§2.3 泊松分布和二项分布的近似的解释
§2.3 泊松分布和二项分布的近似的解释解析
P X 3 1 C 0.1 0.9
k 0 k 10 k
2
10 k
0.0702.
10
四、泊松分布
两点分布和二项分布都是以伯努利试验为背 景，即将要研究的分布以法国数学家和物理学
家——泊松的名字来命名． 若离散型随机变量Ｘ的分布列为
P X k
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2,
其中
, n,
0 p 1 , q p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
分布列正则性验证：
p C
k 0 k k 0
n
n
k n
pq
k
n k
p q 1.
n k
k
k!
e .
即
C p 1 p
k n k
np
n很大, p很小
k
k!
e .
14
这个结论可叙述为：
☎
在
n 较大， p 很小的条件下，参数为 n,
p 的二项分布的概率计算问题可以转化成参数
为
np 的泊松分布的概率计算问题．
例2.11 在例2.9中，根据二项分布我们已 经计算出了认为新药有效的概率约为7.02℅，
1 1 得 p , 故 X ~ B 3, , 于是 3 3 2 1 2 2 2 P X 2 C3 . 3 3 9
9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
二项分布、泊松分布、正态分布的联系
二项分布、泊松分布、正态分布的联系二项分布、泊松分布和正态分布是统计学中常见的三种分布类型。
它们在不同的领域和应用中被广泛使用，包括生物学、物理学、经济学和工程学等。
虽然它们各自有不同的特征和应用，但是它们之间也存在联系和相互影响，本文将探讨这些联系。
一、二项分布二项分布是一种离散概率分布，表示在一系列独立的试验中成功次数的概率分布。
它的特征是每个试验的结果只有两种可能，成功或失败，而且每个试验的成功概率是固定的。
对于一个二项分布来说，它的概率密度函数可以表示为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，n表示试验次数，p表示每次试验的成功概率，k表示成功的次数，C(n,k)表示组合数，表示从n个试验中选k个试验成功的组合数。
二项分布在实际应用中非常常见，例如在制造业中检验产品的合格率、在市场调查中统计消费者的购买意愿等。
通过计算二项分布可以得到试验中成功的概率，从而做出相应的决策。
二、泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在一定时间或空间内发生某一事件的次数。
它的特征是事件的发生是随机的，而且事件发生的概率在时间或空间上是均匀分布的。
对于一个泊松分布来说，它的概率密度函数可以表示为：P(X=k)=e^(-λ)(λ^k)/k!其中，λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数，k 表示事件发生的次数。
泊松分布在实际应用中也非常常见，例如在交通流量的研究中、在疾病流行的研究中等。
通过计算泊松分布可以得到事件发生的概率，从而做出相应的决策。
三、正态分布正态分布是一种连续概率分布，也称为高斯分布。
它的特征是在自然界中非常常见，例如身高、体重、温度等。
正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x)=1/σ√(2π) e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ表示分布的平均值，σ表示分布的标准差。
正态分布在实际应用中也非常常见，例如在统计样本的分布中、在财务分析中等。
通过计算正态分布可以得到分布的概率密度，从而做出相应的决策。
二项分布、泊松分布、伽马分布
一、二项分布二项分布是一个离散型概率分布，在一系列独立的重复的是/非试验中，每次试验只有两种可能的结果，例如成功与失败。
如果每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，那么进行n次独立重复试验后，成功k次的概率可以用二项分布来描述。
1.1 二项分布的概率密度函数设X表示n次重复试验中成功的次数，其概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中C(n,k)表示组合数，即从n中选取k个的组合数，计算公式为C(n,k) = n!/(k!*(n-k)!).1.2 二项分布的期望和方差二项分布的期望和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p).1.3 二项分布的特点二项分布的特点是其概率分布函数在图像上呈现出左侧低、右侧高的倾斜形态。
当试验次数n较大时，二项分布近似于正态分布。
二、泊松分布泊松分布是一种描述单位时间（或单位面积、体积等）内随机事件发生次数的概率分布，常用于描述单位时间内独立随机事件发生次数的概率。
2.1 泊松分布的概率密度函数设X表示单位时间内随机事件发生的次数，其概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中λ表示单位时间内随机事件的平均发生次数。
2.2 泊松分布的特点泊松分布的特点是其概率密度函数在大部分取值区间内值较小，且随着随机事件发生次数增多而减小。
在实际应用中，泊松分布常用于描述稀有事件的发生概率，例如单位时间内交通事故的发生次数、单位面积内颗粒的沉积数等。
三、伽马分布伽马分布是一种连续型概率分布，常用于描述随机事件的持续时间或等待时间的概率分布。
3.1 伽马分布的概率密度函数伽马分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x|α,β) = ( β^α * x^(α-1) * e^(-βx) ) / Γ(α)其中α和β为伽马分布的两个参数，Γ(α)表示Γ函数，x≥0。
