三重积分 柱坐标与极坐标PPT

常见曲面的柱面坐标方程
用柱面坐标计算三重积分的一般步骤：
次序为：zr
1、将区域往xoy面上投影，确定平面区域D
2、利用公式
x r cos, y r sin, z z.
将的边界曲面、被积函数 f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为柱面坐标 系下形式；
3、过D内任一点（x，y）做平行于z 轴的直线，穿区域确定z的上下限；
4、在 D上分别确定r、上下限（类同于平面极坐标）
柱面坐标常用于：
圆柱体和圆锥体上的三重积分。
例1. 计算三重积分
其中 由抛物面
z x2 y2 与平面 z 4 所围成 .
解: 在xOy面上的投影区域D:
z
上边界曲面为z 4 下边界曲面为z .
4
在柱面坐标系下
原式 =
2π
d
2
d
4
zd z
常见曲面的柱面坐标方程
曲面
半球面
圆锥面 旋转抛物面
直角坐标方程 z a2 x2 y2 z x2 y2 z x2 y2
柱面坐标方程 z a2 r2
zr z r2
圆柱面 圆柱面 圆柱面
x2 y2 a2 x2 y2 2ax x2 y2 2ay
ra
r 2a cos r 2asin
利用柱坐标计算三重积分的步骤
考虑是否用柱坐标计算
Ω的投影为圆或圆的一部分 f(x,y,z)中含有x2 y2或arctan y
x
f ( x, y, z)dxdydz
三
变
化为柱坐标系下 三重积分
、 一 勿
积分区域 Ω 被积函数f (x, y, z) 体积元素 dxdydz
忘 一个勿忘
柱坐标表示 f ( cos, sin, z) d d dz
b
a d zDZ f (x, y, z)dxdy
先一后二”积分法的基本步骤:
z
1. 把Ω往xoy平面上投影,得积分区域D;
2. 确定上下曲面函数，得 z的积分限;
3. 先求关于z的定积分,得x,y的二元函数;
4. 再求关于x,y的二重积分. “先二后一”积分法的基本步骤:
z
O x
Dxy
y
b
1. 把Ω向z轴投影,得z的积分限[a,b];
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 z
d v d dd z
z
因此
f (x, y, z)dxdydz
d d dz
dz
O
y
其中
F(, , z) f ( cos , sin , z )
x d
d
d d d
适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
z
回忆用投影法（先一后二）计算三重积分
f (x, y, z)dV dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1 ( x, y )
O
Dxy
y
x
如果积分区域 在坐标面上的投影区域 D 是圆域
则二重积分应当考虑用极坐标计算.
这就等于用柱面坐标计算三重积分.
2. 利用柱坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3,将x, y用极坐标, 代替, 则（, , z)
就称为点M 的柱坐标.
直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin
zz
坐标面分别为
常数 常数
z 常数
00z2π
圆柱面 半平面 平面
z z
M (x, y, z)
O
y
x
(x,
y,0)
元素区域由六个坐标面围成
0
0
2
2 π 1 2 (16 2 )d 20
xO y dv d ddz
64 .
3
例2. 计算
(x2 y2 )dv, 其中 由圆锥面
与平面 z 2所围成 .
z x2 y2
解：
由z z
2
x2
y2
得交线 上投影区域为
x2
y2 4, 故在xOy平面
Dxy {(x, y) | x2 y2
三
变
化为球坐标系下 三重积分
、 一 勿
积分区域 Ω 被积函数f (x, y, z) 体积元素 dxdydz
忘 一个勿忘 r2 sin
球坐标表示 F (r,, ) r2 sindrdd
化为累次积分
f (r sin sin , r sin cos , r cos )r2 sindrdd
积分次序：一般先r后φ再θ．
化为累次积分
f ( cos , sin , z)dddz
积分次序：一般先z后ρ再θ
定限方法：投影、发射
计算累次积分 注意 对一个变量积分时，将其余变量 视为常数
利用球坐标计算三重积分的步骤
考虑是否用球坐标计算
Ω的球或球的一部分 f(x,y,z)中含有x2 y2 z2
f ( x, y, z)dxdydz
定限方法：观察、想象．
计算累次积分 注意 对一个变量积分时，将其余变量 视为常数．
小结
三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分）
在直角坐标系下的体积元素
dv dxdydz
方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一”
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)d z
D
z1(x, y)
4}
上边界曲面为z 4 下边界曲面为z .
(x2 y2)dv
2
d
2
d
2 2 dz
0
0
dv d ddz
2
2 3d
2
dz 2
2 3(2 )d 16
0
0
5
例3. 计算三重积分
其中 由球面
x2 y2 z2 2与抛物面
x2 y2 z 所围成 .
解:
由 2 z2 2 知交线为
柱面 与 d;
半平面与 d;
平面z与z dz
在柱面坐标系中体积元素为
d v d dd z
因此
f (x, y, z)dxdydz
z
o
x
dv z dz
z
y
d
d
d d dz
d d d
当积分域的投影域D为与圆域有关的区域时,
一般选用柱面坐标,此时曲面应表示为z z(r, ).
2 z
z 1, 1,
z
上边界: z 2 2 , 下边界: z 2,
原式 =
2π
d
1
d
2 2
zdz
x
0
0
2
o
y
1 2
2
d
0
1(2 2 4)d
0
2Байду номын сангаас
1 4
4
1 6
6
1 0
7 12
.
例4. 计算三重积分
其中 为
由柱面 x2 y2 2x 及平面 z 0, z a (a 0), y 0 所
z Dz
2. 对z∈[a,b]用过点(0,0,z)且平行 xOy平面的平面去截Ω ，得截面Dz;
a y
3. 先求关于x,y的二重积分,得
x
F(z) f (x, y, z)dxdy
4. 最后计算单积分
b
a F (z)dz
Dz
第三节
第十章
三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
2. 利用柱坐标计算三重积分