对称算式的奥秘
四年级上第三单元有趣的算式
四年级上第三单元有趣的算式在四年级上册的数学学习中，第三单元的有趣算式就像一个个神秘的宝藏，等待着我们去探索和发现。
这些算式不仅充满了趣味，还蕴含着许多数学的奥秘和规律。
让我们先来看看一些简单的有趣算式。
比如，1×1 ＝ 1，11×11 ＝121，111×111 ＝ 12321。
是不是很神奇？当我们逐渐增加数字 1 的个数，再进行乘法运算时，结果呈现出一种美妙的对称规律。
再来看一个例子，9×9 ＝ 81，99×99 ＝ 9801，999×999 ＝ 998001。
这里面似乎也隐藏着某种规律，随着乘数中 9 的个数增加，积的数字变化也有着独特的模式。
这些有趣的算式能够帮助我们更好地理解乘法的本质。
在计算过程中，我们需要运用乘法口诀，同时还要注意数位的对齐和进位。
通过对这些算式的观察和计算，我们能更熟练地掌握乘法运算，提高计算的准确性和速度。
有趣的算式还能培养我们的观察能力和逻辑思维能力。
当面对一组算式时，我们需要仔细观察数字之间的关系，尝试找出其中的规律。
这就像是在玩一场解谜游戏，每一个发现都能让我们感到兴奋和满足。
比如说，有这样一组算式：2×5 ＝ 10，22×55 ＝ 1210，222×555 ＝123210。
通过观察，我们可以发现，积的数字是从 1 开始递增，然后再递减，最后加上一个 0。
这种规律的发现，需要我们用心去思考和总结。
在探索有趣算式的过程中，我们还可以尝试自己创造一些算式。
比如，以 3 为基础，构造出 3×3 ＝ 9，33×33 ＝ 1089，333×333 ＝110889 这样的算式，然后看看是否也能找到类似的规律。
不仅如此，有趣的算式还能与生活中的实际问题相结合。
比如，在购物时计算总价，或者在分配物品时计算数量。
如果我们能够灵活运用这些算式中的规律，就能更轻松地解决问题。
算式的变形解析等式的奥秘
算式的变形解析等式的奥秘在数学中，算式的变形是一种常见的操作，它的目的是通过改变算式的形式来求解等式。
然而，背后隐藏着一些深奥的数学原理和规律。
本文将对算式的变形进行解析，并揭示等式背后的奥秘。
1. 算式的基本原理在进行算式变形时，我们需要遵守一些基本的原理。
首先是等式两边相等的原理，即变形操作必须保证等式两边的值保持相等。
其次是四则运算的基本原理，包括加法、减法、乘法和除法。
通过这些基本原理，我们可以进行算式的变形操作。
2. 算式变形的基本方法算式变形可以通过不同的方法进行，下面将介绍几种常见的变形方法。
2.1 合并同类项在代数中，我们经常会遇到具有相同变量的项。
通过合并这些项，我们可以简化算式，并得到更简洁的结果。
例如，对于表达式2x + 3x，我们可以合并同类项得到5x。
2.2 移项移项是另一种常见的算式变形方法。
当一个变量在等式中位于等号的一边时，我们可以通过移项将它移到等号的另一边。
例如，对于等式2x + 3 = 7，我们可以通过移项得到2x = 7 - 3，进一步简化为2x = 4。
2.3 因式分解在代数中，我们经常需要将多项式分解为更简单的形式。
因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式。
如对于表达式x^2 + 3x + 2，我们可以将其因式分解为(x + 1)(x + 2)。
2.4 公因数提取有时候，多项式中的各项可能存在相同的因数，这时我们可以通过公因数提取来简化算式。
例如，对于表达式2x + 4，我们可以提取公因数得到2(x + 2)。
3. 等式的奥秘等式是数学中的一个重要概念，它们告诉我们两个表达式是相等的。
然而，等式背后隐藏着一些奥秘。
3.1 等式的对称性等式具有对称性，即等式的两边互换位置后仍然成立。
例如，对于等式2x = 10，我们可以通过对称性得到10 = 2x。
这种对称性在进行算式变形时非常有用，可以帮助我们找到求解等式的更简单的方式。
3.2 等式解的唯一性对于一元一次方程式，等式解是唯一的。
“对称”解题，出奇制胜
“对称”解题，出奇制胜奋斗中学高三0409班 王圣珏 指导教师：李国梅德国大数学家H ·外尔以传世逸品《对称》闻名于世，H ·外尔说：“对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大。
数学就是它的根本，并且很难找到可以论证数学智慧作用的更好的主题。
”“对称性等于各部分比例之和谐。
”“symme －try=harmony of proportions ”“不对称（as mmetry ）只在罕见的情况下才等于没有对称。
