基本初等函数总复习

指数函数总复习

【知识点回顾】

一、指数与指数幂的运算 （1）根式的概念

①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次

方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用

符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．

n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．

n a =；

当n a =；当n 为偶数时， (0)

|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n

a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于

0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n

n a

a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质

①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 二、指数函数及其性质 （4）指数函数

定义域R

值域（0,+∞）

过定点图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．

奇偶性非奇非偶

单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值

的变化情况y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x

＜0)

y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞

0)

a变化对

图象的影

响在第一象限内，a越大图象越高，越

靠近y轴；

在第二象限内，a越大图象越低，越

靠近x轴．

在第一象限内，a越小图象越高，越靠

近y轴；

在第二象限内，a越小图象越低，越靠

近x轴．

【考点链接】

考点一、指数的运算

x

a

y=

x

y

(0,1)

O

1

y=

x

a

y=

x

y

(0,1)

O

1

y=

例1．化简：111442

4111244

()a b b a a b --=- ．

例2. 根据下列条件求值：已知32

12

1

=+-x

x ，求

2

3

2

22

32

3-+-+--

x x x x 的值；

练习1：计算：

（1）102

0.5231(2)2(2)(0.01)54

--+⋅-

（2）1

20.7503

11

(0.064)()16()2322

----

÷+-．

(3) 243322

1

)(---⋅÷⋅a b b a

（4）21

151133

6622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

考点二、定义域

例3． 求下列函数的定义域：

2

1(1).2-=x y 31(2).3-⎛⎫= ⎪

⎝⎭

x

y

练习2．求下列函数的定义域:

（1）1

x 21y ()2

-= （2）2x 3

y 5

-=

考点三、值域

例4． 函数1

1

x x e y e -=+的值域

练习3、(1)求函数2(0)21

x

x

y x =>+的值域．

(2)求下列函数的定义域、值域： （1）121

8x y -= （2）1

1()2

x y =-（3）3x y -=

考点四、指数型函数

例5. 已知函数3234+⋅-=x x y 的定义域为[0，1]，则值域为 。

练习4.若方程0)2

1

()41(=++a x x 有正数解，则实数a 的取值范围是

考点五、函数的奇偶性与解析式

例6．（1）函数()f x 是奇函数,且当0x ≥时,()1x f x e =-,则x R ∈ 时,()f x =_____．

（2）设0,()x x e a

a f x a e

>=+是R 上的偶函数,则a =________________．

练习5．（1）定义在R 上的函数()f x 是奇函数,且当0x >时,()1x f x e =+,则x R ∈ 时,()f x =__________． （2）已知函数1

()21

x

f x a =-

+,若()f x 为奇函数,则a =________________． （3）已知)1,0(1

)

1()(≠>+-=a a a a x x f x

x ，试判定)(x f 的奇偶性。

考点五、函数的单调性

例7．（1）比较下列各组数的大小：

（1）0.1-和 0.24

-； （2）163()4和154()3-； （3）2

(0.8)-和1

25()3- ．