格点三角形的专题
8种方法解决一道角格点问题
8种方法解决三角形中的角格点问题
学霸数学
ABC中，ABC ACB 40 0，P为三角形内一点， PAC PCA 200，求PBC 的度数
A
P
B
C
学霸数学
ABC中，ABC ACB 40 0，P为三角形内一点， PAC PCA 200，求PBC 的度数
A
E
B
解法一：
P
C D
在BC上取一点D，使DC AC，CP与AB交于点E
学霸数学
ABC中，ABC ACB 40 0，P为三角形内一点， PAC PCA 200，求PBC 的度数
A
D
B
解法八：
P
E
C
ABC 的平分线交AC于D，直线AP交BC于点E
A、B、E、D四点共圆，有PED 200
D、P、E、C四点共圆，于是PBC 100
PCA PAC 200，DAB 600，由ABC ACB 400
BAD为正三角形，PBC 100
学霸数学
ABC中，ABC ACB 40 0，P为三角形内一点， PAC PCA 200，求PBC 的度数
A
D B
P C
解法三：
以PA为边向内作正PAD，连接BD，得ACP ABD
BD PD，又BDP 1600，故DBP 100，得PBC 100
A
P
B
C
解法五： 以AC为边作正ACD，连接PD、DB，PD为AC的中垂线，于是PDA 300 DPA 1300，得A、B、D、P四点共圆故PBC 100
学霸数学
ABC中，ABC ACB 40 0，P为三角形内一点， PAC PCA 200，求PBC 的度数
A E
D
(完整版)三角形的格点
如果三角形的三个角的度数都是１０的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形中的格点．求解三角形中的格点问题,常可利用对称点．利用对称点求解三角形中的格点问题，方法简单易行，解法简洁巧妙,题面新颖有趣，是学生巩固知识,培养能力,陶冶情操，提高素质的宝贵资料． １ 证明对称点常用的方法大家知道，把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴．根据对称点的定义不难知道，欲证两点Ｍ、Ｎ关于线段ＰＱ所在的直线对称，只要证明ＭＰＱ≌ＮＰＱ即可．不过，在证明对称时，只须摆明条件，而不必特别指明两个三角形的全等关系． 例１ 在ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＡＣＢ＝２０°,Ｍ为∠ＡＣＢ的平分线上一点,∠ＭＢＣ＝２０°．求∠ＭＡＢ的度数．解:如图１，设∠ＭＢＡ的平分线交ＡＣ于Ｄ，连ＤＭ． 图 １显然,ＢＭ平分∠ＤＢＣ，而ＣＭ平分∠ＤＣＢ，即Ｍ为△ＤＢＣ的内心．可知∠ＭＤＢ＝∠MDC＝60°．有∠ＡＤＢ＝６０°＝∠ＭＤＢ．故点Ａ与点Ｍ关于ＢＤ对称． 则∠ＭＡＢ＝９０°－∠ＤＢＡ＝７０°．这里证得“点Ａ与点Ｍ关于ＢＤ对称”是根据“角、边、角”．例２ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝４０°，Ｐ为形内一点，∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０°．求∠ＰＢＣ的度数． 解:如图２,以ＡＣ为一边在△ＡＢＣ外作正△ＤＡＣ．连ＤＰ．由∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０°，可知ＰＡ＝ＰＣ．有点Ａ与点Ｃ关于ＰＤ对称．得∠ＰＤＡ＝ 21∠ＡＤＣ＝３０°．由∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝４０°,可知ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ．易知∠ＰＡＤ＝８０°＝∠ＰＡＢ,可知点Ｂ与点Ｄ关于ＰＡ对称．有∠ＰＢＡ＝∠ＰＤＡ＝３０°． 则∠ＰＢＣ＝１０°．这里证出“点Ａ与点Ｃ关于ＰＤ对称”是根据“边、边、边”，证出“点Ｂ与点Ｄ关于ＰＡ对称"是根据“边、角、边”． 综上可知,证明两个点关于某线段所在直线对称，是一件很容易做的事情．而且熟练以后,更可能节省些笔墨．明确了这一点，我们就要积极、主动地创造条件,注意利用对称点． ２ 在哪些情况下应想到使用对称点三角形中的格点问题，经常会给出或求证角平分线，这是使用对称点的最方便的条件，换言之,在题目给出或求证角平分线时,要想到使用对称点例３在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４０°,∠ＡＣＢ＝３０°,Ｐ为∠ＡＢＣ的平分线上一点，∠ＰＣＢ＝１０°．求∠ＰＡＢ的度数．解:如图３，在ＢＡ延长线上取一点Ｄ,使ＢＤ＝ＢＣ．连ＤＰ、ＤＣ．图３由ＢＰ平分∠ＡＢＣ，可知点Ｄ与点Ｃ关于ＢＰ对称．有ＰＤ＝ＰＣ．由∠ＤＰＣ＝２（∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ）＝６０°，可知△ＰＣＤ为正三角形．有ＰＣ＝ＤＣ．在△ＡＣＤ中，由∠ＡＤＣ＝７０°＝∠ＤＡＣ，可知ＡＣ＝ＤＣ．有ＡＣ＝ＰＣ．在△ＰＣＡ中，由∠ＰＣＡ＝２０°，可知∠ＰＡＣ＝８０°．则∠ＰＡＢ＝３０°．这里由ＢＰ平分∠ＡＢＣ，想到在ＢＡ延长线上取一点Ｄ，使ＢＤ＝ＢＣ，则点Ｄ为点Ｃ关于ＢＰ的对称点．这是取对称点的最简单、最基本的方法．例４在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０°，∠ＡＣＢ＝３０°，Ｑ为形内一点，∠ＱＢＡ＝∠ＱＣＡ＝２０°．求∠ＱＡＢ的度数．解：如图４，设ＢＱ交ＡＣ于Ｄ，过点Ｄ作ＢＣ的垂线交ＱＣ于Ｅ．连ＢＥ．图４由∠ＱＢＣ＝３０°＝∠ＡＣＢ，可知ＤＥ为ＢＣ的中垂线．由∠ＱＣＢ＝１０°，可知∠ＥＢＣ＝１０°,∠ＱＢＥ＝２０°＝∠ＱＢＡ．由∠ＥＤＢ＝６０°＝∠ＥＤＣ，可知∠ＢＤＡ＝６０°＝∠ＢＤＥ．有点Ａ与点Ｅ关于ＢＤ对称．则∠ＱＡＢ＝∠ＱＥＢ＝∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝２０°．这里注意到ＢＱ是∠ＡＱＣ的平分线，故想到在ＱＣ上取点Ｅ,使∠ＥＢＱ＝∠ＡＢＱ，则点Ｅ为点Ａ关于ＢＱ的对称点．为此想到满足条件的点Ｅ，恰为ＢＣ中垂线与ＱＣ的交点。
三角形中的格点数量问题
三角形中的格点数量问题在数学的世界里，有许多有趣和复杂的问题，其中之一就是三角形中的格点数量问题。
这个问题看似简单，却蕴含着丰富的数学内涵，同时也有着广泛的应用。
三角形中的格点数量问题，即求解一个给定三角形内部整点的个数。
在这里，我们所说的整点，是指坐标均为整数的点。
为了更好地理解这个问题，我们先来看一些关于格点的基础知识。
格点是平面上坐标为整数的点，通常用(x, y)表示，其中x和y都是整数。
在平面上，我们可以将整个区域分成许多小正方形，每个小正方形的一个顶点为一个格点。
这些小正方形被称为单位正方形，它们是格点的基本单位。
对于给定的三角形，我们可以通过单位正方形的个数来估计三角形内部的格点数量。
接下来，我们来探讨三角形中格点数量问题的一些基本情况。
首先，我们考虑由x、y轴以及一般的斜线所构成的三角形。
对于这样的三角形，我们可以通过坐标轴上的格点、横坐标在某一整数范围内的点以及纵坐标在某一整数范围内的点来计算三角形内部格点的数量。
其次，我们考虑更为一般的情况，即一般的三角形内部的格点数量。
对于这样的三角形，我们可以通过许多方法来求解。
其中一种方法是通过数学的思维和技巧来计算。
通过将三角形内部的整点进行分类，我们可以得到更简洁有效的计算方式。
这种方法需要运用大量的数学知识，包括数论、代数、几何等领域的知识。
另一种方法是通过计算机的辅助来求解。
由于三角形内部的格点数量问题计算过程繁琐，需要大量的计算，因此借助计算机的算法和计算能力可以更快地得到结果。
通过编写程序，我们可以通过循环、递归等方式来穷举三角形内部的整点，并最终得到格点的数量。
除了上述的两种方法外，我们还可以利用组合数学和概率论的知识来求解三角形中格点的数量。
通过建立数学模型，我们可以把三角形内部的问题转化为一些有关排列组合的问题，并通过概率论的方法来估计格点的数量。
这种方法在理论分析和实际应用中都有着重要的意义。
在实际应用中，三角形中格点数量问题也有着广泛的用途。
三角形的格点公式
三角形的格点公式
摘要：
1.引言
2.三角形格点公式的定义
3.三角形格点公式在实际问题中的应用
4.结论
正文：
1.引言
在数学中，格点公式是一种用于计算给定图形内部和边界上的点数量的公式。
对于三角形，我们可以使用三角形格点公式来计算其内部的点数量。
这个公式在计算机图形学、物理学和统计学等领域都有广泛的应用。
2.三角形格点公式的定义
假设我们有一个三角形ABC，其中A、B、C分别是三角形的三个顶点。
我们可以通过以下步骤计算三角形内部的格点数量：
- 计算三角形ABC的面积S；
- 计算三角形的高h，可以通过计算两个底边之差并除以2得到，即h = (AB - AC) / 2；
- 计算三角形的底边长度L，可以通过计算两个顶点之间的距离得到，即L = AB；
- 使用公式：N = (L * h) / 2，计算三角形内部的格点数量N。
3.三角形格点公式在实际问题中的应用
在计算机图形学中，三角形格点公式可以用于计算三角形的细分数量，以便在图形渲染中实现更高的精度和更好的视觉效果。
在物理学中，该公式可以用于计算物体在给定三角形区域内的受力分布。
在统计学中，该公式可以用于计算给定区域内的事件数量。
4.结论
总之，三角形格点公式是一种非常有用的公式，可以帮助我们在各种实际问题中计算三角形内部的点数量。
求解三角形格点问题的统一方法_袁安全
式为不含绝对值不等式 , 等等. 例 1 当 x ∈ R 时 , 不等式 m +cos x <3 + 2 s in x + 2 m + 1恒成立 , 求实数 m 的取值 范围. 解 题设不等式 , 即为 - cos x +2 sin x + 3 > m 2 2 2 2
2 m +1 .