”我国数学教师中的英雄和奇才，著名特级教师孙维刚老师生前曾把自己的经验归纳为“四条大规律”，并强调其中“最根本的是广义对称思想”。
的确，“对称”是值得重视的课题。
它涉及数理化，文史哲，体音美，它上通科学堂奥，下达具体的习题演练。
牛顿说过：“在数学里，有时例子比定理更重要”。
本文就想通过一些各具特色的例子，用对称的思想予以解决，以体现“对称”解题的一种独特的创新思维，更体现的是“对称”解题的美、奇、妙！（一）用“对称”的思想解决“对称”的问题例1 证明等腰三角形的底角相等分析：避开常用方法，用对称的观点。
如图1中可认为有△ABC 和△ACB 。
证明：在△ABC 与△ACB 中，因为BC=CB ，AB=AC ，AC=AB ，故△ABC ≌△ACB 。
即得∠B=∠C 。
妙！绝!例2 解关于x 的方程1x ―1a ―1b =1x a b--时，有人通过去分母，整理成一元二次方程，解得1x =a ，2x a b =-，你认为正确吗？分析：1x =a 显然是方程的解，注意到原方程关于a ，b 对称（将a ，b 互换，方程不变），可知应有2x b =，而不是2x a b =-。
例3 解方程x =……（无穷多重根号）分析：由于根号有无穷多重，具有平移对称性。
故有x =2x =。
例4 设,,x y z R ∈，1x y z ++=，求证：222x y z ++≥13。
分析：平均数可以认为是“对称中心”。
算式的奥秘探索算式中的奥秘数学规律
算式的奥秘探索算式中的奥秘数学规律算式的奥秘探索——算式中的数学规律数学一直以来都是人们感到神秘的领域之一。
而算式作为数学的一种表达方式，更是充满了奥秘和魅力。
在本文中，我们将探索算式中隐藏的数学规律，揭开其中的奥秘。
一、算式的基本元素在我们探索算式的奥秘之前，先让我们了解一下算式的基本元素。
算式由数字、运算符号和等号组成。
数字代表了具体的数量，运算符号则表示了不同的运算方式，而等号则表明了算式的两边是相等的。
例如，2 + 3 = 5，这个算式中，数字2和3是被加的数，加号“+”表示了加法运算，等号“=”则表示了两边的结果相等。
二、加减乘除的关系我们经常在算式中见到加减乘除四种运算符号，它们之间存在着一定的数学规律和关系。
1. 加法与减法加法和减法是两种互为逆运算的运算方式。
具体来说，对于任意数字a和b，有以下规律：a +b = b + a，即两个数字相加的结果与加法顺序无关。
a -b ≠ b - a，即两个数字相减的结果与减法顺序相关。
例如，3 + 4 = 4 + 3 = 7，但是3 - 4 ≠ 4 - 3。
2. 乘法与除法乘法和除法也是两种互为逆运算的运算方式。
对于任意数字a和b，有以下规律：a ×b = b × a，即两个数字相乘的结果与乘法顺序无关。
a ÷b ≠ b ÷ a，即两个数字相除的结果与除法顺序相关。
例如，2 × 5 = 5 × 2 = 10，但是2 ÷ 5 ≠ 5 ÷ 2。
三、算式的简化在算式中，我们经常遇到一些复杂的形式，但是我们可以通过一定的数学规律对算式进行简化。
1. 合并同类项当算式中存在多个相同的项时，我们可以将其合并为一个项。
例如，对于算式2x + 3x，由于两个项的系数相同，我们可以将其合并为5x。
类似地，在算式中，我们还可以合并同类的常数项。
例如，对于算式4 + 7 + 9，我们可以将其合并为20。
微专题—对称两下的奥妙 (1)
对称两下的奥妙—对称性与周期性的联系【知识回顾】函数性质是用来描述函数的，包括定义域、值域、单调新、奇偶性、对称性、周期性等.如果单独去研究某个函数性质，我们可以仅仅抓住相关性质的概念去探讨，不过在高考中，关于函数性质的考查都会同时对2-3个性质进行考查，这样一来的话，题目的难度就会上升很多，不过万变不离其宗，不管同时考查几个函数性质，我们在研究函数题如果可以把相关的函数性质都研究出来，那这样的函数题在我们面前就是纸老虎一只，本节微专题先来研究周期性与对称性结合起来进行求相关考查的问题.【典型例题】例1（苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2020届高三上学期期末考试数学试卷）12.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当]1,0(∈x 时，()e ax f x =-(其中e 是自然对数的底数)，若(2020ln 2)8f -=，则实数a 的值为 ．