线性系统理论第五章 系统运动的稳定性new
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其中k为有限常数。这表明，系统为BIBO稳定。证明完成
第5章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性
✓ 5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理 5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 5.5 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的
衰减性能估计 5.6 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据
之不成立。若系统能控且ຫໍສະໝຸດ Baidu观测，则内部稳定←→ BIBO稳定。
证 由系统的运动分析可知，其脉冲响应矩阵G(t)为：
Gt CeAtB D t
(4.17)
再知，当系统为渐近稳定时，有 lim eAt 0
t
(4.18)
于 （是i=1，,2利，用…（，4q.1；7）j=和1,（2，4.…18），即p ）可均导满出足，关其系G(式t)的0每 g一ij t个dgt ij(tk)
t t0 T (, , t0 )
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
渐近稳定的几何解释
以二维为例，图（a）表征受扰运动相对于平衡状态的有界性，图（b） 反映受扰运动相对于平衡状态随时间变化的渐近性
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
渐近稳定的等价定义
在渐近稳定中，若去μ→0，则对应地有T(μ,δ,t0) →∞, 对渐近稳定引入等 价定义，直观反映稳定过程的渐近特性。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
证: 此结论的第一部分可由结论1直接导出。对于结论的第二部分，当 gˆij s
为真的有理分式时，必可利用部分分式法将其展开为有限项之和，其中
每一项的形式为
s
l l
l
，l
1,2,
,m
（4.11）
这里λl为 gˆij s 的极点，βl和αl可为零或非零常数。考虑到(4.11)多对应的
⑵ 李亚普诺夫意义下一致稳定
在上述稳定的定义中，如果δ只依赖ε，而和初始时刻t0的选取 无关，则进一步称平衡状态xe是一致稳定的。对于定常系统， xe的 稳定等价于一致稳定。但对时变系统， xe的稳定并不意味着其位一 致稳定；而且，从实际的角度而言，常要求一致稳定，以便在任一 初始时刻t0出现的受扰运动都是李亚普诺夫意义下为稳定的
|
d
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系 统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
hij (t) dt i 1,2, q j 1,2, p 0
大范围稳定：不管初始偏差有多大，系统总是稳定的 大范围渐近稳定：不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定
大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态
小范围稳定：为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制
对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳 定，则必大范围渐近稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
零平衡状态：对自治系统，在大多数情况下， Xe ＝0即状态 空间的原点必为系统的一个平衡状态
孤立平衡状态：孤立平衡状态即为状态空间中彼此分隔的孤 立点形式平衡状态。孤立平衡状态的重要特性是，通过平移 坐标系可将其转换为状态空间原点，即零平衡状态
对平衡状态的约定：在李亚普诺夫直接法中，对稳定性的分 析上主要针对孤立平衡状态，并总是把平衡状态设为状态空 间原点Xe ＝0
线性系统理论
マスタ タイトルの書式設定
第五章 系统运动的稳定性
重庆大学 自动化学院 柴毅 魏善碧
引言
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特 性提供了可能性
对系统进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律 和基本特性
系统分析：定量分析，定性分析 定性分析：决定系统行为的关键性质：能控性、能观 测性、稳定性
引言
本章的主要内容
系统运动的外部稳定性 系统运动的内部稳定性 李亚普诺夫稳定性定理
第5章 系统运动的稳定性
✓ 5.1 外部稳定性和内部稳定性
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念 5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理 5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 5.5 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的
1
2
必要性 采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使
|t1
t0
g(t1, ) |
d
可以取 u(t) sgn g(t1, )
1 当gt1,t 0
ut
sgn
g t1 , t
0
当gt1,t 0
1 当gt1,t 0
有
y(t1)
t1 t0
g
(t1
,
)u(
)d
|t1
t0
g
(t1,
)
(4) 李亚普诺夫意义下稳定的实质
李亚普诺夫意义下稳定只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有 界性，不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐进性。因此，相 比于稳定性的工程解释，李亚普诺夫意义下的稳定实质上是工程意 义下的临界不稳定。
