数学模拟考试试题
2024年中考数学模拟考试卷(含参考答案)
2024年中考数学模拟考试卷(含参考答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 一、选择题（各小题的四个选项中，只有一项符合题意）1．2024的倒数是（）A．﹣2024B．12024C．2024 D．120242．下列计算正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2C．a2•a3＝a6D．（a﹣2）2＝a2﹣43．若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0B．x≥2C．x≥﹣2D．x≤24．下列运算正确的是（）A．B．|3.14﹣π|＝π﹣3.14C．a2⋅a3＝a6D．（a﹣1）2＝a2﹣2a﹣15．如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360°B．300°C．270°D．180°6．若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣b＝3的解，则4a﹣2b+1的值是（）A．7B．8C．﹣7D．﹣87．每周四下午的活动课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“二胡课”“轮滑课”“围棋课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（）A．B．C．D．8．已知点A（﹣4，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y19．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，将正方形沿直线AN折叠，点B 落在对角线上的点M处，折痕AN交BD于点E，则BE的长为（）A．B．C．D．10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．分解因式：a3﹣4ab2＝．12．如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，其中点A（2，1），则位似中心的坐标是．13．已知关于的x方程有两个实数根，请写出一个符合条件的m 的值．14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝2，则下列结论中正确的有．①4a+b＝0；②9a+3b+c＜0；③若点A（﹣3，y1），点，点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若图象过（﹣1，0），则方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．15．如图，放置在直线l上的扇形OAB，由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O的路径长为．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n∁n D n的面积是．三．解答题17．（1）计算：；（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．18．为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的2800例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，所得数据绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量为．（2）补全条形统计图；（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为．（4）估计所有2800例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的？19．为响应国家东西部协作战略，烟台对口协作重庆巫山，采购巫山恋橙助力乡村振兴．巫山恋橙主要有纽荷尔和默科特两个品种，已知1箱纽荷尔价格比1箱默科特少20元，300元购买纽荷尔的箱数与400元购买默科特的箱数相同．（1）纽荷尔和默科特每箱分别是多少元？（2）我市动员市民采购两种巫山恋橙，据统计，市民响应积极，预计共购买两种隥子150箱，且购买纽荷尔的数量不少于默科特的2倍，请你求出购买总费用的最大值．20．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与函数的图象交于点A （4，a）和点B．（1）求n的值；（2）若x＞0，根据图象直接写出当时x的取值范围；（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若△POQ 的面积为1，求点P的坐标．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径．（1）求证：OD⊥CE；（2）若DF＝1，DC＝3，求AE的长．22．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，直线l：y＝﹣2x+b与x轴、y轴分别交于点E，F，直线与抛物线有唯一交点G．（1）求抛物线和直线的解析式．（2）点H为抛物线对称轴上的动点，且到B，G的距离之和最小时，求点H的坐标，并求△HBG内切圆的半径．（3）在第一象限内的抛物线上是否存在点K，使△KBC的面积最大？如果存在，求出△KBC的最大面积，如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（各小题的四个选项中，只有一项符合题意）11．2024的倒数是（）A．﹣2024B．12024C．2024 D．12024【解答】解：2024的倒数是1 2024故选：D．2．下列计算正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2 C．a2•a3＝a6D．（a﹣2）2＝a2﹣4【解答】解：A.2x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，故本选项符合题意；C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；D．（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故本选项不合题意．故选：B．3．若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0B．x≥2C．x≥﹣2D．x≤2【解答】解：∵3x﹣6≥0∴x≥2故选：B．4．下列运算正确的是（）A．B．|3.14﹣π|＝π﹣3.14C．a2⋅a3＝a6D．（a﹣1）2＝a2﹣2a﹣1【解答】解：A．+无法合并，故此选项不合题意；B．|3.14﹣π|＝π﹣3.14，故此选项符合题意；C．a2⋅a3＝a5，故此选项不合题意；D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故此选项不合题意；故选：B．5．如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360°B．300°C．270°D．180°【解答】解：如图，过点P作P A∥a，则a∥b∥P A∴∠3+∠NP A＝180°，∠1+∠MP A＝180°∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故选：A．6．若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣b＝3的解，则4a﹣2b+1的值是（）A．7B．8C．﹣7D．﹣8【解答】解：∵x＝2是方程ax﹣b＝3的解∴2a﹣b＝3∴4a﹣2b＝6∴4a﹣2b+1＝7故选：A．7．每周四下午的活动课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“二胡课”“轮滑课”“围棋课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“二胡课”“轮滑课”“围棋课”三种课程）∵共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一课程的结果数为3∴两人恰好选择同一课程的概率＝．故选：A．8．已知点A（﹣4，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1【解答】解：∵反比例函数∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大又∵点A（﹣4，y1），B（2，y2），C（3，y3）∴点A在第二象限内，点B、点C在第四象限内∴y1＞0，y2＜0，y3＜0又∵2＜4∴y2＜y3∴y2＜y3＜y1故选：C．9．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，将正方形沿直线AN折叠，点B落在对角线上的点M处，折痕AN交BD于点E，则BE的长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，连接MN∵边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O∴AD＝AB＝BC＝2∴∵将正方形沿直线AN折叠，点B落在对角线上的点M处，折痕AN交BD于点E ∴∠AMN＝∠ABN＝90°，MN＝BN，AM＝AB＝2∴∵∠ACB＝45°∴∠MNC＝45°∴∴∵AD∥BN∴△ADE∽△NBE∴，即解得．故选：B．10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【解答】解：∵△PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD∴∠CPD＝∠CDP＝75°则∠BPD＝∠BPC+∠CPD＝135°，故①正确；∵∠CBD＝∠CDB＝45°∴∠DBH＝∠DPB＝135°又∵∠PDB＝∠BDH∴△BDP∽△HDB，故②正确；如图，过点Q作QE⊥CD于E设QE＝DE＝x，则QD＝x，CQ＝2QE＝2x∴CE＝x由CE+DE＝CD知x+x＝1解得x＝∴QD＝x＝∵BD＝∴BQ＝BD﹣DQ＝﹣＝则DQ：BQ＝：≠1：2，故③错误；∵∠CDP＝75°，∠CDQ＝45°∴∠PDQ＝30°又∵∠CPD＝75°∴∠DPQ＝∠DQP＝75°∴DP＝DQ＝∴S△BDP＝BD•PD sin∠BDP＝×××＝，故④正确；故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．分解因式：a3﹣4ab2＝a（a+2b）（a﹣2b）．【解答】解：a3﹣4ab2＝a（a2﹣4b2）＝a（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）．12．如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，其中点A（2，1），则位似中心的坐标是（4，2）．【解答】解：如图所示：位似中心的坐标是（4，2）故答案为：（4，2）．13．已知关于的x方程有两个实数根，请写出一个符合条件的m 的值 1.2．【解答】解：∵关于x方程（m﹣1）x2﹣＝0的有两个实数根∴解得：0≤m≤2且m≠1．故答案为：1.2．14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝2，则下列结论中正确的有①③④．①4a+b＝0；②9a+3b+c＜0；③若点A（﹣3，y1），点，点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若图象过（﹣1，0），则方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．【解答】解：∵∴4a+b＝0故①正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2∴另一个交点为（5，0）∵抛物线开口向下∴当x＝3时，y＞0，即9a+3b+c＞0故②错误；∵抛物线的对称轴为x＝2，C（5，0）在抛物线上∴点（﹣1，y3）与C（5，y3）关于对称轴x＝2对称∵，在对称轴的左侧，抛物线开口向下，y随x的增大而增大∴y1＜y3＜y2故③正确；若图象过（﹣1，0），即抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0）方程a（x+1）（x﹣5）＝0的两根为x＝﹣1或x＝5过y＝﹣3作x轴的平行线，直线y＝﹣3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根∵x1＜x2，抛物线与x轴交点为（﹣1，0），（5，0）∴依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2故④正确故答案为：①③④．15．如图，放置在直线l上的扇形OAB，由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O的路径长为．【解答】解：如图点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝＝故答案为：．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n∁n D n的面积是（）n﹣1．【解答】解：∵直线l为正比例函数y＝x的图象∴∠D1OA1＝45°∴D1A1＝OA1＝1∴正方形A1B1C1D1的面积＝1＝（）1﹣1由勾股定理得，OD1＝，D1A2＝∴A2B2＝A2O＝∴正方形A2B2C2D2的面积＝＝（）2﹣1同理，A3D3＝OA3＝∴正方形A3B3C3D3的面积＝＝（）3﹣1…由规律可知，正方形A n B n∁n D n的面积＝（）n﹣1故答案为：（）n﹣1．三．解答题17．（1）计算：；（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．【解答】解：（1）原式＝1﹣2×+2+2＝4；（2）由①得：x≤1由②得：x＞﹣1∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1则不等式组的整数解为0，1．18．为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的2800例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，所得数据绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量为50．（2）补全条形统计图；（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为213°．（4）估计所有2800例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的？【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量为：30÷60%＝50；故答案为：50；（2）满足欲望的人数有：50×12%＝6（人）其他的人数有：50×8%＝4（人）补全统计图如下：（3）“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为：360°×60%＝216°；故答案为：216°；（4）2800×（60%+20%）＝2240（例）答：估计所有3000例欺凌事件中有2240例事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的．19．为响应国家东西部协作战略，烟台对口协作重庆巫山，采购巫山恋橙助力乡村振兴．巫山恋橙主要有纽荷尔和默科特两个品种，已知1箱纽荷尔价格比1箱默科特少20元，300元购买纽荷尔的箱数与400元购买默科特的箱数相同．（1）纽荷尔和默科特每箱分别是多少元？（2）我市动员市民采购两种巫山恋橙，据统计，市民响应积极，预计共购买两种隥子150箱，且购买纽荷尔的数量不少于默科特的2倍，请你求出购买总费用的最大值．【解答】解：（1）设纽荷尔每箱a元，则默科特每箱（a+20）元由题意得：＝解得：a＝60经检验，a＝60是原分式方程的解∴a+20＝80答：纽荷尔每箱60元，默科特每箱80元；（2）设购买纽荷尔x箱，则购买默科特（150﹣x）箱，所需费用为w元由题意得：w＝60x+10（150﹣x）＝﹣20x+12000∵x≥2（150﹣x）∴x≥100∵﹣20＜0∴w随x的增大而减小∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝﹣20×100+12000＝10000答：购买总费用的最大值为10000元．20．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与函数的图象交于点A （4，a）和点B．（1）求n的值；（2）若x＞0，根据图象直接写出当时x的取值范围；（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若△POQ 的面积为1，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+5的图象与过点A（4，a）∴a＝﹣4+5＝1∴点A（4，1）∵点A在反比例函数的图象上∴n＝4×1＝4；（2）由，解得或∴B（1，4）∴若x＞0，当时x的取值范围是1＜x＜4；（3）设P（x，﹣x+5），则Q（x，）∴PQ＝﹣x+5﹣∵△POQ的面积为1∴＝1，即整理得x2﹣5x+6＝0解得x＝2或3∴P点的坐标为（2，3）或（3，2）．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径．（1）求证：OD⊥CE；（2）若DF＝1，DC＝3，求AE的长．【解答】解：（1）∵⊙O与边AB相切于点E，且CE为⊙O的直径∴CE⊥AB∵AB＝AC，AD⊥BC∴BD＝DC又∵OE＝OC∴OD∥EB∴OD⊥CE；（2）连接EF∵CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，∴∠EFC＝90°∵CE⊥AB∴∠BEC＝90°．∴∠BEF+∠FEC＝∠FEC+∠ECF＝90°∴∠BEF＝∠ECF∴tan∠BEF＝tan∠ECF∴又∵DF＝1，BD＝DC＝3∴BF＝2，FC＝4∴EF＝2∵∠EFC＝90°∴∠BFE＝90°由勾股定理，得∵EF∥AD∴∴．22．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，直线l：y＝﹣2x+b与x轴、y轴分别交于点E，F，直线与抛物线有唯一交点G．（1）求抛物线和直线的解析式．（2）点H为抛物线对称轴上的动点，且到B，G的距离之和最小时，求点H的坐标，并求△HBG内切圆的半径．（3）在第一象限内的抛物线上是否存在点K，使△KBC的面积最大？如果存在，求出△KBC的最大面积，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2+2x+3得：0＝a﹣2+3解得a＝﹣1∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；∵直线y＝﹣2x+b与抛物线有唯一交点G∴﹣x2+2x+3＝﹣2x+b有两个相等的实数解即x2﹣4x+b﹣3＝0有两个相等的实数解∴Δ＝0，即16﹣4（b﹣3）＝0解得b＝7∴直线的解析式为y＝﹣2x+7；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝﹣1或x＝3∴B（3，0）∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝＝1由得：∴G（2，3）∵点H为抛物线对称轴上的点∴HB＝HA∴HB+HG＝HA+HG∴当G，H，A共线时，HB+HG最小，最小值即为AG的长度；如图：由A（﹣1，0），G（2，3）可得直线AG解析式为y＝x+1在y＝x+1中，令x＝1得y＝2∴H（1，2）；∴OH＝OA＝2∴△AOH是等腰直角三角形∴∠AHO＝45°由对称性可得∠BHO＝45°∴∠GHB＝90°，即△GHB是直角三角形∵G（2，3），H（1，2），B（3，0）∴HG＝，BG＝，BH＝2设△HBG内切圆的半径为r∴2S△BHG＝BH•HG＝（HG+BG+BH）•r∴r＝＝∴△HBG内切圆的半径为；（3）存在点K，使△KBC的面积最大，理由如下：过K作KQ∥y轴交BC于Q，如图：设K（m，﹣m2+2m+3）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3∴C（0，3）由B（3，0），C（0，3）可得y＝﹣x+3∴Q（m，﹣m+3）∴KQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m∴S△KBC＝×（﹣m2+3m）×3＝﹣（m﹣）2+∴当m＝时，S△KBC取最大值∴△KBC的最大面积是．。
安徽“小高考”2024届模拟考试数学试题
一、单选题二、多选题1.复数的虚部是（ ）A ．5B．C．D．2. 已知角终边上点坐标为，则（ ）A．B．C．D．3. 设集合，，，则（ ）A．B．C．D．4.（ ）A．B ．C．D ．5.已知函数（a ，b 为常数，且，）的图象经过点，，下列四个结论：①；②；③函数仅有一个零点；④若不等式在时恒成立，则实数m 的取值范围为．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④6. 若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是A．B．C．D．7. 已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（）A．B．C．D．8. 如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设表示该数阵中第m 行、第n 列的数，则下列说法正确的是（ ）234567…35791112…4710131619…5913172125…6111212631…71319253137……………………A．B．C．D．安徽“小高考”2024届模拟考试数学试题安徽“小高考”2024届模拟考试数学试题三、填空题四、解答题9. 下列命题中正确的是（ ）A ．已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的分位数是7.5B ．样本相关系数的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强C．已知随机变量，则D ．已知经验回归方程，则y 与x 具有负线性相关关系10. 某统计机构对1000名拥有汽车的人进行了调查，对得到的数据进行整理并制作了如图所示的统计图表，下列关于样本的说法错误的是（）A ．30岁以上人群拥有汽车的人数为720B ．40～45岁之间的人群拥有汽车的人数最多C ．55岁以上人群每年购买车险的总费用最少D ．40～55岁之间的人群每年购买车险的总费用，比18～30岁和55岁以上人群购买车险的总费用之和还要多11. 已知a ，b 为空间中两条不同直线，，为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ）A ．，，B．，，C ．，，D ．，，12. 下列计算正确的是（ ）A．B．C．D．13. 已知，则______.14.若实数满足，则称为函数与 的“关联数”.若与在实数集上有且只有3个“关联数”，则实数的取值范围为__________.15. 将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有种不同的放法，则在的展开式中，含项的系数为______．16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，右焦点为，上顶点为，点到直线的距离等于1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，为中点，直线，分别与圆：相切于点，，求的最小值．17. 如图，在三棱柱中，，，，.（1）证明：平面平面.（2）若，求二面角的余弦值.18. 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值.19. 已知椭圆：经过点，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线：与椭圆C有两个不同的交点A，B，原点到直线的距离为2，求的面积的最大值.20. 如图，已知椭圆的离心率为，直线与圆交于M，N两点，．(1)求椭圆E的方程；(2)A，B为椭圆E的上、下顶点，过点A作直线交圆O于点P，交椭圆E于点Q（P，Q位于y轴的右侧），直线BP，BQ的斜率分别记为，，试用k表示，并求当时，△面积的取值范围．21. 已知函数是大于0的常数，记曲线在点处的切线为在轴上的截距为.(1)若函数，求的单调区间；(2)当时，求的取值范围.。
湖北省2024届高中毕业生四月模拟考试 数学试题(含解析)
2024届高中毕业生四月模拟考试数学试卷本试题卷共4页，19小题，全卷满分150分．考试用时120分钟．祝考试顺利注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设()1,2a =- ，()34b =-, ，()32c =,，则()2a b c +⋅ 等于（）A ．()15,12-B ．0C ．3-D ．11-2．已知集合{}12A y y x x ==-++∣，B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，则A B = （）A ．)+∞B ．⎡⎣C ．[)3,+∞D ．(⎤⎦3．下面四个数中，最大的是（）A ．ln3B ．()ln ln3C ．1ln3D ．()2ln34．数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若n m n m S S S ++=，（,N m n *∈）则，9a =（）A ．9B ．1C ．8D ．455．复数212a iz i-=+（a ∈R ）在复平面上对应的点不可能位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．函数()12e e ln xxf x x =--的图象大致为（）A ．B ．C ．D．7．能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（）A ．228B ．210C ．240D ．2388．抛物线2:2x y Γ=上有四点A ，B ，C ，D ，直线AC ，BD 交于点P ，且PC PA λ=，()01PD PB λλ=<< ．过,A B 分别作Γ的切线交于点Q ，若23ABP ABQ S S = ，则λ=（）A．2B ．23C．3D ．13二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）A ．0B ．4C ．8D ．1610．已知函数()()ππ0,,22f x x t t ωϕωϕ⎛⎫++>-<<∈ ⎪⎝⎭Z 有最小正零点34，()01f =，若()f x 在94,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则（）A ．πω=B ．5π3ω=C ．()19f =D ．()91f =-11．如图，三棱台111ABC A B C -的底面ABC 为锐角三角形，点D ，H ，E 分别为棱1AA ，BC ，11C A 的中点，且1122BC B C ==，4AC AB +=；侧面11BCC B 为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为6，则下列说法可能但不一定正确的是（）A ．该三棱台的体积最小值为74B ．2DH =C ．111128E ADH ABC A B C V --=D ．EH ∈⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．写出函数()ln 2e xx xf x x =--的一条斜率为正的切线方程：．13．两个连续随机变量X ，Y 满足23X Y +=，且()23,X N σ ，若()100.14P X +≤=，则()20P Y +>=．14．双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点分别为1F ，2F ，以实轴为直径作圆O ，过圆O上一点E 作圆O 的切线交双曲线的渐近线于A ，B 两点（B 在第一象限），若2BF c =，1AF 与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．15．数列{}n a 中，11a =，29a =，且2128n n n a a a +++=+，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足2n n b a =，10n n b b +<，求n S ．16．已知椭圆2212:1x C y a+=和()2222:10x C y a b b +=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，(1)证明：12BA BA ⊥；(2)设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值．参考公式：()()3322m n m n m mn n +=+-+17．空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，1AB =，设直线m 与n 之间的夹角为π3，(1)如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；(2)如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足//PQ α，P Q n⊥且PQ m ⊥，（i ）求直线m ，n 与平面α的夹角之和；（ii ）设()01PQ d d =<<，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数()f d ．18．已知函数()()2ln 1f x ax x x =-++，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数1x ，2x ，均有()()12120f x f x x x >，求a ；(2)记1112n t n =++⋅⋅⋅+，证明：()5ln 16n n t n t -<+<．19．欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n 为正整数，集合{}1,2,,1n X n =⋅⋅⋅-，欧拉函数)(n ϕ的值等于集合n X 中与n 互质的正整数的个数；记(,)M x y 表示x 除以y 的余数（x 和y均为正整数），(1)求(6)ϕ和(15)ϕ；(2)现有三个素数p ，q ，()e p q e <<，n pq =，存在正整数d 满足(,())1M de n ϕ=；已知对素数a 和a x X ∈，均有1,)1(a M x a -=，证明：若n x X ∈，则([(,)],)c d x M M x n n =；(3)设n 为两个未知素数的乘积，1e ，2e 为另两个更大的已知素数，且12231e e =+；又11(,)e c M x n =，22(,)e c M x n =，n x X ∈，试用1c ，2c 和n 求出x 的值．1．C【分析】先求出2a b +的坐标，然后根据向量数量积坐标运算公式求解即可【详解】因为()1,2a =- ，()34b =-,，所以2(1,2)2(3,4)(5,6)a b +=-+-=-，因为()32c =,，所以()253623a b c +⋅=-⨯+⨯=-，故选：C 2．B【分析】由绝对值三角不等式求得[)3,A =+∞，然后由解析式有意义求得(B =，再由交集运算可得.【详解】由()()12123x x x x -++≥--+=，当且仅当()()120x x -+≤，即21x -≤≤时，等号成立，得[)3,A =+∞；由2100x ->得x <，即(B =.所以A B ⎡⋂=⎣.故选：B 3．D【分析】先根据对数函数单调性求得1<ln32<，然后可判断最大项.【详解】因为2lne<ln3ln e <，即1<ln32<，所以()ln ln3ln 21<<，11ln3<，故B ，C 错误；又()()2ln3ln3ln31ln30-=->，所以()2ln3ln3>.故选：D 4．B【分析】根据题意，令1m =，得到111n n S S S +-==，等差数列{}n S 是等差数列，求得n S n =，结合998a S S =-，即可求解.【详解】由题意知，数列{}n a 的首项为1，且n m n m S S S ++=，令1m =，可得11n n S S S ++=，即111n n S S S +-==，所以数列{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(1)1n S n n =+-⨯=，则9981a S S =-=.故选：B.5．A【分析】先利用复数代数形式乘除运算法则求出复数z ，由此能求出结果.【详解】()()()()()2124212422121212555a i i a a i a i a a z i i i i ----+--+====-++-，当4a >时，4220,055a a -+>-<，则复数对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限；当24a -<<时，4220,055a a -+<-<，则复数对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭在第三象限；当2a <-时，4220,055a a -+<->，则复数对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限；当2a =-或4a =时，405a -=或2205a +-=，则复数对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭在坐标轴上，不属于任何象限.故复数42255a a z i -+=-对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭不可能位于第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数在复平面上对应的点所在象限的判断，考查复数代数形式乘除运算法则及复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．6．A【分析】根据0x <时的单调性可排除BC ；再由奇偶性可排除D.【详解】()()1121e e 2ln ,0e e ln e e 2ln ,0x x x xx x x x f x x x x ⎧---<⎪=--=⎨⎪-->⎩，因为当0x <时，()1e ,e ,2ln x x y y y x ==-=--都为增函数，所以，()1e e 2ln ,0x x y x x =---<单调递增，故B ，C 错误；又因为()()12e eln xxf x x f x ---=--≠-，所以()f x 不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D 错误.故选：A 7．A【分析】根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的；被3除余2的；被3整除的，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列或每组各选一个，求出3的倍数的三位数个数即可.【详解】然后根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列，每组各选一个，所以3的倍数的三位数有：3332111311233433343332(A A A A )(C C C A C C A )228++-+-=个.故选：A.8．D【分析】由题意可得AB ∥CD ，取弦AB ，CD 的中点分别为,M N ，设直线AB 的方程为：y kx m =+代抛物线，由韦达定理可得Mx k =，2M y k m =+，N x k =，从而得P 在直线MN 上，根据切线方程可得Q x k =，作出图象，可得Q y m =-，2(1)22P k m y λλ--=，再根据23ABP ABQS S = 求解即可.