二项分布与泊松分布比较
二项分布与泊松分布比较二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对二项分布和泊松分布进行比较，分析它们的特点、适用范围以及优缺点，帮助读者更好地理解和应用这两种分布。
一、二项分布二项分布是最基本的离散概率分布之一，描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。
在每次试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。
若进行n次试验，成功的次数为X，则X服从参数为n和p的二项分布，记为X~B(n,p)。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。
二项分布适用于满足以下条件的问题：1）进行n次独立重复的伯努利试验；2）每次试验只有两种可能的结果；3）每次试验中成功的概率为常数p。
二、泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，适用于描述低概率事件在长时间或大空间内的发生情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中e为自然对数的底。
泊松分布的期望和方差均为E(X) = Var(X) = λ。
泊松分布适用于满足以下条件的问题：1）事件在时间或空间上是独立分布的；2）事件在任意非重叠的时间或空间区间内的发生概率相等；3）事件的平均发生率λ是已知的。
三、二项分布与泊松分布的比较1. 适用范围：二项分布适用于描述有限次独立重复试验中成功次数的分布，适用于成功概率固定的情况；而泊松分布适用于描述单位时间或单位空间内事件发生次数的分布，适用于事件发生率很低的情况。
2. 参数设定：二项分布需要设定试验次数n和成功概率p两个参数；泊松分布只需要设定平均发生率λ一个参数。
3. 连续性：二项分布是离散分布，描述的是离散的事件发生次数；泊松分布是连续分布，描述的是连续的事件发生情况。
二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布
二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分
布
二项分布是离散概率分布的一种，适用于只有两种可能结果（成功和失败）的独立重复试验。
每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
试验的次数为n。
二项分布表示了在n次独立重复试验中，成功次数为k的概率分布。
泊松分布：
泊松分布是在一段固定时间或空间中，随机事件发生的次数的概率分布。
它适用于事件发生率较低，但时间或空间较大的情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间中事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数是离散的，表示了事件发生次数为k的概率。
均匀分布：
均匀分布是连续概率分布的一种，也称为矩形分布。
在一个定义在[a, b]区间上的随机变量的情况下，均匀分布概率密度函数使得[a, b]区间上每个区间的长度相等，且概率密度函数在该区间上是常数。
均匀分布的概率密度函数是恒定的，且在[a, b]区间外为零。
指数分布：
指数分布是连续概率分布的一种。
它适用于描述独立随机事件的等待时间，当事件发生的概率是恒定的。
指数分布的概率密度函数呈指数形式下降，并且在x 轴上永不为零。
指数分布的参数λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
正态分布：
正态分布是连续概率分布的一种，也称为高斯分布。
它是最常见的概率分布之一，常被用于描述自然界中许多现象的分布情况，如身高、体重等。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，均值和标准差是正态分布的参数。
正态分布具有许多重要的性质，如对称性、中心极限定理等。
二项式分布和泊松分布
二项式分布和泊松分布二项式分布和泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布。
它们在不同的应用场景中具有重要的意义。
本文将分别介绍二项式分布和泊松分布的概念、特点以及应用，并通过实例来说明它们的实际意义。
一、二项式分布二项式分布描述了在n次独立重复实验中成功次数的概率分布。
其中，每次实验只有两个可能的结果：成功或失败。
成功的概率记为p，失败的概率记为q=1-p。
用X表示在n次实验中成功的次数，则X服从二项式分布B(n,p)。
二项式分布的特点是：每次实验之间相互独立，实验结果只有两种可能，成功和失败的概率不变。
二项式分布的应用场景很广泛。
例如，在工程质量控制中，可以使用二项式分布来计算在一批产品中不合格品的数量；在医学研究中，可以使用二项式分布来计算某种疾病在人群中的患病率。
例如，某公司生产的产品合格率为90%，现在从该公司的产品中随机抽取10个进行质量检测，问有几个产品合格的概率是多少？这个问题可以使用二项式分布来解决。
假设成功事件为产品合格，失败事件为产品不合格，成功概率为p=0.9，失败概率为q=0.1。
那么在10次实验中，成功的次数X服从二项式分布B(10,0.9)。
我们可以使用概率计算公式来计算出有几个产品合格的概率。
二、泊松分布泊松分布是描述在一段固定时间或空间内，事件发生次数的概率分布。
它适用于描述独立事件在单位时间或单位空间内发生的次数。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内平均发生的事件次数。