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
渐近稳定
称自治系统 x f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0, )
证明：考虑SISO情形
先证充分性：已知（4.3）成立，且任意输入u(t)满足 ut k ，那
么利用由脉冲响应函数 g(t,ζ)表示的输出y(t)的表达式，即可得到
t
t
充分性
y(t) g(t, )u( )d | g(t, ) || u( ) | d
t0
t0
t
1
|
t0
g(t, ) | d
等价定义为：
（1）由任意初始状态X0∈S(δ)出发的受扰运动φ(t;X0,t0) ，相对 于平衡 状态Xe=0对所有t∈[t0, ∞)均为有界
（2）受扰运动相对于平衡状态Xe=0满足渐近性，即
lim
t
(t;
x0
,
t0
)
0
x0 S( )
称自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
‖ Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε
⑴ 稳定的几何解释 ⑵ 李亚普诺夫意义下一致稳定 ⑶ 时不变系统的稳定属性 ⑷ 李亚普诺夫意义下稳定的实质
t t0
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
⑴ 稳定的几何解释
几何意义：对任给正实数ε，在状态空间中以原点（即xe）为球心 构造半径为ε的一个超球体，其球域即为S(ε)。则若存在对应地一
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
李亚普诺夫意义下的稳定
称自治系统 x& f (x,t) x(t0 ) x0 t [t0 , )
的孤立平衡状态Xe ＝0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，如 果对任给一个实数ε>0，都对应存在另一位赖于ε和t0的实数 δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出 发的受扰运动Φ(t;x0,t0)都满足不等式：
⑶ 时不变系统的稳定属性
对于时不变系统，不管是线性系统还是非线性系统，连续时间系 统还是离散时间系统，李亚普诺夫意义下的稳定和李亚普诺夫意义下 一致稳定等价。 即，若时不变系统的平衡状态 xe 为李亚普诺夫意义 下稳定，则 xe 必为李亚普诺夫意义下一致稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t) 对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：
lim
t
X
ou
(t)
0
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论4
设n维连续时间线性时变自治系统 x A(t)x x(t0 ) x0 t [t0 , )
系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵 Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞]为有界，并满足：
lim
t
(t,
t0
)
0
结论5
对n维连续时间线性时不变自治系统 x Ax x(0) x0 t 0
内部稳定的充分必要条件为 lim eAt 0 t
或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性和外部稳定性的关系
结论6
对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反
不稳定
称自治系统 x& f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0 , ) 的孤立平衡状态
Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数ε>0为多么大，都不存在对应
一个实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出
发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，
个正实数δ(ε,t0)，其大小同时依耐于ε和初始时刻t0，而考构造球心
为原点半径为δ(ε,t0)的另一个超球体，相应的球域记为S(δ)。且由
域S(δ)上的任一点出发的运动轨线
，对所t;有x0 ,t0 ，都
不脱t离 t域0 S(δ)。那么，就称原点平衡状态 xe 是李亚普诺夫意义下
为稳定的。。
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
对可积。从而，系统为BIBO稳定。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论3
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统， 令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或 严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性
定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指
Xe=0的一个状态扰动 几何上，受扰运动X(t)为状态空间中从初始点X0出发的一条轨线
，对应不同初始状态受扰运动构成的一个轨线族
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
平衡状态
状态空间中满足 xe f (xe ,t) 0 t [t0 , ) 的一个状态
平衡状态直观含义：平衡状态Xe直观上为系统处于 平衡时可能具有的一类状态，系统平衡的基本特征
拉式反变换为
hlr tl e 1 slt，l 1,2, m