【详解】解：由PC PA λ= ，()01PD PB λλ=<<，可知AB ∥CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为,M N ，设直线AB 的方程为：y kx m =+，代入22x y =，得2220x kx m --=，则2A B x x k +=，2A B x x m =-，所以M x k =，2M M y kx m k m =+=+，同理可得N x k =，由抛物线的几何意义可知点P 在直线MN 上，所以P x k =，因为22x y =，所以212y x =，y x '=，所以物线在A 处的切线为1:()A A A l y y x x x -=-，即2()2AA A x y x x x -=-，212A A y x x x =-，即A A x x y y=+同理可得物线在B 处的切线为221:2B B l y x x x =-，即B B x x y y =+,由221212A A B By x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22A B A B x x x k x x y m +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，综上，M N P Q x x x x k ====，Q y m =-,所以,,,M N P Q 四点共线，且所在直线平行于y 轴，由PC PA λ=，得)((,),C P C P A P A P x x y y x x y y λ-=---，则(1)C A P x x x λλ=+-，(1)C A P y y y λλ=+-，又22C C x y =，所以有2[(1)]22(1)A P A P x x y y λλλλ+-=+-，又22A A x y =，化简得222(1)20P A A p P x x y x y λλλ-+--=，同理有222(1)20P B B p P x x y x y λλλ-+--=，由两式知直线AB 的方程为：222(1)20P p P x x y x y λλλ-+--=，因为P x k =，所以222(1)20P kx y k y λλλ-+--=，又直线AB 过点2(,)M k k m +，代入得2(1)22P k my λλ--=，2222()3(1)22ABP M P ABQM Q k m S y y PM S QM y y mk m m k λλ+--====-+---- ，整理得222360k m k m λλ--++=，即()()23120k m λ-+=，由题可得0Q y m =-<，所以0m >，所以130λ-=，解得13λ=.故选：D.【点睛】关键点睛：涉及直线与圆锥曲线的问题，作出图象，结合韦达定理求解.9．ACD【分析】根据平行六面体的性质考察矩形个数的可能情况即可.【详解】平行六面体的六个面都是平行四边形，且相对的平行四边形全等，所以六个平行四边形中的矩形个数可能为0,2,4,6，所以各个表面的直角个数之和可能为0,8,16,24.故选：ACD 10．BC【分析】确定(1t ∈，Z t ∈，故0=t 或1t =，当0=t 时，不满足单调性，排除；当1t =时，计算0ϕ=，5π3ω=，代入计算得到答案．【详解】(0)1f t ϕ=+=，故(1t ∈-，33(sin()044f t ωϕ=++=，故[t ∈，故(1t ∈-，Z t ∈，故0=t 或1t =，当0=t 时，sin ϕ=，ππ22ϕ-<<，故π4ϕ=，π()4f x x ω=+，0ω>，()f x 有最小正零点34，*3ππ,N 44k k ω+=∈，*4ππ,N 33k k ω=-∈，914222T ≥-=，故2π1T ω=≥，2πω≤，故πω=，π())4f x x =+，当9(4,)2x ∈，π17π19ππ(,)444x +∈，函数不单调，排除；当1t =时，sin 0ϕ=，ππ22ϕ-<<，故0ϕ=，3sin()4ω=35π2π44k ω=+或37π2π44k ω=+，85ππ,N 33k k ω=+∈或87ππ,N 33k k ω=+∈，914222T ≥-=，故21T πω=≥，2ωπ≤，故5π3ω=，5π()sin()13f x x =+，验证满足条件，此时(9)11f =+=．综上，AD 错误，BC 正确.故选：BC ．11．BD【分析】根据题意可得点A 的轨迹为椭圆，由椭圆的几何性质从而可确定A 的坐标范围，设三棱台的高为h ，由三棱台的体积最大值确定h 的范围，从而可判断A ；建立空间直角坐标系，根据两点之间的距离公式求解,DH EH 的取值范围，从而可判断B ，D ；将三棱台补成三棱锥，根据棱锥与棱台的体积关系即可判断C.【详解】由4AC AB +=，2BC =，可得点A 的轨迹为椭圆，如图则椭圆方程为22143x y +=，由于1b c =>=则090BAC ︒<∠<︒，又因为ABC 为锐角三角形，则090ABC ︒<∠<︒且090ACB ︒<∠<︒，所以32A y <≤01A x ≤<，所以()max 122ABC S =⨯= 1122BC B C ==，所以14A B C ABC S S '''= 设A B C S S '''= ，则4ABC S S =△，设三棱台的高为h ，则(11117433ABC A B C V h S S hS -=++=，因为该三棱台的体积最大值为6，max 4S =，所以max 2h =，由于,S h 无最小值，故该三棱台的体积无最小值，故A 不正确；对于三棱台111ABC A B C -有侧面11BCC B 为垂直于底面的等腰梯形，则如图，以H 为原点，在平面ABC 上作Hx ⊥面11BCC B ，在面11BCC B 作Hz ⊥面ABC ，则()()()11110,0,0,1,0,0,1,0,0,,0,,,0,22H B C B h C h ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),,0A x y ，则1,,22x y A h ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33,,442x y h D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,44x y E h -⎛⎫⎪⎝⎭，所以HD =，由于[)0,1x ∈，(]0,2h ∈，所以48HD ⎛∈ ⎝⎭，又248⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故B 可能正确；同理3,82EH ⎛=⎝⎦，又3448⎛⎫⎛⎤⊆ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故D 可能正确；如图，将三棱台补成三棱锥-P ABC ，设点C 到平面PAH 的距离为d ，则11177774778443ABC A B C P ABC P ACH D ACH D ACH C ADH ADH V V V V V V dS ------===⋅=== ，又11124E ADH C ADH C ADH V V V ---==，所以111128E ADH ABC A B C V V --=，故C 一定正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：本题考查空间几何与平面解析几何综合运用，解决本题中的问题涉及的思路有：（1）根据椭圆的定义确定动点A 的轨迹，利用解析几何的性质缩小点A 坐标范围；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式确定线段长的取值范围；（3）体积关系的建立，需将三棱台补成三棱锥，由三棱锥的体积转换特点分析体积比例.12．2221ln2e ex y -=+--（答案不唯一）【分析】根据导数的几何意义结合导数运算求导函数，取定义域内的点作切点，求斜率与切点坐标即可得切线方程.【详解】()ln 2e x x x f x x =--，0x >，则()1112e x x f x x-'=--，取切点为()()2,2f ，则斜率为()221121122e 2ek f -=--='=，又()222222ln21ln22e ef =--=--，则切线方程为：()2211ln22e ey x -++=-，即2221ln2e e x y -=+--.故答案为：2221ln2e ex y -=+--（答案不唯一）13．0.86##4350【分析】利用期望和方差的性质可得210,4Y N σ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，然后由对称性即可求解.【详解】因为23X Y +=，所以142X Y +=-，因为()100.14P X +≤=，所以()4200.14P Y -≤=，即()20.14P Y ≥=又1322Y X =-+，所以()()13022E Y E X =-+=，()()21144D Y D X σ==，所以210,4Y N σ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()()()()202121210.140.86P Y P Y P Y P Y +>=>-=-<-=->=-=.故答案为：0.8614．2【分析】先根据几何关系证明点E 必为双曲线的右顶点，再结合离心率计算公式，直接求解即可.【详解】记1AF 与渐近线OB 的交点为H ，根据题意，作图如下：2tan bBOF a∠=，()20,πBOF ∠∈，故2cos a BOF c∠==；则在△2BOF 中，设OB x =，又2BF c =，由余弦定理可得2222cos 2x c c aBOF cx c+-∠==，解得2x a =，即2OB a =；在△BOE 中，1cos 22OE a BOE OBa ∠===，又()0,πBOE ∠∈，故π3BOE ∠=；又左焦点(),0c -到直线by xa=的距离d b ==，即1F H b =，又1OF c =，故OH a ==，则H 在圆O 上，即1AF 与圆O 相切；显然AHO AEO ≅ ，则AOH EOA ∠=∠，又πAOH EOA BOE ∠+∠+∠=，又π3BOE ∠=，故可得π3AOH ∠=，根据对称性，1π26BOy AOH ∠=∠=，故2π3BOF ∠=，故2,,O E F 三点共线，E 点是唯一的，根据题意，E 必为双曲线右顶点；此时显然有πtan 3b a ==2c a ==.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能够1AF 与渐近线垂直，以及2BF c =，确定点E 的位置，进而求解离心率.15．(1)2441n a n n =-+(2)答案见解析【分析】（1）依题意可得2118n n n n a a a a +++-=-+，即可得到{}1n n a a +-为等差数列，即可得到18n n a a n +-=，再利用累加法计算可得；（2）由（1）可得()21n b n =±-，由10n n b b +<，得到n b 与2n b +同号，再对1b 分类讨论，利用并项求和法计算可得.【详解】（1）因为2128n n n a a a +++=+，所以2118n n n n a a a a +++-=-+，所以数列{}1n n a a +-是公差为8的等差数列，其首项为218a a -=，于是18n n a a n +-=，则()181n n a a n --=-，()1282n n a a n ---=-，L ，3282a a -=⨯，218a a -=，所以()()()2111181218442n n n a a n n n +---=++⋅⋅⋅+-=⨯=-，所以()24412n a n n n =-+≥；而11a =符合该式，故2441n a n n =-+.（2）由（1）问知，()221n a n =-，则()21n b n =±-，又10n n b b +<，则120n n b b ++<，两式相乘得2120n n n b b b ++>，即20n n b b +>，因此n b 与2n b +同号，因为120b b <，所以当11b =时，23b =-，此时21,12,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=-⨯=，当n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=-⨯=-；当11b =-时，23b =，此时12,21,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=+⨯=-，当n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=⨯=；综上，当11b =时，()11n n S n -=-⋅；当11b =-时，()1nn S n =-⋅.16．(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）根据离心率相等可得221a b =，然后求出直线1BA 和2BA 的斜率，利用斜率即可得证；（2）联立直线和椭圆方程求出,P Q 的坐标，从而可得PQ 的中点坐标，根据（1）中结论可得2PQ BC =，利用导数即可求解.【详解】（1）当1a >时，1C的离心率1e =，当01a <<时，1C的离心率1e =；当1b >时，2C的离心率2e =当01b <<时，2C的离心率2e =；因为a b ¹=，得221a b =，又0a b >>，所以1ab =，且10>>>a b ；由题意知()1,0A a ，()2,0A b -，即21,0A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2:1A B l y ax =+，1:1A B xl y a =-+，它们的斜率之积为11a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此12BA BA ⊥.（2）由（1）问知，2222:1C a x y +=，联立1A B l 与2C 的方程22211x y a a x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，将y 消去得：222120xa x a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得10x =，2421ax a =+，又()0,1B 在曲线2C 上，则421P a x a =+，44111P P x a y a a -=-+=+，联立2A B l 与1C 的方程22211y ax x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，将y 消去得：222120a x ax a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得10x =，32421a x a =-+，又()0,1B 在曲线1C 上，则3421Q a x a =-+，44111Q Q a y ax a -=+=+，因此PQ 的中点34,01a a C a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，连BC ，因为12BA BA ⊥，即BP BQ ⊥，所以2PQ BC ==，记()()3411a af a a a -=>+，当()f a 最大时，PQ 也最大；可知()()()()()24332431141a a a a af a a -+--+'=()()()()()426242224433114111a a a aa a a a+-++-+-==++，令()0f a '>得42410a a -+->，解得222a <<，又1a >，则(a ∈，令()0f a '<得)a ∞∈+，因此()f a在a =且最大值为14f=，因此PQ 最大值为max2PQ ==.17．(2)（i ）证明见解析，（ii ）())012f d d =<<【分析】（1）设点C 到平面α的距离为h ，结合余弦定理、三角形，面积公式，基本不等式即可求得大值；（2）利用空间直线之间的位置关系、线面垂直的性质定理与判定定理确定线面夹角即可证明结论；再根据点到平面的距离，结合（1）中结论即可得答案.【详解】（1）设点C 到平面α的距离为h ，作CH AB ⊥于点H ，可知h CH ≤，设=CA b ，=CB a ，在ABC 中，由余弦定理可知：2222cos 1a b ab ACB AB +-∠==，由于直线m 与n 之间的夹角为π3，且它们交于点C ，则π3ACB ∠=或2π3ABC ∠=，若π3ACB ∠=，则221a b ab +-=，又22a b ab ab +-≥，则1ab ≤（1a b ==时取等）；因为11sin 22ABC S ab ACB AB CH =∠=⋅△，所以CH =≤，所以点C 到平面α的距离h ≤若2π3ACB ∠=，同理可得最大值为12.综上，点C 到平面α距离的最大值为2.（2）（i ）证：如图，过点P 作直线//l n ，由题知直线l 与平面α必相交于一点，设其为点D ，连接DA ，DB ，则P ，Q ，D ，B 共面，又//PQ α且DB α⊂，于是//PQ DB ，又//l n ，则四边形PQBD 为平行四边形，则DB PQ d ==，因为P Q n ⊥且PQ m ⊥，所以BD n ⊥且BD m ⊥，所以BD l ⊥，又,,l m P l m =⊂ 平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，作PH AD ⊥于H ，因为PH ⊂平面PAD ，则PH BD ⊥，又,,AD BD D AD BD α=⊂ ，则PH α⊥，设PH h =，则P 到平面α的距离也为h ，且直线m ，n 与平面α的夹角分别为PAH ∠和PDH ∠；由于直线m 与n 之间的夹角为π3，则直线m 与l 之间的夹角也为π3，则π3APD ∠=或2π3APD ∠=，于是2ππ3PAH PDH APD ∠+∠=-∠=，或π3PAH PDH ∠+∠=即直线m ，n 与平面α的夹角之和为2π3或π3；（ii ）因为BD ⊥平面PAD ，而AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥，ABD △中，22221AD AB BD d =-=-，则AD =，又π3APD ∠=或2π3APD ∠=，由（1）问同法算得PH ≤PH ≤=，即点P 到平面α距离h 的最大值为()()012f d d =<<.18．(1)12a =(2)证明见解析【分析】（1）求导可得() 00f '=，再分0a ≤与0a >两种情况分析原函数的单调性，当0a >时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a 的值；（2）由（1）问的结论可知，21111ln 12n n n n⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】（1）()f x 的定义域为()1,-+∞，且()00f =；()112122111x f x ax ax x a x x x ⎛⎫'=-+=-=- ⎪+++⎝⎭，因此() 00f '=；i.0a ≤时，1201a x -<+，则此时令()0f x ¢>有()1,0x ∈-，令()0f x '<有()0,x ∈+∞，则()f x 在()1,0-上单调递增，()0,∞+上单调递减，又()00f =，于是()0f x ≤，此时令120x x <，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；ii.0a >时，()f x '有零点0和0112x a=-，若00x <，即12a >，此时令()0f x '<有()0,0x x ∈，()f x 在()0,0x 上单调递减，又()00f =，则()00f x >，令1>0x ，02x x =，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；若00x >，即102a <<，此时令()0f x '<有()00,x x ∈，()f x 在()00,x 上单调递减，又()00f =，则()00f x <，令12010,x x x -<<=，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；若00x =，即12a =，此时()201x f x x +'=>，()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，则0x >时()0f x >，0x <时()0f x <；则0x ≠时()0f x x>，也即对120x x ≠，()()12120f x f x x x >，综上，12a =（2）证：由（1）问的结论可知，0a =时，()()ln 10f x x x =-++≤；且12a =时0x >，()()21ln 102f x x x x =-++>；则0x >时，()21ln 12x x x x -<+<，令1x n =，有21111ln 12n n n n⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，即()2111ln 1ln 2n n n n n-<+-<，于是()()2111ln ln 11121n n n n n -<--<---11ln212-<<将上述n 个式子相加，()221111ln 122n n t n t n ⎛⎫-++⋅⋅⋅+<+< ⎪⎝⎭；欲证()5ln 16n n t n t -<+<，只需证2251111622n n t t n ⎛⎫-<-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，只需证22115123n ++⋅⋅⋅+<；因为2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭，所以22111111115251122355721213213n n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪-++⎝⎭，得证：于是得证()5ln 16n n t n t -<+<.【点睛】方法点睛：（1）此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；（2）对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.19．(1)(6)2ϕ=，(15)8ϕ=；(2)证明见解析；(3)201,)(x M a c n =.【分析】（1）利用欧拉函数)(n ϕ的定义直接求出(6)ϕ和(15)ϕ.（2）分析求出x 与n 不互质的数的个数，求得()()()11n p q ϕ=--，设(),M x p s =，(),M x q t =，结合二项式展开式证明()(),1n M x n ϕ=，再按0st ≠与0st =分类求证即得.（3）利用(,)M x y 的定义，记312n c =，0n n =，令()11,k k k n M n n +-=，那么k n +∈N ，且1k k n n +>，0k +∃∈N ，使01k n =，则010k n +=，再探求数列{}k n 项数及递推关系即可求得答案.【详解】（1）6X 中，与6互质的数有1和5，则()62ϕ=；15X 中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14，则()15ϕ=8.（2）因为n pq =，p 和q 为素数，则对n x X ∈，仅当x p +∈N 或xq+∈N 时，x 和n 不互质，又x n <，则x p =，2p ，…()1q p -，或x q =，2q ，…()1p q -时，x 与n 不互质，则()()()()()11111n n p q p q ϕ=-----=--，设(),M x p s =，(),M x q t =，可知s ，t 不全为0，下证0st ≠时，()(),1n M xn ϕ=；由题知，()()11,,1p q M s p M t q --==，又()()()()1121122111100C C ,p p p p p p p p p p x kp s kp kp s kpss N p s k N ----------+=+=++⋅⋅⋅++=+∈N ，所以()()11,,1p p M x p M s p --==，同理有()1,1q M x q -=；于是记()11q x kq k -+=+∈N ，()()()11111p n x kq N q N ϕ-+=+=+∈N ，即()(),1n M xq ϕ=，同理()(),1n M x p ϕ=，记()21n x N p ϕ=+，于是2111N p N q +=+，则21q N N p =⋅，因为q p +∉N ，所以1N p +∈N ，所以()1111n N N xpq n p pϕ=⋅+=⋅+，即()(),1n M xn ϕ=；（i ）0st ≠时，记(),c M x n c =，则()()()()1,,,k n d dcM c n M x n M xn ϕ+==，记10N k p=，又()()()(),,,1kk n n M x n M M x n n ϕρ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭，而x n <，则()()1,k n M x n x ϕ+=，即(),d M c n x =，即(),,d e M M x n n x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭；（ii ）若0st =，不妨设0s =，于是()1q x k p k X =∈，所以()()()1,,,d dc dc dc M c n M x n M k p n ==，又()11,dc M k n k =，()1,1q M p q -=，所以()()()()()()()1111,,,,,1,k p k n d dc de q M c n M p k n pk M p q xM M p q q xM q x ϕ--⎛⎫⎡⎤===== ⎪⎣⎦⎝⎭；综上，(),,d c M M x n n x⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭，得证：（3）因为12231e e =+，所以12231e e x x +=，则()()12231,,e e M x n M x n +=，则()()2312,,M c n M xc n =，假设存在0a ，1a +∈N ，使得30211a c a n ⋅=+；记312n c =，0n n =，令()11,k k k n M n n +-=，那么k n +∈N ，且1k k n n +>，于是0k +∃∈N ，使01k n =，则010k n +=，从而数列{}k n 有且仅有01k +项，考虑使()()1101,kk k k k a n a n k k k +++-=-∈≤N 成立，则对于相邻项有()()1111111k k k k k k k k k k a n a n a n a n ++---⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，将两式相加并整理得：1111k k k k k k n n a a a n -+-+-=⋅+，令0k k =，得()00111k k a -+=-，又由于2n ，3n ，…，0k n 及0k 均由0n n =和312n c =确定，则数列{}k a 的各项也可根据n 和32c 确定，由上知()302,1M a c n =，()()2312,,M c n M xc n =，则()()()()()()233010202,,,,,1,M a c n M xa c n M M x n M a c n n M x nx ⎡⎤==⋅=⋅=⎣⎦，即()201,x M a c n =，其中0a 是根据n 和32c 唯一确定的.【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
江苏省南京市2024届高三年级第二次模拟考试数学试题(解析版)
南京市2024届高三年级第二次模拟考试数学2024.05注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，x ＋3)．若a ∥b ，则x ＝A ．－6B ．－2C ．3D ．62．“0＜r ＜2”是“过点(1，0)有两条直线与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象，只要把函数y ＝sin2x 图象上所有的点A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为0－1数列，0－1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{P n }(P 1＝0，P 2＝1，P n ＋2＝2P n ＋1＋P n ，n ∈N *)中的奇数换成0，偶数换成1，得到0－1数列{a n }．记{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝A ．16B ．12C ．10D ．85．已知P (A )＝35，P (A ―B )＝15P (A |B )＝12，则P (B )＝A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆O 1O 2中，圆O 2的半径是圆O 1半径的2倍，且O 2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为A ．3：4B ．1：2C ．3：8D ．3：107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，直线AF 1交C 于另一点B ，△ABF 2的内切圆与BF 2相切于点P ．若BP ＝F 1F 2，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜△ABC 中，若sin A ＝cos B ，则3tan B ＋tan C 的最小值为A ．2B ．5C ．6D ．43二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．9．已知z1，z2为共轭复数，则A．z12＝z22B．|z1|＝|z2|C．z1＋z2∈R D．z1z2∈R10．已知函数f(x)满足f(x)f(y)＝f(xy)＋|x|＋|y|，则A．f(0)＝1B．f(1)＝－1C．f(x)是偶函数D．f(x)是奇函数11．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，点P在△A1BD内，则A．A1P∥平面B1CD1B．A1P⊥AC1C．PC1≥6AP D．AP＋PC1≥26三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为▲．13．在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，AD＝2，则四边形ABCD 的面积为▲．14．已知函数f(x)＝x3－ax＋1(a∈R)的两个极值点为x1，x2(x1＜x2)，记A(x1，f(x1))，C(x2，f(x2))．点B，D在f(x)的图象上，满足AB，CD均垂直于y轴．若四边形ABCD为菱形，则a＝▲．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)某地5家超市春节期间的广告支出x(万元)与销售额y(万元)的数据如下：超市A B C D E 广告支出x 24568销售额y3040606070(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X ，求随机变量X 的分布列及期望E (X )；(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程^y ＝^bx ＋^a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：^b ＝∑n i ＝1x i y i －n -x -y∑ni ＝1x i 2－n -x 2，^a ＝―y －^b ―x ．16．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋ae x，其中a ∈R ．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ＞0时，若f (x )在区间[0，a ]上的最小值为1e，求a 的值．17．(本小题满分15分)在五面体ABCDEF中，CD⊥平面ADE，EF⊥平面ADE．(1)求证：AB∥CD；(2)若AB＝2AD＝2EF＝2，∠ADE＝∠CBF＝90°，点D到平面ABFE的距离为22，求二面角A－BF－C的大小．(第17题图)18．(本小题满分17分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)与双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有公共的焦点F，且p＝4b．过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与E的两条渐近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧)．(1)求E的渐近线方程；(2)若实数λ满足λ(1|OP|＋1|OQ|)＝|1|AF|－1|BF||，求λ的取值范围．19．(本小题满分17分)已知数列{a n}的前n项和为S n．若对每一个n∈N*，有且仅有一个m∈N*，使得S m≤a n＜S m＋1，则称{a n}为“X数列”．记b n＝S m＋1－a n，n∈N*，称数列{b n}为{a n}的“余项数列”．(1)若{a n}的前四项依次为0，1，－1，1，试判断{a n}是否为“X数列”，并说明理由；(2)若S n＝2n，证明{a n}为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列{a n}为“X数列”，且{a n}的“余项数列”为等差数列，证明：S n≤(1＋2n－2)a1．。
2024届安徽省示范高中高三下学期第四次模拟考试数学试题
2024届安徽省示范高中高三下学期第四次模拟考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，若()m c a b =-，(,n a b c =-，且//m n ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．2．设函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A B ．-C ．12 D ．12- 3．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ）A B ．1 C D ．24．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±5．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A B ．1 C ．2 D ．126．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙7．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( )A ．4B ．8C ．6D ．128．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.89．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z =A ．1B 5C ．5D ．5510．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -11．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 5 C 3 D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试题(含答案)