泊松分布的特点是：事件之间独立，事件在单位时间或单位空间内平均发生率不变。
泊松分布在实际应用中有很多场景。
例如，在电话交换机的研究中，可以使用泊松分布来描述单位时间内通话请求的数量；在网络流量分析中，可以使用泊松分布来描述单位时间内收到的数据包数量。
例如，某个餐厅在一小时内平均接待10个客人，问在下一个小时内接待超过15个客人的概率是多少？这个问题可以使用泊松分布来解决。
假设事件为接待客人，单位时间内平均接待的客人数为λ=10。
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种分布，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将分别介绍二项分布与泊松分布的概念及特点，并结合实际案例探讨它们在不同领域的具体应用。
一、二项分布二项分布是离散型概率分布的一种，描述了在一系列独立重复的同类试验中成功次数的概率分布。
在每次试验中，事件发生的概率保持不变且相互独立。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用来描述产品合格率；在医学实验中，可以用来描述药物疗效；在市场营销中，可以用来描述广告点击率等。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间（或单位面积、单位体积）内事件平均发生率，k表示事件发生的次数。
泊松分布常用于描述稀有事件在一定时间内发生的概率，例如在电话交换机中描述单位时间内收到的电话数、在保险业描述车辆事故发生的次数等。
三、二项分布与泊松分布的应用案例1. 电商平台广告点击率预测假设某电商平台在进行广告投放时，希望预测用户点击广告的概率。
可以利用二项分布来描述每次广告曝光后用户点击的概率，通过统计多次广告曝光和点击的数据，估计用户点击广告的整体概率。
2. 交通拥堵预测城市交通拥堵是一个复杂的问题，可以利用泊松分布来描述车辆在单位时间内通过某一路段的数量。
通过分析历史数据，可以预测未来某一时段交通流量的波动情况，从而采取相应的交通管理措施。
3. 医院急诊就诊量预测医院急诊就诊量的波动较大，可以利用泊松分布来描述单位时间内的就诊人数。
通过建立泊松分布模型，医院可以合理安排医护人员的工作时间，提高急诊服务的效率。
二项分布与泊松分布的应用
在物理学中，泊松分布 也被用于描述放射性衰 变的期望值，例如式为：DX = λ
方差可以用来衡量随机事件的波 动程度
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方差的计算需要考虑随机事件的 概率和频率
在泊松分布中，方差与期望值λ相 等
适用场景的对比
计算成功次数
定义：二项分布是描述在n次独立 重复的伯努利试验中成功次数的 概率分布。
公式：X~B(n,p)，其中X表示成 功次数，n表示试验次数，p表示 每次试验成功的概率。
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应用场景：例如，在n次抛硬币试 验中，计算正面朝上的次数。
泊松分布与二项分布的关系：当n 很大，p很小，且np=λ（λ为常 数）时，二项分布近似于泊松分 布。
泊松分布的应用范 围广泛，包括物理 学、生物学、医学 、经济学等领域。
在实际应用中，泊 松分布可以通过数 学公式和概率图来 描述随机事件的概 率分布情况。
计算随机事件的概率
泊松分布适用于 描述单位时间内 随机事件的概率 分布情况
泊松分布的参数 λ表示单位时间 内随机事件的平 均发生率
通过泊松分布， 可以计算出随机 事件发生的具体 概率
注意事项：当n很大或者p很小时，二项分布可能会呈现出泊松分布的特性
与泊松分布的关系：当n充分大且p充分小时，二项分布近似于泊松分布
描述随机事件的概率模型
泊松分布适用于在 一定时间内随机事 件的概率分布，如 单位时间内随机事 件发生的次数。
泊松分布在二项分 布的基础上，考虑 了随机事件的独立 性和成功概率，从 而更准确地描述随 机事件。
二项分布与泊松分布在参数取值范围上也有所不 同，二项分布的参数p取值范围为0<p<1，而泊 松分布的参数λ可以取任意正值。
二项分布近似为泊松分布的证明
二项分布近似为泊松分布的证明好嘞，今天我们来聊聊二项分布和泊松分布这两位“数学朋友”的故事，听上去有点复杂，但其实挺简单的。
想象一下，二项分布就像是个贪吃的小孩，他总是喜欢在玩具店里挑选玩具。
每次去，他都可以挑选好几个玩具，这些玩具能是各种颜色、形状，甚至会有些古怪的造型。
就比如，你想知道在十次挑选中，选中某个特定玩具的次数。
这时候，二项分布就出来了，像个数学小天使，帮你计算出选中的概率。
不过，别忘了，咱们的“贪吃小孩”总是会面临一些问题。
比如说，玩具太多了，挑选的次数也很多。
这样的情况下，统计起来就有点麻烦了。
这时候，泊松分布就像是一位老爷爷，轻轻松松地把复杂的事情变得简单。
他说：“嘿，孩子，别担心，只要你满足一些条件，我就可以帮你把二项分布化繁为简！”好吧，具体条件是什么呢？试验次数得多。
就像你在玩具店里拼命挑选，十次挑选远远不够。
试试一百次，甚至一千次吧。
第二，你要确保每次挑选特定玩具的概率很小，像一根针掉进大海，几乎没什么可能。
听起来像个乞丐捡到黄金的几率，但这就是我们要的。
挑选的次数越多，成功的概率越小，泊松分布就会愈发接近，像两位老朋友慢慢融合。
咱们来点儿实际的。
想象一下，你的玩具店里有一百种玩具，你每次挑选某个玩具的概率是0.01。
这样一来，虽然你去挑选的次数很多，但每次成功的几率依然是个小数。
这就符合了我们的条件。
于是，二项分布的复杂公式变得简单易懂。
哎哟，真是太神奇了！在实际应用中，咱们常常会用泊松分布来描述一些事件发生的频率，比如一天之内商店里进来多少顾客。
