最新高考数学练习题限时训练(1)答案

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(2024年高考真题)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(文) 试卷全国甲卷(含部分解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷数学（文）试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ；（2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=；（2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。

高三数学限时训练(解三角形、数列)(含答案)

高三数学限时训练（解三角形、数列）考试时间：60分钟 1-10每题6分 11-12每题20分1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°2．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30o和60o，则塔高为A ．3m B ．3m C ．4003m D ．2003m 3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形6. 已知c b a ,,为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量(),1,3-=m(),sin ,cos A A n=若,n m⊥且,sin cos cos C c A b B a =+则角A ，B 的大小分别是 A ．3,6ππ B ．6,32ππ C ．6,3ππ D ． 3,3ππ7.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ， b ， c , 且b =3，c =1，A=2B ，则a= .8．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于 . 9. 如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为海里．10. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .班级:_______________________ 姓名：________________11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是c b a ,,，已知3,2==C c ．（1）若△ABC的面积等于3，求a ，b ；（2）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求△ABC 的面积.12.已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+na 1我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a =1时，得到无穷数列：.0,1,21:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a （1）求当a 为何值时a 4=0；（2）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=)(11*N n b n ∈-，若a 取数列{b n }中的任一个数，都得到一个有穷数列{a n }吗？请说明理由（3）若)4(23≥<<n a n ，求a 的取值范围.高三数学限时训练（解三角形、数列）参考答案1-6 BCB ABC 7.32 8. 32；349. 1310.11．解：（1）由余弦定理及已知条件，得422=-+ab b a ．又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得4=ab ．联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==.2,2b a故2a ==b（2）由题意，得A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++，得A A A B cos sin 2cos sin =．因为),0π（，∈B A ①当0cos =A ，即2π=A 时，6π=B ，334=a ，332=b ，此时△ABC的面积12S bc ==． ②当0cos ≠A 时，得A B sin 2sin =，由正弦定理，得a b 2=．联系方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得342=a此时△ABC 的面积33223221sin 212=⋅⋅==a C ab S ．综上，△ABC 的面积332sin 21==C ab S ． 12. （1）解法1：14321111121,,0,1,,;123n n n n a a a a a a a a a ++=+∴==∴=-=-==-- 解法2：1123441121322,1,.,,0,113n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++==+∴====∴=-++（2）都是得到一个有穷数列{a n }，理由如下：1111,1,{},1n n n n n n n b b a b b a b b b ++=∴=+=- 若取数列的一个数即, 132121111111,11,,n n n n b a b a b a b ---=+=+==+=+= 2则a 0111,111=-+=-==+n n a b a 所以数列{}n a 只能是有穷数列．（3）因为)4(223≥<<n a n ，所以)5(2a 11231≥<+<-n n ，解得2a 11<<-n ，又()2,1()2,23(⊆，故必需只须2234<<a 时，都有)4(223≥<<n a n a a a a +=+=1112，aa a a a a ++=++=+=121111143 aaa a a a 213221111134++=+++=+= 由2122323<++<a a ，得0>a 所以a 的取值范围0>a ．。

高考数学总复习提能拔高限时训练：集合的概念与运算(练习+详细答案)大纲人教版

提能拔高限时训练1 集合的概念与运算一、选择题1.若集合M＝{0,1,2},N＝{(x,y)|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,x,y∈M},则N中元素的个数为( )A.9B.6C.4D.2解析：由x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,得2y-1≤x≤2y+1,于是集合{(x,y)|x,y∈M}中共有4个元素,分别为(0,0)、(1,0)、(1,1)、(2,1).答案：C2.若A、B、C为三个集合,A∪B＝B∩C,则一定有…( )A.A⊆CB.C⊆AC.A≠CD.A＝∅解析：由A∪B＝B∩C,知A∪B⊆B,A∪B⊆C,∴A⊆B⊆C.故选A.答案：A3.设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q＝{a+b|a∈P,b∈Q},若P＝{0,2,5},Q＝{1,2,6},则P+Q中元素的个数是( )A.9B.8C.7D.6解析：本题考查集合的表示及元素的互异性.P+Q中元素分别是1,2,6,3,4,8,7,11.答案：B4.若集合A＝{1,2,x,4},B＝{x2,1},A∩B＝{1,4},则满足条件的实数x的值为（）A.4B.2或-2C.-2D.2解析：由A∩B＝{1,4},B＝{x2,1},得x2＝4,得x＝±2.又由于集合元素互异，∴x＝-2.答案：C5.设集合S＝{-2，-1，0，1，2}，T＝{x∈R |x+1≤2},则(S∩T)等于（）A.∅B.{2}C.{1,2}D.{0,1,2}解析：由题意,知T＝{x|x≤1},∴S∩T＝{-2,-1,0,1}.∴(S∩T)＝{2}.答案：B6设U为全集，M、P是U 的两个子集，且（M）∩P＝P,则M∩P等于（）A.MB.PC.PD.∅解析：由（M）∩P＝P,知P ⊆M,于是P∩M＝∅.故选D.答案：D7.设集合M＝{x|x∈R且-1＜x＜2},N＝{x|x∈R且|x|≥a,a＞0}.若M∩N＝∅,那么实数a的取值范围是（）A.a＜1B.a≤-1C.a＞2D.a≥2解析：M＝{x|-1＜x＜2},N＝{x|x≤-a或x≥a}.若M∩N＝∅,则-a≤-1且a≥2,即a≥1且a≥2.综上a≥2.答案：D 8.（河北石家庄质检（一），理1）若集合M＝{x||x|≤2},N＝{x|x2-3x＝0},则M∩N等于（）A.{3}B.{0}C.{0,2}D.{0,3}解析：M＝［-2,2］,N＝{0,3},∴M∩N＝{0}.答案：B9.（重庆八中，理2）已知∅M⊆{1,2,3,…,9},若a∈M且10-a∈M,则集合M的个数为…（）A.29B.30C.32D.31解析：由题意，知M≠∅且1与9，2与8，3与7，4与6这4组数都要满足：每组数的某一个数在集合M中，这组数的另一个也必定在集合M中.所以集合M的个数为31125552515=-=+++CCC .答案：D10设集合S＝{A0,A1,A2,A3},在S上定义运算⊕为:A i⊕A j＝A k,其中k为i+j被4除的余数,i,j＝0,1,2,3.则满足关系式(x⊕x)⊕A2＝A0的x(x∈S)的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：本题考查学生阅读理解能力与根据信息解决问题的能力.x＝A0时,(x⊕x)⊕A2＝A2≠A0;x＝A1时,(x⊕x)⊕A2＝A2⊕A2＝A0;x＝A2时,(x⊕x)⊕A2＝A0⊕A2＝A2≠A0;x＝A3时,(x⊕x)⊕A2＝A2⊕A2＝A0;x＝A4时,(x⊕x)⊕A2＝A0⊕A2＝A2≠A0.所以选B.答案：B二、填空题11.已知集合{x∈R|ax2+2x+1＝0,a∈R}只有一个元素,则a的值为__________.解析：若a＝0,则21-=x ;若a≠0,Δ＝4-4a＝0,得a＝1,∴a 的值为0或1.答案：0或112.设满足y≥|x-1|的点(x,y)的集合为A，满足y≤-|x|+2的点(x,y)的集合为B，则A∩B所表示图形的面积是__________.解析：画出y≥|x-1|及y≤-|x|+2的图象，则A∩B表示的图形为矩形；由交点坐标及图象与坐标轴的交点坐标简单计算即得23=矩形S.答案：2313.设集合U＝{1,2,3,4,5},A＝{1,3},B＝{2,3,4},则（A）∩(B)＝_________.解析：本题考查集合的基本运算和公式（A∪B)＝(A)∩(B).A∪B＝{1,2,3,4},(A∪B)＝{5}.答案：{5}14.设f(n)＝2n+1(n∈N),P＝{1,2,3,4,5},Q ＝{3,4,5,6,7}.记P ˆ＝{n∈N|f(n)∈P},Q ˆ＝{n∈N|f(n)∈Q}，则(P ˆ∩Q ˆ)∪(Q ˆ∩Pˆ)＝___________. 解析：P ˆ＝{0,1,2},Q ˆ＝{1,2,3},P ˆ∩Qˆ＝{0},P ˆ∩Pˆ＝{3}. 答案：{0,3}三、解答题15.某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？解：设参加数学、物理、化学课外活动小组的同学分别组成集合A 、B 、C.如图,可知要使A∩B∩C 的元素个数最多,因此区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中元素应尽可能得少,由于在22+18+1A∩B∩C 中元素个数重复计算了三次（只应计数一次）.故A∩B∩C 的元素个数最多可为21(56-36)＝10.故三科课外活动小组都参加的同学至多有10人. 16.设A ＝{x|x 2+4x ＝0},B ＝{x|x 2+2(a+1)x+a 2-1＝0}. (1)若A∩B＝B,求a 的值. (2)若A∪B＝B,求a 的值.解：A ＝{x|x 2+4x ＝0}＝{0,-4}. (1)由A∩B＝B,得B ⊆A.∴B＝∅或B ＝{0}或B ＝{-4}或B ＝{0,-4}.若B ＝∅，则4(a+1)2-4(a 2-1)＜0，则a ＜-1. 若B ＝{0},则⎩⎨⎧=-=+-,01,0)1(22a a∴a＝-1.若B ＝{-4}，则⎩⎨⎧=--=+-,161,8)1(22a a 无解.若B ＝{0,-4},则⎩⎨⎧=--=+-.01,4)1(22a a解得a ＝1.∴所求a 的范围是a≤-1或a ＝1.(2)由A∪B＝B,则A ⊆B,∴A＝B ＝{0,4}. 则⎩⎨⎧=--=+-.01,4)1(22a a解得a ＝1.∴a＝1.教学参考例题志鸿优化系列丛书【例1】设全集I ＝{1，2，3，…，9}，A ，B 是I 的子集，若A∩B＝{1,2,3},就称集对（A ，B ）为“好集”，那么所有“好集”的个数为（）A.6！B.62C.26D.36解析：要使A∩B＝{1,2,3}，必须满足集合A ，B 中都含有元素1，2，3，且对全集中的其他6个元素中的每一个，要么在集合A 中，要么在集合B 中，或既不在A 中也不在B 中，于是这6个元素所在集合的不同情况有3×3×3×3×3×3＝36种.而这6个元素所在集合的不同情况种数即为“好集”的个数.故选D. 答案：D【例2】已知集合A ＝{a|a∈Z 且a-32160∈Z },求集合A 中所有元素的和. 解：∵2 160＝24×33×51,∴2 160的所有正约数是由2,3,5这3个数或其中一部分组成的,其中数字2可以构成数20,21,22,23,24;元素3可以构成数30,31,32,33;元素5可以构成数50,51.将它们相乘即得正约数,∴2 160的正约数共有5×4×2＝40个,进而负约数也有40个,即2 160的约数共有80个且这80个数为40对相反数.由题意,知集合A ＝{a|a∈Z 且a-32160∈Z }中共有80个元素，有40对相反数,不妨设为a 1,a 2,…,a 80，则3-a 1,3-a 2,…,3-a 80为2 160的80个约数,是40对相反数,∴(3-a 1)+(3-a 2)+…+(3-a 80)＝0. ∴a 1+a 2+…+a 80＝3×80＝240,即集合A 中所有元素的和为240.。

高中数学限时训练(含解析)

限时作业练（含答案）突破高考建议用时：50分钟一、选择1．若A ＝{x|2＜2x ＜16，x ∈Z}，B ＝{x|x 2－2x －3＜0}，则A∩B 中元素个数为 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析因为A ＝{x|2＜2x ＜16，x ∈Z}＝{x|1＜x ＜4，x ∈Z}＝{2,3}，B ＝{x|x 2－2x －3＜0}＝{x|－1＜x ＜3}，所以A∩B＝{2}．答案 B2．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝ ( )． A.12＋i B ． 5 C.52 D ．54解析因为(1＋2ai)i ＝1－bi ，所以－2a ＋i ＝1－bi ，a ＝－12，b ＝－1，|a ＋bi|＝|－12－i|＝52.答案 C3．我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中男、女都有的概率为 ( )． A.815 B ．12 C.25 D ．415解析从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，总的方法数为C 04C 22＋C 14C 12＋C 24C 02＝15，其中选出的宣传者中男、女都有的方法数为C 14C 12＝8，所以，所求概率为815.答案 A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是 ( )． A ．21 B ．24 C ．28 D ．7解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12， ∴a 4＝4， ∴S 7＝a 1＋a 72×7＝7a 4＝28. 答案 C5．设a ，b ∈R ，则“(a－b)·a 2＜0”是“a＜b”的 ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析由(a －b)·a 2＜0得，a≠0且a ＜b ；反之，由a ＜b ，不能推出(a －b)·a 2＜0，即“(a－b)·a 2＜0”是“a＜b”的充分非必要条件．答案 A6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是 ( )．A.12 B ．32 C ．1 D ． 3解析抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为x±33y ＝0，所以抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是|1±33×0|1＋332＝32. 答案 B7.已知a 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数是( )．A ．192B ．32C ．96D ．－192解析由程序框图可知，a 计算的结果依次为2，－1，12，2，…，成周期性变化，周期为3；当i ＝2 011时运行结束，2 011＝3×670＋1，所以a ＝2. 所以，⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6， T r ＋1＝C r6(2x)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 6·26－r x 3－r，令3－r ＝2，得r ＝1，所以，含x 2项的系数是(－1)C 1625＝－192. 答案 D8．已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则f(x)的解析式为( )．A ．f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析由图象可知A ＝1，且14T ＝14×2πω＝7π12－π3＝π4，∴ω＝2，f(x)＝sin (2x ＋φ)．把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入得：－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ，又∵|φ|＜π2，∴7π6＋φ＝3π2，∴φ＝π3， ∴f(x)＝sin (2x ＋π3)．答案 A9．已知O 是坐标原点，点A(－2,1)，若点M(x ，y)为平面区域⎩⎨⎧x ＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则O A →·O M →的取值范围是 ( )． A ．[－1,0] B ．[－1,2] C ．[0,1] D ．[0,2]解析 ∵A(－2,1)，M(x ，y)，∴z ＝O A →·O M →＝－2x ＋y ，作出不等式组对应的平面区域及直线－2x ＋y ＝0，如图所示．平移直线－2x ＋y ＝0，由图象可知当直线经过点N(1,1)时，z min ＝－2＋1＝－1；经过点M(0,2)时，z max ＝2. 答案 B10．如图F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A|，则C 2的离心率是( )．A.13 B ．23 C.15 D ．25解析由题意知，|F 1F 2|＝|F 1A|＝4，∵|F 1A|－|F 2A|＝2，∴|F 2A|＝2，∴|F 1A|＋|F 2A|＝6，∵|F 1F 2|＝4，∴C 2的离心率是46＝23.答案 B11．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 为 ( )．A.323 B ．403 C.163D ．40 解析观察三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，两个侧面与底面垂直，棱锥的高为4，由图中数据得该几何体的体积为13×4＋12×4×4＝403.答案 B12．已知定义在R 上的函数f(x)是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f(x)，f(－2)＝－3，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a nn ＋1(其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f(a 5)＋f(a 6)＝ ( )．A ．－3B ．－2C ．3D ．2解析 ∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(32－x)＝f(x)，∴f(32－x)＝－f(－x)，∴f(3＋x)＝f(x)，∴f(x)是以3为周期的周期函数． ∵S n n ＝2×a nn＋1， ∴S n ＝2a n ＋n ，S n －1＝2a n －1＋(n －1)(n≥2)．两式相减并整理得出a n ＝2a n －1－1，即a n －1＝2(a n －1－1)，∴数列{a n －1}是以2为公比的等比数列，首项为 a 1－1＝－2，∴a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，a n ＝－2n ＋1， ∴a 5＝－31，a 6＝－63.∴f(a 5)＋f(a 6)＝f(－31)＋f(－63)＝f(2)＋f(0)＝f(2)＝－f(－2)＝3. 答案 C 二、填空题13．已知向量p ＝(2，－1)，q ＝(x,2)，且p ⊥q ，则|p ＋λq|的最小值为__________．解析 ∵p·q＝2x －2＝0，∴x ＝1， ∴p ＋λq ＝(2＋λ，2λ－1)，∴|p ＋λq|＝ 2＋λ 2＋ 2λ－1 2＝5λ2＋5≥ 5. 答案514．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析由sin B ＋cos B ＝2得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1，而B ∈(0，π)，所以B ＝π4. 由正弦定理得，sin A ＝asin B b ＝12，又A ＋B ＋C ＝π，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴A ＝π6. 答案π615．若曲线y ＝x 在点(m ，m )处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________. 解析由y ＝x，得y′＝－12x，所以，曲线y ＝x 在点(m ，m)处的切线方程为y －m ＝－12m(x －m)，由已知，得12×32m×3m＝18(m ＞0)，m ＝64.答案 6416．已知a ＞0，b ＞0，方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的曲线关于直线ax －by －1＝0对称，则3a ＋2bab的最小值为________．解析该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，直线ax －by －1＝0经过圆心，则2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1，所以3a ＋2b ab ＝3b ＋2a ＝(3b ＋2a )(2a ＋b)＝6a b ＋2ba＋7≥26a b ·2ba＋7＝7＋43(当且仅当a ＝2－3，b ＝23－3时等号成立)．答案7＋4 3。

高三数学题限时练习题

高三数学题限时练习题第一题：已知函数f(f)=ff^2+ff+f，其中f，f，f为常数，且f≠0。

已知当f=2时，f(f)=3；当f=1时，f(f)=1。

请回答以下问题：1. 根据已知条件，列出函数f(f)的方程式。

2. 求函数f(f)的导函数f′(f)。

3. 若函数f(f)的极值点为f=−1，求函数f(f)在f=−1处的极值。

解答：1. 假设函数f(f)的方程式为f(f)=ff^2+ff+f。

由已知条件可以得到如下方程组：3 = 4f+2f+f (1)1 = f+f+f (2)解方程组 (1) 和 (2)，可以得到f=1，f=-1，f=3。

因此，函数f(f)的方程式为f(f)=f^2−f+3。

2. 函数f(f)的导函数f′(f)可以通过求函数f(f)的变化率来得到。

根据导数的定义，有：f′(f) = lim(f→0) (f(f+f)−f(f))/f对函数f(f)=f^2−f+3进行求导，得到：f′(f) = 2f−1所以，函数f(f)的导函数f′(f)为2f−1。

3. 函数f(f)的极值点为f=−1，可以通过求导数为0的点来求得。

令f′(f)=0，有：2f−1 = 0解方程得到f = 1/2。

即函数f(f)在f=−1处的极值为f=1/2。

第二题：已知函数f(f)=f^3+ff^2+ff+f，其中f，f，f为常数。

请回答以下问题：1. 当f=2时，f(f)=1；当f=1时，f′(f)=2。

根据已知条件，列出函数f(f)的方程式以及函数f(f)的导函数f′(f)的方程式。

2. 求函数f(f)的导函数f′(f)的导函数f′′(f)。

3. 若函数f(f)的极值点为f=−1，求函数f(f)在f=−1处的极值。

解答：1. 假设函数f(f)的方程式为f(f)=f^3+ff^2+ff+f。

根据已知条件可以得到如下方程组：1=8+4f+2f+f (1)2=3+2f+f (2)解方程组 (1) 和 (2)，可以得到f=-2，f=3，f=-4。

【精品版】2021版新高考数学一轮课后限时集训1 集合 Word版含解析

集合建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，0，1}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{0，1，2}A [集合B ＝{x |－1≤x ≤1}，又∵A ＝{－1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{－1，0，1}，故选A.]2．(2019·天津高考)设集合A ＝{－1，1，2，3，5}，B ＝{2，3，4}，C ＝{x ∈R |1≤x ＜3}，则(A ∩C )∪B ＝( )A ．{2}B ．{2，3}C ．{－1，2，3}D ．{1，2，3，4}D [由题意可知A ∩C ＝{1，2}，则(A ∩C )∪B ＝{1，2，3，4}，故选D.]3．[多选]设集合M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋2，k ∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．M ∪N ⊆ND ．M ∩N ＝MBCD [∵集合M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }＝{奇数}，N ＝{x |x ＝k ＋2，k ∈Z }＝{整数}，∴M ⊆N ，∴M ∩N ＝M ，M ∪N ＝N ⊆N .故选BCD.]4．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0B [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－45，y ＝－35，故集合A ∩B 中有2个元素，故选B.]5．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则∁R A ＝( )A ．{x |－1＜x ＜2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}B [法一：A ＝{x |(x －2)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.法二：因为A ＝{x |x 2－x －2＞0}，所以∁R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.]6．已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{0}，则B 的子集有( )A ．2个B ．4个C ．8个D ．16个B [∵A ∩B ＝{0}，∴0∈B ，∴m ＝0，∴B ＝{x |x 2－3x ＝0}＝{0，3}．∴B 的子集有22＝4个．故选B.]7．已知集合A ＝{x |log 2 x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)D [∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .又A ＝{x |log 2 x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜c }，∴c ≥2，即c 的取值范围是[2，＋∞).]二、填空题8．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x ＜1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝________． {－1，0} [依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1，x ∈Z }＝{－1，0}．]9.已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5，2]，B ＝(1，4)，则如图阴影部分所表示的集合为________．{x |－5≤x ≤1} [∵A ＝[－5，2]，B ＝(1，4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．]1．已知集合M ＝{x |y ＝lg (2－x )}，N ＝{y |y ＝1－x ＋x －1}，则( )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ＝ND ．N ∈MB [∵集合M ＝{x |y ＝lg (2－x )}＝(－∞，2)，N ＝{y |y ＝1－x ＋x －1}＝{0}， ∴N ⊆M .故选B.]2．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋3x －1＜0，B ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}＝( ) A ．A ∩BB ．A ∪BC ．(∁R A )∪(∁R B )D ．(∁R A )∩(∁R B ) D [集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋3x －1＜0＝{x |(x ＋3)(x －1)＜0}＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ≤－3}，A ∪B ＝{x |x ＜1}，则集合{x |x ≥1}＝(∁R A )∩(∁R B )，选D.]3．对于a ，b ∈N ，规定a *b ＝⎩⎨⎧a ＋b ，a 与b 的奇偶性相同，a ×b ，a 与b 的奇偶性不同，集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝36，a ，b ∈N *}，则M 中元素的个数为( )A ．40B ．41C ．50D ．51B [由题意知，a *b ＝36，a ，b ∈N *.若a 和b 的奇偶性相同，则a ＋b ＝36，满足此条件的有1＋35，2＋34，3＋33，…，18＋18，共18组，此时点(a ，b )有35个；……[此处易错，18＋18只对应1个点(18，18)]若a 和b 的奇偶性不同，则a ×b ＝36，满足此条件的有1×36，3×12，4×9，共3组，此时点(a ，b )有6个．所以M 中元素的个数为41.故选B.]4．[多选]若集合A ＝{x |x (x －2)≤0}，且A ∪B ＝A ，则集合B 可能是( )A ．{－1}B ．{0}C ．{1}D ．{2}BCD [∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，又A ＝{x |x (x －2)≤0}＝{x |0≤x ≤2}，结合选项可知选项B ，C ，D 均满足题意，故选BCD.]5．集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg [x (x ＋1)]}．若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________．[－1，0) [由x (x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1，0).]1．非空数集A 满足：(1)0∉A ；(2)若∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；② {x |x 2－4x ＋1＜0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝ln x x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1∪（1，e]； ④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋25，x ∈[0，1），x ＋1x ，x ∈[1，2]，其中“互倒集”的个数是( )A ．①②④B ．①③C ．②④D ．②③④C [对于①，当－2＜a ＜2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x |x 2－4x ＋1＜0}＝{x |2－3＜x ＜2＋3}，所以12＋3＜1x ＜12－3，即2－3＜1x ＜2＋3，所以②是“互倒集”；对于③，y ′＝1－ln x x 2≥0，故函数y ＝ln x x 是增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，y ∈[－e ，0)，当x ∈(1，e]时，y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ，所以③不是“互倒集”；对于④，y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫25，125∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，52且1y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，52，所以④是“互倒集”．故选C.]2．[一题两空]已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R |12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________；若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) (－∞，23)∪[2，＋∞) [若A ∩B ≠∅，则⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.若A ∩B ＝B ，则B ⊆A . 当B ＝∅时，12a ＞2a －1，即a ＜23，当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥12a ，12a ≥1，解得a ≥2，即a 的取值范围是(－∞，23)∪[2，＋∞).]。