福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试时间：120分钟满分：150分命题：高三集备组审核：高三集备组一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合，则等于A ．B ．C ．D ．或2．已知等差数列满足，则A ．B ．C ．D ．3．若函数是奇函数，则的值为A ．1B ．-1C ．D ．04．将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲、乙二人分别去了不同岗位的概率是A．B ．C ．D ．5．没为单位向量，在方向上的投影向量为，则ABCD ．6．已知，则A ．B ．C ．D ．7．如图，设拋物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是{}{}2210,log 0A x x B x x =->=>∣∣A B ⋂{0}x x >∣{1}x x >∣{1}x x <-∣{1xx <-∣1}x >{}n a 12j 1010a a a a ++++= 11010a a +>11010a a +<3990a a +=5151a =(()ln f x ax =a 1±13122356,a b a b 12b -|2|a b -=311(),(),()552P A P AB P A B === ∣()P B =1525354524y x =F C y BCF ACFA．B ．C ．D ．8．在中，为内一点，，则A ．BCD ．二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，下列结论正确的是A ．若，则B ．C ．若，则或D ．若且，则10．冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为A ．中位数是3，众数为2；B．均值小于1，中位数为1；C ．均值为3，众数为4；D ．均值为2．11．已知，则A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为______.||1||1BF AF ++||1||1BF AF --22||1||1BF AF ++22||1||1BF AF --ABC 120,2,ACB BC AC D ︒∠==ABC ,120AD CD BDC ︒⊥∠=tan ACD ∠=12,z z 12z z =2212z z =1212z z z z -=-120z z =10z =20z =10z ≠12z z =2121z z =37.3C ︒37.3C ︒12212log ,log 2baa b ⎛⎫== ⎪⎝⎭22a ba b -+=+22b aa b -+=+121eba+>112eab->4π,36π64π13．的展开式中常数项为______．14．已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且．则图象的一个对称中心是______；若的值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码123456.45.55.04.83.8（1）求2017-2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）；（2）请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程；（3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：,②样本相关系：③参考数据：16．（15分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求的值：17．（15分）如图，在三棱柱中，，E ，F 分别为的中点，且421x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭()sin()f x x ωϕ=+π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭ωπ||2ϕ<ππ32f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =π4f ⎛⎫=⎪⎝⎭ϕix iy i x i y y x y x ()()()121ˆˆ,niii n i i x x yy bay bx x x ==--==--∑∑ nx y r =5521170.6,6ii i i i x yy ====≈∑∑()ln(1)()f x ax x a =--∈R ()y f x =(0,(0))f ()0f x ≥a 111ABC A B C -1AC AB ==11,AC BB平面．（1）求棱BC 的长度；（2）若，且的面积，求二面角的正弦值．18．（17分）设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于M ，N 两点.（1）若M ，N 都在双曲线的左支上，求面积的最小值．（2）是否存在轴上一点，使得为定值?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．19．（17分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“—数列”．（1）已知等比数列满足：，求证：数列为“—数列"'；（2）已知数列满足：，其中为数列的前项和．①求数列的通项公式；②设为正整数，若存在“—数列”，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．EF ⊥11AA C C 111BB A B ⊥1A FC 1A FC S =11B A F C --F 221x y Γ-=：F ΓOMN x P PM PN P M {}()*N n a n ∈245321,440a a a a a a =-+={}n a M {}n b 111221,n n n b S b b +==-n S {}n b n {}n b m M {}()*n c n ∈N k k m ≤1k k k c b c +≤≤m2023-2024年高三数学校模拟考参考答案1-8BCCDADBB9．BCD10．BD11．AD12．13．4914．15．【详解】（1）由已知可得，，，（2）由小问1知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述．由小问1知，，，所求经验回归方程为．（3）令，则，预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为．16．【详解】（1）由，得，因为，所以曲线在点处的切线方程为；（2），①当时，，不符合题意．5π,012⎛⎫⎪⎝⎭π61234535x ++++==522222216.4 5.5 5.0 4.8 3.8 5.112345555ii y x=++++===++++=∑555 5.90.986x x y y x y xyr ----===≈≈y x 0.98,r r ≈-y x ()()()551155222115 5.9ˆ0.59105iii ii i i ii i x x y y x y xybx x xx ====----====---∑∑∑∑ˆˆ 5.1(0.59)3 6.87ay bx =-=--⨯=ˆ0.59 6.87yx =-+8x =ˆ0.598 6.87 2.15y=-⨯+=2.15%()ln(1)f x ax x =--1()(1)1f x a x x'=+<-(0)0,(0)1f f a '==+()y f x =(0,(0))f (1)y a x =+11()(1)11ax a f x a x x x'-++=+=<--0a ≥(1)ln 20f a -=--<②当时，令，解得，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值；若恒成立，则，设，则，当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减，所以，即的解为．所以；17．【详解】（1）取中点，连接，分别为的中点，则且，又为三棱柱，且分别为的中点，则且，可得且，即四边形DEFB 为平行四边形，故，又平面，则平面，平面，可得，又为AC 的中点，则为等腰三角形，．（2）由（1）可知：，且，即，0a <()0f x '=11x a=+1,1x a ⎛⎫∈-∞+⎪⎝⎭()0,()f x f x '<1,1a ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭11,1x a ⎛⎫∈+⎪⎝⎭()0,()f x f x '>11,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11x a=+()f x 111ln()f a a a ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭()0f x ≥1ln()0a a ++-≥()1ln()(0)x x x x ϕ=++-<11()1x x x xϕ'+=+=(,1)x ∈-∞-()0,()x x ϕϕ'>(,1)-∞-(1,0)x ∈-()0,()x x ϕϕ'<(1,0)-()(1)0x ϕϕ≤-=1ln()0a a ++-≥1a =-1a =-AC D ,ED BD ,D E 1,AC AC 1//DE AA 112DE AA =111ABC A B C - F 1BB 1//BF AA 112BF AA =//DE BF DE BF =//EF DB EF ⊥ 11AA C C DB ⊥11AA C C AC ⊂11AA C C DB AC ⊥D ABC 1BC AB ∴==1BC AB ==AC =222AB BC AC +=，则可得，且，平面平面，则，，由（1）知平面平面，则，又，则又，则，平面，平面，平面，则，且，可得，为直角三角形，则以为坐标原点，向量方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则，可得，AB BC ∴⊥EF DB ==1111A B B C⊥EF ⊥ 111,AAC C AC⊂11AA C C 1EF A C ⊥1111122A FCS AC EF AC ∴=⋅== 12A C =DB ⊥111,AAC C AA ⊂11AA C C 1DB AA ⊥11//AA BB 1DB BB ⊥11111,//BB A B AB A B ⊥ 1BB AB ⊥,,AB DB B AB DB ⋂=⊂ABC 1BB ∴⊥ABC AC ⊂ABC 1BB AC ⊥11//AA BB 1AA AC ⊥1AA C ∴ 1AA ==1B 11111,,B C B A B B 1B xyz -111(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),B A C C B F ⎛ ⎝110,,(1,A F A C ⎛=-=- ⎝设平面的一个法向量为，则，令，则，可得，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，可得，，故二面角18．【详解】（1）设直线的方程为．由,由根与系数的关系可知①．此时．原点到直线的距离为，此时．由都在双曲线的左支上知，得，令，则，由于，所以当，即时，此时取最小值，则，当，即时，等号成立．1A FC 1(,,)n x y z = 111100n A F y z n A C x y ⎧=-=⎪⎨⎪=-+=⎩ 1y =1,x z =-=1(n =-11B A F 2(1,0,0)n =11B A F C --(0,π)θ∈121211|cos |212n n n n θ===⨯ sin θ∴==11B A F C --MN ()()1122,,,x my M x y N x y =-221x my x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩()22110(1)m y m --+=≠±1212211y y y y m +==-()2221||1m MN m +===-O MN d =()222111||221OMNm S d MN m +===- ,M N ()121212220,01x x m y y x x m -+=+-=<=>-11m -<<21(10)m t t -=-≤<2221111144244OMNS t t t ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1(,1]t ∈-∞-11t=-1t =-OMN S ≥ 1t =-0m =（2）假设存在这样的定点．当直线的斜率不为0时，由（1）知②将①代入②可得,此时要想，得．即存在这样的定点满足题意．当直线的斜率为0时，易知，若，则，满足题意．综上，存在满足题意．19．【详解】（1）设等比数列的公比为，所以由，得，解得，因此数列为“—数列”；（2）①因为，所以，(,0)P n ()()()()()()112212121212,,PM PN x n y x n y x n x n y y my n my n y y =--=--+=----+()()2212121))m y y m n y y n =+-++++ 2)PM PN n =++ PM PN 11=-n =12PM PN =- P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2(1)(1)1PM PN n n n =+-=- P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭12PM PN =- P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭{}n a q 10,0a q ≠≠245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩112a q =⎧⎨=⎩{}n a M 1122n n n S b b +=-0n b ≠由得，则，由，得，当时，由，得，整理得，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，因此，数列的通项公式为；②由①知，，因为数列为“—数列”，设公比为，所以，因为，所以，其中，当时，有；当时，有，设，则，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，取时，，即，令，则，令，则，1111,b S b ==212211b =-22b =1122n n n S b b +=-()112n n n n n b b S b b ++=-2n ≥1n n n b S S -=-()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---112n n n b b b +-+={}n b {}n b ()*n b n n =∈N *,k b k k =∈N {}n c M q 11,0c q =>1k k k c b c +≤≤1k k q k q -≤≤1,2,3,,k m = 1k =1q ≥2,3,,k m = ln ln ln 1k kq k k ≤≤-ln ()(1)x f x x x =>21ln ()xf x x '-=(1,e)x ∈()0f x '>(e,)x ∈+∞()0f x '<()f x (1,e)(e,)+∞ln 2ln 8ln 9ln 32663=<=max ln 3()(3)3f k f ==q =1,2,3,4,5k =ln ln kq k…k k q ≤ln ()(1)1x g x x x =>-2211(1)ln 1ln ()(1)(1)x x xx x g x x x '----==--1()1ln h x x x =--22111()0xh x x x x'-=-=<故在上单调递减，则，即在上恒成立，即在上单调递减，则，即，因此所求的最大值不小于5，若，分别取，得，且，从而，且，所以不存在，因此所求的最大值小于6，故的最大值为5．()h x (1,)+∞()(1)1100h x h ≤=--=()0g x '<(1,)+∞()g x (1,)+∞min ln 5ln125ln 81ln 3()(5)412123g k g ===<=1ln ln 1k k q q k k -≤≤-m 6m ≥3,6k =33q ≤56q ≤15243q …15216q …q m m。
2024年山东省春季高考济南市第三次模拟考试数学试题
2024年山东省春季高考济南市第三次模拟考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{}0B ．{0,1,3,5}C ．{0,1,2,4}D ．{0,2,3,4}2．对于命题,p q 、若p q ∨⌝是假命题，则下列说法正确的是（ ） A ．p q 、都是真命题 B ．p q 、都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题3．在ΔABC 中，“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-,若当[]0,5x ∈时，函数()f x 图象如图所示，则不等式()0f x ≤的解集为A ．[][]5,22,5--UB ．[][]2,02,5-UC ．[]22-,D ．[][]5,20,2--U5．如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．31(02)2y x x =-≤≤ B ．331(02)22y x x =--≤≤ C ．31(02)2y x x =--≤≤ D ．11(02)y x x =--≤≤6．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若2O B ''=，那么原ABO V 的面积是（ ）A．1B C D ．7．已知0.150log 2,log 2a b ==，则21a b+=（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．若数列{}n a 的前n 项和(1)n S n n =+，则6a 等于（ ） A ．10B ．11C ．12D ．139．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA ．3144AB AC -u u u v u u u v B ．1344AB AC -u u uv u u u v C ．3144+AB AC u u uv u u u vD ．1344+AB AC u u uv u u u v10．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石11．在6(1)x x +的展开式中,含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．1012．设()tan π2α-=-，则()()()()sin πcos πsin πcos παααα-+-=+-+（ ）A ．3B ．13C ．1D ．1-13．设π3π44<<α，sin cos αα+=cos2=α（ ）A ．12-B ．12CD ．14．已知向量(,1),(1,2)a m b == ，且222||||||a b a b +=+r r r r ，则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-215．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1257=+，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（ ）A ．121B ．221C ．321D ．42116．若直线1:20l x ay +-=与()22:2120l x a y ++-=平行，则两直线之间的距离为（ ）A B ．1 C D ．217．圆22(1)(1)4x y -++=上的点到直线34140x y +-=的距离的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．918．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1AG 与平面AEF 平行 C ．三棱锥F ABE -的体积为18D ．直线BC 与平面AEF 所成的角为45︒19．已知双曲线1C 过点(A ，且与双曲线222:31C x y -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的标准方程为（ ）A ．221124x y -=B ．221124y x -=C ．221155x y -=D ．221155y x -=20．函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．函数的周期是3π2B ．函数()y f x =的图象的过点C ．函数()y f x =在5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．当13π3π,62x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()1f x >二、填空题21．若函数2(1),0,()1,0,x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩则((1))f f -=． 22．如图，是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现，在这个伟大发现中，球的体积与圆柱的体积之比为.23．某学校有5个班级的同学一起到某工厂参加社会实践活动，该工厂有5个车间供学生选择，每个班级任选一个车间进行实践学习，则恰有2个班级选择甲车间，1个班级选择乙车间的方案有种．24．已知变量,x y 满足线性约束条件202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则212x yz +⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为.25．已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，2V POF 为正三角形，则该椭圆的离心率为.三、解答题26．已知函数()mf x x x=+，且(1)2f =. (1)求m 的值;(2)判断函数()f x 在(1,)+∞上是增函数还是减函数，并证明. 27．已知等比数列{}n a 的各项皆为正数，且351,100a a ==. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求()123100lg a a a a ⋅⋅⋅⋅L 的值.28．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B ，C ，D 三地位于同一水平面上，这种仪器在B 地进行弹射实验，,C D 两地相距100m ，60BCD ∠=︒，在C 地听到弹射声音的时间比D 地晚217秒，在C 地测得该仪器至最高点A 处的仰角为30︒．（已知声音的传播速度为340m/s ），求：(1)B ，C 两地间的距离； (2)这种仪器的垂直弹射高度AB ．29．如图所示，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，90,BAD ADC ︒∠=∠=AB AD =11,2CD ==PD =(1)若点M 为PA 的中点，证明://AC 平面MDE ； (2)求异面直线PB 与CD 所成角的大小.30．如图所示，抛物线22(0)y px p =>的准线过点(2,3)-，(1)求抛物线的标准方程;(2)若角α为锐角，以角α为倾斜角的直线经过抛物线的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点，作线段AB 的垂直平分线l 交x 轴于点P ，证明:||||cos 2α-FP FP 为定值，并求此定值.。
广西柳州市2024届高三第三次模拟考试数学试题含答案
柳州市2024届高三第三次模拟考试数学（考试时间120分钟满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．70%B ．60%C ．50%D ．40%2．已知i 是虚数单位，若()()1i i a ++为实数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2-C ．0D ．1-3．已知()()12,3,3,,1AB AC t BC ===，则AB BC ⋅= （）A ．3-B ．2-C ．2D ．34．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为()1,2k E k =，已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A ．10.110B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（）A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种6．已知,,,P A B C 是半径为2的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为4，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（）A ．334B ．934C．D ．153410．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e ，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （）A ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．与圆222x y +=的关系与e 有关8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意的,x y R ∈，都有()()f x f y x y -<-，若函数()()g x f x x -=，则不等式()()2220g x x g x -+-<的解集是（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),12,-∞+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
山东省济南市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题(含答案与解析)_9045
绝密★启用并使用完毕前2024年3月山东省济南市高三模拟考试数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若57a =，102a =，则14S =（）A 49B. 63C. 70D. 1262. 已知(),1a m = ，()31,2b m =- ，若//a b r r，则m =（ ）A. 1B. 1-C.23D. 23-3. 某公司现有员工120人，在荣获“优秀员工”称号的85人中，有75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人，公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访，被选中的员工是高级工程师的概率为（ ） A.38B.1724C.45D.33404. 与抛物线22x y =和圆22(1)1x y ++=都相切的直线的条数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin a C C b +=，则A =（ ） A.π6B.π4C.π3D.π26. 若sin1a =，()lg tan1b =，12c =，则（ ） A. c b a <<B. b a c <<.C. b<c<aD. a c b <<7. 已知复数1z ，2z 满足1212222z z z z ==-=，则1212z z +=（ ） A. 1B.C. 2D.8. 若不等式()ln e ,x a x b a b x ≤+≤∈R 对任意的31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的最小值为（ ） A. 323e -B. 325e 2-C33ln 22 D. 33e 3ln2- 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知椭圆C ：223448x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上任意一点，则（ ） A. CB. 12PF F △的周长为12C. 1PF 的最小值为3D. 22PF PF ⋅的最大值为1610. 已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为12，π12是该函数的最小正零点，则（ ） A. π3ϕ=B. ()()2f x f x '+≤恒成立C. ()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D. 将()y f x =的图象向右平移π3个单位，得到的图象关于y 轴对称 11. 下列等式中正确的是（ ） A.8881C 2k k ==∑B.82392C C k k ==∑ .C. 82111!8!k k k =-=-∑ D. ()8828160C C k k ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量()2~1,2X N ，则()21D X +的值为__________.13. 在三棱柱111ABC A B C -中，2AM MB = ，111A N mA C =，且//BN 平面1A CM ，则m 的值为________.14. 已知集合()()(){}2,,R A u x u x ax a b x b a b ==-++∈，函数()21f x x =-.若函数()g x 满足：对任意()u x A ∈，存在,R λμ∈，使得()()()u x f x g x λμ=+，则()g x 的解析式可以是_______.（写出一个满足条件的函数解析式即可）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132a =且123n n S a +=-，令2n nn n b a +=.（1）求证：{}n a 为等比数列； （2）求使n b 取得最大值时的n 的值.16. 已知函数()2e e x xf x ax =+-.（1）当3a =时，求()f x 单调区间； （2）讨论()f x 极值点的个数.17. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a ，b ，记b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值为随机变量X ，其中b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过ba的最大整数. （1）求在0X >的条件下，bX a=的概率； （2）求X 分布列及其数学期望.18. 已知双曲线C ：2214x y -=的左右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0P 的直线l 与双曲线C 的右支交于M ，N 两点.（1）若直线l 的斜率k 存在，求k 的取值范围；的的（2）记直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值； （3）设G 为直线1A M 与直线2A N 的交点，GMN ，12GA A △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值. 19. 在空间直角坐标系O xyz -中，任何一个平面的方程都能表示成0Ax By Cz D +++=，其中,,,A B C D ∈R ，2220A B C ++≠，且(),,n A B C =为该平面的法向量.已知集合(){},,1,1,1P x y z x y z =≤≤≤，(){},,2Q x y z x y z =++≤，(){},,2,2,2T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤.（1）设集合(){},,0M x y z z ==，记P M ⋂中所有点构成的图形的面积为1S ，Q M 中所有点构成的图形的面积为2S ，求1S 和2S 的值；（2）记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q 中所有点构成的几何体的体积为2V ，求1V 和2V 的值：（3）记集合T 中所有点构成的几何体为W . ①求W 的体积3V 的值；②求W 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W 的面数和棱数.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若57a =，102a =，则14S =（）A. 49B. 63C. 70D. 126【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到1149a a +=，再运用等差数列的前n 项和公式计算即得. 【详解】因{}n a 是等差数列，故1145109a a a a +=+=，于是1141414()63.2a a S +==故选：B2. 已知(),1a m = ，()31,2b m =- ，若//a b r r，则m =（ ）A. 1B. 1-C.23D. 23-【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量共线的充要条件即可得解.【详解】因为(),1a m = ，()31,2b m =- ，//a b r r ，所以()2310m m --=，解得1m =. 故选：A .3. 某公司现有员工120人，在荣获“优秀员工”称号的85人中，有75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人，公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访，被选中的员工是高级工程师的概率为（ ） A.38B.1724C.45D.3340【答案】C 【解析】【分析】求出没有荣获“优秀员工”称号高级工程师人数，得到公司的高级工程师总人数，从而得到概率. 【详解】由题意得，没有荣获“优秀员工”称号的高级工程师有120851421--=人， 则公司共有高级工程师的人数为752196+=， 故被选中的员工是高级工程师的概率为9641205=. 故选：C4. 与抛物线22x y =和圆22(1)1x y ++=都相切的直线的条数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即得.【详解】设直线与抛物线22x y =相切切点坐标为21(,)2t t ，由212y x =，求导得y x '=， 因此抛物线22x y =在点21(,)2t t 处的切线方程为21()2y t t x t -=-，即2102tx y t --=，的的依题意，此切线与圆22(1)1x y ++=1=，解得0=t或t =±数为3. 故选：D5. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin a C C b +=，则A =（ ） A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】A 【解析】【分析】由题设条件和正弦定理化边为角，再利用和角公式进行拆角化简，即可得到tan A =角形内角范围即得.详解】由cos sin a C C b =以及正弦定理可得：sin cos sin sin A C A C B +=，因sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=sin cos sin 0A C A C -=， 因0π,sin 0C C <<>,则得tan A =，又因0πA <<，故π6A =.故选：A.6. 若sin1a =，()lg tan1b =，12c =，则（ ） A. c b a << B. b a c << C. b<c<a D. a c b <<【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数和对数函数的单调性，放缩求解即可. 【详解】因为π1sin1sin 62>=，所以a c >，因为πtan1tan 3<=，所以()1lg tan1lg 2<<=，即b c <， 综上b<c<a ， 故选：C【7. 已知复数1z ，2z 满足1212222z z z z ==-=，则1212z z +=（ ）A. 1B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.【详解】设12i,i, z a b z c d =+=+则2===所以221a b +=，224,c d +=484()ac bd -+=，即1ac bd +=，则1212z z +====故选：B. 8. 若不等式()ln e ,x a x b a b x ≤+≤∈R 对任意的31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的最小值为（ ） A. 323e -B. 325e 2-C.33ln 22 D. 33e 3ln2- 【答案】A 【解析】【分析】因为ln e x ax b x≤+≤，所以ln e x x x bx a x ≤+≤，即求直线y bx a =+的纵截距a 的最小值，设()e x f x x =，利用导数证明()f x 在31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象上凹，所以直线与()f x 相切，切点横坐标越大，纵截距越小，据此即可求解. 【详解】因为ln e x ax b x≤+≤，所以ln e x x x bx a x ≤+≤，所以即求直线y bx a =+的纵截距a 的最小值， 设()e x f x x =，所以()e (1)0x f x x '=+>，所以()f x 在31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()f x 在31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象上凹，所以直线与()f x 相切，切点横坐标越大，纵截距越小，令切点横坐标为32，所以直线过点3233(,e )22，且直线y bx a =+斜率为325e 2所以y bx a =+的直线方程为3259e ()24y x =-，当1x =时，3322e 2.56 1.024ln 44y x x =>=>，即直线y bx a =+与()f x 相切时， 直线y bx a =+与()f x 无交点， 设()ln g x x x =，所以()ln 1g x x '=+，所以()g x 在32x =时斜率为3ln 12+，在1x =时斜率为1，均小于直线的斜率， 所以可令直线y bx a =+在32x =处与()f x 相交，在1x =处与ln y x x =相交，所以直线方程为32323e 02(1)03e (1)312y x x -=-+=--， 所以截距为323e -. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于ln e x ax b x≤+≤，ln e x x x bx a x ≤+≤，即求直线y bx a =+的纵截距a 的最小值的分析.