解 因为()f x 是奇函数，有()()f x f x -=-，又函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()(2)f x f x -=+， 上述两个式子对比可知(2)()f x f x +=-，由此有(4)(2)f x f x +=-+，可知()(4)f x f x =+，从而可知函数()f x 的周期是4，所以ln 2(ln 2020ln 2)(ln 2)(ln 2)28a a f f f e -=-=-===，所以3a =【解题反思】本题根据函数有两个对称性的性质，一个是关于原点对称(因为是奇函数)，另一个是关于直线对称，通过严谨的代数论证以及周期性的定义得到该函数具有周期性，我们联想到高中阶段最早接触函数的周期性是在三角函数部分，其中的正弦曲线给我们留下的印象非常深刻，非常漂亮的一条曲线，研究性质的话，有对称轴、对称中心、周期性等等.从而得到一下论断：如果一个函数具有两个及以上的对称性，则该函数一定具有周期性，参考正弦函数的对称性与周期性的关系可以得到相应函数的周期，具体如下：如果是已知两条对称轴，则两条对称轴间的距离是半个周期的正整数倍；如果是已知两个对称中心，则两个对称中心间的距离是半个周期的正整数倍；如果已知一个对称中心，一条对称轴，则对称中心到对称轴间的距离为四分之一个周期加半周期的正整数倍.这个结论严格的论证可以参照上面的解题过程去完成.【举一反三】1.（★★★江苏省海门市（海门中学）2020届高三第一次教学质量调研数学试卷12小编改编）己知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，若20x -<≤时，2()2f x x ax =-++，则(2021)f = .2.（★★★★镇江2020届高三上学期第一次八校联考数学试卷12）已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，若当(1,1)x ∈-时1()lg 1x f x x+=-且(2019)1,(01)f a a -=-<<，则实数a = ．3.（★★★★★南京2020届高三第一学期12月十校联合调研14）已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-, 且当[]0,4x ∈时()()x xf x =，关于x 的不等式()()20f x af x +>在区间[]400,400-上有且仅有400个整数解，则实数a 的取值范围 .。
对称几何的奥秘与对称性的研究
对称几何的奥秘与对称性的研究对称几何是数学中一个重要的分支，它研究的是物体或图形的对称性质。
对称性在自然界和人类文化中都起着重要的作用，它不仅仅是美的表现，还与物体的结构、功能以及人类认知有着密切的关系。
本文将探讨对称几何的奥秘以及对称性的研究，带领读者一同进入这个精彩的数学世界。
一、对称几何的基本概念对称几何是研究物体或图形的对称性质的数学学科，它关注的是物体在某种变换下保持不变的特性。
在对称几何中，常见的对称变换有平移、旋转和反射。
平移是指将物体按照某个方向移动一定的距离，使其保持形状不变；旋转是指将物体按照某个中心点旋转一定的角度，使其保持形状不变；反射是指将物体沿着某条直线对称，使其保持形状不变。
二、对称几何的应用领域对称几何的研究不仅仅局限于数学领域，它在各个学科和领域中都有广泛的应用。
在物理学中，对称性是研究物质基本粒子和相互作用的重要工具。
在化学中，对称性帮助我们理解分子的结构和化学键的性质。
在生物学中，对称性是研究生物体形态和结构的关键。
在建筑设计和艺术创作中，对称性被广泛运用，使建筑和艺术作品更加美观和和谐。
三、对称几何的奥秘对称几何之所以奥秘，是因为它揭示了自然界和人类文化中普遍存在的对称性原理。
自然界中的很多事物都具有对称性，比如花朵的结构、动物的身体、水晶的形状等等。
对称性不仅仅是美的表现，还与物体的结构和功能有着密切的关系。
许多生物体的对称性有助于它们的生存和繁殖，而对称的建筑和艺术作品也能给人带来美的享受和情感上的满足。
对称几何的奥秘还在于它与人类认知和思维方式的关系。
对称性是人类认知的基础之一，它帮助我们理解和认识世界。
人类对称性的偏好可以追溯到早期人类的文化和艺术作品，比如古代建筑、绘画和工艺品中普遍存在的对称性。
对称性给人一种安全感和满足感，它让我们感受到世界的秩序和和谐。
四、对称性的研究对称性的研究是数学中的一个重要课题，它不仅仅局限于对称几何，还涉及到群论、拓扑学等数学分支。
探索数学中的奇妙对称
探索数学中的奇妙对称数学作为一门抽象而又精确的学科，一直以来都充满了无限的魅力和奥秘。