高三数学限时训练带答案

高三数学限时训练1.已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆，则实数m 的值为 . 12.函数x y cos =的图象在点)21,3(π处的切线斜率为 . 3.在锐角ABC ∆中，1=BC ，A B 2=，则c o s AC A的值等于，AC 的取值范围为 . 2，)3,2(4.设10,{|||)1x A x B x x b a x ⎧-⎫=<=-<⎨⎬+⎩⎭，若“1a =”是“A B ≠Φ ”的充分条件，则实数b 的取值范围是 . )2,2(-5．给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA 和OB ，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若2,OC xOA yOB =+ 其中,x y R ∈，则x y +的最大值是_ _____.26.将正偶数按如图所示的规律排列：24 68 10 1214 16 18 20……则第n （4≥n ）行从左向右的第4个数为 . 28n n -+7.如图，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置0P 开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（02πα<<）到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α 的值等于 . 10433- 8.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数k 0>，使()2010k f x ≤x 对一切实数x 均成立，则称()f x 为“海宝”函数. 给出下列函数：①()2f x x =；②()f x sin x cos x =+；③()21x f x x x =++；④()31x f x =+ 其中()f x 是“海宝”函数的序号为 . ③9.已知ABC ∆的面积SS ≤≤6AB BC ⋅= ．（1）求角B 的取值范围；（2）求函数1)4()sin B f B Bπ-=的值域．解：（1）cos()6AB BC AB BC B π⋅=⋅⋅-= ① 12S =sin AB BC B ⋅⋅ ② ……3分由①、②得，3tan S B =-．S ≤tan 3B ≤-≤，又0B π≤≤，所以25[,]36B ππ∈． ……7分（2）1)4())sin 4B f B B B ππ-==-， ……10分因为25[,]36B ππ∈，所以57[,]41212B πππ-∈，当34B π=时，()f B取最大值当23B π=或56B π=时，()f B取最小值1……13分综上，所求函数的值域为[1. ……14分10.已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数，x a x x g -=)(在()1,0为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式；（II ）求证：当0>x 时，方程2)()(+=x g x f 有唯一解；(III ）当1->b 时，若212)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立，求b 的取值范围. 解:（I ）,2)(xa x x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立， ∴2≤a ① 又xa x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x . ∵上式恒成立， ∴.2≥a ②由①②得2=a . ∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-=（II ）由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,1122)(xx x x h +--='则令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得当10≠>x x 且时，)(x h ＞0，∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解. 即当0>x 时，方程2)()(+=x g x f 有唯一解.（III ）设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ϕϕ=--+=---<则, ()x ϕ∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥又∵1b >- ∴11≤<-b。

高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷01(参考答案)

