晶面和体心立方晶体
三种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向
三种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向1.引言1.1 概述晶体是具有长程有序排列的原子、离子或分子的固体物质。
晶体的结构是由最密排列的晶面和晶向构成的。
最密排晶面是指在晶体结构中，原子、离子或分子最紧密地靠近的面，而最密排晶向则指的是在晶体中最紧密地排列的方向。
本文将分析三种不同的晶体结构，探讨它们各自的最密排晶面和最密排晶向。
通过深入研究这些结构的排列方式，可以更好地理解晶体的性质和行为。
第一种晶体结构是立方晶系，也是最简单的晶体结构之一。
它的最密排晶面是(111)晶面，最密排晶向则是[110]晶向。
这些晶面和晶向在晶体中具有紧密的排列，使晶体的结构呈现出高度的对称性。
第二种晶体结构是六方晶系，它相对于立方晶系而言稍复杂一些。
在六方晶系中，最密排晶面是(0001)晶面，最密排晶向是[10-10]晶向。
与立方晶系不同，六方晶系具有六方对称性，呈现出更复杂的晶体结构。
第三种晶体结构是四方晶系，它也是一种常见的晶体结构。
在四方晶系中，最密排晶面是(100)晶面，最密排晶向是[110]晶向。
四方晶系的晶体结构与立方晶系相似，但具有更多的对称性和排列方式。
通过对这三种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向进行研究，我们可以更好地理解晶体的基本结构和性质。
这对于材料科学、凝聚态物理和相关领域的研究具有重要意义，同时也有助于开发新材料和改进现有材料的性能。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几个方面的介绍：1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分概述了晶体结构和最密排晶面、最密排晶向的研究背景和重要性，并提出了本文研究的目的和意义。
正文部分分为三个小节，分别介绍了三种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向。
每个小节将首先介绍该种晶体结构的一般特点和常见应用，然后详细讨论最密排晶面和最密排晶向的确定方法和规律，并给出具体的实例和数据进行说明。
结论部分对于每种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向进行总结和回顾，并指出各种晶体结构最密排晶面和最密排晶向的综合特点和应用前景。
晶面和体心立方晶体
当外部条件（如温度、压力）发生变化时，晶体可能会发生相变 ，即晶体结构发生改变。
影响晶体形成的因素
杂质
熔体或气相中的杂质可能会影响晶体的形成，如改变晶体的成分、 影响晶体的生长速度等。
温度梯度
熔体或气相中的温度梯度会影响原子或分子的扩散速度，从而影响 晶体的生长。
压力梯度
熔体或气相中的压力梯度会影响原子或分子的流动速度，从而影响晶 体的生长。
晶面是晶体结构中的基本单元之一， 它决定了晶体材料的物理和化学性质 。
分类
Hale Waihona Puke 根据晶面与晶体轴向之间的关系，晶面可以分为极面和非极 面两类。极面是指与晶体轴向平行的晶面，而非极面则与晶 体轴向垂直。
根据晶面与晶体表面之间的关系，晶面又可以分为切面、磨 面和抛光面等类型。切面是指将晶体切开后形成的平面，磨 面是指通过研磨获得的平面，抛光面则是指通过抛光技术获 得的平面。
晶面与体心立方晶体的应用
材料科学
利用晶面和体心立方晶体独特的物理、化学和机 械性质，可以开发新型材料和器件。
电子学
某些特定晶面的导电性能优异，可用于制造高性 能电子器件。
催化领域
具有特定晶面的体心立方晶体可以作为催化剂， 提高化学反应的效率和选择性。
04
CATALOGUE
体心立方晶体的形成
形成条件
在物理科学研究中的应用
01
固体物理
体心立方晶体结构是固体物理研究的重要对象之一，通过对体心立方晶
体的研究，可以深入了解晶体的能带结构、电子结构和光学性质等。
02
原子分子物理
体心立方晶体结构中的原子或分子的排列方式，可以模拟和研究原子分
子之间的相互作用和运动规律。
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考01第一章 晶体的结构
(h
2 1
2 + k + l12 ) i( h22 + k22 + l2 ) 2 1 12
h1h2 + k1k2 + l1l2
12
பைடு நூலகம்
解：三个晶轴相互垂直且等于晶格常数 a，则晶胞基矢为
a1 = ai, a2 = a j, a3 = ak ,
其倒格子基矢为
b1 =
2π 2π 2π i, b2 = i, b3 = i a a a 2π ( hi + k j + lk ) a