设 f(x ) = - cos x + 2 sin x +3 =(sin x + 1) + 1(x ∈ R ) . 当 sin x = - 1 时 , f(x )的最小值为 1 . 所以原不等式恒成立 , 求实数 m 的取值
证明 如图 5, 设 ∠BAF =x , 则 ∠FAC =40° - x. 对 ABC 及点 F , 由上面的定理得 sin 40° s in 10° =1. sin 20° s in 70° sin x sin(40°- x ) 证 明 连结 AP ( 如图 4), 设 ∠PAC =x , 则 ∠PAB =110° - x, 对 的定理得 sin x s in(110° - x) sin 20° sin 10° =1. sin 20° sin 20° ABC 及点 P , 由上面
即 sin x =2 cos 10° sin(110° - x) =s in(120°- x ) +sin(100°- x ) . ∴ sin(100° - x) = sin x - sin(120° - x) =2cos 60° sin(x - 60° ) = sin(x - 60° ) . 易知 100°- x =x - 60° , 故 x =80° . 因此 ∠PAC =∠APC =80° . 过 M 作 MD ∥ AP 交 PC 于 D , 则 梯 形
三角形中的角格点问题经典题
三角形中的角格点问题经典题说到三角形中的角格点问题啊，大家可能会想，哎，这是什么鬼？怎么听着有点像数学题，又有点像高难度的谜题？别着急，这个问题的本质很简单，就是让你在一个三角形里找出一个特殊的点——角格点。
啥？角格点是什么？简单来说，这个点位于三角形的三个角上，同时它的某些性质又让它变得特别有意思。
就像是你总能在一堆水果里找到那颗特别闪亮的苹果，角格点就像是三角形中的那颗闪亮苹果。
想象一下，我们有一个普通的三角形，可能你会觉得它就像是一个比较无聊的几何图形，乏善可陈。
谁知道呢，三角形里的奥秘可多着呢，光是角格点这一个问题，就能让人琢磨一阵子。
角格点的问题说白了就是通过某种方法，将三角形的三个角与格点联系起来，找到一个特别的点。
别看它名字挺高大上的，其实就像找寻一块金子一样，你需要耐心，但并不复杂。
你知道吗，角格点的魅力就在于它的“居心不良”——它不是让你简单地画个三角形，然后找个点就完事了。
哦不，三角形中的角格点问题要求你做的不仅仅是找一个点，而是要找到那个“合适的点”，而这个“合适”可不是随便谁都能做得到的。
好比说你去参加一个舞会，找个舞伴，你不是随便拉一个就跳的。
你得找一个舞技不错，还能配合你动作的人。
这个“合适”的角格点，得满足一些特殊的条件，才是三角形的“完美之选”。
角格点的存在其实是跟整数格点有关系的。
啥是整数格点？就是那些坐标是整数的点，好像你在笼子里数数一样，一步一步地，不能跳跃。
而角格点，就是你要找出这样一个点，它的位置必须在三角形的三个角上，而且是整数坐标。
这时候，你就要发挥一点点智慧了。
想象一个场景，你走进一间密密麻麻摆满格子的房间，每个格子里都藏着一个数字。
你走到哪个地方，都会看到不同的数字。
然后你开始思考，哪一个格子是最特别的，可能这个格子里的数字是你一直在寻找的那个。
角格点问题也差不多，你要在这个“数字森林”里找到属于自己的那个“宝藏”。
但你要小心，不是每个格子都有数字，只有那些合适的，符合条件的格子才是你想要的。
等腰三角形存在性问题(带标准答案)
等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB=．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=10，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，若△BPQ 是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P 有( )个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（4）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( B )个．A.8B.9C.10D.113、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有3处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于15．【解答】解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，∵网格中的每个小正方形的边长为1，∴S△ABC=×4×3=6，S△ABC′=20﹣2×3﹣=6.5，S△ABC″=2.5，∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．故答案分别为：3；15．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画4个（在图中作出点P）（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画2个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB= 90°．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有5个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；【结论】当AOB ∠为锐角，AOB ∠ο60≠，有三个点，当AOB ∠=ο60，只有一个点；当AOB ∠为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )A.2个B.3个C.4个D.5个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( C )A.1个B.3个C.5个D.无数多个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。
格点图中的锐角三角函数
格点图中的锐角三角函数正在正方形网格中，我们把水平线与竖直线相交的点称为格点。
如果在网格中，一个三角形的三个顶点在格点上，那么我们称这个三角形为格点三角形。
格点三角形有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类。
在初中阶段，锐角三角函数值的求解经常作为一个考点来考查学生的观察、分析和计算能力。
由于此类题灵活多变，内容丰富，经常将其在中考试卷中作为考点进行考查，其考查学生能力的作用不言而喻。
下面择其中的中考题作个例析。
例1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，E为BC 中点，则sin∠AEB的值是（）A．B．C．D．例1例2例2. （2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．练习：1. 如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．第1题第2题2.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC 的值是．3. 仿照例题完成任务：例：如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，求tan∠BOD的值．解析：连接AE，EF，导出∠BOD＝∠F AE，再根据勾股定理求得三角形各边长，然后利用三角函数解决问题．具体解法如下：连接AE，EF，则AE∥CD，∴∠F AE＝∠BOD，根据勾股定理可得：AE＝，AF＝2，EF＝3，∵，∴△F AE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴tan∠F AE＝＝3，即tan∠BOD＝3．任务：（1）如图2，M，N，G，H四点均在边长为1的正方形网格的格点上，线段MN，GH相交于点P，求图中∠HPN的正切值；（2）如图3，A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，请你直接写出tan∠BAC的值．4. 如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，（1）sin∠BAC＝，PC＝．（2）求tan∠DP A的值．参考答案：例1. 【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义。
三角形的格点
三角形的格点在数学中，三角形是一个有三条边和三个角的多边形。
而在几何学中，我们可以通过在三角形内部或边上选择一些特殊的点来探索三角形的性质和特点。
这些特殊的点被称为三角形的格点。
一、重心重心是三角形内部与三边交点的垂心。
它由三边的中点连线交点所确定。
重心是三角形的三条中线的交点，也是三角形重心的唯一内部点。
重心到三个顶点的距离相等，且重心将三角形分割为六个大小相等的三角形。
二、垂心垂心是三角形三条高线的交点。
高线是从三角形的顶点作垂线与对边相交的线段。
垂心的特点是到三角形三个顶点的距离相等，同时也是三角形外心的唯一内部点。
垂心将三角形分割为三个大小相等的三角形。
三、外心外心是三角形外接圆的圆心。
外接圆是一个与三角形三个顶点都相切的圆，它的圆心就是外心。
外心到三个顶点的距离相等，同时也是三角形垂心的唯一外部点。
外心将三角形分割为三个大小相等的三角形。
四、内心内心是三角形内切圆的圆心。
内切圆是一个与三角形三条边都相切的圆，它的圆心就是内心。
内心到三个顶点的距离相等，同时也是三角形重心的唯一外部点。
内心将三角形分割为三个大小相等的三角形。
五、费马点费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点。
这个距离和可以通过将三个顶点连线与三角形内部的某个点连线形成的三角形来计算。
费马点是三角形内切圆和外接圆的交点，同时也是三角形垂心和重心的连线的垂足。
六、威尔逊点威尔逊点是指到三角形三个顶点距离之和最大的点。
这个距离和可以通过将三个顶点连线与三角形内部的某个点连线形成的三角形来计算。
威尔逊点是三角形外切圆和内切圆的交点。
七、西莫斯点西莫斯点是指到三角形三个顶点距离之和最大的点。
这个距离和可以通过将三个顶点连线与三角形内部的某个点连线形成的三角形来计算。
西莫斯点是三角形外心和内心的连线的垂足。
以上就是关于三角形的格点的一些介绍。
通过研究三角形的特殊点，我们可以更深入地理解三角形的性质和特点，同时也可以应用到其他领域中，如计算几何、图形识别等。
三角形角格点
三角形角格点三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
而角格点则是指三角形内部的一个点，该点在三角形的内部且离三个顶点的距离相等，即到三个顶点的距离都相等。
在本文中，我们将探讨三角形角格点的性质和应用。
一、三角形角格点的定义和性质三角形角格点是指位于三角形内部且到三个顶点的距离相等的一个点。