试想，如果某商店平均每天接待十位顾客，而每位顾客到达的概率又不算高。
用泊松分布的话，就能很好地帮商店老板预测明天来多少顾客。
听起来是不是很实用？老板如果知道来了多少顾客，肯定能提前准备好小点心招待他们，嘿嘿！现在你可能在想，二项分布和泊松分布到底有什么关系呢？这就像是两种不同的乐器，尽管它们的声音各异，但和谐的曲调却让人心醉。
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用在统计学和概率论中，二项分布和泊松分布是两种重要的离散概率分布，它们广泛应用于各个领域，如生物统计、金融、工程、社会科学和质量控制等。
理解这两种分布的特性及其应用场景，可以帮助我们更好地进行数据分析与决策。
一、二项分布的基本概念二项分布用于描述在固定次数的独立试验中成功次数的概率。
每次试验有两个可能的结果——成功或失败。
具体地说，如果我们进行( n ) 次独立试验，每次成功的概率为 ( p )，则成功次数 ( X ) 的分布可以表示为：[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^{n - k} ]其中，( C(n, k) ) 是组合数，表示从 ( n ) 次试验中成功( k ) 次的方式总数。
1.1 应用场景二项分布的应用非常广泛，常见的场景包括：医学临床试验：在药物测试中，通过一定数量的病人检测药物是否有效。
若成功则为阳性反应，失败则为阴性反应。
问卷调查：在市场研究中，我们可以用二项分布来模拟调查中选择特定选项人数的概率。
生产过程质量控制：在批量生产中，可以通过随机抽样来判断产品不合格率。
例如，在一家冰激凌厂，假设每个冰激凌都是合格的概率为 0.9。
如果我们随机挑选 10 个冰激凌，想知道其中恰好有 8 个是合格品的概率，可以使用二项分布进行计算。
二、泊松分布的基本概念泊松分布是一种用于描述单位时间或单位面积内事件发生次数的概率分布。
例如，在某个固定的时间段内，交通事故发生的次数、电话中心接到电话的次数等都可以用泊松分布来建模。
其概率质量函数为：[ P(X = k) = ]这里，( ) 是单位时间或面积内事件发生的平均次数，( k ) 是事件发生的实际次数。
2.1 应用场景泊松分布同样在许多领域具有实际应用，包括但不限于：排队理论：如银行、医院等服务场所，可以使用泊松分布来分析顾客到达的频率。
故障率分析：工程领域中，可以用来描述机器设备故障事件发生频率，以及维护需求。
二项分布与泊松分布
正态分布，； 当n足够大，但π很小时，如n≥100而π<0.1或π>0.9时
，二项分布近似于泊松分布。
样本率均数 样本率标准差
p
x
n
n
n
pnx
n(1)
n
(1)
n
样本率p的标准差
pnx
n(1)
n
(1)
二项分布（binomial distribution）
贝努利试验列中成功次数k的概率为： P(X=k)=Cnk πk (1-π)n-k (0<π<1) ，
k=0 , 1 , …，n， 而 Cnk πk (1-π)n-k 二 项 式 恰 好 是 牛 顿 展 开 式 ((π+(1-π)) n的项，故又称为二项分布。
二项分布与泊松分布
n重贝努利试验
在同一条件下独立重复n次试验，每次试验只 有两个可能的对立结果，A与非A , 如成功与 失败 , 其概率P（A）=π , (0< π<1) , 则称这 一系列独立重复试验为n重贝努利试验（贝努 利试验序列）。
n重贝努利试验的三个条件
（1）每次试验只有两个可能的对立结果， A与非A （2）每次试验的条件不变，即每次试验中， 结果A发生的概率P（A）=π （3）各次试验独立，即任一次试验结果与 其它次试验结果无关。
医学中Poisson分布
单位时间（空间、面积）内某稀有事件 发生次数的分布。
如研究细菌、某些血细胞、粉尘等在单 位面积或容积内计数结果的分布，放射 性物质在单位时间内放射出质点数的分 布，在单位空间中某些野生动物或昆虫 数的分布，在一定人群中某种低患病率 的非传染性疾病患病数或死亡数分布。
二项分布与泊松分布研究离散型随机事件的概率分布
二项分布与泊松分布研究离散型随机事件的概率分布在概率论与数理统计领域中，二项分布和泊松分布是研究离散型随机事件的重要概率分布模型。
二项分布用于描述重复进行的独立随机试验中成功事件的次数，而泊松分布则适用于描述在一定时间或空间范围内随机事件发生的次数。
本文将对二项分布和泊松分布的概念、性质及应用进行详细介绍。
一、二项分布二项分布是最为常见的离散型随机事件概率分布之一。
它适用于满足以下条件的随机试验：1. 试验重复进行n次；2. 每次试验只有两种可能的结果，记为“成功”和“失败”；3. 每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p，且各次试验之间相互独立。
在这种情况下，二项分布可以描述成功事件发生k次的概率。
其概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X为成功事件发生的次数，k为取值范围为0到n的整数，C(n,k)表示组合数。
二项分布具有以下性质：1. 期望和方差：二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) =np(1-p)；2. 归一性：二项分布的概率质量函数满足概率归一性的性质，即所有可能事件的概率之和为1；3. 近似性：当n趋向于无穷大时，二项分布可以近似为泊松分布。
二项分布常见的应用场景包括：二项测试、质量控制、可靠性分析等。
通过计算二项分布的概率，可以对各种离散型随机事件进行概率分析和决策。
二、泊松分布泊松分布是描述在一定时间或空间范围内随机事件发生的概率分布模型。
它适用于满足以下条件的随机试验：1. 试验在连续时间或空间内进行；2. 事件发生的次数满足稀疏性，即平均发生次数μ在给定时间或空间内很小；3. 不同时间或空间区间内的事件发生是相互独立的。