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知椭圆C ：223448x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上任意一点，则（ ）A. CB. 12PF F △的周长为12C. 1PF 的最小值为3D. 22PF PF ⋅的最大值为16【答案】BD 【解析】【分析】首先分析题意，利用椭圆性质进行逐个求解，直接求出离心率判断A ，利益椭圆的定义求出焦点三角形周长判断B ，举反例判断C ，利用基本不等式求最大值判断D 即可.【详解】由椭圆22:3448,C x y +=得221,1612x y +=则4,2,a b c ===所以12c e a ==，故A 错误; 易知12PF F △的周长为121228412F c F PF PF a ++=+2=+=故B 正确；当P 在椭圆长轴的一个端点时，1PF 取得最小值，最小值为422a c -=-=，故C 错误； 由基本不等式得122122PF PF PF PF +⋅≤()=16，当且仅当12PF PF =时取等，则12PF PF ⋅取得最大值16，故D 正确. 故选：BD.10. 已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为12，π12是该函数的最小正零点，则（ ） A. π3ϕ=B. ()()2f x f x '+≤恒成立C. ()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D. 将()y f x =的图象向右平移π3个单位，得到的图象关于y 轴对称 【答案】AC 【解析】【分析】由题意求出,ωϕ，然后由余弦型函数的性质判断即可.【详解】函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭图象在y 轴上的截距为12， 所以1cos 2ϕ=，因为π02ϕ<<，所以π3ϕ=.故A 正确；又因为π12是该函数的最小正零点， 所以ππcos 0123ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以πππ1232ω+=，解得2ω=，所以()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()π2sin 23f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'，所以()()πππcos 22sin 22333f x f x x x x θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，故B 错误； 当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()ππ2,π0,π33x ⎛⎫+∈∈ ⎪⎝⎭，故C 正确； 将()y f x =的图象向右平移π3个单位，得到πππcos 2cos 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，故D 错误. 故选：AC.11. 下列等式中正确的是（ ） A.8881C2kk ==∑B.82392CC k k ==∑C. 82111!8!k k k =-=-∑ D.()882816C C k k ==∑ 【答案】BCD 【解析】【分析】利用()81x +的展开式与赋值法可判断A ，利用组合数的性质2331C C C n n n ++=可判断B ，利用阶乘的裂项法可判断C ，构造()()()1688111x x x +=++求其含8x 的项的系数可判断D.【详解】对于A ，因为()801228888881C C C C x x x x +=++++ ，令1x =，得881288888121C C C 1Ck k ==++++=+∑ ，则88811C2k k ==-∑，故A 错误；的对于B ，因为2331C C C n n n ++=， 所以8222223222234833482CC C C C C C C C kk ==++++=++++∑322323448889C C C C C C =+++==+= ，故B 正确；对于C ，因为()()()()()()!1!11!1111!!!1!!1!!k k k k k k k k k k k k ------===---，所以()882211111111111!1!!1!2!2!3!7!8!8!k k k k k k ==⎡⎤-=-=-+-++-=-⎢⎥-⎣⎦∑∑ ，故C 正确. 对于D ，()()()1688111x x x +=++， 对于()161x +，其含有8x 的项的系数为816C ，对于()()8811x x ++，要得到含有8x 的项的系数，须从第一个式子取出()08,N k k k ≤≤∈个x ，再从第二个式子取出8k -个x ， 它们对应的系数为()088288808C CC kk kk k =-==∑∑， 所以()8828160C C k k ==∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是，利用组合的思想，从多项式()()8811x x ++中得到含有8x 的项的系数，从而得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量()2~1,2X N ，则()21D X +的值为__________.【答案】16 【解析】【分析】理解正态分布的均值、方差的含义即得()D X ，再利用随机变量的方差性质即可求得()21D X +. 【详解】由()2~1,2X N 可得2()24D X ==,则(21)4()16D X D X +==.故答案为：16 .13. 在三棱柱111ABC A B C -中，2AM MB = ，111A N mA C =，且//BN 平面1A CM ，则m 的值为________. 【答案】12 ##0.5 【解析】【分析】利用三棱柱模型，选择一组空间基底1,,AB a AC b AA c ===，将相关向量分别用基底表示，再利用//BN 平面1A CM ，确定1,,BN MA MC必共面，运用空间向量共面定理表达，建立方程组计算即得.【详解】如图，不妨设1,,AB a AC b AA c === ，依题意，1122,3233AM a MA MA AA c a AB +=-===-, 23MC AC AM b a =-=- ，因111A N mAC mb == ，则11,BN BA A N c a mb =+=-+又因//BN 平面1A CM ，故1,,BN MA MC必共面，即存在,R λμ∈，使1BN MA MC λμ=+，即22()()33c a mb c a b a λμ-+=-+-，从而有2()131m λμμλ⎧-+=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得12m =.故答案为：12.14. 已知集合()()(){}2,,R A u x u x ax a b x b a b ==-++∈，函数()21f x x =-.若函数()g x 满足：对任意()u x A ∈，存在,R λμ∈，使得()()()u x f x g x λμ=+，则()g x 的解析式可以是_______.（写出一个满足条件的函数解析式即可）【答案】()1g x x =-（满足()10g =，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确）【解析】【分析】根据()10u =，求得()10g =，则满足()10g =的一次函数或二次函数均可. 【详解】()()2u x ax a b x b =-++，()21f x x =-，()()10u a a b b =-++=，()10f =，()()()u x f x g x λμ=+，()()()()11110u f g g λμμ=+==，所以()10g =，则()g x 的解析式可以为()1g x x =-. 经检验，()1g x x =-满足题意. 故答案为：()1g x x =-（答案不唯一）.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的形式，确定函数的关键特征和条件.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132a =且123n n S a +=-，令2n n n nb a +=.（1）求证：{}n a 为等比数列； （2）求使n b 取得最大值时的n 的值. 【答案】（1）证明见解析（2）32081. 【解析】【分析】（1）结合已知，由2n ≥时1n n n a S S -=-化简得132n n a a +=，再由2132a a =及等比数列的定义证明即可；（2）先求得()223nn b n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用作商法判断数列{}n b 的单调性即可求得最值.【小问1详解】由123n n S a +=-，可得2n ≥时，1122n n n n n a S S a a -+=-=- 即2n ≥，132n n a a +=，又因为132a =，所以294a =，2132aa =，综上，1n ≥，132n n a a +=，所以{}n a 为首项和公比均为32的等比数列. 【小问2详解】由（1）可得32n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()223nn b n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2n ≥时，()()()()221221313nn n n n b b n n n -++==--， 令11n n b b ->，可得25n ≤<，（或令11nn b b -<，可得5n >）， 可知1234567b b b b b b b <<<=>>>⋅⋅⋅， 综上，4n =或5n =时，n b 的取得最大值32081. 16. 已知函数()2e e x xf x ax =+-.（1）当3a =时，求()f x 的单调区间； （2）讨论()f x 极值点的个数.【答案】（1）单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0∞-；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）求出函数的导函数，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数.小问1详解】当3a =时，()2e e 3x xf x x =+-定义域为R ， 又()22e e 3x xf x '=+-，所以()()()2e 3e 1x xf x '=+-，由()0f x ¢>，解得0x >，此时()f x 单调递增； 由()0f x '<，解得0x <，此时()f x 单调递减，【所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0∞-. 【小问2详解】函数()f x 的定义域为R ，由题意知，()22e e x xf x a '=+-，当0a ≤时，()0f x ¢>，所以()f x 在R 上单调递增， 即()f x 极值点的个数为0个； 当0a >时，易知180a +>，故解关于t 的方程220t t a +-=得，1t =，2t =所以()()()122e exxf x t t '=--，又21104t -+=>=，10t =<，所以当2ln x t >时，()0f x ¢>，即()f x 在()2ln ,t +∞上单调递增， 当2ln x t <时，()0f x '<，即()f x 在()2,ln t -∞上单调递减， 即()f x 极值点的个数为1个.综上，当0a ≤时，()f x 极值点的个数为0个；当0a >时，()f x 极值点的个数为1个.17. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a ，b ，记b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值为随机变量X ，其中b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过ba的最大整数. （1）求在0X >的条件下，bX a=的概率； （2）求X 的分布列及其数学期望. 【答案】（1）23（2）分布列见解析，()4136E X = 【解析】【分析】（1）利用列举法结合条件概率公式即可得解；（2）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】记抛掷骰子的样本点为(),a b ， 则样本空间为(){}Ω,16,16,Z,Z a b a b a b =≤≤≤≤∈∈，则()Ω36n =，记事件A =“0X >”，记事件B =“b bX a a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦”，则(){},16,Z,Z A a b a b a b =≤≤≤∈∈，且()21n A =，又{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,4),AB =}(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)，则()14n AB =， 所以()()()142213n AB P B A n A ===， 即在0X >的条件下，b X a=的概率为23；【小问2详解】X 所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.()3621503612P X -===，()1211363P X ===，()412369P X ===， ()2133618P X ===，()1436P X ==，()1536P X ==，()1636P X ==，所以X 的分布列为：X 01 2 3 4 5 6P512 13 19 118 136 136 136所以()511111141012345612391836363636E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 18. 已知双曲线C ：2214x y -=的左右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0P 的直线l 与双曲线C 的右支交于M ，N 两点.（1）若直线l 的斜率k 存在，求k 的取值范围； （2）记直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值； （3）设G 为直线1A M 与直线2A N 的交点，GMN ，12GA A △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值. 【答案】（1）11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）13-；（3）3. 【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为4x my =+，联立方程组，结合题意列出不等式组，即可求解；（2）由（1）得到121222812,44m y y y y m m +=-=--，求得()121223my y y y =-+，结合斜率公式，准确运算，即可求解；（3）由（2）可知213k k =-，设1A M 与2A N 的方程分别为()12y k x =+和()132y k x =--，两两方程组，求得1G x =，结合三角形的面积公式和不等式的性质，即可求解. 【小问1详解】解：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 的方程为4x my =+，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2248120m y my -++=， 因为直线l 与双曲线的右支交于,M N 两点，可得()()()2222122Δ8441216120401204m m m m y y m ⎧=--⨯=+>⎪⎪-≠⎨⎪⎪=<-⎩，解得22m -<<，又由直线l 的斜率为1k m =，可得k 的取值范围是11,,22∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】解：由双曲线22:14x C y -=，可得()12,0A -，()22,0A ，由（1）可得12284my y m +=--，122124y y m =-，则()121223my y y y =-+. 所以()()()()1121211121222121122222222662y y x y my k x my y y y k y x y my my y y x -+++====+++- ()()12112122123132122233936222y y y y y y y y y y -++-===--++-+.【小问3详解】解：由（2）可知213k k =-，所以直线1A M 与直线2A N 的方程分别为()12y k x =+和()132y k x =--， 联立两直线方程可得交点G 的横坐标为1G x =，于是()()1211221212121sin 331121313sin 2GM GN MGN my my S x x GM GN S GA GA GA GA A GA ⋅∠++--==⋅=⋅=⋅∠ ()221212223912161611334440m y y m y y m m m +++--===-+≥-+=---， 故12S S 的最小值为3，当且仅当0m =时取等号成立.【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.19. 在空间直角坐标系O xyz -中，任何一个平面的方程都能表示成0Ax By Cz D +++=，其中,,,A B C D ∈R ，2220A B C ++≠，且(),,n A B C =为该平面的法向量.已知集合(){},,1,1,1P x y z x y z =≤≤≤，(){},,2Q x y z x y z =++≤，(){},,2,2,2T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤.（1）设集合(){},,0M x y z z ==，记P M ⋂中所有点构成的图形的面积为1S ，Q M 中所有点构成的图形的面积为2S ，求1S 和2S 的值；（2）记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q 中所有点构成的几何体的体积为2V ，求1V 和2V 的值：（3）记集合T 中所有点构成的几何体为W . ①求W 的体积3V 的值；②求W 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W 的面数和棱数. 【答案】（1）14S =，28S =；（2）1323V =，2203V =； （3）①16；②2π3，共有12个面，24条棱.【解析】【分析】（1）首先分析题意进行解答，分别表示出集合,M P 代表的点，后得到P M ⋂的截面是正方形求出1S ，同理得到Q M 是正方形求出2S 即可.（2）首先根据（1）分析得出P Q '' 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分. 后用割补法求解体积即可.（3）利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量求法求解，再看图得到面数和棱数即可. 【小问1详解】 集合(){},,0M x y z z ==表示xOy 平面上所有的点，(){},,1,1,1P x y z x y z =≤≤≤表示()1,1,1±±±这八个顶点形成的正方体内所有的点，而P M ⋂可以看成正方体在xOy 平面上的截面内所有的点. 发现它是边长为2的正方形，因此14S =. 对于(){},,2Q x y z x y z =++≤，当,,0x y z >时，2x y z ++=表示经过(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)的平面在第一象限的部分.由对称性可知Q 表示2,0,0±()，0,2,0±()，0,0,2±() 这六个顶点形成的正八面体内所有的点.而Q M 可以看成正八面体在xOy 平面上的截面内所有的点.它是边长为28S =. 【小问2详解】记集合Q ，P Q 中所有点构成的几何体的体积分别为1V ，2V ； 考虑集合Q 的子集(){},,2,0,0,0Q x y z x y z x y z =++≤≥≥≥'；即为三个坐标平面与2x y z ++=围成的四面体.四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)， 此四面体的体积为114222323Q V '⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭由对称性知，13283Q V V '== 考虑到P 的子集P '构成的几何体为棱长为1的正方体，即(){},,01,01,01P x y z x y z =≤≤≤≤≤≤'，(){},,2,0,0,0Q x y z x y z x y z =++≤≥≥≥'，显然P Q '' 为两个几何体公共部分，记()11,1,0Q ，()21,0,1Q ，()30,1,1Q ，()41,1,1Q .容易验证1Q ，2Q ，3Q 在平面2x y z ++=上，同时也在P '的底面上. 则P Q '' 为截去三棱锥4123Q Q Q Q -所剩下的部分.P '的体积1111P V '=⨯⨯=，三棱锥4123Q Q Q Q -的体积为()4123111111326Q Q Q Q V -=⨯⨯⨯⨯=. 故P Q '' 的体积412315166P Q P Q Q Q Q V V V '''-=-=-= . 当由对称性知，22083P Q V V ''==. 【小问3详解】如图所示，即为T 所构成的图形.其中正方体ABCD IJML -即为集合P 所构成的区域.E ABCD -构成了一个正四棱锥，其中E 到面ABCD 的距离为2，1412233E ABCD V -=⨯⨯⨯=，34686163P E ABCD V V V -=+=+⨯=.由题意面EBC 方程为20x z +-=，由题干定义知其法向量()11,0,1n =面ECD 方程为20y z +-=，由题干定义知其法向量()20,1,1n = 故1212121cos ,2n n n n n n ⋅==⋅ . 由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H 相邻两个面所成角为2π3. 由图可知共有12个面，24条棱. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何新定义，解题关键是利用新定义求出法向量，然后利用向量求法得到所要求的二面角余弦值即可．。
广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题(柳州一模)(含答案)
广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题（柳州一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z =1+i ，则1z 的虚部为( )．A. −12B. 12C. −i2D. 12−i22.对于非零向量a ，b ，“a +b =0”是“a //b ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知双曲线C:y 24−x 2m =1的一条渐近线方程为y =−2x ，则m =( )．A. 1B. 2C. 8D. 164.若过点(23,0)与圆x 2+y 2=4相切的两条直线的夹角为α，则cos α=( )．A.55B. 255C. 13D. 235.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(−5,0)，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49，则点M 的轨迹方程为( )．A. x 225−9y 2100=1(x ≠±5)B. x 225−3y 2100=1(x ≠±5)C. y 225−3x 2100=1(x ≠±5) D. y 225−9x 2100=1(x ≠±5)6.设函数f(x)=cos (ωx +π6)(ω>0)，已知f(x 1)=−1，f(x 2)=1，且|x 1−x 2|的最小值为π4，则ω=( )．A. 1B. 2C. 3D. 47.已知正四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1的体积为763，AB =2，A 1B 1=1，则AA 1与底面ABCD 所成角的正切值为( )．A.32B.3 C. 23 D. 48.设函数f(x)=x ln x−(a +b)ln x ，若f(x)≥0，则5a +5b 的最小值为( )．A. 1B. 2C.5D. 25二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
湖南永州2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题(解析版)
数学命题人：蒋志刚（永州四中） 唐首佳（宁远一中）潘圆（江华一中） 陈诗跃（永州一中）审题人：席俊雄（永州市教科院）注意事项：1．本试卷共150分，考试时量120分钟．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设{}{}22450,1Ax xx Bx x=−−===，则A B = （ ）A. {}1,1,5−B. {}1,1,5−−C. {}1−D. {}1【答案】A 【解析】【分析】根据条件，求出集合,A B ，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由2450x x −−=，得到5x =或1x =−，所以{}1,5A =−，又由21x =，得到1x =±，所以{}1,1B =−，得到{}1,1,5A B ∪=−，故选：A. 2. 复数2i 1−的共轭复数是（ ） A. i 1− B. i 1+C. 1i −−D. 1i −【答案】A 【解析】【分析】由复数除法运算以及共轭复数的概念即可得解. 【详解】因为2i 1−i 2(1i)12−−==−− ，所以复数2i 1−的共轭复数是i 1−.故选：A.3. 已知3,4a b == ，且a与b 不共线，则“向量a kb + 与a kb − 垂直”是“34k =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由已知结合向量垂直列出方程求得34k =±，即可判断出答案． 【详解】若向量a kb + 与a kb −垂直，则()()22229160a a ka b ka b kb k a k b kb ⋅=−⋅+−⋅−=−+= ，解得34k =±，所以“向量a kb + 与a kb − 垂直”是“34k =”必要不充分条件，故选：B ．4. 函数()2ln f x x x =+在点()1,1处的切线方程是（ ）A. 320x y −−=B. 220x y −−=C. 320x y +−=D. 220x y +−=【答案】A 【解析】【分析】对()f x 求导，得到()12f x x x′=+，从而有()13f ′=，再利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】由()2ln f x x x =+，得到()12f x x x ′=+，所以()1213f ′=+=，所以()2ln f x x x =+在点()1,1处切线方程是13(1)y x −=−，即320x y −−=， 故选：A.5. 已知函数()πcos2(0)6f x x ωω=+>的最小正周期为π，则()f x 的对称轴可以是（ ） A. π24x =B. π12x =C. π6x =D. π3x =【答案】D 【解析】【分析】由()f x 的最小正周期为π，求得1ω=，再令π2π,Z 3x k k +=∈，即可求解．【详解】因为函数()πcos 23f x x ω=+的最小正周期为π， 所以2π12πω==，则()πcos 23f x x=+， 的令π2π,Z 3x k k +=∈，则ππ,Z 26k x k =−∈， 对比选项可知，只有当1k =时，π3x =，符合题意，故D 正确； 故选：D ．6. 在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（ ） A. 38 B. 42 C. 50 D. 56【答案】C 【解析】【分析】根据参加接待工作的人数分类讨论，先分组再分配，结合排列组合即可求解. 【详解】（1）如果参加接待工作只有一人，则只能为甲， 再把其余4人分组有两类情况：1:3和2:2.把4人按1:3分组，有34C 种分组方法，按2:2分组，有224222C C A 种分组方法，因此不同分组方法数为22342422C C C A +，再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有22A 种方法，所以不同分配方法种数是2232424222C C C A (43)214A +=+×=. （2）如果参加接待工作有2人，则除了甲之外，还需要再安排一人有14C 种情况， 再把其余3人分组成1:2，有23C 种分组方法，再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有22A 种方法， 所以不同分配方法种数是122432C C A 43224=××=.（3）如果参加接待工作有3人，则除了甲之外，还需要再安排两人有24C 种情况， 再把其余2人安排到其余两类志愿者服务工作，有22A 种方法， 所以不同分配方法种数2242C A 6212=×=.综上，不同的志愿者分配方案的种数是14241250++=.是7.已知数列{aa nn }满足()*1212n nn n n n a a a a n a a ++++−−=∈N ，且1202421,2025a a ==，则12231n n a a a a a a ++++= （ ）A.21nn + B.2n n + C.221nn + D.22nn + 【答案】D 【解析】【分析】由()*1212n n n n n n a a a a n a a ++++−−=∈N 得出1n a为等差数列，求出等差数列的通项公式得出21n a n =+，再根据裂项相消即可求解． 【详解】因为1211111222112n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a aa a a a a a ++++++++++−−=⇔−=−⇔+=， 所以212111112111n n n n n n n a a a a a a a ++++++=⇔−=−， 所以1n a为等差数列，公差202511220232d −=，首项111a ， 所以()()1111111122n n n d n a a +=+−=+−=，所以21n a n =+， 所以()()()()()()122314441121213112n n a a a a a a n n ++++=++++×++×++×+1111114233412n n =−+−++− ++ 1124222n n n =−=++ . 故选：D ．8. 已知函数()()1ln ,14xf x a b a b x =+++∈−R 为奇函数，且()f x 在区间()2,m m 上有最小值，则实数m 的取值范围是（ ）A.)B.)2C.D. ()2,3【答案】A【分析】先根据题设条件及奇函数的性质，得到12a =−，ln 2b =，从而有()ln 1ln 14xf x x x =+−−+，再结合函数的定义域得到1m >或201m <<，分1m >或201m <<两种情况，利用函数的单调性，即可求解.【详解】因为()()1ln ,14xf x a b a b x =+++∈−R 为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 易知1x ≠，所以1x ≠−，即有101(1)a +=−−，得到12a =−，所以()111ln ln 2142(1)4x x xf x b b x x +=−+++=++−−，函数定义域为{|1x x ≠−且}1x ≠， 得到()10ln 02f b =+=，所以ln 2b =， 故()11lnln 2ln 2(1)414x x x xf x x x ++=++=+−−，有()11ln ln ()1414x x x x f x f x x x −++−=−=−−=−+−，即12a =−，ln 2b =满足题意， 所以()1lnln 1ln 1144x x xf x x x x +=+=+−−+−，定义域为{|1x x ≠−且}1x ≠， 又20m >，所以1m >或201m <<，当201m <<，即10m −<<或01m <<，()2,x m m∈时，()ln(1)ln(1)4xf x x x =+−−+， 此时()ln(1)ln(1)4x f x x x =+−−+在()2,m m 上单调递增，不合题意， 当1m >，()2,x m m ∈时，()ln(1)ln(1)4x f x x x =+−−+， ()2211191144(1)x f x x x x −=−+=′+−−， 由()()229041x f x x =−′−=，得到3x =或3−（舍去），又()f x 在区间()2,m m上有最小值，所以213m m<<<3m <<，此时()f x 在区间(),3m 上单调递减，在区间()23,m 上单调递增，满足题意，故选：A.【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用奇函数的定义关于原点对称，从而得到12a =−，再利用()00f =，得到ln 2b =，即可求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知,,A B C 为随机事件，()()0.5,0.4P A P B ==，则下列说法正确的有（ ） A 若,A B 相互独立，则()0.2P AB =B. 若,A B 相互独立，则()0.9P A B ∪=C. 若,,A B C 两两独立，则()()()()P ABC P A P B P C =D. 若,B C 互斥，则()()()P B C A P B A P C A ∪=+ 【答案】AD 【解析】【分析】由独立事件的乘法公式即可判断A ；由事件的和运算即可判断B ；由三个事件两两独立，不能判断三个事件是否独立，即可判断C ；由互斥事件及条件概率公式即可判断D ．【详解】对于A ，若,A B 相互独立，则()()()0.50.40.2P AB P A P B ==×=，故A 正确；对于B ，若,A B 相互独立，则()()()()()0.50.40.20.7P A B P A P B P A P B =+−=+−=，故B 错误；对于C ，若,,A B C 两两独立，由独立事件的乘法公式得，()()()P AB P A P B =，()()()P AC P A P C =，()()()P BC P B P C =，无法确定()()()()P ABC P A P B P C =，故C 错误；对于D ，若,B C 互斥，则()0P BC =，()()()()P B C A P BA P AC ++，两边同时除以()P A 得，()()()()()()()P B C A P BA P AC P A P A P A +=+，即()()()P B C A P B A P C A ∪=+，故D 正确； 故选：AD ．10. 已知点()()2,0,1,0A B −，圆22:40C x y x +−=，则（ ）A. 圆22:(1)1M x y +−=与圆C 公共弦所在直线的方程为30x y −=.B. 直线()3y k x =−与圆C 总有两个交点 C. 圆C 上任意一点M 都有2MA MB =D. b 是,a c 的等差中项，直线:20l ax by c ++=与圆C 交于,P Q 两点，当PQ 最小时，l 的方程为0x y +=【答案】BCD 【解析】【分析】A 通过圆的方程相减即可判断，B 通过直线过定点，点在圆内即可判断；C ：求得M 的轨迹方程即可判断；D 通过等差中项得到2b a c =+，确定直线过定点，由PQ 最小，得到圆心和弦中点的连线与直线l ，即可求解.【详解】对于A:两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程：2y x =；错误对于B ：()3y k x =−过定点()3,0，而()3,0在圆22:40C x y x +−=的内部，所以直线()3y k x =−与圆C 总有两个交点，正确；对于C:设M(),x y ，由2MA MB =可得：2240x y x +−= ，所以满足条件的M 轨迹就是圆C ，正确；对于D ：因为b 是,a c 的等差中项，所以2b a c =+（不同时为0）所以:20l ax by c ++=可化为()0ax a c y c +++=，即()(1)0a x y c y +++= 可令010x y y +=+=， 解得11x y = =−，则直线l 过定点()1,1N −， 设()22412x y −+=的圆心为C ，当CN 与直线l 垂直时，PQ 最小，此时1CN l k k ×=−， 即01121l k +×=−−，得1l k =−，结合()0ax a c y c +++=所以1l a k a c=−=−+，解得0c = ∴直线l 的方程为0x y +=.正确故选：BCD11. 在边长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，,,M N P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，1O 为正方形1111D C B A 的中心，动点Q ∈平面MNP ，则（ ）A. 