第10章压杆稳定

l x 时, 2
l y ( ) ymax a 2
y(x)=a sin x l
a为压杆中点挠度。
§10-1 压杆稳定与临界载荷
2、其他杆端约束细长压杆的临界力 1） 一端固定，一端自由
2l
F cr =
2EI
（2l）2
§10-1 压杆稳定与临界载荷
2） 一端固定，一端铰支
BC段,曲线上凸, CA段,曲线下凸,
y a sin kx
若a=0，则
因此
a sin kl 0
y 0
（与假设不符）
sin kl 0
解得：
n k , (n 0,1,2, ) l
§10-1 压杆稳定与临界载荷
k
载荷 屈曲位移函数 临界载荷
n , (n 0,1,2,) EI l Fp
l2 y(x)=a sin nx l 2EI —欧拉公式 l2 Fp=
2
由此得
arc tg(ctg )
2

①

90
②
§10-2 临界应力与临界应力总图
1、问题的提出
能不能应用欧拉公式计算 四根压杆的临界载荷？四根压 杆是不是都会发生弹性屈曲？
2、三类不同的压杆
细长杆—发生弹性屈曲 中长杆—发生弹塑性屈曲 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服
§10-2 临界应力与临界应力总图
可查得
a 304MPa, b 1.12MPa
l
§10-2 压杆稳定与临界载荷
a s 0 61 .6 b 0 < p 可用直线公式.
因此
Fcr cr A (a b ) A
2 (304 1.12 77 ) 10 d 4
6
462 KN
临界力计算的步骤
2
§10-2 压杆稳定与临界载荷
例10-3 有一千斤顶,材料为A3钢.螺纹内径d=5.2cm，最大高度 l=50cm,求临界载荷 Fcr。(已知 s 235MPa, p 200MPa )
F
解:
惯性半径:
I d i A 4
2 0 .5 柔度: 77 i d /4 p 100 A3钢:
§10-2 压杆稳定与临界载荷
2
图10-4 图10-3 a．对于柔度较小的短粗杆，可取作为临界应力，即以强度计 算为主。 b．对于λ 较大的细长杆，稳定问题是主要矛盾，应用欧拉 公式计算临界应力。 c．对于λs≤λ<λp的中长杆，则应为应力超过比例极限后 的稳定问题，一般用经验公式计算临界应力。
§10-2 压杆稳定与临界载荷
§10-2 压杆稳定与临界载荷
例10-4. 截面为 120×200mm的矩形木柱， 材料的弹性模量 E=1×104Mpa,。其支承 情况为：在xoz平面失稳 （即绕y轴失稳）时柱的 两端可视为固定端（例1 图a）；在xoy平面失稳 （即绕z轴失稳）时，柱 的两端可视为铰支端（例 1图b）。试求该木柱的临 界力。
两杆的临界压力分别为：
Pc r 1
2E I
l1
2
，
Pc r 2
2E I
l2 2

①
要使P最大，只有N1 、N 2 都达 到临界压力，即
P cos P sin
2E I
l1 l2
2

（1） （2）
90
②
2E I
2
§10-1 压杆稳定与临界载荷
将式 ( 2) 除以式 (1), 便得 l1 tg ctg 2 l2
该柱将可能在xoy平面失稳（绕z轴）。
§10-3 压杆稳定性核校
一、压杆的稳定计算
稳定安全系数法 压杆的稳定条件
Fcr F [ Fst ] [ nst ]
[ Fst ]
——稳定许用压力
[nst ] ——稳定安全因数
F
——工作压力

cr
[ nst ]
[ st ]
[ st ] ——稳定许用应力
•分析
压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲
I I min
F h
y
x
F
z 例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？
b
（绕哪个轴转动）
§10-1 压杆稳定与临界载荷
I y0 z0 0
I y0 I z0
而
对于矩形截面
y0 , z0 为截面的主惯性轴（主轴）。
为截面对主轴
y0 的惯矩，称为主惯矩。 z0 的主惯矩。
0.7l
1 0; 1 0
( )C 0 即M C 0
1

C y
F cr =
2EI
（0.7l）2
§10-1 压杆稳定与临界载荷
3） 两端固定
同理
M C 0, M D 0
0.7l D 0.5l
F cr =
2EI
（0.5l）2
C
§10-1 压杆稳定与临界载荷
各种支承压杆临界载荷的通用公式
2 Ed
3
4
64a
2
§10-1 压杆稳定与临界载荷
例10-2：图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为 细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的θ 角（设 0<θ <π/2）。
①

