关于平面性质三个公理

理解平面性质三个公理
初学立体几何，首先学习的是平面性质的三个公理．但是多数同学却因感觉三个公理简单，而未进行深入学习，从而造成对基础知识理解不透，学习受阻．针对这种情况，下面就这三个公理的理解及应用加以说明，以期对同学们的学习有所帮助．
一、公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
1．理解：公理1强调的是直线与平面的结合关系，从集合角度看，这个公理就是说：如果一条直线（点集）上有两点（元素）在（属于）一个平面（点集）内，那么这条直线在此平面内．也就是直线的点集是平面的点集的真子集．该公理的集合表示为：A α∈且B α∈⇒直线AB α⊂．
2．应用：公理1可用于判断直线是否在平面内，更多的是用于证明多线共面．
3．应用举例
例1 如图1，已知直线l 与四边形ABCD 的三边分别交于点P Q R ，，，求证：ABCD 为平面四边形．
证明：∵A B D ，，三点不共线，
∴A B D ，，确定一个平面α．
∵P AB ∈，Q AD ∈，
∴P α∈，Q α∈．
∴l α⊂，∴R α∈，
又∵D α∈，
∴DR a ⊂，而C DR ∈，
∴C α∈，
∴A B C D ，，，四点共面．
∴四边形ABCD 为平面四边形．
二、公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
1．理解：公理2强调的是确定平面的条件，应牢记：“不在一条直线上”和“三点”两个要点，同时对结论中的“有且只有一个”要理解透彻，“有”表示图形存在，“只有一个”表示图形唯一．
2．应用：公理2可用于确定平面的个数，又可用于证明多线共面或多点共面．
3．应用举例
例 2 设αβ，是两个不重合的平面，在α上任取三个点，在β上任取两个点，由这五个点中的三个点所确定的平面最多是_________个．
解：（1）若在α上任取一个点，在点β上任取两个点，则确定3个平面；
（2）若在α上任取两个点，在β上任取一个点，则确定6个平面；
（3）若仅在α上取三个点，则确定1个平面．
综上由这五个点中的三个点所确定的平面最多是10个．
例3 如图2，在正方体1111-ABCD A B C D 中，E F ，分别是棱11AA CC ，的中点．
求证：1D E B F ，，，四点共面．
证明：连结1D E 并延长，交DA 延长线于G ，连结1D F 并延长，交DC 延长线于H ，连结BG 、BH ．
∵E 为1AA 的中点，∴AG AD AB ==，
∴45ABG =∠，同理45CBH =∠．
又∵90ABC =∠，
∴180ABG ABC CBH ++=∠∠∠．
∴G B H ，，三点共线．由1D 与GH 确定平面，则1D G 、1D H 在这个平面内，所以1D ，E ，B F ，四点共面．
三、公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
1．理解：公理3强调的是两个不重合平面的结合关系，从集合角度看，这个公理就是说：两个平面（点集）若有一个公共点（元素），那么这两个平面（点集）还有其它无数个公共点（元素），即这两个集合的交集是无限集，且交集（点集）是一条过这个公共点的直线（点集）．该公理的集合表示为：P l αβαβ∈⇒=且P l ∈．
2．应用：该公理可用于证明多点共线．
3．应用举例
例4如图3，在空间四边形ABCD的边AB BC CD DA
，，，上分别取
，相交于一点P．证明：点P一定在直线AC上．，，，四点，如果EF GH
E F G H
证明：∵E F∈
，平面ABC，
∴EF⊂平面ABC，
又P EF
∈，
∴EP⊂平面ABC，
同理HP⊂平面ADC，
故点P是平面ACD与平面ABC的公共点，由公理3，P点在两平面ABC与平面ADC的公共线AC上．。