在数学的世界里，数学家们探索出了许多引人入胜的概念和定理。
其中，对称性被公认为是一种最为重要且深奥的概念之一。
让我们一同来探索数学中的奇妙对称。
一、几何中的对称几何学是研究形状、大小、位置和其他属性的数学分支。
在几何学中，对称性起着重要的作用。
对称可以分为平面对称和中心对称。
平面对称是指一个图形能够经过某个平面的翻转、旋转或滑动而得到自身。
比如正方形，它具有四个平面对称操作，即以中心点、垂直中线、水平中线以及45度对角线为轴，旋转180度或翻转都可以得到原来的正方形。
中心对称则是指一个图形以某个中心为对称中心，任何一点经过这个中心的对称操作都能得到自身。
比如圆形就具有中心对称性，任何一点经过圆心对称后，都能得到圆形。
除了平面对称和中心对称外，还有轴对称、点对称等各种对称形式。
这些不同的对称形式在几何学中起到了重要的作用，以及在实际生活中具有广泛的应用，如建筑设计、工艺制作等。
二、代数中的对称代数学是研究数和运算的关系的学科，对称性在代数中扮演着重要的角色。
在代数学中，对称往往与方程和函数有着密切的联系。
首先，我们来谈谈方程的对称性。
对称方程是指其形式在变换之后依然不变。
比如二次方程 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，如果交换 x、y 的角色或者将 x 变为 -x，y 变为 -y，方程形式不变，那么这个二次方程就具有对称性。
除了方程的对称性，函数的对称性同样也是代数学中的重要概念。
常见的函数对称性包括偶函数和奇函数。
偶函数是指满足 f(x) = f(-x) 的函数。
简单来说，如果一个函数关于y 轴对称，那它就是偶函数。
例如，y = x^2 + 2 是一个典型的偶函数，它的图像在 y 轴上是对称的。
奇函数则是满足 f(x) = -f(-x) 的函数。
通俗地说，如果函数具有原点对称性，那它就是奇函数。
初二奥数精讲——第3讲对称式的因式分解（一）
初二奥数精讲——第3讲对称式的因式分解（一）一、知识点解析因式分解是一种重要的恒等变形，虽然它是初中阶段学习的内容，在高中阶段也有着非常广泛的应用，比如，比较大小，判断函数的单调性，证明不等式，解高次方程、超越方程等，因此，因式分解历来是“高考”和数学竞赛着重考察的热点问题。
1. 基本知识对称多项式：设A是一个多项式，如果将A中两个字母互换，得到的多项式与A恒等，则称A关于这两个字母对称。
如果多项式A关于它所含的任意两个字母都是对称的，则称A是全对称多项式，简称对称多项式。
比如，都是关于x、y对称的多项式，而只有后者才是全对称多项式。
对称多项式的一般形式为（以三次对称多项式为例）：基本对称多项式：考察含有三个字母x、y、z的多项式，则x+y+z、xy+yz+zx、xyz称为基本对称多项式。
对于含有n个字母的多项式，其n个字母的和、n个字母中每取r（r=2,3,…,n）作积的和，称为n元基本对称多项式。
齐次多项式：如果多项式所有项的次数都相等，则称为齐次多项式。
比如，基本对称多项式都是齐次对称多项式。
字母的个数和次数都不超过三的齐次对称多项式具有如下形式：轮换对称多项式：设A是一个关于n个字母的多项式，如果将A 中n个字母任意排列为x1，x2，…，xn，同时将x i+1(i=1,2,…,n; x n+1=x1)，得到的多项式与A恒等，则称A是轮换对称多项式。
显然，对称多项式一定是轮换对称多项式，但反之则不然。
比如，是轮换对称多项式，但不是对称多项式。
轮换对称多项式：设A是一个多项式，如果将A中两个字母互换，得到的多项式与-A恒等，则称A是关于这两个字母的交代多项式。
如果多项式A关于它所含的任意两个字母都是交代对称的，则称A是交代对称多项式，简称交代多项式。
比如，都是交代多项式。
上述一些特殊多项式具有如下一些性质：（1）任何一个对称多项式均可表示成若干基本对称多项式的和。
（2）任何两个对称多项式的和、差、积仍是对称多项式，任何两个轮换对称多项式的和、差、积仍是轮换对称多项式，任何两个齐次多项式的和、差、积仍是齐次多项式。
奥林匹克数学题型对称与计数
奥林匹克数学题型对称与计数奥林匹克数学竞赛是全球著名的数学竞赛之一，它以其高难度和复杂性而闻名。
在这些竞赛中，题目的对称性和计数方法被广泛应用，成为解题的关键。
本文将探讨奥林匹克数学题型中对称与计数的重要性，并分析其应用。
在奥林匹克数学竞赛中，对称性是一种常见的题型特征。
对称可以分为轴对称和中心对称两种情况。
轴对称是指某个直线作为对称轴，题目中的图形或数列在这条轴两侧是完全一致的。
