材料力学 第十章 压杆稳定问题

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第十章 压杆稳定问题
例：确定图示压杆的临界载荷(h>b)
y
O
z
xF
l
F
h
解：临界载荷
Fcr

2 EI
l2
b
y
1. 当两端的约束是球形铰。
I

Iy
2
Iz

Iy
2
Iz
cos 2a

I yz sin 2a
z
a
Iz

bh3 12
Iy

hb3 12
压杆在x-z平面内失稳
Fcr
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第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
F
1. 一端固支一端自由：
观察：受力与变形与两端 铰支压杆左半部分相同
F
F
l
l
类比：一端固支一端自由长l的压杆的临界载荷等于 长2l的对应铰支压杆的临界载荷。
2 EI 2 EI
Fcr (2l )2 4l 2
与解析法结果相同
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第十章 压杆稳定问题
•刚体与变形体的稳定性
（1）刚性面上，刚性球受微干扰
F F
FR
FR
W
a. 合力FR指向平衡位置
W
b. FR为0
W
c. FR偏离平衡位置
稳定平衡
临界(随遇)平衡
不稳定平衡
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第十章 压杆稳定问题
（2）刚杆－弹簧系统受微干扰
刚杆－弹簧系统稳定性演示
a. F k l


2 EI l2


2 EI y l2
when h b
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第十章 压杆稳定问题
例：确定图示压杆的临界载荷(h>b)
y
l
O
xF
z
h F
b
2. 当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿z轴。
y
压杆在x-z平面内，Fc(rxz )

2 EI y (l )2
压杆在x-y平面内，Fc(rxy )
2
2 EI
Fcr l / 22
1
2
Fcr

2 EI
(0.7l )2
0.7
欧拉公式可以写成统一形式：Fcr

2 EI (l)2
l ——相当长度：相当的两端铰支压杆的长度
——长度因数:支持方式对临界载荷的影响
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例： 试用类比法求临界载荷
第十章 压杆稳定问题
薄壁圆筒轴向受压
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•风洞颤振试验照片
第十章 压杆稳定问题
左侧为风速低于颤振速度，结构稳定； 右侧为风速等于颤振速度，结构振动发散。
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•飞机颤振问题研究
第十章 压杆稳定问题
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第十章 压杆稳定问题
§10-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
• •
பைடு நூலகம்
两
两
端
端
铰
铰
支
支
压
压
杆
杆
临
失
(

w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2

k
2w

k
2
l
l
FM w
x
F B
F

B F
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第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2

k2w

k 2
F
w

通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
界
稳
载
动
荷
画
实
演
验
示
测
定
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第十章 压杆稳定问题
一、临界载荷的欧拉公式
F
•两端受压简支杆
F
•临界平衡状态
F
•驱动与恢复内力矩
驱动内力矩 恢复内力矩
M(x) Fw
d 2w M(x) dx2 EI
F
F
M(x) F
w
x
M ( x)

EI
d 2w dx 2
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第十章 压杆稳定问题
Asin kl 0
•存在非零解的条件： sin kl 0
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第十章 压杆稳定问题
•临界载荷欧拉公式
F
F
sin kl 0
kl n
k n
l
注意到： F k 2 , EI
F

n2 2EI
l2
设： n=1
2 EI
Fcr l 2
(n 1, 2 )
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驱动内力矩 M( x) Fw •压杆稳定微分方程
•恢复内力矩 M ( x)

EI
d 2w dx 2
F
F
d 2w dx2


F EI
w
F k2 EI
d 2w dx2

k2w

0
•通解：
w Asinkx Bcoskx
x 0, w 0
•位移边界条件：
x l, w 0
B0
F＝Fcr 临界状态
压杆在任意微弯位置均可保持平衡
临界载荷－ Fcr: 压杆直线形式的平 衡由稳定转变为不稳定时的轴向压 力值。
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•桁架的稳定性
第十章 压杆稳定问题
为什么桁架要尽可能设计成各杆受拉？
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• 其他形式的稳定问题
第十章 压杆稳定问题
F Fcr
窄高梁弯曲
薄壁件受外压
第十章 压杆稳定问题
第十章 压杆稳定问题
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5
引言 两端铰支细长压杆的临界载荷 两端非铰支细长压杆的临界载荷 中小柔度杆的临界应力 压杆稳定条件与合理设计
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第十章 压杆稳定问题
§10-1 引 言
回顾：拉压杆的强度条件 FN
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2

MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
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第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
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第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
第十章 压杆稳定问题
2. 一端固支、一端铰支
l
•变形曲线观察：与B端相 A 距约0.7l处有一拐点C
•类比：拐点C处弯矩为零， 将C点坐标转动到变形前位 置，BC段类比铰支压杆。
拐点
AC
Fcr

2EI
(0.7l)2
•近似性讨论：由于变形后 拐点C离开轴线，B处有约
Fc Cr
束反力，小变形条件下很小。
B Fcr
0.7l B Fcr
Fc Br 0.7l
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3. 两端固支压杆：
拐点
l4
l2
第十章 压杆稳定问题
拐点
Fcr l4
Fcr


(l
2 EI / 2)2
Fcr
Fcr
l2
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第十章 压杆稳定问题
三、欧拉公式的统一表达式：
Fcr

2 EI
l2
1
2 EI
Fcr (2l )2
Fcr 0.52 2l 2 l 2
1
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第十章 压杆稳定问题
例： 刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。
A
C
BF
k
l
l
（a）
A
C
q
2q F
klq
A
C
BF
k*
l
l
（b）
弹簧力为kklq A点与力线F的距离l·2q
解：（a）研究刚杆AC的临界平衡
BC给与AC的反力为F（二 力杆，系统小变形）