在这种情况下，泊松分布可以描述在给定时间或空间内，事件发生k次的概率。
其概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (e^-μ * μ^k) / k!其中，X为事件发生的次数，k为非负整数，e为自然对数的底。
概率论中的二项分布与泊松分布
概率论中的二项分布与泊松分布概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的概率以及它们之间的关系。
在概率论中，二项分布和泊松分布是两个常见且重要的概率分布。
本文将分别介绍二项分布和泊松分布的定义、特点以及应用。
一、二项分布二项分布是指在一系列独立的、相同概率的伯努利试验中，成功事件发生的次数服从二项分布的概率分布。
其中，伯努利试验是指只有两个可能结果的试验，如抛硬币的结果只有正面和反面两种情况。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中，n代表试验次数，k代表成功事件发生的次数，p代表每次试验成功的概率，C(n,k)代表组合数。
二项分布的特点有以下几点：1. 二项分布的随机变量只能取非负整数值，即k只能取0,1,2,...,n。
2. 二项分布的期望值为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
3. 当试验次数n趋向于无穷大时，二项分布逼近于泊松分布。
二项分布在实际应用中有广泛的应用，比如在质量控制中，可以使用二项分布来计算在一定数量的产品中出现不合格品的概率；在投资决策中，可以使用二项分布来计算在一系列投资项目中成功项目的数量等。
二、泊松分布泊松分布是指在一段时间或区域内，事件发生的次数服从泊松分布的概率分布。
泊松分布适用于事件发生的概率很小，但试验次数很大的情况。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=(e^(-λ)*λ^k)/k!，其中，λ代表单位时间或单位区域内事件的平均发生率。
泊松分布的特点有以下几点：1. 泊松分布的随机变量只能取非负整数值，即k只能取0,1,2,...。
2. 泊松分布的期望值和方差均为λ。
3. 当试验次数n趋向于无穷大，每次试验成功的概率p趋向于0，但np保持不变时，二项分布逼近于泊松分布。
泊松分布在实际应用中也有广泛的应用，比如在电话交换机的排队系统中，可以使用泊松分布来描述单位时间内到达电话的数量；在可靠性工程中，可以使用泊松分布来描述设备的故障率等。
二项分布与泊松分布
二项分布的应用
2 正态近似法：应用条件：np及n(1−p)均≥5
p±uαsp
例：在某地随机抽取329人，做HBsAg检验，得阳性 率为8.81%，求阳性率95%置信区间。 已知：p=8.81%，n=329，故：
s p p ( 1 p ) /n 0 .0( 1 8 0 .0 8) 8 /3 1 8 2 0 .0 1 9 1 1 .5 % 5 6 6
第一节 二项分布和总体率的估计
一、二项分布 （一）二项分布的概念
在生命科学研究中，经常会遇到一些事物， 其结果可分为两个彼此对立的类型，如一个病 人的死亡与存活、动物的雌与雄、微生物培养 的阳性与阴性等，这些都可以根据某种性状的 出现与否而分为非此即彼的对立事件。这种非 此即彼事件构成的总体，就称为二项总体 （binomial population）。
二、二项分布的应用
(一 )、总体率的估计
1 查表法：附表6百分率的置信区间表直接
列出了X≤n/2的部分。其余部分可以查nx的阴性部分的QL~QU再相减得 PLand pU PL=1-QL 1-QU 例：某地调查50名儿童蛔虫感染情况，发现有10人大便
中有蛔虫卵，问儿童蛔虫感染率的95%置信区间是多少？
1份混合样本中含有k份阳性的概率为当k0时p0是说混合样品中没有1阳性样品的原始概率反映的是混合样品阴性的概率当收集的样本数量很大时全部检验费时费力可以用群检验的方法进行解决若每个标本的阳性概率为则其阴性概率为q1便是某个群m个标本均为阴性的概率一个群为阴性的群的概率而1q就为一个群阳性的概率
二项分布与泊松分布
第一节 二项分布和总体率的估计
二项分布(binomial distribution) 就是对这种只具有两种互斥结果的离散型 随机变量的规律性进行描述的一种概率分 布。由于这一种分布规律是由瑞士学者贝 努里(Bernoulli)首先发现的，又称贝努里 分布。
二项分布及泊松分布
X可取值0,1,2,3,4.
P{X k}C4k pk(1 p)4k, k0,1,2,3,4
例2 将一枚均匀骰子抛掷10次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率函数是：
P{
X
k}C3k
(
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
一般地，设在一次试验中我们只考虑两个
二项分布
例5 为保证设备正常工作，需要配备适量 的维修工人 . 设共有300台设备，每台的工 作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若 在通常的情况下，一台设备的故障可由一 人来处理 . 问:
(1)若只配备一名工人，则设备发生故 障而不能及时维修的概率是多少？
(2)若配备两名工人，则设备发生故障 而不能及时维修的概率是多少？
互逆的结果：A或 A ， 或者形象地把两个互
逆结果叫做“成功”和“失败”. 掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 新生儿：“是男孩”，“是女孩”
抽验产品：“是正品”，“是次品”
再设我们重复地进行n次独立试验 ( “重 复”是指这次试验中各次试验条件相同 )，
每次试验成功的概率都是p，失败的概率
都是q=1-p.
