最新北师大版高二二次函数练习题
专题2.12 二次函数章末九大题型总结(拔尖篇)(北师大版)(原卷版)
专题2.12 二次函数章末九大题型总结（拔尖篇）【北师大版】【题型1 利用二次函数的性质比较四个字母的大小】 (1)【题型2 利用二次函数的性质判断多结论问题】 (1)【题型3 根据新定义求字母取值范围】 (3)【题型4 利用二次函数的性质求最值】 (4)【题型5 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】 (5)【题型6 二次函数与一次函数图象的综合】 (5)【题型7 抛物线的平移、旋转、对称】 (6)【题型8 二次函数中的存在性问题】 (8)【题型9 由实际问题抽象出二次函数模型】 (10)【题型1利用二次函数的性质比较四个字母的大小】【例1】（2023春·安徽阜阳·九年级阜阳实验中学校考期中）若m,n(m<n)是关于x的一元二次方程(x−a)(x−b)−3=0的两根，且a<b，则m,n,a,b的大小关系是（）A．m<n<a<b B．a<m<n<b C．a<m<b<n D．m<a<b<n【变式1-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）设一元二次方程(x+1)(x−3)=a(a>0)两实数根分别为α，β且α<β，则α、β满足（ ）A．−1<α<β<3B．α<−1<3<βC．α<−1<β<3D．−1<α<3<β【变式1-2】（2023春·四川凉山·九年级校考期中）若a，b（a<b）是关于x的方程2+(x−m)(x−n)=0的两根，则m<n，则a、b、m，n的大小关系是．【变式1-3】（2023·江苏扬州·九年级校联考期末）若x1，x2(x1＜x2)是方程(x﹣m)(x﹣3)＝﹣1(m＜3)的两根，则实数x1，x2，3，m的大小关系是()A．m＜x1＜x2＜3B．x1＜m＜x2＜3C．x1＜m＜3＜x2D．x1＜x2＜m＜3【题型2利用二次函数的性质判断多结论问题】【例2】（2023春·全国·九年级期末）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x <-1时，y 随x 的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）①当x ＞2时，y 随x 的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a ＜0；③若（﹣2021，y 1），（2023，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④若图象上两点（14，y 1），（14+n ，y 2）对一切正数n ，总有y 1＞y 2，则1＜m ≤32．A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①③④【变式2-1】（2023春·北京·九年级北京市第十二中学校考期中）已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴交于点A (－1,0)，对称轴为直线x =1，与y 轴的交点B 在(0,2)和(0,3)之间(包含这两个点)运动,有如下四个结论：①抛物线与x 轴的另一个交点是(3,0)；②点C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)在抛物线上，且满足x 1<x 2<1，则y 1>y 2；③常数项c 的取值范围是2≤c ≤3；④系数a 的取值范围是−1≤a ≤−23．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①③④【变式2-2】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）小明研究二次函数y =−x 2+2mx−m 2+1（m 为常数）性质时有如下结论：①该二次函数图象的顶点始终在平行于x 轴的直线上；②该二次函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③当−1<x <2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m ≥2；④点A (x 1,y 1)与点B (x 2,y 2)在函数图象上，若x 1<x 2，x 1+x 2>2m ，则y 1>y 2．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式2-3】（2023春·山东德州·九年级统考期末）如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m ＋1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B ．①抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m ＋1与直线y ＝m ＋2有且只有一个交点；②若点M （－2，y1）、点N （12，y2）、点P （2，y3）在该函数图象上，则y1<y2<y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y ＝－（x ＋1）2＋m ；④点A 关于直线x ＝1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝1时，四边形BCDE 周长的最+其中正确判断有（）A．①②③④B．②③④C．①③④D．①③【题型3根据新定义求字母取值范围】【例3】（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2−2x+c（c为常数）在−1<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．−5<c<4B．0<c<1C．−5<c<1D．0<c<4【变式3-1】（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．−2≤n′≤2B．1≤n′≤3C．1≤n′≤2D．−2≤n′≤3【变式3-2】（2023春·重庆大渡口·九年级校考期末）若定义一种新运算：m@n=m−n(m≤n)m+n−3(m>n)，例如：1@2=1−2=−1，4@3=4+3−3=4．下列说法：①−7@9=−16；②若1@(x2−x)=−1，则x=−1或2；③若−2@(3+4x)≤−5，则x≥0或x<−54；④y=(−x+1)@(x2−2x+1)与直线y=m（m为常数）有1个交点，则−1<m<−3．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．1【变式3-3】（2023春·安徽合肥·九年级校联考期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤a ＜0B ．﹣2≤a ＜﹣1C ．﹣1≤a ＜−12D ．﹣2≤a ＜0【题型4 利用二次函数的性质求最值】【例4】（2023春·九年级统考期中）已知，二次函数y =ax 2+bx−1（a ，b 是常数，a ≠0）的图象经过A(2,1)，B(4,3)，C(4,−1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y =x−1上，则平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的（ ）A ．最大值为−1B ．最小值为−1C ．最大值为−12D ．最小值为−12【变式4-1】（2023春·广东汕头·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+3x−4的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，若P 是x 轴上一动点，点Q （0，2）在y 轴上，连接PQ ，则PQ 的最小值是（ ）A ．6B ．2+C ．2+D ．【变式4-2】（2023春·辽宁·九年级东北育才双语学校校考期末）在平面直角坐标系中，点A （1，112），B（4，32），若点M （a ，﹣a ），N （a +3，﹣a ﹣4），则四边形MNBA 的周长的最小值为（ ）A ．10+132B ．10+132C ．D ．【变式4-3】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考期末）已知抛物线 y ＝ax 2+bx +c （0＜2a ＜b ）的顶点为 P （x 0，y 0），点 A （1，yA ），B （0，yB ），C （﹣1，yC ）在该抛物线上，当 y 0≥0 恒成立时，y B −y C y A 的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．14D ．13【题型5根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】【例5】（2023春·浙江·九年级期中）二次函数y=x2+2mx−3，当0≤x≤1时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为（）A．-1或1B．-1或1或3C．1或3D．-1或3【变式5-1】（2023春·湖北黄冈·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+bx−94（a,b是常数，a≠0）且当0≤x≤m时，函数y=ax2+bx−3的最小值为−3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．−1≤m≤0B．2≤m<72C．2≤m≤4D．m≥2【变式5-2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l 翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（ ）A．﹣1≤t≤0B．﹣1≤t≤−12C．−12≤t≤0D．t≤﹣1或t≥0【变式5-3】（2023春·浙江·九年级统考期末）已知二次函数y=−2x2+mx+n的最大值为10，它的图象经过点A(a−4,b)，B(a,b)，则b的值为（）A．2B．4C．6D．8【题型6二次函数与一次函数图象的综合】【例6】（2023春·浙江温州·九年级期末）已知二次函数y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的图象与一次函数y=mx+n(m≠0)的图象交于(x1，y1)和(x2，y2)两点，（）A．若a<0，m<0，则x1+x2>2ℎB．若a>0，m<0，则x1+x2>2ℎC．若x1+x2>2ℎ，则a>0，m>0D．若x1+x2<2ℎ，则a>0，m<0【变式6-1】（2023春·福建龙岩·九年级校考期中）已知直线y=2x+m与抛物y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a<0．(1)直接写出直线的解析式：___________；直接写出b与a之间的关系：___________；直接写出抛物线顶点Q的坐标：___________；（只用含a的代数式表示）(2)说明直线与抛物线有两个交点；(3)直线与抛物线的另一个交点记为N，若−1≤a≤−12，求线段MN长度的最小值并直接写出此时△QMN 的面积．【变式6-2】（2023春·河南许昌·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A(−3,0)，B两点，经过A，B两点的抛物线y=−x2−2x+c与x轴的正半轴相交于点C．(1)求k、c的值；(2)求点C的坐标和抛物线y=−x2−2x+c的顶点坐标；(3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标x M的取值范围．【变式6-3】（2023春·新疆哈密·九年级校考期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象C经过(－5,0)，0,(1,6)三点，直线l的解析式为y＝2x－3.(1)求抛物线C的解析式；(2)判断抛物线C与直线l有无交点；(3)若与直线l平行的直线y＝2x＋m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标．【题型7抛物线的平移、旋转、对称】【例7】（2023春·河北石家庄·九年级校考期中）将抛物线l1：y＝x2+2x+3绕其对称轴上一点P旋转180°，得到一个新抛物线l2，若l1、l2两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则P点坐标为（ ）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【变式7-1】（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”．（1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；（2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1；①求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式；②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值；（3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m ﹣23）x ﹣（2m ﹣38）都不通过点P ，求符合条件的点P 坐标．【变式7-2】（2023春·重庆江北·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =14x 2+bx +c 与直线AC 交于点A 6，0，C 0，−6． (1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上的一动点，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点E ，交x 轴于D ，求PD +PE 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PD +PE 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，点M 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，N 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点Q ，使得以点M ，F ，N ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q 的坐标，并写出求解点Q 的坐标的其中一种情况的过程．【变式7-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y 1=12x 2+bx +c 与y 轴交于点A (0,−2)，与x 轴交于点B (4,0)，连接AB ．直线y ＝－2x ＋8过点B 交y 轴于点C ，点F 是线段BC 上一动点，过点F 作FD ⊥x 轴，交线段AB 于点E ，交抛物线于点D ．(1)求抛物线的表达式；(2)设点D 的横坐标为m ，当EF ＝5ED 时，求m 的值；(3)若抛物线y 1=12x 2+bx +c 上有一点H ，且满足四边形ABFH 为矩形．①直接写出此时线段BF的长；②将矩形ABFH沿射线BC方向平移得到矩形A1B1F1H1（点A、B、F、H的对应点分别为A1、B1、F1、x2+bx+c沿其对称轴上下H1），点K为平面内一点，当四边形B1KF1H1是平行四边形时，将抛物线y1=12平移得到新的抛物线y2，若新的抛物线y2同时经过点K和点H1，直接写出点K的横坐标．【题型8二次函数中的存在性问题】x2−2x−6与x轴相交于点A、点B，与y 【例8】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，抛物线y=12轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)点P(m,n)(0<m<6)在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．(3)点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式8-1】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，抛物线y=ax2−2x+c 与x轴交与A(1,0)，B(−3,0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在第二象限内的抛物线上的是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．【变式8-2】（2023春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与实践x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标如图，抛物线y=ax2+32是(4，0)，点C的坐标是(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接CD．(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．【变式8-3】（2023春·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(−3,−4)，线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．(1)直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？求出此时点P 的坐标和△PAB 的最大面积．【题型9 由实际问题抽象出二次函数模型】【例9】（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在斜坡OE 底部点O 处设置一个可移动的自动喷水装置，喷水装置的高度OA 为1.4米，喷水装置从A 点喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为6米时，达到最大高度5米．以点O 为原点，喷水装置所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．斜坡上距离O 水平距离为8米处有一棵高度为1.6米的小树NM ，NM 垂直水平地面且M 点到水平地面的距离为1.8米．如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N ，请求出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左平移） 米．【变式9-1】（2023春·吉林·九年级校考期中）2022年北京召开了冬奥会，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C 1：y =−112x 2+76x +1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的点A 滑出，滑出后沿一段抛物线C 2：y =−18x 2+bx +c 运动．(1)当运动员运动到距离点A 的水平距离为4米处时，其距离水平线的高度为8米，求抛物线C 2的函数解析式．（不要求写出自变量x 的取值范围）(2)在（1）的条件下，当运动员运动到距离点A 的水平距离为多少米处时，其与小山坡的竖直距离为1米？【变式9-2】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）某塑料大棚如图①所示，其截面如图②，其中曲线部分可近似看作抛物线形，现测得AB =6m ，最高点D 到地面AB 的距离为2.5m ，点D 到墙BC 的距离为1m ．求墙高BC ．【变式9-3】（2023春·浙江衢州·九年级统考期中）根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面5m．素材2：种植苗木时，每棵苗木高1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．问题解决任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，求抛物线的函数关系式．任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．任务3：拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标．。