我们可以通过以下步骤来构造一个三角形角格点：1.选择一个任意的三角形ABC；2.在AB、BC和CA三条边上分别取等距离的点D、E和F；3.连接DE、EF和FD，得到一个小三角形DEF；4.取DE、EF和FD的重心G，即为三角形ABC的角格点。
三角形角格点具有以下性质：1.角格点到三个顶点的距离相等；2.角格点到三个边的距离相等；3.角格点是三角形内部的唯一一个点。
二、三角形角格点的应用三角形角格点在几何学中有着广泛的应用，下面我们将介绍其中的一些应用。
1.三角形的重心三角形的重心是指三角形三条中线的交点，也是三角形的重要性质之一。
而角格点恰好是三个中线的交点，因此角格点也是三角形重心的位置。
2.三角形的垂心三角形的垂心是指三角形三条高的交点，它是三角形的另一个重要性质。
同样地，角格点也是三条高的交点，因此角格点也是三角形垂心的位置。
3.三角形的内切圆心三角形的内切圆是指与三角形的三条边相切且都有公共点的圆，它的圆心就是三角形的内切圆心。
而角格点恰好是三角形内切圆心所在的位置。
三、三角形角格点的证明为了证明三角形角格点的性质，我们可以使用一些几何学的基本原理和定理。
我们可以利用三角形的角平分线定理来证明角格点到三个顶点的距离相等。
根据该定理，三角形的内角平分线分割对边成比例，因此角格点到三个顶点的距离相等。
我们可以利用三角形的垂心定理来证明角格点到三个边的距离相等。
根据该定理，三角形的垂心到三边的距离相等，而角格点恰好是三条高的交点，因此角格点到三个边的距离相等。
我们可以利用三角形的外心定理来证明角格点是三角形内部的唯一一个点。
在格点中画三角形的注意事项
在格点中画三角形的注意事项嘿，朋友们！今天咱来聊聊在格点中画三角形的那些事儿。
你说这画三角形有啥难的呀，不就是三条边一围嘛！嘿，可别小瞧了它，这里头的门道可不少呢！咱先说说这格点，那就是咱画画的“战场”呀！一格一格的，多规整。
可你要是不小心，就容易画歪咯。
你想想，要是画出来的三角形歪七扭八的，那多难看呀，就好像一个人站都站不直，那能好看吗？选点的时候可得瞪大了眼睛，别随随便便就下笔。
这就好比你去菜市场买菜，不得挑挑拣拣呀，总不能见着个菜就往篮子里扔吧！每个点都得放得恰到好处，不然这三角形就不“精神”啦。
还有啊，画边的时候得注意长度。
别一条边长一条边短的，那成啥样啦！就跟人走路似的，两条腿不一样长，那还不得一瘸一拐的呀。
而且这三条边还得互相配合好，不能“打架”呀。
它们得和谐相处，这样画出来的三角形才稳固，才好看。
再说说角度，这可是个关键呀！要是角度没把握好，那三角形就不伦不类啦。
你说要是一个三角形长得奇奇怪怪的，那多滑稽呀，就像一个人五官都没长对地方似的。
所以呀，画角度的时候一定要仔细，多瞄两眼，别马虎。
你说这画三角形是不是就像搭积木呀，每一块都得放对地方，不然整个就垮啦！咱可不能小瞧了这小小的三角形，它里面蕴含的学问可大着呢！咱平时做事不也得这样嘛，每一个细节都得注意到，不能马马虎虎。
就像盖房子，一块砖没放好，说不定整栋房子都不结实。
画三角形也是这个道理呀，每一笔都得认真对待。
你想想，要是你随随便便就画了个三角形，等你回过头来看，哎呀，这是啥呀，自己都看不下去，那多尴尬呀！咱得对自己的作品负责呀，就像对自己的孩子一样，精心呵护。
所以啊，朋友们，在格点中画三角形可别不当回事儿。
认真对待每一个点，每一条边，每一个角度。
画好了，那看着多舒服，多有成就感呀！咱可不能让这小小的三角形难住咱，咱得把它拿下，让它乖乖地在咱的笔下变得漂漂亮亮的！这就是咱画画的乐趣呀，也是咱对待生活的态度，不是吗？。
三角形中的格点数量问题
三角形中的格点数量问题在研究几何学中，三角形是一个基础的几何形状，也是我们生活中常见的形状之一。
而关于三角形的格点数量问题，更是一个引人注目的研究课题。
本文将对三角形中的格点数量进行探讨，帮助读者更好地理解这一问题。
首先，我们要明确什么是格点。
格点是指在平面上的整数坐标点，也即横纵坐标都是整数的点。
在三角形中，格点通常是指在三角形内部或边界上的整数坐标点。
接下来，我们来研究一个简单的问题：在一个直角三角形中，格点的数量是多少？我们以一个直角三角形ABC为例：A点位于坐标原点(0, 0)，B点位于横坐标x轴的正方向上，纵坐标为y1，C点位于纵坐标y轴的正方向上，横坐标为x2。
我们可以通过观察可以发现，在这个直角三角形内，从左下角的点(0, 0)到右上角的点(x2, y1)上的每个格点，都可以与原点和三角形两条边上的某个格点构成一个矩形。
而直角三角形内格点的数量，正好等于以直角顶点为一角，以直角边长为相邻边和对边的矩形格点数量之和。
具体计算过程如下：分别计算以A点和以B点为直角顶点的格点数量。
以A点为直角顶点时，格点数量为x2 * y1，以B点为直角顶点时，格点数量为x1* y2。
所以，直角三角形内格点的总数量为x1 * y2 + x2 * y1 - x1 * y1（减去直角点A和B为重复计算的部分）。
对于任意非直角三角形，我们可以分为两种情况进行讨论。
第一种情况是三角形的两条边都和坐标轴相交，此时我们可以将三角形分割为两个直角三角形，分别计算格点数量，最后再相加。
第二种情况是三角形的某一条边与坐标轴相交，此时我们可以将三角形分割为一个直角三角形和一个梯形，在计算直角三角形的格点数量之后，再计算梯形内的格点数量。
最后将这两个部分的格点数量相加，即可得到非直角三角形内的格点数量。
总之，在三角形中的格点数量问题中，我们需要根据不同的三角形类型进行计算。
对于直角三角形，格点数量等于以直角边为相邻边和对边的矩形格点数量之和，减去重复计算的部分。
第24章 专题10 在网格中画与已知三角形相似的三角形重难点专练(学生版
专题10 在网格中画与已知三角形相似的三角形重难点专练第I卷（选择题）一、单选题的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有( 1．如图，在44)A．1个B．2个C．3个D．4个2．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE△△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个3．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：△△ABC ，△△ADE ，△△AEF ，△△AFH ，△△AHG ，在△至△中，与△相似的三角形是（ ）A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△4．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，ABC 和DEF 的顶点都在格点上(小正方形的顶点).1P ，2P ，3P ，4P ，5P 是DEF 边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D 构成的三角形与ABC 相似，所有符合条件的三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，点,,,,,,,,A B C D E F G H K 都是78⨯方格纸中的格点，为使DEMABC ∆∆（点D 和A 对应，点E 和B 对应），则点M 应是,,,FGH K 四点中的（ ）A ．FB ．GC ．HD ．K6．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1,7)，(1 1)，，(4,1)，(6,1)，以C ，D ，E 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则点E 的坐标不可能是（ ）A ．(6,3)-B ．(6,4)C ．(4,3)-D ．(4,2)7．如图，下面方格纸中小正方形边长均相等.ABC ∆和DEP ∆的各顶点均为格点（小正方形的顶点），若ABC ∆~PDE ∆且两三角形不全等，则P 点所在的格点为（ ）A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 48．如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC△△EPD ，则点P 所在的格点为（ ）A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 49．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）10．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．的正方形方格中，ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作11．如图，在55一个与ABC 相似的DEF ，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则DEF 的最大面积是（ ）A ．5B ．10C ．52D 12．如图，小正方形的边长均为1，关于ABC 和DEF 的下列说法正确的是（ ）A ．ABC 和DEF 一定不相似B ．ABC 和DEF 是位似图形 C ．ABC 和DEF 相似且相似比是1:2D ．ABC 和DEF 相似且相似比是1:4 13．如图，A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ△△ABC ，那么点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁14．如图，A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ△△ABC ，那么点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁第II 卷（非选择题）二、填空题15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在格点上， （1）△ACB 的大小为_____（度）；（2）在如图所示的网格中，P 是BC 边上任意一点，以A 为中心，取旋转角等于△BAC ，把点P 逆时针旋转，点P 的对应点为P ′，当CP ′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P ′，并简要说明点P ′的位置是如何找到的（不要求证明）_____．16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在网格线的交点上．设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12C C 的值等于_____．17．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是_____．18．如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是___．的正方形方格中，有格点ABC（我们把顶点在正方形的顶点上的三角19．如图，在24形叫做格点三角形），则与ABC相似但不全等的格点三角形共有________个．20．如图，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似但不全等，则格点P的坐标是_____．21．