a 2 +j a 0 − 2
a 2
a 2 +k a 0 2
0 a 2
=−
b 1=
a2 a2 a2 i+ j+ k 4 4 4
2π 2π a 2 ⎛ a 2 a2 a2 a 2 × a3 = 3 − i + j + ⎜ a Ω 2 ⎝ 4 4 4 4 2π 2π b 2= i − j + k ,b 3= i+ j−k a a
i = −( h + k )
得证 （2）由上可知，h，k，i 不是独立的， ( 001) , 133 , 110 , 323 , (100 ) , ( 010 ) , 213 . 中各 i 等于
( )( )( )
( )
i1 = −(h1 + k1 ) = −(0 + 0) = 0, i2 = 2 ， i3 = 0 ， i4 = 1 ， i5 = 1 i6 = 1 ， i7 = 3 即得
a1 ⋅ n = h1d , a2 ⋅ nh2 d , a3 ⋅ n = h3d ,
假定 h1 , h2 , h3 不是互质的数，则有公约数 p，且 p>1；设 k1 , k2 , k3 为互质的三个数，满足
体心立方晶格与面心立方晶格
体心立方、面心立方晶格主要晶面的原子排列和密度体心立方、面心立方晶格主要晶向的原子排列和密度第1章 小结1．三种常见金属的晶体结构体心立方晶格（胞）：晶格常数a 、90°，晶胞原子数为2个， 原子半径： ，致密度为68%，最大空隙半径 r 四=0.29r 原子，配位数为8面心立方晶格（胞）：晶格常数a、90°，晶胞原子数为4个，原子半径：，致密度为74%，最大空隙半径r八=0.414r原子，配位数为12。
密排六方晶格（胞）：晶格常数a、c、90°、120°，晶胞原子数为6个，原子半径：，致密度为74%，最大空隙半径r八=0.414r原子，配位数为12。
2．晶面与晶向可用晶面指数与晶向指数来表达。
不同晶面、不同晶向上的原子排列情况不同。
体心立方晶格的最密面为{110}，最密方向为<111>。
面心立方晶格的最密面为{111}，最密方向为<110>。
密排六方晶格的最密面为{0001}，最密方向为。
3．实际金属中含有点缺陷（空位、间隙原子、异类原子）、线缺陷（位错）、面缺陷（晶界、亚晶界）三类晶体缺陷，位错密度增加，材料强度增加。
晶界越多，晶粒越细，金属的强度越高，同时塑性越好（即细晶强化）。
4．合金中有两类基本相：固溶体和金属化合物。
固溶强化是金属强化的一种重要形式。
细小弥散分布的金属化合物可产生弥散强化或第二相强化。
材料的微观组成和微观形貌称组织，材料的组织取决于化学成分和工艺过程。
5．金属材料的性能特点是：强度高，韧性好，塑性变形能力强，综合机械性能好，通过热处理可以大幅度改变机械性能。
金属材料导电、导热性好。
不同的金属材料耐蚀性相差很大，钛、不锈钢耐蚀性好，碳钢、铸铁耐蚀性差。
体心立方晶胞特征
二、 固溶体
4、 间隙固溶体 （1）组成：原子半径较小（小于0.1nm)的非 金属元素溶入金属晶体的间隙。 （2）影响因素：原子半径和溶剂结构。 （3）溶解度：一般都很小，只能形成有限固 溶体。
二、固溶体
5、 固溶体的性能 无论置换固溶体，还是间隙固溶体，由于溶质原 子的存在都会使晶格发生畸变，使其性能不同于 原纯金属。
常见金属
具有这种晶格的金属有镁(Mg)、镉(Cd)、 锌(Zn)、铍(Be)等。
原子个数
晶胞原子数：6
原子半径
原子半径： R=a/2
致密度：0.74 (74%) 配位数：12 空隙半径： 四面体空隙 其半径为: r四=0.225r原子 八面体空隙 其半径为: r八=0.414r原子
单晶体与多晶体
第三节 合金的相结构
一、基本概念
1 合金 （1）合金：两种或两种以上的金属与金属， 或金属与非金属经一定方法合成的具有金属特性 的物质。 （2）组元：组成合金最基本的物质。可以是 元素，也可以是化合物。 （如一元、二元、三元 合金〕 （3）合金系：给定合金以不同的比例而合成 的一系列不同成分合金的总称。如Fe-C，Fe-Cr等。
晶胞(或晶格)中有68%的体积被原子所占据, 其余为 空隙。
间隙半径
若在晶胞空隙中放入刚 性球, 则能放入球的最大 半径为空隙半径。体心 立方晶胞中有两种空隙。 四面体空隙 其半径为: r四=0.29r原子 八面体空隙 其半径为: r八=0.15r原子
2、面心立方晶格（ FCC） 原子排列方式 常见金属 原子个数 原子半径 配位数 致密度
平行晶面：指数相同，或数字相同但正负
号相反；
晶面族
晶 面 族 ： 晶体 中具 有 相 同 条 件（ 原子 排 列 和 晶 面间 距完 全 相 同 ） ，空 间位 向不同的各组晶面。 用 {hkl} 表示。 如在 立方晶胞中 (111) 、 ( 111 ) 、 (111 ) 、 ( 111 ) 同属{111}晶 面族。
晶胞中的原子数面心立方结构位数和...
