变量间的相关关系-高考文科数学专题练习

一、填空题

1．下列关系中，是相关关系的为________．(填序号) ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． 解析：由相关关系的概念知①②是相关关系． 答案：①②

2．下面是一个2×2列联表

则表中a 、b 解析：∵a ＋21＝73，∴a ＝52. 又∵a ＋2＝b ，∴b ＝54. 答案：52、54

3．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^

＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是________．

①身高一定是145.83 cm ②身高在145.83 cm 以上 ③身高在145.83 cm 左右 ④身高在145.83 cm 以下

解析：用回归模型y ^

＝7.19x ＋73.93，只能作预测，其结果不一定是个确定值． 答案：③

4．三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的回归方程为________． 解析：设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^

，则

b ^＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3－3x 2

x 21＋x 22＋x 23

－3x 2

＝3×10＋7×20＋11×24－3×7×189＋49＋121－3×49

＝1.75，

a ^＝y －

b ^

x ＝18－1.75×7＝5.75. 故y ^

＝1.75x ＋5.75. 答案：y ^

＝1.75x ＋5.75

5．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据得线性回归方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________度．

解析：x ＝10，y ＝40，把(10,40)代入方程y ^＝－2x ＋a ^，得a ^

＝60，当x ＝－4时，y ^

＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：68

6．关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y (万元)有如下统计资料．若由资料知y 对x 呈线性相关关系，则线性回归方程为y ^＝6

5x ＋________.

解析：线性回归直线方程y ＝65x ＋a 通过样本中心点(x ，y )，即(4,5)，所以5＝6

5×4＋a ^，解得a ^＝15. 答案：15

7．已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为________．

解析：回归直线必过点(4,5)，∴y －5＝1.23(x －4)， ∴y ＝1.23x ＋0.08. 答案：y ＝1.23x ＋0.08

8．已知x 与y 之间的一组数据：

则y 与x 的线性回归方程y ^＝b x ＋a 必过点________． 解析：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^

必过(x ，y )． 答案：(1.5,4)

9．已知回归直线方程为y ^

＝4.4x ＋838.19，则可估计x 与y 增长速度之比约为________．

解析：x 与y 增长速度之比为14.4＝5

22. 答案：5

22

二、解答题

10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：

(1)

(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^

，并在坐标系中画出回归直线；

(3)试预测加工10个零件需要多少时间？

注：b ^＝∑n

i ＝1

x i y i －n x y ∑n

i ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x . 解析：(1)散点图如图：

(2)由表中数据得：∑4

i ＝1x i y i

＝52.5， x ＝3.5， y ＝3.5，∑4

i ＝1

x 2

i ＝54， ∴b ^＝∑4

i ＝1x i y i －4x y ∑4

i ＝1x 2i －4x 2＝0.7， ∴a ^＝y －b ^

x ＝1.05， ∴y ^

＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图中所示．

(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．

11．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩.

(1)(2)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．

解析：(1)x ＝100＋

－12－17＋17－8＋8＋12

7

＝100；

y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋6

7＝100；

∴s 2数学＝9947＝142，s 2

物理

＝2507，

从而s 2数学>s 2

物理，所以物理成绩更稳定．

(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系， ∴b ^＝497994＝0.5，a ^

＝100－0.5×100＝50，

∴线性回归方程为y ^＝0.5x ＋50.当y ^

＝115时，x ＝130.

建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．

12．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．

试验时每大块地分成8小块，即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：

你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据x 1，x 2，…，xn 的样本方差s 2＝1

n [ (x 1－x －

)2＋(x 2－x －

)2＋…＋(xn

－x －

)2]，其中x －

为样本平均数．

解析：品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x 甲＝1

8(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，

s 2甲＝1

8[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：