2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。

全品高考数学考前专题限时训练含答案(基础+提升)作业答案

参考答案(作业手册)专题限时集训(一)【基础演练】1．C [解析] 由∁U B ＝{1，2}可得，集合B 中含有3，但一定不含1，2，故A ∩B ＝{3}．2．C [解析] 全称命题的否定是特称命题，否定结论并改写量词．由题意知命题“对任意x ∈R ，都有x 3＞x 2”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 30≤x 20”． 3．B [解析] 易知p ：x ＝3或x ＝4，q ：x ＝3，可知q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．4．D [解析] 集合M ＝[0，1]，集合N ＝(0，＋∞)，所以M ∩N ＝(0，1]．5．4 [解析] 由题意得B ＝{}x |x 2－x ＝0＝{x |x ()x －1＝0}＝{}0，1，因此A ∩B ＝{}0，1，所以集合A ∩B 的子集个数是22＝4．【提升训练】6．A [解析] 阴影部分表示的集合为N ∩(∁I M )，而∁I M ＝{1，2，6}，N ＝{1，2，3，4}，所以阴影部分对应的集合N ∩(∁I M )＝{1，2}．7．C [解析] 集合A ＝{－1，1}，所以满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 有{0}，{0，1}，{0，－1}，{0，－1，1}，共4个．8．D [解析] 否定的结论为条件，否定的条件为结论构成的命题为逆否命题，即“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．9．B [解析] 集合M ＝[0，＋∞)，集合N ＝(－∞，1)，所以M ∩N ＝[0，1)．10．A [解析] ∵M ＝{0，3}，N ＝{…，－1，1，3，…}，∴M ∩N ＝{3}．11．B [解析] 因为0＜a ＜1b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0，ab ＜1，所以“ab ＜1” 是“0＜a ＜1b ”的必要不充分条件．12．A [解析] 根据指数函数的性质知，①不正确；根据指数函数、二次函数的性质知，②不正确，如x ＝2时，2x ＝x 2；③中，集合A ＝(－1，1)，集合B ＝(1－a ，1＋a )，若a ＝1，则A ∩B ≠∅，又若a ＝2，则A ∩B ≠∅，③不正确；|a －b |＞1⇒a ·b ＜12⇒cos θ＜12，又0≤θ≤π，所以π3＜θ≤π，④正确． 13．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 [解析] 否命题是以否定的条件为条件，否定的结论为结论的命题，即“若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．14．5 [解析] 易知Q ＝{(x ，y )|－1＜x －y ＜2，x ，y ∈P }，由P ＝{0，1，2}得x －y 的取值只可能是0和1，∴Q ＝{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，0)，(2，1)}，含有5个元素．15．⎝⎛⎭⎫233，＋∞ [解析] 根据题意可知，本题可转化为求不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1＞0恒成立时m 的取值范围，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0，Δ＝（－m ）2－4（m ＋1）（m －1）＜0，解得m ＞233．专题限时集训(二)【基础演练】1．A [解析] 5i 1＋2i ＝5i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝i(1－2i)＝2＋i ，故其虚部为1． 2．A [解析] z ＝52－i ＋3＝5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＋3＝2＋i ＋3＝5＋i ，所以复数z 对应的点在复平面的第一象限．3．A [解析] 由AB →²BC →＞0，可得角B 为钝角，此时△ABC 是钝角三角形，条件是充分的；反之，当△ABC 是钝角三角形时，角B 不一定为钝角，故不一定有AB →²BC →＞0，条件是不必要的．故“AB →²BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件．4．C [解析] 易知|a |＝5，cos 〈a ，b 〉＝a ²b |a||b|＝－55³2＝－12，即向量a 与b 的夹角为2π3． 5．4 60° [解析] 由|a －b |＝13，平方得a 2－2a ·b ＋b 2＝13，代入已知条件得b 2＝16，得|b |＝4，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝63³4＝12，所以〈a ，b 〉＝60°．【提升训练】6．A [解析] 5i －2＝5（i ＋2）（i －2）（i ＋2）＝5（2＋i ）－5＝－2－i ，故其共轭复数为－2＋i ． 7．B [解析] z ＝(1＋2i)2＝－3＋4i ，其对应的点的坐标为(－3，4)，故其对应的点在第二象限．8．A [解析] 依题知z 1＝1＋2i ，由z 2＝kz 1得a ＋3i ＝k ()1＋2i ，即有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝k ，3＝2k ，故a ＝32． 9．C [解析] 2－b i 1＋2i ＝（2－b i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝（2－2b ）－（4＋b ）i 5，根据已知得2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23． 10．B [解析] 显然AC ⊥BC ，以点C 为坐标原点，射线CA ，CB 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则C (0，0)，A (3，0)，B (0，4)．设CP →＝CA →＋λAB →＝(3，0)＋λ(－3，4)＝(3－3λ，4λ)，其中0≤λ≤1，则CP →²(BA →－BC →)＝CP →²CA →＝(3－3λ，4λ)·(3，0)＝9－9λ≤9，故CP →²(BA →－BC →)的最大值为9．11．D [解析] 由a ·(a ＋2b )＝0且|a |＝1，得a ·b ＝－12，得〈a ，b 〉＝120°．在平面直角坐标系中，设a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，则a ＋2b ＝(0，3)．设c ＝(x ，y )，由|c －a －2b |＝1得x 2＋(y －3)2＝1，即向量c 的终点在圆x 2＋(y －3)2＝1上，所以|c |的最大值为3＋1．12．2＋i [解析] （1＋a i ）（1－i ）b ＋i＝2－i ⇒(1＋a i)(1－i)＝(2－i)·(b ＋i)⇒1＋a ＋(a －1)i ＝2b ＋1＋(2－b )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝2b ＋1，a －1＝2－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 13．1 [解析] AD →²BC →＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(AC →2－4)＝－32，解得|AC →|＝1．14．9 [解析] 方法一：以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则A (0，0)，E (2，3)，F (3，1)，所以AE →＝(2，3)，AF →＝(3，1)，因此AE →²AF →＝2³3＋3³1＝9．方法二：如图所示，AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋23DC →＝AD →＋23AB →，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13AD →，所以AE →²AF →＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋AD →²⎝⎛⎭⎫AB →＋13AD →＝23AB →2＋119AB →²AD →＋13AD →2＝23²|AB →|2＋119³0＋13²|AD →|2＝23³32＋13³32＝9． 15．24 [解析] 点A 的坐标为(3，a )，则|OA →|≥3，OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线，又|OA →|²|OP →|＝72，则|OP →|＝72||OA →．设OP 与x 轴的夹角为θ，则OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|cos θ＝|OP →|²3|OA →|＝216|OA →|2≤24，即线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为24．专题限时集训(三)【基础演练】1．B [解析] 集合B ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1，2)．2．B [解析] 集合M ＝(－1，1)，集合N ＝(0，1)，显然N ⊆M ，B 正确．3．B [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，可得在点(1，0)处目标函数取得最大值1．4．A [解析] 对于选项A 中的不等式，1a －b －1a ＝b a （a －b ）＜0，故选项A 中的不等式不成立；根据不等式的性质，其余选项中的不等式均成立．5．C [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＋y 2＝x ＋y x ＋y ＋2xy ≥x ＋y x ＋y ＋x ＋y ＝12，当且仅当x ＝y 时，等号成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＋y min ＝12＝22．【提升训练】6．B [解析] 集合A ＝(－1，3)，集合B ＝(－1，＋∞)，所以∁B A ＝[3，＋∞)．7．D [解析] 集合A ＝[1，5]，集合B ＝(2，＋∞)，所以A ∩B ＝(2，5]．8．B [解析] 根据已知可得2m ＝1－n ，即2m ＋n ＝1．故1m ＋1n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝3＋n m ＋2m n ≥3＋2n m ²2m n ＝3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立． 9．D [解析] 由已知得平面区域是以O (0，0)，A (2，0)，B (1，2)，C (0，1)为顶点的四边形边界及其内部．目标函数的几何意义是区域内的点到点(－1，－1)的距离的平方，所以可得在区域的顶点B (1，2)处，目标函数取得最大值13．10．D [解析] 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23（a 2＋b 2）2ab ≥23³2ab 2ab ＝23，当且仅当a ＝b 时等号成立．11．2 [解析] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域如图中阴影部分所示．直线x ＋2y －a ＝0与x 轴交于点A (a ，0)，目标函数为z ＝3x ＋y ，当直线y ＝－3x ＋z 过可行域内点A (a ，0)时，z 恰好取得最大值6，即z max ＝3a ＋0＝6，得a ＝2，即直线x ＋2y －a ＝0过点(2，0)，故a ＝2．12． 9 [解析] 因为x ，y 均为正实数，所以x ＋y ≥2xy ，所以xy ＝x ＋y ＋3可化为xy ≥2xy ＋3，即(xy －3)(xy ＋1)≥0，所以xy ≥3，即xy ≥9，当且仅当x ＝y 时等号成立．13．177 [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．x ＋2y －6x －4＝（x －4）＋2y －2x －4＝1＋2³y －1x －4，令z ＝y －1x －4，则其几何意义是区域内的点与点P (4，1)连线的斜率，显然点A (－3，－4)与点P 连线的斜率最大，其最大值为－4－1－3－4＝57，所以x ＋2y －6x －4的最大值为1＋2³57＝177．14．82 [解析] 因为f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，所以f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，所以f ′(0)＝ab ＝4，所以a 2＋2b 2≥22ab ＝82，当且仅当a ＝2b 时等号成立．15．4 [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0交于点A (1，4)．作直线l ：z ＝ax ＋by ，由于a ＞0，所以z 可视为直线l 在x 轴上的截距的a 倍，当直线l 经过可行域内的点A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即z max ＝a ²1＋b ·4＝a ＋4b ＝8，因此ab ＝14²a ²4b ≤14²⎝⎛⎭⎫a ＋4b 22＝14³⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当a ＝4b ，即a ＝4，b ＝1时等号成立．专题限时集训(四)【基础演练】1．A [解析] 对于③，“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”是错误的，如a ＝2＋i ，b ＝1＋i ，则a －b ＝1>0，但2＋i>1＋i 不正确；对于④，“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”是错误的，如y ＝12＋12i ，|y |＝22<1，但－1<12＋12i<1是不成立的． 2．B [解析] 二项展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝26－r ²C r 6x 6－3r 2，令6－3r 2＝0，得r ＝4，故展开式中的常数项为26－4³C 46＝4³15＝60．3．A [解析] x ＝4，y ＝1，|y －x |＝3→x ＝1，y ＝－12，|y －x |＝32→x ＝－12，y ＝－54，|y －x |＝34＜1，故输出的y 值为－54． 4．B [解析] 分成两类，第一类：男女男女男女，先排男生，当男生甲在最前面的位置时，女生乙只能在其右侧，当男生甲不在最前面的位置时，女生乙均有两种排法，另外两位男生和两位女生的排法都有A 22种，所以第一类的排法总数为A 22²A 22＋C 12²C 12²A 22²A 22＝20．第二类：女男女男女男，与第一类类似，也有20种排法．所以满足条件的排法有40种．5．13＋23＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22[解析] 1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，故猜想第n 个等式是13＋23＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22．【提升训练】6．A [解析] 该程序计算的是1＋4＋7＋…＋31，即数列{3k －2}的前11项的和，由等差数列的求和公式得S ＝1＋312³11＝176，故输出的S 的值为176． 7．A [解析] 题中程序框图的功能是计算数列{a n }的前10项之和的平均值，即输出的S 是5＋322³1010＝18.5． 8．D [解析] 当n ＝2014时输出s 的值，该程序计算的是sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 2013π3的值．函数y ＝sin n π3的最小正周期为6，在任意一个周期内6个函数值之和为零，而2013＝335³6＋3，所以sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 2013π3＝sin π3＋sin 2π3＋sin π＝3． 9．C [解析] 甲、乙的站法有A 22种，其余人的站法有A 22A 33种，所以不同站法的种数为A 22A 22A 33＝24．10．A [解析] 根据已知得2n ＋2n －1＝96，解得n ＝6．二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(3x )6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝(－1)r 36－r C r 6x 6－4r 3，令6－4r 3＝2，解得r ＝3，所以展开式中含有x 2的项的系数为(－1)3³33³C 36＝－540．11．6 [解析] 根据题意，x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，而x 3＝[(x －2)＋2]3＝C 03³(x －2)0³23＋C 13³22(x －2)＋C 23³21(x －2)2＋C 33³20(x －2)3，则a 2＝C 23³21＝6．12．300 [解析] 若0号实验放在最后，则编排方法有A 55＝120(种)．0号实验不能放在第五项，只能放在第二、第三、第四项上，此时最后两项只要选出即可，所以编排方法有3³C 25³A 33＝180(种)．由分类加法计数原理得总的编排方法有120＋180＝300(种)．13．12＋22＋32＋…＋n 21＋2＋3＋…＋n ＝2n ＋13 [解析] 把第一个等式写成121＝33，不难看出等式右端的分母均为3，分子组成等差数列3，5，7，9，…，2n ＋1．故第n 个等式为12＋22＋32＋…＋n 21＋2＋3＋…＋n ＝2n ＋13． 14．2 [解析] 第一次循环，i ＝3³5＋1＝16，i ＝16＞50不成立；第二次循环，k ＝0＋1＝1，i ＝3³16＋1＝49，i ＝49＞50 不成立；第三次循环，k ＝1＋1＝2，i ＝3³49＋1＝148，i ＝148＞50成立，跳出循环体，输出k 的值为2．15．10 [解析] 据题意知无论球怎么分，S 5应为定值，所以计算其中一种分法：(5)→(1，4)→(1，2，2)→(1，1，1，2)→(1，1，1，1，1)，此时S 5＝1³4＋2³2＋1³1＋1³1＝10．专题限时集训(五)A【基础演练】1．C[解析] 根据已知，得f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2． 2．C[解析] 易知选项C 中的函数符合题意． 3．D[解析] a ＝21.2＞21＝2，b ＝0.50.8＜0.50＝1，1＝log 22＜c ＝log 23＜log 24＝2，所以a ＞c ＞b ．4．B [解析] 因为y ＝f (2x )＋x 是偶函数，所以f (－2x )＋(－x )＝f (2x )＋x ，所以f (－2x )＝f (2x )＋2x ，令x ＝1，则f (－2)＝f (2)＋2＝3．5．13 [解析] f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－1)＝13．【提升训练】6．D [解析] f (－3)＝－f (3)＝－23＝－8．7．C [解析] 由f (x )＞1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x －1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x 12＞1，解得x ＜－1或x ＞1． 8．C [解析] 易知选项A ，C 中的函数是偶函数，又函数y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，故选C ．9．C [解析] 易知0＜a ＝log 32＜log 33＝1，b ＝log 23＞log 22＝1，c ＝log 125＜log 121＝0，故c <a <b ．10．B [解析] 根据对数函数的性质，当y ＝|log 2x |的值域为[0，2]时，其定义域的最大区间为⎣⎡⎦⎤14，4，故区间[a ，b ]的长度的最大值为4－14＝154． 11．C [解析] 易知f (x )是奇函数且f (x )不具有周期性，故排除A 选项；又因为在其定义域上函数值正负相间反复变化，所以排除D 选项；在区间(0，π)上函数值大于零，故排除B 选项，因此只有选项C 中的图像符合题意．12．C [解析] 由题意可知，函数f (x )的图像在定义域内必须是“上凸”的，故只能是选项C 中的函数，证明如下：ln(x ＋2)＋ln x ＝ln(x 2＋2x )＜ln(x 2＋2x ＋1)＝ln(x ＋1)2＝2ln(x ＋1)．13．(－3，2) [解析] 由6－x －x 2＞0，得－3＜x ＜2．14．(－1，1) [解析] 若m ≥0，则0≤m <1；若m ＜0，则－m ＞0，故f (m )＝f (－m )＜f (1)，得－m ＜1，即－1＜m ＜0．综上可得－1＜m ＜1．15．4027 [解析] 因为f (t )＋f ⎝⎛⎭⎫1t ＝a ln t ＋b lg t ＋1＋a ln 1t ＋b lg 1t＋1＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12014＝f (1)＋⎣⎡⎦⎤f （2）＋f ⎝⎛⎭⎫12＋⎣⎡⎦⎤f （3）＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋⎣⎡⎦⎤f （2014）＋f ⎝⎛⎭⎫12014＝1＋2013³2＝4027．专题限时集训(五)B【基础演练】1．B [解析] 当函数y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称时，函数y ＝f (x )未必是奇函数，如函数f (x )＝x 2－4；反之，若函数y ＝f (x )为奇函数，则函数y ＝|f (x )|为偶函数，其图像一定关于y 轴对称．故“函数y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称”是“y ＝f (x )为奇函数”的必要不充分条件．2．A [解析] 易知只有选项A ，B 中的函数为偶函数，且选项A 中的函数在区间(1，2)上单调递增．3．A [解析] 因为f (b )＝2，所以f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2，所以tan b ＋sin b ＝1，所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0．4．C [解析] f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2．5．⎣⎡⎦⎤－14，14 [解析] 当x ≥0时，f (x )＝－⎝⎛⎭⎫12x －122＋14∈⎣⎡⎦⎤0，14，由于f (x )是奇函数，所以其值域为⎣⎡⎦⎤－14，14．【提升训练】6．A [解析] 易知函数y ＝1x －sin x是奇函数，其图像关于坐标原点对称，且当x →＋∞时，y →0，故选项A 中的图像符合题意．7．A [解析] 由f (x ＋2)＝1－f （x ），得f (x ＋4)＝1－f （x ＋2）＝f (x )，所以f (2014)＝f (2)，又f (2＋2)＝1－f （2），所以f (2)＝－1f （4）＝－12－3＝－2－3． 8．C [解析] a ＝14＝log 949＝log 93＜log 83＝c ，a ＝log 93＞log 985＝b ，所以c ＞a ＞b ． 9．C [解析] 在f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2012x －1＝3x 中，令x ＝2，得f (2)＋2f (2014)＝6①；令x ＝2014，得f (2014)＋2f (2)＝6042②．由①②，得f (2014)＋12－4f (2014)＝6042，解得f (2014)＝－2010．10．A [解析] 若f (x )＝2x ，则g (x )＝f (x ＋a )－f (x )＝2x ＋a －2x ＝2x (2a －1)，因为a 为正实数，所以2a －1＞0，所以对于任意的正数a ，函数g (x )＝f (x ＋a )－f (x )都是其定义域上的增函数，因此选项A 正确．11．A [解析] 由12log 2(a ＋b )＋log 22a ＝12log 21a ＋b ＋log 2b 2，可得2（a ＋b ）a ＝b 2（a ＋b ），即ab ＝2(a ＋b )，所以(a －2)(b －2)＝ab －2(a ＋b )＋4＝4，所以log 2(a －2)＋log 2(b －2)＝2．12．A [解析] 由于函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，所以f (x ＋a )＝f (－x ＋a )对∀x ∈R 恒成立，所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称．又函数y ＝f (x )在区间(－∞，a )上是增函数，所以函数y ＝f (x )在区间(a ，＋∞)上是减函数．由|x 1－a |＜|x 2－a |，得f (x 1)＞f (x 2)．13．－14 [解析] 由M ＝(x －y )2－(x －y )＋2y 2＝⎣⎡⎦⎤（x －y ）－122＋2y 2－14≥－14，可知M 的最小值为－14． 14．[2，＋∞) [解析] 由题意，m ≠0．因为定义域是[0，＋∞)的函数f (x )＝(x －1)2为[0，＋∞)上的“m 高调函数”，所以x ＋m ≥0恒成立，即m >0，又(x ＋m －1)2≥(x －1)2在区间[0，＋∞)上恒成立，即2mx ＋m 2－2m ≥0在区间[0，＋∞)上恒成立，所以只需m 2－2m ≥0，解得m ≥2，所以实数m 的取值范围是[2，＋∞)．15．17 [解析] 函数f (x )和g (x )的图像都是中心对称图形，其对称中心都为(1，0)，如图所示，故其交点也关于点(1，0)成中心对称，且对称的两个交点的横坐标之和为2．函数f (x )＝2sin πx 的最大值为2，当x ＝9时，g (9)＝2，f (x )＝2sin πx 的最小正周期为2，故在区间(1，3)，(3，5)，(5，7)，(7，9)内，两个函数的图像各有2个交点，即在区间(1，9)内两个函数的图像有8个交点，故与此对称的区间(－7，1)内也有8个交点，这16个交点的横坐标之和为16．又f (1)＝g (1)，即x ＝1也为其交点的横坐标，所以所有交点的横坐标之和为17．专题限时集训(六)【基础演练】1．A [解析] 若m <0，则方程m ＋log 2x ＝0(x ≥1)有一解，即函数f (x )存在零点；反之，若函数f (x )有零点，则m ≤0．所以“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件．2．A [解析] 易知f (x )在定义域内单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫14＝214－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＝212－1＞0，故选A ．3．B [解析] 画出函数y ＝tan x ，y ＝1x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的图像(图略)，由图可知，两个函数的图像只有一个公共点，故函数f (x )＝tan x －1x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2内零点的个数为1． 4．B [解析] 已知函数f (x )与g (x )的图像在R 上连续，由表可知，函数f (x )在区间[0，1]上的函数值由3．011变化到5．432，而函数g (x )在区间[0，1]上的函数值由3．451变化到4.890，所以这两个函数在区间(0，1)上有交点，即方程f (x )＝g (x )在区间(0，1)上有实数解．5．－12 [解析] 因为函数f (x )＝ax ＋b 的零点为x ＝2，所以2a ＋b ＝0，即b a＝－2．由bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12．【提升训练】6．C [解析] 画出函数y ＝f (x )和y ＝－x ＋m 的图像，如图所示，则所求问题等价于两个函数的图像有交点，由图易知m ∉(0，1]，故m ∈(－∞，0]∪(1，＋∞)．7．C [解析] ∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，又当x ≤0时，f (x )＝2x －12x ＋a ，∴20＋a ＝0，解得a ＝－1，故当x ≤0时，f (x )＝2x －12x －1．令f (x )＝2x －12x －1＝0，解得x ＝－1或x ＝0，故f (－1)＝0，则f (1)＝0．综上所述，函数f (x )的零点的个数是3．8．D [解析] 由2＝4－a 12，可得a ＝4，即f (x )＝4－4x ，其零点x 1＝1；由2＝4－log b 12，得b ＝12＝22，即g (x )＝4－log 22x ，其零点x 2＝14；由2＝4－⎝⎛⎭⎫12c ，得c ＝－1，所以h (x )＝4－x －1，其零点x 3＝14．故x 1＋x 2＋x 3＝1＋14＋14＝32．9．B [解析] 根据题意可知只需作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ＞0)的图像关于原点对称的图像，确定它与函数y ＝－x 2－4x (x ≤0)的图像的交点个数即可，由图可知，只有一个交点，故选B ．10．D [解析] 令f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x ，易知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x 是偶函数，且当x >0时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞1，2x ，0＜x ≤1.令g (x )＝kx ＋1，画出函数f (x )和g (x )的图像，如图所示．设曲线y ＝－2x (x ＜－1)上任意一点的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，－2x 0，y ′＝2x 2，所以曲线y ＝－2x (x ＜－1)在点⎝⎛⎭⎫x 0，－2x 0处的切线方程为y ＋2x 0＝2x 20(x －x 0)，当该切线过点(0，1)时，有1＋2x 0＝2x 20(0－x 0)，得x 0＝－4，此时切线的斜率k ＝18．由图易知当直线g (x )＝kx ＋1的斜率k ∈⎝⎛⎭⎫0，18时，g (x )与f (x )的图像有五个交点．根据对称性可得当－18＜k ＜0时，g (x )和f (x )的图像也有五个交点，则k ∈⎝⎛⎭⎫－18，0∪⎝⎛⎭⎫0，18．11．(1，＋∞) [解析] 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根．由1x ＋2＝m |x |，得1m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图像，如图所示，由图像可知，m 应满足0＜1m＜1，故m ＞1．12．x ＝12 [解析] 依题意，令f (x )－log 2x ＝a ，a 是常数，则f (a )＝1，所以log 2a ＝1－a ，解得a ＝1，所以f (x )＝1＋log 2x ．令f (x )＝0，解得x ＝12．13．3 [解析] 当x ＞1时，ln x ＞0，此时f (x )＝2x ＋1－x 2，令x 2－2x －1＝0，解得x ＝2＋82＝1＋2；当x ＝1时，ln x ＝0，此时f (x )＝1－x 2，令1－x 2＝0，解得x ＝1；当0＜x ＜1时，ln x ＜0，此时f (x )＝－2x ＋1－x 2，令x 2＋2x －1＝0，解得x ＝－2＋82＝－1＋2．综上可知，函数f (x )＝2x ²g (ln x )＋1－x 2有3个零点．14．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，即原方程只有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝2x ＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，∵H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， ∴H (t )>H (0)＝0，因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，即原不等式在R 上恒成立，应有m ≤0．15．解： (1)由弧长计算公式及扇环面的周长为30米，得30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x10＋x(0<x <10)．(2)由题意可知，花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10)，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比值y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010（17＋x ）．令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211．所以当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比值最大．16．解： (1)设每分钟滴下k (k ∈N *)滴药液．由题意可知，瓶内药液的体积V 1＝π²42³9＋π²22³3＝156π(cm 3)，k 滴球状药液的体积V 2＝k ·43²π²10＝40k3π(mm 3)＝k π75(cm 3)，所以156π＝k π75³156，解得k ＝75，故每分钟应滴下75滴药液．