中心对称则是以某个点为中心，题目中的图形或数列在以这个点为中心的对称轴两侧是完全一致的。
对称性在解题过程中具有重要的作用。
首先，对称性帮助简化问题，减少计算量。
通过发现题目中的对称特征，可以将题目条件简化，从而降低了题目的难度。
其次，对称性可以推导出一些结论，为解题提供线索。
通过研究对称的性质，可以得到一些定理或规律，从而帮助我们解决更复杂的问题。
最后，对称性可以用来构造证明或推理的思路。
通过利用题目中的对称性质，可以构建一种严密而简洁的证明过程，从而解决问题。
除了对称性，在奥林匹克数学竞赛中，计数方法也是解题的关键。
计数方法是指通过计数的方式来解决问题。
在奥林匹克数学竞赛中，问题经常涉及到物品的排列组合、集合的划分和选择等，这些都需要运用计数方法来解答。
计数方法有多种形式，包括排列计数、组合计数和选择计数等。
排列计数是指对一组物品进行排列的方式的计数方法，常用的方法有乘法原理和错位排列等。
组合计数是指从一组物品中选择若干个物品组成一个子集的计数方法，常用的方法有组合公式和二项式定理等。
选择计数是指从一组物品中选择满足一定条件的物品的计数方法，常用的方法有鸽巢原理和递归计数等。
计数方法在解题过程中发挥着重要的作用。
首先，它可以用来确定问题的范围和可能性。
通过计数方法，我们可以计算出问题中可能的结果数量，从而为问题的分析提供依据。
其次，计数方法可以用来确定问题的性质和规律。
通过计数方法，我们可以得到一些关于问题的结论，从而帮助我们寻找解题的思路。
奥数对称题的巧解
奥数对称题的巧解奥数对称题的巧解一、关于x=a对称型。
例1：设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为_______________。
巧解：由题可知直线PA与直线PB关于x=2对称，∵PA直线的方程为x-y+1=0 即(x-2)-y+3=0，∴PB直线的方程为(2-x)-y+3=0即x+y-5=0。
总结：一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a0对称的直线方程，先写成a(x-a0)+by+c+aa0=0形式，再写成a(a0-x)+by+c+aa0=0形式，化简后即是所求值。
应用：求与直线3x+4y-12=0关于x=-1对称的直线方程为_____________。
∵3x+4y-12=0写成3(x+1)+4y-15=0，∴直线方程为-3(x+1)+4y-15=0即3x-4y+18=0二、关于y=b对称型。
例2：直线l1与直线l2关于y=3对称，已知l1的方程为x+y-6=0，则l2的方程为________。
巧解：∵l1的方程为x+y-6=0即x+(y-3)-3=0，∴l2的方程为x+(3-y)-3=0即x-y=0总结：一般的`，求与直线ax+by+c=0关于y=b0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b0)+c+bb0=0形式，再写成ax+b(b0-y)+c+bb0=0形式，化简后即是所求值。
应用：求与直线4x+5y-20=0关于y=-2对称的直线方程为_____________。
∵4x+5(y+2)-30=0 ∴直线方程为4x-5(y+2)-30=0即4x-5y-40=0.三、关于y=x对称型。
此类型说明白点就是求反函数，所以用求反函数的方法做，一般情况下，较为简便。
四、关于y=-x对称型。
例3：直线l1与直线l2关于y=-x对称，已知l1的方程为x+y+2=0，则l2的方程为________。
巧解：∵l1的方程为x+y+2=0 ∴l2的方程为-y+(-x)+2=0即x+y-2=0总结：一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=-x对称的直线方程，只需把x换成-y，把y 换成-x，化简后即是所求值。
对称式和轮换对称式的性质及其应用
- ( b - c) a4 - ( c ( a - b) ( b 2 = k ( a + b2 + c2 ) +
4 4 a) b - ( a - b) c c) ( c - a)
故
a b c + + + b+ c+ d c+ d+ a d+ a+ b d a+ b+ c
2
2
2
2
p ( ab + bc + ca) .
c3 d3 + = 49 B - 68 . d+ a+ b a+ b+ c
2. 5 解对称方程组
解对称方程组时 , 可以通过对称替换把原 方程组化简 . 例 8 求方程组 数解 .
