人教版高中数学必修二第4讲：平面的基本性质与推论(教师版)

人教版高中数学 平面的基本性质与推论__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； 会判断异面直线、掌握异面直线的求法；会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系．一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示αBAβαABαβαβBAAβαB点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a α⊂α=∅A α=l β= 二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A ABB ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理2的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 3. 公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 三、空间两直线的位置关系四、平行直线 1. 公理4 平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ⇒．(1)它是判断空间两条直线平行的依据； (2)它说明平行关系具有传递性 2.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等． 由球的半径R 计算球表面积的公式：S 球＝ .即球面面积等于它的大圆面积的4倍． 五、异面直线 1. 定义：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线； (2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线 (3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法． 2．异面直线的画法画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性．3．异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线推理模式：l A B B L ααα⊂⎫⎪∉⎪⇒⎬∈⎪⎪∉⎭直线AB 与直线l 是异面直线六、异面直线所成的角 1. 定义：已知a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把直线a '和b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角．(1)异面直线所成的角与O 点的位置无关．(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作a b ⊥． (3)异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦． 2. 求异面直线所成角的步骤（1）恰当选点，由平移构造出一个交角； （2）证平行关系成立；（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角． 七、直线、平面的位置关系1．空间直线与平面的位置关系有以下三种：(1)直线在平面内：如果一条直线a 与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a ⊂α.(2)直线与平面相交：直线a 与平面α只有一个公共点A ，叫做直线与平面相交，记作a ∩α＝A ，公共点A 叫做直线a 与平面α的交点．(3)直线与平面平行：如果一条直线a 与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a ∥α. 2.两个平面的位置关系有且只有一下两种： (1)两个平面平行---没有交点 (2)两个平面相交---有一条公共直线3.顺次连接不共面的四点A 、B 、C 、D 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做baαβbaα空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．类型一 平面及其性质 例1：(2014·邵阳一中月考)对下图的几何图形，下列表示错误的是( )A ．l ∈αB ．P ∉lC ．l ⊂αD ．P ∈α解析：由图形可知，l ⊂α，P ∉l ，P ∈α，故选A. 答案：A练习1：判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）平面的形状是平行四边形（ ） （2）任何一个平面图形都可以表示平面（ ） （3）平面ABCD 的面积为10㎡（ ） （4）空间图形中，后引的辅助线是虚线（ ） 答案： （1）（3）（4）错，（2）正确． 练习2：1、下列说法正确的个数（ ）①铺的很平的一张纸是一个平面；②可以一个长20cm 、宽30cm 的平面；③通常300页的书要比10页的书厚一些，那么300个平面重合在一起时一定比10个平面重合在一起厚． A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 答案：A练习3：若点Q 在直线b 上，b 在直线平面β内，则,,Q b β之间的关系可记作（ B ） A 、Q b β∈∈ B 、Q b β∈⊂ C 、Q b β⊂⊂ D 、Q b β⊂∈ 答案：B例2：如右图，已知,,,E F G H 分别为空间四边形ABCD 各边,,,AB AD BC CD上的点，且EF GH P =，求证：,,B D P 共线．解析：由公理2可判断D 点在交线上． 答案：证明：∵EFGH P = ∴P EF ∈∵EF ⊂平面ABD ∴P ∈平面ABD 同理P ∈平面CBD ∵平面ABD平面CBD BD = ∴P BD ∈∴,,B D P 共线练习1：已知l 与三条平行线,,a b c 都相交，求证：l 与,,a b c 共面． 答案： 证明：如右图所示∵//a b ∴直线a 与直线b 确定一个平面，设为α ∵,la A lb B == ∴,A a B b ∈∈PH GF EDC BACB Aαlcba∴,A B αα∈∈ ∴l α⊂∵//b c ∴直线b 与直线c 确定一个平面，设为β 同理可证l β⊂ ∵,,,,l l b b l b B αβαβ⊂⊂⊂⊂= ∴平面α与平面β重合∴l 与,,a b c 共面练习2：两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是（ ）A 、2个B 、有无数个且在一条直线上C 、一个或无数个D 、1个 答案：B练习3：下列命题：①公理1可用集合符号叙述为：若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则必有l α∈；②四边形的两条对角线必交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四边作为平面边界线；④梯形是平面图形．