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1)．22．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点ABC与OAB相似（相似比不能为1），则C 点坐标为__________．23．如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是_____．三、解答题24．如图，将ABC ∆放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，点B ，点C 均落在格点上．（△）计算AB 的长等于 ．（△）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个ADE ∆，使ADE ABC ∆∆∽，且满足点D 在AC 边上，点E 在AB 边上，2AE =．（保留作图痕迹不要求证明）．25．我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段．如图在 77⨯ 的方格中，现有一 格点线段AB 及格点 C ，按要求画图．（1）在图1 中画一条格点线段 CD ，使线段 CD 和线段 AB 互相平分； （2）在图2 中画一条格点线段 CE ，将线段 AB 分为 1:2 两部分．图1 图2 26．如图，在43⨯的正方形方格中，ABC ∆和DEF ∆的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：ABC ∠= ，BC = ；（2）判断ABC ∆与DEC ∆是否相似，并证明你的结论．27．如图，在46⨯的正方形网格中，ABC 的顶点,,A B C 在单位正方形的顶点上．请按要求画图：（1）在图1中以点B 为位似中心，在网格内将ABC 放大为原来的2倍，得到EBD △，且点,D E 都在单位正方形的顶点上；（2）在图2网格中作一个FGH ，使~FGH ABC ，，点,,F G H 都在单位正方形的顶点上．28．在ABC中，90∠=,C（1）如图1，P是AC上的点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似．例PD BC交AB于D，则截得的ADP与ABC相似．请你在图中画出所如：过点P作//有满足条件的直线．（2）如图2，Q是BC上异于点B，C的动点，过点Q作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线）29．如图所示，在右边的方格中，画出边长是左边四边形2倍的相似形.30．在方格图中，画出和四边形ABCD相似的一个相似图形.31．在下列方格中，画出四边形ABCD的一个相似形.32．在下列方格中，画出△ABC的一个相似形.33．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，点A、B、C都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中A(5，6)，B(3，6)，C(2，7)．(1)已知△ABC与△DEF(点D、E、F都是格点)成位似图形，则位似中心M的坐标是_____；(2)△ABC外接圆半径是_____；(3)请在网格图中画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1△△DEF，且相似比为1：2．34．在由边长为1的正三角形组成的正六边形网格中画一个与已知△ABC相似但不全等的三角形．35．如图，请在方格图中画出一个与△ABC相似且相似比不为1的△DEF（D、E、F必须在方格图的交叉点）．36．如图，在一个3×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在单位正方形顶点上，请你在图中画一个△A1B1C1，使点A1，B1，C1都在单位正方形的顶点上，且使△A1B1C1△△ABC.37．(1)以下列正方形网络的交点为顶点，分别画出两个相似比不为1的相似三角形，使它们：△都是直角三角形；△都是锐角三角形；△都是钝角三角形．(2)如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，﹣1)、(2，1)．△以0点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；△分别写出B 、C 两点的对应点B′、C′的坐标；△如果△OBC 内部一点M 的坐标为(x ，y)，写出M 的对应点M′的坐标．38．如图，在边长为1的小正方形组成的网络中，ABC 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：()1以直线AC 为对称轴作ABC 的轴对称图形，得到1AB C ，再将ABC 绕着点C 顺时针旋转90，得到22A B C ，请依次画出1AB C 、22A B C ；()2请画出一个格点333A B C ，使333A B C ABC ∽，且相似比不为1．39．在下列三个正方形网格图中，△ABC 的顶点和另两条线段的端点都在格点上，以给定的线段为一边，分别在图2和图3中各画出一个三角形，使所画的三角形都与△ABC 相似，并说明所画三角形与△ABC 的相似比．40．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ，点()P 1,2，作PQR ，使PQR 与ABC 相似，并且Q 、R 点必须在格点上.（不写作法）41．如图，在大小为44⨯的正方形方格中，ABC 的顶点A 、B 、C 在单位正方形的顶点上，请在图中画一个111A B C ，使111A B C ABC ∽（相似比不为1），且点1A 、1B 、1C 都在单位正方形的顶点上．________．42．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）．(1)将△ABC 向上平移3个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；(2)请画一个△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2△△ABC ，且相似比为2：1．43．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．44．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2△△ABC，且相似比不为1．45．已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6．(1)如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；(2)如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．△请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等(画出一个即可，不需证明)；△试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需证明)．。
全等三角形判定-专题复习50题(含答案)
A.一个锐角对应相等C.一条边对应相等B.两个锐角对应相等全等三角形判定、选择题:1-如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A.SSSB.SASC.AASD.ASA2•方格纸中，每个小格顶点叫做一个格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形。
如图，在4X4的方格纸中，有两个格点三角形△ABC、ADEF,下列说法中成立的是（）A.ZBCA=ZEDF CoZBAC=ZEFDB.ZBCA=ZEFDD.这两个三角形中，没有相等的角3•如图所示，△ABD9ACDB,下面四个结论中，不正确的是（）A.△ABD和厶CDB的面积相等B.AABD和厶CDB的周长相等C.ZA+ZABD=ZC+ZCBDD.AD〃BC，且AD=BC4.下列判断中错误的是（）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等5-使两个直角三角形全等的条件是（）6•如图，在AABC和厶BDE中，点C在边BD上,边AC交边BE于点F.若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则Z AACB等于（B.ZBEDC.寺ZAFBD.2ZABFA.ZEDBBA B C DB.ZA=ZDC.AC=DD.ZACB=ZF7.在AABC 和厶A /B /C /中，已知ZA=ZA /,AB=A /B /,在下面判断中错误的是（）A. 若添加条件AC=A /C /,则厶ABC^^^A /B /C /B. 若添加条件BC=B /C /,则厶ABC^^^A /B /C /C 。
若添加条件ZB=ZB /，则△ABC^^^A /B /C /D 。
若添加条件ZC=ZC /，则△ABC^^^A /B /C /8•如图，AABC 和厶DEF 中，AB=DE 、ZB=ZDEF,添加下列哪一个条件无法证明厶ABC^^DEF （）9•如图，在△ABC 中，ZABC=45°,AC=8cm,F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm1°.在如图所示的5X5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，AABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（）11.如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上,且EC=2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N.若正方形ABCD 的边长为a,则重叠部分四边形EMCN 的面积为（ A.AC 〃DF12-在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从A 地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（C、填空题:I3•如图所示，有一块三角形的镜子，小明不小心弄破裂成1、2两块，现需配成同样大小的一块.为了方便起见,需带上—块，其理由是.14.如图示，点B在AE上,ZCBE=ZDBE，要使AABC^AABD,还需添加一个条件是,（填上你认为适当的一个条件即可）15•如图，已知Z1=Z2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC9AAED，你添加的条件是16-如图，Z1=Z2,要使△ABD9AACD,需添加的一个条件是（只添一个条件即可）.17•如图，在△ABC中,AB=AC,AD丄BC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三角形对.18•如图，△ABD9ABAC,若AD=BC,则ZBAD的对应角是.19-如图，已知AB丄BD，垂足为B,ED丄BD,垂足为D,AB=CD,BC=DE，则ZACE=_度.2°・如图,如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是.三、解答题：21•如图,ZDCE=90°,CD=CE,AD丄AC,BE丄AC，垂足分别为A.B.试说明AD+AB=BE.22.如图，E、A.C三点共线，AB〃CD,ZB=ZE,,AC=CD。