第二章固体结构物质通常有三种聚集状态: 气态、液态和固态。
而按照原子(或分子) 排列的规律性又可将固态物质分为两大类,晶体和非晶体。
晶体中的原子在空间呈有规则的周期性重复排列; 而非晶体的原子则是无规则排列的。
原子排列在决定固态材料的组织和性能中起着极重要的作用。
金属、陶瓷和高分子的一系列特性都和其原子的排列密切相关。
一种物质是否以晶体或以非晶体形式出现, 还需视外部环境条件和加工制备方法而定,晶态与非晶态往往是可以互相转化的。
2.1 晶体学基础晶体结构的基本特征是原子 (或分子、离子) 在三维空间呈周期性重复排列, 即长程有序。
2.1.1 空间点阵和晶胞具有代表性的基本单元 (最小平行六面体) 作为点阵的组成单元, 称为晶胞。
将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点阵。
为了便于分析研究晶体中质点的排列规律性, 可先将实际晶体结构看成完整无缺的理想晶体并简化,将其中每个质点抽象为规则排列于空间的几何点,称之为阵点。
这些阵点在空间呈周期性规则排列并具有完全相同的周围环境, 这种由它们在三维空间规则排列的阵列称为空间点阵, 简称点阵。
同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞图 2-1 在点阵中选取晶胞要求选取晶胞最能反映该点阵的对称性,选取晶胞的原则为: 1.选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性;2.平行六面体内的棱和角相等的数目应最多;3.当平行六面体的棱边夹角存在直角时,直角数目应最多;4.在满足上述条件的情况下,晶胞应具有最小的体积。
为了描述晶胞的形状和大小, 通常采用平行六面体中交于一点的三条棱边的边长a,b,c (称为点阵常数) 及棱间夹角α , β , γ等 6 个点阵参数来表达, 如图 2-2 所示。
事实上, 采用 3 个点阵矢量 a,b,c 来描述晶胞将更为方便。
这 3 个矢量不仅确定了晶胞的形状和大小,并且完全确定了此空间点阵。
图 2-2 晶胞、晶轴和点阵矢量根据 6 个点阵参数间的相互关系, 可将全部空间点阵归属于 7 种类型, 即 7 个晶系。
一、金属的晶体结构重点内容面心立...
一、金属的晶体结构重点内容：面心立方、体心立方金属晶体结构的配位数、致密度、原子半径，八面体、四面体间隙个数；晶向指数、晶面指数的标定；柏氏矢量具的特性、晶界具的特性。
基本内容：密排六方金属晶体结构的配位数、致密度、原子半径，密排面上原子的堆垛顺序、晶胞、晶格、金属键的概念。
晶体的特征、晶体中的空间点阵。
晶胞：在晶格中选取一个能够完全反映晶格特征的最小的几何单元，用来分析原子排列的规律性，这个最小的几何单元称为晶胞。
金属键：失去外层价电子的正离子与弥漫其间的自由电子的静电作用而结合起来，这种结合方式称为金属键。
位错：晶体中原子的排列在一定范围内发生有规律错动的一种特殊结构组态。
位错的柏氏矢量具有的一些特性：①用位错的柏氏矢量可以判断位错的类型；②柏氏矢量的守恒性，即柏氏矢量与回路起点及回路途径无关；③位错的柏氏矢量个部分均相同。
刃型位错的柏氏矢量与位错线垂直；螺型平行；混合型呈任意角度。
晶界具有的一些特性：①晶界的能量较高，具有自发长大和使界面平直化，以减少晶界总面积的趋势；②原子在晶界上的扩散速度高于晶内，熔点较低；③相变时新相优先在晶界出形核；④晶界处易于发生杂质或溶质原子的富集或偏聚；⑤晶界易于腐蚀和氧化；⑥常温下晶界可以阻止位错的运动，提高材料的强度。
二、纯金属的结晶重点内容：均匀形核时过冷度与临界晶核半径、临界形核功之间的关系；细化晶粒的方法，铸锭三晶区的形成机制。
基本内容：结晶过程、阻力、动力，过冷度、变质处理的概念。
铸锭的缺陷；结晶的热力学条件和结构条件，非均匀形核的临界晶核半径、临界形核功。
相起伏：液态金属中，时聚时散，起伏不定，不断变化着的近程规则排列的原子集团。