(2)由(1)知，每分钟滴下的药液的体积为π cm 3．当4≤h ≤13时，x π＝π²42²(13－h )，即h ＝13－x16，此时0≤x ≤144；当1≤h ＜4时，x π＝π²42²9＋π²22²(4－h )，即h ＝40－x4，此时144＜x ≤156．综上可得，h (x )＝⎩⎨⎧13－x16，0≤x ≤144，40－x4，144＜x ≤156.专题限时集训(七)【基础演练】1．B [解析] f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4．2．D [解析] 设切点为P 0(a ，b )，f ′(x )＝3x 2＋1，则切线的斜率k ＝f ′(a )＝3a 2＋1＝4，所以a ＝±1．当a ＝－1时，b ＝－4；当a ＝1时，b ＝0．所以P 0点的坐标为(1，0)或(－1，－4)．3．B [解析] 阴影部分的面积为－∫3π2π2cos xdx ＝－sin x 3π2π2＝－(－1－1)＝2．4．A [解析] 令f ′(x )＝x －1x ＝（x －1）（x ＋1）x ＝0，得x ＝1．∴当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0．∴函数f (x )在x ＝1处取得最小值，且最小值为f (1)＝12－ln 1＝12．5．x －y －2＝0 [解析] 易知切点的坐标为(1，－1)，又y ′＝1x ，∴切线的斜率为1，∴所求切线方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0．【提升训练】6．B [解析] y ′＝2ax －1x ，由题意可知，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝2a －1＝0，得a ＝12．7．A [解析] f ′(x )＝cos x －x sin x ，则该导函数为偶函数，且f ′(0)＝1，f ′(π)＝－1，易知A 选项符合题意．8．C [解析] 易知阴影部分的面积为∫40xdx ＝＝163，长方形OABC 的面积为8，故所求概率为1638＝23．9．C [解析] 因为f (x )＝(x 2－2ax )e x ，所以f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ．因为f (x )在区间[－1，1]上是减函数，所以f ′(x )＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ≤0在区间[－1，1]上恒成立且不恒为0，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在区间[－1，1]上恒成立且不恒为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋（2－2a ）－2a ≤0，1－（2－2a ）－2a ≤0，解得a ≥34．又当a ＝34时，x 2＋(2－2a )x －2a 不恒为0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞．10．D [解析] g ′(x )＝1，令g (x )＝g ′(x )，则α＝1．h ′(x )＝1x ＋1，令h (x )＝h ′(x )，结合图像(图略)可知，β<1．φ′(x )＝－sin x ，令φ(x )＝φ′(x )，∴γ＝3π4>2．∴β<α<γ．11．D [解析] 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上，f (x )＜f ′(x )tan x 等价于f ′(x )sin x －f (x )cos x ＞0．构造函数g (x )＝f （x ）sin x ，则g ′(x )＝f ′（x ）sin x －f （x ）cos x sin 2x ＞0，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增．g ⎝⎛⎭⎫π4＜g ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫π422＜f ⎝⎛⎭⎫π332，即3f ⎝⎛⎭⎫π4＜2f ⎝⎛⎭⎫π3，故选项A 中的不等式不成立； g (1)＞g ⎝⎛⎭⎫π6，即f （1）sin 1＞f ⎝⎛⎭⎫π612，即f (1)＞2f ⎝⎛⎭⎫π6sin 1，故选项B 中的不等式不成立；g ⎝⎛⎭⎫π6＜g ⎝⎛⎭⎫π4，即f ⎝⎛⎭⎫π612＜f ⎝⎛⎭⎫π422，即2f ⎝⎛⎭⎫π6＜f ⎝⎛⎭⎫π4，故选项C 中的不等式不成立；g ⎝⎛⎭⎫π6＜g ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫π612＜f ⎝⎛⎭⎫π332，即3f ⎝⎛⎭⎫π6＜f ⎝⎛⎭⎫π3，故选项D 中的不等式成立．12．4x －y －3＝0 [解析] 易知切点的坐标为(1，1)，又f ′(x )＝2x ＋2x ，∴切线的斜率为f ′(1)＝4，故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0．13．163 [解析] 由2x 2＝－4x －2，得x ＝－1，所以由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，x＝1围成的封闭图形的面积为∫1－1(2x 2＋4x ＋2)dx ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 3＋2x 2＋2x 1－1＝143－⎝⎛⎭⎫－23＝163． 14．解：(1)令h (x )＝f (x )－g (x )，则h ′(x )＝(x ＋1)(2－e x )，∴h (x )极小值＝h (－1)＝1e －1，h (x )极大值＝h (ln 2)＝(ln 2)2．(2)由已知可知，当x ∈(－2，0)时，x 2＋2x ＋1≥ax e x 恒成立，即a ≥x 2＋2x ＋1x e x ＝x ＋2＋x －1e x恒成立．令t (x )＝x ＋2＋x －1e x ，则t ′(x )＝－（x 2＋1）（x ＋1）x 2e x，∴当x ∈(－2，－1)时， t ′(x )>0，则t (x )在区间(－2，－1)上单调递增；当x ∈(－1，0)时， t ′(x )<0，则t (x )在区间(－1，0)上单调递减．故当x ∈(－2，0)时， t (x )max ＝t (－1)＝0， ∴a ≥0．15．解：(1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ．令f ′(x )＞0，则ln x ＞－1＝ln 1e ，所以x ＞1e ；令f ′(x )＜0，则ln x ＜－1＝ln 1e ，所以0＜x ＜1e．所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e ， f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ln 1e ＝－1e ，f (x )无极大值． (2)证明：不妨设0<x 1＜x 2，要证f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即证x 2ln x 2－x 1ln x 1x 2－x 1＜ln x 1＋x 22＋1，即证x 2ln x 2－x 1ln x 1＜x 2ln x 1＋x 22－x 1ln x 1＋x 22＋x 2－x 1，即证x 2ln 2x 2x 1＋x 2＜x 1ln 2x 1x 1＋x 2＋x 2－x 1．将上式两边同时除以x 1，得x 2x 1ln 2²x 2x 11＋x 2x 1＜ln 21＋x 2x 1＋x 2x 1－1，令x 2x 1＝t ，则t ＞1，即证t ln 2t 1＋t ＜ln 21＋t ＋t －1．令g (t )＝tl n2t 1＋t －ln 21＋t－t ＋1，则g ′(t )＝ln 2t 1＋t ＋t ·1＋t 2t ²2（1＋t ）2＋1＋t 2²2（1＋t ）2－1＝ln 2t 1＋t ＋1－t 1＋t ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t －1t ＋1－t －1t ＋1．令t －1t ＋1＝x (x ＞0)，h (x )＝ln(1＋x )－x ，则h ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x＜0，所以h (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，所以h (x )＜h (0)＝0，即ln(1＋x )－x <0，即g ′(t )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t －1t ＋1－t －1t ＋1＜0恒成立，所以g (t )在区间(1，＋∞)上是减函数，所以g (t )＜g (1)＝0，即t ln2t 1＋t ＜ln 21＋t＋t －1，所以f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22． 16．解： (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a ．当a ≤0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，若x ∈(－∞，ln a )，则f ′(x )＜0，若x ∈(ln a ，＋∞)，则f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，ln a )上单调递减，在区间(ln a ，＋∞)上单调递增．综上可知，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f(x )的单调递减区间为(－∞，ln a )，单调递增区间为(ln a ，＋∞)．(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1．设g (x )＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1，则g ′(x )＝e x (x －k ＋1)．(i)若k ≤1，则当x ＞0时，g ′(x )＞0，所以g (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，而g (0)＝1，故当x ＞0时，g (x )＞1＞0，即有(x －k)f ′(x )＋x ＋1＞0恒成立．(ii)若k ＞1，则当x ∈(0，k －1)时，g ′(x )＜0；当x ∈(k －1，＋∞)时，g ′(x )＞0．所以g (x )在区间(0，＋∞)内的最小值为g (k －1)＝k －e k －1＋1．令h (k )＝k －e k －1＋1，则h ′(k )＝1－e k －1，因为k >1，所以h ′(k )<0，故h (k )在区间(1，＋∞)上单调递减．而h (2)＞0，h (3)＜0，所以当1＜k ≤2时，h (k )＞0，即g (k －1)＞0，从而当x ＞0时，g (x )＞0，即(x －k )f ′(x)＋x ＋1＞0恒成立；当k ≥3时，h (k )<0，即g (k －1)<0，故g (x )＞0在区间(0，＋∞)内不恒成立．综上所述，整数k 的最大值为2．专题限时集训(八)【基础演练】1．C [解析] y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，故其最小正周期为2π2＝π．2．B [解析] 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6(x ∈R )的图像上所有的点向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝sin x ＋5π12(x ∈R )的图像，再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋5π12(x ∈R )的图像．3．C [解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，所以只需把函数y ＝sin 2x 的图像向左平移5π12个单位长度即可得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像．4．－23 [解析] 由a ∥b ，可得－3sin θ＝2cos θ，又易知cos θ≠0，所以tan θ＝－23． 5．－13 [解析] 根据已知易得tan α＝－2，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝－2＋11＋2＝－13．【提升训练】6．B [解析] 由题知x B －x A ＝3＝T2，所以T ＝6，x A ＝－1，y 轴左侧距离y 轴最近的最低点的横坐标为－4，所以f (x )的单调递增区间是[6k －4，6k －1](k ∈Z )．7．D [解析] 当0≤θ＜π2时，d ＝2cos θ；当π2＜θ＜π时，d ＝2cos(π－θ)＝－2cos θ．故选D ．8．A [解析] 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ的图像，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π－π3，k ∈Z ．又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3．因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，易知当x ＝0时，f (x )min ＝－32．9．A [解析] 由f (x )＝－f (x ＋π)知函数f (x )的周期为2π，所以ω＝1．又f (0)＝12，|φ|<π2，所以φ＝π6，于是g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，π6≤x ＋π6≤23π，所以－1≤g (x )≤3，所以g (x )的最大值与最小值之和为3－1．10．B [解析] 将f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像向左平移m 个单位，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m －π6的图像，由题意得2³π6＋2m －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π2＋π6(k ∈Z )．又∵m >－π2，∴当k ＝－1时，m 取得最小值－π3． 11．12 [解析] 设OB ＝1，则PB ＝tan α，△OPB 的面积为12tan α，又扇形OAB 的面积为12α，所以12tan α＝2³12α，所以αtan α＝12．12．－22 [解析] g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π3＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －3π4，由π3≤x ≤2π3，得π4≤3x －3π4≤5π4，所以当3x －3π4＝5π4，即x ＝23π时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝sin 5π4＝－22． 13．－43 [解析] 由⎩⎨⎧sin α＋3cos α＝5，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧cos α＝55，sin α＝255或⎩⎨⎧cos α＝255，sin α＝－55，所以tan α＝2或－12．当tan α＝－12时，tan 2α＝2³⎝⎛⎭⎫－121－14＝－43；当tan α＝2时，tan 2α＝2³21－4＝－43．故tan 2α＝－43．14．解：(1)由已知易得f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3，∴3≤f (x )≤5， ∴f (x )max ＝5，f (x )nim ＝3．(2)∵当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋32π，k ∈Z 时f (x )单调递减，而π6≤2x －π3≤2π3，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤5π12，π2．15．解：(1)∵f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫8π3＋π6＋1＝2sin 5π6＋1＝2sin π6＋1＝2．(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1．∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，∴0≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1≤3．故当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数f (x )的值域是[0，3]．16．解：(1)由题意，得AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)，当θ＝2π3 时，sin θ－cos θ＝sin 2π3－cos 2π3＝1＋32，－2sin θ＝－2sin2π3＝－62，所以 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－62．(2)因为AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ) ，所以|AB →|2＝(sin θ－cos θ)2＋(－2sin θ)2 ＝1－sin 2θ＋2sin 2θ＝1－sin 2θ＋1－cos 2θ ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4．因为0≤θ≤π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝5π4时，|AB →|2取得最大值3，即当θ＝π2时，|AB →|取得最大值3．专题限时集训(九)【基础演练】1．C [解析] 由AB sin C ＝AC sin B ，即3sin C ＝112，得sin C ＝32，所以C ＝120°(C ＝60°舍去)．又B ＝30°，所以A ＝30°，所以S △ABC ＝12AB ²AC sin A ＝34．2．B [解析] 易知C ＝30°．由正弦定理得2sin 45°＝csin 30°，所以c ＝1．3．B [解析] f (x )＝sin 2x －12sin 2x －32cos 2x ＝12sin 2x －32 cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，易知f (x )的最小值为－1．4．C [解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1－12⎝⎛⎭⎫1－19＝59． 5．π6 [解析] 由正弦定理及已知，得a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝32，即cosB ＝32，∴B ＝π6．【提升训练】6．C [解析] cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝1＋132＝23．7．B [解析] 由题意得12CA ²CB ²sin π3π³12＝334π，所以CA ·CB ＝3．在△AOB 中，由OA ＝OB ＝1，OA →²OB →＝－12，得∠AOB ＝2π3，所以AB ＝3．由余弦定理得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ²CB cos π3，即CA 2＋CB 2＝6，结合CA ·CB ＝3，得CA ＝CB ＝3，所以△ABC 为等边三角形．8．A [解析] 依题意得sin 2A －sin 2B ＝2sin A sin C －sin 2 C ，∴由正弦定理可得a 2－b 2＝2ac －c 2，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∴B ＝π4．9．C [解析] 设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由已知条件可知bc cos A ＝7，a ＝6．根据余弦定理可得36＝b 2＋c 2－14，所以b 2＋c 2＝50，所以bc ≤25．S △ABC ＝12bc sin A＝12bc 1－cos 2A ＝12bc 1－49（bc ）2＝12（bc ）2－49≤12252－49＝12，当且仅当b ＝c ＝5时等号成立，故所求最大值为12．10．A [解析] 由于G 为△ABC 的重心，所以GA →＋GB →＋GC →＝0，即GC →＝－GA →－GB →，所以⎝⎛⎭⎫a －33c GA →＋⎝⎛⎭⎫b －33c GB →＝0，所以a ＝b ＝33c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝13c 2＋c 2－13c22³33c ²c＝32．又0＜A ＜π，所以A ＝π6．11．－247 [解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos(π－α)＝－45，所以sin α＝－35，tan α ＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247． 12．11 [解析] △ABC 的面积S ＝12³3³43＝233，又S ＝12AC ²BC ²sin C ＝34AC ²BC ，所以AC ·BC ＝83．根据余弦定理有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝(AC ＋BC )2－3AC ·BC ，所以(AC ＋BC )2＝3＋3³83＝11，所以AC ＋BC ＝11．13．2 [解析] 设△ABC 外接圆的半径为R ，则2R ＝BCsin 120°＝a 2＋b 2－2ab cos 120°32＝（a ＋b ）2－ab32≥4－⎝⎛⎭⎫a ＋b 2232＝2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．14．解：(1)由已知可得1＋cos B ＝3sin B ，∴sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12．又0<B <π，∴B ＝π3，∴C ＝π－A －B ＝π4，∴c ＝b sin B ²sin C ＝63．(2)由(1)知B ＝π3，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．又a ＝2c ，∴c 2＝13，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝36．15．解：(1)证明：∵a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b, 即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ，∴由正弦定理可得sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B ． ∴由正弦定理可得a ＋c ＝2b ，故a ，b ，c 成等差数列． (2)由B ＝60°，b ＝4及余弦定理得 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， ∴(a ＋c )2－3ac ＝16．又由(1)知a ＋c ＝2b ，∴有4b 2－3ac ＝16，即64－3ac ＝16，解得ac ＝16,∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝43．16．解：(1)∵在Rt △COB 中，CB ＝3sin x ，OB ＝3cos x ，∴OA ＝DA tanπ6＝CB tan π6＝sin x ，AB ＝OB －OA ＝3cos x －sin x ， ∴f (x )＝AB ·BC ＝(3cos x －sin x )·3sin x ＝3sin x ²cos x － 3 sin 2x ＝32sin 2x －32(1－cos2x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－32，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3．(2)y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－32＋3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6－32＝3⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－ 3＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12－3．由0＜x ＜π3，0＜x ＋π4＜π3，得0＜x ＜π12，∴5π12＜2x ＋5π12＜7π12， ∴当2x ＋5π12＝π2，即x ＝π24时，y max ＝6－3．专题限时集训(十)【基础演练】1．C [解析] 由a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3³22d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2，所以a 9＝0＋8³2＝16．2．C [解析] 设数列{a n }的公比为q ．易知a 5是a 2和a 8的等比中项，因此a 25＝a 2a 8＝1³64＝64．又由于a 5a 2＝q 3，所以a 5与a 2的符号可能相同，也可能不相同，因此a 5＝±8．3．C [解析] 由a 3＋a 4－a 5＋a 6＝8，得a 3＋a 5＝8，所以a 1＋a 7＝8，所以S 7＝7³（a 1＋a 7）2＝28．4．B [解析] 在等差数列{a n }中，因为a 1＋a 7＋a 13＝π，所以a 7＝π3，所以a 2＋a 12＝2π3，所以tan(a 2＋a 12)＝－3．5．2 [解析] 由已知可得2(a n q 2－a n )＝3a n q ，即2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12．又a n ＋1＞a n ，所以q ＝2．【提升训练】6．B [解析] 由a 2＋a 4＋a 9＝24，得3a 1＋12d ＝24，即a 1＋4d ＝8，即a 5＝8，所以S 9＝a 1＋a 92³9＝9a 5＝72．7．D [解析] 由S n ＋2－S n ＝36，得a n ＋2＋a n ＋1＝36，即a 1＋(n ＋1)d ＋a 1＋nd ＝36．又a 1＝1，d ＝2，所以n ＝8．8．C [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，2a 1q 2＋a 1q 3＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－12，q ＝－4.又a n ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴a 5＝a 1q 4＝16． 9．B [解析] 当a n ＝2a n －1(n ＝2，3，4，…)时，若a 1＝0，则该数列各项均为0，此时数列{a n }不是等比数列；反之，若数列{a n }是公比为2的等比数列，则一定有a n ＝2a n －1(n ＝2，3，4，…)．故在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1(n ＝2，3，4，…)”是“{a n }是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．10．B [解析] 根据等比中项的概念，得a m ＋1a m －1＝a 2m ，所以a 2m ＝2a m (m ≥2)．又a m ＞0，所以a m ＝2．由于数列{a n }为等比数列，故a 1＝2，即对任意正整数m ，a m ＝2．T 2k －1＝2³22k －2＝512，解得k ＝5．11．－20 [解析] 设数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 9＝9a 1＋36d ＝11，S 11＝11a 1＋55d ＝9，两式相减，得2a 1＋19d ＝－2，∴S 20＝20a 1＋190d ＝－20．12．512 [解析] 由a 3a 4a 8＝8，得a 31q 12＝8，即a 1q 4＝2，即a 5＝2，所以T 9＝a 1a 2…a 9＝a 95＝512．13．π2 [解析] 根据定积分的几何意义，得⎠⎛024－x 2d x ＝π，所以a 4＋a 8＝π，所以a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 6a 6＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2．14．解：(1)证明：∵对任意正整数n ，有n ，a n ，S n 成等差数列， ∴2a n ＝n ＋S n (n ∈N *)．又a n ＝S n －S n －1(n ≥2且n ∈N *)，∴2(S n －S n －1)＝n ＋S n ，即S n ＝2S n －1＋n ，∴S n ＋n ＋2＝2S n －1＋2n ＋2，∴S n ＋n ＋2＝2[S n －1＋(n －1)＋2]，即S n ＋n ＋2S n －1＋（n －1）＋2＝2(n ≥2且n ∈N *)，∴{}S n ＋n ＋2为等比数列．(2)由(1)知{}S n ＋n ＋2是首项为S 1＋3＝a 1＋3＝4，公比为2的等比数列，∴S n ＋n ＋2＝4³2n －1＝2n ＋1．又2a n ＝n ＋S n ，∴2a n ＋2＝2n ＋1， ∴a n ＝2n －1．15．解：(1)当n ＝1时，a 1＝1，3a n ＋1＋2S n ＝3a 2＋2a 1＝3⇒a 2＝13；当n ≥2时，3a n ＋1＋2S n ＝3，3a n ＋2S n －1＝3，两式相减可得3(a n ＋1－a n )＋2(S n －S n －1)＝0，即3a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1a n ＝13．故数列{a n }是首项为1，公比为13的等比数列，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1．(2)因为∀n ∈N *，32k ≤S n 恒成立，且S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ，即32k ≤32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ，所以k ≤1－⎝⎛⎭⎫13n．当n ＝1时，1－⎝⎛⎭⎫13n取得最小值23，所以k ≤23，故实数k 的最大值为23． 16．解：(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)． ∵a 1＝2且a 2，a 4，a 8成等比数列，∴(3d ＋2)2＝(d ＋2)(7d ＋2)，解得d ＝2．故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ． (2)设c n ＝b n －(－1)n a n 的公比为q ． ∵b 2＝7，b 5＝71，a n ＝2n ，∴c 2＝b 2－a 2＝7－4＝3，c 5＝b 5＋a 5＝71＋10＝81， ∴q 3＝c 5c 2＝813＝27，解得q ＝3，∴c n ＝c 2²q n －2＝3³3n －2＝3n －1，即b n －(－1)n a n ＝3n －1，∴b n ＝3n －1＋(－1)n 2n ，∴数列{b n }的前2n 项和为b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝(1＋3＋32＋…＋32n －1)＋2[－1＋2－3＋4－…－(2n －1)＋2n ]＝1－32n 1－3＋2n ＝9n 2＋2n －12．专题限时集训(十一)【基础演练】1．B [解析] 因为等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，所以S n ＝n 2＋2n ，所以S nn＝n＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为3＋4＋5＋…＋12＝75．2．B [解析] 根据等比数列的性质得a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18，所以a 5a 6＝9，所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5 log 39＝10 ．3．C [解析] a 5＋a 8＋a 11＝3a 1＋21d ＝3(a 1＋7d )＝3a 8，而S 15＝15a 8，所以S 15为定值．4．D [解析] 因为a n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋…＋110－112＝121＋12－111－112＝175264．5．6 [解析] 设数列{a n }的公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0．又a 1＝1，a 3＝4＝a 1q 2＝q 2，所以q ＝2．又S k ＝1－2k1－2＝63，即2k ＝64，所以k ＝6．【提升训练】6．A [解析] 由S 35＝S 3992，得a 36＋a 37＋…＋a 3992＝(a 36＋a 3992)＋(a 37＋a 3991)＋…＋(a 2013＋a 2015)＋a 2014＝2a 2014＋2a 2014＋…＋2a 2014＋a 2014＝3957a 2014＝0，所以a 2014＝0，所以a ·b ＝2014＋a n a 2014＝2014．7．A [解析] 把P ，Q 的坐标代入一次函数f (x )的解析式得k ＝2，b ＝0，故f (x )＝2x ，。

