直线与圆的方程综合题、典型题

直线与圆的方程综合题、典型题

1、已知m ∈R ，直线l ：2

(1)4mx m y m -+=和圆C ：2

2

84160x y x y +-++=．

（1）求直线l 斜率的取值范围；

（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为

1

2

的两段圆弧？为什么？ 解析：（1）直线l 的方程可化为22

411

m m y x m m =-++，直线l 的斜率21m

k m =+，因为21

(1)2

m m +≤，所以2

112m k m =+≤，当且仅当1m =时等号成立． 所以，斜率k 的取值范围是1122

⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

，．

（2）不能．由（1）知l 的方程为(4)y k x =-，其中1

2

k ≤

． 圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =．圆心C 到直线l

的距离d =

．

由12k ≤

，得1d >，即2r

d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为1

2

的两段弧． 总结备忘：

2、已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦

AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

解析：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M

由于CM ⊥l ，∴k CM ×k l = －1

∴k CM =

11

2

-=-+a b ，

即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ， 即x －y +b －a =0 CM=

2

3

+-a b

∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA == 2

)3(922

22

+--

=-=a b CM

CB MB

，222

b a OM += ∴222

2

)3(9b a a b +=+-- ②

把①代入②得 0322=--a a ，∴12

3

-==a a 或 当2

5

,23-==

b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0； 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y +1=0

故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0

评析：此题用0OA OB =,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b 的方程比较简单 总结备忘：

3、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围.

解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.

由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2 = m 2无交点.

（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：

22|m |2

|1||m |<

⇒<

，即

22m 22<<-.

（II ）当m ＞OB 时,

||||m m >⇒>

即 13m 13m >-<或.

∴当2

2m 2

2<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，

圆x 2＋y 2 = m 2与线段AB 无交点.

总结备忘：

4、．已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A .

⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；

⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围. 解： ⑴设(),P x y 为轨迹上任一点，则

0y =

≠ （4分）

化简得：2

114

y x =+ 为求。 （6分） ⑵设2111,

14B x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2221,14C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

， ∵0PB BC •= ∴211162x x x ⎛⎫

=-+

⎪+⎝⎭

（8分） ∴210x ≥ 或26x ≤- 为求 （12分） 总结备忘：

5、将圆0222

2

=-++y x y x 按向量(1,1)a

平移得到圆O ，直线l 与圆O 相交于A 、 B 两点，若在圆O 上存在点C ，使0,.OC

OA

OB

OC

a 且求直线l 的方程.

解：由已知圆的方程为2

2

(1)(1)2x y ， 按(1,

1)a 平移得到2

2:2O x y . ∵(),OC OA OB ∴2

2

()()

0OC AB

OA

OB OB

OA OA

OB

.

即OC AB .

又OC a ，且(1,

1)a

，∴1OC

k .∴1AB

k .

设:0AB l x y m

， AB 的中点为D.

由()

2OC

OA OB OD ，则

2OC OD ，又22,2

OC

OD

.

∴O 到AB .

2

2

， ∴1m .

∴直线l 的方程为：1

0x y 或10x y -+=.

总结备忘：

6、已知平面直角坐标系xoy 中O 是坐标原点，)0,8(),32,6(B A ，圆C 是OAB ∆的外接圆，过点（2，6）的直线l 被圆所截得的弦长为34 （1）求圆C 的方程及直线l 的方程；

（2）设圆N 的方程1)sin 7()cos 74(2

2

=-+--θθy x ，)(R ∈θ，过圆N 上任意一点

P 作圆C 的两条切线PF PE ,，切点为F E ,，求CE CF ⋅的最大值.

解：因为)0,8(),32,6(B A ，所以OAB ∆为以OB 为斜边的直角三角形，

所以圆C ：16)4(2

2

=+-y x

（2）1）斜率不存在时，l ：2=x 被圆截得弦长为34，所以l ：2=x 适合 2）斜率存在时，设l ：)2(6-=-x k y 即026=-+-k y kx