这样的n次独立重复试验称作n重贝努利 试验，简称贝努利试验或贝努利概型.
用X表示n重贝努利试验中事件A（成功） 出现的次数，则
P(X k)Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
不难验证： （1）P( X k) 0
n
（2） P( X k) 1
k 0
当n=1时，
(3)此人多数会愤然离去的概率。
P(Y 5) 1 P(Y 5)
二项分布和泊松分布
二项分布和泊松分布
泊松分布和二项分布是讨论某单一变量分布的特点，泊松分布是二项分布n很大而P很小时的特殊形式。
双变量分布是单变量分布向多维的推广，其讨论的是两个变量的分布情况。
二项分布
在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。
用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布。
泊松分布
泊松分布，台译卜瓦松分布，是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布。
泊松分布是以18～19世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松命名的，他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
概率分布二项分布与泊松分布
概率分布二项分布与泊松分布概率分布 - 二项分布与泊松分布概率分布是统计学中非常重要的概念，用于描述随机变量在不同取值下的可能性。
在概率论中，二项分布和泊松分布是两个常用的概率分布模型。
本文将介绍这两种分布，并比较它们的特点和应用场景。
二项分布（Binomial Distribution）二项分布是用来描述在重复的独立试验中，成功事件发生的次数的概率分布模型。
在每次试验中，成功事件发生的概率为p，失败事件发生的概率为q=1-p。
二项分布的随机变量是成功事件发生的次数，记作X~B(n,p)，其中n表示试验的次数。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数，表示在n次试验中取出k次成功事件的组合数。
p^k表示成功事件发生k次的概率。
q^(n-k)表示失败事件发生n-k次的概率。
二项分布的期望值和方差分别为：E(X) = n * pVar(X) = n * p * q二项分布常用于二分类问题，比如抛硬币、赌博等。
泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是离散的概率分布模型，用于描述在一定时间或空间范围内，事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的随机变量是事件发生的次数，记作X~P(λ)，其中λ表示单位时间或空间范围内事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!，其中e表示自然对数的底数。
k!表示k的阶乘，即k(k-1)(k-2)...1。
泊松分布的期望值和方差均为λ，即：E(X) = λVar(X) = λ泊松分布常用于描述稀有事件的发生频率，比如电话呼叫的次数、自然灾害的发生次数等。
二项分布与泊松分布的比较二项分布与泊松分布都是离散型概率分布，但它们的应用场景和性质有所不同。
二项分布适用于确定次数的独立重复试验，比如投掷硬币、赌博等。
而泊松分布适用于连续时间或空间范围内的事件发生次数，比如电话呼叫、自然灾害等。
二项分布与泊松分布详解
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第1章绪论7章 二项分布与泊松分
18
布
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图7-1 二项分布示意图
第1章绪论7章 二项分布与泊松分
19
布
4.二项分布的数字特征
① 这里的数字特征主要指总体均数、方差、标 准差等参数。
② 随机变量X的数学期望 E（X）＝μ。
二项分布与泊松分布详解演示文稿
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第1章绪论7章 二项分布与泊松分布
1
（优选）二项分布与泊松分布
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第1章绪论7章 二项分布与泊松分布
2
程琮教授简介
医学统计学教授，硕士生导师。男，1959年6月出生。汉族，无党派。1982 年12月，山东医学院公共卫生专业五年本科毕业，获医学学士学位。1994年7月，上 海医科大学公共卫生学院研究生毕业，获医学硕士学位。2003年12月晋升教授。现任预防 医学教研室副主任。主要从事《医学统计学》、《预防医学》，《医学人口统计学》等 课程的教学及科研工作，每年听课学生600-1000人。自2000年起连续10年，为硕士 研究生开设《医学统计学》、《SPSS统计分析教程》、《卫生经济学》等课程，同 时指导研究生的科研设计、开题报告及科研资料的统计处理与分析。发表医学统 计学及预防医学的科研论文50多篇。代表作有“锌对乳癌细胞生长、增殖与基因表达的 影响”，，“行列相关的测度” 等。主编、副主编各类教材及专著10部，代表作有 《医学统计学》、《SPSS统计分析教程》。获得院级科研论文及科技进步奖8项，院
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第1章绪论7章 二项分布与泊松分布
二项分布与泊松分布
P(X k) k e
k!
