平向右，310=E N/C ，一带正电的油滴的质量5100.2-⨯=m kg ，电量5100.2-⨯=q C 。

等效法处理电场中的圆周运动

等效法处理电场中的圆周运动“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系及其规律。

具体如下：等效重力场 ⇔ 重力场、电场叠加而成的复合场等效重力 ⇔重力、电场力的合力等效重力加速度⇔ 等效重力与物体质量的比值等效“最低点”⇔ 物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”⇔物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能 ⇔等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律：一、在重力场中:1、临界最高点：2mv mg l=得：v = 特点: mg 与绳的拉力在同一直线上,且方向相同2、最低点: 物体速度最大,绳的拉力最大特点: mg 与绳的拉力在同一直线上,且方向相反注意：不论最高点还是最低点，速度与合力必垂直，电场中带电粒子在竖直平面内做圆周运动：二、复合场中：1、临界状态在等效“最高点”：2'mv mg l = 得：v = 等效“最高点” ：物体速度最小，绳的拉力最小。