2019-2020学年高中数学北师大版必修1练习：2.4.1 二次函数的图像 Word版含解析
4.1二次函数的图像课后篇巩固提升1.将函数y=x2-2x的图像向右平移2个单位,再向下平移1个单位后所得图像的解析式为()A.y=(x+1)2-2B.y=(x-3)2C.y=(x-3)2-2D.y=(x-3)2+2解析:函数y=x2-2x=(x-1)2-1的图像函数y=(x-3)2-1的图像函数y=(x-3)2-2的图像.故选C.答案:C2.已知二次函数y=x2+bx+c图像的顶点是(-1,-3),则b与c的值是()A.b=2,c=2B.b=2,c=-2C.b=-2,c=2D.b=-2,c=-2解析:顶点横坐标x=-=-1,得b=2.纵坐标y=-=-3,得c=-2.答案:B3.已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则点M(a,bc)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由题图可知a>0,->0,c<0,∴b<0,∴bc>0.故点M(a,bc)在第一象限.答案:A4.已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图像是()解析:若a>0,则y=ax+c为增函数,y=ax2+bx+c的图像开口向上,故排除A;若a<0,则排除C;若c>0,可知B中图像相矛盾;D中图像相吻合.综上知,D中图像是正确的.答案:D5.导学号85104037二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,下列结论:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a,其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1解析:由图像可得,当x=1时,y=a+b+c<0,当x=-1时,y=a-b+c>0.∵-=-1,∴b=2a.由b=2a可知,a,b同号,∴ab>0.又∵f(0)=c>0,∴abc>0.答案:A6.函数y=x2,y=x2,y=2x2的图像大致如右图所示,则图中从里向外的三条抛物线对应的函数依次是.解析:根据“二次项的系数的绝对值越大,抛物线开口越小,抛物线就越接近y轴;二次项系数的绝对值越小,抛物线的开口就越大,抛物线就越远离y轴”这一规律来判定,易知对应的函数由里向外依次是y=2x2,y=x2,y=x2.答案:y=2x2,y=x2,y=x27.已知二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图像全部在x轴上方,则m的取值范围是.解析:要使函数图像全部在x轴上方,则m需满足-解不等式组得m>.答案:m>8.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R),若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),则f(-8)=.解析:因为f(-1)=0,所以a-b+1=0.因为f(x)的值域为[0,+∞),所以-所以b2-4(b-1)=0.解得b=2,a=1.所以f(x)=(x+1)2,所以f(-8)=(-8+1)2=49.答案:499.已知二次函数的图像如图,求其解析式及顶点M的坐标.解:设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).由图像过点A(-1,0),B(-3,0),C(0,-3),得---解得---所以二次函数的解析式为y=-x2-4x-3,其顶点为M(-2,1).10.导学号85104038(拓展探究)抛物线经过点(2,-3),它与x轴交点的横坐标是-1和3.(1)求出抛物线的解析式;(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标;(3)画出草图;(4)观察图像,x取何值时,函数值y小于零?x取何值时,y随x的增大而减小?解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把(2,-3)代入,得-3=a(2+1)(2-3),∴a=1.∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4.由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).(3)抛物线的草图如图所示.(4)由图像可知,当x∈(-1,3)时,函数值y小于零;当x∈(-∞,1]时,y随x的增大而减小.。
北师大版：二次函数练习题精选
二次函数练习题★：矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，P 是线段BC 上一点，M 是DB 上一点，且BP=DM ，设BP=X ，，△MBP 的面积为y ，则y 与X 之间的函数关系式为★：在△ABC 中,AB=4,点D 在AB 边上移动（不与A 、B 重合），DE ∥BC ，交AC 于点E ，设S △ABC =S ，S △DEC =S 1，若AD=X ，YS S 1（1）、试求y 关X 的函数关系式及自变量的取值范围； （2）、当X=1、2、3时，分别求出相应的Y 值★：如图，等腰直角三角形ABC （∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为4cm ，CA 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右平移，直到C 点与N 点重合时为止，设△ABC 与正方形MNPQ 的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm 2，MA 的长度为xcm ，则y 与x 之间的函数关系大致为（ ）★：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是（ ）A ．m=1B ．m ＞lC ．m≥1D ．m≤1★：二次函数y=x 2-x+m （m 为常数）的图象如图所示，当x=a 时，y ＜0；那么当x=a-1时，函数值（ ）A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y=m根据对称轴及函数值判断a 的取值范围，从而得出a-1＜0，C★：小军从所给的二次函数图象中观察得出了下面的信息：①a ＜0；②c=0；③函数的最小值是-3；④当x ＜0时y ＞0；⑤当0＜x 1＜x 2＜2时y 1＞y 2．你认为其中正确的个数为（ ）A ．2个B 3个C 4个D 5个★：已知关于x 的方程ax 2+bx+c=3的一个根为x 1=2，且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴直线是x=2，则抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（2，-3）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（3，2）A 、61＜m ＜41 B 、m ＜61 C 、m ＞41 D 、全体实数★：抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=ax+b 的大致图象只可能是（ ）A B C D★：已知抛物线y=x 2上有A 、B 两点，A 点横坐标为-1，B 点横坐标为2，过A 作AC ∥x 轴，交抛物线于C 点，试求四边形OABC 的面积．★：已知直线Y=kx+b与抛物线y=x2相交P、Q，且与x轴相交于M(2,0)，已知点P的横纵标为-2，（1）、求直线Y=kx+b的关系式（2）、求点p，Q与原点组成的三角形的面积★：如图，直线AB过轴上的点A（2，0），且与抛物线相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）（1）求直线AB和抛物线所表示的函数解析式；（2）如果在第一象限，抛物线上有一点D，使得S△OAD=S△OBC，求这时D点坐标．★：先阅读下列材料，再解答后面的问题材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P1（-3，9）开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线y=x2上向右跳动，得到点P2、P3、P4、P5…（如图1所示）．过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴，垂足为H1、H2、H3，则△P1P2P3的面积为1．”问题：（1）求四边形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面积（要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案）；（2）猜想四边形P n-1P n P n+1P n+2的面积，并说明理由（利用图2）；二次函数练习题★：将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-2x2-12x+16 C．y=-2x2+12x-19 B．y=-2x2+12x-16 D．y=-2x2+12x-20233★：已知抛物线y=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，抛物线y=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y=x2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y=a（x-t-1）2+t2经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．★：抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x-3，则b、c的值为（）A．b=2，c=2 B．b=2，c=0 C．b=-2，c=-1 D．b=-3，c=2★：如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4，2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx2-（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值．★：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动．已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）．（1）△EFG的边长是（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在；（2）若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求：①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；（3）探求（2）中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值．二次函数练习题★：如图所示，二次函数322-+=x a y x的图象与x 轴有一个交点在0和1之间（不含0和1）,则a 的取值范围是（ ） A 、a ＞31， B 、0＜a ＜1， C 。
(完整版)新北师大版二次函数章节练习题
二次函数练习题班级 姓名 成绩二次函数所描述的关系1．下列函数中，哪些是二次函数？ (1）y=3(x-1)²+1 （2）y=x ＋x 1 （3）s=3-2t （4）y=xx -21(5)y=(x+3)²-x ² (6) v=10πr ² 2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量). 3．若y=（m ＋1）x562--m m 是二次函数，则m=（ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对4．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A ．y =81x 2B ．y =12-xC ．y =21x D ．y =a 2x5．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0B ．a <0，b ≠0，c ≠0C ．a >0，b ≠0，c ≠0D ．a ≠0 6．自由落体公式h =21gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是 A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 7．下列结论正确的是A ．y =ax 2是二次函数B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数C ．二次方程是二次函数的特例D ．二次函数的取值范围是非零实数 8．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，求m 的值 9．如果函数y=x232+-k k +kx+1是二次函数，则k 的值一定是______10．如果函数y=(k －3) x 232+-k k +kx+1是二次函数,则k 的值一定是______11．下列函数属于二次函数的是（ ） A ．y=x －x 1 B ．y=（x －3）2－x 2 C ．y=21x－x D ．y=2（x ＋1）2－1 12． 在半径为5㎝的圆面上，从中挖去一个半径为x ㎝的圆面，剩下一个圆环的面积为y ㎝2，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．y=πx 2－5 B ．y=π（5－x ）2C ．y=－（x 2＋5） D ．y=－πx 2＋25π结识抛物线y=ax 21．函数y =622--a a ax是二次函数，当a =_____时，其图象开口向上；当a =_____时，其图象开口向下 2．填右表并填空： 抛物线y=2x²的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y 随着x 的增大而增大；在 侧,y 随着x 的增大而减小,当x= 时,函数y 的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x 轴的 方(除顶点外). 3．二次函数y=x 2，若y ＞0，则自变量x 的取值范围是（ ） A ．可取一切实数 B ．x ≠0 C ．x ＞0 D ．x ＜0 4．抛物线y =－x 2不具有的性质是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是Y 轴C ．与Y 轴不相交D ．最高点是原点 5．抛物线y=2x 2,y=－2x 2,y=21x 2共有的性质是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴是Y 轴 C ．都有最低点 D ．y 随x 的增大而减小6．二次函数y=3x 2的图象是关于 对称的曲线，这条曲线叫做 ，它的开口 ，与x 轴交点坐标是 。
二次函数单元测试卷北师大
二次函数单元测试卷北师大一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y = -3x^2 + 2x + 1的开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标可以通过以下哪种方式求得？A. 直接计算B. 令导数等于0C. 令函数值等于0D. 通过观察图像3. 如果二次函数的图像与x轴有交点，则意味着：A. 函数的判别式大于0B. 函数的判别式等于0C. 函数的判别式小于0D. 函数的判别式为负数4. 抛物线y = x^2 + 4x + 4的对称轴是：A. x = -2B. x = 2C. x = 1D. x = -15. 函数y = 2x^2 - 6x + 5的最小值是：A. 2B. 5C. 3D. 无法确定6. 对于函数y = ax^2 + bx + c，当a < 0时，函数的最大值出现在：A. x = -b/(2a)B. x = b/(2a)C. x = 0D. 无最大值7. 如果二次函数的图像经过原点，则：A. c = 0B. b = 0C. a = 0D. a = 18. 函数y = ax^2 + bx + c的图像与直线y = k平行，则：A. a = kB. b = kC. c = kD. 无法确定9. 二次函数y = (x - h)^2 + k的顶点坐标是：A. (h, k)B. (k, h)C. (0, 0)D. (h, 0)10. 函数y = -2x^2 + 4x - 2的最大值是：A. 1B. 2C. 3D. 无法确定二、填空题（每空2分，共20分）11. 二次函数y = ax^2 + bx + c的一般形式中，a代表______，b代表______，c代表______。
12. 当a > 0时，二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，其顶点坐标为______。
13. 抛物线y = x^2 - 6x + 9的对称轴是直线______。
高中数学第二章函数学业分层测评9二次函数的图像北师大版