90
②
§10-1 压杆稳定与临界载荷
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
N1 P cos ， N 2 P sin
FP>Fcr :在扰动作用下，直线平衡构
§10-1 压杆稳定与临界载荷
二、临界载荷的概念
压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定的平衡状态 向不稳定的状态的质变的转折点,称为临界载荷,以 F cr 表示. 压杆保持直线状态平衡的最大力。
临界载荷 Fcr ：
使压杆失稳（不能保持直线形式的稳 稳定平衡）的最小力。
三、细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 2、其他杆端约束细长压杆的临界力
§
10-1 压杆稳定与临界载荷
考察微弯状态下局部压杆的平衡
1、两端铰支的细长压杆的临界力
FBx Fp
y
§10-1 压杆稳定与临界载荷
若 p ,
则压杆的弯曲变形为
d2y EI 2 M ( x) Fp y dx 2
例10-4图
§10-2 压杆稳定与临界载荷
(3)计算临界力 从上面计算可知：λz>λy（绕z失稳）
max z 121, p
E 104 106 110 6 8 10
p
λmax>λp，可由欧拉公式计算临界力
Pcr
2 EI z
zl
2
2 EA 或 Pcr cr A 161KN 2 z
由此得到两个重要结果
n22EI
F cr =
上式习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。当各个方向的支承情况相同时 （如两端为球铰），压杆总是在它的抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以 式中的EI是压杆的最小抗弯刚度，即I应取截面的最小形心主惯性矩Imin。
§10-1 压杆稳定与临界载荷
1）、I 如何确定 ？
§10-1 压杆稳定与临界载荷
一、压杆稳定的概念 稳定性：主要针对细长压杆
P
P
稳定性：构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力， 是杆件承载能力的一个方面。 如何判断杆件的稳定与不稳定？
§10-1 压杆稳定与临界载荷
FP<Fcr :在扰动作用下，直线平衡构
形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形，则称原来 的直线平衡构形是稳定的。 形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形，则称原来 的直线平衡构形是不稳定的。 在扰动作用下，直线平衡状态转变为 弯曲平衡状态，扰动除去后，不能恢复 到直线平衡状态的现象，称为失稳或屈 曲。
a b
a , b 是与材料有关的常数。
抛物线与欧拉公式的交点C，相应的柔度λc为
2E c 0.57 s
2
§10-2 压杆稳定与临界载荷
6、临界应力总图及临界应力的计算
2
图10-4 图10-3 图10-3和图10-4表示了压杆的临界应力与压杆的柔度λ 间的关系，称为塑性材料压杆的临界应力总图。它表示了 临界应力随柔度λ 变化的规律。从图中可看出，临界应力随 柔度的增大而减小。
y
为截面对主轴
I z0 I max ,
1 3 I z bh , 12
h b
I y0 I min
1 3 I y hb 12
h
z b
Iz I y
所以矩形截面压杆首先在xz平面内失稳弯曲，（即绕 y 轴转动）
§10-1 压杆稳定与临界载荷
2）屈曲位移函数
弹性曲线为一半波正弦曲线。
2
—柔度或长细比
2
E l 2
( i )
E 2 —欧拉公式
§10-2 压杆稳定与临界载荷
4、欧拉公式的适用范围
E cr 2 p
2
或

E
p
p—比例极限 A3钢：
E ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 200GPa, p 200MPa,
p 100
. 即 p时, 欧拉公式成立
细长杆（大柔度杆）—发生弹性屈曲 (p)
( p )
§10-2 临界应力与临界应力总图
5、临界应力总图
当λ ≤ λp时，这类压杆属于临界应力超出比例极限的压 杆稳定问题。其临界应力一般运用由实验所得的经验公式 来计算。常用的经验公式有二种，一种是直线型经验公式， 另一种是抛物线型经验公式。 1）直线公式 对于柔度 0 < p 的中柔度杆（中长 压杆），临界应力与λ的关系采用直线公式： cr a b
Pcr

EI
2
2a

2

EI
2
2a
2
故杆系所能承受的最大载荷
Pmax Pcr
EI
2
2a
2

Ed
3
4
128a 2
§10-1 压杆稳定与临界载荷
(b ) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
Pcr
EI
2
a
2
故杆系所能承受的最大载荷：
Pmax 2 Pcr
例10-4图
§10-2 压杆稳定与临界载荷
解：(1)计算绕y轴失稳时的柔度 μy=0.5（两端固定）；
iy Iy A yl iy b 2 3 0.0346m;
y
0.5 7 101 0.0346
(2)计算绕z轴失稳时的柔度 μz=1（两端铰支）；
Iz h 0.0577 m; A 2 3 l 1 7 z z 121 iz 0.0577 iz
§10-1 压杆稳定与临界载荷
例10-1：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成平面正 方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。求 图 (a)、(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大 载荷。
CL13TU15
§10-1 压杆稳定与临界载荷
解：(a ) 杆BD受压，其余杆受拉
BD杆的临界压力:
设k
2
Fp EI
Fp y d y 2 dx EI
则
,
y
通解为
d2y 2 k y0 2 dx
(二阶线性常数 齐次微分方程)
y a sin kx b coskx
式中a、b、k为待定常数。
§10-1 压杆稳定与临界载荷
边界条件为：
1）x=0，y=0 2）x=l，y=0 b=0
F — 工作应力 A
§10-3 压杆稳定性核校
压杆的稳定条件
nst [nst]
Fcr cr nst F F A nst
— 工作安全因数 — 工作应力
——工作稳定安全因数
例10-5 已知：b=40mm, h=60mm, l=2300mm,Q235 钢, s 235MPa, p 200MPa E＝200GPa,FP＝150kN,nst=1.8， 校核:稳定性是否安全。
3、临界应力与柔度
在临界力作用下，压杆横截面上的平均压应力称作临界 应力，以 cr 表示，由欧拉公式(13-5)可得： Pcr 2 EI cr 2 2 A l 2 A Ei A I cr 2 引入惯性半径 i ，则有 ( l) A A

定义

cr
l
i

a、b是与材料有关的常数。
a s (塑性材料) b a b (脆性材料) b b
s
临界应力总图——临界应力随柔度变化的曲线
§10-2 临界应力与临界应力总图
粗短杆 中长杆 细长 杆
0
临界应力总图
§10-2 临界应力与临界应力总图
2） 抛物线公式
对于柔度(λ<λc)的杆件，临界应力与λ的关系采用抛物线公式： 2 （ 0 < c ） cr
——相当系数（长度系数），
l——相当长度
F cr =
2EI ( l)2
一端自由，一端固定 ＝2.0 一端铰支，一端固定 ＝0.7 两端固定 ＝0.5 两端铰支 ＝1.0
欧拉公式是以压杆的挠曲线的近似微分方程式为依据导 出的，这个微分方程只是在材料服从虎克定律的条件下才成 立。因此，只有在压杆内的应力超过材料的比例极限 p 时， 才能用欧拉公式来计算临界力。