八年级数学上册轴对称解答题(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学上册轴对称解答题（培优篇）（Word版含解析）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90º，D、E 分别在 BC、AC 边上，连接 AD、BE 相

交于点 F，且∠CAD＝1

2

∠ABE．

(1)求证：BF＝AC；

(2)如图2，连接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度数；

(3)如图3，在⑵的条件下，若 AE＝3，求 BF 的长.

【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4.

【解析】

【分析】

（1）设∠CAD=x，则∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，进而得到∠BAF =∠AFB，即可得到结论；

(2)由∠AEB=90°-2x，进而得到∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，由BF＝AB，可得：

∠EFD=∠BFA=90°-x，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC，即可求解；

(3)设EF＝EC=x，则AC=AE+EC=3+x，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x，根据勾股定理列出方程，即可求解.

【详解】

（1）设∠CAD=x，

∵∠CAD＝1

2

∠ABE，∠BAC＝90º，

∴∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，

∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°，

∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，

∴∠BAF =∠AFB，

∴BF＝AB；

∵AB＝AC，

∴BF＝AC；

（2）由（1）可知：∠CAD=x，∠ABE=2x，∠BAC＝90º，∴∠AEB=90°-2x，

∵EF＝EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x，

∴∠EFC=（90°-2x ）÷2=45°-x ，

∵BF ＝AB ,

∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x ，

∴∠EFD=∠BFA=90°-x ，

∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x ）-(45°-x)=45°；

（3）由（2）可知：EF ＝EC ，

∴设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ，

∴AB=BF=AC=3+x ，

∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ，

∵∠BAC ＝90º，

∴222AB AE BE +=，

∴222

(3)3(32)x x ++=+，

解得：11x =，23x =-（不合题意，舍去）

∴BF=3+x=3+1=4.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理，用代数式表示角度和边长，把几何问题转化为代数和方程问题，是解题的关键.

2．如图，在ABC △中，已知AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF EF =．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ，结合D 是BC 的中点，易证△ADC 和

△GDB 全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.

【详解】

如图，延长AD 到点G ，延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ．

∵AD 是BC 边上的中线，

∴DC DB =． 在ADC 和GDB △中，

AD DG ADC GDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

（对顶角相等）， ∴ADC ≌GDB △（SAS ）．

∴CAD G ∠=∠，BG AC =．

又BE AC =，

∴BE BG =．

∴BED G ∠=∠．

∵BED AEF ∠=∠

∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠

∴AF EF =．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.

3．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”.

理解：

（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；

（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ∆的“好好线”；

在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；

应用：

（3）在ABC ∆中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”，点D 在BC 边上，点

E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.

【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42°

【解析】

【分析】

（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数．

（2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；

（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得∠C 的值；

【详解】

解：（1）∵AB=AC ，

∴∠ABC=∠C ，

∵BD=BC=AD ，

∴∠A=∠ABD ，∠C=∠BDC ，

设∠A=∠ABD=x ，则∠BDC=2x ，∠C=°180-2

x 可得°180-22

x x = ∴x=36°

则∠A=36°；

（2）如图所示：