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 函数 学业分层测评（9）二次函数的图像 北师大版必修1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝2x 2＋2 C ．y ＝4x 2D ．y ＝2x 2－2【解析】 将二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为y ＝4x 2.【答案】 C2．将二次函数y ＝－12x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为( )A ．y ＝－12(x －1)2－1B ．y ＝－12(x －1)2＋1C ．y ＝－12(x ＋1)2＋1D ．y ＝－12(x ＋1)2－1【解析】 将二次函数y ＝－12x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为y＝－12(x ＋1)2－1.【答案】 D3．若一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像只可能是( )【解析】 因为一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，所以知a ＜0，b ＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x ＝－b2a＜0，只有选项C 适合．【答案】 C4．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图像的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2【解析】 二次函数的图像顶点在x 轴上，故Δ＝0，可得t ＝－4. 【答案】 A5．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝4x 2＋4x ＋7 B ．f (x )＝4x 2－4x －7 C ．f (x )＝－4x 2－4x ＋7D ．f (x )＝－4x 2＋4x ＋7【解析】 ∵f (2)＝－1，f (－1)＝－1， ∴对称轴为x ＝2－12＝12，∵f (x )max ＝8，∴令f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∴f (2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8，＝94a ＋8＝－1， ∴a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.【答案】 D 二、填空题6．二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，则这个二次函数的解析式为________． 【解析】 设f (x )＝a (x －2)2＋3，则f (3)＝a (3－2)2＋3＝a ＋3＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －2)2＋3.【答案】 f (x )＝－2(x －2)2＋37．(2016·株洲高一检测)若(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15，则m 等于________． 【解析】 ∵(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15， ∴x 2＋(3＋n )x ＋3n ＝x 2＋mx －15，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋n ＝m ，3n ＝－15，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝－5.【答案】 －28．(2016·菏泽高一检测)若将二次函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度，得到二次函数g (x )＝x 2－3x ＋2的图像，则a 的值为________．【解析】 法一：将函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度后，对应的函数解析式为f (x －a )＝(x －a )2＋(x －a )＝x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ，由题意得x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ＝x 2－3x ＋2，故2a －1＝3，a 2－a ＝2，解得a ＝2.法二：f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，g (x )＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，则12－a ＝－32，a ＝2.【答案】 2 三、解答题9．将二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到函数y ＝2x 2－4x －6的图像，求a ，b ，c .【解】 ∵y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8， ∴顶点为(1，－8)．由题意，将顶点(1，－8)向左平移1个单位，向下平移3个单位得二次函数f (x )的顶点坐标(0，－11)，∴f (x )＝2x 2－11.对照y ＝ax 2＋bx ＋c 得a ＝2，b ＝0，c ＝－11.10．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图像与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式. 【导学号：04100029】【解】 法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得：⎩⎪⎨⎪⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73，∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)·(x －7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a (4－1)(4－7)，解得a ＝13，∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.法三：∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)， ∴设二次函数解析式为y ＝a (x －4)2－3. 将(1,0)代入，得0＝a (1－4)2－3， 解得a ＝13，∴二次函数的解析式为y ＝13(x －4)2－3，即y ＝13x 2－83x ＋73.[能力提升]1．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是()【解析】 ∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＞0，c ＜0. 【答案】 D2．已知二次函数f (x )满足f (0)＝－8，f (4)＝f (－2)＝0.若f (x －2)＝x 2－12，则x的值为( )A ．－9B ．0C ．2D ．－8【解析】 ∵f (4)＝f (－2)＝0， ∴设f (x )＝a (x －4)(x ＋2)， ∴f (0)＝－8a ＝－8，∴a ＝1， ∴f (x )＝(x －4)(x ＋2)＝x 2－2x －8， ∴f (x －2)＝(x －2)2－2(x －2)－8＝x 2－6x ， 由x 2－6x ＝x 2－12，－6x ＝－12得x ＝2. 【答案】 C3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋bx ＋c ， x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．【解析】 ∵f (－4)＝f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－2， ∴－b2＝－2，∴b ＝4，∴f (x )＝x 2＋4x ＋c ，又f (－2)＝4－8＋c ＝－4＋c ＝－2， ∴c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，当x >0时，由f (2)＝2，得x ＝2；当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋4x ＋2＝x ，得x ＝－1或x ＝－2， ∴x ＝±2或－1，故方程f (x )＝x 的解的个数为3.【答案】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤0 34．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？ 【解】 由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k .由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，即4－－k 3＝269， 解得k ＝43.∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。
高中数学第二章函数2.4.1二次函数的图像练习北师大版必修1
2.4.1 二次函数的图像A 级 基础巩固1．若函数y ＝(3－t )xt 2－3t ＋2＋tx ＋1是关于x 的二次函数，则t 的值为导学号 00814352( B )A ．3B ．0C ．0或3D ．1或2[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧t 2－3t ＋2＝23－t ≠0解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝0或3t ≠3所以t ＝0，故选B ．2．抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是导学号 00814353( D ) A ．(2，－2) B ．(1，－2) C ．(1，－3)D ．(－1，－3)[解析] 因为y ＝x 2＋2x －2＝(x ＋1)2－3， 所以抛物线的顶点坐标为(－1，－3)．3．已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式是导学号 00814354( A )A ．y ＝－x 2－4x －1 B ．y ＝x 2－4x －1 C ．y ＝x 2＋4x －1D ．y ＝－x 2－4x ＋1[解析] 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋3.将点(－3,2)代入，得2＝a (－3＋2)2＋3，即a ＝－1.所以y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.4．将函数y ＝x 2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为导学号 00814355( A )A ．y ＝2x 2B ．y ＝4x 2C ．y ＝12x 2D ．y ＝14x 2[解析] 由图像变换可知选A ．5．将函数y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单调长度所得图像对应的函数解析式为导学号 00814356( D )A ．y ＝2x 2B ．y ＝2(x ＋2)2－6 C ．y ＝2x 2－6D ．y ＝2(x ＋2)2[解析] 将y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y ＝2(x ＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y ＝2(x ＋2)2的图像，故选D ．6．已知f (x )＝2(x －1)2和g (x )＝12(x －1)2，h (x )＝(x －1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔导学号 00814357( A )A ．g (x )B ．f (x )C ．h (x )D ．不确定[解析] 因二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的|a |越小，则二次函数开口越开阔． 7．二次函数f (x )＝12x 2－x ＋32的图像的顶点坐标为_(1,1)__.导学号 00814358[解析] f (x )＝12x 2－x ＋32＝12(x 2－2x ＋3)＝12(x －1)2＋1，所以其顶点坐标为(1,1)．8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x 轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是_f (x )＝－x 2＋2x ＋3__.导学号 00814359[解析] 设函数的解析式为f (x )＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)， 将点(1,4)代入，得a ＝－1.则f (x )＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3.9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式.导学号 00814360[解析] 解法1：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝0，－b 2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x .解法2：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，－b 2a＝1，4ac －b 24a ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x .解法3：设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，则顶点坐标为(－h ，k )， 已知顶点为(1，－3)，∴h ＝－1，k ＝－3， 即所求的二次函数y ＝a (x －1)2－3. 又∵图像经过点P (2,0)， ∴0＝a ×(2－1)2－3，∴a ＝3，∴函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x . 解法4：设解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)， 其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的两交点的横坐标， 已知抛物线与x 轴的一个交点P (2,0)，对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0,0)， ∴x 1＝0，x 2＝2，∴所求的解析式为y ＝a (x －0)(x －2)，又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a ×1×(1－2)，∴a ＝3， ∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .10．已知二次函数满足f (x －2)＝f (－x －2)，且其图像在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的表达式.导学号 00814361[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x －2)＝f (－x －2)得对称轴为x ＝－b2a ＝－2，∴b ＝4a .∵图像在y 轴上的截距为1，∴c ＝1，又|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |＝22，∴b ＝2或b ＝0(舍去)，a ＝12，∴f (x )＝12x 2＋2x ＋1.B 级 素养提升1．如图所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像，则|OA |·|OB |等于导学号 00814362( B )A ．c aB ．－c aC ．±c aD ．以上都不对[解析] ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴f (0)＝c >0，a <0， 设ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝c a， ∴|OA |＝－x 1，|OB |＝x 2，∴|OA |·|OB |＝－c a.故正确答案为B ．2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图像是下图中的导学号 00814363( A )[解析] 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0.故排除B 、C ，又因为当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝0，只有A 正确．3．把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b ＝_－6__，c ＝_6__.导学号 00814364[解析] 由题意知y ＝x 2＋bx ＋c 的图像可由y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x －3)2－3＝x 2－6x ＋6.所以b ＝－6，c ＝6.4．如图抛物线y ＝－x 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝3OB ，则m 的值为_0__.导学号 00814365[解析] 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1＝－3x 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m ＋2，x 1x 2＝－m －3，x 1＝－3x 2，得3m 2＋5m ＝0，即m ＝0或m ＝－53.由图象知，对称轴x ＝m ＋1>0，即m >－1，因此m ＝－53，不合题意，故m ＝0.5．已知二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，图像过原点，求g (x )的解析式.导学号 00814366[解析] 由题意设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图像过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0.∴g (x )＝3x 2－2x .6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，试判断点(a ＋b b 2－4ac ，acb)所在的象限.导学号 00814367[解析] 由抛物线开口向上知a >0，∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在y 轴负半轴， ∴c <0.又∵对称轴x ＝－b2a 在y 轴左边，∴－b 2a <0.∴ba>0.∴a ，b 同号．∵a >0，∴b >0.又∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac >0.∴a ＋b b 2－4ac >0，acb<0.∴点(a ＋b b 2－4ac ，ac b)在第四象限．C 级 能力拔高已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)、B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？导学号 00814368 [解析] 由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ，由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得4－－k 3＝269，解得k ＝43.所以，该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。
高中数学 第二章 函数 2.4.2 二次函数的性质练习 北师大版必修1