故
1
xy + 2 z
+
1
yz + 2 x
+
1
zx + 2 y
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4
中 等 数 学
=
1
( x - 2) ( y - 2) ( y - 2) ( z - 2) ( z - 2) ( x - 2) z- 2+ x- 2+ y- 2 = ( x - 2) ( y - 2) ( z - 2 ) x+y+z- 6 = xyz - 2 ( xy + yz + zx ) + 4 ( x + y + z) - 8
有趣的“数字对称等式”
有趣的“数字对称等式”作者：赵国瑞来源：《初中生之友·中旬刊》2014年第10期在2012年广东省珠海市的中考试卷中，有一道关于“数字对称等式”的趣题，观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”。
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×_____=_____×25；②_____×396=693×_____。
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明。
分析：先观察等式左边两位数和三位数的规律，我们发现：等式左边的三位数的百位和个位数字分别是两位数的个位数字和十位数字，三位数的十位数字等于两位数的十位数字与个位数字之和。
再根据式子的对称性，不难写出等式右边的两位数和三位数。
解：（1）①因为5+2=7，所以左边的三位数是275，右边的三位数是572，所以52×275=572×25；②因为左边的三位数是396，所以左边的两位数是63，右边的两位数是36，63×396=693×36。
故答案为：①275，572；②63，36。
（2）因为左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，所以左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a。
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b。
所以一般规律的式子为（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。
四年级奥数对称规律在数字中的巧妙应用
四年级奥数对称规律在数字中的巧妙应用对称规律是数学中一个重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
尤其在奥数中，对称规律的应用常常帮助学生解决难题，提高解题效率。
本文将探讨四年级奥数对称规律在数字中的巧妙应用，以帮助学生更好地理解和应用这一规律。
一、数字的对称性质在奥数中，我们常常遇到数字的对称性质。
数字的对称性质指的是数字的某一部分（例如个位数、十位数等）与其他部分呈现镜像对称的关系。
例如，数字12321中，个位数1与个位数1对称，十位数2与万位数2对称，百位数3与千位数3对称。
这种对称性质在奥数中有很多应用。
二、奥数中的对称规律1. 回文数回文数是指正读和反读都相同的数字，例如121、1331等。
回文数常常是奥数中的重要概念，其对称性质使它在数学问题中有独特的应用。
例如，在回文数的排列问题中，可以利用回文数的对称性质，减少需要考虑的情况，简化问题的解决过程。
2. 左右对称数左右对称数指的是数字从中间位置对折后，左右两侧的数字完全相同，例如12321、2332等。
左右对称数也是奥数中的一个常见概念，其对称性质在解决一些计数问题、排列问题中起到重要作用。
例如，在奇数个不同数字的排列问题中，左右对称数的特性可以帮助我们快速确定排列结果的个数。
3. 旋转对称数旋转对称数是指数字旋转180度后与原数字完全相同的数，例如69、96等。
旋转对称数在奥数中的应用较为广泛，尤其在几何问题中常常被用到。
例如，计算一个旋转对称数围成的图形的面积或周长时，可以利用旋转对称数的特性简化计算过程。
三、实例分析为了更好地理解奥数中对称规律的应用，我们来看几个实际的例子。
例1：某学校学生人数为12521人，其中男生与女生人数之比为3:2，请问该学校男生人数和女生人数各是多少？解析：根据题目条件，我们可以设男生人数为3x，女生人数为2x。
由于12521是个回文数，即左右对称，所以可以设该数为3x2x3。
解这道问题，我们只需要找到回文数3x2x3的因子，即可得到男生和女生人数的解。
探秘对称图形的奥妙——小学二年级数学下册教案编写
探秘对称图形的奥妙——小学二年级数学下册教案编写小学二年级数学下册教案编写在小学二年级的数学课程中，对称图形是一个重要的概念。
在课堂上，学生将学习如何识别和绘制对称图形，并探索它们的特点和规律。
本文将深入探讨对称图形的奥妙，并介绍一个小学二年级数学下册的教案。
一、什么是对称图形？在数学中，对称指的是一种相似或镜像的关系。
对称图形就是在一个平面上，如果将这个图形沿着某个轴线翻转，得到的图形和原图形完全一样。
这条轴线就称为这个图形的对称轴。
图1：对称图形的示例从图1中可以看到，这里的对称轴是中央的红线。
将图形沿着这条轴线翻转，得到的图形和原图形是完全一样的。
二、对称轴的种类在探索对称轴的特点和规律之前，我们需要先了解对称轴的种类。
