博弈论复习题及答案

1 a 2q1 c 0 q1
（4）
式（4）对 q1 求导：
解得：
* q1
1 (a c) 2
（5）
* 此时， 1
1 (a c) 2 12 1 1 * (a c) , q* 2 q 3 (a c) 2 6
（3）将式（5）代回（3）和（4）有该博弈的子博弈完美纳什均衡：
博
题型一：纯策略纳什均衡
弈
论
1、猪圈里有一头大猪和一头小猪，猪圈的一头有一个饲料槽，另一头装有控制 饲料供应的按钮。按一下按钮就会有 10 个单位饲料进槽，但谁按谁就要付出 2 个单位的成本。谁去按按纽则谁后到；都去按则同时到。若大猪先到，大猪吃到 9 个单位，小猪吃到一个单位；若同时到，大猪吃 7 个单位，小猪吃 3 个单位； 若小猪先到，大猪吃六个单位，小猪吃 4 个单位。各种情况组合扣除成本后的支 付矩阵可如下表示 （每格第一个数字是大猪的得益， 第二个数字是小猪的得益） ： 小猪 大猪 按 按 5，1 等待 9，-1 等待 4，4 0，0
这是垄断企业 2 的反应函数。 其等利润曲线为： 2 400Q2 2Q1Q2 4Q22 在达到均衡时，有：
Q 190 50 1 4 Q 80 Q1 1 2 Q2 30
均衡时的价格为： P 400 2 (80 30) 180 两垄断企业的利润分别为：
1 380 80 2 80 30 2 802 12800 2 400 30 2 80 30 4 302 3600
均衡点可图示为：
190
企业 1 的反应线
企业 2
均衡点
0
95 企业 1
200
（2）当垄断企业 1 为领导者时，企业 2 视企业 1 的产量为既定，其反应函 数为：
8、市场进入博弈（贝叶斯均衡） 一个完全垄断企业 B 正在垄断一个行业市场， 另一个潜在的试图进入该行业的企业 A， 称 A 为进入者，B 为在位者。A 不知道 B 的成本特征，设 B 有两种可能的成本，即高成本 和低成本。两种成本情况下的博弈矩阵如表 6.1。
表 6.1 市场进入博弈 B 高成本 默认 A 进入 40,50 斗争 -10,0 默认 30,80 低成本 斗争 -10,100
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
类似地，John 选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时， Smith 选 1 的效用为： U1' 3 ( 1) ( 1) Smith 选 2 的效用为： U 2' ( 1) 3 ( 1) Smith 选 3 的效用为： U 3' ( 1) ( 1) 3
利润为： 1 39200 / 3 ， 2 25600 / 9 该均衡可用下图表示：
190
企业 1 的反应线
企业 2
Stackelberg 均衡 50 点 企业 2 的反应线
0
95 企业 1
200
企业 2 领先时可依此类推。 （3）当企业 1 为领先者时，其获得的利润要比古诺竞争下多。而企业 2 获 得的利润较少。这是因为，企业 1 先行动时，其能考虑企业 2 的反应，并以此来 制定自己的生产计划， 而企业 2 只能被动地接受企业 1 的既定产量，计划自己的 产出，这是一种“先动优势” 题型三：子博弈完美纳什均衡 5、在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为 p=a-q1-q2-q3，这里 qi 是 企业 i 的产量。每一企业生产的单位成本为常数 c。三企业决定各自产量的顺序 如下：(1)企业 1 首先选择 q1≥0；(2)企业 2 和企业 3 观察到 q1，然后同时分别 选择 q2 和 q3。试解出该博弈的子博弈完美纳什均衡。 答：该博弈分为两个阶段，第一阶段企业 1 选择产量 q1，第二阶段企业 2 和 3 观测到 q1 后，他们之间作一完全信息的静态博弈。我们按照逆向递归法对博弈 进行求解。 （1）假设企业 1 已选定产量 q1，先进行第二阶段的计算。设企业 2，3 的利润函 数分别为：
' U ' ，所以： 因为 U1 U 2 U 3 ， U1' U 2 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 1 1 11 1 1 1 ' ( 3 , 3 ,3 ), ( 3 , 3 , 3 ) 是纳什均衡，策略值分别为 John：U 3 ；Smith：U 3 。
1 8 9 9 4 3 7 7
据说是去年考了的原题！ 3、Smith 和 John 玩数字匹配游戏，每个人选择 1、2、3，如果数字相同， John 给 Smith 3 美元，如果不同，Smith 给 John 1 美元。 （1）列出收益矩阵。 （2）如果参与者以 1/3 的概率选择每一个数字，证明该混合策略存在一个 纳什均衡，它为多少？ 答： （1）此博弈的收益矩阵如下表。该博弈是零和博弈，无纳什均衡。 John 2 -1，1 3，-3 -1，1
