2004-2010华中师范大学数学分析考研真题

2004年数学分析

1.求下列极限(共50分,第1,2小题各10分,第3,4小题各15分)

(1)2

1

sin

lim(cos )

x

x x →

(2)n

(3)74

lim x x →∞

- (4)1lim sin

(sin

)2n

n k k n n

π

π

→∞

=∑ 2.(15)设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,若12,x x 是)(x f 在区间],[b a 上的两个零点，证明：存在

[,]a b ξ∈，使得'()()'()0f f g ξξξ+=

3.(15)设)(x f 在)0](,[>>a b b a 上连续,在),(b a 内可导,证明:在),(b a 内存在,ξη使b

a f f ⋅'⋅=')

()(2ηηξ.

4.(15)设)(x f 在],[b a 上黎曼可积,证明:()

f x e

在],[b a 上也是黎曼可积的.

5.(15)'()(1,2,3,n f x n =…）在],[b a 上连续,函数)(x g 在],[b a 上也连续,且对],[b a 中任意的12,x x 和正整数n ,有

1212|()()|||n n M

f x f x x x n -≤

-(0>M ),证明:lim ().'()0b

n n a

g x f x dx →+∞=⎰

.

6.(15)设()n f x ( ,2,1=n )在],[b a 上连续,且{()}n f x 在],[b a 上一致收敛与)(x f .证明:

(1)存在0>M ,使对任何自然数n ,有|()|,|()|n f x M f x M ≤≤及. (2)若)(x F 为-∞+∞（，）

上连续函数,则(())n F f x 一致收敛于))((x f F .

7.(10)设函数)(x f 在闭区间]1,1[-上具有三阶连续导数,且0)0(,1)1(,0)1(='==-f f f ,证明:在)1,1(-内至

少存在一点ξ,使得(3)

()3f

ξ=.

8.(15)函数),(y x F 在点00(,)x y 的某个邻域内有连续的二阶偏导数,且

00000000(,)0,'(,)0,'(,)0,''(,)0x y xx F x y F x y F x y F x y ==><,

证明:由方程),(y x F 确定的隐函数()y f x =在0x 点取得极小值.

2005年数学分析

1.求下列极限或指定函数的值:

(1)1!2!3!!

lim !n n n →∞+++

+(10分) (2)5

(21)

lim 62n n n

→∞

-(10分)

(3)1

3

2

lim [().2

x x x x x e →+∞-+(10分) (4)设)(x f 在0=x 的邻域二阶可导,且

1

30()lim(1)x x f x x e x

→++=,求(0),'(0),''(0)f f f 的值.(15分) 2.(15)设函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导,且在),(b a 上'()0g x ≠,证明:存在)()'()

(,)()()'()

f a f f a b

g g b g ξξξξξ-∈=-(使

.

3.(15)设函数()f x 在]4,2[上有连续的一阶导函数,且(2)(4)0f f ==,证明：4

24

2

max |'()||()|x f x f x dx ≤≤≥⎰.

4.(13)设有方程.sin (01)x m q x q =+<<.若0101,.sin ,,sin ,,n n x m x m q x x m q x +==+=+证明:{}n x 收敛; 设

lim n n x l →+∞

=,再证明l 是方程.sin x m q x =+的唯一解.

5.(13)证明:函数项级数11((1))x n

n x e n

n ∞

=-+∑在任何有穷区间[,]a b 上一致收敛.

6.(13)设()f x 在[,]a b 上二阶可导,且''()0f x >,证明:1

()()2b

a

a b f f x dx b a +≤-⎰. 7.(13)设12,,,,n a a a 均为常数,证明:函数项级数1

01..!x

n t n n a t e dt n ∞

-=∑⎰在[,]a b 上一致收敛. 8.(13)设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，

()0,f x c ≥≥用可积准则证明：函数ln ()f x 在[,]a b 上黎曼可积.

9.(10)设()f x 在[,]a b 上具有连续的二阶导数,证明:在(,)a b 内存在ξ,使得

31

()()(

)().''()224

b

a

a b f x dx b a f b a f ξ+=-+-⎰

2006年数学分析

1.(30) (1)1

11

sin

)1(sin lim

121

----→x x e x x . (2) 设x x a x y +=,求y '. (3)

dx x

x ⎰+

ln 1

ln ln . (4)设y

x y x y x f y arcsin

)1(),(2-+=,求)1,(x f x '

. (5)dxdy e y x y x

D

2

2

)(+⎰⎰+,其中}1),{(22≤+=y x y x D . (6) 求⎰-=L

ydx ydy x I cos sin ,其中L 是从点

)0,0(O 到点)0,(πA 的正弦曲线有x y sin =.

2.(20)设)(x f 在(,)a +∞上可导,且'()f x 在(,)a +∞上有界,证明:(1) )(x f 在(,)a +∞上一致连续.

(2)()lim ()lim ()x x a

f a f x f x +

+→∞

→=存在，但不一定存在.