则称服X从参数为 的Poisson分布，记为X～P( )。
服从Poisson分布的三个条件
平稳性 x的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关
独立增量性（无后效性） 在某个观察单位上x的取值与其他各观察单位上x的取值无关
普通性 在充分小的观察单位上x的取值最多为1
练习
二项分布 课本练习3.6
Poisson分布 课本练习3.9
P( X
k)
C
k n
k (1 ) nk
则称X服从参数为n， 的二项分布，记为X～
B(n， )。
二项分布适用条件(贝努利试验序列)
每次试验的结果只能是两种互斥结果中的一种(A 或者非A)；
各次试验的结果互不影响，即各次试验独立； 在相同试验条件下，各次试验中出现某一结果A具
有相同的概率 (非A的概率为1 )。
二项分布的正态近似
二项分布的图形完全取决于n和π的大小 当π=0.5时图形对称，随n增大，渐近于正 态分布图形 当π≠0.5时图形偏态，但随n增大，图形逐 渐对称，趋向于正态分布
当n足够大，p和1-p均不太小时(np与n(1-p) 均大于5)，样本率p近似正态分布
二项分布
若X ～B(n， )
似于正态分布 N(n , n (1 ))
Poisson分布与正态分布 当 20 ， Poisson 分布渐进正态分布。
课本55页例5.17
任意打开一数据 Transform---compute Target variable (p) Functions Cdf . Poisson (q,mean) q为样本中事件发生数，mean为理论事件发生数 选入numeric expression，填入450，500 ok
二项分布和泊松分布的近似推导
二项分布和泊松分布的近似推导二项分布和泊松分布是概率论中常用的两种离散概率分布。
它们在实际问题中的应用非常广泛，并且在一些特定条件下可以互相近似推导。
本文将从二项分布和泊松分布的定义开始，逐步推导它们之间的关系。
我们来介绍一下二项分布。
二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
具体来说，如果一个试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，那么在n次试验中成功k 次的概率可以用二项分布来表示。
记为B(k;n,p)，其概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
接下来，我们来介绍一下泊松分布。
泊松分布是一种描述单位时间或单位空间内事件发生次数的离散概率分布。
具体来说，如果在一个固定时间或空间内事件发生的平均次数为λ，那么在这个时间或空间内事件发生k次的概率可以用泊松分布来表示。
记为P(k;λ)，其概率质量函数为：P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!其中，e是自然对数的底数，k!表示k的阶乘。
接下来，我们将从二项分布的极限推导出泊松分布。
假设在n次试验中，当n趋向于无穷大，试验成功的概率p趋向于0，并且np保持不变。
我们可以证明，在这种情况下，二项分布可以近似地用泊松分布来表示。
我们将二项分布的概率质量函数进行变换：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)= (n*(n-1)*...*(n-k+1) / k!) * (p^k) * (1-p)^(n-k)= (n*(n-1)*...*(n-k+1) / k!) * [(p^k) * (1-p)^n * (1-p)^(-k)]≈ (n*(n-1)*...*(n-k+1) / k!) * [(p^k) * (1-p)^n]其中，最后一个等式是为了将近似项 [(1-p)^(-k)] 替换为 1，这是因为当 p 趋近于 0，(1-p)^(-k) 趋近于 1。
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例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
X ~ B 3, 0.4 . 于是，所求概率为 P X 1 1 P X 0
0 1 C3 0.40 0.63 0.784 .
8
例2.8 设随机变量X服从参数为 项分布，已知 P X 1 解 由
n, p 的二
19 求 P X 2 . , 27
若离散型随机变量X的概率分布由式（2.5）和
(2.4)给出，则称X服从参数为 n, M , N 的超几何
分布. 记作 X ~ H n, M , N .
19
分布列正则性验证：
k n k CM CN M p k n CN k k k n k C C M N M k n CN n CN n 1. CN
22
◆ 如果每抽一件产品放回后，再抽下一件 产品，如此有放回地随机地抽取n件，这是n重 伯努利试验，那么所抽的n件产品的次品数 X ~ M B n, p , 其中 p 表示次品率. N ◆ 如果产品数量足够多，不放回与放回抽 样对下一次抽到次品还是正品影响甚微．于 n 是，当Ｎ很大，而 较小时，超几何分布可用 N 二项分布去近似．即 k n k CM CN n k k k M Cn p 1 p . n CN 23
25
例2.15 某人独立重复地做一个试验，已知
前两次都失败的概率是前三次都失败的概率的2
倍，求每次试验成功的概率． 解 设每次试验成功的概率为 p, Ｘ表示首次 成功时的试验次数，则 X ~ G p . 从而 整理得
P X 2 2 P X 3 ,
P X 1 P X 2 2 P X 3 1 , 1 将(2.6)式代入，解得 p . 2
如果要计算
k n k n k
C p 1 p
k n k
n k
np
n很大 , p很小
k
k!
e .
14
这个结论可叙述为：
☎
在
n 较大， p 很小的条件下，参数为 n,
p 的二项分布的概率计算问题可以转化成参数
为 np 的泊松分布的概率计算问题． 例2.11 在例2.9中，根据二项分布我们已 经计算出了认为新药有效的概率约为7.02℅，
几何分布为什么有无记忆性呢？
27
证明很简单： 因为
P X n
k n1
1 p
k 1
1 p p n p 1 p , 1 1 p
n
所以由条件概率的定义，
X m n X n
的习惯写法
P X m n X m
26
几何分布的无记忆性： 设 X ~ G p , 则对
任意的正整数 m 与 n 有
P X m n X m P X n .