4.2 二次函数的性质课后训练案巩固提升1.二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时,y的值为()A.-7B.1C.17D.25解析:由已知得-=-2,所以m=-16,这时y=4x2+16x+5.因此当x=1时,y=4×12+16×1+5=25.答案:D2.导学号91000074函数f(x)=ax2+2(a-3)x+1在区间(-2,+∞)上是减少的,则a的取值范围是()A.[-3,0]B.(-∞,-3]C.[-3,0)D.[-2,0]解析:当a=0时,f(x)=-6x+1显然成立;当a≠0时,要使f(x)在(-2,+∞)上是减少的,需满足解得-3≤a<0.综上可知,a的取值范围是[-3,0].答案:A3.已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是()A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2]D.(-∞,2]解析:由于y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其图像如图所示,且f(0)=3,f(1)=2,f(2)=3.结合图像可知m的取值范围是[1,2].答案:C4.已知二次函数f(x)=ax2-6ax+1,其中a>0,则下列关系中正确的是()A.f()<f()B.f(2π)>f(π)C.f()<f(3)D.f(-1)<f(1)解析:函数f(x)=ax2-6ax+1的对称轴为x=3,其图像开口方向向上,离对称轴越近,对应的函数值越小.∵2π-3>π-3,∴f(2π)>f(π).故选B.答案:B5.(探究题)由于被墨水污染,一道数学题仅能见到下列文字:“已知二次函数y=x2+bx+c的图像过(1,0)……求证这个二次函数的图像关于直线x=2对称”.根据以上信息,题中的函数图像不具有的性质是()A.过点(3,0)B.顶点为(2,2)C.在x轴上截得的线段长为2D.与y轴交点为(0,3)解析:若顶点为(2,2),可设为y=a·(x-2)2+2,将点(1,0)代入得0=a+2,∴a=-2.即y=-2(x-2)2+2,与y=x2+bx+c中的a=1矛盾.答案:B6.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为了降低消耗,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示).当截取的矩形面积最大时,矩形两边的长x,y应为()A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14解析:结合图形,可得,得y=24-,矩形面积S=xy=x=-+24x,所以当x=-=15时,S最大,此时y=24-×15=12,故选A.答案:A7.(2016江苏淮安高中联考)如果二次函数y=mx2+5x+4在区间(-∞,2]上是增函数,在区间[2,+∞)上是减函数,则m的值是.解析:由题意可知,-=2,则m=-.答案:-8.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又f(x)在[0,2]上是增加的,且f(a)≥f(0),那么实数a 的取值范围是.解析:此函数的对称轴为x==2,且f(x)在[0,2]上是增加的,如图所示,由f(0)=f(4),f(a)≥f(0),知0≤a≤4.答案:[0,4]9.将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为.解析:设正方形周长为x,则边长为,圆周长为(1-x),圆的半径为(0<x<1),依题意得,面积之和为+π,当x=时,有最小值,即正方形周长为.答案:10.求二次函数y=x2-6x+7在区间[-2,4]上的最大值和最小值.解法一:y=x2-6x+7=(x-3)2-2,故函数在区间[-2,3]上是减函数,在[3,4]上是增函数.①当-2≤x≤3时,y最大=23,y最小=-2;②当3≤x≤4时,y最大=-1,y最小=-2.综上可知,函数y=x2-6x+7的最小值为-2,最大值为23.解法二:(数形结合)令f(x)=y=x2-6x+7.对称轴:x=3,f(x)最大=f(-2)=23;f(x)最小=f(3)=-2.∴f(x)的最大值为23,最小值为-2.11.导学号91000075已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图像恒在y=2x+2m+1的图像上方,试确定实数m的取值范围.解:(1)由f(0)=f(2)知,二次函数f(x)的图像关于x=1对称.又f(x)的最小值为1,故可设f(x)=a(x-1)2+1,因为f(0)=3,得a=2,故f(x)=2x2-4x+3.(2)要使函数f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则2a<1<a+1,则0<a<.即实数a的取值范围是0<a<.(3)由已知,即2x2-4x+3>2x+2m+1,化简得x2-3x+1-m>0.设g(x)=x2-3x+1-m,则只要g(x)min>0,因为x∈[-1,1]时,g(x)是减少的,所以g(x)min=g(1)=-1-m,因此有-1-m>0,得m<-1.即实数m的取值范围是m<-1.。
(完整版)北师大版二次函数经典总结及典型题
二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2
=++（a b c
y ax bx c
a≠）的函数，叫做
，，是常数，0二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0
a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2
=++的结构特征：
y ax bx c
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
⑵a b c
，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2
=的性质：
y ax
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
=+的性质：
y ax c
上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质：
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；
⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下：。
北师大版高中数学一轮复习第二章2.4二次函数word版下载
课时作业7 二次函数一、选择题1．已知某二次函数的图像与函数y ＝2x 2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )．A ．y ＝2(x －1)2＋3B ．y ＝2(x ＋1)2＋3C ．y ＝－2(x －1)2＋3D ．y ＝－2(x ＋1)2＋32．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )．A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)3．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为( )．A ．2 B.34 C.23D ．0 4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )．A ．－b 2aB ．－b aC ．c D.4ac －b 24a5．(2013届安徽示范校第一次联考)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减少的，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ＜－3D ．a ＞－36．已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋c )x ＋1(a ≠0)是偶函数，其定义域为[a －c ，b ]，则点(a ，b )的轨迹是( )．A ．线段B ．直线的一部分C ．点D ．圆锥曲线7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题8．函数f (x )＝2x 2－6x ＋1在区间[－1,1]上的最小值是__________，最大值是__________．9．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为__________．10．(2012江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为__________．三、解答题11．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋12－a 4在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值． 12．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，设f (x )＝x 的两个实根为x 1，x 2.(1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1＜2＜x 2＜4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0＞－1.参考答案一、选择题1．D 解析：设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.2．D 解析：由f (1＋x )＝f (－x )可知，函数的对称轴为x ＝12，即－b 2＝12， ∴b ＝－1，则f (x )＝x 2－x ＋c ，结合函数图像可知f (0)＜f (2)＜f (－2)，故选D.3．B 解析：2x ＋3y 2＝2(1－2y )＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，∵x ＝1－2y ≥0，y ≥0，∴y 的取值范围为0≤y ≤12. 设f (y )＝3y 2－4y ＋2＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. ∴y ＝12时，f (y )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝34， 即当y ＝12且x ＝0时，2x ＋3y 2有最小值34. 4．C 解析：由已知f (x 1)＝f (x 2)且f (x )的图像关于x ＝－b 2a对称， ∴x 1＋x 2＝－b a， ∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b ·b a＋c ＝c .选C. 5．A 解析：由题意知，对称轴x ＝1－a ≥4，∴a ≤－3.6．B 解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，且f (－x )＝f (x )，∴⎩⎨⎧ b ＋c ＝0，a －c ＋b ＝0，b >0.∴a ＝－2b (b ＞0)，即点(a ，b )的轨迹是直线的一部分．7．A 解析：∵f (－x )＝f (x )，∴(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴(－x ＋a )2＝(x ＋a )2，即4ax ＝0，∴a ＝0.二、填空题8．－3 9 解析：f (x )＝2⎝⎛⎭⎫x －322－72. 当x ＝1时，f (x )min ＝－3；当x ＝－1时，f (x )max ＝9.9.38或－3 解析：f (x )的对称轴为x ＝－1. 当a ＞0时，f (2)＝4a ＋4a ＋1＝8a ＋1，f (－3)＝3a ＋1.∴f (2)＞f (－3)，即f (x )max ＝f (2)＝8a ＋1＝4.∴a ＝38. 当a ＜0时，f (x )max ＝f (－1)＝a －2a ＋1＝－a ＋1＝4，∴a ＝－3.综上所述，a ＝38或a ＝－3. 10．9 解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝a 2－4b ＝0.①又∵f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，即x 2＋ax ＋b －c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是对应方程x 2＋ax ＋b －c ＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋(m ＋6)＝－a ，m (m ＋6)＝b －c ， ②③由②得，a 2＝4m 2＋24m ＋36，④由③得，4b －4c ＝4m 2＋24m ，⑤由①④⑤可得，4m 2＋24m ＋36＝4m 2＋24m ＋4c ，解得c ＝9.三、解答题11．解：f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋12－a 4＋a 24. ①当a 2∈[0,1]，即0≤a ≤2时， f (x )max ＝12－a 4＋a 24＝2， 则a ＝3或a ＝－2，不合题意．②当a 2＞1，即a ＞2时，f (x )max ＝f (1)＝2⇒a ＝103. ③当a 2＜0，即a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝2⇒a ＝－6. f (x )在区间[0,1]上最大值为2时，a ＝103或a ＝－6. 12．(1)解：当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x ＋1(a ＞0)，方程f (x )＝x 为ax 2＋x ＋1＝0.|x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.由韦达定理可知，x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a. 代入上式可得4a 2＋4a －1＝0，解得a ＝－1＋22或a ＝－1－22(舍去)． (2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a ＞0)的两根满足x 1＜2＜x 2＜4，设g (x )＝ax 2＋(b －1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<0，g (4)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2(b －1)＋1<016a ＋4(b －1)＋1>0⇒⎩⎨⎧ 2a >14，b <14.∴2a －b ＞0.又∵函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b 2a ＞－1.。
北师大版二次函数单元测试卷
北师大版二次函数单元测试卷一．选择题（共10小题）1．二次数y=x2+6x+1图象的对称轴是（）A．x=6 B．x=﹣6 C．x=﹣3 D．x=42．抛物线y=x2（）A．开口向上，具有最高点B．开口向上，具有最低点C．开口向下，具有最高点D．开口向下，具有最低点3．下列各点中，在函数y=﹣x2﹣1的图象上的是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（2，3）4．抛物线y=2x2向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的抛物线是（）Ay=2（x+2）2﹣3 B．y=2（x+2）2+3 C．y=2（x﹣2）2﹣3 D．y=2（x﹣2）2+3 5．关于二次函数y=﹣的图象及其性质的说法错误的是（）A．开口向下B．顶点是原点C．对称轴是y轴D．函数有最小值是06．矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是（）A．y=﹣x2+6x（3＜x＜6）B．y=﹣x2+6x（0＜x＜6）C．y=﹣x2+12x（6＜x＜12）D．y=﹣x2+12x（0＜x＜12）7．已知点A（4，y1）、B （，y2）、C（﹣2，y3）都在二次函数y=﹣x2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y28．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④ax2+bx+c=﹣2的根为x1=x2=﹣1；⑤若点B（﹣，y1）、C （﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．59．关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x=1D．当x＞1时，y随x的增大而减小10．若二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．a﹣b+c＞0C．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5D．当x＞2时，y随x的增大而增大二．填空题（共10小题）11．二次函数y=x2﹣8x的最低点的坐标是．12．拋物线的顶点为（2，﹣3），与y轴交于点（0，﹣7），则该抛物线的解析式为．13．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得新抛物线的解析式为．14．已知点（1，y1）、（﹣2，y2）、（﹣4，y3）都是抛物线y=﹣2ax2﹣8ax+3（a＜0）图象上的点，则y1，y2，y3的大小关系是15．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是S=26t ﹣t2，则飞机着陆滑行到停止，最后6s滑行的路程m16．若二次函数y=2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为．17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c ﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是．18．如图已知二次函数y1=x2+c与一次函数y2=x+c的图象如图所示，则当y1＜y2时x 的取值范围．19．已知二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象经过点（﹣2，4），则6a﹣3b﹣2的值为．20．已知m、n、t都为实数，点P （，n）和点Q （+4，n）都在抛物线y=x2﹣2mx﹣1上，则t+n+m=．三．解答题（共10小题）21．已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0）和（3，0）．（1）求a，b的值．（2）求抛物线向左平移2个单位后的函数解析式．22．求二次函数y=x2﹣6x+1的顶点坐标，并直接写出y随x增大而增大时自变量x 的取值范围．23．（1）解方程：x2=4x（2）将抛物线y=﹣x2+2x﹣3配成顶点式，并写出其对称轴．24．如图，修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根喷水管AB，在水管的顶端A安一个喷水头，使喷出的微物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高点D，高度为3m，水柱落地处C离池中心B相距3m．（1）请以BC所在直线为x轴（射线BC的方向为正方向），AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，并直接写出自变量的取值范围；（2）直接写出AB的长为．25．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，通过一段时间摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件．（1）将售价定为多少元的时候，使每天利润为700元吗？（2）当售价定为x元时，这天所获利润为y，请写出y与x的关系式．（3）根据（2）问中的关系式，求出这天所获利润y的最大值？26．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABO，其中∠OAB=90°，AO=4，BO=5，求经过点O、A、B抛物线的解析式．27．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值．28．已知二次函数y=﹣+2．（1）填空：此函数图象的顶点坐标是；（2）当x时，函数y的值随x的增大而减小；（3）设此函数图象与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积．29．如图，抛物线y=﹣（x﹣2）2+m+4与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）请问：在此抛物线的对称轴上，是否存在一点M，使得△MAC的周长有最小值？如果存在，请你求出点M的坐标；如果不存在，请你说明理由！（3）若点P 是y轴上的一点，且满足△PAC是等腰△，请你直接写出满足条件的点P坐标．30．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C （0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形AODF 的面积为S．①求S与m的函数关系式．②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
高中数学课时练习11二次函数的图像课件北师大版必修
【应用创新练】 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像如图所示，则点(a，c)在( )
A.第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】选 D.根据图像可知 c<0，又因为开口向上，所以 a>0，故点(a，c) 在第
四象限．
2．已知二次函数 f(x)的图像顶点为 A(1，16)，且图像在 x 轴上截得线段长为 8. (1)求函数 f(x)的解析式． (2)当 x∈[0，2]时，关于 x 的函数 g(x)＝f(x)－(t－x)x－3 的图像始终在 x 轴上方， 求实数 t 的取值范围．
A．(－1，－1)
B．(1，－1)
C．(1，1)
D．(－1，1)
【解析】选 C.因为 a＋b＝0，所以 f(1)＝1＋a＋b＝1，即函数图像过点(1，1).