格点三角形的画法.doc
下面先来研究一下格点线段，举例如下：
例．在下列网格中探索格点线段的长度：
在 × 的网格中，格点线段的长度为 ， ；
在 × 的网格中，格点线段的长度为 ， ， ， ；
在 × 的网格中，格点线段的长度为 ， ， ， ， ；
在 × 的网格中，格点线段的长度的最小值为 ，格点线段的长度的最大值为 。
归纳：格点线段长度是两个正整数的平方和。如： ， 等，正是利用了勾股定理的知识计算三角形的边长。
二.寻找相似比
例2.在 × 的网格中画出格点△ ，使格点△ ∽格点△ ，且面积最大，并求出相似比。
评析：在相似比未确定的条件下，画图时应先确定△ 的最大边。因为 × 的网格中格点线段的最大值为 ，由此可确定相似比为 : = 。再根据“相似三角形的三边对应成比例”，求出其余两边长为 ， ，而 ， ，所以可以很快画出符合要求的格点△ 。
归纳：寻找相似比的一般方法：可先确定最大边，再根据相似三角形的性质求另两边。
例3．在 × 的网格中画出格点△ ，使格点△ ∽格点△ ，且面积最大，并求出相似比。
评析：此例中的△ 的三边分别为 ， ， ；画图时仍应先确定△ 的最大边。因为 × 的网格中格点线段的最大值为 ，由此可确定相似比为 : = 。再根据“相似三角形的三边对应成比例”，求出其余两边长为 ， ，而这样的格点线段长度不是两个正整数的平方和，无法画出的。解决这类问题的方法为往下看 × 的网格，若不行，再往下看 × 的网格，依次类推，直至找到满足条件的格点线段。此例在 × 的网格中即找到满足条件的最大边为 ，由此可确定相似比为 : = ，求出其余两边长为 ， ，而 = ， ，从而画出符合要求的格点△ 。
《三角形格点与面积》专题
1．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右平移）后得到△A'B'C'，点C的对应点是直线上的格点C'．（1）画出△A'B'C'；（2）在BC上找一点P，使AP平分△ABC的面积；（3）试在直线l上画出所有的格点Q，使得由点A'、B'、C'、Q四点围成的四边形的面积为9．2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′；（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是．（3）作直线MN，将△ABC分成两个面积相等的三角形．3．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．（1）画出△ABC中BC边上的高AH和BC边上的中线AD．（2）画出将△ABC向右平移5格又向上平移3格后的△A′B′C′．（3）△ABC的面积为．（4）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是．4．正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC各顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点A移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）画出平移后的△DEF；（2）在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积；（3）利用网格画△ABC的高BH；（4）连接AD、CF，AD与CF的关系是．5．如图，三角形ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形A'BC“（设点A、B、C分别平移到A′、B′、C′）（1）请在图中画出平移后的三角形A'B′C′；（2）若连接BB′、CC′，则这两条线段的位置关系是．数量关系是（3）若BB'与AC相交于点P，则∠A'B'P，∠B'P A与∠P AB三个角之间的数量关系为A．∠A'B'P+∠B'P A+∠P AB＝180°B．∠A'B'P+∠B'P A+∠P AB＝360°C．∠A'B'P+∠B'P A﹣∠P AB＝180°D．∠A'B'P+∠B'P A﹣∠P AB＝360°6．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．（1）在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；（2）在图中画出△ABC的AB边上的高CH；（3）若点P在格点上，且S△PBC＝S△ABC（点P与点A不重合），满足这样条件的P点有个．7．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；（2）画出△ABC中AB边上的中线CM；（3）图中△ABC的面积是．8．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：（1）补全△A′B′C′；（2）作出△ABC的中线CD；（3）画出BC边上的高线AF；（4）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有个．（注：格点指网格线的交点）9．画图（只能借助于网格）并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．（1）将△ABC向左平移4格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）△A′B′C′的面积为；（3）利用网格在图中画出△ABC的中线AD，高线AE；（4）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点p的个数有个（点P异于A）．10．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的中线CD和BC边上的高线AE；（3）线段AA′与线段BB′的关系是：；（4）求四边形ACBB′的面积．11．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：（1）画出△A′B′C′；（2）画出△ABC的高BD；（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是，线段AC扫过的图形的面积为．12．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）△A′B′C′的面积为．（5）点F为方格纸上的格点（异于点B），若S△ACB＝S△ACF，则图中这样的格点F共有个．13．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是；（3）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为．14．利用直尺画图（1）利用图（1）中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线．（2）把图（2）网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形．（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图（2）中组成的三角形的面积等于．15．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．（1）分别画出△ABC中BC边上的高AH、中线AG．（2）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．（3）画一个锐角△MNP（要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．16．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积＝；（2）请在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积，在图上作出线段CP；（3）请在图中画出过点C且平行于AB的直线CM．17．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF；（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是；（3）在图中找出所有满足S△ABC＝S△QBC的格点Q（异于点A），并用Q1、Q2表示．18．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．（1）将△ABC向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）利用网格在图中画出△ABC的中线CD，高线AE；（3）△A′B′C′的面积为．（4）在平移过程中线段BC所扫过的面积为．（5）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有个（点P异于A）．19．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝；（2）在AB上找一点M，使CM平分△ABC的面积；（3）在网格中找格点P，使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有个．20．如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角板画图：（1）补全△A′B′C；（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出AC边上的高线BE；（4）平移过程中，线段AB扫过的面积为．21．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积；（2）在图中找出格点D，使△ACD的面积与△ABC的面积相等．22．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是（4）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有个（注：格点指网格线的交点）23．如图所示，在8×8的网格中，△ABC是格点三角形（顶点是网格的交点），若点A坐标为（﹣1，3），按要求回答下列问题：（1）建立符合条件的平面直角坐标系，并写出点B和点C的坐标；（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△DEF，请在图中画出△DEF，并求出线段AC在平移过程中扫过的面积．24．