2 EI z
l2
其中=0.5 ～1， Iy<Ix
需要判断，杆件总沿临界载荷最小的方向失稳
z
a
Iy

hb3 12
bh3 Iz 12
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第十章 压杆稳定问题
习题10-3：AB刚性杆，BC弹性 梁，弯曲刚度EI，求Fcr
FF A
解：考虑梁杆结构的临界平
a
衡，B为刚性接头，在B处
q1 q2
dx
Ak 0 或 A 0
x l, w
Asinkl Bcos kl
•存在非零解的条件： cos kl 0
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第十章 压杆稳定问题
•存在非零解的条件：
F
cos kl 0
w

kl （2n 1） (n 1, 2
A )
x l
B
2
注意到： k 2 F EI
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
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第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
第十章 压杆稳定问题
三、大挠度理论与实际压杆
•精确压杆稳定微分方程
（求解大挠度问题）
1
（x)

M(x) EI
w( x)
M x
1 [w( x)]2 3 2 EI
F
Fcr A
O
B
C
D
大挠度理论
小挠度理论
实验结果
wmax
•理想压杆小挠度理论与大 挠度理论及实验结果比较
由大挠度理论，F=1.015Fcr, wmax=0.11l.
得：
F
（2n 1）2 2 EI

(2l )2
取n=1, 得固支-自由压杆的临界载荷：
Fcr

2EI
( 2l )2
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第十章 压杆稳定问题
2. 一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷
根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
l
F
M(x) Fw FR(l x)
d 2w dx2

M(x) EI
2．压杆的临界载荷 使压杆直线形式的平衡由稳定转为不稳
定的轴向压力值。
3、 两端铰支细长压杆稳定微分方程
d2w dx2

k
2
w

0
k2 F EI
4、 两端铰支细长压杆的临界载荷
Fcr

2 EI
l2
5、 两端非铰支细长压杆的临界载荷——解析法
力学模型·数学方程·齐次方程的非零解·系数行列式为零
第十章 压杆稳定问题
•高阶解的意义：
n2 2EI
F l2
(n 1, 2 )
当n=2时，得到： w A sin 2 x
l
F
F （中间支撑不受力）
• 欧拉公式的适用范围：
Q 理想均质材料,细长杆 Q 线弹性
d 2w dx 2

M (x) EI
Q 小挠度(小变形)
Q 压力沿杆件轴线
F
F
Page16
0 k sin kl
1 0 cos kl
l
EIk 2

1 EIk
2
0
0
Asin kl Bcos kl 0
FR
F x
l
tan kl kl
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第十章 压杆稳定问题
tan kl kl
y1 tan kl y2 kl
( kl)a 4.493
F k2EI
F l 4.493 EI
解析法确定临界载荷：铰支-固支压杆 类比法确定临界载荷 相当长度与长度因素 例题
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第十章 压杆稳定问题
一、解析法确定临界载荷
1. 固支-自由压杆
根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
A
M(x) F( w)
d2w M(x)
dx2 EI
A
d 2w dx 2

F EI
由对A的力矩平衡
第十章 压杆稳定问题
2 EI
Fcr l 2
二、临界载荷的欧拉公式的几点讨论
x
•两端简支压杆的挠曲轴 w Asin l
•压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡—— 可有任意的微弯程度, 但轴线形状一定。
•临界载荷（欧拉临界载荷)与截面抗弯刚度成正比， 与杆长的平方成反比。
Page15
F
EI
l
解： （1）分析失稳曲线特征： 两端转角为零，B端水平 位移不为零。
（2）类比长为2l 的两端固支杆
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例： 试用类比法求临界载荷
第十章 压杆稳定问题
F
l
F
l
解：（1）分析失稳曲线特征：两端转角为零，B端水平 位移不为零。
（2）分析临界失稳的变形，类比长为2l 的两端固支杆
2 EI 2EI
4.4932 EI 2EI
Fcr
l2
(0.7l)2
思考讨论题：
力学模型（有条件的随遇平衡）、
数学方程（微分方程）、有条件的
随遇平衡的数学表达（齐次方程的 非零解）之间的对应关系。
FR F
x
l
Page30
第十章 压杆稳定问题
上一讲回顾
1．弹性平衡稳定性的概念 受压杆件保持初始直线平衡状态 的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力 称为弹性平衡的稳定性。
比较显示了理想压杆小挠度理论的实际意义。
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第十章 压杆稳定问题
例：确定图示压杆的临界载荷(h>b)
y
l
O
xF
z
解：临界载荷
Fcr

2 EI
l2
问题：结构在哪个平面内失稳？ 临界载荷等于多少？
1. 当两端的约束是球形铰。
F
h
b
y
z
a
2. 当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿z轴。
A 问题的提出:强度条件是否适用于下列拉压杆？
F
FF
F
短粗杆
F
F
F
F
细长杆
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第十章 压杆稳定问题 工程实例：石桥、钢桥与稳定问题
左图：隋朝建成 的赵州桥
右图： Tacoma 海峡 大桥1940年破坏
Euler(1707-1783)首先从理论上研究了压杆稳定问题(Euler理论）
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考虑位移边界条件：
x 0, w 0
B
FR l EIk 2
0
x 0, w' 0
Ak
FR EIk 2
0
FR
F x
l
x l, w 0 Asin kl Bcos kl 0
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第十章 压杆稳定问题
B
FR l EIk 2
0
Ak
FR EIk 2
0
•存在非零解的条件：
d 2w dx 2

F EI
w

FR EI
(l

x)
x
M ( x) FR
Fw
lx
FR F
FR
F
通解：
w

A sin
kx

B cos
kx

FR EIk 2
(l

x)
(k2 F ) EI
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第十章 压杆稳定问题
通解：
w

A sin
kx

B cos
kx

FR EIk 2
(l

x)
(k2 F ) EI