线性系统理论第五章 系统运动的稳定性new
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第五章 系统的稳定性1
• 初始状态
– 无输入时的初态， xo (0 ), xo (0 )...xon1(0 ) n – 输入引起的初态 xo (0i ), xo (0i )...xo 1(0i ) – 上面两者之和
2.定常线性系统稳定性条件。
• 微分方程 • 单位脉冲响应
3.系统稳定的充要条件
• 系统的全部特征根都具有负实部；反之，若特征 根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统 必不稳定。 • 若系统传递函数G(s)的全部极点均位于平面的左 半平面，则系统稳定；反之，若有一个或一个以 上的极点位于[s]平面的右半平面，则系统不稳定； 若有部分极点位于虚轴上，而其余的极点均在[s] 平面的左半平面，则系统称为临界稳定，即xo(t) 或w(t)趋于等幅谐波振荡。
三、关于稳定性的一些提法
• 统一考虑了线性与非线性系统稳定性问题 • 2.“小偏差”稳定性又称“小偏差”或“局部稳定性”。由 于实际系统往往存在非线性，因此，系统的动力学往往是 建立在“小偏差”线性化的基础之上的。在偏差较大时， 线性化带来的误差太大。因此，用线性化方程来研究系统 的稳定性时，就只限于讨论初始偏差（初态）不超出某一 微小范围时的稳定性，称之为“小偏差”稳定性。初始偏 差大时，就不能用来讨论系统的稳定性。由于实际系统在 发生等幅振荡时的幅值一般并不大，亦即系统在振荡时偏 离平衡位置的偏差一般不大，因此，这种“小偏差”稳定 性仍有一定的实际意义。 • 如果系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统称 为“在大范围内渐近稳定”。在工程控制中，一般是希望 系统在大范围内渐近稳定，如果系统不是这样，则需确定 系统渐近稳定的最大范围，并使扰动产生的初始偏差不超 出此范围。
• 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡 下的稳定性，也就是说，是讨论输入为零，系统 仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即讨论系 统自由振荡是收敛的还是发散的
线性系统理论郑大钟5稳定性课件
挑战
随着研究的深入，线性系统稳定性的研究将面临更多挑战， 例如如何处理更复杂的系统模型、如何提高稳定性分析和控 制的实时性和鲁棒性等。
对实际应用的指导意义
1 2 3
设计准则
线性系统稳定性研究为实际系统的设计和改进提 供了重要的理论依据和技术指导，有助于提高系 统的稳定性和可靠性。
控制策略
基于线性系统稳定性研究的控制策略可以有效地 改善系统的性能，例如PID控制、状态反馈控制 等。
线性系统的分类与特点
分类
根据系统的动态行为，可以分为连续 系统和离散系统；根据系统的状态变 量，可以分为线性时不变系统和线性 时变系统。
特点
线性系统具有模块化、可加性和可替 代性等优点，这使得线性系统在工程 和科学领域中得到了广泛应用。
线性系统理论的应用领域
控制工程
线性系统理论是现代控制理论 的基础，广泛应用于航空航天 、化工、电力等领域的控制系
03
线性系统的稳定性分析
线性系统的稳定性判定
01
02
03
定义域判定
通过判断系统在定义域内 的行为，确定系统的稳定 性。
特征值判定
根据线性系统的特征值判 断系统的稳定性，如果所 有特征值都位于复平面的 左半部分，则系统稳定。
能量判定
对于能量有限的线性系统 ，如果系统的能量随时间 衰减，则系统稳定。
实际应用
在实际工程领域中，许多系统都可以近似为线性系统，因 此研究其稳定性对于保证系统的正常运作、预防和控制故 障具有关键作用。
学科交叉
线性系统稳定性研究涉及到数学、物理、工程等多个学科 领域，有助于促进不同学科之间的交流与融合。
未来研究的方向与挑战
研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，线性系统稳定性的 研究方向将更加多元化和复杂化，例如考虑非线性因素、时 变参数、不确定性等。
随着研究的深入，线性系统稳定性的研究将面临更多挑战， 例如如何处理更复杂的系统模型、如何提高稳定性分析和控 制的实时性和鲁棒性等。
对实际应用的指导意义
1 2 3
设计准则
线性系统稳定性研究为实际系统的设计和改进提 供了重要的理论依据和技术指导，有助于提高系 统的稳定性和可靠性。
控制策略
基于线性系统稳定性研究的控制策略可以有效地 改善系统的性能，例如PID控制、状态反馈控制 等。
线性系统的分类与特点
分类
根据系统的动态行为，可以分为连续 系统和离散系统；根据系统的状态变 量，可以分为线性时不变系统和线性 时变系统。
特点
线性系统具有模块化、可加性和可替 代性等优点，这使得线性系统在工程 和科学领域中得到了广泛应用。
线性系统理论的应用领域
控制工程
线性系统理论是现代控制理论 的基础，广泛应用于航空航天 、化工、电力等领域的控制系
03
线性系统的稳定性分析
线性系统的稳定性判定
01
02
03
定义域判定
通过判断系统在定义域内 的行为，确定系统的稳定 性。
