对称算式的奥秘

对称算式的奥秘

周四在淮海堂听课，来自南京的张冬梅老师上了四年级《两位数乘两位数的练习与思考》一课。主要是带领学生探索“对称”算式的奥秘。这里所谓的“对称”算式，指的是如：64×39和93×46，把这样的算式称为“对称”算式，用张老师规范的语言说，就是“读音对称”。

课上，学生先探索老师“精心”准备的三道算式（另两道是21×36、41×28），然后发现对称的算式乘积相等，然后得出结论：两个对称算式的积相等。然后老师发疑：是不是都是这样呢？又给出一道：84×36，验证后结果还是相等。应该说，老师这里的设计比较高明，并不是一上来就给出反例，而是貌似随便给出一个，其实也是正例，加深了学生的印象。至此，全班对此结论深信不疑（当然，也不排除有想法的，但都淹没在集体的浪潮之中了）。

随后，老师通过一个故事，树立质疑思想。学生开始动摇了，然后再去小组举反例。结果，全班每个组均举出了反例。形势发生了逆转，从刚才的赞同的一边倒，到现在反对的一边倒。

当然，老师并没有就此罢休，而是引导学生反思：为什么刚才几道算式乘积会相等。应该说，学生的潜能和积极性通过这样一波三折的思维锤练已经被充分调动起来了，很快，就有学生发现了问题的关键：两个乘数十位上数字相乘的积等于个位上数字的积。于是，得到最终正确的结论。

常有人说，数学是思维的体操（这句话的原创好象是前苏联的加里宁），这节课，学生的思维得到了充分的锻炼，从刚开始的猜想，初步验证正确，然后质疑，再进行补充，最终得到正确的结论，完整地呈现了一个研究的全过程。这也对应着2011版课标提出的“四能”：从发现问题、提出问题，再到分析问题、解决问题。相信这个班的同学今后思维的缜密性定会加强，也懂得了如何去研究一个问题。

听完课回到学校，我又专门翻了一下教材，发现四年级上册教材中并没有这个内容，而两位数乘两位数这一内容在新版苏教版教材中，被放在了三年级下册的第一单元，这一单元之后是专题实践活动《探索规律》，探索的是另外两种比较有趣的两位数乘两位数的乘法的规律：乘11和首同尾合十。因此，看来这一内容是张老师结合教材开发的，虽然教材上没有，但无疑对培养学生的思维、形成良好的探究学习品质是大有裨益的。而且这一课计算的量也很大，对两位数乘法是个很好的练习，以后可以在三下补充这一内容。

最后，作为老师，我们当然还有必要探究一下为什么十位上数字相乘的积等于个位上数字的积的对称算式乘积会相等。让我们用字母来表示，用10a+b和10c+d分别表示两个两位数，则对称的两个算式分别是：（10a+b）×（10c+d）与（10d+c）×（10b+a），它们的积分别是：

（10a+b）×（10c+d）=100ac+10ad+10bc+bd

（10d+c）×（10b+a）=100bd+10ad+10bc+ac

两个式子中都有10ad+10bc，只要看100ac+bd与100bd+ac的和就行了。如果十位上数字相乘的积等于个位上数字的积，即ac=bd，那么显然这两个结果是相等的，于是就得到了结论。