概率意义： 伯努利试验序列中，在前 m 次试验 都没有成功的条件下，再做 n 次试验都还没有成 功的概率与直接做 n 次试验没有成功的概率相等． 似乎忘记了前 m 次试验结果，这就是无记忆性．
例2.14 设有一批产品，批量为1000件，假
定该批产品的次品率为1℅．若采用抽样方案 （150︱2），求接受这批产品为合格的概率．
解 此例中， N 1000 , M 1000 0.01 10,
n 150, 接受产品为合格的概率是
P X 2 P X 0 P X 1 P X 2
k
k!
e
, k 0, 1, 2, ,
其中 0, 则称Ｘ服从参数为 记作 X ~ P .
的泊松分布，
11
分布列正则性验证：
pk
k 0 k 0
k
k!
e
e
k!
k 0
k
e e 1.
服从或近似服从泊松分布的例子是大量存在： ◎服务系统在单位时间内来到的顾客数； ◎击中飞机的炮弹数； ◎大量螺钉中不合格品出现的次数； ◎数字通讯中传输数字中发生的误码个数； ◎母鸡在一生中产蛋的只数．
16
例2.12 某出租汽车公司共有出租汽车500辆，
设每天每辆出租汽车出现故障的概率为0.01，试求 一天内出现故障的出租汽车不超过10辆的概率． 解 设X是每天内出现故障的出租汽车数，则
X ~ B 500, 0.01 ，
P X 10 P X k
k 0
k C 500 0.01k 0.99500 k k 0 10
12
例2.10 某城市每天发生火灾的次数 X ~ P 1 ,
求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率． 解 P X 3 1 P X 3 1
2 k
P X k
k 0
2
1 1 对立事件公式 1 e 1 0.920 0.08. k 0 k !
4
函数为
三、二项分布
若X表示每次试验成功概率为 p 的 n 重伯 努利试验中成功的次数，则可把伯努利公式 (1.9)重新写成如下的形式
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2, , n,
其中
0 p , q 1 p , 称X服从参数为
5
n, p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
查泊松分布 表（附表1）
13
泊松分布有一个非常实用的特性——二项分
布的泊松近似．具体地讲，设 X ~ B n, p ,
Y ~ P , 其中 n 较大，p 很小，而 np,
P X k C p 1 p , k 那么可近似计算 P Y k e . 即 k!
19 3 P X 1 1 P X 0 1 1 p 27
1 1 得 p , 故 X ~ B 3, , 于是 3 3 2 1 2 2 2 P X 2 C3 . 3 3 9
现在我们利用二项分布的泊松近似重新计算认
为新药有效的概率．
15
解
P X 3 C 0.1 0.9
k 3
10
10
k 10
k
10 k
1 1 e k 3 k !
二项分布的泊松
k
0.0803.
近似
查泊松分布 表（附表1）
它与例2.9的结果相比较，近似效果是良好的． 如果p较大，那么二项分布不宜转化泊松 分布，该如何办的问题将在§5.3中回答．
*六、几何分布
在一个每次成功概率为 p 的伯努利试验序列
中，用X表示首次成功时的试验次数，则X的所有
可能取值为1，2，…，其分布列为
P X k 1 p
k 1
p , k 1, 2, ,
称X服从参数为 p 的几何分布，记作 X ~ G p . 分布列正则性验证：
3
任何两点分布，均可通过变换化成如下标准概型
X
P
或用公式表示为
0 1 p
k
1
p
1 k
P X k p (1 p )
0, F x 1 p, 1,
, k 0, 1 .
此时，称Ｘ服从参数为 p 的0-1分布，其分布
x 0, 0 x 1， x 1.
超几何分布与抽样检验有密切的联系，下面 举一个计数抽样方案的例子．所谓计数抽样是对 产品的检验只分“好”与“次”两种情况，若在 一批 产品中随机抽取了n件产品，并规定若其中的次 品数≤c，则判定这批产品合格，否则判定不合 格，通常用 (n︱c)表示这个抽样方案．
20
制定一个计数抽样方案就是根据实际情况选 择合适n的和c．
§2.3几种重要的离 散型分布
1
一、单点分布
如果一个随机变量X只有一个取值Ｃ，则称X 服从单点分布．显然，它的分布列为
PX C 1,
分布函数为
0, x C , F x 1, x C .
任何常数都可以看作是一个随机变量，并称
为常数值随机变量．
2
二、两点分布
如果一个随机变量Ｘ只有两个可能取值，则 称Ｘ服从两点分布． ◆新生婴儿是男还是女； 都可以用一 ◆一次抽样的结果是正品还是次品； 个服从两点 分布的随机 ◆掷一枚骰子是否掷出点2； 变量来描述 ◆一次投篮是否投中； ◆一次投标是否中标．
p 1 p
k 1 k k 1
k 1
p p 1. 1 1 p
24
每个 pk 1 p
k 1
p 恰好是几何级数
1 p
k 1
k 1
p 中的各项，这就是“几何分布”
这一名称的由来． 几何 分布 大量 存在 ◎ 某种产品的次品率为0.01，则首次检 查到次品的检查次数 X ~ G 0.01 ; ◎ 某投篮手的命中率为0.8，则首次投中 时的投篮次数 Y ~ G 0.8 .
P X m n, X n P X m
max 0, M n N k min M , n .