其中正确的命题个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 答案：D类型二 直线及其位置关系例3：(2014·甘肃嘉峪关市一中高一期末测试)若a 、b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交解析：如图，借助正方体可知c 与b 相交或异面． 答案：D 练习1：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BD 和CD 的中点，长方体的各棱中与EF 平行的有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案：如图所示∵E 、F 分别为BD 、CD 的中点， ∴EF ∥BC ，又∵BC ∥B 1C 1，∴EF ∥B 1C 1，同理，EF ∥A 1D 1，EF ∥AD . 故选D ．练习2：空间四边形ABCD 中，给出下列说法：①直线AB 与CD 异面； ②对角线AC 与BD 相交； ③四条边不能都相等；④四条边的中点组成一个平行四边形． 其中正确说法的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：本题主要考查空间四边形，关键要理解空间四边形的概念．由定义知①正确；②错误，否则A 、B 、C 、D 四点共面；③不正确，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；④正确，由平行四边形的判定定理可证．故选B ． 练习3：a 、b 、c 是空间中三条直线，下面给出几种说法：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交；③若a 、b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行． 上述说法中正确的是________(仅填序号)． 答案：由基本性质4知①正确．若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 可能平行，也可能相交或异面，②错误． 若平面α∩β＝l ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥l ，b ∥l ，则a ∥b ，③错误．例4：已知正方体1111ABCD A B C D -,E 、F 分别为1AA 、1CC 的中点，求证:1//BF ED 解析：平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形．答案：证明：如右图，取1BB 中点G ，连结1GC 、GE ． ∵F 为1CC 的中点 ∴1//BG C F∴四边形1BGC F 为平行四边形 ∴1//BF GC 又∵111111//,//EG A B C D A B ∴11//EG C D∴ 四边形11EGC D 为平行四边形 ∴11//ED GC ∴1//BF ED练习1：已知棱长为a 正方体1111ABCD A B C D -,M 、N 分别为CD 、AD 的中点， 求证:四边形11MNA C 是梯形答案：证明：如右图 ∵M 、N 分别为CD 、AD 的中点∴1//2MN AC 由正方体的性质知11//AC A C ∴111//2MN A C ∴四边形 11MNA C 是梯形．练习2：已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若AE AB ＝AH AD ＝12，CF CB ＝CG CD ＝13，则四边形EFGH 形状为________． 答案：如右图在△ABD 中，∵AE AB ＝AH AD ＝12，∴EH ∥BD 且EH ＝12BD .在△BCD 中，∵CF CB ＝CG CD ＝13，∴FG ∥BD 且FG ＝13BD ，∴EH ∥FG 且EH >FG ，∴四边形EFGH 为梯形．N D 1C 1B 1MA 1D CBA例5：已知E 、1E 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 、11A D 的中点． 求证：111BEC B E C ∠=∠解析：由等角定理，证明角的边之间的关系，进而得到角的关系． 答案: 证明：如右图，连结1EE∵E 、1E 分别是AD 、11A D 的中点 ∴11//A E AE ∴四边形11A E EA 为平行四边形 ∴11//A A E E 又∵11//A A B B ∴11//E E B B∴四边形11E EBB 是平行四边形 ∴11//E B EB 同理可证：11//E C EC又111C E B ∠与CEB ∠方向相同 ∴111BEC B E C ∠=∠练习1：如右图，111,,AA BB CC 不共面，且1111//,//BB AA CC AA ,求证：△ABC ≌△111A B C答案：证明：∵11//BB AA ∴四边形11AA B B 是平行四边形 ∴11//AB A B 同理可证：11//AC A C又∵BAC ∠和111B A C ∠方向相同 ∴BAC ∠=111B A C ∠∴△ABC 和△111A B C 中有1111111AB A B AC A C BAC B A C=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△111A B C练习2：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：∠NMP ＝∠BA 1D.答案：如图，连接CB 1、CD 1，易得 四边形A 1B 1CD 是平行四边形， ∴A 1D ∥B 1C .∵M 、N 分别是CC 1、B 1C 1的中点， ∴MN ∥B 1C ，∴MN ∥A 1D .C 1B 1A 1C∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1.∵M 、P 分别是CC 1、C 1D 1的中点，∴MP ∥CD 1， ∴MP ∥A 1B ，∴∠NMP 和∠BA 1D 的两边分别平行且方向都相反， ∴∠NMP ＝∠BA 1D .例6：如右图，已知不共面的直线,,a b c 相交于O 点，M 、P 是直线a 上两点，N 、Q 分别是直线b 、c 上一点．求证：MN 和PQ 是异面直线． 解析：证明其中一点不属于两外三点确定的平面即可． 答案：证明：∵ab O = ∴由a 、c 确定一个面，设为β∵,P a Q c ∈∈ ∴,P Q ββ∈∈∴PQ β⊂且,M M PQ β∈∉ 又∵,,a b c 不共面，N b ∈ ∴N B ∉ ∴MN 和PQ 是异面直线练习1：1、两条异面直线是指（ ）A 、空间没有公共点的两条直线B 、分别位于两个平面内的直线C 、平面内的一条直线与平面外的一条直线D 、既不平行也不相交的两条直线 答案：D练习2：下列说法正确的有 ．①两直线无公共点，则两直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任一直线均构成异面直线；④和两条一面直线都相交的直线的两直线必是异面直线． 