2024高中数学计算限时训练(解析版)

2024高中数学计算限时训练（解析版）计算预备知识1.关于平方112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324 192=361202=4002.关于平方根2≈1.4143≈1.7325≈2.2366≈2.4507≈2.64610≈3.1623.关于立方根32≈1.26033≈1.44234≈1.58735≈1.71036≈1.81737≈1.91339≈2.080310≈2.1544.关于ππ≈3.14π2≈1.57π3≈1.05π4≈0.79π5≈0.63π6≈0.52πe≈22.465.关于ee≈2.718e2≈7.389e3≈20.086e≈1.6491e≈0.3681≈0.135eπ≈23.14e26.关于lnln2≈0.693ln3≈1.099ln5≈1.609ln7≈1.946ln10≈2.3037.关于三角函数sinπ5≈0.588sinπ8≈0.383cosπ5≈0.809cosπ8≈0.924tanπ5≈0.727tanπ8≈0.4148.关于loglg2≈0.301lg3≈0.477lg7≈0.8459.关于阶乘4!=245!=1206!=7207!=504010.关于双重根号3±22=2±14±23=3±17±43=2±38±27=7±1 11.关于三角度数sin15°=cos75°=6-24sin75°=cos15°=6+24tan15°=2-3tan75°=2+3初中内容(简单回顾初中的相关计算)训练1(建议用时:10分钟)1.当x>2时, |x-2|=2.若|m-n|=n-m, 且|m|=4,|n|=3, 则m+n=3.用科学记数法表示248000004.若x,y为有理数, 且|x+2|+(y-2)2=0, 则x+y=5.若|a+2|+(b-3)2=0, 则a b=6.用科学记数法表示0.000000217.若有理数x,y的乘积xy为正, 则|x|x+|y|y+|xy|xy的值为8.已知|x|=3,|y|=5, 且|y-x|=x-y, 则2x+y=9.已知代数式x-3y2的值是5 , 则代数式x-3y22-2x+6y2的值是10.关于x,y的单项式2m3x2y的次数是11.已知代数式a2+2a-2b-a2+3a+mb的值与b无关, 则m的值是12.若a,b互为倒数, m,n互为相反数, 则(m+n)2+2ab=13.-2πx3y5的系数是14.已知a-3b-4=0, 则代数式4+2a-6b的值为15.已知代数式x2+x+1的值是3 , 那么代数式5x2+5x+8的值是16.若a,b互为相反数, m,n互为倒数, 则a+b+2mn-3=17.单项式4πx2y49的系数为 , 次数为训练2(建议用时：10分钟)1.已知3a2x-3b与-12a5b4y+5是同类项,则|x+5y|等于2.多项式-2ab2+4a5b-1的项分别是,次数是3.已知多项式x2-3kxy-y2+6xy-8不含xy项, 则k的值是4.单项式πx2y37的系数是 , 次数是;多项式5x2y-3y2的次数是5.已知(a+1)2+|b-2|=0, 则a b+1的值等于6.当x=时,式子2x+56与x+114+x的值互为相反数.7.已知代数式5x-2的值与110互为倒数, 则x=8.某件商品, 按成本提高40%后标价, 又以8折优惠卖出, 结果仍可获利15元, 则这件商品的成本价为9.当x=时, 32x+1与x-3的值相等10.当代数式1-(3m-5)2有最大值时, 关于x的方程3m-4=3x+2的解为11.若方程4x-1=5与2-a-x3=0的解相同, 则a的值为=b, 则当b=1时方程的解为12.已知13x-213.已知关于x的一元一次方程x+2m=-1的解是x=m, 则m的值是14.已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解, 则整式m+2n+2020的值为15.当x=时,式子3-2x与2+x互为相反数16.若-4a m b3与3a2-m b n-1可以合并成一项,则m n的值是17.已知x=3是方程11-2x=ax-1的解,则a=18.已知一元一次方程(m-4)x+m2=16的解是x=0, 则m=19.要使关于x,y的多项式my3+3nx2y+2y3-x2y+y不含三次项, 则2m+3n的值为训练3(建议用时:10分钟)1.已知a m=3,a n=9, 则a3m-n=2.当a时, (a-2)0=13.已知2x+5y-5=0, 则4x⋅32y的值是4.已知2a=3,2b=5, 则22a+2a+b=5.若3x=10,3y=5, 则32x-y=6.已知3x÷9y=27, 则2020+2y-x的值为7.已知x+4y=1, 则2x⋅16y=8.计算:(-3)2021×13 2020=9.已知2x=3,2y=5, 则22x-y=2020×(1.5)2021=10.-2311.若2x+y=3, 则4x⋅2y=12.若5x=18,5y=3, 则5x-y==0, 则y x=13.若(x-2)2+y+1314.计算:(-1)0+13 -1=15.计算:a2⋅a4+-3a32-10a6=16.已知6m=2,6n=3, 则6m+n2=17.已知2x+3-2x=112, 则x的值为18.已知x-y=5,xy=2, 则x2+y2=19分解因式:-xy2+4x=20.已知m-n=3, 则m2-n2-6n=21.已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方式, 则k的值是=22.若m+1m=3, 则m2+1m223.若x2-(m-3)x+4是一个完全平方式, 则m的值是训练4(建议用时:10分钟)1.已知关于x的二次三项式x2+2kx+16是一个完全平方式, 则实数k的值为2.分解因式:4x2-4y2=3.分解因式:3xy3-27x3y=4.分解因式:4(a+b)2-(a-b)2=5.若x2-ax+1(x-1)的展开式是关于x的三次二项式, 则常数a=6.已知x+1x=3, 且0<x<1, 则x-1x=7.若a2+6a+b2-4b+13=0, 则a b=8.若y2+py+q=(y+3)(y-2), 则-pq=9.(-2a)3⋅1-2a+a2=10.已知a+b=2,ab=-2, 则(a-2)(b-2)=11.已知方程组x+2y=k,2x+y=2的解满足x+y=2, 则k的平方根为12.已知2x+5y=3, 用含y的式子表示x, 则x=13.若单项式-3a2m+1b8与4a3m b5m+n是同类项, 则这两个单项式的和为14.若方程组x+y=4,2x-y=-1的解也是2x-ay=14的解, 则a=15.已知二元一次方程组2x+y=7,x+2y=8,则x-y=x+y=16.不等式2x-12-3≤0的非负整数解共有个17.已知不等式12x-3≥2x与不等式3x-a≤0的解集相同, 则a=18.解不等式2+3x≤3-5x, 则x19.不等式组-13x>2,5-x>3的解集为20.不等式组2x-3<1,1-x≤3的解集为训练5(建议用时:10分钟)1.已知直角三角形的两边长分别为3,5 , 且第三边是整数, 则第三边的长度为2.若三角形的三边长分别为a,b,c, 且|a-b|+a2+b2-c2=0, 则△ABC的形状为3.已知直角三角形两直角边a,b满足a+b=17,ab=60, 则此直角三角形斜边上的高为4.在直角坐标系中, 点A(2,-2)与点B(-2,1)之间的距离AB=5.在直角三角形中,其中两边的长度分别为3,4 , 则第三边的长度是6.在直角三角形ABC中, ∠C=90°,BC=12,CA=5,AB=7.若a、b为实数, 且(a+3)2+b-2=0, 则a b的值为8.11的整数部分是小数部分是9.已知实数x,y满足3x+4+y2-6y+9=0, 则-xy的算术平方根的平方根的相反数等于10.计算:|-5|+(2-1)0=11.计算:20+|1-2|=12.3-7的相反数是 , 绝对值等于3的数是13.116的平方根是14.-8的立方根是,16的平方根是15.19-35的整数部分为a, 小数部分为b, 则2a-b=16.若x-4+(y+3)2=0, 则x+y=17.已知a是64的立方根, 2b-3是a的平方根,则114a-4b的算术平方根为训练6(建议用时:10分钟)1.在第三象限内到x轴的距离为2 , 到y轴的距离为3的点的坐标为2.在平面直角坐标系中, 点A(-2,1)关于y轴的对称点A 的坐标是3.点P(-1,1)先向左平移2个单位长度, 再向上平移3个单位长度得点P1, 则点P1的坐标是4.在平面直角坐标系中, 点M(a,b)与点N(5,-3)关于x轴对称, 则ab的值是5.如果点P(m,1-2m)在第四象限,那么m的取值范围是6.点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标为 , 关于y轴对称的点的坐标为7.在平面直角坐标系中, 过点P(6,8)作PA⊥x轴, 垂足为A, 则PA的长为8.点P(-2,6)到x轴的距离是9.若点A(m+2,-3)与点B(-4,n+5)在二、四像限的角平分线上, 则m+n=10.已知点A(m,3)与点B(2,n)关于x轴对称, 则(m+n)2020的值为11.已知点P(2m,m-1), 当m=时, 点P在二、四象限的角平分线上12.点A(-7,9)关于y轴的对称点是13.如果(3a-3b+1)(3a-3b-1)=80, 且a>b, 那么a-b的值为14.已知1<x<5, 化简(x-1)2+|x-5|=15.已知a-1+|b-5|=0,则(a-b)2的值是16.若|x+1|+y-2=0, 则x2+y2的值为17.a,b是自然数,规定a∇b=3×a-b3, 则2∇17的值是训练7(建议用时:15分钟)1.若一组数据1,2,x,4的平均数是2 , 则这组数据的方差为2.有40个数据, 其中最大值为35 , 最小值为14 , 若取组距为4 , 则分成的组数是3.小明抛掷一枚质地均匀的硬币, 抛掷100次硬币,结果有55次正面朝上,那么朝上的频率为4.当m=时, 解分式方程x-5x-3=m3-x会出现增根5.若(x-y-2)2+|xy+3|=0, 则3xx-y+2x y-x÷1y的值是6.分式方程3x2-x +1=xx-1的解为7.若关于x的方程axx-2=4x-2+1无解,则a的值是8.化简:1x-1-1x2-x=9.计算2aa2-16-1a-4的结果是10.若m+n=3,mn=2, 则1m+1n=11.若关于x的分式方程2x-ax-2=12的解为非负数, 则a的取值范围是12.若一次函数y=(a-1)x+a-8的图象经过第一、三、四象限, 且关于y的分式方程y-5 1-y+3=ay-1有整数解, 则满足条件的整数a的值之和为13.若整数a使关于x的不等式组x-12<1+x3,5x-2≥x+a有且只有四个整数解, 且使关于y的方程y+ay-1+2a1-y=2的解为非负数, 则符合条件的所有整数a的和为14.若关于x的分式方程2x-ax-2=13的解为非负数, 则实数a的取值范围是15.已知关于x的分式方程2a+1x+1=a有解,则a的取值范围是16.若分式方程2xx-1-m-1x-1=1有增根,则m的值是训练8(建议用时:15分钟)1.已知5x+1(x-1)(x+2)=Ax-1+Bx+2, 则实数A+B=2.当分式21-3m的值为整数时, 整数m的值为3.解方程:3-2xx-1=-1x-1.4.若x=3-1, 则代数式x2+2x-3的值是5.已知等式|a-2021|+a-2022=a成立, 则a-20212的值为6.若m=20202021-1, 则m3-m2-2022m+2020=7.计算(5-2)2021(5+2)2022的结果是8.已知xy=2,x+y=4, 则x y+yx=9.若M=1ab-a b⋅ab, 其中a=3,b=2, 则M的值为10.如果y=x-2+4-2x-5,那么y的值是11.已知16-n是整数, 则自然数n所有可能的值为12.已知20n是整数,则满足条件的最小正整数n为13.若3+5的小数部分是a,3-5的小数部分是b, 则a+b=14.已知整数x,y满足x+3y=72, 则x+y的值是15.已知x=5-12,y=5+12, 则x2+y2+xy的值是16.已知4a+3b与b+12a-b+6都是最简二次根式且可以合并, 则a+b的值为17.已知m,n是正整数, 若2m+5n是整数, 则满足条件的有序数对(m,n)为18.已知4a+1是最简二次根式, 且它与54是同类二次根式, 则a=训练9(建议用时:15分钟)1.设x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根, 则1x1+1x2的值为2.方程(x-1)(x+5)=3转化为一元二次方程的一般形式是3.已知关于x的方程x2+2kx-1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是4.如果α,β(α≠β)是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根, 则α2+α-β的值是5.写出一个以-1为一个根的一元二次方程6.已知一元二次方程(a-1)x2+7ax+a2+3a-4=0有一个根为零, 则a的值为7.设m,n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根, 则m2+4m+n=8.已知一元二次方程x2+3x-4=0的两个根为x1,x2, 则x21+x1x2+x22=9.已知关于x的方程x2-6x+p=0的两个根是α,β, 且2α+3β=20, 则p=10.已知一个正六边形的边心距是3, 则它的面积为11.同一个圆的内接正方形和正三角形的内切圆半径比为12.以半径为1的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是13.用一个圆心角为120°, 半径为9cm的扇形围成一个圆雉侧面, 则圆雉的高是cm.14.有一组数据:-1,a,-2,3,4,2, 它们的中位数是1 , 则这组数据的平均数是15.已知一组数据3,4,6,8,x的平均数是6 , 则这组数据的中位数是16.五个整数从小到大排列后, 其中位数是4 , 如果这组数据的唯一众数是6 , 那么这组数据可能的最大的和是17.小明用s2=110x1-32+x2-32+⋯+x10-32计算一组数据的方差,那么x1+x2+x3+⋯+x10=训练10(建议用时:15分钟)1.一个不透明的布袋里放有5个红球、3个黄球和2个黑球, 它们除颜色外其余都相同,则任意摸出一个球是黑球的概率是2.二次函数y=-x2-2x+3的图象上有两点A-7,y1,B-8,y2, 则y1y2. (填">"∗"或"=")3.若关于x的函数y=ax2+(a+2)x+(a+1)的图象与x轴只有一个公共点, 则实数a的值为4.把抛物线y=x2+1先向右平移3个单位长度, 再向下平移2个单位长度, 得到的抛物线为5.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10), 则a-b+c=6.若二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1), 则代数式1-a-b的值为7.若把二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-m)2+k的形式, 其中m,k为常数, 则m+k=8.若抛物线y=-(x-m)(x-2-n)+m-2与抛物线y=x2-4x+5关于原点对称, 则m+n =9.已知△ABC∼△DEF, 且相似比为3:4,S△ABC=2cm2, 则S△DEF=cm210.在△ABC中, 点D,E分别在AB,AC上, 且DE⎳BC. 如果ADAB=35,DE=6, 那么BC=11.在△ABC中, 如果∠A,∠B满足|tan A-1|+cos B-122=0, 那么∠C=12.计算:sin230°+cos260°-tan245°=13.已知等腰三角形的两边长分别为5和8 , 则底角的余弦值为14.已知在△ABC中, ∠B=30°,∠C=45°,AB=4, 则BC的长为15.一个不透明的袋中放有4个红球和x个黄球,从中任意摸出一个恰为黄球的概率为34, 则x 的值为高中内容计算专题加强训练训练11对数运算(建议用时:5分钟)1.log312.log232 33.lg1004.lg0.0015.lg1100006.log1101007.ln e8.log31279.log12410.lg0.1211.lg310012.ln1e13.log214 214.log13915.写出高中阶段学过的对数运算公式.训练12指数运算(建议用时:13分钟)1.化简:56a 13b -2⋅-3a -12b -1 ÷4a 23⋅b -3 12(a >0,b >0).2.化简:a 3b 23ab 2a 14b 12 4a -13b 13(a >0,b >0).3.已知x 12+x -12=3, 求x 32+x -32+2x 2+x -2+3的值.4.已知a 2x=2+1, 求a 3x +a -3x a x +a -x 的值.5.x -1x 23+x 13+1+x +1x 13+1-x -x 13x 13-1.6.a 3+a -3 a 3-a -3a 4+a -4+1 a -a -1 +a 21+a -4 -2a -a -1.训练13指对运算(建议用时:5分钟)这个训练考查对数的相关计算, 要记住什么是指对互换、对数恒等变形、换底公式、对数运算公式,还有就是幂的运算.1.823-log 2510 -1+4log 23+4lg 22-4lg2+1.2.20222023 0+80.25⋅42+(32⋅3)6--23 23⋅49 -13-1.3.4(3-π)4+(0.008)-13-(0.25)12×12 -4.4.12lg 3249-43lg 8+lg 245+21+log 23.训练14错位相减(建议用时:20分钟)1.求b n =(2n -1)2n 的前n 项和.2.求b n=n22n-1的前n项和.3.求c n=(2n-1)4n-1的前n项和.4.求b n=(2n-1)13 n-1的前n项和.+2n的前n项和.5.求b n=n+14n训练15求值域(建议用时:20分钟)下列题目涉及了高中阶段不少求值域的方法, 要学会看到什么式子大概清楚使用什么方法或者说哪些方法来求解, 比如看到y=x-3+5-x就知道可以使用平方法来求解.1.y=5x-14x+2,x∈[-3,-1]..2.y=x2+2x2+13.y=2x+1-2x.4.y=x+4+9-x2..5.y=2x2+4x-7x2+2x+36.y=log3x+log x3-1.7.y=(x+3)2+16+(x-5)2+4.8.y=sin x+2cos x-2.9.y=ln x-x.训练16含参一元二次不等式(建议用时:20分钟)1.解不等式ax2>1.2.解不等式2ax2-(a+2)x+1>0(a≠0,a≠2).3.解不等式ax2+(a+2)x+1>0(a≠0).4.解不等式x2+ax+1<0.训练17解三角形周长(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求△ABC周长的取值范围．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式+三角形三边关系.法二:正弦定理+辅助角公式.2.若A=π3,a=3, 求锐角△ABC周长的取值范围.3.在△ABC中, B=π3, 若a+c=1, 求b的取值范围.训练18解三角形面积(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求S△ABC的最大值．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式.法二:正弦定理+辅助角公式十三角形面积公式.2.若A=π3,a=2, 求锐角△ABC面积的取值范围.3.在平面四边形ABCD中, AD=2,CD=4,△ABC为等边三角形, 求三角形BCD面积的最大值.训练19数列存在性(建议用时:20分钟)在新高考的模式下, 原本的数列压轴题被调整到了解答题的前两题,但是得分率并不乐观, 接下来的几篇训练着重练习数列中的存在性、奇偶项、绝对值、不等式(放缩)等问题.1.已知等差数列a n=2n-1, 求m,k m,k∈N∗的值, 使得a m+a m+1+a m+2+⋯+a m+k=65.2.已知等差数列a n=2n-7, 试求所有的正整数m, 使得a m a m+1a m+2为数列a n中的项.3.已知数列a n=1n(n+1), 问:是否存在正整数m,k, 使1akS k=1a m+19成立?若存在, 求出m,k的值;若不存在, 请说明理由.4.已知数列a n=3n,b n=2n-1, 数列b n的前n项和为T n, 问:是否存在正整数m,n,r, 使得T n=a m+r⋅b n成立?如果存在, 请求出m,n,r的关系式;如果不存在, 请说明理由.训练20数列奇偶项(建议用时:20分钟)常见的奇偶项问题(1)a n+a n+1=f(n)或a n⋅a n+1=f(n)类型;(2)(-1)n类型;(3)a2n,a2n-1类型.1已知数列a n满足a n+1+a n=11-n+(-1)n, 且0<a6<1. 记数列a n的前n项和为S n, 求当S n取最大值时n的值.2.已知数列a n满足a1=1,a n+1=12a n+n-1,n为奇数a n-2n,n为偶数记bn-a2n，求数列a n的通项公式.3.设S n为数列a n的前n项和, S n=(-1)n a n-12n,n∈N∗, 求数列a n的通项公式.4.已知等差数列a n=2n-1, 令b n=(-1)n-14na n a n+1, 求数列b n的前n项和T n.训练21数列绝对值(建议用时:20分钟)求数列绝对值的前n项和T n的一般步骤为：(1)求出数列的通项公式;(2)令a n≥0或a n≤0, 求出n的临界值m;(3)若等差数列的项先负后正, 则:T n=-S n,n≤m, -2S m+S n,n>m(4)若等差数列的项先正后负,则:T n=S n,n≤m, 2S m-S n,n>m.1.已知数列a n=53-3n, 求数列a n的前n项和T n.2.已知数列a n=2n-4n, 求数列a n的前n项和S n.3.已知数列a n=sin nπ6-34, 记数列a n 的前n项和为S n, 求S2021.训练22数列不等式(建议用时:20分钟)在学习裂项时我们遇到了数列不等式, 后来随着难度的加大, 各式各样的不等式出现, 比如:12+13+14+⋯+1n=ni=21i<ln n(n≥2)同时这类不等式还会和放缩联系在一起,即:1 n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1,1n+2<n+2-n类似于这样的还有很多,在此就不一一列举了.1.已知数列a n=12 n-1,数列a n 的前n项和为T n,令b1=a1,b n=T n-1n+ 1+12+13+⋯+1n ⋅a n(n≥2), 求证:数列b n 的前n项和S n满足S n<2+2ln n.2.已知数列a n=2n-1的前n项和为S n, 设b n=1a n S n , 数列b n的前n项和为T n, 求证:T n<323.已知数列a n=3n-1,b n=2n-1, 求证:对任意的n∈N∗且n≥2, 有1a2-b2+1a3-b3+⋯+1a n-b n<32训练23导数单调性(建议用时:20分钟)1.讨论函数f (x )=ln x +ax x +1的单调性.2.已知函数f (x )=(ax +1)e x , 其中a ∈R 且a 为常数, 讨论函数f (x )的单调性.3.函数f (x )=xe x -ax 2-2ax +2a 2-a , 其中a ∈R , 讨论f (x )的单调性.训练24圆锥计算化简求值(建议用时:11分钟)这个训练主要考查学生在圆锥曲线上面的计算能力,一方面考查能否化简到底,另一方面考查能否对最后的式子进行求最值计算.1.已知1212-k 2k +22k 2+2k +4+1+12-k 2+2k +4-4-1 =0, 求k 的值.2.求24k 1+2k 2+-16k -44k 2-61+2k 224k 1+2k 2+-48k +124k 2-61+2k 2.3.求1+k 2⋅-12k 21+3k 2 2-4×12k 2-61+3k 2.4.已知12⋅21+k 21+k 2 64k 21+2k 22-241+2k 2 =225, 求k 的值.训练25联立后的韦达与判别式(建议用时:15分钟)1.写出Δ以及韦达式子:y2=8x,y=kx+b.2.写出Δ以及韦达式子:y=kx+2, x28+y22=1.3.写出Δ以及韦达式子:y=kx+m, x26+y2=1.4.写出Δ以及韦达式子:y=k(x-1)+2, x23+y2=1.(建议用时:20分钟)1.已知y=32(x-1),x24+y23=1,求y1-y2的值.2.已知x24+y2=1,x=my+3,m≠0, 两交点分别为M,N, 原点到直线的距离为d, 求当|MN|⋅d取得最大值时直线的方程.3.已知x=my-1,x24+y23=1,若y1-y2=1227, 求m的值.4.已知y=x+b,y2=4x,若y1x1+2+y2x2+2=0, 则求其直线方程.(建议用时:20分钟)1.化简(x+1)2+(y+4)2(x-a)2+(y-2a+2)2=λ(λ>0,λ≠1)之后为(x-2)2+(y-2)2=10, 求a,λ.2.已知直线x=ky+m与圆x2+y2=1联立得1+k2y2+2kmy+m2-1=0, 且k2+m=0, 若x1x2+y1y2=0, 求m,k.3.已知R=t2+16-2, 求y=t+R3-t-R31+t+R3⋅t-R3的最大值.4.已知直线y=kx+1与圆(x-2)2+(y-3)2=1相交, 若x1x2+y1y2=12, 求k.(建议用时:20分钟)1.当λ≠1时, 把(x+1)2+y2(x-1)2+y2=λ化简成圆的标准方程的形式.2.当k>0,k≠1时, 把x2+y2(x-a)2+y2=k化简成圆的标准方程的形式.3.已知0<m2<13, 求41-3m21+m2⋅6m2+11-3m2的取值范围.4.使用两种方式求S△ABC=121+k23+4k24+3k2的最小值.(建议用时:20分钟)1.已知x22+y2=1,x=my+1,且t≠1, 若要使y1x1-ty2x2-t是定值, 求t的值.2.已知x24-y25=1,x=my+3,若k1=y1x1+2,k2=y2x2-2, 求k1k2的值.3.已知x=ty+p2,y2=2px,求k1+k2=y1-px1+p2+y2-px2+p2的值.4.已知y=kx+m,x2+2y2=2,若x1x2+y1-1y2-1=0, 求m的值.1.已知圆(x +1)2+(y -2)2=20与过点B (-2,0)的动直线l 相交于M ,N 两点, 当|MN |=219时,求直线l 的方程.2.已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0, 直线l :ax +y +2a =0, 当直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,且|AB |=22时,求直线l 的方程.3.已知圆C :x 2+(y +1)2=4, 过点P (0,2)的直线l 与圆相交于不同的两点A ,B .(1)若OA ⋅OB =1, 求直线l 的方程.(2)判断PA ⋅PB 是否为定值. 若是, 求出这个定值;若不是, 请说明理由.4.已知圆C :(x +3)2+(y -3)2=4, 一动直线l 过点P (-4,0)且与圆C 相交于A ,B 两点, Q 是AB 的中点, 直线l 与直线m :x +3y +6=0相交于点E .(1)当|AB |=23时,求直线l 的方程.(2)判断PQ ⋅PE 的值是否与直线l 的倾斜角有关. 若无关, 请求出其值;若有关, 请说明理由.1.已知两点A (0,3),B (-4,0), 若P 是圆x 2+y 2-2y =0上的动点,求△ABP 面积的最大值.2.已知P (m ,n )是函数y =-x 2-2x 图象上的动点,求|4m +3n -21|的最小值.3.已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=2, 点P (2,-1), 过P 点作圆C 的切线PA ,PB ,A ,B 为切点.求:(1)PA ,PB 所在直线的方程;(2)切线长|PA |.4.已知圆C 经过坐标原点, 且与直线x -y +2=0相切, 切点为A (2,4).(1)求圆C 的方程;(2)若斜率为-1的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ,N , 求AM ⋅AN 的取值范围.1.已知直线l:x+3y-4=0, 圆C的圆心在x轴的负半轴上,半径为3, 且圆心C到直线l的距离为310 5.(1)求圆C的方程;(2)由直线l上一点Q作圆C的两条切线, 切点分别为M,N, 若∠MQN=120°, 求点Q的坐标.2.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4, 直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切, 求l1的方程;(2)若l1与圆相交于P,Q两点, 线段PQ的中点为M,l1与l2:x+2y+2=0的交点为N, 求证：|AM|⋅|AN|为定值.3.已知圆C的圆心在x轴上, 且与直线4x-3y-2=0相切于点-25,-65.(1)求圆C的方程;(2)经过点P(1,0)作斜率不为0的直线l与圆C相交于A,B两点, 若直线OA,OB的斜率之和等于8 , 求直线l的方程.4.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点, PA,PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线, A,B是切点.(1)求四边形PACB面积的最小值.(2)直线上是否存在点P, 使∠BPA=60°?若存在, 求出点P的坐标;若不存在, 说明理由.训练33解析解答(4)(建议用时:25分钟)1.已知直线l:y=2x+m和椭圆C:x24+y2=1,m为何值时, 直线l被椭圆C所截的弦长为20172.已知椭圆x23+y22=1(a>b>0), 过左焦点F1的斜率为1的直线与椭圆分别交于A,B两点,求|AB|.3.已知点A(0,-1)在椭圆C:x23+y2=1上, 设直线l:y=k(x-1)(其中k≠1 与椭圆C交于E,F两点, 直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N. 当△AMN的面积为33时, 求k 的值.4.已知F是抛物线x2=4y的焦点,过点F的直线与曲线C交于A,B两点, Q(-2,-1), 记直线QA,QB的斜率分别为k1,k2, 求证:1k1+1k2为定值.训练34解析解答(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C:x24+y2=1, 直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点, P为椭圆的上顶点, 且|PA|=|PB|, 求m的值.2.已知椭圆E:x24+y22=1, 设直线y=kx-2被椭圆C截得的弦长为83, 求k的值.3.已知F 为椭圆x 22+y 2=1的左焦点, 设直线l 同时与椭圆和抛物线y 2=4x 各恰有一个公共交点,求直线l 的方程.4.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F , 过点F 的直线l 交抛物线于P ,Q 两点, 交直线y =-1于点R , 求RP ⋅RQ 的最小值.训练35解析解答(6)(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C :x 24+y 22=1, 点A (0,1), 若点B 在椭圆C 上, 求线段AB 长度的最大值.2.已知椭圆C :x 26+y 23=1, 直线y =x +1与椭圆交于A ,B 两点, 求AB 中点的坐标和AB 的长度.3.已知椭圆M :x 23+y 2=1, 直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B , 设直线l 的方程为y =x +m , 先用m 表示|AB |, 再求其最大值.4.已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P(4,2), 且OA⊥OB(O为坐标原点), 求弦AB的长.训练36复合求导(1)(建议用时:3分钟)本训练考查复合函数求导, 这在一些导数压轴题中可能会出现..1.求x-1e x.2.求-34ln x+1+x23.求y=ln2x+1-1的导数.4.求y=cos(-2x)+32x+1的导数.训练37复合求导(2)(建议用时:6分钟)求下列函数的导数.1.y=ln x+1+x22.y=e x+1e x-13.y=2x sin(2x+5)4.y=3x e x-2x+e5.y=ln xx2+16.y=x2(2x+1)37.y=e-x sin2x训练38二面角求解(建议用时:10分钟)1.两平面的法向量为n1=(0,1,-2),n2=(-1,1,-2), 设二面角的平面角为α, 且为锐角, 则求二面角的大小.2.两平面的法向量为n1=(1,0,1),n2=(1,1,1), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.3.一个平面的法向量n1=(x,y,z)满足方程组2x+y-z=0,x+2y-z=0,另一个平面的法向量n2=(0,2,0), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.4.一个平面的法向量n1=x1,y1,z1满足方程组-x1+12z1=0,-y1+12z1=0,另一个平面的法向量n2=x2,y2,z2满足方程组2x2+2y2-2z2=0,2y2-2z2=0,求两平面所成锐二面角α的大小.训练39卡方计算(1)(建议用时:6分钟)本训练主要考查独立性检验的计算,附表: (1)独立性检验统计量K2值的计算公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d(2)独立性检验临界值表:PK2≥k00.150.100.050.0250.010.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 1.列联表如下,计算K2:成绩优良人数成绩非优良人数总计男生92130女生11920总计203050数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀527物理成绩不优秀11213合计614204.列联表如下,计算K2:[0,150](150,475] [0,75]6416(75,115]1010训练40卡方计算(2)(建议用时:10分钟)1.列联表如下, 计算K2:甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200选择物理不选择物理合计男451560女202040合计65351003.列联表如下, 计算K2:视力正常视力不正常总计男生6040100女生401050总计100501504.列联表如下, 计算K2:女性男性合计直播电商用户8040120非直播电商用户404080合计12080200满意不满意合计工薪族403070非工薪族401050合计8040120训练41线性回归计算(1)(建议用时13分钟)本训练考查的是线性回归方程的相关计算, 参考公式:b=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2=ni=1x i y i-nx yni=1x2i-nx 2,a=y -bx ,y=bx+ar=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2ni=1y i-y2=ni=1x i y i-xxyni=1x2i-nx 2ni=1y2i-ny 21,某餐厅查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋), 得到如下统计表:第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x/万人13981012原材料y/袋3223182428根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程.2.某连锁经营公司旗下的5个零售店某月的销售额和利润额如下表:商店名称A B C D E销售额x/千35679万元利润额y/百23345万元用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的线性回归方程.3.某企业坚持以市场需求为导向, 合理配置生产资源, 不断改革、探索销售模式. 下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x(件)与相应的生产总成本y(万元)的五组对照数据:产量x/件12345生产总成本y3781012 /万元试求y与x的相关系数r, 并利用相关系数r说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|>0.75, 则线性相关程度很高, 可用线性回归模型拟合).训练42线性回归计算(2)(建议用时13分钟)1某专营店统计了近五年来该店的创收利润y(单位:万元)与时间t i(单位:年)的相关数据,列表如下:t i12345y i 2.4 2.7 4.1 6.47.9依据表中给出的数据, 是否可用线性回归模型拟合y与t的关系?请计算相关系数r并加以说明(计算结果精确到0.01, 若|r|>0. 8 , 则认为y与t高度相关, 可用线性回归模型拟合y 与t的关系).2某部门统计了某网红景点在2022年3月至7月的旅游收人y(单位:万元), 得到以下数据:月份x34567旅游收人y1012111220根据表中所给数据, 用相关系数r加以判断, 是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?若可以,求出y关于x的线性回归方程;若不可以,请说明理由.3某汽车4S店关于某品牌汽车的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(千元)有如下的统计资料:x23456y 2.0 3.5 6.0 6.57.0试求y关于x的线性回归方程.训练43期望求解(1)(建议用时:12分钟) 1.求期望值.P(X=0)=C02C23C25=P(X=1)=C12C13C25=P(X=2)=C22C03C25=2.求期望值.P(X=0)=C36C310=P(X=1)=C26C14C310=P(X=2)=C16C24C310=P(X=3)=C34C310=3.求分布列Y的期望值, 已知Y=5X,X的可能取值为0,1,2,3,4, 且X∼B4,34.(1)P(X=0)=C0434 014 4=(2)P(X=1)=C1434 114 3=(3)P(X=2)=C2434 214 2=(4)P(X=3)=C3434 314 1=(5)P(X=4)=C4434 414 0=训练44期望求解(2)(建议用时:12分钟)1随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ=0)=1-34 21-232=P (ξ=1)=C 1234 1-34 1-23 2+C 1223 1-23 1-34 2=P (ξ=2)=34 21-23 2+1-34 223 2+C 12231-23 C 1234 1-34 =P (ξ=3)=34 2C 1223 1-23 +C 1234 1-34 23 2=P (ξ=4)=34223 2=求随机变量ξ的期望值.2随机变量X 的可能取值为2,3,4,5.P (X =2)=C 12C 22+C 22C 12C 310=P (X =3)=C 12C 24+C 22C 14C 310=P (X =4)=C 12C 26+C 22C 16C 310=P (X =5)=C 12C 28+C 22C 18C 310=求随机变量X 的期望值.(建议用时:20分钟)1.C r 12⋅212-r ≥C r -112⋅213-r ,C r 12⋅212-r ≥C r +112⋅211-r ,为整数, 则r =2.(-2)r C r 8≥(-2)r +2C r +28,(-2)r C r 8≥(-2)-2C r -28,为偶数, 则r =3.设m ,n ∈N ∗,m ≤n , 求证:C m +1n +1=n +1m +1C mn.4.用二项式定理证明:3n >2n 2+1n ≥3,n ∈N ∗ .(建议用时:20分钟)1.求r的取值范围:C r7⋅2r≥C r-17⋅2r-1,C r7⋅2r≥C r+17⋅2r+1 .2.求r的取值范围:C r8⋅2r≥C r+18⋅2r+1, C r8⋅2r≥C r-18⋅2r-1.3.求k的取值范围:C k1012 k≥C k-11012 k-1, C k1012 k≥C k+11012 k+1.4.展开:x-12x6=。