其中若αl=0则为δ函数。由此可知，由 gˆij s取 拉式反变换导出的 是
有限个 hlr tl 1e之slt 和，合式中也可能包含由δ函数项。容易证明，当且仅
当λl（l=1,2，…m）均具有负实部时，
t为l 1绝eslt对可积，也即gij(t)为绝
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统
t∈[t0,+∞）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在 一个有限正常数β，使对一切t∈[t0,+∞)脉冲响应矩阵H(t,τ) 所有元均满足关系式
t
t0 hij (t, ) d i 1,2, q j 1,2, p
5.1 外部稳定性和内部稳定性
t t0
第5章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
✓ 5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 5.5 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的
衰减性能估计 5.6 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据
5.1 外部稳定性和内部稳定性
外部稳定性
定义：称一个线性因果系统的外部稳定（BIBO）是指对任
何一个有界输入u(t)，即：‖ u(t) ‖≤β1<∞
t [t0, )
的任意输入u(t) ，对应的输出y(t)均为有界，即
结论1
y(t) 2 t [t0 ,)
为 x 0
平衡状态形式：平衡状态Xe可由求解方程定出，对 2维自治系统Xe的形式包括状态空间中的点和线段
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
不唯一性：自治系统的平衡状态Xe一般为不唯一，对连续时 间线性时不变系统，平衡状态Xe为方程A Xe =0的解，若矩阵 A非奇异则有唯一解Xe ＝0，若矩阵A奇异则解不唯一，即除 Xe ＝0外还有非零Xe
的孤立平衡状态xe =0在时刻t0为渐近稳定，如果:
ⅰ） xe =0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，
ⅱ）对实数δ(ε,t0)>0和任给实数μ<0，都存在实数 T(μ,δ,t0)>0使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始 状态x0出发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式
‖Φ(t；x0,t0) -Xe‖≤μ，
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
自治系统
没有输入作用的一类动态系统 x f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0, ) 如果系统为线性的，则表示为 x Ax, x(t0 ) x0, t [t0, )
受扰运动
自治系统由初始状态扰动X0引起的一类状态运动
受扰运动就是系统的状态零输入响应 在稳定行分析中将非零初始状态X0看成为相对于平衡状态，即
第5章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性
✓ 5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理 5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 5.5 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的
衰减性能估计 5.6 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据
之不成立。若系统能控且ຫໍສະໝຸດ Baidu观测，则内部稳定←→ BIBO稳定。
证 由系统的运动分析可知，其脉冲响应矩阵G(t)为：
Gt CeAtB D t
(4.17)
再知，当系统为渐近稳定时，有 lim eAt 0
t
(4.18)
于 （是i=1，,2利，用…（，4q.1；7）j=和1,（2，4.…18），即p ）可均导满出足，关其系G(式t)的0每 g一ij t个dgt ij(tk)
t t0 T (, , t0 )
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
渐近稳定的几何解释
以二维为例，图（a）表征受扰运动相对于平衡状态的有界性，图（b） 反映受扰运动相对于平衡状态随时间变化的渐近性
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
渐近稳定的等价定义
在渐近稳定中，若去μ→0，则对应地有T(μ,δ,t0) →∞, 对渐近稳定引入等 价定义，直观反映稳定过程的渐近特性。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
证: 此结论的第一部分可由结论1直接导出。对于结论的第二部分，当 gˆij s
为真的有理分式时，必可利用部分分式法将其展开为有限项之和，其中
每一项的形式为
s
l l
l
，l
1,2,
,m
（4.11）
这里λl为 gˆij s 的极点，βl和αl可为零或非零常数。考虑到(4.11)多对应的
⑵ 李亚普诺夫意义下一致稳定
在上述稳定的定义中，如果δ只依赖ε，而和初始时刻t0的选取 无关，则进一步称平衡状态xe是一致稳定的。对于定常系统， xe的 稳定等价于一致稳定。但对时变系统， xe的稳定并不意味着其位一 致稳定；而且，从实际的角度而言，常要求一致稳定，以便在任一 初始时刻t0出现的受扰运动都是李亚普诺夫意义下为稳定的
|
d
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系 统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
hij (t) dt i 1,2, q j 1,2, p 0
大范围稳定：不管初始偏差有多大，系统总是稳定的 大范围渐近稳定：不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定