特征值判定
根据线性系统的特征值判 断系统的稳定性，如果所 有特征值都位于复平面的 左半部分，则系统稳定。
能量判定
对于能量有限的线性系统 ，如果系统的能量随时间 衰减，则系统稳定。
实际应用
在实际工程领域中，许多系统都可以近似为线性系统，因 此研究其稳定性对于保证系统的正常运作、预防和控制故 障具有关键作用。
学科交叉
线性系统稳定性研究涉及到数学、物理、工程等多个学科 领域，有助于促进不同学科之间的交流与融合。
未来研究的方向与挑战
研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，线性系统稳定性的 研究方向将更加多元化和复杂化，例如考虑非线性因素、时 变参数、不确定性等。
线性控制理论-系统运动的稳定性
1. 平衡态 设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中x为n维状态变量; f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性 向量函数。 对该非线性系统，其平衡态的定义如下。
定义5-1 动态系统 x’=f(x,t) 的平衡态是使 f(x,t)0 的状态，并用xe来表示。 从定义5-1可知，平衡态即指状 态空间中状态变量的导数向量 为零向量的点(状态)。 由于导数表示的状态的运动 变化方向，因此平衡态即指 能够保持平衡、维持现状不 运动的状态，如上图所示。
5.1 内部稳定性与外部稳定性
一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳 定的系统。 例如，电机自动调速系统中保持电机转速为一定 的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。 具有稳定性的系统称为稳定系统。 稳定性的定义为： 当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏， 但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡态 下继续工作。 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定 系统
使得对于任意位于平衡态xe的球 域S(xe,)的初始状态x0，
x(0) x(0)
图5-1
当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球 域S(xe,)内，则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意 义下稳定的。
上述定义说明，对应于平衡态xe的 每一个球域S(xe,),
x2
一定存在一个有限的球域 S(xe,)，使得t0时刻从S(xe,) 出发的系统状态轨线总不离 开S(xe,),
( x1 2 x2 ) 2
( x1 2 x2 ) 2 ( x1 2 x2 ) 2
函数的定号性是一个相对概念，与其函数定义域 有关。 2 如，函数 2x2对x1与x2组成的2维空间为非负定 的，但对于1维空间x2则为正定的。
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
当然，对于线性系统， 从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
第五章 系统的稳定性PDF
第五章系统的稳定性讲授内容5.1系统稳定的初步概念一、稳定性的定义系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。
若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统为不稳定的。
线性系统的稳定性是系统的固有特性，仅与系统的结构及参数有关；而非线性系统的稳定性不仅与系统的结构及参数有关，而且还与系统的输入有关。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是的系统所有特征根的实部全都小于零，或系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面内。
若系统传递函数的所有极点中，只有一个位于虚轴上，而其它极点均分布在s平面的左半平面内，则系统临界稳定。
而临界稳定的系统极易因为系统的结构或参数的细微变化而变成不稳定的系统。
因此，临界稳定往往也归结为不稳定的一种。
5.2 （劳斯）稳定判据Routh Routh 判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
一、系统稳定的必要条件要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
Routh 运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
Routh Routh 运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
