十二章格林函数解的积分公式

12
0 ∂u ∂u ∂v ∂v ∫∫ (v ∂n − u ∂n )dS + ∫∫ (v ∂n − u ∂n )dS Σ Σε
ε Ω
2
２ （Σε的半径）
r r = ∫∫∫ vf dV − ∫∫∫ uδ ( r − r0 ) dV
T − Kε
1 1 ∂u − →− , |Σ 有限 4π | r − r0 | 4πε ∂n
× 立体角
ε→0
T − Kε
0（V 不包含 r0 )
∫∫∫ vf dV
T
∂v ∂ 1 1 1 1 2 ∫∫ − u ∂n dS = ∫∫ − u ∂(−r) (− 4π r )dS = ∫∫ u 4π r 2 r dΩ = u(r0 ) Σε Σε Σε
T
z o x y Kε r0
Σ Σε
r r r r u( r0 ) = ∫∫∫ v ( r , r0 ) f ( r )dV − r r ∂v ( r , r0 ) r r ∂u( r ) ∫∫ v(r , r0 ) ∂n − u( r ) ∂n dS Σ ——泊松方程的基本积分公式
∂u ∂G + βGu = Gϕ (1) αu + βGu = 0 (2) αG ∂n ∂n Σ Σ
第十二章 Green 函数 解的积分公式
Green函数（点源响应函数）：一个点源在一定的 边界及（或者）初始条件下所产生的场 泊松方程的Green 函数法 §12.1 泊松方程的
三维无界空间Green公式
泊松方程
场点 (x, y, z)
o
z
∆u=f (x, y, z)
x
源点 (ξ,η,ζ)
y
在静电学中，u 代表电势函数 ∇·E= ∇·(-∇u)=-∆u =ρ (x, y, z) /ε0 ∇ ∆ ρ ε
4
du( ρ ,ϕ ) = − ∫ = −∫
ρ
∞
ρ
∞
r r dE ( ρ ,ϕ ) ⋅ dρ
r r dq( ρ ' ,ϕ ' ) ˆ r r n ⋅ d( ρ − ρ ' ) 2πε 0 | ρ − ρ ' | r
ρ
r r ˆ n || ( ρ − ρ ' ) r r r r ˆ n ⋅ d( ρ − ρ ' ) = d | ρ − ρ ' |
∂v + βv = 0 (12.1.14) α ∂n Σ
r r v ≡ G ( r , r0 )
r r 以 G ( r , r0 ) × (12.1.5)
∂u α + βu = ϕ (M ) ∂n Σ
u( r ) × (12.1.14)
∂G α + βG = 0 ∂n Σ
T Σ T
u ( x, y , z ) = = = ∫∫∫ ( −
1 4πε 0 1 4πε 0
∫∫∫ ∫∫∫
ρ (ξ ,η ,ς ) dξ dη dς
( x − ξ )2 + ( y − η )2 + ( z − ς )2 − ε 0 f (ξ ,η , ς ) dξ dη dς ( x − ξ )2 + ( y − η )2 + ( z − ς )2 1 ) f (ξ ,η , ς ) dξ dη dς
T
r r 的奇点于内的积分时， 注意：在计算 ∇ v ( r , r ) 0
2
奇点附近的体积分应以包围该奇点的面积分（*） 代替
rr r rr r ∂v(r , r0 ) r r ∂u(r) u(r0 ) = ∫∫∫v(r , r0 ) f (r )dV − ∫∫ v(r , r0 ) − u(r) dS ∂n ∂n T Σ
r
∞
2πε 0 r r r ln(| ρ − ρ ' |) = C − dq( ρ ' ,ϕ ' ) , 令C = 0 2πε 0 r r r ln(| ρ − ρ ' |) du( ρ ,ϕ ) = −dq( ρ ' ,ϕ ' ) 2πε 0
∞
= −dq( ρ ' ,ϕ ' ) ∫
1
⋅ d ln(| ρ − ρ ' |)
式中v 未知，又需要同时知道
∂u( r ) 及 u( r ) ∂n
在边界处之值。上式尚不能用于解决三类边值问 题！
rr r rr r ∂v(r , r0 ) r r ∂u(r) u(r0 ) = ∫∫∫v(r , r0 ) f (r )dV − ∫∫ v(r , r0 ) − u(r) dS ∂n ∂n T Σ
T
Poisson 方程： 考虑非齐次边值问题
n
r r r T r − r' r' r r
O
r r ∇ u = f ( r ), r ∈ T (12.1.4) ∂u + βu = ϕ ( M ) α ∂n Σ
2
Σ
α = 0, β ≠ 0 α ≠ 0, β = 0 α ≠ 0, β ≠ 0
[
S S
]
l