正方体被平面MNPB. 若DQ AB =，则点Q 的轨迹长度为2πC. 若12BK KB = ，则1B Q KQ +的最小值为D. 将正方体的上底面1111D C B A 绕点1O 旋转45°，对应连接上、下底面各顶点，得到一个侧面均为三角形【答案】ACD 【解析】【分析】作出正方体被平面MNP 截得的截面，得出截面为正六边形即可判断A ；建立空间直角坐标系，由线面垂直得出22DO QO ⊥，结合勾股定理得出点Q 的轨迹为以2O 为圆心半径为12的圆，即可判断B ；由空间向量得出1B 关于平面MNP 的对称点为点D ，根据空间向量模长的坐标计算即可判断C ；作出十面体，将该十面体放在一个四棱台中，根据棱台体积及三棱锥体积计算公式即可判断D ．【详解】对于A ，连接NP 并延长，与1,DC DD 所在直线交于点,E F ，连接EM ，交BC 于点H ，交直线DA 于点G ，连接GF ，交111,AA A D 于点,I J ，连接,,PJ HN MI ，如图所示，则正方体被平面MNP 截得的截面为六边形MHNPJI ， 连接11,A B CD ，则11//A B CD ，因为1111ABCD A B C D −为正方体，所以平面11//ABB A 平面11DCC D ， 又平面EFG ∩平面11ABB A IM =，平面EFG ∩平面11DCC D PN =， 所以//PN IM ，又,N P 分别为棱111,CC C D 的中点，所以1//PN CD ，所以1//IM A B ，则点I 为1AA 中点，IM ，同理可得，PN PJ JI MI MH HN ======所以六边形MHNPJI为正六边形，则26MHNPJI S =×=A 正确；对于B ，由A 可知，平面MNP 即为平面MHNPJI ，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，连接MP ，取MP 中点2O ，连接22,DO O Q ，如图所示，则()11110,0,0,1,,0,,1,0,0,1,,0,,12222D M H N P ，2111,,222O ，所以111,,0,222MH HN =−= ，2111,,222DO=，设平面MNP 的一个法向量为(),,n x y z =，因为00MH n HN n ⋅= ⋅= ，所以1102211022x y x z −+= −+= ，令1x =，则()1,1,1n = ， 因为212n DO = ，所以2//n DO，所以2DO ⊥平面MNP ，又2QO ⊂平面MNP ，所以22DO QO ⊥，因为2DO =，1DQ = ， 所以212QO ==，所以点Q 的轨迹为以2O 为圆心半径为12的圆，点Q 的轨迹长度为12ππ2××=，故B 错误；对于C ，因为12BK KB = ，所以K 为1BB 靠近1B 的三等分点，则21,1,3K，连接12B O ，由()11,1,1B ，2111,,222O，得21111,,222O B =，所以212O B DO =，所以1B 关于平面MNP 的对称点为点D ，所以1B Q KQ DK +≥=，故C 正确；对于D ，如图所示，1111ABCD A B C D −即为侧面均为三角形的十面体，在平面1111D C B A ，以1111,A C B D 为对角线作正方形2222A B C D ，连接2222,,,AA BB CC DD ，则2222ABCD A B C D −是上底和下底都是正方和1，高为1，所以(222211213ABCD A B C D V −=××++=，因为121121121121211113212A A A DB B B AC C C BD D D C V V V V −−−−====×××=，所以2222121143ABCD A B C D A A A D V V V −−=−=−=十面体D 正确；故选：ACD ．【点睛】关键点睛：空间不规则几何体的体积，可以将几何体放在一个规则几何体中，减去多余部分的体积，从而简化计算进行求解．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在1nx 的展开式中，各项系数之和为64，则展开式中的常数项为__________________.【答案】15 【解析】 【分析】利用展开式各项系数之和求得n 值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数的值，代入通项计算即可得解.【详解】1nx + 的展开式各项系数和为264n =，得6n =，所以，61x的展开式通项为63621661rr rr r r T C C x x −−+=⋅⋅=⋅，令6302r−=，得2r =，因此，展开式中的常数项为2615C =. 故答案为：15.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.13. 已知,αβ为锐角，且2π2,tantan 232ααββ+==()sin 2αβ+=______．【解析】的【分析】根据条件，利用正切的差角公式，得到2tan 3)tan 20ββ+−+−=，从而得到π4β=，π6α=，即可求解. 【详解】因2π23αβ+=，得到2π23αβ=−，又tan tan 22αβ=，所以πtan()tan 23ββ−−，整理得到2tan 3)tan 20ββ+−+=， 解得tan 1β=或tan 20β=<，又,αβ为锐角，所以tan 2β=不合题意， 由tan 1β=，得到π4β=，π6α=， 所以()ππ1sin 2sin()342αβ+=+=+14. 已知双曲线22:13y C x −=的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线C 上的点P 在x 轴上方，若21PF F ∠的平分线交1PF 于点A ，且点A 在以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆上，则直线2PF 的斜率为______．【答案】或【解析】【分析】利用双曲线的定义、结合三角形角平分线用2||PF 表示1||,||PA F A ，再由点A 在圆上，利用勾股定理求出2||4PF =，进而求出点P 的坐标，并求出斜率. 【详解】依题意，12(2,0),(2,0)F F −，当点P 在第一象限时，令2||PF m =，则1||2PF m =+，由2F A 平分21PF F ∠， 得2122221122121||||sin ||21||4||||sin 2PAF F AF PF AF PF AS PA m F A S F F AF F F A ∠===∠ ，则1(2)4(2)||,||44m m m PA F A m m++==++， 由点A 在以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆上，得21AF PF ⊥，即22221212||||||||F F F A PF PA −=−，代入整理得2(4)(2)(4)(4)4m m m m m−++−=+，解得4m =，当点P 在第二象限时，令2||PF t =，则1||2PF t =−，由2F A 平分21PF F ∠，同理1(2)4(2)||,||44t t t PA F A t t−−==++，又21AF PF ⊥， 则22221212||||||||F F F A PF PA −=−，代入整理得2(4)(2)(4)(4)4t t t t t−−+−=+，解得4t =，因此2||4PF =，设000(,),0P x y y >，则2200220033(2)16x y x y −= −+=，解得0052x y = =或0032x y=−=， 所以直线2PF的斜率002y kx =−k =.故答案为：或【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是利用双曲线定义，结合角平分线列式求出1||,||PA F A .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C b a A +−=−． （1）求C ；（2）若ABCc =，求a b +． 【答案】（1）π3C = （2）5 【解析】【分析】（1）由已知，结合正弦定理边角互化，再根据余弦定理求得1cos 2C =即可求解； （2）由三角形面积公式求得6ab =，根据c =及余弦定理得出2213b a +=，再由完全平方公式即可求解．【小问1详解】由正弦定理得，222b c ab a −=−，即222b a c ab +−=，由余弦定理得，2221cos 222+−===b ac ab C ab ab ， 又()0,πC ∈，所以π3C =． 【小问2详解】因为ABC 11sin 22ab C ab ==，即6ab =，由c =2222271cos 2122b ac b a C ab +−+−===，即2213b a +=，所以()2222132131225b a ab a b ab ++=+=+=+=，即5a b +=．16. 如图，在三棱锥A BCD −中，AB AC BD CD ====，BC =点E 在棱AB 上，且2,AE EB DE AB =⊥．（1）证明：平面ABC ⊥平面BCD ；（2）求平面BCD 与平面ECD 的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取BC 中点O ，连接,AO DO ，利用条件及几何关系，得到218AD =，AO =DO =，进而得到AO OD ⊥，AO BC ⊥，利用线面垂直的判定定理，得AO ⊥面BCD ，再利用线面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）过E 作EH BC ⊥交BC 于H ，过H 全HN DC ⊥于N ，连接,EN HD ，从而有ENH ∠为平面BCD 与平面ECD的夹角，再利用几何关系得到HN =，EN =. 【小问1详解】如图，取BC 中点O ，连接,AO DO ，因AB AC BD CD ====，所以,AO BC DO BC ⊥⊥，又BC =，所以AO =，DO =，又2AE EB =，所以13BE AB ==，23AEAB ==， 又DE AB ⊥ ，所以22212210DE BD BE =−=−=，22210818AD DE EA =+=+=所以222AO DO AD +=，即AO OD ⊥，又AO BC ⊥，,,OD BC O OD BC =⊂ 面BCD 所以AO ⊥面BCD ，又AO ⊂面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCD . 【小问2详解】过E 作//EH AO 交BC 于H ，过H 作HN DC ⊥于N ，连接,EN HD ，由（1）知AO ⊥面BCD ，所以EH ⊥面BCD ，则ENH ∠为平面BCD 与平面ECD 的夹角， 因为13BE AB =，AO =，所以13EH AO ==，又DO =，易知16BH BC =，所以HDC BDC S ，得到151262DC HN BC OD ×⋅=××⋅，即151262HN ×=××，解得HN =，所以EN =， 在Rt △EHN中，cos HN ENHEN ∠===17. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的短轴长为()1,0F .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知过点F 的直线1l 与椭圆E 交于,A B 两点，过点F 且与1l 垂直的直线2l 与抛物线24y x =交于C D 、两点，求四边形ACBD 的面积S 的取值范围. 【答案】（1）22143x y +=（2）[)8,+∞ 【解析】【分析】（1）由题意可得1,c b==222a b c =+求出a ，从而可求出椭圆方程；（2）根据已知条件设出直线2l 的方程，与抛物线联立，利用根与系数的关系得出弦长CD ，设出直线1l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得出弦长AB ，结合四边形的面积公式及对勾函数的性质即可求解. 【小问1详解】依题意可得：椭圆右焦点()1,0F ，且2b =b =. 又因为221a b −=，所以2a =，故椭圆E 的标准方程为：22143x y +=.【小问2详解】显然直线2l 的斜率不为0，设直线2l 的方程为1x my =+，()()1122,,,C x y D x y .联立214x my y x =+ = ，消去x ，整理得2440y my −−=，0∆>，所以12124,4y y m y y +==−，所以()241CD m ==+.由垂直关系可设直线1l 的方程为y mx m =−+，设()33,A x y ，()44,B x y ， 联立22143y mx m x y =−+ += ，消去y ，整理得()()2222348430m x m x m +−+−=，0′∆>， 则根据根与系数的关系，得()22343422438,3434m m x x x x m m−+==++，所以()2212143m AB m +==+，所以()()()2222221212411141224343ACBDm m SCD AB m m m ++=⋅=×+×=++四边形，设()2433m t t +=≥，则ACBDS 四边形232131222t t t t t ++=×=++， 因为12y t t=++在[)3,+∞上单调递增， 所以ACBD S 四边形3132823 ≥×++=， 所以四边形ACBD 的面积S 的取值范围为[)8,+∞. 18. 已知函数，()()21e1axf x x −=++，()()21(1)e 1a x axg x x +−=++．（1）若1a =，求()f x 的极值； （2）当0a <时，讨论()f x 零点个数；（3）当0x ≥时，()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）极大值2e 1+，无极小值 （2）答案见解析 （3）12a ≤− 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，根据导数的正负得出单调区间，进而得出极值；（2）对()f x 求导，根据导数的正负得出单调区间，进而得出()f x 最小值11e 1aa++，设11e 1,0()a h a aa +=+<，再根据导数确定11e 1a a ++的正负，结合()20e 10f +>，当x →−∞时，()1f x →，即可得出零点情况；（3）将问题转化为，当0x >时，()11ln 1a x x−+≥+，设()11(),0ln 1m x x x x −=+>+，根据导数确定单调性，再根据当0x →时，()12m x →−，所以()12m x >−，即可求解．【小问1详解】当1a =时，()()21e 1xf x x −=++，则()222()e 1e e x x x f x x x −−−=−+=−′， 令()0f x ′=，解得0x =，当(),0x ∞∈−时，()0f x ′>，则()f x 在(),0∞−单调递增， 当xx ∈(0,+∞)时，()0f x ′<，则()f x (0,+∞)单调递减， 所以()f x 有极大值2(0)e 1f =+，无极小值． 【小问2详解】()()222()e 1e e 1ax axf x a x ax a −−=−+′=−−+，令()0f x ′=，则1ax a −=，因为0a <，所以0a −>，10a a−< 当1,a x a ∞−∈−时，()0f x ′<，则()f x 在1,a a ∞−−上单调递减， 当1,a x a ∞−∈+时，()0f x ′>，则()f x 在1,a a ∞− +上单调递增， 所以121111()()1e 1e 1aa aa a a f x f a a a −−+−− ≥=++=+， 设11e 1,0()a h a a a +=+<，则1112211(e e e )1a a a a a a h a a+++′−+==−， 因为0a <，所以()0h a ′<，所以()h a 在(),0∞−单调递减，又因为(1)0h −=， 在所以当1a <−时，11e 10aa++>，则()0f x >，无零点； 当1a =−时，11e 10aa++=，()f x 有1个零点， 当10a −<<时，11e 10a a++<，又()20e 10f +>，当x →−∞时，()1f x →，()f x 有2个零点．【小问3详解】()()()()()()2121221e 1(1)e 11e (1)e a x a x ax ax ax ax f x g x x x x x +−+−−−≥⇔++≥++⇔+≥+，因为0x ≥时，211,e 0ax x −+≥>， 所以()()111(1)e e (1)ax xx ax f x g x x x −−−≥⇔≥+⇔≥+，两边同时取自然对数得，()()1ln 1x ax x −≥−+， 当0x =时，00≥成立，当0x >时，()ln 10x +>，则()()()111ln 1ln 1x ax x a x x−−≥−+⇔+≥+，设()11(),0ln 1m x x x x−=+>+，则()()()()()222221ln 1111()ln 111ln 1x x x m x x x xx x x −++=⋅−=+′+++， 设()()22()1ln1,0n x x x x x =−++>，则()()()()()221()2ln 112ln 12ln 12ln 11n x x x x x x x x x =−+−+⋅⋅+⋅=−+−′++， 设()()2()2ln12ln 1,0p x x x x x =−+−+>，则()()22ln 112()22ln 1111x x p x x x x x −+=−+⋅−=+++′， 设()()22ln 1,0k x x x x =−+>， 则()222011xk x x x −+′==>+，所以()k x 在(0,+∞)单调递增， 又()()0202ln 010k =×−+=，所以()0k x >， 所以()0p x ′>，则()p x 在(0,+∞)单调递增， 又()()2(0)20ln012ln 010p =×−+−+=，所以()0p x >，所以()0n x ′>，则()n x 在(0,+∞)单调递增， 又()()22(0)001ln010n =−++=，所以()0n x >，所以()0m x ′>，则()m x 在(0,+∞)单调递增， 又当0x →时，()12m x →−，所以()12m x >−，所以12a ≤−． 19. 将数字1,2,3,4,,n 任意排成一列，如果数字()1,2,,k k n = 恰好在第k 个位置上，则称有一个巧合，巧合的个数称为巧合数，记为n X ．例如4n =时，2，1，3，4为可能的一个排列，此时42X =．0n X =的排列称为全错位排列，并记数字1,2,3,4,,n 的全错位排列种数为n a ． （1）写出123,,a a a 的值，并求4X 的分布列； （2）求()n E X ； （3）求n a ．【答案】（1）1230,1,2a a a ===，分布列见解析 （2）1 （3）0,1111!(1),22!4!!n n n a n n n == −+−≥【解析】【分析】（1）根据定义分别计算123,,a a a 即可；4X 的可能取值有0,1,2,3,4，分别求出对应概率，即可得出分布列；（2）定义随机变量1,0,i i x i =第个数字正确匹配第个数字没有正确匹配，根据期望的性质即可求解；（3）首先得出递推公式()()121,3n n n a n a a n −−=−+≥，令!n n a b n =，得出()1121n n n n b b b b n −−−−=−−，由累乘法得()1(1)3!n n n b b n n −−−=≥，再由累加法得()111(1)22!3!4!!nn b n n −=−+−+≥ ，进而得出n a ．【小问1详解】由题可知，1n =时，只有1个数，不存在全错位排列，故10a =；2n =时，有2个数1,2，故21a =；3n =时，有3个数1,2,3，故32a =；由题可知，4X 的可能取值有0,1,2,4，当40X =时，()444930A 8P X ===， 当41X =时，()144442C 11A 3P X ===， 当42X =时，()24444C 12A 4P X ===， 当44X =时，()444114A 24P X ===， 所以4X 的分布列如下．【小问2详解】定义随机变量1,0,i i x i = 第个数字正确匹配第个数字没有正确匹配，则()11i P x n ==，()101i P x n==−， 所以()1i E x n=， 由题可知，总的匹配数为随机变量n X ，则1nn ii X x ==∑， 所以()111()1n n n i i i i E X E x E x n n == ===⋅= ∑∑． 【小问3详解】设n 个编号为1,2,3,,,,,i j n 的不同元素12,,,,,,,i j n x x x x x 排在一排，且每个元素均不排在与其编号相同的位置，这样的错位排列数为n a ，当1n =时，10a =，当2n =时，21a =，当3n ≥时，在n 个不同元素中任取一个元素i x 不排在与其编号对应的第i 位，必排在剩下1n −个位置之一，所以有1n −种排法；对i x 的每一种排法，如i x 排在第j 位，对应元素j x 的排法总有2种情况： ①j x 恰好排在第i 位上，如图：此时，i x 排在第j 位，j x 排在第i 位，剩余2n −个元素，每个元素均有一个不能排的位置，它们的排列问题转化为2n −个元素全错位排列数，有2n a −种； ②j x 不排在第i 位上，如图，此时，i x 排在第j 位，j x 不排在第i 位，则j x 有1n −个位置可排，除i x 外，还有1n −个元素，每个元素均有一个不能排的位置，问题就转化为1n −个元素全错排列，有1n a −种； 由乘法原理和加法原理可得，()()121,3n n n a n a a n −−=−+≥；所以有递推公式()12(1)n n n a n a a −−=−+，3n ≥． 令!n n a b n =，则有()()()()2121!(1)2!11!1n n n n n b n n n b n b n b n b −−−− ⋅=−⋅−⋅+−=−⋅+− ， 化简得()211n n n nb b n b −−=+−， 从而有()1121n n n n b b b b n −−−−=−−，而1210,2b b ==， 由累乘法知()()121111(1)313!n n n b b b b n n n n −− −=−−−−=≥ − ． 而2211(1)22!b b −−==，故21b b −也符合该式， 于是由累加法知，()111(1)22!3!4!!nn b n n −=−+−+≥ ，所以!n n a b n ⋅==()1111!(1)22!3!4!!n n n n−+−+−≥ ， 所以0,11111!(1),22!3!4!!n n n a n n n = = −+−+−≥． 【点睛】关键点睛：第（2）问要用到期望的性质：()11n n i i i i E X E X == = ∑∑；第（3）问中，令!n n a b n =是解题关键，并熟练运用累乘法和累加法．。
浙江省温州市2024届高三第一次模拟考试数学试题含答案
浙江省温州2024届高三第一次模拟考试数学学科（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数1i1i +-的虚部为（）A.i - B.iC.0D.1【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.【详解】因为()()21i (1i)2ii 1i 1i 1i 2++===-+-，所以虚部为1.故选：D ．2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A.93B.93.5C.94D.94.5【答案】B 【解析】【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8⨯=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.52+=.故选：B.3.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:235C x y ++-=有公共点，则b 的取值范围为（）A.[]2,12 B.(][),212,∞∞-⋃+C.[]4,6- D.(][),46,-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，圆心()2,3-到直线:2l y x b =+的距离≤，解得212b ≤≤，故b 的取值范围是[]2,12.故选：A4.三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且3AB =，2PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.8πB.16πC.32π3D.12π【答案】B 【解析】【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.【详解】如图，点H 为ABC 外接圆的圆心，过点H 作平面ABC 的垂线，点D 为PA 的中点，过点D 作线段PA 的垂线，所作两条垂线交于点O ，则点O 为三棱锥外接球的球心，因为PA ⊥平面ABC ，且ABC 为等边三角形，2,3PA AB ==，所以四边形AHOD 为矩形，3AH AB ==112OH PA ==，所以2OA ==，即三棱锥外接球的半径2R =，则该三棱锥外接球的表面积为24π16πR =.故选：B5.已知等比数列{}n a 的首项11a >，公比为q ，记12n n T a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ），则“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】由题意，()()1123(1)1121211110n n n nn n n n a a q a q aT qa qa a a a --+++-=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅>= ，(1)12111(1)21n n n nn n n n nT a q a q T a q +++-⋅==⋅⋅，当11,01a q ><<时，11na q ⋅<对于N n *∈不一定恒成立，例如122,3a q ==；当{}n T 为递减数列时，0q >且11na q ⋅<对于N n *∈恒成立，又因为11a >，所以得01q <<，因此“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的必要不充分条件，故选：C.6.已知函数()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中0ω>.若()f x 在区间π3π,34⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.35,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]0,1【答案】A 【解析】【分析】利用余弦函数的单调性求出()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间，可得3π2ππ4,3π2π3π4,4k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得，函数()f x 的增区间为()ππ2π2π4k x k k ω-+≤-≤∈Z ，且0ω>，解得()3ππ2π2π44k k x k ωω-++≤≤∈Z .由题意可知：()3ππ2π2ππ3π44,,34k k k ωω⎛⎫-++ ⎪⎛⎫⊆∈⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭Z .于是3π2ππ43π2π3π44k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解得()9186433k k k ω-+≤≤+∈Z .又0ω>，于是103ω<≤.故选：A .7.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，=2AB ，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示），若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（）A.⎡⎤⎣⎦B.⎡⎣C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.,22⎡-⎢⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由AP ED AF λμ=+ 得到3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，从而得到2π4αλμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由此可求得2λμ-的取值范围.【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：.则()0,0A ，()1,0E ，()0,1D ，()1,1C ，()2,0B ，()ππcos ,sin 22P ααα⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，则31,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()cos ,sin AP αα=，()1,1ED =- ，31,22AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∵AP ED AF λμ=+ ，∴()()3131cos ,sin 1,1,,2222ααλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，∴()13sin cos 4λαα=-，()1cos sin 2μαα=+，∴()()11π23sin cos cos sin sin cos 224λμααααααα⎛⎫-=--+=-=- ⎪⎝⎭，∵ππ22α-≤≤，∴3πππ444α-≤-≤，∴π1sin 42α⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴π14α⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，故21λμ≤-≤，即()2λμ⎡⎤⎣⎦-∈.故选：A.8.已知lg4lg5lg610,9,8a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数分析可知()f x 在[]4,6上单调递增，进而结合对数函数单调性分析判断.【详解】因为lg4lg5lg610,9,8a b c ===，两边取对数得：lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，令()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，则()()()()()()lg 1414lg 14lg lg 1ln1014ln10ln1014x x x x x x f x x x x x ⎡⎤----⋅=-=⎢⎥-⋅-⎢⎥⎣⎦'，令()lg g x x x =⋅，则()()()()1lg lg lg 0,1,ln10g x x x x x x x '=⋅+⋅=+>∈''+∞，可知()g x 在()1,+∞上单调递增，因为46x ≤≤，则81410x ≤-≤，可知14x x ->恒成立，则()()14g x g x ->，即()()140g x g x -->，可得()0f x ¢>，则()()lg lg 14f x x x =⋅-在[]4,6上单调递增，可得()()()456f f f <<，可得lg4lg10lg5lg9lg6lg8⋅<⋅<⋅，即lg lg lg a b c <<，又因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以a b c <<.故选：D.【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数判断其单调性.二、多选题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.下列选项中，与“11x>”互为充要条件的是（）A.1x <B.20.50.5log log x x >C.233x x< D.()()11x x x x -=-【答案】BC 【解析】【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A ，11x>则110x ->，即10xx ->，()10x x -<，解得01x <<，故A 错误；对B ，20.50.5log log x x >则20x x <<，故()10x x -<，解得01x <<，故B 正确；对C ，233x x <则2x x <，解得01x <<，故C 正确；对D ，()()11x x x x -=-，则()10x x -≤，解得01x ≤≤，故D 错误.故选：BC10.设A ，B 是一次随机试验中的两个事件，且1(3P A =，1()4P B =，7()12P AB AB +=，则（）A.A ，B 相互独立B.5()6P A B +=C.()13P B A =D.()()P A B P B A≠【答案】ABD【解析】【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A 、B ，利用条件概率的定义与公式可判定C 、D .【详解】由题意可知()()()23()1,134P A P A P B P B =-==-=，事件,AB AB 互斥，且()()()()()(),P AB P AB P A P AB P AB P B +=+=，所以()()()()()7()212P AB AB P AB P AB P A P B P AB +=+=+-=，即()()()()2171234126P AB P AB P A P B +-=⇒==，故A 正确；则()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B+=+-=+-⋅1313534346=+-⨯=，故B 正确；由条件概率公式可知：()()()11162433P AB P B A P A ===≠，故C 错误；()()()()()()11146134P AB P B P AB P A B P B P B --====，()()()()()()21336243P BA P A P AB P B A P A P A --====即()()P A B P B A ≠，故D 正确.故选：ABD11.在三棱锥-P ABC 中，ACBC ⊥，4AC BC ==，D 是棱AC 的中点，E 是棱AB 上一点，2PD PE ==，AC ⊥平面PDE ，则（）A.//DE 平面PBCB.平面PAC ⊥平面PDEC.点P 到底面ABC 的距离为2D.二面角D PB E --的正弦值为7【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；根据面面垂直的判定定理可判断B ；取DE 的中点O ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，利用线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面ABC ，求出PO 可判断C ；以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面PBD 、平面PBD 的一个法向量，由线面角的向量求法可判断D ．【详解】对于A ，因为AC ⊥平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC DE ⊥．因为AC BC ⊥，且直线,,AC BC DE ⊂平面ABC ，所以//DE BC ．因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ，A 正确；对于B ，AC ⊥平面PDE ，AC ⊂平面PAC ，所以平面PDE ⊥平面PAC ，B 正确；对于C ，取DE 的中点O ，连接PO ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，因为PD PE =，所以PO DE ⊥．因为AC ⊥平面PDE ，PO ⊂平面PDE ，所以AC PO ⊥，因为DE AC D ⋂=，DE ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC，PO =，C 错误；对于D ，如图，以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，因为D 是AC 的中点，4AC BC ==，所以()()()()0,0,0,3,2,0,1,0,0,1,0,0O B E D -，因为2PD PE ==，所以PO =，即(P ，所以()((()4,2,0,1,0,,1,0,,2,2,0DB DP EP EB ===-=，设平面PBD 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m DB m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11114200x y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =111y z =-=-，所以平面PBD的一个法向量)1m =--，设平面PBE 的一个法向量()222,,n x y z = ，则0n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222200x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令2x =，得221y z ==，所以平面PBE的一个法向量)n =，所以1cos ,7m nm n m n-⨯-⋅== ，设二面角D PB E--为[],0,πθθ∈，所以21sin 7θ==，所以二面角D PB E --的正弦值为7，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：二面角的通常求法，1、由定义作出二面角的平面角；2、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；3、利用向量法求二面角的平面.12.