GPS 高程拟合的方法及实现

ζ BX ζ

f
V BX ζ
通常，③中的最小二乘解基于如下目标函数 :
V T P1V T P2 min
前边提到的“综合极小”法，得到的 ξ 常常比实际的高程异常要小，这是由于 在测量时， 本就不是一个纯随机向量，它由地形起伏所引起的噪音趋势性号 和剩余随机信号组成，运用 “综合极小”的方法，造成了非随机分布的信号的 中心化， 进而让剩余部分的期望为 0，所以，应该再对对观测方程和误差方程 进行变换，得到公式④⑤如下：
对表三进行分析可见， 二次曲面加权和二次曲面最小二乘配置法用 5 个外检 验点进行检验，这 5 个点分别落在黑圈区域附近，通过实验结果发现，二次曲面
加权中，5 个外检验点的残差值都比二次曲面拟合的外检验点的残差值小，二次 曲面最小二乘配置中，3 号点比二次曲面拟合的残差值大些，但总体上还是比较 好的。二次曲面多面函数法采用 6 个再黑圈附近的点进行检验， 结果这 6 个点的 残差值都比单独二次曲面拟合的残差值小， 表明此方法能够使外检验点的拟合更 加精准。 结束语： 本文所论述的拟合方法，在一定程度上提高了高程异常检测的精准性，可 靠性，怎样提高所有外检验点检测的准确性，还需要进一步探究。
i mi x i ,y i ,hi [3]
3 实际案例。 3.1 测量概况
数据采用某地区的实测资料， 共有 76 个 GPS 大地高和正常高都已知的公 共点，水准点的水准测量为三等， GPS 大地高采用 4 台 A shtech GPS 接收机 进行观测，采用同步环混联方式布网，静态观测方法，同步观测 1 小时每点上 站 2 次，进行三等网同步环观测 。 3.2 不同拟合方法的精度检验与比较 在整个测区中，论文采用 76 个 GPS 大地高和正常高都已知的公共点，把 这 76 个点分为两部分，其中 42 个点作为建模型点，剩余 34 个点作为外检验 点，采用二次曲面拟合模型 、二次曲面加权拟合模型 、二次曲面多面函数拟合 模型 、二次曲面最小二次配置拟合模型，比较结果如表一和表二所示。 表一：不同拟合方法内外符合精度比较（单位 mm） 名称 二次曲面 二次曲面加权 二次曲面多面函数 二次曲面最小二程配置 内符合精度中误差 11.1 11.1 11.1 11.1 外符合精度中误差 17．7 16．2 15．9 16．4
ζ ( ζ
GM
ζ
g
) ζ

ζ

ε 表示高程异常的中长波项，它是一个趋势值（与地面点坐标有关的函数） ， ξr 是高程异常的短波项，它与地面地形信息有关。通过公式①，得知每个 GPS 水准点的高程异常都由两部分组成， 即由中长波项的趋势值和短波项。假若只是 单一地采用多项式曲面拟合法， 仅仅可以解决中长波项的拟合问题， 对于短波项， 就必须进一步进行分析和研究。 首先对观测方程和误差方程进行变换，得到如下 公式②③：
GPS 高程拟合的方法及实现
颜家逵 湘潭市勘测设计院，湖南湘潭 411100
摘要： GPS 高程拟合已经拥有众多的方法，对于这些方法拟合的精准度，一直 以来都是业内的所关注的一个热点， 本文对这些拟合方法进行了综合分析。结合 具体的实例，以已知的原始数据为基础， 在设立测量区域的似大地水准面的过程 中，组合使用了包括二次曲面拟合法、二次曲面加权法、二次曲面多面函数法、 二次曲面最小二乘法 在内各种拟合方法，进行综合分析，从比对各种方法获得 的数据结果来看， 组合方法能够使检验点的拟合更加精准，亦能够使外检验点的 拟合更加精准，是十分有效的拟合模型。因此综合利用多种拟合法，比单一地使 用二次曲面拟合法， 该高程拟合方法具备更高水准。 关键词:GPS 高程拟合，二次曲面法，组合法，分析