过冷度：理论结晶温度与实际结晶温度的差称为过冷度。
变质处理：在浇铸前往液态金属中加入形核剂，促使形成大量的非均匀晶核，以细化晶粒的方法。
过冷度与液态金属结晶的关系：液态金属结晶的过程是形核与晶核的长大过程。
从热力学的角度上看，没有过冷度结晶就没有趋动力。
第三章晶体结构
子晶体所释放的能量，用 U 表示。
晶格能 U 越大，则形成离子键得到离子晶体时放出的能量越多，离 子键越强。 一般而言，晶格能越高，离子晶体的熔点越高、硬度越大。晶格 能大小还影响着离子晶体在水中的溶解度、溶解热等性质。但离
子晶体在水中的溶解度与溶解热不但与晶体中离子克服晶格能进入水中 吸收的能量有关，还与进入水中的离子发生水化放出的能量（水化热） 有关。
子作周期性平移的最小集合。
复晶胞：素晶胞的多倍体；
体心晶胞（2倍体），符号I；
面心晶胞（4倍体），符号F； 底心晶胞（2倍体），符号A(B﹑C)。
二． 三种复晶胞的特征
1. 体心晶胞的特征：晶胞内的任一原子作体心平移[原子坐
标 +（1/2，1/2，1/2）]必得到与它完全相同的原子。
2. 面心晶胞的特征：可作面心平移，即所有原子均可作在其
P区的第三周期第三主族的Al3+ 也是8e-构型 ；d区第三至七副族原
素在表现族价时，恰相当于电中性原子丢失所有最外层s电子和次
外层d电子，也具有8e-构型 ；稀土元素的+3价原子也具有8e-构型 ， 锕系元素情况类似。 （3）18e-构型 ds区的第一、二副族元素表现族价时，具有18e-构 型 ；p区过渡后元素表现族价时，也具有18e-构型。 （4）（9—17）e-构型 d区元素表现非族价时最外层有9—17个电
图3-6 晶体微观对称性与它的宏观外形的联系
图3-7 晶态与非晶态微观结构的对比
3-2 晶胞
3-2-1 晶胞的基本特征
1.晶体的解理性：用锤子轻敲具有整齐外形的晶体（如方解 石），会发现晶体劈裂出现的新晶面与某一原晶面是平行 的，这种现象叫晶体的解理性。 2.布拉维晶胞：多面体无隙并置地充满整个微观空间，即
晶体学习题与答案
一、 名词解释（1）阵点;(2）(空间）点阵；（3）晶体结构；（4）晶胞；（5）晶带轴；二、填空（1）晶体中共有 种空间点阵，属于立方晶系的空间点阵有 三种。
（2）对于立方晶系,晶面间距的计算公式为 。
（3）{110}晶面族包括 等晶面。
(4）｛h 1k 1l 1｝和{h 2k 2l 2}两晶面的晶带轴指数[u v w]为 。
(5)(110）和（11-0)晶面的交线是 ;包括有[112]和［123］晶向的晶面是 。
三、计算及简答（1）原子间的结合键共有几种?各自有何特点？(2)在立方晶系的晶胞中，画出（111）、（112）、(011）、（123）晶面和［111］、［101］、[111-]晶向.(3）列出六方晶系{101-2｝ 晶面族中所有晶面的密勒指数，并绘出（101-0）、（112-0）晶面和〔112-0〕晶向。
（4）试证明立方晶系的〔111〕晶向垂直于(111）晶面。
(5）绘图指出面心立方和体心立方晶体的（100)、(110）、及（111)晶面，并求其面间距；试分别指出两种晶体中,哪一种晶面的面间距最大?(6)在立方晶系中，（1-10）、（3-11）、（1-3-2)晶面是否属于同一晶带？如果是，请指出其晶带轴；并指出属于该晶带的任一其他晶面.（7）写出立方晶系的｛111}、{123｝晶面族和〈112>晶向族中的全部等价晶面和晶向的具体指数。
(8）计算立方晶系中（111）和〔111-〕两晶面间的夹角。
(9）若采用四轴坐标系标定六方晶体的晶向指数,应该有什么约束条件？为什么？答 案二、填空（1)14 简单、体心、面心（2）222hkl d h k l =++(3) (110)、（101）、（011）、（1-10）、(1-01） 、(01-1)（4)1122k l u k l =；1122l h v l h =；1122h k w h k = （5）〔001〕 （111-）三、简答及计算（1）略（2）（3）｛101-2｝晶面的密勒指数为（101-2)、(1-012)、(01-12)、（011-2)、（1-102）、(11-02）。