Routh Routh Routh Routh 在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：Routh 1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
第五章稳定性理论
稳定性理论5.1 外部稳定性和内部稳定性运动稳定性分为基于I/O 描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。
内容包括外部稳定性内部稳定性内部稳定性和外部稳定性关系（1）外部稳定性考虑以I/O 描述的线性因果系统，假定初始条件为零（保证系统输入输出描述的唯一性），外部稳定性定义如下：（ｔ时刻输出仅取决于ｔ时刻及之前的输入） 定义5.1 称一个因果系统为外部稳定，如果对任意有界输入u (t )，对应输出y (t )均有界，即102(),[,]()u t t t y t ββ∀≤<∞∈∞⇒≤<∞外部稳定也称为BIBO 稳定。
（有界输入－有界输出）β为有界常数。
１范数：向量各元素绝对值之和；２范数：向量各元素平方之和的１／２次方。
性质１： 非负性；齐次性；三角不等式。
定理5.1 对零初始条件线性时变系统，t 0时刻BIBO 稳定的充分必要条件是（设Ｈ（ｔ，τ）为系统脉冲响应矩阵，ｈｉｊ（ｔ，τ）一个元） 01212(,),,,,;,,,tij t h t d i q j pττβ≤<∞==∫L L 证明：先证SISO 情形。
充分性，已知脉冲响应函数绝对可积，证明系统BIBO 稳定。
由基于脉冲响应的输出关系式，有 ττβττττττd u d u t h d u t h t y tt t t t t ∫∫∫≤⋅≤=000)()(),()(),()(因此，对任意有界输入u (t )∞<≤1β)(t u∞<≤≤⇒∫10ββττβd u t y tt )()( 即系统BIBO 稳定。
再证必要性，已知系统BIBO 稳定，反设有t 1，使得∞=∫ττd t h t t 101),(构造有界输入（分段函数）⎪⎩⎪⎨⎧<−=>+==010*******),(,),(,),(,),(sgn )(ττττt h t h t h t h t u∞===⇒∫∫τττττd t h d u t h t y tt t t 1010111),()(),()(这与系统BIBO 稳定矛盾，必要性得证。
线性系统理论精简版 ——5.系统的稳定性
内部稳定性和外部稳定性在满足一定条件下是等 价的（后面讨论）。
经典理论判稳方法及局限性 间接判定：方程求解－(对非线性和时变通常很难)
直接判定：单入单出中，基于特征方程的根是否都
分布在复平面虚轴的左半部分；以及采用劳斯判据、 奈魁斯特频率判据等。局限性是仅适用于线性定常， 不适用于非线性和时变系统。
0 1
xe , 3
0 1
5.2.2 李雅普诺夫稳定 定义：若状态方程
f ( x, t ) x 所描述的系统，对于任意的>0和任意初始
x2
时刻t0，都对应存在一个实数(,t0)>0，
使得对于任意位于平衡态xe的球域S(xe,) 的初始状态x0，当从此初始状态x0出发的 状态方程的解x都位于球域S(xe,)内，则 称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳
现代控制理论判稳方法： 李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于 各种系统。 李亚普诺夫第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质
判定稳定性－－间接法。
李亚普诺夫第二法：直接判定稳定性。思路：构造一个李
亚普诺夫函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对任何复
杂系统都适用。
5.2
V ( X ) 0 X 0 V ( X ) 0 X 0
例5-2
2 2 V ( X ) x1 2x2
当 x1 0, x2 0 时，V ( X ) 0； 当 x1 0, x2 0 时， V ( X ) 0。所以，V(X)是正定的。
(2) 正半定性(准正定) 如果对任意非零向量 X ( X 0) ，恒有 V ( X )≥0， 且当 X 0时V ( X ) 0 ，则称 V ( X ) 为正半定的。即
第7章 系统运动的稳定性(第五章)
& ( x ) = ∂V ( x ) dx1 + ∂V ( x ) dx2 V ∂x1 dt ∂x2 dt
& & = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2( x12 + x2 2 )
x → ∞, V ( x ) → ∞
大范围渐近稳定
5.5 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据
线性时不变系统稳定判据
& x = Ax, x (0) = x0 , t ≥ 0
x = 0 为平衡状态
结论 5.22 [特征值判据] [特征值判据 特征值判据] 李亚普诺夫意义下稳定
⇔
A的特征值具有非正实部，且零实部特征值只能为A 的特征值具有非正实部，且零实部特征值只能为A 的最小多项式的单根。 的最小多项式的单根。 结论 5.23 渐近稳定 ⇔ A的特征值均具有负实部
∫