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角板画图：（1）补全△A′B′C′（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）△A′B′C′的面积为．25．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向左平移1格，再向上平移3格，其中每个格子的边长为1个长度单位．（1）在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段的关系是；（3）作直线l，将△ABC分成两个面积相等的三角形．参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右平移）后得到△A'B'C'，点C的对应点是直线上的格点C'．（1）画出△A'B'C'；（2）在BC上找一点P，使AP平分△ABC的面积；（3）试在直线l上画出所有的格点Q，使得由点A'、B'、C'、Q四点围成的四边形的面积为9．【分析】（1）根据平移的性质画出图形即可；（2）根据三角形中线的性质解答即可；（3）根据面积公式解答即可．【解答】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求；（2）如图所示：点P即为所求；（3）如图所示：点Q即为所求．【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′；（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是相等且平行．（3）作直线MN，将△ABC分成两个面积相等的三角形．【分析】（1）作出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；（2）根据平移的性质可知，线段AA′，CC′这两条线段之间的关系是相等且平行；（3）构造平行四边形ABCD，对角线BD所在的直线即为所求的直线MN．【解答】解：（1）平移后的△A′B′C′如图所示．（2）根据平移的性质可知，线段AA′，CC′这两条线段之间的关系是相等且平行，故答案为相等且平行．（3）构造平行四边形ABCD，对角线BD所在的直线即为所求的直线MN．【点评】本题考查平移变换、平移变换的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．（1）画出△ABC中BC边上的高AH和BC边上的中线AD．（2）画出将△ABC向右平移5格又向上平移3格后的△A′B′C′．（3）△ABC的面积为3．（4）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是AA′＝CC′且AA′∥CC′．【分析】（1）根据三角形的中线和高的定义作图即可得；（2）根据平移变换的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（3）直接利用三角形的面积公式计算可得；（4）根据平移变换的性质可得答案．【解答】解：（1）如图所示，AH和AD即为所求；（2）如图所示，△A′B′C′即为所求；（3）△ABC的面积为×3×2＝3，故答案为：3；（4）由平移的性质知AA′＝CC′且AA′∥CC′，故答案为：AA′＝CC′且AA′∥CC′．【点评】本题主要考查作图﹣平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．4．正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC各顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点A移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）画出平移后的△DEF；（2）在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积；（3）利用网格画△ABC的高BH；（4）连接AD、CF，AD与CF的关系是AD＝CF，AD∥CF．【分析】（1）作出B，C的对应点E，F即可解决问题．（2）取AB中点P，连接CP即可．（3）取格点T作射线BT交AC于H，线段BH即为所求．（4）根据平移的性质即可解决问题．【解答】解：（1）△DEF如图所示．（2）线段CP即为所求．（3）取格点T作射线BT交AC于H，线段BH即为所求．（4）AD＝CF，AD∥CF．故答案为：AD＝CF，AD∥CF．【点评】本题考查平移变换，三角形的中线，高等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．如图，三角形ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形A'BC“（设点A、B、C分别平移到A′、B′、C′）（1）请在图中画出平移后的三角形A'B′C′；（2）若连接BB′、CC′，则这两条线段的位置关系是BB′∥CC′．数量关系是BB′＝CC′（3）若BB'与AC相交于点P，则∠A'B'P，∠B'P A与∠P AB三个角之间的数量关系为CA．∠A'B'P+∠B'P A+∠P AB＝180°B．∠A'B'P+∠B'P A+∠P AB＝360°C．∠A'B'P+∠B'P A﹣∠P AB＝180°D．∠A'B'P+∠B'P A﹣∠P AB＝360°【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；（2）根据平移的性质求解；（3）根据平行线的性质和三角形外角性质解答．【解答】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求：（2）根据平移的性质可得：BB′∥CC′，BB′＝CC′；故答案为：BB′∥CC′；BB′＝CC′；（3）由图可知：∠A'B'P+∠B'P A﹣∠P AB＝180°故答案为：C【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．6．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．（1）在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；（2）在图中画出△ABC的AB边上的高CH；（3）若点P在格点上，且S△PBC＝S△ABC（点P与点A不重合），满足这样条件的P点有4个．【分析】（1）作出A，B的对应点，E，F即可．（2）根据高的定义画出图形即可．（3）利用等高模型解决问题即可．【解答】解：（1）△DEF如图所示．（2）线段CH如图所示．（3）如图所示满足条件的点P有4个．故答案为4【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；（2）画出△ABC中AB边上的中线CM；（3）图中△ABC的面积是8．【分析】（1）根据平移的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（2）根据中线的概念作图可得；（3）利用割补法求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，CM即为所求；（3）△ABC的面积是×5×7﹣×2×6﹣×（2+5）×1＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．8．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：（1）补全△A′B′C′；（2）作出△ABC的中线CD；（3）画出BC边上的高线AF；（4）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有6个．（注：格点指网格线的交点）【分析】（1）由点B及其对应点B′的位置得出平移方向和距离，据此将点A、C按照相同方式平移得到对应点，再顺次连接即可得；（2）根据中线的概念作图可得；（3）根据高线的概念求解可得；（4）根据共底等高及平行线间的距离处处相等作图可得．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．（2）如图所示，CD即为所求；（3）如图所示，AF即为所求；（4）如图所示，中满足条件且异于点C的格点E共有6个，故答案为：6．【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及中线、高线的概念、平行线间的距离处处相等．9．画图（只能借助于网格）并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．（1）将△ABC向左平移4格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）△A′B′C′的面积为4；（3）利用网格在图中画出△ABC的中线AD，高线AE；（4）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点p的个数有7个（点P异于A）．【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；（2）利用三角形的面积公式即可得出结论；（3）根据格点的特点△ABC的中线CD，高线AE即可；（4）过点A作直线BC的平行线，此直线与格点的交点即为P点．【解答】解：（1）如图所示：（2））△A′B′C′的面积＝，故答案为：4；（3）如图所示：AD，AE即为所求；（4）能使S△PBC＝S△ABC的格点p的个数有7个，故答案为：7【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．10．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的中线CD和BC边上的高线AE；（3）线段AA′与线段BB′的关系是：平行且相等；（4）求四边形ACBB′的面积．【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；（2）取线段AB的中点D，连接CD，过点A作AE⊥BC的延长线与点E即可；（3）根据图形平移的性质可直接得出结论；（4）根据S四边形ACBB′＝S梯形AFGB+S△ABC﹣S△BGB′﹣S△AFB′即可得出结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）由图形平移的性质可知，AA′∥BB′，AA′＝BB′．故答案为：平行且相等；（4）S四边形ACBB′＝S梯形AFGB+S△ABC﹣S△BGB′﹣S△AFB′＝（7+3）×6+×4×4﹣×1×7﹣×3×5＝30+8﹣﹣＝27．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．11．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：（1）画出△A′B′C′；（2）画出△ABC的高BD；（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是平行且相等，线段AC扫过的图形的面积为10．