大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态
小范围稳定：为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制
对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳 定，则必大范围渐近稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
零平衡状态：对自治系统，在大多数情况下， Xe ＝0即状态 空间的原点必为系统的一个平衡状态
孤立平衡状态：孤立平衡状态即为状态空间中彼此分隔的孤 立点形式平衡状态。孤立平衡状态的重要特性是，通过平移 坐标系可将其转换为状态空间原点，即零平衡状态
对平衡状态的约定：在李亚普诺夫直接法中，对稳定性的分 析上主要针对孤立平衡状态，并总是把平衡状态设为状态空 间原点Xe ＝0
线性系统理论
マスタ タイトルの書式設定
第五章 系统运动的稳定性
重庆大学 自动化学院 柴毅 魏善碧
引言
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特 性提供了可能性
对系统进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律 和基本特性
系统分析：定量分析，定性分析 定性分析：决定系统行为的关键性质：能控性、能观 测性、稳定性
引言
本章的主要内容
系统运动的外部稳定性 系统运动的内部稳定性 李亚普诺夫稳定性定理
第5章 系统运动的稳定性
✓ 5.1 外部稳定性和内部稳定性
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念 5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理 5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 5.5 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的
1
2
必要性 采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使
|t1
t0
g(t1, ) |
d
可以取 u(t) sgn g(t1, )
1 当gt1,t 0
ut
sgn
g t1 , t
0
当gt1,t 0
1 当gt1,t 0
有
y(t1)
t1 t0
g
(t1
,
)u(
)d
|t1
t0
g
(t1,
)
(4) 李亚普诺夫意义下稳定的实质
李亚普诺夫意义下稳定只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有 界性，不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐进性。因此，相 比于稳定性的工程解释，李亚普诺夫意义下的稳定实质上是工程意 义下的临界不稳定。
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
渐近稳定
称自治系统 x f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0, )
证明：考虑SISO情形
先证充分性：已知（4.3）成立，且任意输入u(t)满足 ut k ，那
么利用由脉冲响应函数 g(t,ζ)表示的输出y(t)的表达式，即可得到
t
t
充分性
y(t) g(t, )u( )d | g(t, ) || u( ) | d
t0
t0
t
1
|
t0
g(t, ) | d
等价定义为：
（1）由任意初始状态X0∈S(δ)出发的受扰运动φ(t;X0,t0) ，相对 于平衡 状态Xe=0对所有t∈[t0, ∞)均为有界
（2）受扰运动相对于平衡状态Xe=0满足渐近性，即
lim
t
(t;
x0
,
t0
)
0
x0 S( )
称自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
‖ Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε
⑴ 稳定的几何解释 ⑵ 李亚普诺夫意义下一致稳定 ⑶ 时不变系统的稳定属性 ⑷ 李亚普诺夫意义下稳定的实质
t t0
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
⑴ 稳定的几何解释
几何意义：对任给正实数ε，在状态空间中以原点（即xe）为球心 构造半径为ε的一个超球体，其球域即为S(ε)。则若存在对应地一
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
李亚普诺夫意义下的稳定
称自治系统 x& f (x,t) x(t0 ) x0 t [t0 , )
的孤立平衡状态Xe ＝0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，如 果对任给一个实数ε>0，都对应存在另一位赖于ε和t0的实数 δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出 发的受扰运动Φ(t;x0,t0)都满足不等式：
⑶ 时不变系统的稳定属性
对于时不变系统，不管是线性系统还是非线性系统，连续时间系 统还是离散时间系统，李亚普诺夫意义下的稳定和李亚普诺夫意义下 一致稳定等价。 即，若时不变系统的平衡状态 xe 为李亚普诺夫意义 下稳定，则 xe 必为李亚普诺夫意义下一致稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t) 对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：
lim
t
X
ou
(t)
0
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论4
设n维连续时间线性时变自治系统 x A(t)x x(t0 ) x0 t [t0 , )