∞
0
hij (t ) dt ≤ β < ∞
结论 5.3 对零初始条件的线性时不变系统 BIBO稳定 BIBO稳定 ⇔ 真或严真传递函数矩阵所有极点均具有负实部
内部稳定性（渐近稳定性） 内部稳定性（渐近稳定性）
& x = A(t)x , x (t0 ) = x0 , t ∈ [t0 , ∞ )
如果由时刻 t0 任意非零初始条件 x (t0 ) = x0 引起的状态零 输入响应 x0u (t )对所有 t ∈ [t0 , ∞ )为有界，并满足渐近属性 为有界， 即成立
对应的输出y(t)均为有界， 对应的输出y(t)均为有界，即有 y(t)均为有界
y(t) ≤ β 2 < ∞, ∀t ∈ [t0 , ∞ )
结论 5.1 对零初始条件的线性时变系统 BIBO稳定 BIBO稳定 ⇔
& & = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2( x12 + x2 2 )
x → ∞, V ( x ) → ∞
大范围渐近稳定
5.5 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据
线性时不变系统稳定判据
& x = Ax, x (0) = x0 , t ≥ 0
x = 0 为平衡状态
结论 5.22 [特征值判据] [特征值判据 特征值判据] 李亚普诺夫意义下稳定
⇔
A的特征值具有非正实部，且零实部特征值只能为A 的特征值具有非正实部，且零实部特征值只能为A 的最小多项式的单根。 的最小多项式的单根。 结论 5.23 渐近稳定 ⇔ A的特征值均具有负实部
∫
∞
0
hij (t ) dt ≤ β < ∞
结论 5.3 对零初始条件的线性时不变系统 BIBO稳定 BIBO稳定 ⇔ 真或严真传递函数矩阵所有极点均具有负实部
内部稳定性（渐近稳定性） 内部稳定性（渐近稳定性）
& x = A(t)x , x (t0 ) = x0 , t ∈ [t0 , ∞ )
如果由时刻 t0 任意非零初始条件 x (t0 ) = x0 引起的状态零 输入响应 x0u (t )对所有 t ∈ [t0 , ∞ )为有界，并满足渐近属性 为有界， 即成立
对应的输出y(t)均为有界， 对应的输出y(t)均为有界，即有 y(t)均为有界
y(t) ≤ β 2 < ∞, ∀t ∈ [t0 , ∞ )
结论 5.1 对零初始条件的线性时变系统 BIBO稳定 BIBO稳定 ⇔
线性系统理论第五章 系统运动的稳定性newppt课件
线性系统理论
线性系统理论第五章 系统运动 マスタ タイトルの書式設定 的稳定性new
引言
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特
性提供了可能性
对系统进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律
和基本特性
系统分析：定量分析，定性分析 定性分析：决定系统行为的关键性质：能控性、能观 测性、稳定性
引言
本章的主要内容
有限个 当λl（l=1,2，…m）均具有负实部时， 对可积。从而，系统为BIBO稳定。
ˆij s取拉式反变换导出的 g
是
1 s l lt h t e 之和，合式中也可能包含由 δ函数项。容易证明，当且仅 lr
1 s l t e lt 为绝对可积，也即 gij(t)为绝
5.1 外部稳定性和内部稳定性
y ( t ) g ( t ,) u ( ) d | g ( t ,) | d 1 1 1
t 0 t 0 t 1
有
t 1
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系
统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
lim ( t ,t0) 0
t
结论5
Ax x ( 0 ) x 0 对n维连续时间线性时不变自治系统 x 0 t
At 内部稳定的充分必要条件为 lime 0 t
或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性和外部稳定性的关系 结论6
对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：
线性系统理论第五章 系统运动 マスタ タイトルの書式設定 的稳定性new
引言
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特
性提供了可能性
对系统进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律
和基本特性
系统分析：定量分析，定性分析 定性分析：决定系统行为的关键性质：能控性、能观 测性、稳定性
引言
本章的主要内容
有限个 当λl（l=1,2，…m）均具有负实部时， 对可积。从而，系统为BIBO稳定。
ˆij s取拉式反变换导出的 g
是
1 s l lt h t e 之和，合式中也可能包含由 δ函数项。容易证明，当且仅 lr
1 s l t e lt 为绝对可积，也即 gij(t)为绝
5.1 外部稳定性和内部稳定性
y ( t ) g ( t ,) u ( ) d | g ( t ,) | d 1 1 1