【分析】（1）根据平移的定义和性质作出点A、C平移后的对应点，顺次连接即可得；（2）根据三角形高的定义作图即可得；（3）根据平移变换的性质可得，再利用割补法求出平行四边形的面积．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；（2）如图所示，BD即为所求；（3）如图所示，AA′与CC′的关系是平行且相等，线段AC扫过的图形的面积为10×2﹣2××4×1﹣2××6×1＝10，故答案为：平行且相等、10．【点评】此题主要考查了平移变换以及平行四边形面积求法等知识，根据题意正确把握平移的性质是解题关键．12．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）△A′B′C′的面积为8．（5）点F为方格纸上的格点（异于点B），若S△ACB＝S△ACF，则图中这样的格点F共有7个．【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；（2）画出AB边上的中线CD即可；（3）过点A向BC的延长线作垂线，垂足为点E即可；（4）利用三角形的面积公式求解即可；（5）过点B作BF∥AC，直线BF与格点的交点即为所求，还有AC下方的一个点．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；（2）如图，线段CD即为所求；（3）如图，线段AE即为所求；（4）S△A′B′C′＝×4×4＝8．故答案为：8；（5）如图，共有7个格点．故答案为：7．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．13．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是平行且相等；（3）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为12．【分析】（1）利用网格特点和平移的性质分别画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′即可得到△A′B′C′；（2）根据平移的性质求解；（3）由于线段AB扫过的部分为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式可求解．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；（2）BB′∥CC′，BB′＝CC′；（3）线段AB扫过的面积＝4×3＝12．故答案为平行且相等；12．【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．14．利用直尺画图（1）利用图（1）中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线．（2）把图（2）网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形．（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图（2）中组成的三角形的面积等于 3.5．【分析】（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB平行的格点以及垂直的格点作出即可；（2）根据网格结构的特点，过点E找出与AB、CD位置相同的线段，过点F找出与AB、CD位置相同的线段，作出即可；（3）根据S△＝S正方形﹣三个角上的三角形的面积即可得出结论．【解答】解：（1）、（2）如图所示；（3）S△EFH＝3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3＝9﹣1﹣3﹣＝3.5．故答案为：3.5．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．15．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．（1）分别画出△ABC中BC边上的高AH、中线AG．（2）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．（3）画一个锐角△MNP（要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．【分析】（1）根据三角形的高和中线的定义结合网格作图可得；（2）根据平移变换的定义和性质作图可得；（3）由△ABC的面积为3知所作三角形的面积为6，据此结合网格作图可得．【解答】解：（1）如图所示，AH、AG即为所求；（2）如图所示，△DEF即为所求；（3）如图所示，△MNP即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣基本作图及平移变换，解题的关键是掌握三角形的高、中线的定义和平移变换的定义与性质．16．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积＝7；（2）请在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积，在图上作出线段CP；（3）请在图中画出过点C且平行于AB的直线CM．【分析】（1）根据点A到A'的平移规律：向右移6个单位，再向下平移2个单位，直接平移并利用面积差计算面积；（2）作中线AP，可平分△ABC的面积；（3）作平行线CM．【解答】解：（1）画△A'B'C'，S△A'B'C'＝4×4﹣×2×4﹣×2×3﹣×1×4＝7；（4分）故答案为：7；（2）取AB的中点P，作线段CP；（6分）（3）画AB的平行线CM．（8分）【点评】本题考查了平移变换的作图、三角形的面积、平分三角形的面积、平行线，知道三角形的中线平分三角形的面积，并会根据一个对应点的平移规律进行作图．17．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF；（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是AD＝CF，AD∥CF；（3）在图中找出所有满足S△ABC＝S△QBC的格点Q（异于点A），并用Q1、Q2表示．【分析】（1）将三角形的三顶点分别向右平移6格、向下平移1格得到三顶点，再顺次连接可得；（2）根据平移变换的性质可得答案；（3）过点A作线段BC的平行线，平行线经过的网格点即为点Q1、Q2．【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求．（2）根据平移变换的性质知，AD＝CF，AD∥CF，故答案为：AD＝CF，AD∥CF；（3）过点A作线段BC的平行线，平行线经过的网格点即为点Q1、Q2．【点评】本题考查了利用平移变换作图，平移的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．18．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．（1）将△ABC向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）利用网格在图中画出△ABC的中线CD，高线AE；（3）△A′B′C′的面积为8．（4）在平移过程中线段BC所扫过的面积为32．（5）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有9个（点P异于A）．【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；（2）根据格点的特点△ABC的中线CD，高线AE即可；（3）利用三角形的面积公式即可得出结论；（4）利用平行四边形的面积公式即可得出结论；（5）过点A作直线BC的平行线，此直线与格点的交点即为P点．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；（2）如图，中线CD，高线AE即为所求；（3）S△A′B′C′＝×4×4＝8．故答案为：8；（4）线段BC所扫过的面积＝8×4＝32．故答案为：32；（5）如图，共有9个点．故答案为：9．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．19．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝7；（2）在AB上找一点M，使CM平分△ABC的面积；（3）在网格中找格点P，使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有4个．【分析】（1）根据平移的性质画出图象，再利用三角形的面积公式计算即可；（2）根据中线的定义画出中线即可平分三角形面积；（3）在过点A平行BC的直线上有4个格点，所以满足条件的△PCB有4个．【解答】解：（1）如图所示：△DEF即为所求，△DEF的面积为：4×4﹣×2×4﹣×2×3﹣×1×4＝7；故答案为：7；（2）如图所示：点M即为所求；（3）使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有4个．故答案为：4．【点评】本题考查平移变换、三角形的面积、三角形的中线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，。
三角形角格点问题系列：B2-3B(20210813版
三角形角格点问题系列：B2-3B(图中有:PB=PC,AB+AP=BC,BP平分∠ABC,AB切△BCP的外接圆于B)已知：如图，∠PBC=∠PBA=10°，∠PAB=20°,∠PAC=100°，求∠PCA,∠PCB .(《中等数学》2001年第1期题3）解法1:(30A-6)如图,作∠PAD=20°,连DP.易知P是△ABD的内心，∠CAD=80°,∠ADP=∠BDP=∠ADC=60°.易知C是△APD的旁心,故∠PCB=10°,∠PCA=30°.解法2:如图,作∠PAD=60°,连接DP,则∠DAC=∠DCA=40°,∠ADB=80°,故BA=BD,DA=DC.由∠PBA=∠PBC=10°,得A、D关于PB对称,因此△APD是正三角形,所以DP=DA=DC,D是△APC外心,得∠PCA=30°,∠PCB=10°.解法3:如上图,做正△PAD,连DC.由∠PAB=20°,∠PBA=10°,得∠APB=150°,有∠DPB=150°=∠APB,于是D、A关于PB对称,得∠PBD =∠PBC,则B、D、C三点共线,∠PDB=20°,于是DP =DC=DA,D是△APC外心,得∠PCA=30°,∠PCB=10°.解法4：如上图,设D为A关于PB的对称点，连DA、DC、DP.由∠ACB=40°,∠ABC=20°,可知∠BAC=120°,由∠PAB=20°,∠PBA =10°,可知∠PDB=20°，∠PBD=10°,有∠ABD=20°=∠ABC,于是B、D、C 三点共线.显然∠ADB =∠DAB=80°,可知△PDA为正三角形,由∠ADC=100°,可知∠DAC=40°=∠ACD,有DC=DA=DP,D是△APC外心,得∠PCA=30°,∠PCB=10°.解法5:如图，以A为内心作△DBC,连接AD、PD.以DP为一边作正△EDP,连接EB.