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，直线():2200l x ay b a -+=≠与C 的准线1l ，交于点A ．已知l 与C 相切，切点为B ，直线BF 与C 的一个交点为D ，则（）A.点(),a b 在C 上B.BAF AFB∠<∠C.以BF 为直径的圆与1l 相离 D.直线AD 与C 相切【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，联立直线l 与抛物线方程，根据根的判别式得到点(),b a 在C 上；B 选项，作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C 选项，证明出以BF 为直径的圆与y 轴相切，得到C 正确；D 选项，设出直线BD 方程，与抛物线方程联立求出D 点坐标，从而求出直线AD 方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案.【详解】对于A ，联立直线l 与C 的方程，消去x 得2240y ay b -+=，因为l 与C 相切，所以2Δ4160a b =-=，即24a b =，所以点(),b a 在C 上，A 错误．对于B ，过点B 作BM 垂直于C 的准线，垂足为M ，由抛物线定义知BF BM =，因为0a ≠，所以AB BM >，所以在ABF △中，AB BF >，由大边对大角得BAFAFB ∠<∠，B 正确．对于C ，()1,0F ，由A 选项l 与C 相切，切点为B ，可得(),B b a ，其中24a b =，则BF 的中点坐标为1,22b a +⎛⎫⎪⎝⎭，且()221BF b a =-+()()22211412b a b bb -+-++==，由于半径等于以BF 为直径的圆的圆心横坐标，故以BF 为直径的圆与y 轴相切，所以与1l 相离，C 正确；对于D ，设直线BD 方程为11b x y a -=+，与C 联立得()24140b y y a ---=，所以4D a y ⋅=-，解得4D y a=-，则21144111D D b b x y a a a a b --⎛⎫=+=⋅-+== ⎪⎝⎭，因为221,b A a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线AD 方程为22b y x a a=--，联立直线AD 与曲线C 的方程得2240by ay ++=，因为2Δ4160a b '=-=，所以直线AD 与C 相切，D 正确．故选：BCD ．【点睛】抛物线的相关结论，22y px =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与y 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切；22x py =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与x 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切.三、填空题：本大题共4小题13.已知:31p x -≤≤，:q x a £（a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________.【答案】[)1,+∞【解析】【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.【详解】因为q 的一个充分不必要条件是p ，所以[3,1]-是(],a -∞的一个真子集，则1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.14.已知正项数列{}n a 满足121n n n a a n +=+，则106a a =_______.【答案】485【解析】【分析】由递推公式可得121n n a n a n +=+，再由累乘法即可求得结果.【详解】由121n n n a a n +=+可得121n na n a n +=+，由累乘可得9101879870662928272648918171615a a a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=++++.故答案为：48515.直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，AC BC ⊥，6AC =，8BC =，14AA =．若平面α将该直三棱柱111ABC A B C -截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为______．【答案】104π【解析】【分析】α可能是AC 的中垂面，BC 的中垂面，1AA 的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解.【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图α有如下三种可能.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则222238489R =++=或222264468R =++=或2222682104R =++=，所以2max 4π104πS R ==．故答案为：104π16.对任意(1,)x ∈+∞，函数()ln ln(1)0(1)x f x a a a x a =--≥>恒成立，则a 的取值范围为___________．【答案】1e e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】变形为()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，构造()ln ,0F t t t t =>，求导得到单调性进而11x a ->恒成立，故()10x F a->，分当(]10,1x -∈和11x ->两种情况，结合()ln u g u u =单调性和最值，得到1e e a ≥，得到答案.【详解】由题意得1ln ln(1)x a a x -≥-，因为(1,)x ∈+∞，所以()()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，即()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，令()ln ,0F t t t t =>，则()()11x F aF x -≥-恒成立，因为()1ln F t t ='+，令()0F t '>得，1e t ->，()ln F t t t =单调递增，令()0F t '<得，10e t -<<，()ln F t t t =单调递减，且当01t <≤时，()0F t ≤恒成立，当1t >时，()0F t >恒成立，因为1,1a x >>，所以11x a ->恒成立，故()10x F a ->，当(]10,1x -∈时，()10F x -≤，此时满足()()11x F a F x -≥-恒成立，当11x ->，即2x >时，由于()ln F t t t =在()1e ,t ∞-∈+上单调递增，由()()11x F a F x -≥-得()1ln 11ln 1x x a x a x --≥-⇒≥-，令11u x =->，()ln u g u u =，则()21ln u g u u -'=，当()1,e u ∈时，()0g u '>，()ln u g u u =单调递增，当()e,+u ∞∈时，()0g u '<，()ln u g u u =单调递减，故()ln u g u u =在e u =处取得极大值，也是最大值，()ln e 1e e eg ==，故1ln e a ≥，即1e e a ≥，所以，a 的取值范围是1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是1ln ln(1)x a a x -≥-两边同时乘以1x -，变形得到()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，从而构造()ln ,0F t t t t =>进行求解.四、解答题：木大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b ac +-=，a =cos 3A =.（1）求角B 及边b 的值；（2）求sin(2)A B -的值.【答案】（1）π3B =，94b =（2【解析】【分析】（1）由余弦定理得到π3B =，求出2sin 3A =，由正弦定理得到94b =；（2）由二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，由差角公式求出答案.【小问1详解】因为222a cb ac +-=，由余弦定理得2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =，因为()0,πA ∈，cos 3A =，所以2sin 3A ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，即232=94b =；【小问2详解】由（1）得2sin 22sin cos 2339A A A ==⨯⨯=，2251cos 22cos 12139A A ⎛=-=⨯-= ⎝⎭，8sin(2)sin 2cos cos 2s 11929i 1n 2A B A B A B -=-=⨯-⨯=.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11n n n n a b a a ++=，其前n 项和为n T ，求使得20232024n T >成立的n 的最小值．【答案】（1）21n n a =-；（2）10.【解析】【分析】（1）根据,n n a S 关系及递推式可得112(1)n n a a -+=+，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；（2）应用裂项相消法求n T ，由不等式能成立及指数函数性质求得10n ≥，即可得结果.【小问1详解】当2n ≥时，111(2)(21)2()1n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=---+=--，所以121n n a a -=+，则112(1)n n a a -+=+，而1111211a S a a ==-⇒=，所以112a +=，故{1}n a +是首项、公比都为2的等比数列，所以12nn a +=⇒21n n a =-.【小问2详解】由1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b a a ++++===-----，所以111111111111337715212121n n n n T ++=-+-+-++-=---- ，要使1202324112102n n T +>=--，即111202520211422n n ++>-<⇒，由1011220252<<且*N n ∈，则11110n n +≥⇒≥.所以使得20232024n T >成立的n 的最小值为10.19.如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 作平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132OA =．（1）求证：11B C ⊥平面OAH ；（2）求二面角111O A B C --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理结线面平行的判定可得EF ∥平面OBC ，再由线面平行的性质可得EF ∥11B C ，由等腰三角形的性质可得AH ⊥EF ，从而可得AH ⊥11B C ，再由已知可得OA ⊥平面OBC ，则OA ⊥11B C ，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ，则由已知条件可证得11A B ⊥平面1OC N ，从而可得1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角，过E 作EM ⊥1OB 于M ，则可得EM ∥OA ，设1OB x =，然后利用平行线分线段成比例定理结合已知条件可求得x ，在11R t OA B 中可求出11A B 的长，从而可求得ON ，进而可直角三角形1OC N 中可求得结果.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 是ABC 的中位线，所以EF ∥BC ，因为EF ⊄平面OBC ，BC ⊂平面OBC ，所以EF ∥平面OBC ，因为EF ⊂平面111A B C ，平面111A B C Ç平面11OBC B C =，所以EF ∥11B C ．因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以11,22AE AB AF AC ==，因为AB AC =，所以AE AF =，因为H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，所以AH ⊥11B C ．因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，OB OC O = ，所以OA ⊥平面OBC ，因为11B C ⊂平面OBC ，所以OA ⊥11B C ，因为OA AH A= 因此11B C ⊥面OAH ．（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ．因为111111,,OC OA OC OB OA OB O ⊥⊥= ，因为1OC ⊥平面11OA B ，因为11A B ⊂平面11OA B ，所以111OC A B ⊥，因为1ON OC O = ，所以11A B ⊥平面1OC N ，因为1C N ⊂平面1OC N ，所以1C N ⊥11A B，所以1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角．过E 作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则111,122EM OA OM OB ====．设1OB x =，由111OB OA MB EM =得，312x x =-，解得3x =，则13OC =，在11R t OA B中，11A B ==则1111OA OB ON A B ⋅==．所以在1R t ONC中，11tan OC ONC ON ∠==故二面角111O A B C --为20.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.【答案】（1）23（2）512【解析】【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可.（2）利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】记取到甲盒子为事件1A ，取到乙盒子为事件2A ，取到丙盒子为事件3A ，取到黑球为事件B ：由全概率公式得1122331815132()()(|)()(|)()(|)31236363P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=，故摸出的球是黑球的概率是23.【小问2详解】由条件概率公式得2215()536(|)2()123P A B P A B P B ⨯===，故此球属于乙箱子的概率是51221.设椭圆(222:109x y C b b +=<<，P 是C 上一个动点，点()1,0A ，PA长的最小值为2．（1）求b 的值：（2）设过点A 且斜率不为0的直线l 交C 于,B D 两点，,E F 分别为C 的左、右顶点，直线BE 和直线DF 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．【答案】（1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出点P 坐标，并求出PA 长，再结合二次函数探求最小值即得解.（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，设出点,B D 的坐标，利用斜率坐标公式，结合韦达定理计算即得.【小问1详解】依题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，设焦距为2(0)c c >，设00(,)P x y ，则222000||(1),[3,3]PA x y x =-+∈-，而22200(19x y b =-，则222200||(1)219b PA x x b =--++=222222*********()199c c x x b x b c c -++=-++-，而0b <<，则2(9(3,9))b -∈，即2(3,9)c ∈，因此29(1,3)c∈，由0[3,3]x ∈-，得当029x c =时，222min 295||1(22PA b c =+-==，即229392b b -=-，化简得42221450b b -+=，又0b <<，解得23b =，所以b=【小问2详解】由（1）知，椭圆C 的方程为22193x y +=，点(3,0),(3,0)E F -，设()()1122,,,B x y D x y ，则121212,33y y k k x x ==+-，即12k k =121212213(3)3(3)y x y x x y y x --⋅=++，斜率不为0的直线l 过点(1,0)A ，设方程为1x my =+，则112121221122(13)2(13)4k y my my y y k y my my y y +--==+++，由22139x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理得22(3)280m y my ++-=，显然0∆>，则12122228,33m y y y y m m --+==++，即有2211)4(my y y y =+，因此()()121112112212212212422241444482y y y k my y y y y k my y y y y y y y +--+====++++，所以12k k为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知()3ln (1)f x x k x =--.（1）若过点(2,2)作曲线()y f x =的切线，切线的斜率为2，求k 的值；（2）当[1,3]x ∈时，讨论函数2π()()cos π2g x f x x =-的零点个数.【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，结合导数的几何意义列式求解即可；（2）求导，可得()g x '在[1,3]内单调递减，分类讨论判断()g x 在[1,3]内的单调性，进而结合零点存在性定理分析判断.【小问1详解】由题意可得：3()f x k x'=-，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，则切线斜率为003()2k f x k x '==-=，即032k x =-，可得切线方程为()()0003ln 12y x k x x x ---=-⎡⎤⎣⎦，将(2,2)，032k x =-代入可得()()0000323ln 2122x x x x ⎡⎤⎛⎫----=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，整理得001ln 10x x -+=，因为1ln ,y x y x ==-在()0,∞+内单调递增，则1ln 1y x x=-+在定义域()0,∞+内单调递增，且当1x =时，0y =，可知关于0x 的方程001ln 10x x -+=的根为1，即01x =，所以0321k x =-=.【小问2详解】因为2π2π()()cos 3ln (1)cos π2π2g x f x x x k x =-=---，则3π()sin 2g x k x x '=-+，可知3y x=在[1,3]内单调递减，且[1,3]x ∈，则ππ3π,222x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，可知πsin 2y x =在[1,3]内单调递减，所以()g x '在[1,3]内单调递减，且(1)4,(3)g k g k ''=-=-，（i ）若0k -≥，即0k ≤时，则()()30g x g ''≥≥在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递增，则()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅱ）若40k -≤，即4k ≥时，则()()10g x g ''≤≤在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递减，则()()10g x g ≤=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅲ）若400k k ->⎧⎨-<⎩，即04k <<时，则()g x '在()1,3内存在唯一零点()1,3m ∈，可知当1x m ≤<时，()0g x '>；当3m x <≤时，()0g x '<；则()g x 在[)1,m 内单调递增，在(],3m 内单调递减，且()10g =，可知()()10g m g >=，可知()g x 在[)1,m 内有且仅有1个零点，且()33ln 32g k =-，①当()33ln 320g k =-≤，即3ln 342k ≤<时，则()g x 在(],3m 内有且仅有1个零点；②当()33ln 320g k =->，即30ln 32k <<时，则()g x 在(],3m 内没有零点；综上所述：若[)3,ln 34,2k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；若3ln3,42k⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g x在[1,3]内有且仅有2个零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．。
2024年普通高等学校全国统一招生考试适应性测试数学模拟试卷+答案
2024年普通高等学校全国统一招生考试适应性测试数 学 2024.2注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{|i ,2,}*n A x x n k k N ，{|cos}2ππisi 2n ,n n B x n x C Z ，则B A A ．{1,1}B ．{i,i}C ．D ．{0}2．设研究某两个属性变量时，作出零假设0H 并得到2×2列联表，计算得220.05 ，则下列说法正确的是A ．有99.5%的把握认为0H 不成立B ．有5%的把握认为0H 的反面正确C ．有95%的把握判断0H 正确D ．有95%的把握能反驳0H3．设锐角 与 ，若tan 2 ，tan 3 ，则A ．3π4B ．π4C ．π2D ．3π84．设向量(1,)x a ，向量(2,)x x b ，若 a b 且|||| a b 则x A ．2B ．2C ．1D ．2 或15．已知平面直角坐标系xOy 中双曲线2222:1(,0)C x y a a bb . 设1F 是C 的左焦点，22(0,))a P b ．连接1PF 交双曲线C 于Q . 若1QO PF ，则C 的离心率e 的值为A ．31B ．61C ．31D ．316．定义运算“&”，若&(&)&x y z x y z 且&0x x ，则2024&(2023&2022) A ．2021B ．2022C ．2023D ．20247．设,0x y ，1x y ，则2211()(11)x y 的最小值为 A ．3B ．5C ．7D ．98．把一副洗好的牌（共52张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张A ．记事件A 为“翻开第3张牌时出现了第一张A ”，事件B 为“翻开第4张牌时出现了第一张A ”，事件C 为“翻开的下一张牌是黑桃A ”，事件D 为“下一张翻开的牌是红桃3”，则下列说法正确的是 A ．(A)(B)P P B ．(C)(D)P P C ．(A)(B)P PD ．(C)(D)P P二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题(上海专用,测试范围：沪教版)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．“点A 在直线l 上”用符号语言可以表示为.【答案】A l∈【解析】A 在直线l 上，即A l∈故答案为：A l∈2．在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，则直线AB 到平面11CDD C 的距离为．【答案】2【解析】根据正方体的性质可知，//AB CD .又AB ⊄平面11CDD C ，CD ⊂平面11CDD C ，所以，//AB 平面11CDD C .所以，点A 到平面11CDD C 的距离，即等于直线AB 到平面11CDD C 的距离.又AD ⊥平面11CDD C ，所以点A 到平面11CDD C 的距离即为12AD AA ==.所以，直线AB 到平面11CDD C 的距离为2.故答案为：2.3．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是．【答案】8π【解析】圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即2π24π⨯=，另一边长为2，故圆柱的侧面面积为24π8π⨯=.故答案为：8π4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AC 所成的角为．正方体111ABCD A B C D -因此1ACD ∠是异面直线A 而112AD CD AC AB ===所以异面直线1A B 与AC 故答案为：60o5．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为30︒，则该圆锥的高为．【答案】3【解析】由已知得该圆锥的高为故答案为：3.6．一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且132A B O C O A '''=='''=，，，则原梯形的面积为.易得24OA O A ''==，1AB A B ''==，OC O =故原梯形的面积为：113482S =⨯+⨯=（），故答案为：8.7．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的为.【答案】4π/45 【解析】设斜线和平面所成角为02παα⎛≤≤ ⎝8．已知球的两个平行截面的面积分别为49π，400π且两个截面之间的距离是9，则球的表面积为．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD 与底面ABCD所成的二面角的大小是．【答案】45°【解析】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD，又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD，因为PA∩AD＝A，PA、AD在面PAD内，所以CD⊥平面PAD，又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，PA⊥AD，又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°，于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°．故答案为：45°．10．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是.（1）直线AF 与直线DE 相交；（2）直线CH 与直线DE 平行；（3）直线BG 与直线DE 是异面直线；（4）直线CH 与直线BG 成60︒角.【答案】（3）（4）/(4)(3)【解析】解：由正方体的平面展开图可得正方体ABCD EFGH -，可得AF 与ED 为异面直线，故（1）错误；CH 与DE 为异面直线，故（2）错误；直线BG 与直线DE 是异面直线，故（3）正确；连接AH ，AC ，由正方体的性质可得//AH BG ，所以AHC ∠为异面直线CH 与直线BG 所成的角，因为AHC 为等边三角形，所以60AHC ∠=︒，即直线CH 与直线BG 所成角为60︒，故（4）正确；故答案为：（3）（4）．11．设AB 和CD 都是平面α的垂线，其垂足分别为,B D .已知5,9,3AB CD BD ===，那么线段AC =.12．如图，平面OAB ⊥平面α，OA α⊂，OA AB =，120OAB ∠=︒．平面α内一点P 满足PA PB ⊥，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则tan θ的最大值是．【答案】612【解析】如图，过点B 作BH OA ⊥，交OA 的延长线于点H ，连接取AH 的中点为E ，连接PE ，过点P 作PF OA ⊥，垂足为当且仅当PE OP ⊥，即OP 是圆E 的切线时，角tan θ取得最大值为：22PE PE OP OE PE ==-故答案为：612.二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列说法错误的是（）A ．一个棱柱至少有5个面B ．斜棱柱的侧面中没有矩形C ．圆柱的母线平行于轴D ．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【答案】B【解析】由棱柱的性质可知A 正确，B 错误；由圆柱的性质可知C 正确；由正棱锥的性质可知D 正确.故选：B14．已知l 是直线，,αβ是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）A ．若//,//l l αβ，则//αβB ．若,//αβα⊥l ，则l β⊥C ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥D ．若//,//l ααβ，则//l β【答案】C 【解析】若,//,,m l m l l αβαβ⋂=⊄⊄，则有//,//l l αβ，故可判断A 错误.若,//,m l m l αβα⋂=⊄，则//l β或l β⊂，故B 错误.若,//l l αβ⊥，则β存在直线与l 平行，所以αβ⊥，故C 正确.若//,//l ααβ，则//l β或l β⊂，故D 错误.故选：C.15．《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF ，其中////AB DC EF ，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a 、b 、c ，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m 、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n （如图）．羡除的体积公式为()6a b c mn V ++=，过线段AD ，BC 的中点G ，H 及直线EF 作该羡除的一个截面α，已知α刚好将羡除分成体积比为5:4的两部分．若4AB =、2DC =，则EF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．6故选：B16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则以下命题正确的序号为（）①直线1BD ⊥平面11AC D②平面1B CD 与平面BCD 的夹角大小为π2③三棱锥11P AC D -的体积为定值④异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①④三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，已知,,,E F G H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱111,,,AB BC CC C D 的中点，且EF 与HG 相交于点Q ．(1)求证：点Q 在直线DC 上；(2)求异面直线EF 与11A B 所成角的大小．【解析】（1）平面ABCD 平面11CDD C DC =，由于Q EF ∈⊂平面ABCD ，Q HG ∈⊂平面11CDD C ，所以Q DC ∈，也即点Q 在直线DC 上.（6分）（2）根据正方体的性质可知11//A B DC ，所以异面直线EF 与11A B 所成角为DQE ∠，（8分）由于//,,AB DC E F 分别是,AB BC 的中点，所以45DQE FEB ∠=∠=︒，所以异面直线EF 与11A B 所成角的大小为45︒.（14分）18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，O 是AC 与BD 的交点，=45ADC ∠ ，2AD AC ==，⊥PO 平面ABCD ，2PO =，M 是PD 的中点．(1)证明：//PB 平面ACM(2)求直线AM 与平面ABCD 所成角的大小．【解析】（1）连接MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 与BD 的交点，所以O 为BD 的中点，（2分）又M 为PD 的中点,所以//PB MO .因为PB ⊄平面,ACM MO ⊂平面ACM ，所以//PB 平面ACM .（6分）（2）取DO 中点N ,连接MN ,AN，因为M 为PD 的中点,所以//MN PO ,且112MN PO ==,由⊥PO 平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角.（8分）因为底面ABCD 为平行四边形，且45ADC ∠=o ，2AD AC ==，所以45ACD ∠= ，则90DAC ∠= ，在Rt DAO 中,2,1AD AO ==,所以DO =从而122AN DO ==，因为MN ⊥平面ABCD ,AN ⊂平面ABCD ,MN AN ∴⊥，所以在Rt ANM中，tan 5MN MAN AN ∠==，0,2MAN π⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，19．某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm ，圆柱高为30cm ，底面的周长为24πcm .(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到30.1cm ）；(2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米．．．．8元．，共需多少元？（结果精确到0.1元）【解析】（1）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为1h ，圆柱高为2h ，则由题意有2π24πr =，得12cm r =，圆锥高116cm h ==，所以“笼具”的体积2232111πππ14430144165088π15984.4cm 33V r h r h ⎛⎫=+=⨯+⨯⨯=≈ ⎪⎝⎭.（6分）（2）圆柱的侧面积2122π720πcm S rh ==，圆柱的底面积22π144πS r ==，圆锥的侧面积3π240πS rl ==，所以“笼具”的侧面积21231104πcm S S S S =++=侧.（12分）故造50个“笼具”的最低总造价为41104π5081104π138.71025⨯⨯=≈元.（14分）答：这种“笼具”的体积约为315984.4cm ；生产50个笼具需要138.7元.20．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AD BC ，90BCD ∠=︒，PA PB =，PC PD =．(1)证明：CD 与平面PAD 不垂直；(2)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；(3)如果CD AD BC =+，二面角P BC A --等于60︒，求二面角P CD A --的大小．【解析】（1）若CD ⊥平面PAD ，则CD PD ⊥，由已知PC PD =，得90PCD PDC ∠=∠<︒，（2分）这与CD PD ⊥矛盾，所以CD 与平面PAD 不垂直．（4分）（2）取AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF 、EF ，由PA PB =，PC PD =，得PE AB ⊥，PF CD ⊥，EF ∴为直角梯形的中位线，（6分）EF CD ∴⊥，又PF EF F = ，∴C ⊥平面P ，（8分）由PE ⊂平面PEF ，得CD PE ⊥，又AB PE ⊥且梯形两腰AB 、CD 必交，PE ∴⊥平面ABCD ,又PE ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ,（10分）（3）由（2）及二面角的定义知PFE ∠为二面角P CD A --的平面角,作EG BC ⊥于G ，连PG ，由于PE ⊥平面ABCD ,⊂BC 平面ABCD ,故PE BC ⊥,EG BC ⊥,,,EG PE E EG PE ⋂=⊂平面PEG ,故⊥BC 平面PEG PG ⊂平面PEG ,所以PG BC⊥故PGE ∠为二面角P BC A --的平面角,（12分）即60PGE ∠=︒，由已知，得11()22EF AD BC CD =+=，又12EG CF CD ==．EF EG ∴=，Rt F Rt PE PEG ∴≅ ．60PEF PGE ∴∠=∠=︒，故二面角P CD A --的大小为60︒．（18分）21．如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，D 为AB 的中点，1D 为11A B 的中点，平面ABC ⊥平面11ABB A ．(1)求证：直线1//A D 平面11BC D ；(2)设直线1AB 与直线1BD 的交点为点E ，若三角形ABC 是等边三角形且边长为2，侧棱1AA =直线1BC 与1AB 互相垂直，求异面直线1A D 与1BC 所成角；(3)若12,2AB AC BC A AB ===∠=，在三棱柱111ABC A B C -内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱111ABC A B C -的高．【解析】（1）斜三棱柱111ABC A B C -中，1D 为11A B 的中点，D 为AB 的中点，所以11111122A D AB AB BD ===，且11A D BD //，所以四边形11A D BD 为平行四边形，所以11//A D BD ，（2分）因为1BD ⊂平面11BC D ，1A D ⊄平面11BC D ，所以1//A D 平面11BC D ；（4分）（2）因为AC =BC ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ，因为平面ABC ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥平面11ABB A ，故11C D ⊥平面11ABB A ，所以111C D AB ⊥,又1BC 与1AB 互相垂直，1111BC C D C ⋂=,111,BC C D ⊂面11BC D 故1AB ⊥面11BC D ,得11⊥AB BD .即11B D E 为直角三角形，（6分）在11ABB A 中，1,D D 为中点，11//A D BD ，所以E 为1AB 的三等分点，设1B E t =，由余弦定理可得：()22222211111111111132cos 21232t B E AB A B AA t A B A B D AB A B t +-+-⎝⎭∠====⋅⨯⨯解之：t =，所以11π,6A B A ∠=故112D E =11111113//,,.22D E B D A B AB BD EB AB ∴==∴=11C D ⊥平面11ABB A ，111,C D BD ∴⊥在11BD C △中，11tan 3D BC ∠=.1A D 与1BC所成的角为arctan（10分）（3）过B 作1BP AA ⊥于P ，过P 作1FP CC ⊥于F ，连BFBPF ∴ 为直截面，小球半径为BPF △的内切圆半径因为2,2AB AC BC ===，所以222AC BC AB +=，故AC ⊥BC ，则112CD AB ==（12分）设2,BP t =所以2AP t =，由222AB BP AP =+解得63t =，232633BP AP =由最小角定理112cos cos cos 263A AC A AB BAC ∠=∠∠=⨯=12sin 3PF AC A AC =∠=（14分）由CD ⊥面11ABB A ,易知1BP CC ⊥，23BF PF BP ∴===内切圆半径为：13r =则12362sin .9h r r r A AB =++∠=（18分）。