1 引言 对于 GPS 高程拟合，目前已有多种方法，如何利用这些方法，使拟合结果更 加准确可靠呢？ 2 高程系统的分类和概念及其它们之间的转换关系 2.1 高程系统包括三种，分别是大地高系统，正高系统，及正常高系统。 在我国的测绘工作中，统一使用的高程系统是正常高系统。 大地高系统的概念为： 以地球椭球面为基准面， 地面一点沿参考椭球面的法 线到参考椭球面的距离，在公式中通常写作 H， 正高系统的概念为：以大地水准面为基准面， 地面点沿通过该点的铅垂线至 大地水准面的距离，在公式中通常写作 Hg。 正常高系统的概念为：以似大地水准面为基准面，地面点沿通过该点的垂线 方向到似大地水准面的距离，在公式中通常写作 Hr。 2.2 各高程系统之间的转换关系。 大地水准面和地球椭球面之间的距离，叫做大地水准面差距，通常写成 N， 那么大地高和正高之间的关系则是 H Hg N 似大地水准面和参考椭球面之间的距离，叫做高程异常，通常写成 ζ，
那么大地高和正常高之间的关系则是 : H Hr ζ 3 多项式曲面拟合法的组合法 3.1 组合方法 为了使高程异常更加精准可靠， 使用地球重力场模型，平均重力异常及数字 高程模型。然后利用从各种模型中获得的数据，推求出最可靠的高程异常。推求 公式为: ζ ζ
GM
ζ
g
ζ ，各符号所代表的内容如下：[1]
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通过表 1 可得知，二次曲面加权法 、二次曲面多面函数法 、二次曲面最 小二乘配置法在检验外检验点的中误差比二次曲面拟合的外符合中误差要小， 其 中二次曲面多面函数的外符合精度中误差最小。 表二：不同拟合方法中残差值大的点的精度比较 单位 mm 点名 二次曲面 拟合 二次曲面 加权 二次曲面多 面函数 二次曲面最 小二程配置 419 435 479 487 411 433 434 423 443 476
ζ BX ( )
V BX ( ) f
δ 就是由地形起伏等因素所引起的噪音趋势性信号， 是剩余随机信号。单一 的多项式曲面拟合不能获得精准的高程异常，其原因就在于此噪音趋势性信号， 在地形有非常明显起伏的区域， 单一的多项式曲面拟合法就无法起到效果，尽管 再利用加权拟合法 、多面函数法 、最小二乘配置法，所能解决的是噪音趋势信 号的拟合问题，对于起伏微小的中长波项又无法起到效果。所以，可以在二次曲 面多项式拟合的加权法 、 二次曲面多项式拟合的最小二乘配置法 、 二次曲面多 项式拟合的多面函数法的基础上，分两个步骤来进行拟合，第一步，利用二次曲 面多项式拟合法，求得 X， 用式⑤推求出新的误差方程；第二步，利用加权平 均拟合，最小二乘配置拟合，多面函数拟合，计算出 δ 。[2] 3.2 基本算法 3.2.1 在测量区域的 GPS 控制点上， 先以二次曲面多项式拟合来求得所有点的高 程 异 常 ， 计 为 mi ， 计 算 GPS 水 准 点 上 和 地 形 起 伏 相 关 的 残 差 :
作者简介：颜家逵（1957—） ，男，湖南湘潭人，工程师。研究兴趣：测绘工程技术管理及应用。 联系方式：湖南省湘潭市人民路 25 号，湘潭市勘测设计院信息中心，411100，Tel:13807325133
GM
ζ
GM
----地球重力场， ζ
代表似大地水准面之长波特性，在波长 100 到 200 千米
之中呈现均匀的变化，
ζ
g
---- 重力异常，ζ
g
代表局部似大地水准面的特性，通常波长在 20 到 100
千米之中。
ζ ----地形起伏对高程异常的影响, ζ 代表 20 千米 以下的波长特性。