显然∠DCB=80°,∠DBC=40°,∠BDC=60°,∠ADB=30°,∠APB=150°.所以A、D、B、P四点共圆，∠ADP=∠ABP=10°,∠CDE=100°,所以DE∥BC.由ED=EP,∠DEP=60°=2∠DBP，可知E为△PDB的外心,有∠EBD=∠EDB=40°,于是∠BED=∠CDE=100°,得四边形BCDE是等腰梯形,显然P为DE的中垂线上的点,可知P也在BC的中垂线上,得∠PCB=10°,∠PCA=30°.解法6:(2B-2)如图,△ABC的外接圆交AP的延长线于D，连接CD、BD,AD与BC交于F，易知∠ADB=40°,∠CBD=120°,∠ADC=∠BCD=20°,∠BPD=30°.作正△BCE,连EP、EB、EF因为∠CDB=60°,所以E、B、D三点共线,E、A、C三点共线.因为FD=FC,∠DEF=∠BPD=30°,所以B、E、P、F四点共圆,∠FEP=10°,∠DEP=40°,E、D 关于CP对称,所以∠PCA=30°,∠PCB=10°.解法7:(4B-3)如图,△ABC的外接圆交BP的延长线于D，连接CD、AD,易知∠ADB=40°,∠BDC=120°,∠ACD=∠CAD=10°,∠APD=30°.作正△APE,连ED、EC.因为∠APD=30°,E、A关于PD的对称,所以∠EDB=40°,∠ADE=∠CDE=80°,DA=DC,A、C关于DE的对称,EA=EC=EP,E是△ACP的外心.所以∠PCA=30°,∠PCB=120°.解法8:(27-10)如图,△ABC的外接圆交CP的延长线于D，连接AD、BD.易知∠ADC=20°,∠BDC=120°.△APB的外接圆交PD的延长线于E，连接EB、EA.易知∠BEC=20°,∠AEC=∠DAE=10°,∠DBE=100°.以D为圆心,AD的长为半径作圆,交EB延长线于F，连FA，FB.因为∠AEF=30°，所以△ADF是正三角形，故FD=FA.因为∠EFD=20°，∠DBF=80°.因此FB= FD=FA，F是△ABD的外心,可得∠BAD=10°.故∠PCB=10°,∠PCA=30°.解法9:(27-7)如图,△ABP的外接圆交CP的延长线于D，连接AD、BD.易知∠ADC=10°,∠BDC=20°.△ACD的外接圆交AB的延长线于E，连接ED、EC.易知∠BCE=∠BEC=10°,∠BDE=100°.作正△BCF,连EF,EF与CD交于G,连接BG.因为∠BCE=∠BEC=10°,易得∠BEF=∠BFE=∠BDC=20°,所以B、E、D、G四点共圆.∠FBG=∠FGB=80°,FG=FB=FC,所以F是△BCG的外心.得到∠BCD=10°.故∠PCB=10°,∠PCA=30°.解法10:(B6-16A)如图,△ABP的外接圆交CA的延长线于D，连接PD、BD.易知∠CDP=10°,∠BDP=20°,∠DBP=100°.以P为圆心，PD长为半径作圆分别交DB、DC的延长线于F、E,连接EB、EP、EF、FP,易知∠PED=10°,∠PFD=20°,△PEF是正三角形,得到FP=FE.又因为∠DBP=100°,得到∠FBP=80°,FB=FP=FE.所以F是△BEP的外心，∠BEP=10°.又因为B、E、C、P四点共圆，得到∠PCB=10°,∠PCA=30°.解法11:(B4-11B)如图,△ABP的外接圆交CB于D,连接PD、AD.易知∠CDP=20°,∠ADP=∠PAD=10°.以P为圆心,PA长为半径作圆交BC于E,连接EA、EP,因为∠ADC=30°,所以∠APE=60°,△APE是正三角形,∠PAE=60°,∠EAC=40°=∠ACB,所以EA=EC=EP,E是△APC的外心,所以∠PCA=30°,∠PCB=10°.解法12:(4A-1)如图,△ACP的外接圆交BP的延长线于D,连接CD、AD.易知∠ACD=30°,∠BDC=100°.△ABC的外接圆交BD于E，连接AE、CE.易知∠CAE=∠ACE=10°,∠DCE=20°.以E为圆心,EC的长为半径作圆,交CD延长线于F,连FA、FE.因为∠ACD=30°,所以△AEF是正三角形,故FA=FE.因为∠ECF=20°,∠BDC=100°,所以∠FDB=80°,∠CFE=20°,因此FD=FE=FA,F是△ADE的外心,所以∠ADB=30°.得到∠PCA=30°,∠PCB=10°.解法12:(B1-2H)如图,△ACP的外接圆交AB于D,连接CD、DP.易知∠DCP=20°,∠CDP=100°.作P关于CD的对称点E,连接EB、EC、ED、EP,易知∠PCE=40°,∠CEP=70°,∠DEP=∠DPE=∠ABP=10°.故B、E、D、P四点共圆.得∠ABE=10°,∠PBE=20°,△CEP的外接圆交BP的延长线于F,连接FE、FC.易知∠BFE=40°,∠BFC=70°.△BEF的外接圆交CF的延长线于G,连接GB、GE.易知∠EGF=20°,∠BBE=∠GBC=40°.作正△EGH,连HB、HC.因为GB=GE=GH,所以G是△BEH的外心,得∠EBH=30°=∠EBC ,故H、C、B三点共线.因为∠BGE=40°,得∠EHC=20°,所以G、H关于EC对称.得∠CEG=30°,∠ECB=50°,∠PCB=10°,∠PCA=30°.解法13:(B3-1E)如图,△ACP的外接圆交BC于D,连接AD、DP.易知∠BDP=100°.△BPD的外接圆交AP的延长线于E,BC交AE于F,连接BE、DE,易知∠AED=10°,∠AEB=100°,∠DBE=40°,∠BDE=30°,∠ABE=60°.作正△ABG,连GF、GD.因为∠ABE=60°,所以G、E、B三点共线.因为FB=FA,∠BGF=∠BDE=30°,所以D、F、E、G四点共圆,∠FGP=10°,∠BGD=40°=∠DBG,得到B、G关于AD对称,所以∠BAD=30°.∠DAP=10°.故∠PCB=10°,∠PCA=30°.解法14:(2A-2)如图,△BCP的外接圆交AP的延长线于D,AD交BC 于E,连接BD、CD.易知∠ADC=10°,∠BCD=30°.以A为圆心,AE长为半径作圆交CD于F,连FA、FB、FE.因为AC=AE,所以A是△CEF的外心,又∠BCD=30°,所以△AEF是正三角形.EA=EF=EB,所以∠EBF=∠EFB=∠ADC=10°,所以B、D、F、E四点共圆.可得∠ADB=10°.故∠PCB=10°,∠PCA=30°.解法15:(B5-5D)如图,△BCP的外接圆交AC的延长线于D，连接BD、CD.易知∠ADP=10°.作正△ABE,连接EP,易知E、A、C三点共线,E是△ABP的外心.得到∠AEP=20°,∠BEP=40°.又作D关于EP的对称点F,则△DFP是正三角形.易知EF平分∠PEB,所以P、B关于EF对称.FB=FP=FD,所以∠PBD=30°,∠PDB=10°.故∠PCB=10°,∠PCA=30°.解法16:(D1-6A 、29-6)如图,作∠PAD =30°,连接DP . 延长BP 交AD 于E ,过E 作EF ⊥PA 交AB 于F ,连接FP .易知∠BED =60°,∠APE =30°,故EF 垂直平分AP ,∠BFP =40°,∠BEF =60°,得到F 、D 关于BE 对称,所以∠PDB =40°,∠PDA =70°,∠ADC =70°.作正△DCG ,连GA 、GP ,所以CD =CG =CA ,所以C 是△ADG 的外心.因为∠ACD =40°,∠ACG =20°,∠AGC =∠CAG =80°,所以P 、A 、G 三点共线.∠DGP =20°,∠DPG =80°,所以GC =GD =GP .得到G 是△CDP 的外心,所以∠PCB =10°,∠PCA =30°. G F E PAB解法17:(B3-1A)如图,作∠PAD =10°,连接DP .以P 为圆心,PA 长为半径作圆交AB 于E ,交AD 延长线于F ,连接EP 、EF 、FP 、BF .可得∠PEA =20°,∠AFP=∠BPE =10°,易知△EFP 是正三角形,EB =EF =EP .显然E 是△BFP 的外心,∠FBP =30°.又因为B 、F 、D 、P 四点共圆,所以∠ADP =30°.则 A 、C 、D 、P 四点共圆, 故∠PCA =30°,∠PCB =10°.B CF。
三角形角格点问题系列：B4-11I(20221216
三角形角格点问题系列：B4-11I（图中有：PA=PB,△ABP的外心在射线CA上，△ACP的外心在BC 上，AB切△ACP的外接圆于B，已知:如图,∠PAB=∠PBA=∠PCB=10°,∠PCA=30°,求∠PBC,∠PAC.解法1:如图,作正△ABD，连DC、DP。
显然A、B关于DP对称,∠ADP=30°。
得A、C、D、P四点共圆,∠DCP=50°,∠BCD=40°。
故∠BAC与∠BDC相等或互补，显然相等。
故A、D关于BC对称,∠ABC=30°。
则∠PBC=20°,∠PAC=100°。
解法2:(2A-7)如图,设△ABC的外接圆交AP、BP的延长线于D、E,连DB、DC、EC、ED。
易知∠BCD=∠PDE=∠PED=10°,∠ADB=∠PCE=40°,∠BPD=20°。
作正△PDF,连CF、EF。
易知∠PFE=∠PEF=40°。
得P、E、C、F四点共圆,∠DCF=20°,故P、F关于CD对称,∠PDC=30°。
则∠PBC=20°,∠PAC=100°。
解法3:(12B-7)如图,设△ABC的外接圆交BP的延长线于D,连DA、DC。
易知∠ACD=10°,∠APD=20°,∠ADB=40°。
设△ADP的外接圆交CD 于E,连EA、EP。
易知∠CPE=20°,∠DPE=10°，∠PEA=40°，∠CEP=120°。
以E为圆心,CE长为半径作圆交CP于F,连EF、AF。
易知△AEF是正三角形,故∠EFC=40°,∠FEP=∠FPE=20°。
得FE=FA=FP,∠EPA=30°。
则∠PAC=100°，∠PBC=20°。
解法4:如图,设△ABC的外接圆交CP的延长线于D,连DA、DB.易知∠BAD=10°,∠ABD=30°。
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格点三角形的专题
1.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．请在所给网格中按下列要求画出图形．
（1）以点A为端点画一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为5
（2）以（1）中的AB为边画一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数．
2.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．
3.（2013•哈尔滨）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN，点A，B，M，N均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；
（2）请直接写出四边形ABCD的周长．
例2：（2012•松北区二模）正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
2、5
（1）在图1中，画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、2
（2）在图2中，画△DEF，使△DEF为钝角三角形且面积为2．。