3．二次函数 y＝－x2＋4x＋t 图像的顶点在 x 轴上，则 t 的值是( ) A．－4 B．4 C．－2 D．2 【解析】选 A.二次函数的图像顶点在 x 轴上，故 Δ＝0，可得 t＝－4.
g（2）＞0， （2－t）×0＋12＞0， 即 （2－t）×2＋12＞0，
解得 t＜8. 因此 t 的取值范围是(－∞，8).
() A．y＝2x2－x＋1
B．y＝x2＋2x＋1
C．y＝12 x2－2x－1
D．y＝21 x2＋2x＋1
【解析】选 B.因为图像经过平移后能与二次函数 y＝x2－2x－1 的图像重合，所以
开口相等，即 a＝1.
2．设 abc>0，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象可能是( )
【解析】选 D.A 中，图象开口向下，a<0，对称轴－2ba <0，所以 b<0，又当 x＝0 时，c<0，所以 abc<0，不符合题意；B 中，a<0，－2ba >0，f(0)＝c>0，所以 a<0， b>0，c>0，abc<0，不符合题意；C 中，a>0，－2ba <0，当 x＝0 时，c<0，所以 a>0，b>0，c<0，abc<0，不符合题意；D 中 a>0，－2ba >0，当 x＝0 时，c<0，所 以 a>0，b<0，c<0，abc>0，符合题意．
专题2.10 二次函数章末拔尖卷(北师大版)(原卷版)
第2章二次函数章末拔尖卷【北师大版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023春·江苏·九年级专题练习）一次函数y=cx−b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C． D．2．（3分）（2023春·安徽滁州·九年级校考期末）已知抛物线y=x2+(m+1)x−14m2−1（m为整数）与x 轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB，则m等于（ ）A．2+B．C．2D．−23．（3分）（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）已知二次函数y=mx2−2mx+2（m≠0）在−2≤x<2时有最小值−2，则m=（ ）A．−4或−12B．4或−12C．−4或12D．4或124．（3分）（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）四位同学在研究二次函数y=ax2+bx−6(a≠0)时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x=1；乙同学发现当x=3时，y=−6；丙同学发现函数的最小值为−8；丁同学发现x=3是一元二次方程ax2+bx−6=0(a≠0)的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是()A．甲B．乙C．丙D．丁5．（3分）（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知二次函数y=−(x+m−1)(x−m)+1，点A(x1,y1),B (x2,y2)(x1<x2)是图象上两点，下列说法正确的是()A．若x1+x2>1，则y1>y2B．若x1+x2<1，则y1>y2C．若x1+x2>−1，则y1>y2D．若x1+x2<−1，则y1<y26．（3分）（2023春·浙江温州·九年级期末）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过点A1，0和点B0，−3，若该抛物线的顶点在第三象限，记m=2a−b+c，则m的取值范围是（ ）A．0<m<3B．−6<m<3C．−3<m<6D．−3<m<07．（3分）（2023春·江苏扬州·九年级校考期末）在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为8，当△ABC 面积最大时，则其周长的最小值为（）A．B．+4C．D．8．（3分）（2023春·浙江绍兴·九年级校考期中）如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为1，n，且与x轴的一个交点在点3，0和4，0之间，则下列结论：①b=2a；②c−a=n；③抛物线另一个交点m，0在−2到−1之间；④当x<0时，ax2+(b+2)x≥0；⑤一元二次方程ax2+b−+c=0有两个不相等的实数根；其中正确的是（）A．①②③B．①④⑤C．②④⑤D．②③⑤9．（3分）（2023春·辽宁鞍山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点C1，C2，…，都在y轴正半轴上，点A1在二次函数y=x2(x>0)图象上，以OA1，OC1为邻边作平行四边形OA1B1C1，且OC1=OA1，延长C1B1与二次函数y=x2(x>0)图象交于点A2；以，C1C2为邻边作平行四边形C1A2B2C2，且C1C2=A2，延长C2B2与二次函数y=x2(x>0)图象交于点A3；…；按此规律进行下去，若A1的横坐标为1，1则A2022的坐标为（）A ．(2021,20212)B ．(2021,20222)C ．(2022,20222)D ．(2023,20232)10．（3分）（2023春·福建福州·八年级校考期末）对于二次函数y =ax 2+bx +c ，规定函数y =ax 2+bx +c (x ≥0)−ax 2−bx−c(x <0) 是它的相关函数．已知点M ，N 的坐标分别为−12,1,1，连接MN ，若线段MN 与二次函数y =−x 2+4x +n 的相关函数的图象有两个公共点，则n 的取值范围为（ ）A ．−3<n ≤−1或1<n ≤54B ．−3<n <−1或1≤n ≤54C ．n ≤−1或1<n ≤54D ．−3<n <−1或n ≥1二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y =kx +ℎ交于A 、B 两点，则关于x 的不等式ax 2+(b−k )x +c >ℎ的解集为 ．12．（3分）（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，线段PQ 的端点坐标分别为P(1，2)，Q(1，3)，抛物线y =x 2−2mx +3m 2（m 为常数，m >0）和线段PQ 有公共点时，m 的取值范围是 ，x2+x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B 13．（3分）（2023春·天津津南·九年级统考期末）抛物线y=−12的左侧)，点C(2,y)在在这条抛物线上．(1)则点C的坐标为；(2)若点P为y轴的正半轴上的一点，且△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为．14．（3分）（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点D是抛物线上的一个点，作DE∥AB交抛物线于D、E两点，以线段DE为对角线作菱DE时，则菱形对角线DE的长为．形DPEQ，点P在x轴上，若PQ=1215．（3分）（2023春·湖北孝感·九年级统考期中）如图1，在矩形ABCD中，AD＜AB，点E和F同时从点A 出发，点E以1cm/s的速度沿A−D−C的方向运动，点F以1cm/s的速度沿A−B−C的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为x s，△AEF的面积为y cm2，y关于x的函数图象如图2，图象经过点3，m,n，m，则n的值为．16．（3分）（2023春·江苏南京·九年级统考期末）将二次函数y=4x2+mx+n（m，n为常数）的图像沿与x轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x轴截出长为为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023春·安徽六安·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−x2+bx+c （b，c是常数）．(1)当b=−2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,−3)时，求n关于m的函数解析式．(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．18．（6分）（2023春·广东广州·九年级校考期中）为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过16m，另外三边由36m 长的栅栏围成，设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=x m，面积为y m2（如图）．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若矩形空地的面积为160m2，求x的值；(3)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？19．（8分）（2023春·山西运城·九年级统考期末）画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线，小明想在下面的平面直角坐标系中画函数y＝kx＋b与函数y=x2−x−c的图象，他已经画出函数y＝kx＋b的图象，它的图象经过A(−1,0)B(2,−3)两点．在画二次函数y=x2−x−c的图象时，他根据x，y的对应关系列出了下面表格．x…－2－101234…y…50－3－4－305…根据以上信息完成下面任务：(1)请你根据表格提供的对应值，在平面直角坐标系中画出函数y =x 2−x−c 的图象．(2)函数y =x 2−x−c 中c 的值为 ；(3)请你根据图象直接写出不等式kx +b >x 2−x−c 的解集；(4)若二次函数y =x 2−x−c 的图象的顶点为C ，则△ABC 的面积为 ．20．（8分）（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）某班“数学兴趣小组”对函数y =−x 2+2|x |+3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x ⋯−4−3−2−32−10132234⋯y ⋯−503154434154m 0−5⋯其中，m =________．(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质_______________________________；(4)已知函数y=−x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程−x2+2|x|+3=−x+4的解（保留一位小数，误差不超过0.2）21．（8分）（2023春·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx−5经过A(−1,0)，B(5,0)两2点．(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC值最小，求最小值；(3)点M为x轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．22．（8分）（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为−3,−10．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳2某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为1,5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B 点的坐标；(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E 的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；(3)在该运动员入水点的正前方有M ，N 两点，且EM =212，EN =272，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y =a （x−ℎ）2+k ，且顶点C 距水面4米，若该运动员出水点D 在MN 之间（包括M ，N 两点），请直接写出a 的取值范围．23．（8分）（2023春·吉林·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx−4(a ≠0)的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =OC =4OB ．(1)求直线CA 的表达式；(2)求该二次函数的解析式，并写出函数值y 随x 的增大而减小时x 的取值范围；(3)点P 是抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为n (0<n <4)．当△PCA 的面积取最大值时，求点P 的坐标；(4)当−1≤x ≤m 时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围．。
专题2.6 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练(30道)(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题2.6 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择15题，填空15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对二次函数图象与系数之间关系的理解！一．选择题（共15小题）1．（2022•葫芦岛一模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（12，0），有下列结论：①abc ＞0； ②a ﹣2b +4c ＞0；③25a ﹣10b +4c ＝0；④3b +2c ＞0；其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点即可得结论；②根据抛物线与x 轴的交点坐标即可得结论；③根据对称轴和与x 轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论；④根据点（12，0）和对称轴方程即可得结论．【解答】解：①观察图象可知：a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＞0，所以①正确；②当x =12时，y ＝0，即14a +12b +c ＝0，∴a +2b +4c ＝0，∴a +4c ＝﹣2b ，∴a ﹣2b +4c ＝﹣4b ＞0，所以②正确；③因为对称轴x ＝﹣1，抛物线与x 轴的交点（12，0），所以与x 轴的另一个交点为（−52，0），当x =−52时，254a −52b +c ＝0，∴25a ﹣10b +4c ＝0．所以③正确；④当x =12时，a +2b +4c ＝0，又对称轴：−b 2a =−1，∴b ＝2a ，a =12b ，12b +2b +4c ＝0，∴b =−85c ．∴3b +2c =−245c +2c =−145c ＜0，∴3b +2c ＜0．所以④错误．或者∵当x ＝1时，a +b +c ＜0，∴c ＜﹣a ﹣b ，又∵b ＝2a ，∴a =12b ，∴c ＜−32b ，∴2c ＜﹣3b ，∴2c +3b ＜0，∴结论④错误故选：C ．2．（2022•恩施市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有（ ）A．①②③④B．①②③⑤C．②③④⑤D．①②④⑤【分析】①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，即可求解；②x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，即可求解；③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，即可求解；④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相当于由原抛物线y＝ax2+bx+c向上平移了1个单位，即可求解；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，当ax2+bx+c﹣1＝0时，由韦达定理得：其两个根的和为﹣4，即可求解．【解答】解：二次函数表达式为：y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a＝a（x+5）（x﹣1），①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，则abc＜0，故正确；②函数在y轴右侧的交点为x＝1，x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故正确；③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，故错误；④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相当于由原抛物线y＝ax2+bx+c向上平移了1个单位，故有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，当ax2+bx+c﹣1＝0时，用韦达定理得：其两个根的和为﹣4，同理当ax2+bx+c+1＝0时，其两个根的和也为﹣4，故正确．故选：D．3．（2022春•崇川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y ＝ax 2+bx +c …t m ﹣2﹣2n …且当x =−12时，与其对应的函数值y ＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝t 的两个根；③0＜m +n ＜203，其中，正确结论的是（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③【分析】①根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y 轴的交点，即可判断；②根据二次函数的对称性即可判断；③根据抛物线的对称轴确定a 与b 的关系式，再根据已知条件求出a 的取值范围即可判断．