7大晶系
一、立方晶系立方晶系的三个轴的长度是一样的，即X=Y=Z，且互相垂直，即α=β=γ=90°，对称性最强。
具有4个立方体对角线方向三重轴特征对称元素的晶体归属立方晶系。
属于立方晶系的有：面心立方晶胞、体心立方晶胞、简单立方晶胞。
这个晶系的晶体并不是只有狭义的正方体一种形状，四面体、八面体、十二面体形状的晶体都属于立方晶系。
它们从不同角度看高低宽窄都差不太多，相对晶面和相邻晶面都相似，横截面和竖截面一样。
最典型立方晶系的晶体为：氯化钠。
二、四方晶系四方晶系四方晶系的三条晶轴互相垂直，即α=β=γ=90°。
其中两个水平轴（X轴、Y轴）长度一样，Z轴的长度可长可短，通俗的说：四方晶系的晶体大多是四棱的柱状体，有的是长柱体，有的是短柱体，即其晶胞必具有四方柱的形状。
横截面为正方形，四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都是一样的，但和顶端不对称。
所有主晶面交角都是90。
特征对称元素为四重轴。
如果Z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（X轴、Y轴）发育大于Z轴，那么晶体就会呈现四方板状，最有代表的就是磷酸二氢钠和硫酸镍β了。
三、斜方晶系斜方晶系的晶体中三个轴的长短完全不相等，它们的交角仍然是互为90度垂直。
即X≠Y≠Z。
Z轴和Y轴相互垂直90°。
X轴与Y轴垂直，但是不与Z轴垂直，即α=γ=90，β>90°与正方晶系直观相比，区别就是：x轴、y轴长短不一样。
如果围绕z轴旋转，四方晶系旋转九十度即可使x轴y轴重合，旋转一周使x轴y轴重合四次（使另两轴重合的次数多于两次，该轴称“高次轴”），四方晶系有一个高次轴，也叫“主轴”。
斜方晶系围绕z 轴旋转，需180度才可使x轴y轴重合，旋转一周只重合两次，属低次轴。
也就是说，斜方晶系的对称性比四方晶系要低。
特征对称元素是二重对称轴或对称面。
其实，斜方晶系的晶体如果围绕x轴或y轴旋转，情况与围绕z轴旋转相同。
换句话说，斜方晶系没有高次轴，或曰没有理论上的主轴。
体心立方(112)晶面的原子面密度
体心立方(112)晶面的原子面密度一、体心立方结构简介体心立方是一种晶体结构，由于其具有密排的结构和较好的热稳定性，在工程材料领域得到广泛应用。
在体心立方结构中，原子以一定的规律排列，形成晶格。
体心立方晶格的基本单元包含一个原子在每个晶胞的中心和八个原子分别位于八个顶点上。
这种排列方式使得体心立方结构具有较高的密度和较好的机械性能。
二、体心立方(112)晶面简介在体心立方结构中(112)晶面是一个重要的晶面，它具有特殊的原子排列方式和性质。
通过研究体心立方(112)晶面的原子面密度，可以更好地了解该结构的物理性质和应用潜力。
三、体心立方(112)晶面的原子排列体心立方(112)晶面的原子排列方式是指晶面上原子的位置关系。
体心立方结构的晶面排列方式决定了晶体的表面性质和物理化学行为。
通过对体心立方(112)晶面的原子排列进行研究，可以揭示其在材料科学和工程技术中的应用潜力。
四、体心立方(112)晶面的原子面密度计算方法体心立方(112)晶面的原子面密度是指单位面积上原子的数量。
计算方法一般包括通过晶体结构参数和晶胞参数进行计算。
通过计算可以得到体心立方(112)晶面的原子面密度，从而为材料设计和应用提供重要参考。
五、体心立方(112)晶面的原子面密度实验测定除了计算方法，实验测定也是研究体心立方(112)晶面的原子面密度的重要手段之一。
通过实验测定，可以获得更真实和准确的数据，对体心立方结构的表面性质和晶体稳定性有更深刻的认识。
六、体心立方(112)晶面的原子面密度在材料设计中的应用体心立方(112)晶面的原子面密度对材料设计具有重要意义。
