回归分析(2))回归方程的检验

小时，计算出的一般都较接近1，这给我们 判断所建的回归方程的回归效果是否显著 带来麻烦，因此在实际计算中应注意变量 个数与样本个数的适当比例，一般认为样 本个数至少应是变量个数的5到10倍。
§ 2.4 回归方程的显著性检验——F检验

由于在解决实际问题时，我们往往不能事先 断言变量 y 与变量 x1 , x2 ,, xm 之间是否确有线性 关系，在建立数学模型时，往往是先假定实际 问题可能具有线性性，由此建立起线性回归模 型。显然在这样的假设前提下所建立起的线性 回归模型到底能否代表实际问题，或者通俗地 说所建立的线性回归方程能否用于实际问题， 需要判定（检验），该如何检验呢?这是统计 学中假设检验问题。
H 0 : 0 0, 1 0,, m 0; H1 : i 不全为零，(i 0,1,, m )
为此应用统计量
S回 / m F ~ F ( m , n m 1) S剩 /(n 1)
§ 2.4 回归方程的显著性检验——F检验
对于给定检验水平 ，查 F 分布表可得临界 值 F ( m , n m 1)，并由 F 检验，作出如下判断： 如果由统计量 F 计算所得的数值有 F F ，则 表示在检验水平下，拒绝 H 0 ，从而认为线性回 归模型有显著意义，即线性回归模型能代表实 际问题，工程中可大胆使用该模型。 如果 F F ，则在检验水平 下，接受 H 0，即 认为线性回归模型不显著，即线性回归模型不 能代表实际问题，该模型在工程实际问题中不 能使用。
x1 x 2
2 7 5 12 l 3 3 6 7 0 3 0 8 6 0 3 7 16 6 0 9 4 0 9 2 18 9 14 3 20 12 17 5 8 23 16 18 4 14 21 14 12 0 16 15 0 6 17 0 16
编 号
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

1 1 ij j
§2.5 线性回归模型预测精度估计

通过对模型及变量的显著性检验后，我们可 用所建立的回归模型进行预测或控制。但用模 型进行预测，所得结果的精度如何?即真值 （实际值）与模型预测值的误差有多大?这是 我们关心的问题，应该作出估计，为此给出剩 余标准差
r剩 S剩 /(n r 1)
i 1 i 1
n
n
§ 2.4 回归方程的显著性检验——方差分析
又由式（2.5）知，上式最后等式右端每一项 均等于0，于是
( y
i 1 n
n
i
ˆ ˆ yi )( yi y ) 0
n
因此
ˆ ˆ S总 ( y i y ) 2 ( y i y i ) 2
i 1 i 1
表2.2
编 号
平炉炼钢过程的数据
x3
0 40 46 43 64 40 64 39 37 55 60 49 50 51 51 51 56 48 45 52 40 32 47 44 39
y
4.33 3.65 4.48 5.55 5.50 3.11 5.11 3.88 4.67 4.95 5.00 5.27 5.37 5.48 4.60 5.66 6.08 3.22 5.81 4.73 4.68 3.13 2.61 3.72 3.89
式中， r 为进入回归模型的变量个数。

§2.5 线性回归模型预测精度估计 由统计学区间估计理论知，在随机变量 服从正态分布情况下，任一给定的自变 量值( x1 , x2 ,, xm ) ，所对应因变量 y的真值 y ， ˆ ˆ ˆ 以95％的概率落在区间( y 2r剩 , y 2r剩 ), y ˆ 是 ( x , x ,, x ) 的回归值，即预测值 y 与真 ˆ 值 y 之差有95%的概率，使得 | y y | 2r剩 ， 所以 r剩 越小其预测精度就越高。

§2.4.2 程序（略） §2.4.3 例题 例2.2 平炉炼钢过程的熔化期中，总的去碳量 y(t ) 与所加的两种矿料（天然矿石与烧结矿料） x2 x3 的量 ， x1及熔化时间 有关，熔化时间愈长 则去碳量愈多。经实测某平炉的49组数据见表 x 2.2，求 y 对 x1、x2、 3 的线性回归方程。

§ 2.4 回归方程的显著性检验——F检验
具体操作该如何进行呢？我们是这样考虑的， y 如果某个自变量 对 x i的作用不显著，也就 y 是说 对 x不重要（或可有可无），则认为它 i i 前面的系数 应取零值，因此检验自变量x i是 否显著（重要），就是等价于检验假设
H 0 : i 0; H1 : i 0
（2.12）
式（2.12）中，记 方和。
ˆ S回 ( yi y ) 2
i 1
n
称为回归平
§ 2.4 回归方程的显著性检验——方差分析 它反映了自变量 x1 , x2 ,, xm 的变化所引起的 对 y 的波动。其自由度为 m 。 n 式（2.12）中，记 称为 2 ˆ
S剩 ( yi yi )
§ 2.4 回归方程的显著性检验——方差分析
ˆ 设 y b0 b1 x1 b2 x2 bm xm 是已求得的 ˆ 回归方程。 y i 是第 i 个试验点 ( xi 1 , xi 2 ,, xim ) 代 入回归方程所求的回归值。 这里称试验值（观察值）y i 与其平均值 1 n y yi 的离差平方和为总离差平方和。记为 n i 1