r dq r ∫∫ dE ( ρ ,ϕ ) ⋅ dS = ,
(| ρ − ρ ' |= 常数)
r
r
ε0 y
r ρ (ξ ,η ) dξ dη ˆ dE ( ρ ,ϕ ) = r r n 2πε 0 | ρ − ρ ' |
(x,y) (ρ,ϕ)
ρ -ρ ’
(ξ,η) (ρ’,ϕ’)
o x
r r ρ − ρ' ˆ n= r r | ρ − ρ '| ˆ |n |=1
x o
移至 z=0
z
∆z
y
(ξ,η) (3 ’,ϕ’) ρ
位于(ξ ,η ) 处的无限高度体电荷柱中， 其中的线元单位长度带电 dq = ρ (ξ ,η ) dξ dη （在z方向，∆ς = 1） r r r 2 2 | ρ − ρ ' |= ρ + ρ ' −2 ρρ ' cos(ϕ − ϕ ' ) 产生的场强为dE ( ρ ,ϕ ) r r r ˆ ∫∫ dE ( ρ ,ϕ ) ⋅ dS = ∫ dE ( ρ ,ϕ ) ⋅ [ 1 × dl ] nS
T T Σ T
以上两式相减
Σ
——第一Green公式
r r r 2 2 ∫∫ (u∇v − v∇u) ⋅ dS = ∫∫∫ (u∇ v − v∇ u)dV 即：
∂v ∂u 2 2 ∫∫ (u ∂n − v ∂n )dS = ∫∫∫ (u∇ v − v∇ u)dV Σ T
——第二Green公式
边界 Σ上
r ∇ u = f (r ) (r
2
( v∇ u − u∇ v ) dV ∫∫∫
2 2 T
r r = ∫∫∫ v f dV − ∫∫∫ uδ ( r − r0 ) dV
T T
将左边化为面积分：
( v∇ 2 u − u∇ 2 v )dV ∫∫∫
第二Green公式
∂v ∂u (u − v )dS = ∫∫∫ (u∇2v − v∇2u )dV ∫∫ ∂n ∂n Σ T
r r ∆ = ∇ ⋅ ∇ = ∇2
-f (x, y, z)= ρ/ε0 ，ρ(x, y, z) = -ε0 f (x, y, z) ε ε
r r Q 1 ∫∫ E ⋅ dS = =
Σ
ε0
ε0
r r r r ∫∫∫ ρ ( x, y, z ) dV , ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ E dV
u( x, y ) = − ∫∫
= ∫∫ G ( x, y; ξ ,η ) f (ξ ,η ) dξ dη 1 1 ln Green函数： ( x, y; ξ ,η ) = − G 2π ( x − ξ )2 + ( y − η )2 − ∇ 2G = −
ε 0δ ( x − ξ ) δ ( y − η ) = −δ ( x − ξ ) δ ( y − η ) ε0
4π ( x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 + ( z − ς ) 2
= ∫∫∫ G ( x, y , z; ξ ,η , ς ) f (ξ ,η , ς ) dξ dη dς Green函数： ( x, y , z; ξ ,η , ς ) = − G − ∇ 2G = 1 4π ( x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 + ( z − ς ) 2 = −δ ( x − ξ ) δ ( y − η ) δ ( z − ς )
（1）第一类边界条件：u
r r r r r r ∂G ( r , r0 ) u( r0 ) = ∫∫∫ G ( r , r0 ) f ( r )dV + ∫∫ ϕ ( r ) dS ∂n T Σ
（3）第三类边界条件Байду номын сангаас在边界上令
要求 v |Σ = 0
|Σ = ϕ ( M ) r r v ≡ G ( r , r0 )
第一边值问题或狄里希利问题 第二边值问题或诺依曼问题 第三边值问题
r r r r ∇ v( r , r0 ) = δ ( r − r0 ) (12.1.6)
2
r r r 研究点源所产生的场 v ( r , r0 )： 位于 r0 单位强度正 r 点源在 r 产生的场，满足：
r r v ( r , r0 ) × (12.1.4) - u( r ) × (12.1.6) : 在 T 中积分：
T − Kε 空间由 外侧两个曲面 Σ，Σε围成
T − Kε
∂u ∂v ∂u ∂v = ∫∫ ( v − u )dS + ∫∫ ( v − u )dS ∂n ∂n ∂n ∂n Σ Σε