系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵 Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞]为有界，并满足：
lim
t
(t,
t0
)
0
结论5
对n维连续时间线性时不变自治系统 x Ax x(0) x0 t 0
内部稳定的充分必要条件为 lim eAt 0 t
或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性和外部稳定性的关系
结论6
对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反
不稳定
称自治系统 x& f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0 , ) 的孤立平衡状态
Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数ε>0为多么大，都不存在对应
一个实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出
发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，
个正实数δ(ε,t0)，其大小同时依耐于ε和初始时刻t0，而考构造球心
为原点半径为δ(ε,t0)的另一个超球体，相应的球域记为S(δ)。且由
域S(δ)上的任一点出发的运动轨线
，对所t;有x0 ,t0 ，都
不脱t离 t域0 S(δ)。那么，就称原点平衡状态 xe 是李亚普诺夫意义下
为稳定的。。
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
对可积。从而，系统为BIBO稳定。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论3
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统， 令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或 严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性
定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指
Xe=0的一个状态扰动 几何上，受扰运动X(t)为状态空间中从初始点X0出发的一条轨线
，对应不同初始状态受扰运动构成的一个轨线族
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
平衡状态
状态空间中满足 xe f (xe ,t) 0 t [t0 , ) 的一个状态
平衡状态直观含义：平衡状态Xe直观上为系统处于 平衡时可能具有的一类状态，系统平衡的基本特征
拉式反变换为
hlr tl e 1 slt，l 1,2, m
其中若αl=0则为δ函数。由此可知，由 gˆij s取 拉式反变换导出的 是
有限个 hlr tl 1e之slt 和，合式中也可能包含由δ函数项。容易证明，当且仅
当λl（l=1,2，…m）均具有负实部时，
t为l 1绝eslt对可积，也即gij(t)为绝
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统
t∈[t0,+∞）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在 一个有限正常数β，使对一切t∈[t0,+∞)脉冲响应矩阵H(t,τ) 所有元均满足关系式
t
t0 hij (t, ) d i 1,2, q j 1,2, p
5.1 外部稳定性和内部稳定性
t t0
第5章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
✓ 5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 5.5 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的
衰减性能估计 5.6 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据
5.1 外部稳定性和内部稳定性
外部稳定性
定义：称一个线性因果系统的外部稳定（BIBO）是指对任
何一个有界输入u(t)，即：‖ u(t) ‖≤β1<∞
t [t0, )
的任意输入u(t) ，对应的输出y(t)均为有界，即
结论1
y(t) 2 t [t0 ,)
为 x 0
平衡状态形式：平衡状态Xe可由求解方程定出，对 2维自治系统Xe的形式包括状态空间中的点和线段
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
不唯一性：自治系统的平衡状态Xe一般为不唯一，对连续时 间线性时不变系统，平衡状态Xe为方程A Xe =0的解，若矩阵 A非奇异则有唯一解Xe ＝0，若矩阵A奇异则解不唯一，即除 Xe ＝0外还有非零Xe
的孤立平衡状态xe =0在时刻t0为渐近稳定，如果:
ⅰ） xe =0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，
ⅱ）对实数δ(ε,t0)>0和任给实数μ<0，都存在实数 T(μ,δ,t0)>0使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始 状态x0出发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式
‖Φ(t；x0,t0) -Xe‖≤μ，
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
自治系统
没有输入作用的一类动态系统 x f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0, ) 如果系统为线性的，则表示为 x Ax, x(t0 ) x0, t [t0, )
受扰运动
自治系统由初始状态扰动X0引起的一类状态运动
受扰运动就是系统的状态零输入响应 在稳定行分析中将非零初始状态X0看成为相对于平衡状态，即