2024届山西省晋城市高三上学期一模数学试题及答案
晋城市2024年高三第一次模拟考试试题数 学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}15M x x =-<<，{}1,N y y x x M ==-∈，则M N = （ ）A ．(2,5)-B ．(1,4)-C ．(2,4)-D ．(1,5)-2．设z 在复平面内对应的点为(1,2)-，则izz +在复平面内对应的点为（ ）A ．13,44⎛⎫-⎪⎝⎭B ．13,44⎛⎫-⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭3．若sin18m ︒=，则sin 63︒=（ ）A )m B ．12mC mD +4．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足,(0,)x y ∀∈+∞，1()()()x yf x y f x f y x y xy++=++-+，()0f x >，且(1)(2)5f f ⋅=，则(1)f =（ ）A ．B 1．2C ．32D ．525．若*25()()na b n a b-∈N 的展开式存在常数项，则常数项为（ ）A ．35-B ．C 35．21-D ．216．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为p 米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为a 米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点A 到桥面的距离）为b 米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点B 到桥面的距离）为（）A ．298a pb p +米C ．2169a pb p +米B ．249a pb p +米D ．216922a pb p+米7．定义min{,,}p q r 表示p ，q ，r 中的最小值．已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，1abc =-，则（）A ．min{,,}a b c 的最大值是1-B ．min{,,}a b c 的最大值是C ．min{,,}a b c 的最小值是1-D ．min{,,}a b c 的最小值是8．生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）A ．3月5日或3月16日B ．3月6日或3月15日C ．3月7日或3月14日D ．3月8日或3月13日二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若一个函数在区间D 上的导数值恒大于0，则该函数在D 上纯粹递增，若一个函数在区间D 上的导数值恒小于0，则该函数在D 上纯粹递减，则（ ）A ．函数2()2f x x x =-在[1,)+∞上纯粹递增B ．函数3()2f x x x =-在[1,2]上纯粹递增C ．函数()sin 2f x x x =-在[0,1]上纯粹递减D ．函数()e 3x f x x =-在[0,2]上纯粹递减10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，14AA =，13C E EC =，平面ABE 将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为Ω上，下部分对应的几何体为Ω下，则（）A ．Ω下的体积为2B ．Ω上的体积为12C ．Ω下的外接球的表面积为9πD ．平面ABE 截该正四棱柱所得截面的面积为11．双曲线222:(0)C x y m m -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，(,)(0)P t s s ≠为C 的右支上一点，分别以线段1PF ，2PF 为直径作圆1O ，圆2O ，线段2OO 与圆2O 相交于点M ，其中O 为坐标原点，则（ ）A ．12O O =B ．OM m=C ．点(,0)t 为圆1O 和圆2O 的另一个交点D ．圆1O 与圆2O 有一条公切线的倾斜角为4π12．已知函数2()e ln x f x x x =+，则（ ）A ．“1x >”是“e()e lnf x x x >-+”的充要条件B ．“1x >”是“e()e ln f x x x>-+”的充分不必要条件C ．当()2()e 12f x x =-+时，ln 2x x +=D ．当()2()e 12f x x =-+时，ln ex x +=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若一个正n 棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为{2,3}，则n 的最小值为__________，该棱台各棱的长度之和的最小值为__________．14．已知两个单位向量a，b的夹角为70︒，则a -与a b +的夹角为__________．15．某羽毛球超市销售4种品牌（品牌A ，B ，C ，D ）的羽毛球，该超市品牌A ，B ，C ，D 的羽毛球的个数的比例为4:3:2:3，品牌A ，B ，C ，D 的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球的品牌为__________（填入A ，B ，C ，D 中的1个）．16．若函数()cos (0100)f x x ωω=<<在5,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有两个极大值点和两个零点，则ω的取值范围为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在ABC △中，AB =AC =，BC =．（1）求A 的大小；（2）求ABC △外接圆的半径与内切圆的半径．18．（12分）已知数列{}32nn a ⨯的前n 项和144n n S +=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设213n n n b a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）某果园种植了一种水果，现随机抽取这种水果的成熟果实200个，统计了这200个果实的果䉽数量，得到下列频数分布表：果籽数量1234水果数100504010（1）求这200个果实的果籽数量的第75百分位数与平均数．（2已知这种水果的成熟果实的果籽数量会影响其市场售价，每个果实的果籽数量与果实的价格如下表所示：以这200个果实的果籽数量各自对应的频率作为该果园这种成熟果实的果籽数量各自对应的概率，从该果园的这种成熟果实中任选2个，在被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的前提下，设这2个果实的市场售价总和为X 元，求X 的分布列与数学期望．20．（12分）如图，P 是边长为2的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，BF 的中点O 为P 在平面ABCDEF 内的射影，2PM MF =．（1）证明：//ME 平面PBD ．（2）若2PA =，二面角A PB D --的大小为θ，求cos 2θ．21．（12分）已知函数22()eexx xf x a =--．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，证明：120x x +<．22．（12分）已知椭圆22:162x y P +=的焦点是椭圆E 的顶点，椭圆22:169x y Q +=的焦点也是E 的顶点．（1）求E 的方程；（2）若()00,F x y ，C ，D 三点均在E 上，且CF DF ⊥，直线CF ，DF ，CD 的斜率均存在，证明：直线CD 过定点（用0x ，0y 表示）．晋城市2024年高三第一次模拟考试试题数学参考答案1．A 【解析】本题考查集合的并集，考查数学运算的核心素养．因为{}15M x x =-<<，所以{}24N y y =-<<，所以(2,5)M N =- ．2．C 【解析】本题考查复数的运算与复平面，考查数学运算的核心素养．依题意得12i z =-，所以12i (12i)(1i)13i 13i i 1i (1i)(1i)222z z +++-+====-++--+，则i z z +在复平面内对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．3．C 【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．sin 63sin(1845)cos18)m ︒=︒+︒=︒+︒=4．B 【解析】本题考查抽象函数的求值，考查数学运算的核心素养．令1x y ==，得1(2)2(1)22f f =+-，因为(1)(2)5f f ⋅=．所以(1)2f =或5(1)4f =-，又()0f x >，所以(1)2f =．5．C 【解析】本题考查二项式定理，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．若25()n a b a b -的展开式存在常数项，则257n =+=，且常数项为5255277725C ()C C 21a b a b-=-=-=-．6．A 【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学建模与直观想象的核心素养．以A 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），依题意可得抛物线的方程为22x py =．因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为a 米，则点B 的横坐标为14a -，则222(14)9822B B x a a y p p p-===，所以点B 到桥面的距离为298a pbp+米．7．B 【解析】本题考查不等式与新定义，考查逻辑推理的核心素养．因为1abc =-，所以在a ，b ，c 中，负数的个数为1或3，又0a b c ++=，所以在a ，b ，c 中，1个为负数，2个为正数，不妨设0c <，则min{,,}a b c c =．因为a b c ≤+=-，所以24c ab ≤，因为0c <，所以314c ≤-，则c ≤，故min{,,}a b c 的最大值是．8．D 【解析】本题考查等差数列的实际应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第n 天所得积分为21n -．假设他连续打卡n 天，第1n +天中断了，则他所得积分之和为[](121)(19)[12(19)1](1321)132(19)119322n n n n n n +--+--++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+--=+=，解得7n =或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．9．BC 【解析】本题考查导数的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．若2()2f x x x =-，则()22f x x '=-，因为(1)0f '=，所以A 错误．若3()2f x x x =-，则2()32f x x '=-，当[1,2]x ∈时，()0f x '>恒成立，所以B 正确．若()sin 2f x x x =-，则()cos 20f x x '=-<，所以C 正确．若()e 3x f x x =-，则()e 30x f x '=-<在[0,2]上不恒成立，所以D 错误．10．ACD 【解析】本题考查正四棱柱的截面、简单几何体的体积、外接球的表面积，考查空间想象能力与数学运算的核心素养．设13D F FD =，连接EF ，AF ，易证A ，B ，E ，F 四点共面，所以Ω下为直三棱柱ADF BCE -，其体积为112222⨯⨯⨯=，A 正确．Ω上的体积为224⨯214-=，B 错误．Ω下的外接球的半径32R ==，则Ω下的外接球的表面积为249R ππ=，C 正确．平面ABE 截该正四棱柱所得截面为矩形ABEF ，其面积为2=，D 正确．11．BCD 【解析】本题考查双曲线与圆的综合，考查直观想象与数学运算的核心素养．C 的方程可化为22221x y m m-=，可得a m =，b m =，c =．由1O 为1PF 的中点，2O 为2PF的中点，得121212O O F F ==，A 错误．由2O 为2PF 的中点，O 为12F F 的中点，得2112OO PF =，则221212111||222OM OO MO PF PO PF PF a m =-=-=-==，B 正确．设点Q 为圆1O 和圆2O 的另一个交点，连接PQ ，由12//O O x 轴，可得12O O PQ ⊥，12O O 为12PF F △的中位线，则直线12O O 平分线段PQ ，则点Q 必在x 轴上，可得点Q 的坐标为(,0)t ，C 正确．如图，若BD 为圆1O 与圆2O 的一条公切线，B ，D 为切点，连接1O B ，2O D ，过点2O 作21O A O B ⊥，垂足为A ．由12O O =，112121122O A O B O D PF PF a m =-=-==，得12112sin AO AO O O O ∠===可得214AO O π∠=，由12//O O x 轴，且2//O A BD ，可得公切线BD 的倾斜角为4π，D 正确．12．AC 【解析】本题考查函数的综合与常用逻辑用语，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养．因为22ln e e x x x x +=，所以e()e lnf x x x>-+等价于2ln e 2ln e 1x x x x +++>+，构造函数()e t g t t =+，则(2ln )(1)g x x g +>，因为()g t 是增函数，所以2ln 1x x +>．因为函数()2ln h x x x =+为增函数，且(1)1h =，所以2ln 11x x x +>⇔>，所以“1x >”是“e()e lnf x x x>-+”的充要条件．当()2()e 12f x x =-+时，ln 2x x +=，理由如下：（解法一）()2()e 12f x x =-+可变为2ln 22ln e 2ln e 2ln e 2ln x x x x x x x x ++++=++=++，则(2ln )(2ln )g x x g x +=+．因为()g t 是增函数，所以2ln 2ln x x x +=+，即ln 2x x +=．（解法二）设ln x x m +=，则ln x m x =-，em xx -=，即e e mxx=，代入()22e ln e 12xx x x +=-+，得()2e e 12mx m x x +-=-+，即()2e e 2m x m -=-．假设2m ≠，则等式左右异号，矛盾．所以2m =，即ln 2x x +=．13．6；42【解析】本题考查棱台的概念，考查空间想象能力与推理论证能力．因为正n 棱台的侧棱有n 条，底面有2n 条棱，所以正n 棱台共有3n 条棱，由315n >，得5n >，所以n 的最小值为6，该棱台各棱的长度之和的最小值为2123642⨯+⨯=．14．145︒【解析】本题考查平面向量的夹角，考查直观想象的核心素养．设a OA = ，b OB = ，a b OC -= ，因为a ，b 均为单位向量，所以四边形OACB 为菱形，且OC 平分AOB ∠，所以a 与a b+ 的夹角为70235︒÷=︒，则a - 与a b +的夹角为18035145︒-︒=︒．15．D 【解析】本题考查全概率公式的实际应用，考查分类讨论的数学思想与数学运算、逻辑推理的核心素养．因为他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，且0.8，0.9，0.7，0.6中只有0.90.8>，所以他不买的羽毛球品牌一定不是品牌B ．若他不买品牌A 的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为323 5.90.90.70.60.73753233233238⨯+⨯+⨯==++++++．若他不买品牌C 的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为4337.70.80.90.60.7743343343310⨯+⨯+⨯==++++++．若他不买品牌D 的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为437.30.80.90.70.814324324329z ⨯+⨯+⨯=≈++++++．16．812,2,10055⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．令2x k ωπ=，k ∈Z ，得()f x 的极大值点为2k x πω=，k ∈Z ，则存在整数k ，使得0,2,2(1)5,2k k ωππωππω⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪+⎪<⎪⎩解得*)4(1)2(5k k k ω+<<∈N ．因为函数cos y x =在两个相邻的极大值点之间有两个零点，所以*4(1)2()5k k k ω+<<∈N ．当1k =时，825ω<<．当2k =时，1245ω<<．当2k ≥时，4(1)4(2)255k k k ++<<．又0100ω<<，所以ω的取值范围为81216204812,2,4,6,100,2,100555555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．17．解：（1）由余弦定理得2221cos 22AB AC BC A AB AC +-==-⋅，因为0A π<<，所以23A π=．（2）设ABC △外接圆的半径与内切圆的半径分别为R ，r，由正弦定理得214sin BC R A ===，则7R =．ABC △的面积1sin 2S AB AC A =⋅⋅=由1()2r AB AC BC S ++=，得232S r AB AC BC ==++．评分细则：【1】第（1）问中，写为2221cos 22b c a A bc +-==-，不扣分．【2】第（2）问中，未写由1()2r AB AC BC S ++=，直接得232S r a b c ==++，不扣分．18．解：（1）令32nn n c a =⨯．当1n =时，1112c S ==；当2n ≥时，114434n n nn n n c S S +-=-=-=⨯．因为111234c ==⨯，所以34n n c =⨯．所以3234n n n a ⨯=⨯，得2nn a =．（2）由（1）知2113234224n n n n nb ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以111144443211414n n n T n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥=-+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦1144113214463334n n nn n n ++-⎡⎤-⎛⎫=-+-=---⎢ ⎪⎥⎝⎭⎣⎦．评分细则：第（2）问中，最后的结果写为114634n n n +---，不扣分．19．解：（1）因为75200150100⨯=，所以这200个果实的果籽数量的第75百分位数为232.52+=．这200个果实的果籽数量的平均数为11002503404101.8200⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）依题意可得果籽数量为1，2，3，4对应的概率分别为12，14，15，120．被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的概率为2131124⎛⎫--= ⎪⎝⎭．X 的可能取值为40，32，28，26，11122(40)334P X ⨯===，112124(32)334P X ⨯⨯===，112425(28)3154P X ⨯⨯===，1121220(26)3154P X ⨯⨯===，则X 的分布列为X40322826P13134151151141166()4032283315155E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．评分细则：【1】第（1）问中，平均数写为95，不扣分．【2】第（2）问中，X 的可能取值也可以按照从小到大的顺序书写（包括分布列中X 的顺序），最后的期望写为33.2，不扣分．20．（1）证明：如图，设2PN NB = ，连接MN ．因为2PM MF =，所以PN PM NB MF =，所以//MN BF ，且23MN BF =．连接CE 交BD 于K ，连接KN ，可得2233EK CE BF MN ===，由//CE BF ，可得//EK MN ，所以四边形EKNM 为平行四边形，所以//ME NK ．又因为ME ⊂/平面PBD ，NK ⊂平面PBD ，所以//ME 平面PBD ．（2）解：以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．易知1OA =，3OD =，OB =，PO ==，则P，B ，(0,3,0)D ，(0,1,0)A -，则(BP =，AP =，(BD =．设平面PAB 的法向量为1(,,)n x y z = ，则110,0,n AP n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1x =，得1(1,n =．同理可得平面PBD的一个法向量为2n =．由121212cos ,n n n n n n ⋅===，得cos θ=2229cos 22cos 12cos 135θθ=-=-=-．评分细则：【1】第（1）问中，证得//ME NK 后，未写ME ⊂/平面PBD ，NK ⊂平面PBD ，直接得到//ME 平面PBD ，扣1分．【2】第（2）问中，建立空间直角坐标系的方式不唯一，法向量也不唯一，阅卷时请参照考生的实际情况按照步骤给分．21．（1）解：322(1)2(e 1)()2e e ex xx xx x f x --+'=-=．令3()e1xh x x =-+，易知()h x 单调递增，且(0)0h =．当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以min ()(0)10f x f a ==-≥，即1a ≤，所以a 的取值范围是(,1]-∞．（2）证明：由()f x 的单调性可设120x x <<．令()()2222()()()e e e ee e 2ee xx x xx x x xx xg x f x f x x ----⎛⎫=--=--+=+-- ⎪⎝⎭．令()e e2(0)xxx x x ϕ-=-->，则()e e 20x x x ϕ-'=+->，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，则()(0)0x ϕϕ>=，所以()20x ϕ>．所以()()220f x f x -->，即()()120f x f x -->，即()()12f x f x >-．因为当0x <时，()f x 单调递减，且20x -<，所以12x x <-，即120x x +<．评分细则：【1】第（1）问中，a 的取值范围写为1a ≤，不扣分．【2】第（2）问中，最后两行也可以这样写：由()()220f x f x -->及()20f x =，得()()210f x f x -<=，当0x <时，()f x 单调递减，所以12x x <-，即120x x +<．22．（12=，所以P 的焦点为(2,0)-，(2,0)，=Q 的焦点为(0,，，所以可设E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则2a =，b =，故E 的方程为22143x y +=．（2）证明：设()11,C x y ，()22,D x y ，直线:CD y kx m =+．1010FC y y k x x -=-，2020FD y y k x x -=-．因为CF DF ⊥，所以1F FD k k ⋅=-，即()()()()102010200x x x x y y y y --+--=①，将y kx m =+代入E 的方程，得222(34)84120k x kmx m +++-=，则122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，0∆>，()121226234m y y k x x m k +=++=+，()()221212212334k m y y kx m kx m k-+=++=+，将以上4个式子代入①，得()()2222220000434334043k y kx m x y m k ⎡⎤⎡⎤++-+-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦②，因为点F 在E 上，所以2200334x y -=-，2200443y x >=-，代入②得()()()()0000000043kx m y kx m y kx m y kx m y +++-=+--+，即()()000070kx m y kx m y +-++=，因为CF DF ⊥，所以F 不在直线CD 上，则000kx m y +-≠，则007y kx m +=-，所以直线00:77x y CD y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭过定点00,77x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．评分细则：【1】第（1）问中，根据题意得2624a =-=，2963b =-=，所以E 的方程为22143x y +=，考生若这样写，扣1分．【2】第（2）问中，若没有说明000kx m y +-≠，其他步骤都正确，扣1分．。
浙江省金华市十校2024届高三4月模拟考试数学试卷含答案
金华十校2024年4月高三模拟考试数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟.试卷总分为150分.2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}220B x x x =-<，则A B = （）A.{}0B.{}1C.{}1,2 D.{}1,2,3【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次不等式求解{}02B x x =<<，即可由交集求解.【详解】{}{}22002B x x x x x =-<=<<，故A B = {}1，故选：B2.i2i =+（）A.12i 55+ B.12i 55-C.12i 33+ D.12i 33-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算即可求解.【详解】()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，故选：A3.设()0,πα∈，条件1:sin 2p α=，条件:cos 2q α=，则p 是q 的（）A.充分不要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函数基本关系，即可求解．【详解】由于()0,πα∈，若1sin 2α=，则cos 2α==±，充分性不成立，若cos 2α=，则1sin 2α==，必要性成立，故p 是q 的必要不充分条件．故选：B ．4.设直线2:20l x y a --=，圆()()22:121C x y -+-=，则l 与圆C （）A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能【答案】C 【解析】【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线l 的距离，与半径比较即可判断求解．【详解】圆22:(1)(2)1C x y -+-=的圆心为(1,2)C ，半径1r =，则圆心C 到直线l 的距离221d r ===，故直线l 与圆C 相离．故选：C ．5.等差数列{}n a 的首项为正数，公差为d ，n S 为{}n a 的前n 项和，若23a =，且2S ，13S S +，5S 成等比数列，则d =（）A.1B.2C.92D.2或92【答案】B 【解析】【分析】由等比中项的性质得到()22513S S S S =+，结合求和公式得到13d a =-或12d a =，再由23a =，10a >计算可得.【详解】因为2S ，13S S +，5S 成等比数列，所以()22513S S S S =+，即()()()2111510243d a d a d a ++=+，即()()11320a d a d +-=，所以13d a =-或12d a =，又23a =，10a >，当13d a =-，则11133a d a a +=-=，解得132=-a （舍去），当12d a =，则11123a d a a +=+=，解得11a =，则2d =.故选：B6.在ABC △中，sin 7B =，120C =︒，2BC =，则ABC △的面积为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式求出sin A ，再由正弦定理求出b ，代入面积公式即可得解.【详解】由题意，()312121sin sin 60sin 60cos cos 60sin 22714A B B B =︒-=︒-︒=⨯⨯，由正弦定理，sin sin a bA B =，即2sin 74sin 2114a Bb A⨯===，所以11sin 24222ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△故选：D7.金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（）A.72种B.48种C.36种D.24种【答案】A 【解析】【分析】首先取2名教学型老师分配给一个学校，再把剩余老师分成22A 组，然后分给剩余2个不同学校有22A 种不同分法，再由分步乘法计数原理得解.【详解】选取一个学校安排2名教学型老师有1234C C 种不同的方法，剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取1名，分成两组共有22A 种，这2组分配到2个不同学校有22A 种不同分法，所以由分步乘法计数原理知，共有12223422C C A A 362272⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=种不同的分法.故选：A8.已知()1cos 3αβ-=，1sin sin 12αβ=-，则22cos sin αβ-=（）A.12B.13 C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出cos cos αβ，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解．【详解】由1cos()3αβ-=得1cos cos sin sin 3αβαβ+=，又1sin sin 12αβ=-，所以5cos cos 12αβ=，所以[][]22cos ()()cos ()()1cos 21cos 2cos 2cos 2cos sin 2222αβαβαβαβαβαβαβ++-++--+-+-=-==cos()cos()αβαβ=+-(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )αβαβαβαβ=-+5151111(()12121212236=+⨯-=⨯=．故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50350KW h ~⋅之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为i s （1i =，2，L ，6），则（）A.x 的值为0.0044B.这100户居民该月用电量的中位数为175C.用电量落在区间[)150,350内的户数为75D.这100户居民该月的平均用电量为61(5025)ii i s =+∑【答案】AD 【解析】【分析】根据频率分布直方图中频率之和为1即可判断A ，根据中位数的计算即可求解B ，根据频率即可求解C ，根据平均数的计算即可判断D.【详解】对于A ，由频率分布直方图的性质可知，(0.00240.00360.00600.00240.0012)501x +++++⨯=，解得0.0044x =，故A 正确；对于B ，因为(0.00240.0036)500.30.5+⨯=<，(0.00240.00360.0060)500.60.5++⨯=>，所以中位数落在区间[150,200)内，设其为m ，则0.3(150)0.0060.5m +-⨯=，解得183m ≈，故B 错误；对于C ，用电量落在区间[150，350)内的户数为(0.00600.00440.00240.0012)5010070+++⨯⨯=，故C 错误；对于D ，这100户居民该月的平均用电量为61261(5025)(50225)(50625)(5025)ii s s s i s=++⨯+++⨯+=+∑ ，故D 正确.