§ 2.4 回归方程的显著性检验——F检验 在多元线性回归模型中，我们并不满足于线 性回归方程是显著的这个结论。因为回归方程显 著并不意味着每个自变量 x1 , x2 ,, xm 对因变量 y 的影响都重要，也就是并不能说这 m 个变量在模 型中都重要。换句话说模型中 m个自变量中有重 要的，也有不重要的自变量，一种自然的想法就 是在模型中保留重要变量，剔除不重要或者可有 可无的变量，按照这种思想来建立模型，实际上 是对原线性回归模型进行精简。
§ 2.4 回归方程的显著性检验——F检验 我们是这样考虑的，如果线性回归模型能代 表实际问题（也就是线性回归模型显著）， 我们可以认为线性回归模型的系数 0 , 1 , 2 ,, m 不全为零；如果线性回归模型不显著，我们 认为线性模型系数 0 , 1 , 2 ,, m 全为零。于 是按统计假设检验原则提出假设：
i 1
剩余平方和（或残差平方和），它是由试验 误差以及其他因素引起的。它的大小反映了 试验误差及其他因素对试验结果的影响程度， n。 1 m 其自由度为
§ 2.4 回归方程的显著性检验——方差分析
于是
S总 S回 S剩
（2.13）
由式（2.13），我们可对所建立的回归方程能否 代表实际问题作一个判断。这是因为在式（2.13） 中，当 确定时， 越小， 越大，则 就越 S总 S回 S回 S剩 接近 。于是，我们可用 S 是否趋近于1来判断回 回 S总 归方程的回归效果好坏。 S总
§ 2.4 回归方程的显著性检验——方差分析
由式（2.13）
S回 S剩 1 S总 S总
S剩 S回 1 S总 S总
∴
定义 R
S剩 1 S总
为复相关系数，显然
0 R1
。
R 越接近1，回归效果就越好。
§ 2.4 回归方程的显著性检验——方差分析
然而在实际工程计算中，当实验样本点较
§ 2.4 回归方程的显著性检验及精度估计
此外，在检验得知线性回归方程是显著之后， 我们还可以进一步判断在线性回归方程中， y x1 , x2 ,是影响 的重要变量， , xm 哪些变量 哪些变量是不重要变量，由此分析可对回归 方程作更进一步简化，从而得到最优回归方 x1 , x2要 , xm , 程。这就是所谓的对每个变量 进行显著性检验问题。
i 0,1,, m
为此，应用统计量
bi2 / cii Fi ~ F (1, n m 1) S剩 /(n m 1)
§ 2.4 回归方程的显著性检验——F检验
c 其中，ii 为式（2.10）中 S ( S ) C (C ) 的对角线上 第 i 个元素。 对于给定的检验水平 ，查 F分布表可得临界值 F (1, n m 1) ，并由F 检验作出如下判断：如果由统 计量 Fi 计算所得的数值 Fi F (1, n 1) 则拒绝 H 0 ，即认为 x i 对 y 是重要变量，应留在模型中； 如果 Fi F (1, n m 1)，则在水平 之下接受H 0 ，认 为 y对x i不重要，可从模型中剔除。 一般一次 F 检验只剔除一个自变量，且这个自变量 F 是所有不显著自变量中 值最小值，然后再建立回归模 型，并继续进行检验，直到建立的回归模型及各个自变 量均显著为止。
2 i 1 i 1 i 1
n
n
§ 2.4 回归方程的显著性检验——方差分析
ˆ ˆ 其中， ( yi yi )( yi y ) 0 ，事实上，由式（2.8)
i 1 n
可知
y b0 b1 x1 b2 x2 bm xm
ˆ yi y b0 b1 xi 1 b2 x i 2 bm xim (b0 b1 x1 bm x m ) b1 ( xi 1 x1 ) b2 ( xi 2 x2 ) bm ( xim xm )
S总 ( y i y ) 2
i 1
n
§ 2.4 回归方程的显著性检验——方差分析
S总
( yi y ) 2
i 1
n
y X
§ 2.4 回归方程的显著性检验——方差分析 这里 S总 作为样本函数即统计量， 其自由度为 n 1 。如果观测值给定， S总 是确定的。现将 S总 进行分解。