周振荣版拓扑学第2章拓扑空间 课后答案

Proof. 提示：运用闽可夫斯基不等式．
练 习0.9. 设(X, d)和(Y, d )为 度 量 空 间 ，f : X → Y ，x0 ∈ X． 如 果∀ε > 0，∃δ > 0，使得当x ∈ X，且d(x, x0) < δ时，d (f (x), f (x0)) < ε，则称f 在x0处 连续；如果f 在X的每一点处连续，则称f 为连续映射．证明：设(X, d)和(Y, d )是 度量空间，f : X → Y 是一映射，则f 连续⇔ ∀U ∈ Td ，都有f −1(U ) ∈ Td．
练习0.6. 设(X, T )为拓扑空间，∞ ∈/ X，令X∗ = X ∪ {∞}，T ∗ = T ∪ {X∗}． （Ｑ）验证T ∗为X∗上的拓扑；（Ｒ）指出∞ ∈ X∗的开邻域系．
Proof. （Ｑ）｡．显然∅ ∈ T ∗，X∗ ∈ T ∗； ｢．∀U1, U2 ∈ T ∗，若它们中有一个是X∗，不妨设U1 = X∗，则U1 ∩ U2 =
λ∈Λ
｡．显然∅, X ∈ T ；
｢．∀U1, U2 ∈ T ，则U1, U2 ∈ Tλ，由于Tλ是拓扑，有U1 ∩ U2 ∈ Tλ，所
以U1 ∩ U2 ∈ T ；
｣．∀A ⊆ T ，则A ⊆ TFra Baidu bibliotek，由于Tλ是拓扑，有 U ∈ Tλ，从而 U ∈
T．
U ∈A
U ∈A
练习0.3. 举例说明X上两个拓扑之并不一定是X上的拓扑．
第二章练习题
练习0.1. 设X = {a, b, c}，写出X上的所有拓扑． Proof. （仅供参考）
（Ｑ）零单 零单零双（平庸拓扑）：T1 = {∅, X}； 零单一双：T2 = {{a, b}, ∅, X}；T3 = {{a, c}, ∅, X}；T4 = {{b, c}, ∅, X}; 零单两双：无； 零单三双：无； （Ｒ）一单 一单零双：T5 = {{a}, ∅, X}；T6 = {{b}, ∅, X}；T7 = {{c}, ∅, X}; 一单一双：T8 = {{a}, {a, b}, ∅, X}；T9 = {{a}, {a, c}, ∅, X}； T10 = {{a}, {b, c}, ∅, X};
Proof. 提示：运用闽可夫斯基不等式．
练习0.8. 设I ⊆ R为有界闭区间，X是I上所有连续函数的集合．对任意f, g ∈ X ，令
d1(f, g) = max |f (x) − g(x)|,
x∈I
ˆ
1
2
d2(f, g) = |f (x) − g(x)|2dx ,
I
证明d1, d2满足三角不等式．
Proof. 如上例中的T12和T13之并不是拓扑，因为{b, c}∩{a, c} = {c}不属于T12和T13之 并．
练习0.4. 分别写出平庸、离散、余有限、余可数、有心、去心拓扑空间的闭集 族．
Proof. 略．
练习0.5. 设X = {a1, a2, · · · , an}．令Ai = {a1, · · · , ai}，i ∈ {1, 2, · · · , n}，T = {∅, A1, A2, · · · An}．（Ｑ）验证T 是X上的拓扑；（Ｒ）指出ai的开邻域系．
T11 = {{b}, {b, a}, ∅, X}; T12 = {{b}, {b, c}, ∅, X}; T13 = {{b}, {a, c}, ∅, X};
T14 = {{c}, {c, b}, ∅, X}; T15 = {{c}, {c, a}, ∅, X}; T16 = {{c}, {a, b}, ∅, X}; 一单两双：T17 = {{a}, {a, b}, {a, c}, ∅, X}；
U2 ∈ T ∗；若它们都不是X∗，则U1, U2 ∈ T ，由于T 是拓扑，所以U1 ∩ U2 ∈ T ⊆ T ∗；
｣．任取A ⊆ T ∗，若X∗ ∈ A，则 U = X∗ ∈ T ∗；若X∗ ∈/ A，则A ⊆
U ∈A
T ，由于T 是拓扑，有 U ∈ T ⊆ T ∗．
U ∈A
（Ｒ）设∞ ∈ X∗的开邻域系为U∞，则U∞ = {X∗}．
Ｓ
练习0.7. （Ｑ）设
1
n
2
d1(x, y) =
(xi − yi)2 ,
i=1
其中x = (x1, · · · , xn)，y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn，证明d1是Rn的度量．
（Ｒ）设
1
∞
2
dH (x, y) =
(xi − yi)2 ,
i=1
其中x = (x1, · · · , xn, · · · ), y = (y1, · · · , yn, · · · ) ∈ l2，证明dH 是l2的度量．
Ｑ
Ｒ
两单三双：无； （Ｔ）三单 三单零双：无； 三单一双：无； 三单两双：无； 三单三双（离散拓扑）：
T29 = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, ∅, X}.
练习0.2. 证明X上任意一族拓扑之交仍是X上的拓扑．
Proof. 设{Tλ|λ ∈ Λ}是X的一族拓扑，T = Tλ．
Proof. （Ｑ）｡．显然∅ ∈ T ，X = An ∈ T ； ｢．∀Ai, Aj ∈ T ，Ai ∩ Aj = Ak ∈ T ，这里k = min{i, j}； ｣．∀Ai, Aj ∈ T ，Ai ∪ Aj = Ak ∈ T ，这里k = max{i, j}． （Ｒ）ai的邻域系Uai = {Aj|j = i, i + 1, i + 2, · · · , n}．
T18 = {{b}, {a, b}, {b, c}, ∅, X}; T19 = {{c}, {a, c}, {b, c}, ∅, X};
一单三双：无； （Ｓ）两单 两单零双：无； 两单一双：T20 = {{a}, {b}, {a, b}, ∅, X}；
T21 = {{a}, {c}, {a, c}, ∅, X}; T22 = {{b}, {c}, {b, c}, ∅, X};
两单两双：T23 = {{a}, {b}, {a, b}, {a, c}, ∅, X}；
T24 = {{a}, {b}, {a, b}, {b, c}, ∅, X};
T25 = {{a}, {c}, {a, c}, {a, b}, ∅, X}; T26 = {{a}, {c}, {a, c}, {b, c}, ∅, X}; T27 = {{b}, {c}, {b, c}, {a, b}, ∅, X}; T28 = {{b}, {c}, {b, c}, {a, c}, ∅, X};