t 0 t 0 t 1
有
t 1
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系
统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
lim ( t ,t0) 0
t
结论5
Ax x ( 0 ) x 0 对n维连续时间线性时不变自治系统 x 0 t
At 内部稳定的充分必要条件为 lime 0 t
或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性和外部稳定性的关系 结论6
对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：
研究生第5章-系统的运动稳定性2
第5章 系统的运动稳定性
线性系统理论-钱雪军
◆研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特 征。 ◆要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然 能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。 ◆稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作 用无关。
0 < α ( x ) ≤ V ( x, t ) ≤ β ( x )
则称V(x,t)是定义在 Ω × [t0 , ∞ ] 上的一个（时变）正定函数。 如果 lim α ( x ) = ∞ ，则称正定函数V(x,t)具有无穷大性质。
x − >∞
正定函数的导数：
dV ∂V ∂V = f ( x, t ) + dt ∂x ∂t
5.1.2 Lyapunov意义下的运动稳定性定义
线性系统理论-钱雪军
Lyapunov意义下的稳定性 设
= f ( x, t ) 的一个平衡状态。对于任意选定的实数 ε > 0 ，都 xe 是系统 x
x0 出发的解都满足
对应存在另一个实数 δ (ε , t 0 ) 初态
> 0 ，使当 x0 − xe ≤ δ (ε , t0 ) 时，从任意 φ (t ; x0 , t0 ) − xe ≤ ε , ∀t ≥ t0 ，则称平衡状态xe
★经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹 判据 ★非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线性系统) 描述函数法
李雅普诺夫理论
线性系统理论-钱雪军
◆ 1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适 用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。 ◆主要内容： ▲李氏第一法（间接法）：求解特征方程的特征值 ▲李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造李氏函数 ◆应用：自适应，最优控制，非线性控制等
线性系统理论-钱雪军
◆研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特 征。 ◆要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然 能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。 ◆稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作 用无关。
0 < α ( x ) ≤ V ( x, t ) ≤ β ( x )
则称V(x,t)是定义在 Ω × [t0 , ∞ ] 上的一个（时变）正定函数。 如果 lim α ( x ) = ∞ ，则称正定函数V(x,t)具有无穷大性质。
x − >∞
正定函数的导数：
dV ∂V ∂V = f ( x, t ) + dt ∂x ∂t
5.1.2 Lyapunov意义下的运动稳定性定义
线性系统理论-钱雪军
Lyapunov意义下的稳定性 设
= f ( x, t ) 的一个平衡状态。对于任意选定的实数 ε > 0 ，都 xe 是系统 x
x0 出发的解都满足
对应存在另一个实数 δ (ε , t 0 ) 初态
> 0 ，使当 x0 − xe ≤ δ (ε , t0 ) 时，从任意 φ (t ; x0 , t0 ) − xe ≤ ε , ∀t ≥ t0 ，则称平衡状态xe
★经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹 判据 ★非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线性系统) 描述函数法
李雅普诺夫理论
线性系统理论-钱雪军