【解答】解：①根据图表可知：二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），∴对称轴为直线x =012=12，c ＝﹣2，∵当x =−12时，与其对应的函数值y ＞0，∴a ＞0，b ＜0，∴函数图象的顶点在第四象限内；①正确；②根据二次函数的对称性可知：（﹣2，t ）关于对称轴x =12的对称点为（3，t ），即﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝t 的两个根，∴②正确；③∵对称轴为直线x =12，∴−b 2a =12，∴b ＝﹣a ，∵当x =−12时，与其对应的函数值y ＞0，∴14a −12b ﹣2＞0，即14a +12a ﹣2＞0，∴a ＞83．∵对称轴为直线x =12，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，m ）（2，n ），∴m ＝n ，当x ＝﹣1时，m ＝a ﹣b +c ＝a +a ﹣2＝2a ﹣2，∴m +n ＝4a ﹣4，∵a ＞83．∴4a﹣4＞20，3∴③错误．故选：B．4．（2022春•东湖区校级期末）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c，它与x轴交于A、B，且A、B位于原点两侧，与y的正半轴交于C，顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上，则下列说法：①bc＜0；②0＜b＜4；③AB＝4；④S＝8．其中正确的结论有（ ）△ABDA．①②B．②③C．①②③D．①②③④【分析】先由抛物线解析式得到a＝﹣1＜0，利用抛物线的对称轴得到b＝﹣2a＜0，易得c＜0，于是可对①进行判断；由顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上可得b的范围，从而可判断②是否正确；由a＝﹣1及顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上，可得抛物线与x轴两交点之间的距离AB为定值，故可取b＝2的大小．进行计算，即可求得AB的长度及S△ABD【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＝﹣1＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=−b＞0，2a∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴﹣c＞0，则c＜0，∴bc＜0，故①正确；由顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上可得：4×(−1)×(−c)−b2=44×(−1)∴b2＝4c+16∵0＜﹣c＜4∴﹣16＜4c＜0∴0＜4c+16＜16∴0＜b2＜16∴0＜b＜4∴②正确；∵a＝﹣1，∴该抛物线的开口方向及大小是一定的又∵顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上∴该抛物线与x轴两交点之间的距离AB是定值，故可令b＝2则c＝﹣3此时抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3由﹣x2+2x+3＝0得x1＝﹣1，x2＝3故AB＝4∴③正确；S＝4×4÷2＝8△ABD故④正确；综上，故选：D．5．（2022•丹东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则aA．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a 即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴是直线x＝2，=2，∴−b2a∴b＝﹣4a＜0∵抛物线交y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵b＝﹣4a，a＞0，∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，∵b＜0，∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．∵AM⊥CM，∴∠AMC＝∠KMH＝90°，∴∠CMH＝∠KMA，∵∠MHC＝∠MKA＝90°，∴△MHC∽△MKA，∴MHMK =CHAK，∴2−9a =−4a3，∴a2=16，∵a＞0，∴a故选：D．6．（2022•鹤峰县二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c 交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m （am+b）＜4a+2b（其中m为任意实数）；④a＜﹣1，其中正确的是（ ）A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣4a，则4a+2b+c＝c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x ＝﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x＝2时，二次函数有最大值，则am2+bm+c ≤4a+2b+c，即，m（am+b）≤4a+2b，于是可对③进行判断；由于直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c 交于C、D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，利用函数图象得x＝5时，一次函数值比二次函数值大，即25a+5b+c＜﹣5+c，然后把b＝﹣4代入解a的不等式，则可对④进行判断；【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x ＝2∴b ＝﹣4a ，∴4a +b +c ＝4a ﹣4a +c ＝c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点B 位于（4，0）、（5，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点位于（0，0）、（﹣1，0）之间，即当x ＝﹣1时，y ＜0，也就是a ﹣b +c ＜0，因此②正确；∵对称轴为x ＝2，∴x ＝2时的函数值大于或等于x ＝m 时函数值，即，当x ＝2时，函数值最大，∴am 2+bm +c ≤4a +2b +c ，即，m （am +b ）≤4a +2b ，因此③不正确；∵直线y ＝﹣x +c 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 交于C 、D 两点，D 点在x 轴上方且横坐标小于5，∴x ＝5时，一次函数值比二次函数值大，即25a +5b +c ＜﹣5+c ，而b ＝﹣4a ，∴25a ﹣20a ＜﹣5，解得a ＜﹣1，因此④正确；综上所述，正确的结论有①②④，故选：C ．7．（2022秋•朝阳期中）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x =−12，结合图象分析下列结论：①abc ＞0；②3a +c ＞0；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程cx 2+bx +a ＝0的两根分别为x 1=−13，x 2=12；⑤若m ，n （m ＜n ）为方程a （x +3）（x ﹣2）+3＝0的两个根，则m ＜﹣3且n ＞2，其中正确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①．由对称轴为直线x=−12可得a＝b，根据抛物线经过点（﹣3，0）可得6a+c＝0，再由a＜0可判断②．由图象对称轴及开口方向③．由抛物线经过（﹣3，0）可得抛物线经过（2，0=−32，因为cx2+bx+a＝0的根为x=x a与c的关系代入求解可判断④．将a（x+3）（x﹣2）+3＝0转化为抛物线与直线y＝﹣3的交点可判断⑤．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x=−b2a =−12，∴b＝a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，①正确，符合题意．∵抛物线经过点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∵a＝b，∴6a+c＝3a+3a+c＝0，∵a＜0，∴3a+c＞0，②正确，符合题意．由图象可得x＜−12时，y随x增大而增大，∴③错误，不符合题意．由cx2+bx+a＝0可得方程的解为x=x∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣3，0），对称轴为直线x=−12，∴抛物线与x轴另一个交点为（2，0），∴x＝﹣3和x＝2是方程ax2+bx+c＝0的根，=−32，∵6a+c＝0，∴c ＝﹣6a ，−13，=12，④正确，符合题意．∵抛物线经过（﹣3，0），（2，0），∴y ＝a （x +3）（x ﹣2），将a （x +3）（x ﹣2）+3＝0化为a （x +3）（x ﹣2）＝﹣3，由图象得抛物线与直线y ＝﹣3交点在x 轴下方，∴m ＜﹣3且n ＞2，⑤正确，符合题意．故选：C ．8．（2022•河东区二模）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 开口向下，与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①2a +b ＝0；②﹣1≤a ≤−23；③对于任意实数m ，a （m 2﹣1）+b （m ﹣1）≤0总成立；④关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣n +1＝0有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由抛物线开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与x 轴交点坐标判断a 、b 、c 的关系，由顶点坐标及顶点坐标公式推断a 、b 的关系及n 与a 、b 、c 的关系，由抛物线与y 轴的交点坐标判断c 的取值范围，进而对所得结论进行推断．【解答】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点坐标为（1，n ）∴−b 2a =1，4ac−b 24a =n∴2a +b ＝0故①正确．∵抛物线与x 轴交于点（﹣1，0）∴a ﹣b +c ＝0∴c ＝b ﹣a由①知：2a +b ＝0，即b ＝﹣2a∴c ＝﹣2a ﹣a ＝﹣3a又∵抛物线与y 轴的交点（0，c ）在（0，2），（0，3）之间（含端点）∴2≤c ≤3∴2≤﹣3a ≤3∴−1≤a≤−23故②正确．∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向下∴a＜0又∵a（m2﹣1）+b（m﹣1）＝am2+bm﹣a﹣b（a≠0）令g＝am2+bm﹣a﹣b∴关于m的二次函数g＝am2+bm﹣a﹣b开口向下若对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立故需判断Δ＝b2﹣4a（﹣a﹣b）与0的数量关系由以上分析知：b＝﹣2a∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣a+2a）＝0故③正确．由以上分析知：a＜0，b=−2a，c=−3a，n=4ac−b24a=−4a∴n=4a⋅(−3a)−(−2a)24a∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n+1）＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a+4a+1）＝﹣4a＞0∴关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不相等的实数根故④正确故选：D．9．（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线，y2）是抛物线上的两个都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（12点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x 有最大值．其中正确的个数是（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，=−1，∴−b2a∴b＝2a，b＜0．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴①的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴9a﹣3×2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵1＞0＞﹣1，2∴y1＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y ＝kx +c 经过点（﹣3，0），∴﹣3k +c ＝0，∴c ＝3k ．∵3a +c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴3k ＝﹣3a ，∴k ＝﹣a ．∴函数y ＝ax 2+（b ﹣k ）x＝ax 2+（2a +a ）x＝ax 2+3ax＝a (x +32)2−94a ，∵a ＜0，∴当x =−32时，函数y ＝ax 2+（b ﹣k ）x 有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①④，故选：A ．10．（2022•济南二模）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x ＝1，有下列结论：①c ＞0；②9a +3b +c ＞0；③若方程ax 2+bx +c +1＝0有解x 1、x 2，满足x 1＜x 2，则x 1＜﹣2，x 2＞4；④抛物线与直线y ＝x 交于P 、Q 两点，若PQ =a ＝﹣1；其中，正确结论的个数是（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】利用数形结合的方法解答，依据已知条件画出函数的大致图象，依据图象直接得出结论可判定①②③的正确；分别过点P ，Q 作坐标轴的平行线，则△PHQ 为等腰直角三角形，设点P ，Q 的横坐标分别为m ，n ，则m ，n 是方程ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0的两根，利用韦达定理和待定系数法可得到用a 的代数式表示PQ，利用PQ=a值，即可判定④的结论不正确．【解答】解：∵a＜0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下．∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）．综上抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如下：由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴（0，c），∴c＞0．∴①的结论正确；由图象可知：当﹣2＜x＜4时，函数值y＞0，∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0．∴②的结论正确．作直线y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x1，x2，如图，则x1，x2是方程ax2+bx+c＝﹣1的两根，即方程ax2+bx+c+1＝0的解为x1、x2，由图象可知：满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4，∴③的结论正确；如图，分别过点P ，Q 作坐标轴的平行线，它们交于点H ，则△PHQ 为等腰直角三角形，∴PH ＝HQ ，PQ =．∴y =ax 2+bx +c y =x ．∴ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0．设点P ，Q 的横坐标分别为m ，n ，∴m ，n 是方程ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0的两根，∴m +n =1−b a ，mn =c a ．∴HQ ＝|m ﹣n |∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x ＝1，∴4a−2b +c =0−b 2a=1．∴b =−2a c =−8a ．∴HQ =∵PQ解得：a ＝﹣1或−13．∴④的结论不正确；综上所述，正确结论有：①②③，故选：B ．11．（2022•宁远县模拟）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴负半轴交于（−12，0），对称轴为直线x ＝1．有以下结论：①abc ＞0；②3a +c ＞0；③若点（﹣3，y 1），（3，y 2），（0，y 3）均在函数图象上，则y 1＞y 3＞y 2；④若方程a （2x +1）（2x ﹣5）＝1的两根为x 1，x 2且x 1＜x 2，则x 1＜−12＜52＜x 2；⑤点M ，N 是抛物线与x 轴的两个交点，若在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得PM ⊥PN ，则a的范围为a ≥4．