新课标高考数学一轮复习限时训练1(含答案)

高三数学（理科） 1 / 5限时训练（一）1、已知集合{}21A x x x =><-或，{}B x a x b =≤≤。

A B R = ，A B = {}24x x <≤，则b a 的值为.2、下列命题： ①2log log 22x x +≥成立的充要条件是1x >；②“若0a b >>且0c <，则c c a b>”的逆否命题是真命题； ③命题“x R ∀∈，n N *∃∈，使得2n x < 不成立”的否定形式是“x R ∃∈，n N *∀∈，使得2n x ≥成立”；④若[]1,1x ∀∈-，不等式212x x x m -+>+均成立，则(),1m ∈-∞-；若[]1,1x ∃∈-，使得不等式212x x x m -+>+成立，则(),5m ∈-∞。

其中真命题是。

3、已知函数()()35121a x x f x a x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩。

①当4a =时，求解不等式()1f x >；②若()f x 在R 上单调递减，求实数a 的取值范围4、已知函数()1f x +为偶函数，当(),1x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1b f =-，()2c f =，则a 、b 、c 大小关系为。

高三数学（理科） 2 / 55、定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上单增，则方程()()23f x f x =-的所有实数根的和为。

6、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 都有()()2f x f x +=-，当[]0,2x ∈时()22f x x x =-，则()()()()()0+12+32018f f f f f +++= 。

7、已知()f x 为定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

若实数a 满足()(12a f f ->，试求实数a 的取值范围。

备战2022年高考数学寒假选择题+填空题精准限时训练 1(新高考版)(原卷版)

D． 13 或 9 44
二､多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9．（2021·海南华侨中学高二阶段练习）关于方程 x2 y2 1(m 3 且 m 11) 所对应的图形，下列说 m 3 11 m
，则 A B （
）
A．x 2 x 2
B．x 2 x 2
C．x 1 x 2
D．x 1 x 2
2．（2021·广东汕头·高三期末）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足： x(1 i) 4 3i ，则 z =（）
A． 7 i 2
B． 7 i 2
C． 1 i 2
D． 1 i 2
a1 42 ，则下列结论中正确的是（ A． a0 6
n
C． ai 1092 i0
） B． an1 192
n
D． 1iiai 6 i 1
三､填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分。）
13．（2021·河北沧州·高三阶段练习）已知点 A(1, 2) ， B(x, y)(6 y 2) 都在抛物线 C : y2 2 px( p 0)
A． 4
B． 8
C． 32 3
D．16
5．（2021·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电
子支付只包含微信支付和支付宝支付两种.若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也
用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3
B
，点
P