◆ 1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适 用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。 ◆主要内容： ▲李氏第一法（间接法）：求解特征方程的特征值 ▲李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造李氏函数 ◆应用：自适应，最优控制，非线性控制等
线性系统理论(第五章)
x0 − xe
≤ δ ( ε , t 0 ) 的任一初态 x 0 出发的受扰
S (ε )
S (δ )
运动都同时满足不等式： 运动都同时满足不等式：
φ (t ; x0 , t0 ) − xe ≤ µ
∀ t ≥ t0 + T ( µ ,δ , t0 )
运动的有界性。 运动的有界性。
x0 xe
φ (t ; x0 , t0 )
001
系统运动的稳定性
讨论内部稳定性。 讨论内部稳定性。 李亚普诺夫方法（А.М.Ляпунов) Ляпунов) 李亚普诺夫方法（ 线性系统 定常系统 非线性系统 ； 时变系统 ； 离散时间系统。 离散时间系统。
连续时间系统
002
系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 外部稳定性 考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入 u ( t ) ， 考虑一个线性因果系统， 即满足条件： 即满足条件：
G ( t ) 为其脉冲响应矩阵， ˆ ( s ) 为其传递函数矩阵，则系统 G 为其脉冲响应矩阵， 为其传递函数矩阵，
为 B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数 k ， 稳定的充分必要条件是，
j = 1, 2 , L , p ) 均满足关系式： 均满足关系式：
G (t )
的每一个元
大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外， 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平 衡点。 衡点。 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定。 大范围渐近稳定。
006
第五章 系统的稳定
N ( s )为 与 初 始 条 件 有 关 的 S 多 项 式
根据稳定的定义，在干扰作用下，系统偏离平衡条件， 根据稳定的定义，在干扰作用下，系统偏离平衡条件，当 干扰消失后（即输入Xi(s)=0 Xi(s)=0） 系统的解(齐次解) 干扰消失后（即输入Xi(s)=0）,系统的解(齐次解)能否回 到零（平衡点）。 到零（平衡点）。
第五章 系统的稳定性
第五章 系统的稳定性
本章主要内容: 本章主要内容: 主要内容 ◆稳定性的概念及线性系统稳 定的充要条件 ◆Routh稳定判据及应用 稳定判据及应用 ◆Nyquist稳定判据及应用 稳定判据及应用 ◆Bode稳定判据 稳定判据
第五章 系统的稳定性
5.1 稳定性的概念
一、概念
设系统处于某一起始平衡状态，在一定的外作用下（ 设系统处于某一起始平衡状态，在一定的外作用下（干 ），它离开了平衡状态 当外作用消失后， 它离开了平衡状态。 扰），它离开了平衡状态。当外作用消失后，如果经过 足够长时间它能回到原来的起始平衡状态，则系统稳定。 足够长时间它能回到原来的起始平衡状态，则系统稳定。 稳定性是系统本身的固有特性，与输入无关。 稳定性是系统本身的固有特性，与输入无关。
全零 行
第五章 系统的稳定性
说明有对称根存在。对称根可由辅助方程F(s)=0求得
2S4 +48S2 +46=0 s1,2 = ± j 23 s3,4 = ± j
具有两对共轭虚根，系统临界稳定。
第五章 系统的稳定性
四、Routh稳定判据的应用
(1) 判别自动控制系统的稳定性及根的大致分布情 况 (2) 分析系统参数变化对系统稳定性的影响 (3) 确定系统的相对稳定性
构造一辅助函数F(s)，即为系统的闭环特征多项式
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|
d
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系 统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
hij (t) dt i 1,2, q j 1,2, p 0
等价定义为：
（1）由任意初始状态X0∈S(δ)出发的受扰运动φ(t;X0,t0) ，相对 于平衡 状态Xe=0对所有t∈[t0, ∞)均为有界
（2）受扰运动相对于平衡状态Xe=0满足渐近性，即
lim
t
(t;
x0
,
t0
)
0
x0 S( )
称自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
不稳定
称自治系统 x& f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0 , ) 的孤立平衡状态
Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数ε>0为多么大，都不存在对应
一个实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出