其中结论正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：∵对称轴为直线x ＝1，函数图象与x 轴负半轴交于（−12，0），∴x =−b 2a =1，∴b ＝﹣2a ，由图象可知a ＞0，c ＜0，∴b ＝﹣2a ＜0，∴abc ＞0，故①正确；由图可知，当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＞0，∴a +2a +c ＞0，即3a +c ＞0，故②正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y 值越大；又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，∴y 1＞y 2＞y 3；故③错误；由抛物线对称性可知，抛物线与x 轴另一个交点为（52，0），∴抛物线解析式为：y ＝a （x +12）（x −52），令a （x +12）（x −52）=14，则a （2x +1）（2x ﹣5）＝1，如图，作y =14，由图形可知，x 1＜−12＜52＜x 2；故④正确；由题意可知：M ，N 到对称轴的距离为32，当抛物线的顶点到x 轴的距离不小于32时，在x 轴下方的抛物线上存在点P ，使得PM ⊥PN ，即4ac−b 24a ≤−32，∵y ＝a （x +12）（x −52）＝ax 2﹣2ax −54a ，∴c =−54a ，b ＝﹣2a ，∴4a⋅(−54)a−(−2a )24a≤−32，解得：a ≥23，故⑤错误；故选：B ．12．（2022•惠城区二模）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B ，与y 轴的正半轴交于点C ，且OB ＝2OC ，则下列结论：①a−b c ＜0；②4ac +2b ＝﹣1；③a =−14；④当b ＞1时，在x 轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M ，N （点M 在点N 左边），使得AN ⊥BM ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】首先根据函数图象可判断a ，b ，c 的符号，a ＜0，b ＞0，c ＞0，从而可判断①正确；由OB ＝2OC 可推出点B （2c ，0）代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x 轴的交点A （﹣2，0）和点B （2c ，0），再结合韦达定理可得x 1•x 2=c a =（﹣2）×（2c ）＝﹣4c ，可得a =−14，即可判断③正确；根据a =−14，2b +4ac ＝﹣1，可得c ＝2b +1，从而可得抛物线解析式为y =−14x 2+bx +（2b +1），顶点坐标为（2b ，b 2+2b +1），所以对称轴为直线x ＝2b ．要使AN ⊥BM ，由对称性可知，∠APB ＝90°，且点P 一定在对称轴上，则△APB 为等腰直角三角形，PQ =12AB ＝2+2b ，得P （2b ，2b +2），且2b +2＜b 2+2b +1，解得b ＞1或b ＜﹣1，故可判断④正确．【解答】解：∵A （﹣2，0），OB ＝2OC ，∴C （0，c ），B （2c ，0）．由图象可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，①∵a ＜0，b ＞0，∴a ﹣b ＜0，∴a−b c ＜0．故①正确；②把B （2c ，0）代入解析式，得：4ac 2+2bc +c ＝0，又c ≠0，∴4ac +2b +1＝0，即2b +4ac ＝﹣1，故②正确；③∵抛物线与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B （2c ，0），∴x 1＝﹣2和x 2＝2c 为相应的一元二次方程的两个根，由韦达定理可得：x 1•x 2=c a =（﹣2）×（2c ）＝﹣4c ，∴a =−14．故③正确；④∵a =−14，2b +4ac ＝﹣1，∴c ＝2b +1．故原抛物线解析式为y =−14x 2+bx +（2b +1），顶点坐标为（2b ，b 2+2b +1）．∴对称轴为直线x ＝2b ．要使AN ⊥BM ，由对称性可知，∠APB ＝90°，且点P 一定在对称轴上，∵△APB 为等腰直角三角形，Q 是AB 中点，∴PQ =12AB =12[4b +2﹣（﹣2）]＝2b +2，∴P （2b ，2b +2），且有2b +2＜b 2+2b +1，整理得：b 2＞1，解得：b ＞1或b ＜﹣1，故④正确．综上所述，正确的有4个，故选：D ．13．（2022秋•大石桥市期末）如图所示是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a ﹣b +c ＞0；②3a +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝n +1没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线x ＝1可得抛物线与x 轴另一交点坐标在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，从而判断①．由对称轴为直线x ＝1可得b 与a 的关系，将b ＝﹣2a 代入函数解析式根据图象可判断②由ax 2+bx +c ＝n 有两个相等实数根可得Δ＝b 2﹣4a （c ﹣n ）＝0，从而判断③．由函数最大值为y ＝n 可判断④．【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（1，n ），∴抛物线对称轴为直线x ＝1，∵图象与x 轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间，∴图象与x 轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，∴x ＝﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0，故①正确，符合题意．=1，∵抛物线对称轴为直线x=−b2a∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，∴x＝﹣1时，y＝3a+c＞0，故②正确，符合题意．∵抛物线顶点坐标为（1，n），∴ax2+bx+c＝n有两个相等实数根，∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，∴b2＝4a（c﹣n），故③正确，符合题意．∵y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n，∴ax2+bx+c＝n+1没有实数根，故④正确，符合题意．故选：D．14．（2022•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），m．其中正确的有（ ）则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c=12个．A．1B．2C．3D．4【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得abc的符号，结论①错误；②由抛物线与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），可判断出抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，结论②正确；=−1，得b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c并化③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，即−b2a简得：x 2+2x ＝0，解得x ＝0或﹣2，可判断出结论③正确；④把（﹣1，m ），（1，0）代入y ＝ax 2+bx +c 并计算可得b =−12m ，由对称轴可得b ＝2a ，∴a =−14m ，由a +b +c ＝0可得c =34m ，再计算b +c 的值，可判断④错误．【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴左边，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，b ＞0，c ＜0，∴abc ＜0，故结论①错误；②∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m ），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0），∵抛物线开口向上，∴当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＞0，故结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x ＝﹣1，∴x =−b 2a =−1，∴b ＝2a ，把y ＝c ，b ＝2a 代入y ＝ax 2+bx +c 得：ax 2+2ax +c ＝c ，∴x 2+2x ＝0，解得x ＝0或﹣2，∴当y ≥c ，则x ≤﹣2或x ≥0，故结论③正确；④把（﹣1，m ），（1，0）代入y ＝ax 2+bx +c 得：a ﹣b +c ＝m ，a +b +c ＝0，∴b =−12m ，∵b ＝2a ，∴a =−14m ，∵抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0），∴a +b +c ＝0，∴c =34m ，∴b +c =−12m +34m =14m ，故选：B ．15．（2022•开福区模拟）如图，是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a +b ＝0；②抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，且x 1≠x 2；则x 1+x 2＝1．则命题正确的个数为（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【分析】①根据对称轴可以判断；②根据已知交点坐标和对称轴可以判断；③根据图象性质向下平移3个单位即可判断；④根据图象性质即可判断；⑤根据图象对称性即可判断．【解答】解：①∵对称轴为直线x =−b 2a =1，则：2a +b ＝0正确；②∵对称轴是直线x ＝1，与x 轴的一个交点是B （4，0），则与x 轴的另一个交点是（﹣2，0），故②正确；③将抛物线y 1=ax 2+bx +c 向下平移3个单位，得到y ＝ax 2+bx +c ﹣3，∴顶点坐标变为（1，0），∴此时抛物线与x 轴只有一个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根正确；④当1＜x ＜4时，有图象可知y 2＜y 1正确；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，则ax 12+bx 1+c ＝ax 22+bx 2+c ，即y 1＝y 2，∴x 1、x 2关于函数的对称轴对称，由①知函数对称轴为直线x =−b 2a =1，故12（x 1+x 2）＝1，∴⑤不正确，故选：B ．二．填空题（共15小题）16．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝1．下列结论：①abc ＞0；②4a +2b +c ＞0；③4ac ﹣b 2＜﹣4a ；④13＜a ＜23；⑤b ＞c ．其中正确结论有 ①③④⑤ （填写所有正确结论的序号）．【分析】根据对称轴为直线x ＝1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a 、b 、c 之间的关系，从而对②⑤作判断；利用4ac−b 24a ＜−1，可判断③；从图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c 的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a ＞0；∵对称轴在y 轴右侧∴ab 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；②∵图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x ＝2时，y ＜0，∴4a +2b +c ＜0，故②错误；③∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与y 轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y 轴右侧，a ＞0，∴最小值：4ac−b 24a＜−1，∵a ＞0，∴4ac ﹣b 2＜﹣4a ；∴③正确；④∵图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c ＜﹣1∴﹣2＜﹣3a ＜﹣1，∴23＞a ＞13；故④正确⑤∵a ＞0，∴b ﹣c ＞0，即b ＞c ；故⑤正确．综上所述，正确的有①③④⑤，故答案为：①③④⑤．17．（2022秋•金牛区期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②a ﹣b +c ＞0；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数），其中正确结论的序号有 ①③④ ．【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0，∵−b 2a ＞0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故此选项正确；②当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，故a ﹣b +c ＞0，错误；③由对称知，当x ＝2时，函数值大于0，即y ＝4a +2b +c ＞0，故此选项正确；④当x ＝3时函数值小于0，y ＝9a +3b +c ＜0，且x =−b 2a =1，即a =−b 2，代入得9（−b 2）+3b +c ＜0，得2c ＜3b ，故此选项正确；⑤当x ＝1时，y 的值最大．此时，y ＝a +b +c ，而当x ＝m 时，y ＝am 2+bm +c ，所以a +b +c ＞am 2+bm +c ，故a +b ＞am 2+bm ，即a +b ＞m （am +b ），故此选项错误．故①③④正确．故答案为：①③④．18．（2022•宜宾）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3，与y 轴负半轴交于点C ．下面五个结论：①2a +b ＝0；②a +b +c ＞0；③4a +b +c ＞0；④只有当a =12时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a 的值可以有三个．那么，其中正确的结论是 ①④ ．【分析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，∴AB＝4，=1，∴对称轴x=−b2a即2a+b＝0；故①正确；②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而−b＞02a∴b＜0，∵对称轴x＝1，∴当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0；故②错误；③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，∴10a+2b+2c＝0，∴5a+b+c＝0，∴a+4a+b+c＝0，∵a＞0，∴4a+b+c＜0，故③错误；④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；D 到x 轴的距离就是当x ＝1时y 的值的绝对值．当x ＝1时，y ＝a +b +c ，即|a +b +c |＝2，∵当x ＝1时y ＜0，∴a +b +c ＝﹣2，又∵图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3，∴当x ＝﹣1时y ＝0即a ﹣b +c ＝0；x ＝3时y ＝0．∴9a +3b +c ＝0，解这三个方程可得：b ＝﹣1，a =12，c =−32；⑤要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB ＝BC ＝4或AB ＝AC ＝4或AC ＝BC ，当AB ＝BC ＝4时，∵AO ＝1，△BOC 为直角三角形，又∵OC 的长即为|c |，∴c 2＝16﹣9＝7，∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c =与2a +b ＝0、a ﹣b +c ＝0联立组成解方程组，解得a 同理当AB ＝AC ＝4时，∵AO ＝1，△AOC 为直角三角形，又∵OC 的长即为|c |，∴c 2＝16﹣1＝15，∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c =与2a +b ＝0、a ﹣b +c ＝0联立组成解方程组，解得a 同理当AC ＝BC 时在△AOC 中，AC 2＝1+c 2，在△BOC 中BC 2＝c 2+9，∵AC ＝BC ，∴1+c 2＝c 2+9，此方程无解．经解方程组可知只有两个a 值满足条件．故⑤错误．故答案为：①④．19．（2022•荆门）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，顶点为C ，对称轴为直线x ＝1，给出下列结论：①abc ＜0；②若点C 的坐标为（1，2），则△ABC 的面积可以等于2；③M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是抛物线上两点（x 1＜x 2），若x 1+x 2＞2，则y 1＜y 2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax 2+bx +c +1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为 ①④ ．【分析】根据函数的图象和性质即可求解．【解答】解：①抛物线的对称轴在y 轴右侧，则ab ＜0，而c ＞0，故abc ＜0，正确，符合题意；②△ABC 的面积=12AB •y C =12×AB ×2＝2，解得：AB ＝2，则点A （0，0），即c ＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；③函数的对称轴为x ＝1，若x 1+x 2＞2，则12（x 1+x 2）＞1，则点N 离函数对称轴远，故y 1＞y 2，故③错误，不符合题意；④抛物线经过点（3，﹣1），则y ′＝ax 2+bx +c +1过点（3，0），根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax 2+bx +c +1＝0的两根为﹣1，3，故④正确，符合题意；故答案为：①④．