通过对其进行深入研究和应用，可以开发出具有优异性能和广泛用途的新型材料，为材料科学和工程技术提供新的发展方向。
七、总结体心立方(112)晶面的原子面密度是晶体结构中重要的研究内容之一，对于深入理解晶体的物理性质和开发新型材料具有重要意义。
通过系统的研究和应用，可以推动材料科学和工程技术领域的发展，为人类社会进步做出贡献。
晶体结构基础
左图是晶体
右图是晶体的点阵
左图是晶体
右图是晶体的点阵
在晶体点阵的每个阵点上按 同一种方式安置结构基元，则得
到晶体。
晶体 ＝ 点阵 + 结构基元
结构基元为
一 一 两个粒子
晶体的点阵
粒子的种类相同，且每个粒子均处
于由 3 个粒子构成的正三角形的中心。
但是一类粒子处于一个顶角向上的 三角形的中心 这种粒子相当于右图中的红色粒子
晶系名称
晶格常数特征
独立晶格常数
1 立方晶系 2 四方晶系 3 正交晶系
a=b= c
a a， c a， b， c
= = = 90°
a = b ≠c
= = = 90°
a≠b≠c
= = = 90°
晶系名称
晶格常数特征
独立晶格常数
4 六方晶系
a=b≠c a， c = = 90° =120°
在点阵中可以找到 8 个顶点均为 阵点的平行六面体，如下图的 A
整个空间点阵可以看成是以这个
平行六面体为单位并置而成的
这个平行六面体称为空间点阵的点阵单位
点阵单位并不是唯一的，图中的 A，B 和 C 均属于这样的平行六面体
D 也属于这样的平行六面体
平行六面体上的阵点的位置
可分为 4 种:
c
a 晶格平行六面
体的三个棱长分别
b
三个棱之间的
夹角分别用 ，，
用 a，b，c 表示，
表示。
c
a
b
其中 a 和 b 的夹角为 ，a 和 c 的 夹角为 ，b 和 c 的夹角为 。
c
a
b
第3章 晶体学基础 - 晶体结构、晶向、晶面
（3） 晶面指数是截距系数的倒数，因此，截距系数越大， 则相应的指数越小，而当晶面平行某一晶轴时，其截距 系数为∞，对应的指数为1/∞＝0.
23
（100）与 ［100］有何关系？
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（4)立方晶系中：相同指数（指数和符号均相同）的晶向和 晶面互相垂直，即同指数的晶向是晶面的法线方向。如： [111] ⊥（111）、[110] ⊥（110）、[100] ⊥（100）。 该规律适用于三根晶轴相互垂直时，如果三轴不相互垂直， 则(hkl)与[hkl]不垂直。
LOGO
21
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1.动画--晶面指数的确定方法
22
2.晶面指数特点与规律：
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（1)与原点位置无关；每一晶面符号对应一组相互平行的晶面。 晶面符号代表在原点同一侧的一组相互平行且无限大的 晶面，而不是某一晶面。 (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点为 对称中心，且相互平行的晶面。如（110）和（110）互 相平行。
（3）如果是非立方晶系，改变晶向指数的顺序所表 示的晶向可能不等同。如正交晶系[100]、[010]、 [001] 19
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<U V W>晶向族：等价晶向 e.g., <100>=[100]+[010]+[001] +[100]+[010]+[001] (立方晶体)
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3.3.2 晶面指数的标定
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立方晶系： {111}=?