发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，
‖ Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε
⑴ 稳定的几何解释 ⑵ 李亚普诺夫意义下一致稳定 ⑶ 时不变系统的稳定属性 ⑷ 李亚普诺夫意义下稳定的实质
t t0
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
⑴ 稳定的几何解释
几何意义：对任给正实数ε，在状态空间中以原点（即xe）为球心 构造半径为ε的一个超球体，其球域即为S(ε)。则若存在对应地一
1
2
必要性 采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使
|t1
t0
g(t1, ) |
d
可以取 u(t) sgn g(t1, )
1 当gt1,t 0
ut
sgn
g t1 , t
0
当gt1,t 0
1 当gt1,t 0
有
y(t1)
t1 t0
g
(t1
,
)u(
)d
|t1
t0
g
(t1,
)
线性系统理论
マスタ タイトルの書式設定
第五章 系统运动的稳定性
重庆大学 自动化学院 柴毅 魏善碧
引言
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特 性提供了可能性
对系统进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律 和基本特性
系统分析：定量分析，定性分析 定性分析：决定系统行为的关键性质：能控性、能观 测性、稳定性
t t0 T (, , t0 )
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
渐近稳定的几何解释
以二维为例，图（a）表征受扰运动相对于平衡状态的有界性，图（b） 反映受扰运动相对于平衡状态随时间变化的渐近性
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
渐近稳定的等价定义
在渐近稳定中，若去μ→0，则对应地有T(μ,δ,t0) →∞, 对渐近稳定引入等 价定义，直观反映稳定过程的渐近特性。
大范围稳定：不管初始偏差有多大，系统总是稳定的 大范围渐近稳定：不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定
大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态
小范围稳定：为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制
对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳 定，则必大范围渐近稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
证明：考虑SISO情形
先证充分性：已知（4.3）成立，且任意输入u(t)满足 ut k ，那
么利用由脉冲响应函数 g(t,ζ)表示的输出y(t)的表达式，即可得到
t
t
充分性
y(t) g(t, )u( )d | g(t, ) || u( ) | d
t0
t0
t
1
|
t0
g(t, ) | d
(4) 李亚普诺夫意义下稳定的实质
李亚普诺夫意义下稳定只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有 界性，不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐进性。因此，相 比于稳定性的工程解释，李亚普诺夫意义下的稳定实质上是工程意 义下的临界不稳定。
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
渐近稳定
称自治系统 x f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0, )
衰减性能估计 5.6 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据
5.1 外部稳定性和内部稳定性
外部稳定性
定义：称一个线性因果系统的外部稳定（BIBO）是指对任
何一个有界输入u(t)，即：‖ u(t) ‖≤β1<∞
t [t0, )
的任意输入u(t) ，对应的输出y(t)均为有界，即
结论1
y(t) 2 t [t0 ,)
引言
本章的主要内容
系统运动的外部稳定性 系统运动的内部稳定性 李亚普诺夫稳定性定理
第5章 系统运动的稳定性
✓ 5.1 外部稳定性和内部稳定性
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念 5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理 5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 5.5 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的