故选：AD ．10.已知01a b <<<，1m n >>，则（）A.a bb a > B.n mm n >C .log log b m na > D.log log ab n m>【答案】ACD 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】对于A ，因为01a b <<<,所以指数函数x y b =在R 上单调递减，且a b <，所以a b b b >，因为幂函数b y x =在(0,)+∞上单调递增，且a b <，所以b b a b <，所以a b b a >，故A 正确，对于B ，取5m =，2n =，则2552<，故B 错误；对于C ，因为对数函数log b y x =在(0,)+∞上单调递减，log m y x =在(0,)+∞上单调递增，所以log log 1b b a b >=，log log 1m m n m <=，所以log log b m a n >，故C 正确；对于D ，因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增，所以ln ln 0a b <<，ln 0m >，则ln ln log log ln ln a b m mm m a b=>=，因为对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，所以log log log a a b n m m >>，故D 正确．故选：ACD ．11.在矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为线段AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE △从起始到结束的翻折过程中，（）A.存在某位置，使得1DE A C ⊥B.存在某位置，使得1CE A D ⊥C.MB 的长为定值D.MB 与CD 所成角的正切值的最小值为12【答案】BCD 【解析】【分析】当1A C DE ⊥时，可得出DE ⊥平面1A OC ，得出OC DE ⊥推出矛盾判断A ，当1OA ⊥平面BCDE时可判断B ，根据等角定理及余弦定理判断C ，建系利用向量法判断D.【详解】如图，设DE 的中点O ，连接,OC OA ，则1OA DE ⊥，若1A C DE ⊥，由111A O A C A = ，11,AO AC ⊂平面1A OC ，可得DE ⊥平面1A OC ，OC ⊂平面1A OC ，则可证出OC DE ⊥，显然矛盾()CD CE ≠，故A 错误；因为CE DE ⊥，所以当1OA ⊥平面BCDE ，由CE ⊂平面BCDE 可得1O A CE ⊥，由1O A DE O = ，1,O A DE ⊂平面1A DE ，即可得CE ⊥平面1A DE ，再由1A D ⊂平面1A DE ，则有1CE A D ⊥，故B 正确；取CD 中点N ，1//MN A D ，112MN A D =，//BN ED ，且1,MNB A DE ∠∠方向相同，所以1MNB A DE ∠=∠为定值，所以BM =C 正确；不妨设AB =，以,OE ON 分别为,x y 轴，如图建立空间直角坐标系，设1A ON θ∠=，则()10,cos ,sin A θθ，()()1cos sin 2,1,0,1,2,0,,1,,(1,0,0)222B C M D θθ⎛⎫+-⎪⎝⎭，()2,2,0DC =，3cos sin ,,,2222BM BM θθ-⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，设MB 与CD 所成角为ϕ，则cos 5DC BM DC BMϕ⋅==≤⋅ ，即MB 与CD 所成最小角的余弦值为5，此时1tan 2ϕ=，故D 正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：处理折叠问题，注意折前折后可变量与不变量，充分利用折前折后不变的量，其次灵活运用线面垂直的判定定理与性质定理是研究垂直问题的关键所在，最后不容易直接处理的最值问题可考虑向量法计算后得解.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知单位向量a ，b满足|2|a b -=，则a 与b 的夹角为________．【答案】3π（或写成60︒）【解析】【分析】将等式|2|a b -=两边平方即可.【详解】因为222|2|443a b a a b b -=-⋅+=，所以12a b ⋅= ，所以1cos ,2a b 〈〉=r r ，[],0π,3a b a b π∈=，，．故答案为：3π.13.已知函数()2,0,ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩若()f x 在点()()1,1f 处的切线与点()()00,x f x 处的切线互相垂直，则0x =______．【答案】12-##0.5-【解析】【分析】分别求出函数在两段上的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切线垂直得解.【详解】当0x >时，1()0f x x'=>，所以(1)1f '=，且点()()00,x f x 不在ln y x =上，否则切线不垂直，故00x ≤，当0x <时，()2f x x '=，所以00()2f x x '=，由切线垂直可知，0211x ⨯=-，解得012x =-.故答案为：12-14.设椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的焦距，它们的离心率分别为1e ，2e ，椭圆1C 的焦点为1F ，2F ，1C ，2C 在第一象限的交点为P ，若点P 在直线y x =上，且1290F PF ∠=︒，则221211e e +的值为______．【答案】2【解析】【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c ，先根据题意得出点P 的坐标()0c >，再将点P 分别代入椭圆和双曲线的方程中，求离心率，即可得解.【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c ，则2222221122,a b c a b c +=-=，又1290F PF ∠=︒，所以121||||2OP F F c ==，又点P 在第一象限，且在直线y x =上，所以22,22P c c ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，又点P 在椭圆上，所以22221122221c c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即22222112c c a a c +=-，整理得422411240a a c c -+=，即22211112410e e ⎛⎫⋅-⋅+= ⎪⎝⎭，解得2114242e ±±==，因为101e <<，所以21122e =，同理可得点P 在双曲线上，所以22222222221c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，即22222222c a c a c -=-，解得2122e -=，所以22121122222e e +-+=+=.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可拋掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分：若点数之和不等于7，则获得2个积分．（1）记两次点数之和等于7为事件A ，第一次点数是奇数为事件B ，证明：事件A ，B 是独立事件；（2）现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X 的分布列和期望．【答案】（1）证明见解析（2）分布列见解析；152【解析】【分析】（1）根据古典概型分别计算(),(),()P A P B P AB ，由()P AB ，()()P A P B 的关系证明；（2）根据n 次独立重复试验模型求出概率，列出分布列，得出期望.【小问1详解】因为两次点数之和等于7有以下基本事件：()()()()()()1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1共6个，所以()61366P A ==，又()12P B =．而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是()()()163452,,,,,共3个，所以()313612P AB ==，故()()()P AB P A P B =，所以事件A ，B 是独立事件．【小问2详解】设三位参与这个活动的顾客共获得的积分为X ，则X 可取6，9，12，15，()30311256C 16216P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()21311759C 166216P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()223151512C 166216P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331115C 6216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以分布列为：X691215P12521675216152161216所以()12575151156912152162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16.设()sin cos cos f x x x a x =+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）若1a =，求()f x 的值域；（2）若()f x 存在极值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0,4⎡⎢⎣⎦（2）()1,-+∞【解析】【分析】（1）求导，得()()()sin 12sin 1f x x x =-+-'，即可根据π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭判断导数的正负确定函数的单调性，求解极值点以及端点处的函数值即可求解，（2）将问题转化为()0f x '=在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即可分离参数得12sin sin a x x=-，利用换元法，结合函数单调性即可求解.【小问1详解】若1a =，()πsin cos cos 0,2f x x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，，()()()222cos sin sin 2sin sin 1sin 12sin 1f x x x x x x x x =--=--+=-+-'当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,2sin 10x x >-<，则()0f x '>，()f x 单调递增；当ππ,62x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0,2sin 10x x >->，则()0f x '<，()f x 单调递减又π3364f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()01f =，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以()0,4f x ⎡∈⎢⎣⎦，即()f x 的值域为0,4⎡⎢⎣⎦【小问2详解】()222cos sin sin 12sin sin f x x x a x x a x =--=--'．()f x 存在极值点，则()0f x '=在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即12sin sin a x x =-有解．令sin t x =，则12a tt =-在()0,1t ∈上有解．因为函数12y t t=-在区间()0,1上单调递减，所以()1,a ∞∈-+，经检验符合题意．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．（1）求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；（2）若三棱柱111ABC A B C -的体积为1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【小问1详解】分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB AO ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．【小问2详解】因为三棱柱111ABC A B C -的体积为1263AO =，以E 为坐标原点，EA 为x 轴正方向，EB 为y 轴正方向，过点E 且与1OA 平行的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则)()()1,0,1,0,0,1,0,,0,33AB C A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面11AA B B 的法向量1n，因为()1,,0,33AB AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭．则1110033AB n y AA n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =，可得)1n = ，又11,1,33AC AA AC ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为θ，所以111111sin cos ,3n AC n AC n AC θ⋅====.18.设抛物线()2:20C y px p =>，直线=1x -是抛物线C 的准线，且与x 轴交于点B ，过点B 的直线l与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，()1,A n 是不在直线l 上的一点，直线AM ，AN 分别与准线交于P ，Q 两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）证明：BP BQ =：（3）记AMN △，APQ △的面积分别为1S ，2S ，若122S S =，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析（3）10x ±+=【解析】【分析】（1）根据准线方程可得p ，即可求解；（2）设l ：1x ty =-，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与抛物线，得出根与系数的关系，再由直线的相交求出,P Q 坐标，转化为求0P Q y y +=即可得证；（3）由（2）可得2S PQ =，再由112S MN d =，根据122S S =可得t ，即可得解.【小问1详解】因为=1x -为抛物线的准线，所以12p=，即24p =，故抛物线C 的方程为24y x=【小问2详解】如图，设l ：1x ty =-，()()1122,,,M x y N x y ，联立24y x =，消去x 得2440y ty -+=，则()2Δ1610t =->，且121244y y ty y +=⎧⎨=⎩，又AM ：()1111y ny n x x --=--，令=1x -得()1121,1y n P n x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭，同理可得()2221,1y n Q n x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭，所以()()()()12121212222221122P Q y n y n y n y n y y n n n x x ty ty ⎡⎤----+=-+-=-+⎢⎥----⎣⎦()()()()()()1221122222222y n ty y n ty n ty ty --+--=--⋅-，()()()212122212124248882202444ty y nt y y nn nt n n t y y t y y t --++-=-=-=-++-，故BP BQ =.【小问3详解】由（2）可得：()()122122222y n y n S PQ ty ty --==-=--1112222S MN d nt ==⨯-，由122S S =，得：212t-=，解得t =，所以直线l 的方程为10x ±+=．【点睛】关键点点睛：本题第二问中直线较多，解题的关键在于理清主从关系，据此求出,P Q 点的坐标（含参数），第二个关键点在于将BP BQ =转化为,P Q 关于x 对称，即0P Q y y +=.19.设p 为素数，对任意的非负整数n ，记0101kk n a p a p a p =++⋅⋅⋅+，()012p k W n a a a a =+++⋅⋅⋅+，其中{}()0,1,2,,10i a p i k ∈⋅⋅⋅-≤≤，如果非负整数n 满足()p W n 能被p 整除，则称n 对p “协调”．（1）分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；（2）判断并证明在2p n ，21p n +，22p n +，…，()221p n p +-这2p 个数中，有多少个数对p “协调”；（3）计算前2p 个对p “协调”的非负整数之和．【答案】（1）194，196对3“协调”，195对3不“协调”（2）有且仅有一个数对p “协调”，证明见解析（3）522p p -【解析】【分析】（1）根据n 对p “协调”的定义，即可计算()()()333194,195,196W W W ，即可求解，（2）根据n 对p “协调”的定义以及整除原理可证明引理，证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”，即可根据引理求证．（3）将()22222,1,2,,1p n p n p n p n p +++- 这2p 个数分成p 组，每组p 个数，根据引理证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”，即可求解.【小问1详解】因为012341942313031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3194210126W =++++=，012341950323031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3195020125W =++++=，012341961323031323=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以()3196120126W =++++=，所以194，196对3“协调”，195对3不“协调”.【小问2详解】先证引理：对于任意的非负整数t ，在(),1,2,,1pt pt pt pt p +++- 中有且仅有一个数对p “协调”．证明如下：设012012kk pt b p b p b p b p =++++ ，由于pt 是p 的倍数，所以00b =，所以01212k k pt j jp b p b p b p +=++++ ，即pt j +对于0p 这一项的系数为()01j j p ≤≤-，所以()()()1201p k W pt j b b b j j p +=++++≤≤- ，根据整除原理可知，在()()01p W pt j j p +≤≤-中有且仅有一个数能被p 整除，所以在(),1,2,,1pt pt pt pt p +++- 中有且仅有一个数对p “协调”．接下来把以上2p 个数进行分组，分成以下p 组（每组p 个数）：()()()()()()22222222222221211221111121p n p n p n p n p p n p p n p p n p p n p p n p pp n p p p n p p p n p +++-++++++-+-+-++-++-根据引理可知，在以上每组里恰有1个数对p “协调”，所以共有p 个数对p “协调”．【小问3详解】继续考虑()22222,1,2,,1p n p n p n p n p +++- 这2p 个数分成p 组，每组p 个数：()()()()()()22222222222221211221111121p n p n p n p n p p n p p n p p n p p n p p n p pp n p p p n p p p n p +++-++++++-+-+-++-++-由（2）的引理可知每一行里有且只有一个数对p “协调”，下面证明每一列里有且仅有一个数对p “协调”．证明如下：设某一列第一个数为()201,01p n t n p t p +≤≤-≤≤-，则20120p n t tp p np +=++，所以()2p W p n t n t +=+，同理当01s p ≤≤-时，()2p W p n sp t n s t ++=++，所以当01s p ≤≤-时，集合{}201p n sp t s p ++≤≤-中的p 个数中有且只有1个数对p “协调”．注意到数阵中每一个数向右一个数增加1，向下一个数增加p ，所以p个数对p “协调”的数之和为：()()()()232112112112p n p p p p np p p ⋅++++-++++-⋅=+- ，进一步，前2p 个对p “协调”的非负整数之和为：()()()22152323011112222p n p p p p p p np p p p -=---⎡⎤=-=⋅+=⎢⎥⎣⎦∑【点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义所给的关系式的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将定义可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
河北省石家庄市2024-2025学年高三上学期10月联考模拟考试数学试题
河北省石家庄市2024-2025学年高三上学期10月联考模拟考试数学试题一、单选题1．若{}21A x x =<，(){}2ln 2B x y x x ==-+，则A B = （）A ．()1,2-B ．[)0,1C ．()0,1D ．()1,0-2．已知数列{}n a 满足1243n n a a +=+，且11a =，则{}n a 的通项公式为（）A ．12123-⎛⎫=- ⎪⎝⎭n n a B ．223+⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a C ．1212113n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭D ．1283-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n a 3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC AB AA ==，120BAC ∠=︒，,,D E F 分别是棱11B C ，BC ，11A C 的中点，则异面直线AD 与EF 所成角的余弦值为（）A ．310B ．10C ．25D ．7104．已知平面向量,m n 满足：2m n == ，且m 在n 上的投影向量为12n ，则向量m与向量n m- 的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，其图象经过点()2,0，且对任意()121,x x ∈+∞、，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则不等式()()10x f x -≥的解集为（）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(][],01,2-∞D ．[][)0,12,+∞6．若函数()2π()sin (0)3f x x a ax a ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭在0,4上有3个零点，则a 的取值范围是（）A ．7π5π,127⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ5π,2,1236⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．ππ5π,2,1236⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭7．已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左右焦点分别为12F F 、，ABD △的三个顶点均在C 上，12F F 、分别落在线段AB AD 、上且AD x ⊥轴，若8,9AD AB ==，则BD =（）.A ．4B ．5C ．6D ．7二、多选题8．下列说法中正确的是（）A ．若函数()f x 为奇函数，则()00f =；B ．在ABC V 中，A B >是sin sin A B >的充要条件；C ．若数列{}n a 为常数列，则{}n a 既是等差数列也是等比数列；D ．若复数2i(i 1iz =-是虚数单位)，则1i.z =--9．设正实数m ，n 满足2m n +=，则（）A ．12m n+的最小值为3B 的最大值为2C的最大值为1D ．22m n +的最小值为3210．如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝π2，∠BAA 1＝2π3，∠CAA 1＝π3，1AB AC ==，12AA =，点O 是1B C 与1BC 的交点，则下列结论正确的是（）A ．11()2AO AB AC AA =++ B．||AO =C ．AO BC⊥D ．平面ABC ⊥平面11B BCC 11．函数()1,03,0e xx x x f x x x +⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，关于x 的方程()()()20f x m f x m -=∈R ，则下列正确的是（）A ．函数()f x 的值域为RB ．函数()f x 的单调减区间为()[),0,1,-∞+∞C ．当12m =时，则方程有4个不相等的实数根D ．若方程有3个不相等的实数根，则m 的取值范围是3,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、填空题12．已知函数()()2πsin ,102log 1,01xx f x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪+<<⎩，且()12f x =-，则x 的值为.13．在棱长为1的透明密闭的正方形容器1111ABCD A B C D -中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕1BD 旋转，并始终保持1BD 所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且202320242022S S S <<.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .给出下列四个结论：①20230a <；②2022202320242025a a a a >；③使0n S <成立的n 的最大值为4048；④当2023n =时，n T 取得最小值.其中所有正确结论的序号是.四、解答题15．在锐角ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B ，C 的对边，且()2sin 2sin a A b c B =-+()2sin c b C -.(1)求A 的大小；(2)求cos 2cos B C +的取值范围.16．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的右焦点F 在直线210x y +-=上，A ，B 分别为C 的左、右顶点，且3AF BF =.(1)求C 的标准方程；(2)是否存在过点()1,0G -的直线l 交C 于M ，N 两点，使得直线BM ，BN 的斜率之和等于-1？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.17．已知函数()21ln (R)2=-+∈f x x a x b a ．(1)若2a =-，12b =-，求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程(2)讨论函数()f x 的单调性(3)若20a -≤<，对任意两个不同的(]12,0,2x x ∈，不等式()()121211f x f x m x x -≤-恒成立，求m 的最小值．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面PCD ？若存在，求的值；若不存在，说明理由.19．记数列中前k 项的最大值为k b ，则数列称为的“最值数列”，由所有n b 的值组成的集合为C .设的“最值数列”的前n 项和为n S .(1)若()89nn a n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且C 中有3个元素，求a 的取值范围；(2)若数列{}{},n n a b 都只有4项，为的“最值数列”，满足{}()2,4,6,81,2,3,4k a k ∈=且存在{}1,2,3,4i ∈，使得8i b =，求符合条件的数列的个数；(3)若πsin2n n a n =，求()1234,,,,3n S S S S n ≥ 中能被2整除且不能被4整除的个数.。
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2016年六月阶段性考试 九年级数学试题卷
本试卷共24小题，满分120分，考试时间120分钟．
注意事项:
本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．
一、选择题(在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定
的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号. 本大题共15小题，每题3分，计45分) 1．在2-，1-，0，2这四个数中，最小的数是（ ）．
A.－2
B.1-
C.0
D.2
2．冰箱冷冻室的温度为-6℃，此时房屋内的温度为20℃，则房屋内的温度比冰箱冷冻室的温度高（ ）．
A.26℃
B.14℃
C.-26℃
D.-14℃
3．我市大约有34万中小学生参加了“廉政文化进校园”教育活动，将数据34万用科学记数法表示，正确的是（ ）. A.0.34×10
5
B.3.4×105
C.34×105
D.340×105
4. 如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的（ ）. A.轴对称性 B.用字母表示数 C.随机性 D.数形结合
5.一个圆锥体按如图所示摆放，它的主视图是（ ）.
6.甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数均是8.9环，方差分别
是2222
0.55,0.65,0.50,0.45,s s s s ====乙甲丙丁则成绩最稳定的是（ ）．
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁 7.下列运算正确的是（ ）．
A.2x ·
63x x = B.x x x =÷56 C.6
42)(x x =- D.532x x x =+
8.下列式子中，x 的取值范围为x ≠3的是（ ）． A. x-3 B.
13x + C. 1
3
x - D.3x -
(A)
(B)(C)(D)题
第4题
9.按图1的方法把圆锥的侧面展开，得到图2，其半径OA ＝3，圆心角∠AOB ＝120°，则弧AB 的长为（ ）.
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
10．如图，直线1l ∥2l ，1∠=35°，2∠=75°，则3∠等于（ ）．
A.55°
B.60°
C.65°
D.70° 11.正五边形的每个外角等于（ ）．
A.36︒
B.60︒
C.72︒
D.108︒ 12.下列说法正确的是（ ）．
A.若明天降水概率为50%，那么明天一定会降水
B.任意掷一枚均匀的1元硬币，一定是正面朝上
C.任意时刻打开电视，都正在播放动画片《喜洋洋》
D.本试卷共24小题
13.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率为（ ）． A.
51 B.52 C.53 D.5
4
14. 如图，矩形OAB C 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（2，1）．如果将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转180°，旋转后的图形为矩形OA 1B 1C 1，那么点B 1的坐标为（ ）．
A. （2，1）
B. （－2，1）
C. （－2，－1）
D.（2，－1）
15
y=x
m 3
-在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（ ）．
(第10题)
l 1
第9题
图1
B
题) (D)
(C)
(B)
(A)-2-14
32-2-1432-2-14
32-2-14
320110
1010
二.解答题（共9小题，计75分）
16. (本题6分) 先将代数式1
1
)(2
+⨯
+x x x
化简，再从－1，1两数中选取一个适当的数作为x 的值代入求值．
17．(本题6分) 解不等式组：135
432
x x x x +<+⎧⎨
>-⎩
18．(本题7分) 伍家区重视教育，办学条件日益改善，每所学校都配备了直饮水设备，直饮水设备接通电源就进入自动程序，开机加热时水温每分钟上升10℃，加热到100℃后停止加热，水温开始下降，此时水温y (℃)与开机后用时间x(min)成反比例关系．直至水温降至30℃，又自动开机加热．若在水温为30℃时，接通电源后， 水温y (℃)和时间x (min)的关系如图所示．
（1）求第一次开机加热多少分钟，水温达到100℃; (2) 求直饮水设备第二次开机加热的时间。
19．（本题7分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率． （3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．
20．(本题8分) 如图，菱形ABCD 中，DF ⊥AB 交AC 于点E ，垂足为F ，EF=2，DE=4， (1)求BE 的长度 (2)求菱形ABCD 的面积。
21.(8分)如图，直线y=x+b （b ≠0）交坐标轴于A 、B 两点，交双曲线y=于点D ，从点D
分别作两坐标轴的垂线DC 、DE ，垂足分别为C 、E ，连接BC 、OD ． （1）当b=﹣1时，求出点D 坐标并判断四边形OBCD 的形状； （2）当b 为任意实数时（b ≠0）， ①求证：AD 平分∠CDE ； ②求AD •BD 的值．
E
F
C
D
22．(本题10分) 某市为了创建特大城市，不断改善环境，新修和改建了丁家坝森林公园、磨基山公园、城东公园、求雨台公园等园林绿化项目．2014年新修和改建公园的建设总费用共10亿元，其中新修公园费用比改造公园费用多50%，改造公园每亩的费用是新修公园每亩的费用的一半，改造公园的面积比新修公园的面积多500亩．
(1)求2014年新修公园的费用和面积；
(2)据相关部门测算，2015年和2016年每年改造公园的面积比上一年减少400亩，2016年新修和改建公园的建设总费用达到12.54亿元．若2014年至2016年改造公园每亩的费用和新修公园每亩的费用都不发生变化，求2015年、2016年新修公园的面积平均每年比上一年增长的百分数．
23．(本题11分) 四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AD=8，EB、EC是⊙O的两条，切点分别为B、C，P是边AB上的动点，连接DP．
（1）如图1，当点P与点B重合时，连接OC．
①求∠E的度数；②求CE的长度；
（2）如图2，当点P在AB上，且AP＜AB时，过点P作FP⊥DP于点P，交BE于点F，连接DF．①试判断DP与FP之间的数量关系，并说明理由；②若，求DP的长度．
24、如图，平行于x轴的直线AB与直线OB：y1=kx相交于点B，C为OB的中点，以C 为顶点的抛物线y2=x2+bx+经过点A、B，直线CD⊥x轴于点D．
（1）求点A的坐标及b的值；
（2）将抛物线平移，得到的抛物线y3经过点A、D，与直线OB交于点E、F，当x为何值时，|y3﹣y1|的值随x的增大而减小？
（3）将抛物线再次作适当的平移，得抛物线y4=（x﹣h）2，若2＜x≤m时，y4≤kx恒成立，求m的最大值．。