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Total:? 立方晶系：
{112} (112) ( 1 12) (1 1 2) (112) (121) ( 1 21) (121) (12 1 ) (211) ( 211) (2 1 1) (21 1 )
固体物理知识概要
第一章（2）体心立方（body- centered cubic，bcc）:原胞基矢每个晶胞有2个等效格点。
常见金属：碱金属晶体，过渡金属晶体，Cr ,Mo, W.体心立方原胞体积为： a1 ⋅ ( a2⨯a3 ) = a3/2最近邻原子数：8个（3）面心立方（face-centered cubic，fcc) 原胞基矢每个晶胞有4个等效格点。
常见金属：贵金属Cu、Ag、Au、Al、Ni、Pb等。
面心立方原胞体积为： a1 ⋅ ( a2⨯a3 ) = a3/4最近邻原子数：12个7大晶系，14种布拉菲格子，32种宏观对称操作。
密堆积配位数配位数：一个原子周围最近邻的粒子数。
致密度：晶胞中粒子所占的体积与晶胞体积之比。
比值越大，堆积越密。
粒子被看作为有一定半径的刚性小球。
最近邻的小球互相相切。
两球心间的距离等于两最近邻粒子间的距离。
1.同种粒子构成的晶体原子半径相同，刚球半径也相同。
一般采用密堆积。
配位数为12、8。
2. 不同粒子组成的晶体（1）氯化铯（CsCl）Cs+离子半径为r，Cl-离子半径为R，则r = 0.73R 配位数为8。
（2）氯化钠（NaCl）， Na+离子半径为r，Cl-离子半径为R，则r = 0.41R 配位数为6。
晶列、晶面、密勒指数；晶向：晶格可看成是在任意方向上由无穷多的平行直线组成的，所有的格点都落在这些直线上。
每一条这样的直线称为晶格的一个晶列。
晶列的方向称为晶格的晶向。
晶向的表示：晶向指数 [ l1l2l3 ]：任取一个格点作为原点O。
作晶胞基矢a、b、c，考虑某晶列上的一个格点P，该格点的位矢为：l1a1+ l2a2+ l3a2且l1 l2 l3 为三个互质整数。
则该晶向指数为[ l1 l2 l3 ]。
晶面：晶格可在任意方向上分割成无穷多的平行平面组成，使得所有的格点都落在这些平面上。
所有互相平行的平面构成一族，称为晶格的晶面。
晶面的表示：在晶胞基矢a、b、c下，一晶面与它们的截距分别为 l'a、m'b、n'c若有互质整数 l、m、n 使（lmn）称为晶体的密勒指数（Millerindices）。
第01章 晶体结构
1、体心立方晶格
① 体心立方晶格的晶胞（见右图）是由 八个原子构成的立方体，并在其立方 体的中心还有一个原子 ② 因其晶格常数 a=b=c ，通常只用常数 a 表示。由图可见，这种晶胞在其立方 体对角线方向上的原子是彼此紧密相 接触排列着的，则立方体对角线的长 度为31/2a，由该对角线长度31/2a上所分 布的原子数目（共2个），可计算出其 原子半径的尺寸r= 31/2a /4。 ③ 在体心立方晶胞中，因每个顶点上的 原子是同时属于周围八个晶胞所共有， 实际上每个体心立方晶胞中仅包含有： 1/8×8+1=2个原子。 ④ 属于这种晶格的金属有铁（＜912℃， α-Fe) 、 铬 （ Cr ） 、 钼 （ Mo ） 、 钨 （w）、钒（V）等。
4 3 2 a 3 4 体心立方致密度= ＝68％ 3 a
3
1.晶格的致密度及配位数
配位数：指晶格中任一原子周围所紧邻的最近且等距离的原子 数。配位数越大，原子排列也就越紧密。在体心立方晶格中， 以立方体中心的原子来看，与其最近邻等距离的原子数有8个， 所以体心立方晶格的配位数为8。面心立方晶格的配位数为12。 密排六方的配位数为12。
确定晶向指数的方法2
1. 建立坐标系 结点为原点，三棱 为方向，点阵常数为单位 ； 2. 在晶向上任两点的坐标(x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若平移晶向或坐标， 让在第一点在原点则下一步更简 单)； 3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2-z1 ； 4. 化成最小、整数比u：v：w ； 5. 放在方括号[uvw]中，不加逗号， 负号记 晶格模型
(C) 体心立方晶胞原子数
2、面心立方晶格
① 面心立方晶格的晶胞见右图也是由八个原 子构成的立方体，但在立方体的每一面的 中心还各有一个原子。 ② 在面心立方晶胞中，在每个面的对角线上 各原子彼此相互接触，其原子半径的尺寸 为r=21/2a/4。 ③ 因每一面心位置上的原于是同时属于两个 晶胞所共有，故每个面心立方晶胞中包含 有：1/8×8＋1/2×6=4个原子。 ④ 属于这种晶格的金属有铝（Al）、铜（Cu ）、镍（Ni）、铅（Pb）等。
晶体结构基础知识
结论 r 为 0.414 —— 0.732，6 配位 NaCl 式晶体结构。 r
当 r + 继续增加，达到并超过 r 围可容纳更多阴离子时，为 8 配位。r
0.732 时，即阳离子周
若 r + 变小，当
r r
0.414
，
则出现 a ) 种情况，如右图。阴离
子相切，阴离子阳离子相离的不稳
+
Cl Cs
CsCl晶体的结构：
立方ZnS晶体结构
立方ZnS型离子晶体:
结构基元及每个晶胞中结构基元的数目: ZnS; 4个; Zn和S离子的配位数都是4；
六方ZnS型离子晶体:
CaF2型离子晶体:
结构基元及每个晶胞中结构基元的数目: CaF2; 4个; Ca和F离子的配位数分别是8和4
例题分析：