之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定←→ BIBO稳定。
证 由系统的运动分析可知，其脉冲响应矩阵G(t)为：
Gt CeAtB D t
(4.17)
再知，当系统为渐近稳定时，有 lim eAt 0
t
(4.18)
于 （是i=1，,2利，用…（，4q.1；7）j=和1,（2，4.…18），即p ）可均导满出足，关其系G(式t)的0每 g一ij t个dgt ij(tk)
零平衡状态：对自治系统，在大多数情况下， Xe ＝0即状态 空间的原点必为系统的一个平衡状态
孤立平衡状态：孤立平衡状态即为状态空间中彼此分隔的孤 立点形式平衡状态。孤立平衡状态的重要特性是，通过平移 坐标系可将其转换为状态空间原点，即零平衡状态
对平衡状态的约定：在李亚普诺夫直接法中，对稳定性的分 析上主要针对孤立平衡状态，并总是把平衡状态设为状态空 间原点Xe ＝0
lim
t
(t,
t0
)
0
结论5
对n维连续时间线性时不变自治系统 x Ax x(0) x0 t 0
内部稳定的充分必要条件为 lim eAt 0 t
或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性和外部稳定性的关系
结论6
对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
李亚普诺夫意义下的稳定
称自治系统 x& f (x,t) x(t0 ) x0 t [t0 , )
的孤立平衡状态Xe ＝0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，如 果对任给一个实数ε>0，都对应存在另一位赖于ε和t0的实数 δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出 发的受扰运动Φ(t;x0,t0)都满足不等式：
个正实数δ(ε,t0)，其大小同时依耐于ε和初始时刻t0，而考构造球心
为原点半径为δ(ε,t0)的另一个超球体，相应的球域记为S(δ)。且由
域S(δ)上的任一点出发的运动轨线
，对所t;有x0 ,t0 ，都
不脱t离 t域0 S(δ)。那么，就称原点平衡状态 xe 是李亚普诺夫意义下
为稳定的。。
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统
t∈[t0,+∞）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在 一个有限正常数β，使对一切t∈[t0,+∞)脉冲响应矩阵H(t,τ) 所有元均满足关系式
t
t0 hij (t, ) d i 1,2, q j 1,2, p
5.1 外部稳定性和内部稳定性
的孤立平衡状态xe =0在时刻t0为渐近稳定，如果:
ⅰ） xe =0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，
ⅱ）对实数δ(ε,t0)>0和任给实数μ<0，都存在实数 T(μ,δ,t0)>0使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始 状态x0出发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式
‖Φ(t；x0,t0) -Xe‖≤μ，
t t0
第5章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
✓ 5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 5.5 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的
为 x 0
平衡状态形式：平衡状态Xe可由求解方程定出，对 2维自治系统Xe的形式包括状态空间中的点和线段
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
不唯一性：自治系统的平衡状态Xe一般为不唯一，对连续时 间线性时不变系统，平衡状态Xe为方程A Xe =0的解，若矩阵 A非奇异则有唯一解Xe ＝0，若矩阵A奇异则解不唯一，即除 Xe ＝0外还有非零Xe
Xe=0的一个状态扰动 几何上，受扰运动X(t)为状态空间中从初始点X0出发的一条轨线
，对应不同初始状态受扰运动构成的一个轨线族
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
平衡状态
状态空间中满足 xe f (xe ,t) 0 t [t0 , ) 的一个状态
平衡状态直观含义：平衡状态Xe直观上为系统处于 平衡时可能具有的一类状态，系统平衡的基本特征
⑵ 李亚普诺夫意义下一致稳定
在上述稳定的定义中，如果δ只依赖ε，而和初始时刻t0的选取 无关，则进一步称平衡状态xe是一致稳定的。对于定常系统， xe的 稳定等价于一致稳定。但对时变系统， xe的稳定并不意味着其位一 致稳定；而且，从实际的角度而言，常要求一致稳定，以便在任一 初始时刻t0出现的受扰运动都是李亚普诺夫意义下为稳定的