专题04 立体几何-【李金柱梳理】冲刺2023年高考数学大题突破+限时集训(新高考专用)解析版1

专题04立体几何题型简介立体几何一般作为全国卷第20题21题.重点题型主要是1体积问题及表面积问题2线面距离及线面角问题3二面角问题4空间几何综合问题典例在线题型一：体积及表面积问题1．在如图所示的多面体ABCDE 中，⊥AE 平面ABC ，AE CD ∥，22AE CD ==，3CA CB ==，25AB =．(1)证明：平面ABE ⊥平面BDE ；(2)求多面体ABCDE 的体积．【答案】(1)证明见解析(2)25解（1）证明：设AB ，BE 的中点分别为F ，G ，连接CF ，FG ，DG ，则FG AE ∥，且12FG AE =，又CD AE ∥，且12CD AE =，所以FG CD ∥，且FG CD =，所以四边形CFGD 为平行四边形，所以∥CF DG ．因为⊥AE 平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，所以AE CF ⊥，所以AE DG ⊥，因为CA CB =，F 为AB 的中点，所以CF AB ⊥，所以DG AB ⊥，又AB ，AE ⊂平面ABE ，且AB AE A = ，所以DG ⊥平面ABE ，又DG ⊂平面BDE ，所以平面ABE ⊥平面BDE ．（2）由（1）得CF AB ⊥，CF AE ⊥，且AB ，AE ⊂平面ABE ，AB AE A = ，所以CF ⊥平面ABE ，又因为3CA CB ==，25AB =，F 为AB 的中点，所以2CF =．因为CD AE ∥，AE ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以CD ∥平面ABE ，所以点D 到平面ABE 的距离等于点C 到平面ABE 的距离CF ．因为⊥AE 平面ABC ，AC ，BC ⊂平面ABC ，所以AE AC ⊥，AE BC ⊥，又CD AE ∥，所以CD AC ⊥，CD BC ⊥，又AC ，BC ⊂平面ABC ，且AC BC C = ，所以CD ⊥平面ABC ，连接AD ，多面体ABCDE 的体积V 等于三棱锥D ABC -的体积与三棱锥D ABE -的体积之和，而11252521323D ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，11452522323D ABE V -=⨯⨯⨯⨯=，所以多面体ABCDE 的体积25452533V =+=．变式训练1．如图①，在平面四边形ABCD 中，2AB AD ==，2BC CD ==，60BAD ∠=．将BCD △沿着BD 折叠，使得点C 到达点C '的位置，且二面角A BD C '--为直二面角，如图②．已知,,P G F 分别是,,AC AD AB'的中点，E 是棱AB 上的点，且C E '与平面ABD 所成角的正切值为3．(1)证明：平面//PGF 平面C DB '；(2)求四棱锥P GFED -的体积．【答案】(1)证明见解析解（1）,,P G F 分别为,,AC AD AB '的中点，//PG C D '∴，//PF BC '，,PG PF ⊄ 平面C DB '，,C D BC ''⊂平面C DB '，//PG ∴平面C DB '，//PF 平面C DB '，又PG PF P ⋂=，,PG PF ⊂平面PGF ，∴平面//PGF 平面C DB '.（2）取BD 的中点M ，连接,C M EM '，2AB AD == ，60BAD ∠= ，ABD ∴ 为等边三角形，2BD ∴=，又BC C D ''==222BC C D BD ''∴+=，C DB '∴ 为等腰直角三角形，112C M BD '∴==，C M BD '⊥；二面角A BD C '--是直二面角，即平面C DB '⊥平面ABD ，平面C DB '⋂平面ABD BD =，C M '⊂平面C DB '，C M '∴⊥平面ABD ，C EM '∴∠即为C E '与平面ABD所成角，1tan 3C M C EM EM EM ''∴∠===，解得：2EM =；在EMB △中，由余弦定理得：2222cos60EM BM BE BM BE =+-⋅ ，即2314BE BE =+-，解得：12BE =，E ∴为线段AB 上靠近点B 的四等分点，111442ABD AGF BDE ABD ABD ABD ABDGFED S S S S S S S S ∴=--=--=四边形211222=⨯⨯⨯111113232P GFED GFED V S C M -'∴=⨯⨯=⨯=四棱锥四边形题型二：线面距离及线面角问题．如图，在多面体ABCDE 中，已知ABC ，ACD ，BCE 均为等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面BCE ⊥平面ABC ，H 为AB的中点．(1)判断DE 与平面ABC 的位置关系，并加以证明；(2)求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．【答案】(1)DE ∥平面ABC ，证明见解析；(2)155【详解】（1）DE ∥平面ABC ，理由如下：分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ，同理EP ⊥平面ABC ，所以EP DO ∥，又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以EP DO =，所以四边形DOPE 是平行四边形，所以DE OP ∥，因为ED ⊄平面ABC ，OP ⊂平面ABC ，所以ED ∥平面ABC ；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，令2AC =.则()()())13130,0,0,0,1,0,0,1,0,3,0,0,0,,,0,,2222O A C DH P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,3,,22DE OP E ⎫=∴-⎪⎪⎭所以()33130,2,0,3,,3,2222AC AE DH ⎛=-=-= ⎭⎝⎭ ，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，所以·0·0m AC m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以20333022y y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩则0y =，取2z =，1x ∴=-，则()1,0,2m =-，所以2315cos ,525DH m DH m DH m ===，设直线DH 与平面ACE 所成的角为θ，则15sin cos ,5DH m θ==．变式训练1如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，90ADC BAD ∠=∠=，F 为PA 的中点，2PD =112AB ADCD ===，四边形PDCE 为矩形.(1)求证：//AC 平面DEF ；(2)求平面ABCD 与平面BCP 的夹角的大小；(3)求点F 到平面BCP 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)45 (3)14【详解】（1）设CP DE G = ，连接FG，四边形PDCE 为矩形，G ∴为PC 中点，又F 为PA 中点，//AC FG ∴，又FG ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，//AC ∴平面DEF .（2）以D 为坐标原点，,,DA DC DP正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()1,1,0B ，()0,2,0C，(P ，()1,1,0BC ∴=-，(0,CP =-，设平面BCP 的法向量(),,n x y z =，020BC n x y CP n y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，令1y =，解得：1x =，z =，(n ∴=；z 轴⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量()0,0,1m =，cos ,2m n m n m n⋅∴<>==⋅ ，则平面ABCD 与平面BCP的夹角为45 .（3）由（2）知：1,0,22F ⎛ ⎝⎭，(P，1,0,22PF ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，由平面BCP的法向量(n =，∴点F 到平面BCP 的距离11224PF nd n⋅=== .题型三：二面角问题1如图，四棱锥P -ABCD 中，已知AD BC ∥，BC =2AD ，AD =DC ，∠BCD =60°，CD ⊥PD ，PB ⊥BD ．(1)证明：PB ⊥AB ；(2)设E 是PC 的中点，直线AE 与平面ABCD 所成角等于【答案】(1)证明见解析(2)77解（1）连结BD ，在BDC 中，因为BC=2DC ，∠BCD=60°，由余弦定理()22222cos603BD DC DC DC DC +-⋅⋅︒．因为222BD CD BC +=，所以CD ⊥BD ，又CD ⊥PD ，BD PD D = ，,BD PD ⊂平面PDB ，所以CD ⊥平面PDB ，由于PB ⊂平面PDB ，所以CD ⊥PB ．因为PB ⊥BD ，CD BD D =I ，,CD BD ⊂平面ABCD ，所以PB ⊥平面ABCD ，由于AB ⊂平面ABCD ，因此PB ⊥AB ．（2）解法1：以B 为坐标原点，BC的方向为x 轴正方向，||DC为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，由（1）可知y 轴在平面ABCD 内．则(0,0,0)B ，1322A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(2,0,0)C ，3322D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,22DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．设(0,0,)(0)P t t >，则(2,0,)PC t =- ，1,0,2t E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,222t AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．因为平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =，所以2cos ,||||4AE m AE m AE m t 〈〉==⋅+⋅由AE 与平面ABCD 所成角等于45°，2sin 454t =+，解得t=2．设平面DPC 的法向量1(,,)n x y z =，则110,0.n PC n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,130.22x z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩所以可取1(3,1,3)n =．因为平面BPC 的法向量为2(0,1,0)n = ，于是1212127cos ,7n n n n n n 〈〉=⋅=．因为二面角B-PC-D 是锐二面角，所以其余弦值为77．解法2：取BC 中点为F ，连结EF ，AF ，则EF PB ∥，且AF=DC ．由（1）可知EF ⊥平面ABCD ，∠EAF 是AE 与平面ABCD 所成角，所以∠EAF=45°，所以EF=AF=DC ，于是PB=2EF=2DC ．以B 为坐标原点，BC的方向为x 轴正方向，||DC 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，由（1）可知y 轴在平面ABCD 内．则(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，332D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,0,2)P ，(2,0,2)PC =-，13,22DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．设平面DPC 的法向量(,,)m x y z =，则0,0.m PC m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即可得220,130.22x z x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩所以可取(3,1,3)m = ．因为平面BPC 的法向量(0,1,0)n = ，于是7cos ,7||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅．因为二面角B-PC-D 是锐二面角，所以其余弦值为77．解法3：取BC 中点为F ，连结EF ，AF ，则//EF PB ，且AF=DC ．由（1）可知EF ⊥平面ABCD ，∠EAF 是AE 与平面ABCD 所成角，故∠EAF=45°，因此EF=AF=DC ，于是PB=2EF=2DC=BC ，可得22PC DC =．连结BE ，则BE ⊥PC ．过E 在平面PDC 内作EG ⊥PC ，交PD 于点G ，则∠BEG 是二面角B-PC-D 的平面角．因为PB ⊥BC ，所以2BE DC ，7PD DC =．因为CD ⊥PD ，由PEG PDC △∽△可得147EG =．由PC ⊥平面BEG ，BG ⊂平面BEG ，所以PC ⊥BG ，而CD ⊥BG ，,,PC CD C PC CD ⋂=⊂平面PDC ，故BG ⊥平面PDC ，由于GE Ì平面PDC ，所以BG ⊥GE ，所以由余弦定理得7cos 7GE BEG BE ∠==．因此二面角B PCD --的余弦值为77．变式训练1如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，2AB CD =，AD SD =，SAB △为正三角形，SC BC ⊥，CB CS =.(1)求证：平面SAB ⊥平面SBC ；(2)求二面角C SA D --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)277解（1）分别取BS ，AS 的中点O ，E ，连接OE ，OC ，ED ，则//OE AB 且12OE AB =.因为//AB CD ，2AB CD =，所以//,OE CD OE CD =，所以四边形OCDE 为平行四边形，则//CO DE .因为AD SD =，故DE SA ⊥，故CO SA ⊥.因为CB CS =，故CO SB ⊥.因为SA SB S =I ，SA ，SB ⊂平面SAB ，所以CO ⊥平面SAB.因为CO ⊂平面SBC ，所以平面SAB ⊥平面SBC.（2）连接AO ，因为△SAB 为正三角形，所以AO SB ⊥，因为平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB 平面SBC SB =，AO ⊂面SAB ，所以AO ⊥平面SBC ，OC 、OS 在面SBC 内，又CO SB ⊥，故OA ，OS ，OC 两两垂直，故以O 为坐标原点，OC ，OS ，OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.设2BC SC ==，则22AB SB ==，6OA =，2OC =，所以()0,0,6A ，()2,0,0C，()0,2,0S ，262,,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，（难点：点D 的坐标不易直接看出，可先求出点E 的坐标，利用CO DE =求解点D 的坐标）所以()0,2,6AS =- ，262,,22SD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()2,2,0CS =-.设面SAD 的法向量为()111,,m x y z =，由11111260262022m AS y z m SD x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z =，得()0,3,1m =.设面SAC 的法向量为()222,,x n y z =，则2222260220n AS y z n CS x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令23y =，得()3,3,1n = .则427cos ,727m n m n m n ⋅===⨯⋅，显然二面角C SAD --为锐二面角，所以二面角C SA D --的余弦值为277.题型四：空间几何综合问题1．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，AN BM ∥，2AN AB BC ===，4BM =，CN =(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM （不含端点）上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --的余弦值为3.若存在，求出的CE EM 值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)存在，12CE EM =【详解】（1）证明：正方形ABCD 中，BC AB ⊥，平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD ⋂平面ABMN AB =，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面ABMN ，又BM ⊂平面ABMN ，BC ∴⊥BM ，且BC BN ⊥，又2,BC ==BN ∴=2AB AN == ，222BN AB AN ∴=+，AN AB ∴⊥，又//AN BM ，BM AB ∴⊥，又,,BC BA B BA BC =⊂ 平面ABCD ，∴BM ⊥平面ABCD ；（2）解：如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2B A C ，()()()2,0,2,2,2,0,0,4,0D N M ，设点(),,E a b c ，()01CE CM λλ=<<，()(),,20,4,2a b c λ∴-=-，()04,0,4,2222a b E c λλλλ=⎧⎪∴=∴-⎨⎪=-⎩，()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ∴==-，设平面BEN 的法向量为(),,m x y z = ，()2204220BN m x y BE m y z λλ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+-=⎪⎩，令221,1,,1,1,11x y z m λλλλ⎛⎫=∴=-=∴=- ⎪--⎝⎭ ，显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =，cos ,3BC m BC m BC m⋅∴==，==，即=即23210λλ+-=，解得13λ=或1-（舍），所以存在一点E，且12CE EM =.变式训练1如图，在四棱锥E -ABCD 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，O ､M 分别为线段AD ､DE 的中点，四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE =DE ，AE ⊥DE.(1)求证：CM //平面ABE ；(2)求直线CM 与BD 所成角的余弦值；(3)点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长.【答案】(1)证明见解析(2)6(3)53【详解】（1）证明：取AE 的中点P ，连接BP ､MP ，如图所示.∵M ､P 分别为ED ､AE 的中点，∴PM //AD ，且PM=12AD.又四边形BCDO 是边长为1的正方形，∴BC //OD ，且BC=OD ，又O 为AD 的中点，∴BC //AD ，且BC=12AD ，即PM //BC ，且PM=BC ，∴四边形BCMP 为平行四边形，∴CM //PB ，又CM ⊄平面ABE ，PB ⊂平面ABE ，∴CM //平面ABE.（2）（2）连接EO ，∵AE=DE ，O 为AD 中点，∴EO ⊥AD.∵EO ⊂平面ADE ，且平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE∩平面ABCD=AD ，∴EO ⊥平面ABCD.又OB ⊂平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥OB ，EO ⊥OD ，以O 为原点，OB ､OD ､OE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0A ，1-，0)，C （1，1，0），B （1，0，0），D （0，1，0），(0E ，0，1)，M 11(0,,22∴11(1,,),22CM BD=-- =（-1，1，0）.设直线CM 与BD 所成角为θ，则cosθ=1||2||||CM BD CM BD ⋅=，∴直线CM 与BD所成角的余弦值为6.（3）设ON →=λOD →，则N （0，λ，0），∴NB →=（1，-λ，0），11(1,,)22MB =-- ，设平面BMN 的法向量为n →=(a ，b ，c)，则0,0,n MB n NB ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即220220a b c a b λ⎧--=⎪⎨⎪-=⎩，令a=λ，则b=1，c=2λ-1，∴n →=（λ，1，2λ-1），设面ABE 的法向量为(,,)m x y z =，(1,1,0),(0,1,1)AB AE ==由00AB m x y AE m y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，可取(1,1,1)m =- ．∵平面BMN ⊥平面ABE ，∴0m n →→⋅=，即λ-1+2λ-1=0，解得λ=23，53AN ∴=.模拟尝试一、解答题1．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等边三角形，M 为PA 的中点，PD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD．(1)证明：平面MCD ⊥平面PAB ；(2)若//AD BC ，2AD BC =，2CD AB =，求平面MCD 与平面PBC 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；.【详解】（1）设AD 的中点为E ，连接PE ，因为PAD 为等边三角形，所以PE AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以PE AB ⊥，又PD AB ⊥，,PD PE P PD PE =⊂ ，平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又因为MD ⊂平面PAD ，所以AB MD ⊥，因为在等边三角形PAD 中，M 为PA 的中点，所以MD AP ⊥，因为AB AP A =I ，,AB AP ⊂平面PAB ，所以MD ⊥平面PAB ，因为MD ⊂平面MCD ，所以平面MCD ⊥平面PAB ；（2）连接CE ，由（1）知，AB ⊥平面PAD ，因为AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥，因为//AD BC ，2AD BC =，2CD AB =，所以四边形ABCE 为矩形，即CE AD ⊥，BC AE DE ==，22CD AB CE ==，所以30∠=︒CDE ，设BC a =，2AD a =，tan 60PE AE =⋅︒，tan 303AB CE DE ==⋅︒=，以E 为原点，分别以EC 、ED 、EP 所在直线为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，所以()0,,0A a -，()P，C ⎫⎪⎪⎝⎭，,0B a ⎫-⎪⎪⎝⎭，()0,,0D a，0,2a M ⎛- ⎝⎭，所以,,322a MC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，30,,22a MD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,,3PB a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,3PC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面MCD 和平面PBC 的法向量分别为()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z =，则111111102302a n MC y a n MD y ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，222222200n PB ay n PC ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，即1111x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22203y x z =⎧⎨=⎩，取11y =，21z =，则1n = ，()23,0,1n =，所以121212cos ,35n n n n n n ⋅==⋅，所以平面MCD 与平面PBC.2．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【答案】【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则1111111111433333A A BC A A ABC A ABC A B BC C C B V S h h V S A A V ---=⋅===⋅== ，解得h =所以点A 到平面1A BC；（2）取1A B 的中点E,连接AE,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，12A B =以2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1AC 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()1,0,1m =- ，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =，则20n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()0,1,1n =-r，则1cos ,222m n m n m n ⋅==⨯⋅，所以二面角A BD C --213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭3．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 为线段AB 的中点，4CB =，43AB =118AC =，三棱锥1A A DC -的体积为8．(1)证明：1A D ⊥平面11B C D ；(2)求平面1ACD 与平面1A BC 夹角的余弦值．【答案】(1)见解析65555【详解】（1）证明：因为1AA ⊥平面ABC ，CB ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 为平行四边形，则118AC AC ==，因为43AB =4CB =，所以222AB CB AC +=，所以CB AB ⊥，又因为1AB AA A ⋂=，1AA ⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，所以CB ⊥平面11ABB A ，因为11//CB C B ，所以11C B ⊥平面11ABB A ，又1A D ⊂平面11ABB A ，所以111C B A D ⊥．1832ABC S AB BC =⋅=△，D 为AB 的中点，则132ACD ABC S S ==△△因为1AA ⊥平面ABC ，1111113833A A CD A ACD ACD V V S AA AA --==⋅=⨯= ，所以123AA =11A DB △中，1126A D B D ==1143A B =2221111A D B D A B +=，所以11A D B D ⊥，1111C B BD B ⋂=，111,C B B D ⊂平面11B C D ，所以1A D ⊥平面11B C D ；（2）因为1BB ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，以点B 为坐标原点，BA 、1BB 、BC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,4C 、()3,0,0D 、()143,3,0A 、()10,23,0B ，设平面1DAC 的法向量为()111,,m x y z =，()123,3,0DA = ，()23,0,4DC =-，则11111330340m DA x y m DC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取12x =，可得(2,3m =-，设平面1A CB 的法向量为()222,,x n y z =，()13,3,0BA = ，()0,0,4BC =，则1222433040n BA x y n BC z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取21x =，可得()1,2,0n =- ，所以，6655cos ,55115m n m n m n ⋅===⋅⨯，所以平面1DAC 与平面1ACB 夹角的余弦值为65555.4．（2022·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，PAD 为等边三角形，O 为线段AD 的中点，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M 是线段PC 上的点.(1)求证：OM BC ⊥；(2)若直线AM 与平面PAB 的夹角的正弦值为1010，求四棱锥M ABCD -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)43【详解】（1）因为PAD 为等边三角形，O 为线段AD 的中点，所以PO AD ⊥；因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ；又BC ⊂平面ABCD ，所以PO BC ⊥；在OCD 中，1,2,60OD CD ADC ==∠=︒，由余弦定理可得OC =因为222OC OD CD +=，所以CO AD ⊥；因为//AD BC ，所以CO BC ⊥，所以BC ⊥平面POC ；因为OM ⊂平面POC ，所以OM BC ⊥.（2）由（1）得,,OP OC OD 两两垂直，以O 为坐标原点，建系如图，则()())0,1,0,0,0,,2,0,A P BC -；)(1,0,,0,1,AB PC AP =-=-=；设PM PC λ=，则)AM AP PM =+= ；设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，0y y -==⎪⎩，令y =则()1n =- .因为直线AM 与平面PAB所以n AM n AM ⋅==，解得13λ=或23λ=-（舍），即有13PM PC =，M 是靠近P 的三等分点，所以四棱锥M ABCD -的高等于OP 的23.四棱锥M ABCD -的体积为114222sin 603233V ︒=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=.5．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =，E 是1AA 的中点，底面ABCD 是平行四边形，若1A C ⊥平面1BDC.(1)若1AB AA =，证明：底面ABCD 是正方形(2)若60BAD ∠=︒，求二面角1B BE D --的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）如图，连接1,AC CD ，1A C ⊥平面1BDC ，BD ⊂平面1BDC ，1C D ⊂平面1BDC ，则1AC BD ⊥，11AC C D ⊥，直棱柱中1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥，111AA A C A = ，11,AA A C ⊂平面1ACA ，则BD ⊥平面1ACA ，又AC ⊂平面1ACA ，所以BD AC ⊥，所以平行四边形ABCD 是菱形，1AA AB =，则直棱柱的侧面11ABB A 是正方形，因此侧面11CDD C 也是正方形，所以11CD C D ⊥，11A C CD C = ，11,AC CD ⊂平面11ACD ，所以1C D ⊥平面11ACD ，又11A D ⊂平面11ACD ，所以111C D A D ⊥，直棱柱中易知111DD A D ⊥，而111DD CD D = ，11,DD CD ⊂平面11CC D D ，所以11A D ⊥平面11CC D D ，11C D ⊂平面11CC D D ，所以1111A D C D ⊥，因此底面1111D C B A 是矩形，即四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD 是正方形；（2）由（1）知底面ABCD 是菱形，因此AC BD ⊥，设AC BD O ⋂=，分别以,OA OB 为,x y 轴，过O 与1AA 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，设2AB a =，则3OA a =，OB a =，1(36)A a ，(3,0,0)C a -，(0,,0)B a ，1(36)C a -，1(23,0,6)AC a =-- ，1(3,6)BC a a =-- ，由（1）知211660AC BC a ⋅=-= ，1a =（负值舍去），6(3,0,2E ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，16)B ，6(3,)2BE =- ，(0,2,0)DB = ，16)BB = ，设平面1B BE 的一个法向量是111(,,)m x y z =，则11111606302m BB m BE y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取11x =得3,0)m = ，设平面BED 的一个法向量是222(,,)n x y z =，则2222630220n BE x y n DB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取21x =，得(1,0,2)n = ，3cos ,623m n m n m n ⋅==⨯，所以二面角1B BE D--的余弦值为366．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）直四棱柱1111ABCD A B C D -被平面α所截，所得的一部分如图所示，EF DC =．（1）证明：//ED 平面ACF ；（2）若1242DC AD A E ===，3ADC π∠=，平面EFCD与平面ABCD 433，求点E 到平面ACF 的距离．【答案】（1）详见解析；（2255．【详解】（1）依题：平面α与两平行平面ABCD ，1111D C B A 的交线分别为EF ，DC ，故有//EF DC ，又EF DC =，故有平行四边形EFCD ，∴//ED FC ，ED ⊄面ACF ，FC ⊂面ACF ，∴//ED 平面ACF ．（2）ADC △中，由余弦定理可得3AC =得AC AD ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，故而1AA ，AC ，AD 两两垂直，如图建系．【法一求EH 】取AD 中点H ，由1//AH A E ，1AH A E =得平行四边形1A AHE ，∴1//AA HE ，HE ⊥平面ACD ，作HI DC ⊥，（连EI ），又HE CD ⊥，∴CD ⊥平面EHI ，得CD EI ⊥，又HI DC ⊥，∴EIH ∠为所求二面角的平面角．易求3HI =4tan 33EH EIH HI ∠==，1EH =．【法二求EH 】面ABCD 的法向量显然为()0,0,1n =，设面EFCD 的法向量为(),,k x y z = ，1,0,2E h ⎛⎫⎪⎝⎭，00k DC k DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，令3x =33,1,2k h ⎫=⎪⎪⎭，依题：3119n k h n k⋅=⇒= ．由//ED 平面ACF ，点E 到平面ACF 的距离转化为D 到平面ACF 的距离d ，()1,0,0D ，()3,0C ，13,12DC EF F ⎛⎫=⇒- ⎪⎝⎭ ，设平面ACF 的法向量为(),,m x y z = ，00m AC m m AF ⎧⋅=⇒⎨⋅=⎩可为()2,0,1，255m AD d m⋅== ．真题再练1．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）求BC ；（2）求二面角A PM B --的正弦值．【答案】（12（2）7014【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法PD ⊥ 平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ，则()2,1,1PB a =- ，(),1,0AM a =-，PB AM ⊥ ，则2210PB AM a ⋅=-+= ，解得22a =22BC a ==[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结BD ．因为PD ⊥底面ABCD ，且AM ⊂底面ABCD ，所以PD AM ⊥．又因为PB AM ⊥，PB PD P = ，所以AM ⊥平面PBD ．又BD ⊂平面PBD ，所以AM BD ⊥．从而90ADB DAM ∠+∠=︒．因为90∠+∠=︒MAB DAM ，所以∠=∠MAB ADB ．所以 ∽ADB BAM ，于是=AD BAAB BM．所以2112BC =．所以BC =[方法三]：几何法+三角形面积法如图，联结BD 交AM 于点N．由[方法二]知⊥AM DB ．在矩形ABCD 中，有 ∽DAN BMN ，所以2==AN DAMN BM，即23AN AM =．令2(0)=>BC t t ，因为M 为BC 的中点，则BM t =，=DB，=AM 由1122=⋅=⋅ DAB S DA AB DB AN，得=t 212t =，所以2==BC t （2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则,1,02AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()AP = ，由1111020m AM x y mAP z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，取1x =)m =，设平面PBM 的法向量为()222,,n x y z =，,0,02BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1BP =- ，由222200n BM n BP y z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取21y =，可得()0,1,1n =，cos ,14m n m n m n ⋅==⋅，所以，sin ,m n = 因此，二面角A PM B --14.[方法二]：构造长方体法+等体积法如图，构造长方体1111ABCD A B C D -，联结11,AB A B ，交点记为H ，由于11AB A B ⊥，1AB BC ⊥，所以AH ⊥平面11A BCD ．过H 作1D M 的垂线，垂足记为G ．联结AG ，由三垂线定理可知1⊥AG D M ，故AGH ∠为二面角A PM B --的平面角．易证四边形11A BCD 是边长为2的正方形，联结1D H ，HM ．111111111,2D HM D HM D A H HBM MCD A BCD S D M HG S S S S S =⋅=--- 正方形，由等积法解得31010=HG ．在Rt AHG 中，2310,210==AH HG ，由勾股定理求得355=AG ．所以，70sin 14AH AGH AG ∠==，即二面角A PM B --的正弦值为7014．2．（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）112B D =【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，过E 作AB 的平行线分别与AG BC ，交于其中点,M N ，连接11,AM BN ，因为E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，所以N 是BC 的中点，易证1Rt Rt BCF B BN ≅ ，则1CBF BBN ∠=∠．又因为1190BBN BNB ∠+∠=︒，所以1190CBF BNB BF BN ∠+∠=︒⊥，．又因为111111,BF AB BN AB B ⊥= ，所以BF ⊥平面11A MNB ．又因为ED ⊂平面11A MNB ，所以BF DE ⊥．[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1BB ∴⊥底面ABC ，1B B AB ∴⊥11//A B AB ，11BF A B ⊥，BF AB ∴⊥，又1BB BF B ⋂=，AB ∴⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,B AC ∴()()()1110,0,2,2,0,2,0,2,2B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）．因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．[方法三]：因为11BF A B ⊥，11//A B AB ，所以BF AB ⊥，故110BF A B ⋅= ，0BF AB ⋅=，所以()11BF ED BF EB BB B D ⋅=⋅++ ()11=BF B D BF EB BB ⋅+⋅+ 1BF EB BF BB =⋅+⋅ 11122BF BA BC BF BB ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭11122BF BA BF BC BF BB =-⋅-⋅+⋅112BF BC BF BB =-⋅+⋅111cos cos 2BF BC FBC BF BB FBB =-⋅∠+⋅∠1=52520255-⨯⨯⨯，所以BF ED ⊥．（2）[方法一]【最优解】：向量法设平面DFE 的法向量为(),,m x y z = ，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则cos m BA m BA θ⋅=⋅ 222214a a =⨯-+22214a a =-+当12a =时，2224a a -+取最小值为272，此时cos θ=．所以()minsin θ=，此时112B D =．[方法二]：几何法如图所示，延长EF 交11A C 的延长线于点S ，联结DS 交11B C 于点T ，则平面DFE 平面11B BCC FT =．作1BH FT ⊥，垂足为H ，因为1DB ⊥平面11BB C C ，联结DH ，则1D H B ∠为平面11BB C C 与平面DFE 所成二面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T s =，过1C 作111//CG AB 交DS 于点G ．由111113C S C G SA A D ==得11(2)3C G t =-．又1111B D BT C G C T=，即12(2)3t s s t =--，所以31t s t =+．又111B H BT C F FT=，即11B H =1B H =所以DH ===则11sin B D DHB DH∠===所以，当12t =时，()1min sin 3DHB ∠=．[方法三]：投影法如图，联结1,FB FN，DEF 在平面11BB C C 的投影为1BN F ，记面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的平面角为θ，则1cos B NF DEFS S θ=．设1(02)BD t t =≤≤，在1Rt DB F中，DF ==在Rt ECF中，EF 过D 作1B N 的平行线交EN 于点Q ．在Rt DEQ △中，DE ==在DEF 中，由余弦定理得222cos 2DF EF DE DFE DF EF+-∠=⋅=sin DFE ∠=1sin 2DFE S DF EF DFE =⋅∠ =13,2B NF S = 1cos B NF DFES S θ==sin θ当12t =，即112B D =，面11BBC C 与面DFE所成的二面角的正弦值最小，最小值为3．（2021·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，ABAD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)6.(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥，因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ．因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz-，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,0)3322EB m BC =--= ，设(),,n x y z =r为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m=--．又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以222cos ,244n OA m m -=⋅+，解得1m =．又点C 到平面ABD 321133213226A BCD C ABD V V --==⨯⨯⨯=所以三棱锥A BCD -36．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG BD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG ∠为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =．由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==．又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以3BC =．因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCD BOC V S O S OA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ ．[方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒，记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒．对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos 2βα=．①使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα=．②将①②两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=，由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=，根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =，结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD -的体积为6．4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)CF 与平面ABD 所成的角的437【详解】（1）因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥；在ABD △和CBD △中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥；又因为,DE BE ⊂平面BED ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BED ，因为AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ，所以AC EF ⊥，所以1=2AFC S AC EF ⋅△，当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小.因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==，又因为60ACB ∠=︒，所以ABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，3BE =因为AD CD ⊥，所以112DE AC ==,在DEB 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()()()1,0,0,3,0,0,0,1A B D ，所以()()1,0,1,3,0AD AB =-=-，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取y =()n = ，又因为()31,0,0,,4C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以34CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以cos ,7n CF n CF n CF⋅==，设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n CF θ== 所以CF 与平面ABD所成的角的正弦值为7.5．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD 是边长为8（单位：cm ）的正方形，,,,EAB FBC GCD HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．(1)证明：//EF 平面ABCD ；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．【答案】(1)证明见解析；【详解】（1）如图所示：分别取,AB BC 的中点,M N ，连接MN ，因为,EAB FBC为全等的正三角形，所以,EM AB FN BC ⊥⊥，EM FN =，又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面EAB ⋂平面ABCD AB =，EM ⊂平面EAB ，所以EM ⊥平面ABCD ，同理可得FN ⊥平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知//EM FN ，而EM FN =，所以四边形EMNF 为平行四边形，所以//EF MN ，又EF ⊄平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ．（2）[方法一]：分割法一如图所示：分别取,AD DC 中点,K L ，由（1）知，//EF MN 且EF MN =，同理有，//,HE KM HE KM =，//,HG KL HG KL =，//,GF LN GF LN =，由平面知识可知，BD MN ⊥，MN MK ⊥，KM MN NL LK ===，所以该几何体的体积等于长方体KMNL EFGH -的体积加上四棱锥B MNFE -体积的4倍．因为MN NL LK KM ====，8sin 60EM == 点B 到平面MNFE 的距离即为点B 到直线MN 的距离d，d =(21343V =⨯+⨯⨯==．[方法二]：分割法二如图所示：连接AC,BD,交于O ，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH 的体积加上三棱锥A-OEH 的4倍,再加上三棱锥E-OAB 的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH 的中点P ，连接AP,OP.则EH 垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH 与三棱锥E-OAB 的高均为EM 的长.所以该几何体的体积(21111144444433232V =⋅+⋅⋅⋅⋅6．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【答案】2.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111111143333A A BC A A ABC A ABC A B BC C C B V S h V S A A V ---=⋅===⋅==，解得h =所以点A 到平面1A BC；（2）取1A B 的中点E,连接AE,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得AE 12AA AB ==，1A B =以2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1AC 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()1,0,1m =- ，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c = ，则020n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()0,1,1n =-r，则1cos ,2m n m n m n ⋅==⋅，所以二面角A BD C --2=.7．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)1113【详解】（1）证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥-P ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒，所以ODA OAD∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以//OE 平面PAC（2）解：过点A 作//Az OP ，如图建立空间直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO =-=，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD ，43AB =所以12AC =，所以()23,2,0O ，()43,0,0B ，()23,2,3P ，()0,12,0C ，所以333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则333,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()3,0,0AB =，()0,12,0AC = ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =，则33302430n AE y z n AB ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则=3y -，0x =，所以()0,3,2n =-；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则33302120m AE a b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令a 6c =-，0b =，所以)6m =-；所以cos ,n m n m n m⋅==设二面角C AE B --的大小为θ，则cos cos ,=n m θ=所以11sin 13θ==，即二面角C AE B --的正弦值为1113.8．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ，而,,NK MK K NK MK =⊂ 平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ，（2）因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥，而CB ⊂平面11BCC B ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ，平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，因为AB ⊂平面11ABB A ，故NK AB ⊥，若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NK MN N = ，故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥，所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =--，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯ .若选②，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，而KM ⊂平面MKN ，故NK KM ⊥，而11,1B M BK NK ===，故1B M NK =，而12B B MK ==，MB MN =，故1BB M MKN ≅ ，所以190BB M MKN ∠=∠=︒，故111A B BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM === ，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =--，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯.9．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C -中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，。

高中数学章节限时训练基础题全套(含答案)