根据对称轴的位置和方向，我们可以将对称轴分为以下四种。
1、水平对称轴水平对称轴是一个水平线，图形上下对称。
如图2所示。
图2：水平对称轴的示例2、垂直对称轴垂直对称轴是一个垂直线，图形左右对称。
如图3所示。
图3：垂直对称轴的示例3、对角线对称轴对角线对称轴是一个斜线，图形沿着对角线对称。
如图4所示。
图4：对角线对称轴的示例4、中心对称轴中心对称轴是一个点，图形围绕这个点对称。
如图5所示。
图5：中心对称轴的示例三、对称图形的特点和规律1、对称图形的重要性对称图形不仅仅是数学中的一个概念，它还存在于日常生活中的很多事物中。
例如，很多建筑、衣物和电器的设计都采用了对称结构，这不仅美观，也符合人们对于平衡和协调的感觉。
2、对称图形的特征对称图形最重要的特征就是“对称”。
也就是说，对称图形在对称轴的两侧具有相同的形状。
对称轴可以是水平线、垂直线、对角线或点，每种对称轴都有其特有的对称特点。
具体而言，水平对称图形的上半部分和下半部分相同；垂直对称图形的左半部分和右半部分相同；对角线对称图形的两侧分别与对角线上的点对称；中心对称图形的每个点都对称于中心点。
3、对称图形的绘制对称图形的绘制需要注意对称轴的位置和方向。
四年级奥数对称规律在数字中的巧妙应用与实践
四年级奥数对称规律在数字中的巧妙应用与实践在四年级的数学学习中，奥数是我们广大学生所面临的一项挑战。
而对称规律的应用则是其中一个非常巧妙的数学技巧。
本文将着重讨论四年级奥数中对称规律在数字中的应用与实践。
1.对称规律的概念及基本性质在数学中，对称规律是指某些数字或图形以某种方式重复出现。
对称分为轴对称和中心对称两种形式。
轴对称指的是通过某条直线将图形分成两部分，两部分各部分都是对称的。
而中心对称则是指以某个点为中心，将图形分为两部分，且每部分与另一部分分别相对称。
对称规律具有以下基本性质：1)对称图形的任何一点P关于对称轴对称的点为P′，则点P和点P′的距离等于对称轴的距离；2)对称图形的任一点P关于对称中心对称的点为P′，则点P和点P′的距离相等。
2.对称规律在数字中的巧妙应用对称规律在数字中有许多巧妙的应用方式，包括以下几个方面：2.1 反转数字通过对称规律，我们可以将数字进行反转。
例如，对称规律可以帮助我们将数字123反转为321。
这种应用方式在计算中经常用到，特别是在数字倒序或计算中。
2.2 回文数回文数是指正序和倒序相同的数字。
例如121、232等都是回文数。
通过对称规律，我们可以找到回文数的特点，并且可以通过对称规律判断一个数字是否为回文数。
2.3 对称分解对称分解是指将一个数字分解为两个对称的数字，即两个数字由对称轴或对称中心进行对称。
例如，数字12可以分解为6和6，数字25可以分解为12和13。
这种应用方式在一些数学题目或方程中经常出现。
2.4 模式识别通过对称规律，我们还可以识别出数字中的一些模式。
例如，一些数字的末尾两位以7、记尾数字为3的数字一般可以在对称规律中找到共同的特点。
这种模式识别的应用方式在奥数中非常常见。
3.对称规律的实践案例为了更好地理解对称规律在数字中的应用，我们可以通过一些实践案例来进行深入学习。
3.1 数字反转的实践选择一个多位数的数字，如12345，通过对称规律反转该数字，并观察反转的规律。
第三讲对称的数学本质
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)近代交通由传统的人力工具逐渐演变为
机械动力牵引的新式交通工具，火车、
汽车、电车、轮船、飞机先后出现。
(2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。
3．交通通讯变化的影响 (1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和 ，出行 方式转变了人们的思想观念。
(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便 捷。
(3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活 多。姿多彩
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
把讨论“平面图形的对称”中形成的数学 思想提炼出来，用“子集的对称”的语言来统 一地描述任一客观事物的“对称”。
R
R2
o
O
R
4.1 集合上的可逆变换，子集的对称变换
设M是一个集合，则M到自身的一个映射称为“M上的一个变 换”；M到自身的一个可逆映射称为“M上的一个可逆变换”。
集合M上的可逆变换 使M中的每一元素都发生了“变 化”，但在整体上又保持M的不变。不过，对于M的某个子集
1、封闭律
a,b G, 有a b G;
2、结合律 a,b, c G,有(a b) c a (b c);
对称算式有奥妙
对称算式有奥妙
倪宇驰
【期刊名称】《数学小灵通（3-4年级）》
【年(卷),期】2012(000)004
【摘要】在今天的数学习题课上，做完了基础练习后，徐老师突然话锋一转，说道：“记得在上世纪九十年代，上海自来水公司曾经以‘上海自来水来自海上’征集下联。
【总页数】2页(P22-23)
【作者】倪宇驰