通常，小区域的 GPS 网中 ，于高程异常的中长波项而言，大地水准面几乎接近 似大地水准面， 同时没有明显的变化状态，合适的曲面拟合函数往往就可以解决 问题。 而短波项就有所不同， 它的产生原因在于起伏的地形， 地形起伏若是微小， 似大地水准面就愈趋平整，地形起伏若是十分明显，它就愈为粗糙。对于普通的 工程来说，不会有过广的测绘范围，依据前面的知识，可以将高程异常划为两个 方面 的 内容 ， 中 长波 项 ，记 作 ε ， 短波 项 ，记 作ζ ， 写成 公 式① 如下 ：
了近 17mm，二次曲面加权法中，残差大点改正后超过 2cm 的点有 5 个， 而二 次曲面多面函数和二次曲面最小二程法中有 6 个，所以从全面分析的结果看来， 二次曲面加权法是十分有效的拟合模型。 采用二次曲面加权法， 二次曲面多面函数法 、二次曲面最小二乘配置法时， 有大部分的点残差值更为准确， 其中， 二次曲面加权法在检验 34 个外检验点时， 比较二次曲面拟合，有 67.6%的点残差值更为准确，二次曲面多面函数法中，比 较二次曲面拟合，有 64.7%的点残差值更为准确，二次曲面最小二乘配置法中， 比较二次曲面拟合，有 61.7 的点残差值更为准确，这些数据结果表明，此方法 能够优化模型，使检验点的拟合更加精准。 3.3 外业检合 在整个 34 个外检验点的区域中，选择几个点分别放在黑圈的区域中，来检 验这三种组合法的可行性，见图一，图二，图三，表三。 图一 图二 图三
表三 不同拟合模型外检验点残差比较 单位 mm 点号 二次曲面 二次曲面加权 二次曲面 多面函数 二次曲面 最小二程配置 1 12.11 9.42 10.54 11.23 2 15.12 10.28 9.25 15.10 3 10.22 9.14 9.00 10.33 4 16.38 14.11 15.14 14.56 5 14.35 12.65 14.23 13.28 6 17.14 15.52
mi i 这一步骤中，参与拟合二次曲面多项式的点应分布均匀。
3.2.2 对 δ 采用加权平均拟合、多面函数拟合、最小二乘配置拟合，确定
x i ,y i ,hi 。
3.2.3 x i ,y i ,hi 和 mi 相 减 就 可 以 得 出 任 意 一 个 点 的 高 程 异 常 i 。
参考文献 [1] 李秀海 ,韩冰 .基于多面函数模型的 GPS 高程拟合精度分析[J].测绘与空间地理信息 . 2010(01) 10-11 [2] 刘俊领 , 刘海生 , 王衍灵 , 夏小杰 .GPS 高程拟合方法研究 [J]. 测绘与空间地理信息 . 2009(01) 15-16 [3] 李 富 强 .GPS 高 程 拟 合 在 地 形 测 图 控 制 测 量 中 的 应 用 [J]. 测 绘 与 空 间 地 理 信 息 . 2009(01)20-21
对表二进行分析可见，在利用组合法拟合具有较大残差值的点时，二次曲 面加权法和二次曲面多面函数法 10 点中 7 个点 更加精确， 而二次曲面最小二 乘配置中 6 个点更加精确， 虽然出现部分残差值比仅仅利用二次曲面拟合要大， 不过减少的残差值的大小要高于增大值的大小，尤其 423 这个点，残差值减少
19.35 37.16 34.27 26.09 45.50 16.36 20.53 17.30 22.45 18.59 18.43 37.18 29.22 26.36 41.28 15.50 10.98 23.96 13.28 35.75 13.28 35.75 13.28 22.66 38.09 30.19 27.19 42.45 15.18 5.74 6.83 0.59 0.67 0.43 17.21 21.14 10.66 22.83 15.5 20.93