高中数学限时训练全套（基础含答案）1.1 集合的含义与基本关系时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<5}，则M∩N等于()A．{x|－5<x<5} B．{x|－3<x<5}C．{x|－5<x≤5} D．{x|－3<x≤5}2．已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是()A．2 B．3 C．4 D．83．如图J1-1-1，U是全集，M，N，S是U的子集，则图中阴影部分所示的集合是()图J1-1-1A．(∁U M∩∁U N)∩S B．(∁U(M∩N))∩SC．(∁U N∩∁U S)∪M D．(∁U M∩∁U S)∪N4．下列集合表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C．M＝{4,5}，N＝{5,4}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}5．集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝9－x2，x∈R}，则M∩N等于() A．{t|0≤t≤3} B．{t|－1≤t≤3}C．{(－2，1)，(2，1)} D．∅6．下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题5分，共15分)7．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝________.8．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.9．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.三、解答题(共15分)10．集合A＝{x|x2＋5x－6≤0}，B＝{x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B.1.2命题、量词与简单的逻辑联结词时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列语句中是命题的是( )①3>2；②π是有理数吗？③sin30°＝12；④x 2－1＝0有一个根为x ＝－1；⑤x >2.A ．①②③B ．①③④C ．③D ．②⑤ 2．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >03．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1<0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0B ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1<0 4．与命题“若a ∈M ，则b M ”等价的命题是( ) A ．若a M ，则b M B ．若b M ，则a ∈M C ．若a M ，则b ∈M D ．若b ∈M ，则a M5．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是( ) A ．a <13 B ．a ≤13 C ．0<a ≤13 D ．a ≥136．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( ) A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2 B ．若x >y ，则x 2<y 2 C ．若x 2≤y 2，则x ≤y D ．若x <y ，则x 2<y 2 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．下列四个命题中：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0； ③∃x ∈N ，使x 2<x ；④∃x ∈N ，使x 为29的约数．其中正确的为________．8．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________．9．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(共15分)10．已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．1.3充分条件与必要条件时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．“a >0”是“|a |>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．“x >0”是“x ≠0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．若条件p ：(x －1)(y －2)＝0，条件q ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题(每小题5分，共15分)7．“x 1>0且x 2>0”是“x 1＋x 2>0且x 1x 2>0”的________条件．8．已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x ＜1，则p 是綈q 成立的____________条件．9．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的__________________条件．三、解答题(共15分)10．已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：x 2－mx －4－n 2≤0(n ＞0)．若p 是q 的充要条件，求m ，n 的值．2.1函数与映射的概念时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝4－xx －1的定义域为( ) A ．(－∞，4) B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4] D ．(－∞，1)∪(1,4] 2．与函数y ＝x ＋1相等的函数是( )A ．y ＝x 2－1x －1B ．y ＝t ＋1C ．y ＝x 2＋2x ＋1D ．y ＝(x ＋1)23．设集合A 和B 都是平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 把集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在映射f 下，象(2,1)的原象是( )A ．(3,1) B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫32，－12 D ．(1,3) 4．已知函数f (x )的定义域为[－1,2)，则f (x －1)的定义域为( ) A ．[－1,2) B ．[0，－2) C ．[0,3) D ．[－2,1) 5．下列各图形中，是函数图象的是( )A B C D6．下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝ln x B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝|x | D ．f (x )＝e x二、填空题(每小题5分，共15分) 7．函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．8．函数y ＝lg (4－x )x －3的定义域是______________．9．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________．三、解答题(共15分)10．若函数f (x )＝1x ＋1，求函数y ＝f [f (x )]的定义域．2.2函数的表示法时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)等于( ) A ．π2 B ．π C.π D ．不确定 2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝⎛⎭⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－353．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1x D ．y ＝x 2＋14．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )A B C D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．9 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 (x ≥2)，－2 (x ＜2)，则f (lg20－lg2)＝( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．设函数f (x )＝41－x，若f (a )＝2，则实数a ＝________. 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1(x ≥0)，x 2(x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2(x ≤1)，2(x >1)，则f (g (3))＝________，g ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________.三、解答题(共15分)10．(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式．一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列函数中，其中是偶函数的是( )A ．f (x )＝x ＋1xB ．f (x )＝x 3－2xC ．f (x )＝1x2 D ．f (x )＝x 4＋x 32．函数f (x )是偶函数，最小正周期为4，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x ，则f (11)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．4 D ．8 3．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1 4．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．3 5．函数y ＝x －1x的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称6．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )f (－x )是奇函数 B ．f (x )|f (－x )|是奇函数 C ．f (x )－f (－x )是偶函数 D ．f (x )＋f (－x )是偶函数二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知f (x )是奇函数，当x ＜0时f (x )＝x 2＋3x ，则f (2)＝________.8．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b ＝________. 9．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________.三、解答题(共15分)10．奇函数f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1＋a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3的减区间是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，4)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)2．下列函数在(0,1)上是增函数的是( )A ．y ＝1－2xB ．y ＝x －1C ．y ＝－x 2＋2xD ．y ＝5 3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1是减函数的区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0) D ．(0,2) 4．函数f (x )＝1－1x在[3,4)上( )A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在5．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |6．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y ＝1－x 2的值域是____________．8．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax －3在区间(2,4)单调，则a 的取值范围是____________． 9．函数y ＝x ＋1的单调递增区间为________．三、解答题(共15分)10．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列运算中，正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 6B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝0D ．(－a 2)3＝－a 6 2．当1<x <3时，化简(x －3)2＋(1－x )2的结果是( ) A ．4－2x B ．2 C ．2x －4 D ．4 3．计算212＋12－1－(1－5)0的结果是( ) A ．1 B ．2 2 C. 2 D ．2－124．化简－x 3x的结果是( )A ．－－x B.x C ．－x D.－x 5．下列各式错误的是( )A ．30.8>30.7B ．0.50.4>0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1 D ．(3)1.6>(3)1.46．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为． 8．函数xx f )31()(=，x ∈[－1,2]的值域为________．9．指数函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a ＝________.三、解答题(共15分)10．若函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．一、选择题(每小题5分，共25分) 1．log 22的值为( )A ．－ 2 B. 2 C ．－12 D.122．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若log x 3＝3，则x ＝9；②若log 4x ＝12，则x ＝2；③若＝0，则x ＝3；④若log 15x ＝－3，则x ＝125.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．对数式log a －2(5－a )＝b 中，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2，＋∞) D ．(2,3)∪(3,5) 4．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞) 5．函数y ＝2－log 2x 的定义域是( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(0,4]D ．(0,4) 二、填空题(每小题5分，共20分)6．比较大小：log 0.2π________log 0.23.14(填“<”“>”或“＝”)． 7．函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫2x －12(a ＞0，a ≠1)的定义域是______． 8．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝________. 9．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2.则m ＝________.三、解答题(共15分)10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性并予以证明．一、选择题(每小题5分，共25分)1．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图J2-7-1，则下列结论正确的是( )图J2-7-1A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞03．若一次函数y ＝kx ＋b 的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么对k 和b 的符号判断正确的是( )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0 4．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f (x )＜0，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤0 B ．a ＜－4 C ．－4＜a ＜0 D ．－4＜a ≤05．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 二、填空题(每小题5分，共20分)6．若二次函数的图象经过点(0,1)，对称轴是x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为_______． 7．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )(x ∈R )且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________. 8．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是________． 9．函数f (x )＝(k 2－3k ＋2)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是__________． 10．幂函数f (x )＝23mmx 的图象关于y 轴对称，且在()0，＋∞递减，则整数m ＝______.三、解答题(共15分)11．f (x )＝－x 2＋ax ＋12－a4在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值．2.8幂函数时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x－1C ．y ＝(x ＋1)2D ．y ＝32x2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3 3．下列幂函数中，定义域为R 的是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12C ．y ＝x 13D ．y ＝x12-4．如图J2-8-1中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－125．已知点⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．是非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 6．已知幂函数y ＝x n 的图象如图J2-8-2，则n 可能取的值是( )图J2-8-2A ．－2B ．2C ．－12 D.12二、填空题(每小题5分，共15分) 7．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)21mm x --的图象不过原点，则m 的取值是________．8．已知幂函数f (x )的图象过点(4,2)，则f ⎝⎛⎭⎫18＝________. 9．幂函数f (x )＝23mmx -的图象关于y 轴对称，且在()0，＋∞递减，则整数m ＝______.三、解答题(共15分) 10．已知f (x )＝(m 2＋2m )21m m x +-，m 为何值时，f (x )是(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)幂函数．2.9函数的图象一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1(x ∈[－1，0))，x 2＋1(x ∈[0，1])，则下列函数图象正确的是( )2．要得到y ＝2·4－x 的图象，只需将函数y ＝23－2x的图象( )A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位 3．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 4．下列图象中能表示函数y ＝f (x )的是( )5．一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一坐标系中的图象大致是()A B C D 6．函数y ＝ln|x －1|的图象大致是( )二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象关于直线y ＝x 对称的图象的解析式为________．8．把f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是___． 9．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图J2-9-1，则不等式f (x )＜0的解集是________．三、解答题(共15分)10．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，求a 的取值范围．2.10函数与方程一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图J2-10-1所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )① ② ③ ④A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④2．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0.1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125) 3．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 4．方程2x ＝2－x 的解的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．函数f (x )＝log 2x ＋2x －1的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫14，12C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1,2) 6．根据上图表格中的数据，可以判定函数f (x )＝e x －x －2的一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k 的值为( )A.－1 B ．0 C ．1 D ．2 二、填空题(每小题5分，共15分)7．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．8．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________．9．函数f (x )＝3ax －2a ＋1在(－1,1)上存在x 0使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是_________．三、解答题(共15分)10．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．x －1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x ＋2123452.11抽象函数时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象是( )2．如果开口向上的二次函数f (t )对任意的t 有f (2＋t )＝f (2－t )，那么( ) A ．f (1)<f (2)<f (4) B ．f (2)<f (1)<f (4) C ．f (2)<f (4)<f (1) D ．f (4)<f (2)<f (1) 3．已知f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，且f (x )≠0，则f (x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．不确定4．f (x )满足f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，若f (4)＝256，f (k )＝0.0625，则k 的值为( ) A ．－4 B ．－2 C.116 D.125．已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，F (x )＝f (x )＋1，则F (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．1C ．2D ．不能确定6．定义在R 上的函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0成中心对称，对任意的实数x 都有f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点________． 8．已知函数f (x )的定义域是[－1,2]，函数f [log 12(3－x )]的定义域为________________．9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝______.三、解答题(共15分)10．已知函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 均有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)判断并证明f (x )在R 上的单调性； (2)求f (x )在[－3,3]上的最值．2.12函数模型及其应用时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地前往B 地，到达B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x (单位：千米)表示为时间t (单位：小时)的函数，则下列正确的是( )A ．x ＝60t ＋50t (0≤t ≤6.5)B ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－50t ，3.5＜t ≤6.5C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤x ≤2.5150－50t ，t ＞3.5 D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－50(t －3.5)，3.5＜t ≤6.52．某厂日产手套总成本y (单位：元)与手套日产量x (单位：副)的函数解析式为y ＝5x ＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副3．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (单位：年)的函数关系图象正确的是( )A B C D4．按复利计算利率的储蓄，在银行整存一年，年息8%，零存每月利息2%，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币( )A ．[2(1＋8%)3.5]万元B ．[2(1＋8%)3(1＋2%)6]万元C ．[2(1＋8%)3＋2×2%×5]万元D ．[2(1＋8%)3＋2(1＋8%)3(1＋2%)6]万元5．下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝1100e x B ．y ＝100ln x C ．y ＝x 100 D ．y ＝100·2x6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.51 二、填空题(每小题5分，共15分)7．用一根长为12 m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应分别为__________________．8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机15年后的价格应降为________元．9．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．三、解答题(共15分)10．为了尽快改善职工住房困难，鼓励个人购房和积累建房基金，决定购房的职工必须按基本工资的高低缴纳住房公积金，办法如下：2.13导数的概念及运算一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( )A.36 B ．0 C.12 xD.32 2．设y ＝x 2·e x ，则y ′等于( )A ．x 2e x ＋2xB ．2x e xC ．(2x ＋x 2)e xD ．(x ＋x 2)·e x3．已知函数f (x )＝ax 2＋3x －2在点(2，f (2))处的切线斜率为7，则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1D ．－24．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2D.⎝⎛⎭⎫12，－2 5．已知函数f (x )＝3x 3－5x ＋1，则f ′(x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 6．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15 二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数f (x )＝ln x －x 2的导数为____________．8．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于____________________． 9．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．三、解答题(共15分)10．求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．2.14导数的应用-单调性、极值、最值一、选择题(每小题5分，共25分) 1．函数y ＝x 2(x －3)的递减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－2,2) 2．函数y ＝x 3－x 2－x ＋1在闭区间[－1,1]上的最大值是( )A.3227B.2627 C ．0 D ．－32273．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．54．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 5．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题(每小题5分，共20分)6．函数y ＝f (x )在其定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如图J2-14-1，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．图J2-14-17．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 8．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间是________．9．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________．三、解答题(共15分)10．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．2.15导数在生活中的应用一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ＝1＋3x －x 3有( )A ．极小值－1，极大值1B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值32．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A ．8 B.203C ．－1D ．－83．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－14．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.12e 2 5．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8 二、填空题(每小题5分，共20分)6．若f (x )＝x 3，f ′(x )＝3，则x 0的值为________．7．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)，在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________． 8．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 9．如图已知函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________. 三、解答题(共15分)10．在边长为60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？3.1任意角、弧度制和任意角的三角函数值一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知角α终边上一点的坐标是(3，－4)，则sinα＝()A.35B．－35 C.45D．－452．圆内一条弦长等于半径，这条弦所对的圆心角为()A.π6弧度 B.π3弧度 C.12弧度D．以上都不对3．若sinθ>0且sinθcosθ<0，则角θ的终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．sin2cos3tan4的值()A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在5．在下列各组角中，终边不相同的是()A．60°与－300°B．230°与950°C．1050°与－300°D．－1000°与800°6．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为()A．40π cm2B．80π cm2 C．40 cm2D．80 cm2二、填空题(每小题5分，共15分)7．写出－720°到720°之间与－1068°终边相同的角的集合________________．8．已知α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(－4m,3m)(m＞0)是α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.9．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第________象限．三、解答题(共15分)10．设90°＜a＜180°.角α的终边上一点为P(x，5)，且cosα＝24x，求sinα与tanα的值．3.2同角三角函数及诱导公式一、选择题(每小题5分，共30分) 1．cos300°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 2．已知sin α＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值为( )A ．±45B ．－45 C.45 D ．－353．α是第四象限角，tan α＝－34，则sin α＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－454．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．25．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B ．－35 C.15 D.35 6．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝( )A ．1B ．－1 C.34 D ．－43 二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知tan α＝3，则sin α＋cos αsin α－2cos α＝______.8.cos (－585°)sin495°＋sin (－570°)的值是______．9．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________. 三、解答题(共15分)10．求证：cos (θ＋π)·sin 2(θ＋3π)tan (π＋θ)·cos 3(－π－θ)＝tan θ.3.3三角函数的图象与性质时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 2．使cos x ＝1－m 有意义的m 值为( )A ．m ≥0B ．m ≤0C ．0≤m ≤2D ．－2≤m ≤0 3．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π125．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2 B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°＜cos10°＜sin168°B ．sin168°＜sin11°＜cos10°C ．sin11°＜sin168°＜cos10°D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．8．设M 和m 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m ＝________.9．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________．三、解答题(共15分)10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．3.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π3，0 C.⎝⎛⎭⎫－π3，0 D ．(3,0) 2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，可以把函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位3．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( ) A ．0 B.π4 C.π2D ．π4．下列函数中，图象的一部分如图J3-4-1的是( )图J3-4-1A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象的两条相邻对称轴之间的距离是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π36．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( ) A ．ω＝12，φ＝π6 B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3二、填空题(每小题5分，共15分)7．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向右平移π6个单位，再向上平移2个单位所得图象对应的函数解析式是________．8．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)在一个周期内，当x ＝π12时，函数f (x )取得最大值2，当x ＝7π12时，函数f (x )取得最小值－2，则函数解析式为________．9．对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，有下列四个结论： ①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；③把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象；④f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数．其中正确命题的序号是________．三、解答题(共15分)10．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？3.5两角和与差及二倍角的三角函数公式时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3 D.132．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D ．sin 215°＋cos 215° 3．已知sin α＝35⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.7 210 B.210 C ．－7 210 D ．－210 4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝( ) A.35 B.15 C ．－35 D ．－155．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．ΠC ．2πD ．4π 6．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－247 二、填空题(每小题5分，共15分)7．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于________8．已知sin(π＋α)＝－13，且α是第二象限角，那么sin2α＝________.9．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________．三、解答题(共15分)10．已知tan(π＋α)＝－13，求sin2⎝⎛⎭⎫π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α的值．3.6简单的三角恒等变换时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知sin α＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α的值为( ) A ．±1225 B ．－725 C.725 D.12252．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( ) A.210 B ．－210 C.7 210 D ．－7 2103．sin α＋cos α＝35，则sin2α＝( )A.1625 B ．－1625 C ．－825 D ．±825 4.1－3tan75°3＋tan75°的值等于( )A ．2＋ 3B ．2－3C ．1D ．－1 5.2－sin 22＋cos4＝( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2 D ．－3cos2 6．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72 B ．－12 C.12 D.72二、填空题(每小题5分，共15分)7．若cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝________. 8．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝______. 9．若sin θ2－2cos θ2＝0，则tan θ＝________.三、解答题(共15分)10．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1的值．3.7正弦定理和余弦定理时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A ＝( ) A ．135° B ．90° C ．45° D ．30°2．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 4．在△ABC 中，若b ＝2a sin B ，则A 等于( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60° D ．30°或150° 5．有下列判断：①△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解； ②△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解； ③△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解； ④△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解．不正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形二、填空题(每小题5分，共15分)7．若在△ABC 中，A ＝60°，b ＝2，△ABC 的面积为2 3，则a ＝________. 8．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.9．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝7 6，B ＝60°，则C ＝________. 三、解答题(共15分)10．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，求△ABC 的面积．3.8解三角形应用举例时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α＞β B ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°2．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间距离为( )A.2a kmB.3a km C ．a km D ．2a km3．如图J3-8-1，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.25 22m4．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( )A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h5．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．20 3 m ，40 33 mB ．10 3 m,20 3 mC ．10(3－2) m,20 3 m D.15 32 m ，20 33m 6．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为( )A ．20 kmB ．30 kmC ．20 2 kmD ．30 2 km 二、填空题(每小题5分，共15分)7．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.8．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m. 9．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.三、解答题(共15分)10．隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．4.1平面向量及其线性运算时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图J4-1-1，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A.AB →＝DC → B .AD →＋AB →＝AC → C.AB →－A D →＝BD → D .AD →＋CB →＝0 2．△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →等于( ) A ．a ＋b B ．－(a ＋b ) C ．a －b D ．b －a 3．化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( ) A.AB → B.DA → C.BC →D ．04．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0 5．如图J4-1-2，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12BA →6．若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，则非零向量OA →，OB →的关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．不确定二、填空题(每小题5分，共15分)7．将4(3a ＋2b )－2(b －2a )化简成最简式为______________．8．在▱ABCD 中，M 是BC 的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，则MN →＝______________. 9．若AB →＝3a ，CD →＝－5a ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是______________．三、解答题(共15分)10．如图J4-1-3，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.图J4-1-34.2平面向量基本定理及坐标表示时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3)2．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(－1,2)，且a ＋b ＝(1,3)，则|a |等于( ) A. 2 B.3 C. 5 D.103．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3) 5．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，k ＝( ) A.14 B ．－14 C ．－13 D.136．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4) 二、填空题(每小题5分，共15分)7．若A (0,1)，B (1,2)，C (3,4)，则AB →－2BC →＝________.8．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．9．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 三、解答题(共15分)10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a －4b 平行？时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．122．已知向量a ，b ，满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π23．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( ) A ．4 B.10 C.13 D ．134．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π45．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝3 5，则b 等于( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3) D ．(－6,3)6．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝______. 8．若|a |＝3，|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝______.9．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．三、解答题(共15分)10．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7. (1)求a ，b 夹角的大小；(2)求|3a ＋b |的值．时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( ) A ．v 1－v 2 B ．v 1＋v 2 C ．|v 1|－|v 2| D.⎪⎪⎪⎪v 1v 22．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A.10 B ．2 5 C. 5 D.153．一艘船以5 km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2 km/h ，则船的实际航行速度范围是( ) A ．(3,7) B ．(3,7] C ．[3,7] D ．(2,7)4．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，则AC →·BD →等于( ) A.52 B.32 C ．1 D.125．已知P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部 B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上 D ．BC 边所在直线上 6．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线二、填空题(每小题5分，共15分)7．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________． 8．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC →·CB →＝________.9．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________．三、解答题(共15分)10．已知向量a ＝(sin θ， 3)，b ＝(1，cos θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)若a ⊥b ，求θ的值； (2)求|a ＋b |的最大值．。

高考数学客观题限时训练习题及参考答案(十一套)

高考数学客观题限时训练习题（十一套）高考数学客观题限时训练一班级姓名学号记分1、已知集合{}{}|12,|35A x a x a B x x =-≤≤+=<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（）A ．{}|34a a <≤B ．{}|34a a <<C ．{}|34a a ≤≤D ．∅ 2、等比数列{}n a 中，0n a >且21431,9a a a a =-=-，则45a a +等于（） A ．16 B ．27 C ．36 D ．27- 3、不等式2103x x -≤的解集为（）A ．{|2x x ≤≤ B ．{}|25x x -≤≤ C ．{}|25x x ≤≤ D ．{}5x x ≤ 4、曲线24y x =关于直线2x =对称的曲线方程是（）A ．2164y x =-B ．284y x =-C ．248y x =-D ．2416y x =-5、已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的范围（）A ．1b <-或2b >B ．1b ≤-或2b ≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤6、直线l 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆被直线l 分成弧长为21∶的两段圆弧，则该双曲线的离心率是（）A B C D7、空间四点A B C D 、、、，若直线,,AB CD AC BD AD BC ⊥⊥⊥同时成立，则A B C D 、、、四点的位置关系是（）A ．一定共面B ．一定不共面C ．不一定共面D ．这样的四点不存在8、()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则2T f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．0B ．2TC ．TD ．2T-9、已知实数x y 、满足22326x y +=，则2x y +的最大值为（） A ．4 BC． D10、函数222x y e -=的图象大致是（）选择题答案栏11、直线20x y m ++=按向量()1,2a =--平移后与圆22:240C x y x y ++-=相切，则实数m 的值为____________.12、在()()10211x x x ++-的展开式中，4x 项的系数是_______________.13、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有____________14、函数()f x =是奇函数的充要条件是____________ABCD15、260100x y x x y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,z mx y =+取得最大值的最优解有无数个，则m 等于16、在下列四个命题中，①函数2cos sin y x x =+的最小值是1-。

打卡第二天-【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练(新高考通用)原卷版

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第二天Ⅰ 真题知识点分析 Ⅰ 真题限时训练 Ⅰ 自查自纠表题号题型对应知识点1 单选题交集；2 单选题复数的基本概念；3 单选题向量加法的法则；向量减法的法则；4 单选题推理案例赏析；5 单选题对数型复合函数的单调性；6 单选题求双曲线的离心率或离心率的取值范围；7 多选题根据折线统计图解决实际问题；8 多选题由图象确定正（余）弦型函数解析式；9 填空题函数奇偶性的应用； 10 填空题组合体的切接问题； 11 解答题求等比数列前n 项和；12 解答题抛物线的焦半径公式；根据韦达定理求参数； 13 解答题累加法求数列通项；由递推关系证明等比数列；写出简单离散型随机变量分布列；Ⅰ 真题限时训练新高考真题限时训练打卡第二天难度：较易建议用时:60分钟一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．（2020·山东·统考高考真题）2i12i-=+（） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i 3．（2020·海南·高考真题）在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +4．（2019·全国·高考真题）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．（2020·海南·高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞6．（2019·全国·高考真题）设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2D ．5二、多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分。