纳什均衡。 7、在Bertrand价格博弈中，假定有n个生产企业，需求函数为P=a-Q，其中P是市 场价格，Q是n个生产企业的总供给量。假定博弈重复无穷多次，每次的价格都立 即被观测到，企业使用“触发策略”(一旦某个企业选择垄断价格，则执行“冷 酷策略”)。 求使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子δ是多少。 并请解释δ与n的关系。 分析：此题可分解为3个步骤 （1）n个企业合作，产量总和为垄断产量，价格为垄断价格，然后平分利润。 （2）其中一个企业采取欺骗手段降价，那个这家企业就占有的全部市场，获得
i (s) max Pi (s i , si ) =5,Pi(s*)=4，Pi(s )=1。若存在子博弈完美纳什均衡，必须满
s i Si
c
足：
i (s* ) Pi (s* ) 5 4 1 ，即只有当贴现因子 >1/4 时，才存在子博弈完美 i (s* ) Pi (s c ) 5 1 4
max[400 2(Q1 Q2 )]Q1 20Q1 190 Q2 Q1 2
这是垄断企业 1 的反应函数。 其等利润曲线为： 1 380Q1 2Q1Q2 2Q12 对垄断企业 2 来说：
2 max[400 2(Q1 Q2 )]Q2 2Q2 Q1 Q2 50 4
题型二：混合策略的纳什均衡 2、求出下面博弈的纳什均衡(含纯策略和混合策略)。 乙 L R U 5,0 0,8 甲 D 2,6 4,5 由划线法易知，该矩阵博弈没有纯策略 Nash 均衡。 可得如下不等式组 Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1 可得混合策略 Nash 均衡(( , ),( , )
不进入
0,300
0,300
0, 400
假定 B 知道进入者 A 的成本为高成本，且与 B 为高成本时的成本相同。假若信息是完 全的，则当 B 为高成本时，唯一的精炼纳什均衡为（进入，默认） ，另一纳什均衡（不进入， 斗争）是含有不可置信的威胁。当 B 为低成本时，唯一的纳什均衡为（不进入，斗争） ，即 若 A 进入行业，具有低成本优势的 B 将通过降低价格将 A 逐出市场。由于存在行业进入成 本，所以 A 被逐出市场后将有净的 10 单位进入成本的损失。 当 A 不知道 B 的成本情况时， 他的选择将依赖于他对 B 的成本类型的主观概率或先验 概率密度。 设 A 对 B 是高成本的先验概率判断为 P ，则 A 认为 B 为低成本的概率为 1 P 。 如果 A 进入，1 3，-3 -1，1 -1，1
3 -1，1 -1，1 3，-3
（2）Smith 选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时， John 选 1 的效用为： U1 ( 3) 1 1 John 选 2 的效用为： U 2 1 ( 3) 1 John 选 3 的效用为： U 3 1 1 ( 3)
（1） （2）
求解（1） 、 （2）组成的方程组有：
* q* 2 q3
a q1 c 3
（3）
（2）现进行第一阶段的博弈分析： 对与企业 1，其利润函数为；
1 (a q1 q 2 q3 )q1 cq1
将（3）代入可得：
1 q1 (a q1 c) 3
Q2 50 Q1 / 4
则企业 1 的问题可简化为：
Q max 400 2 Q1 50 1 Q1 20Q1 4 Q1 280 / 3 Q2 80 / 3
均衡时价格为： P 400 2
280 80 160 3 3
* q1
题型四 重复博弈的触发机制 求 δ 的范围这个是重点
6、如果将如下的囚徒困境博弈重复进行无穷次，惩罚机制为触发策略，贴现因 子为 δ。试问 δ 应满足什么条件，才存在子博弈完美纳什均衡？ 乙 坦 不坦白 甲 白 坦白 4,4 0,5 不坦白 5,0 1,1 参考答案： 由划线法求得该博弈的纯策略纳什均衡点为 ( 不坦白 , 不坦白 ) ，均衡结果为 (1,1) ， 采 用 触 发 策 略 ， 局 中 人 i 的 策 略 组 合 s 的 最 好 反 应 支 付
垄断利润 （3）其他企业触发战略，将价格降到等于边际成本，所有的企业利润为零。 参考答案： （1）设每个企业的边际成本为c，固定成本为0 P=a-Q TR=P*Q=(a-Q)*Q MR=a-2Q 因为：MR=MC a-2Q=c 则:Q=(a-c)/2 P=(a+c)/2 π=(P-c)*Q=(a-c)2/4 每家企业的利润为(a-c)2/4n （2）假设A企业自主降价，虽然只是微小的价格调整，但足以占领整个市场 ， 获得所有的垄断利润——(a-c)2/4 （3）其他企业在下一期采取冷酷策略，使得所有企业的利润为0 考虑： A企业不降价： (a-c)2/4n， (a-c)2/4n， …… A企业降价： (a-c)2/4， 0， …… 使垄断价格可以作为完美均衡结果， 就要使得不降价的贴现值大于等于降价的贴 现值。 设贴现因子为δ A不降价的贴现值： [(a-c)2/4n][1/(1- δ)] A降价的现值： (a-c)2/4 于是：[(a-c)2/4n][1/(1- δ)]≥ (a-c)2/4 解得： δ≥1-1/n 题型五 不完全信息下的静态博弈产生的贝叶斯均衡 详情请见PPT 302面 303面以及不完全信息下的古诺模型