答案：② 练习3：已知,,a b a b A αββ=⊂=且,//c c a α⊂，求证：b ，c 为异面直线．答案：证明：如右图 ∵,,c a b A a ααβ⊂== ∴A a α∈⊂而//a c∴A c ∉在直线b 上任取不同于A 的一点B ∵b β⊂ ∴B α∉ ∴AB 与c 是异面直线，即b ，c 为异面直线例7：正四面体A BCD -的棱长为a ，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，求异面直线AF 和CE 所成角的余弦值．解析：找出其中一条直线的平行线，构造三角形求解．c baOQPNMA答案：如右图， 连结FD ，在面AFD 内过E 点作//EO AF 交FD 于O ，则OEC ∠ (或其补角)为异面直线AF 与CE 所成的角，且O 是FD 的中点． 又∵E 为AD 的中点 ∴1//2EO AF ∵△ABC 和△ACD 均为等边三角形，且边长为a ，AF 、CE 分别是它们的中线∴2AF CE a ==，则1224EO a a =⨯= 在Rt △DFC中，11,22FO FD a FC a ===∴CO == 在△OEC中，2222222cos 2342EO EC OC OEC EO EC ⎫⎫⎫+-⎪⎪⎪⎪⎪⎪+-∠===⨯⨯即异面直线AF 与CE 所成的角的余弦值为23练习1：已知m 、n 为异面直线，m α⊂，n β⊂，l αβ=，则直线l （ ）A 、与m 、n 都相交B 、与m 、n 至少一条相交C 、与m 、n 都不相交D 、至多与m 、n 中的一条相交 答案：B练习2：在棱长为1的1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）AB、35 D 、25答案：D练习3：如右图，等腰直角三角形ABC中，90,,A BC DA AC DA AB ∠==⊥⊥,若1DA =，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．答案：取AC 的中点F ，连结EF ，在△ACD 中，E 、F 分别为AD 、AC 的中点．∴//EF CD ∴BEF ∠或其补角即为所求异面直线BE 与CD 所成的角在Rt △EAB 中，111,22AB AE AD ===∴2BE =在Rt △AEF 中，11,22AF AE ==∴2EF = FE D CBA在Rt △ABF 中，11,2AB AF ==∴BF =在等腰△EBF中，12cos EFFEB BE ∠==∴异面直线BE 与CD1．在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ）A 、两两相交的三条直线B 、三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C 、三个点D 、三条直线，它们两两相交，但不交于同一点E 、两条直线 答案：D2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交 答案：D3．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是（ ） A 、相交 B 、异面 C 、平行 D 、相交或异面 答案：D4．从空间一点P 分别向BAC ∠的两边,AB AC 作垂线,PE PF ，垂足分别为,E F ，则EPF ∠与BAC ∠的关系为（ ）A 、互补B 、相等C 、互补或相等D 、以上都不对答案： D5．在正四面体A BCD -中，E 为AD 的中点，则AB 与CE 所成角的余弦值为 ．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 空间有四个点，其中无三点共线，可确定 个平面；若将此四点两两相连，再以所得线段中点为顶点构成一个几何体，则这个几何体至多有 个面． 答案：1或4，82、三个两两相交的平面最多可把空间分为 个部分． 答案：83、下面6个命题：①四边相等的四边形是菱形；②两组对边相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角相等，则该四边形是圆内接四边形；④在空间，过已知直线外一点，引该直线的平行线，可能不只一条；⑤四条直线两两平行，无三线共面，它们共可确定6个平面．其中正确命题的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 答案：B4. 在正方体1111ABCD A B C D 中，与1AD 成60的面对角线共有（ ）A 、4条B 、6条C 、8条D 、10条答案：C5. 已已知棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 、N 分别为CD 、AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．答案：平行能力提升6. (2014·山东泰安肥城高一期末测试)如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．答案：③. ①中PQ ∥RS ，②中RS ∥PQ ，④中RS 和PQ 相交．7. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．三种关系都有可能 答案：D8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∩D 1B 1＝O ，E 、F 分别是B 1O 和C 1O 的中点，则在长方体各棱中与EF 平行的有________条．答案：∵E 、F 分别是B 1O 与C 1O 的中点， ∴EF ∥B 1C 1，又∵在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C 1∥A 1D 1∥BC ∥AD ， ∴EF ∥A 1D 1，EF ∥BC ，EF ∥AD .故在长方体的各棱中与EF 平行的有4条．9. 如图，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B ，C ，D ∈a ，线段AB ，AC ，AD 分别交平面α于E ，F ，G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.答案：∵a ∥α，α∩平面ABD ＝EG ，∴a ∥EG ，即BD ∥EG ，∴EG BD ＝AF AF ＋FC ，则EG ＝AF ·BD AF ＋FC ＝5×45＋4＝209. 10. 如右图，正方体1111ABCD A B C D -中，求AC 与1A D 所成角的大小答案：（1）连结1B C ．由正方体的性质可知，11//A B CD ∴四边形11A DCB 是平行四边形∴11//A D B C ∴1B C 与AC 所成的锐角或直角就是异面直线1A D 和AC 所成的角 设正方体的棱长为a ，连结1AB ，在Rt △1B BC中，1B C ===同理可得：1,AC AB ==∴△1AB C 是等边三角形∴160B CA ∠= ∴AC 与1A D 所成角为60FED 1C 1B1A 1DCBA。