【作者单位】江苏省兴化市沈伦中心小学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.利用循环结构求对称型算式的值 [J], 和玉良
2.轴上键槽对称度误差计算式的确定 [J], 景群社;杨淑菊
3.对称n筛计算式 [J], 吴晓林;陈明;李泽民
4.对称n筛计算式的应用 [J], 吴晓林;张晓芳;周延军
5.二阶J-对称微分算式的极限点型与极限圆型 [J], 钱志祥
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小学数学 对称问题消去法奥数讲座
对称问题消去法在典型应用题中,有一类称作“对称”问题。
它的一般形式是：（其已知x的a倍与y的b倍之和是m,x的c倍与y的d倍之和是n,分别求x和y。
中a、b、c、d、m、n是已知数量）例如：同一商店里,2支钢笔和3瓶墨水的价钱是6.48元；而5支钢笔和4瓶墨水的价钱是14.24元。
问这个商店的钢笔和墨水的单价各是多少钱？我们设想,两组对称条件对应作减法：如果两组条件中的钢笔支数相同（或墨水瓶数相同）,那么,相减后,差数量中就只剩下一种文具的价钱了,这种文具的单价就可以从差数量关系中求出,接着就可以求出另一种文具的价钱,问题就解决了。
是吗？问题是,我们要想办法把上面两组条件变换成能使其中的一种文具的数量相同的另外两组条件,然后来实施以上减法。
读者朋友,想想看,有办法吗？请总结出这类对称问题的一般解答方法。
【规律】（1）消除钢笔价钱求墨水价钱。
（2）消除墨水价钱求钢笔价钱。
一般地,已知x的a倍与y的b倍之和是m,x的c倍与y的d倍之和是n（其中a、b、c、d、m、n为已知）,求x和y的方法是（1）消除y求x。
（2）消除x求y。
【练习】1.同一个家俱店里,售3张桌子和5把椅子价值125元；售5张桌子和3把椅子价值155元。
求桌子和椅子的单价各是多少钱？2.标准的苹果和桔子,10个苹果和25个桔子共重3800克；5个苹果和6个桔子共重1120克。
求每个苹果和桔子共重多少克？3.文具店里,10个排球和6个足球共要1942元；5个排球和4个足球共要1128元。
求每个排球和足球的单价各是多少钱？5.甲班和乙班共有学生105人；乙班和丙班共有学生113人；丙班和甲班共有学生118人。
求甲、乙、丙三个班各有学生多少人？。
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对称算式的奥秘
周四在淮海堂听课，来自南京的张冬梅老师上了四年级《两位数乘两位数的练习与思考》一课。
主要是带领学生探索“对称”算式的奥秘。
这里所谓的“对称”算式，指的是如：64×39和93×46，把这样的算式称为“对称”算式，用张老师规范的语言说，就是“读音对称”。
课上，学生先探索老师“精心”准备的三道算式（另两道是21×36、41×28），然后发现对称的算式乘积相等，然后得出结论：两个对称算式的积相等。
然后老师发疑：是不是都是这样呢？又给出一道：84×36，验证后结果还是相等。
应该说，老师这里的设计比较高明，并不是一上来就给出反例，而是貌似随便给出一个，其实也是正例，加深了学生的印象。
至此，全班对此结论深信不疑（当然，也不排除有想法的，但都淹没在集体的浪潮之中了）。
随后，老师通过一个故事，树立质疑思想。
学生开始动摇了，然后再去小组举反例。
结果，全班每个组均举出了反例。
形势发生了逆转，从刚才的赞同的一边倒，到现在反对的一边倒。
当然，老师并没有就此罢休，而是引导学生反思：为什么刚才几道算式乘积会相等。
应该说，学生的潜能和积极性通过这样一波三折的思维锤练已经被充分调动起来了，很快，就有学生发现了问题的关键：两个乘数十位上数字相乘的积等于个位上数字的积。
于是，得到最终正确的结论。
常有人说，数学是思维的体操（这句话的原创好象是前苏联的加里宁），这节课，学生的思维得到了充分的锻炼，从刚开始的猜想，初步验证正确，然后质疑，再进行补充，最终得到正确的结论，完整地呈现了一个研究的全过程。
这也对应着2011版课标提出的“四能”：从发现问题、提出问题，再到分析问题、解决问题。
相信这个班的同学今后思维的缜密性定会加强，也懂得了如何去研究一个问题。
听完课回到学校，我又专门翻了一下教材，发现四年级上册教材中并没有这个内容，而两位数乘两位数这一内容在新版苏教版教材中，被放在了三年级下册的第一单元，这一单元之后是专题实践活动《探索规律》，探索的是另外两种比较有趣的两位数乘两位数的乘法的规律：乘11和首同尾合十。
因此，看来这一内容是张老师结合教材开发的，虽然教材上没有，但无疑对培养学生的思维、形成良好的探究学习品质是大有裨益的。
而且这一课计算的量也很大，对两位数乘法是个很好的练习，以后可以在三下补充这一内容。
最后，作为老师，我们当然还有必要探究一下为什么十位上数字相乘的积等于个位上数字的积的对称算式乘积会相等。
让我们用字母来表示，用10a+b和10c+d分别表示两个两位数，则对称的两个算式分别是：（10a+b）×（10c+d）与（10d+c）×（10b+a），它们的积分别是：
（10a+b）×（10c+d）=100ac+10ad+10bc+bd
（10d+c）×（10b+a）=100bd+10ad+10bc+ac
两个式子中都有10ad+10bc，只要看100ac+bd与100bd+ac的和就行了。
如果十位上数字相乘的积等于个位上数字的积，即ac=bd，那么显然这两个结果是相等的，于是就得到了结论。