20．（2022•霍林郭勒市模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中一定正确的是 ①②④ （填序号即可）．①abc＞0；②若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；③若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2＜x1＜x2＜4；④（a+c）2＞b2．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①正确，符合题意；②∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故②正确，符合题意；③抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，∵x1＜x2，∴x1＜﹣2＜4＜x2，③错误，不符合题意；④当x＝1时，y＝a+b+c＜0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，故④正确，符合题意；故答案为：①②④．21．（2022春•蔡甸区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是 3个 【分析】利用二次函数图象的性质，数形结合法，和二次函数与一元二次方程的关系对每一个选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，=−1．∴−b2a∴b＝2a．∴b＞0．∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴，∴c＞0．∴abc＞0．∴①的结论错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0．∴4ac﹣b2＜0．∴②的结论正确；由抛物线可知：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，=−1．∴−b2a∴b＝2a．∴a﹣2a+c＜0．∴c﹣a＜0．∴③的结论错误；∵x＝0时，y＝c，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣2时，y＝c．∵﹣n2﹣2≤﹣2，∴由抛物线的对称性可知：当x＝﹣n2﹣2时，y≥c．∴④的结论正确；∵若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，∴a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，A（x1，0），B（x2，0）．设直线y＝1与抛物线交于点M，N，如图，分别过点M，N作x轴的垂线，垂足对应的数字为m，n，即方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n，由图象可得：m＜x1，n＞x2；∴⑤的结论正确．综上，正确结论的个数是3个．故答案为：3个．22．（2022秋•武汉期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①bc＞0；②9a+3b+c＝0；③关于x的方程a（x+1）（x﹣3）﹣1＝0有两根m，n，m＜n，则﹣1＜m＜n＜3；④若方程|ax2+bx+c|＝b有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的是 ①②③ （填序号即可）．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①图象开口向下，图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，能得到：a＜0，c＞0，b＞0，∴bc＞0是正确的；②图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，可得与x轴的另一个交点（3，0），当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0，正确；③将图象向下平移一个单位，得到y＝a（x+1）（x﹣3）﹣1与x轴两个交点m、n，m＜n，则﹣1＜m＜n＜3，∴正确；④∵|ax2+bx+c|＝b，∴ax2+bx+c＝±b，=2，当ax2+bx+c﹣b＝0时，x1+x2=−ba=2，当ax2+bx+c+b＝0时，x1+x2=−ba∴这四个根的和为4，∴错误；故正确的是①②③．23．（2022秋•和平区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m （am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 ①②③④⑤ （只填写序号）．【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断①；根据函数的增减性可判断②；由抛物线开口方向及对称轴可得x＝﹣1时y最大，从而判断③；由对称轴可得b＝2a，由x＝﹣1时y＜0可判断④；根据函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点可判断⑤．【解答】解：由图象可知：a＜0，c＞0，又∵对称轴是直线x＝﹣1，∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，∴abc＞0，故①正确；∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向下，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∵k是实数，∴k2+2＞k2+1＞﹣1，∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c，即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），故②正确；=−1，∵抛物线对称轴为x=−b2a∴b＝2a，∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c）＝a﹣b+c＝﹣a+c，∴y最大∴am2+bm+c≤﹣a+c，即m（am+b）≤﹣a，故③正确；由图象知，x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∵b＝2a，∴3a+c＜0，∴c＜﹣3a，故④正确；根据图象可知，函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点，∴ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，故⑤正确，故答案为：①②③④⑤．24．（2022•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c≠0）经过A（x1，y1），B（x2，y2），C（c，0）三点，x1＜x2，抛物线的对称轴为直线x＝m．下列四个结论：①ac+b+1＝0；②若点m＜x1，则y1＜y2；③若m＝2，y1＝y2，则x1+x2＝4；④对于x1+x2＞8，都有y1＜y2，则m＜4．则结论正确的为 ①②③ ．（填序号）【分析】根据二次函数图象的性质逐个求解即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c≠0）经过A（x1，y1），B（x2，y2），C （c，0）三点，x1＜x2，抛物线的对称轴为直线x＝m．∵过C（c，0），∴0＝ac2+bc+c∵c≠0∴o＝c（ac+b+1），∴ac+b+1＝0，m＜x1，故①正确；∵m＜x1，x1＜x2，∴A、B两点，在对称轴右侧，∵a＞0，开口向上，∵在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故②正确；=2，当m＝2，则对称轴x=−b2a∴b＝﹣4a，∵y1＝y2，∴ax12+bx1+c=ax22+bx2+c，∴a(x21−x22)=b(x2−x1)∴a（x1+x2）（x1﹣x2）＝﹣4a（x2﹣x1），∴x1+x2＝4，故③正确；若点m≤4，则y1＜y2，∴−b＜4，2a∴b＞﹣8a，ax21+bx1+c＜a x22+bx2+c，a(x12−x22)＜b(x2−x1)，a（x1+x2）＜﹣b＜8a，a（x1+x2）＜8a，x1+x2＞8，都有y1＜y2，则m≤4．故④错误；故答案为：①②③．25．（2022秋•八步区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正确的结论有 4 个．【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y 轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，于是①正确；=1，因此有2a+b＝0，故④正确；抛物线的对称轴为直线x=−b2a当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，而2a+b＝0，所以3a+c＜0，故②不正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确；抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点在﹣1与0之间，因此另一个交点在2与3之间，于是当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，因此③正确；综上所述，正确的结论有：①③④⑤，。
《二次函数》能力提升1 精品北师大版数学练习
第二章 二次函数能力提高一、选择题1.观察函数2y x =的图象，那么以下判断中正确的选项是〔 〕A.假设,a b 互为相反数，财x a =与x b =的函数值相等。
B.对于同一个自变量x ，有两个函数值与其对应。
C.对任意实数x ，都有y >0。
D.对任意实数y ，都有两个x 与其对应。
h 关于t 的函数关系式为21(2h gt g =为常数，t 为时间〕，那么函数图象为〔 〕3.某工厂从国外进口了一套机器设备，现价值为50万元，但该套设备每年的折旧率为x ，那么两年之后这台机器的价值为y 万元，那么y 与x 之间的函数关系式可以写为〔 〕A.250(1)y x =-B.50(1)y x =-C.250y x =-D.230(1)y X =+4.如图，当ab >0时，抛物线2y ax =与直线y ax b =+的图象在同一坐标系内大致是〔 〕二、填空题5. 把二次函数22y x =+的图象向下平移4个单位，得到的函数图象对应的解析式为 。
6.与二次函数2122y x =+的图象关于x 轴对称的图象对应的二次函数解析式为 。
7.抛物经①23y x =，②223y x =，③243y x =-中的开口从大到小顺序是 。
8.二次函数2(0)y ax c ac =+≠，当取1212,()x x x x ≠时，函数值相等，那么当x 取12x x +时，函数值为 。
三、解答题9. 如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m ，两侧距地面4m 高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m m ，水泥建筑物厚度忽略不计〕。
2y x k =+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 为直角三角形，求抛物线2y x k =+的顶点坐标。
11.在同一平面直角坐标系内画出以下二次函数的图象①2112y x =-+②2122y x =-- 观察你所画的图象，并答复以下问题（1） 两条抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴（2） 抛物线2112y x =-+通过怎样的平移可以得到抛物线2122y x =--，反之，抛物线2122y x =--通过怎样的平移可得到抛物线2112y x =-+？（3） 请你根据你所画的抛物线，说出2y ax k =+的开口方向，对称轴和顶点坐标。
北师大版二次函数的图象及性质常见题
北师大版二次函数的图象及性质常见题1、解方程，未知数的系数化为1，正确的是; 答案A 解析2、（2010湖北孝感，17，3分）对实数a、b，定义运算★如下：a★b=，例如2★3=2－3=.计算×答案1 解析3、-2的相反数是（）A．B．C．-2D．2 答案D 解析4、如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若表示△ADE的面积，表示四边形DBCE的面积答案B 解析5、若2m＝3，2n＝4，则23m-2n等于（）A．1B．C．D．答案D 解析6、下列各点中是抛物线图像与x轴交点的是( )A．(5，0)B．(6，0)C 答案C 解析7、温度从-2℃上升3℃后是（m 答案A 解析8、下列方程是一元一次方程的是（;）A．B．C．D．答案A 解析9、如图2，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点答案A 解析10、的倒数是(; )A．－2B．2C．D．答案A 解析11、下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是Ａ答案B 解析考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图的特点求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选B．部审浙教版估计方程的解12。
下列二次根式中，是最简二次根式的是（; 答案B 解析13，如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线于点，分别交直答案C 解析14、下列物质间转化，能一步实现的是（;）答案C 解析15。
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二次函数
1． .二次函数342++=x x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移而得到，下列平移
正确的是 ( )
A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
2,已知:二次函数24y x x a =--，下列说法错误．．
的是 ( ) A ．当1x <时，y 随x 的增大而减小 B ．若图象与x 轴有交点，则4a ≤
C ．当3a =时，不等式240x x a -+>的解集是13x <<
D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(12)-，，则3a =-
3,在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++(m 是常数，且0m ≠)的图
4,已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，
，则代数式22008m m -+值( ) A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009 5，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(12)-，，且与x 轴交点的横坐标分别为
12x x ，，其中121x -<<-，201x <<，下列结论:
①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④284b a ac +>其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 6，已知集合},2|{R x y y M x ∈==，},|{2R x x y y N ∈==，那么 ( )
.A }4,2{=N M .B )}4,2{(=N M .C N M = .D N M ⊂ 7，不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．(,1][4,)-∞-+∞
B ．(,2][5,)-∞-+∞
C ．[1,2]
D ．(,1][2,)-∞+∞
图,5 Ａ．
Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8，函数2()4f x x x =-+在区间[0 ,]m 上的值域是[0 ,4]，则实数m 的取值范围是 ( )
（A ）(0 ,2] (B)[2 ,4] (C)(0 ,4] (D)[2 ,)+∞
9，函数2lg(1)()x f x x
-=的定义域 。
10，已知方程01x )1m (x 2
=+-+在[]20，内有解:则m 的取值范围是 ． 11. 函数11)(2+++++=b a x a x x f ）（，若方程0)(=x f 的两实根为α、β，且1>β, 10<<α，则22b a +的取值范围是
12,若不等式012
<--kx kx 的解是全体实数,则实数k 的取值范围是
13，函数x x y 2+=在区间[]4,0上的最大值M 与最小值N 的和=+N M ． 14,如图,在二次函数2()4f x x x =-的图象与x 轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,设
点B(x ,0),则x =____________,矩形面积最大.
15，设二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋a ，方程f (x )－x ＝0的两根x 1和x 2满足0<x 1<x 2<1.
(1)求实数a 的取值范围；
(2)试比较f (0)f (1)－f (0)与116
的大小．并说明理由． 16，已知:抛物线2(1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --，．
(1)求b c +的值；
(2)若3b =，求这条抛物线的顶点坐标；
(3)若3b >，过点P 作直线PA y ⊥轴，交y 轴于点A ，交抛物线于另一点B ，且2BP PA =，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．。