§2 标准正交基§5 子空间

§5 子空间

一、 欧氏空间中的正交子空间 1．定义：

1) 1V 与2V 是欧氏空间V 中的两个子空间，如果对1V α∀∈，V β∈，恒有

(),0αβ=，

则称子空间1V 与2V 为正交的，记作12V V ⊥. 2) 对给定向量V α∈,如果对∀1V β∈,恒有

(),0αβ=，

则称向量α 与子空间1V 正交，记作1V α⊥. 注：

① 12V V ⊥当且仅当1V 中每个向量都与2V 正交． ② {}12120V V V V ⊥⇒⋂=.

( ()12,00V V αααα∀∈⋂⇒=⇒=.) ③ 当1V α⊥且V α∈时，必有0α=. 2．两两正交的子空间的和必是直和． 证明：设子空间12,,,s V V V 两两正交， 要证明12s V V V ⊕⊕⊕,只须证： 12s V V V +++中零向量分解式唯一． 设 12s ααα+++=0, i i V α∈, 1,2,,i s = 12V V ⊥, i j ≠

∴ ()()()12,0,,0i i s i i ααααααα=+++==

由内积的正定性，可知 0,i α= 1,2,,i s = 二、子空间的正交补 1．定义：

如果欧氏空间V 的子空间12,V V 满足12V V ⊥,并且12V V V +=, 则称 2V 为1V 的正交补.

2．n 维欧氏空间V 的每个子空间1V 都有唯一正交补. 证明：当{}10V =时，V 就是1V 的唯一正交补． 当{}10V ≠时，1V 也是有限维欧氏空间. 取1V 的一组正交基12,,,,m εεε 由定理1，它可扩充成V 的一组正交基 121,,,,,,,m m n εεεεε+ 记子空间()12,,.m n L V εε+= 显然, 12V V V +=.

又对 11221m m x x x V αεεε∀=+++∈,

112m m n n x x V βεε++=++∈,

()()1111

,,,0m n m n

i i j j i j i j i j m i j m x x x x αβεεεε==+==+⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑

∴ 12V V ⊥. 即2V 为1V 的正交补. 再证唯一性. 设23,V V 是1V 的正交补，则

1213V V V V V =⊕=⊕

对2,V α∀∈由上式知 13V V α∈⊕ 即有 13,ααα=+ 1133,V V αα∈∈ 又 1213,V V V V ⊥⊥ ∴ 131,,αααα⊥⊥

从而有 ()()()()()1131113111,,,,,0ααααααααααα=+=+== 由此可得 10α=,即有 3V α∈ ∴ 23V V ⊆. 同理可证 32V V ⊆, ∴ 23.V V = 唯一性得证. 注：

① 子空间W 的正交补记为W ⊥.即

{}|W V W αα⊥=∈⊥

② n 维欧氏空间V 的子空间W 满足: i) ()

W

W ⊥

⊥=

ii) dim dim dim W W V n ⊥+== iii) W W V ⊥⊕=

ⅳ) W 的正交补W ⊥必是W 的余子空间. 但一般地，子空间W 的余子空间未必是其正交补. 3．内射影

设W 是欧氏空间V 的子空间，由,V W W ⊥=⊕对,V α∀∈有唯一的

12,W W αα⊥∈∈,使

12ααα=+

称1α为α在子空间W 上的内射影. 小结：两空间正交、直和、正交补