• 如图所示的晶体结构是一种具有优良的压电 铁 电 光电等功能的晶体材料的最小结构单元晶胞 晶体内与每个Tｉ紧邻的氧原子数和这种晶体 材料的化学式分别是各元素所带的电荷均已略 去
O原子 Ti原子 Ba原子
例题解析：
O原子 Ti原子 Ba原子
Ba：1x1 Ti：8x1/8 O：12x1/4
属
属于4个小立方体
于
8
个
小
立
方
体
有1/8属于 该立方体
有1/4属于 该立方体
有1/2属于 该立方体
完全属于该 立方体
小结：
运用晶胞可以将复杂的问题简单化;求晶体中微粒个 数比步骤如下： 1找到晶体的最小重复单元——晶胞： 2 分析晶胞中各微粒的位置： 位于晶胞顶点的微粒;实际提供给晶胞的只有1/8； 位于晶胞棱边的微粒;实际提供给晶胞的只有1/4； 位于晶胞面心的微粒;实际提供给晶胞的只有1/2； 位于晶胞中心的微粒;实际提供给晶体的是1 3数清晶胞中各微粒的个数： 晶体中的微粒个数比=微粒提供给每个晶胞的数值× 晶胞中微粒个数之比
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体和四面体间隙的大小。
CHENLI
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1-3 常见的晶体结构
一、金属晶体结构
（一）三种典型金属晶体结构
1. 面心立方结构
（1）晶胞模型
（2）单胞原子数
（3）原子半径
（4）配位数和致密度
பைடு நூலகம்
（5）原子面密度
（6）重要的晶面和晶向
（7）具有面心立方结构的C典HE型NLI金属
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1-3 常见的晶体结构
2. 体心立方结构
（1）晶胞模型
（2）单胞原子数
CsCl型晶体结构
NaCl型晶体结构
CHENLI
立方ZnS型晶体结构
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1-3 常见的晶体结构
（二）AB2型化合物的晶体结构
c
CaF2型晶体结构
a
a
Ti 4+
O2-
TiO2型晶体结构
Si 4+
O2-
-方石英型晶体结构
CHENLI
11
1-3 常见的晶体结构
（三）A2B3型化合物的晶体结构
-Al2O3型晶体结构
A
A
A
A
A
A
A
CHENLI
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1-3 常见的晶体结构
(三) 晶格间隙
1. 晶格间隙：晶体中未被原子占据的空间 2. 面心立方结构中的晶格间隙 （1）八面体间隙 （2）四面体间隙
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1-3 常见的晶体结构
3. 体心立方结构中的晶格间隙
（1）八面体间隙
A
（2）四面体间隙
C
F
E
D
B
CHENLI
CHENLI
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1-3 常见的晶体结构
三、共价晶体（原子晶体）结构
a
b
金刚石型晶体结构（配位数为4）
a — 共价键; b — 晶胞
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1-3 常见的晶体结构
三、共价晶体（原子晶体）结构
As、Sb、Bi的晶体结构（配位数为3）
Se和Te的晶体结构（配位数为2）
CHENLI
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1-3 常见的晶体结构
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1-3 常见的晶体结构
思考题： 1. 分别画出面心立方、体心立方、密排六方
晶胞，并分别计算面心立方、体心立方、密排 六方晶体的致密度。
2. 分别计算面心立方晶体{111}晶面和体心 立方晶体{110}晶面原子面密度。
CHENLI
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1-3 常见的晶体结构
(二) 金属晶体中的原子堆垛方式
刚球密堆模型 面心立方晶体的堆垛顺序 密排六方晶体的堆垛顺序
（3）原子半径
（4）配位数和致密度
（5）原子面密度
（6）重要的晶面和晶向
（7）具有体心立方结构的CHE典NLI 型金属
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1-3 常见的晶体结构
3. 密排六方结构
（1）晶胞模型
（2）单胞原子数
（3）原子半径
（4）配位数和致密度
（5）原子面密度
（6）重要的晶面和晶向
（7）具有密排六方结构的CH典ENL型I 金属
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1-3 常见的晶体结构
4.密排六方结构中的晶格间隙 （1）八面体间隙 （2）四面体间隙
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1-3 常见的晶体结构
(四) 多晶型性与同素异构转变
1. 多晶型性（同素异构性） 2. 铁的多晶型性 3. 同素异构转变
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1-3 常见的晶体结构
二、离子晶体结构 （一）AB型化合物的晶体结构