离散数学(本)阶段练习一

心之所向，所向披靡
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本科《离散数学》第一阶段练习
一、判断题（对的在括弧中打个“√”，错的在括弧中打个“⨯”）
1、“我正在说谎。

”是个悖论。

（ √ ）
2、“如果天气好，那么我去放风筝。

”是个原子命题。

（ ⨯ ）
3、“如果35>，那么小布什将连任美国总统。

”这个命题的真值为“T ”。

（ √ ）
4、T Q P P Q ⇔∧⌝∧→)()(。

（ ⨯ ） 5、)()(Q P P P Q P ⌝→→⌝⇔→→ （ √ ） 6、Q P Q P ⌝∧⌝⇒→⌝)(
（ ⨯ ） 7、)(R Q P ∨→⌝∧⌝是个命题公式。

（ ⨯ ） 8、)()()()(Q P Q P Q P Q P ∧⌝∨⌝∧⇔∧⌝∨⌝∧
（ √ ）
二、试把原子命题表示为R Q P ,,等，然后用符号形式写出下列命题。

1、你不能既要熊掌又要鱼；
解：P ：你要熊掌，Q ：你要鱼，则有)(Q P ∧⌝； 2、仅当你走我将留下；
解：P ：你走，Q ：我留下，则有P Q →；
3、今晚8：00钟CCTV-6或者播放电影“飞侠小白龙”，或者播放“天下无贼”；
解：P ：今晚8：00CCTV —6播放电影“飞侠小白龙”，Q ：今晚8：00CCTV —6播
放电影“天下无贼”，则有Q P ∨；
4、假如明天不下雨，我们就去森林公园烧烤，否则就在家里上网或者看书。

解：P ：明天下雨，Q ：我们去森林公元烧烤，R ：我们在家里上网，S ：我们在家里看书，则有))(()(S R P Q P ∨→∧→⌝；
5、如果你来了，那么他唱不唱歌将视你是否伴奏而定。

解：P ：如果你来了，Q ：他唱歌，R ：你伴奏，则有)(R Q P ↔→
三、化简以下各式
1、)()(C B A C B A ⌝∧∧∨∧∧
解：原式B A T B A C C B A ∧⇔∧∧⇔⌝∨∧∧⇔)()()(； 2、R P Q Q P ∧→⌝↔→⌝))()((
解：原式R R T R P Q Q P ⇔∧⇔∧∨↔∨⇔))()((； 3、)()()(Q P Q P Q P ⌝∧⌝∨∧⌝∨∧
解：原式)()())((Q P Q Q P Q P P ⌝∧⌝∨⇔⌝∧⌝∨∧⌝∨⇔
Q P Q P Q Q P Q →⇔∨⌝⇔⌝∨∧⌝∨⇔)()(
四、求下列命题公式的主析取范式、主合取范式
1、)()(Q P Q P ⌝↔→⌝∨⌝；
解：原式))()(()(P Q Q P Q P →⌝∧⌝→∨⌝∨⌝⌝⇔
))()(())()(()(P Q Q P T P Q Q P Q P ∨∨⌝∨⌝⌝∧⇔∨∧⌝∨⌝∨⌝∨⌝⌝⇔ ∏⇔⇔∨⇔∨∨∧∨∨⇔∨∨∧⇔000)()())()(M Q P P Q Q P Q P P Q Q P
∑⇔3,2,1
即主析取范式、主合取范式分别为∏
、
∑
3
,2,1
2、))((P Q P P →∧→；
解：原式T T T P Q P P P P Q P P ⇔∧⇔∨⌝∨⌝∧∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔)()())((
∑
⇔
3
,2,1,0即为主析取范式，且无主合取范式；
3、)()(Q P P Q ∧⌝∧→；
解：原式F F Q P P Q P Q Q P P Q ∨⇔∧⌝∧∨∧⌝∧⌝⇔∧⌝∧∨⌝⇔)()()()(
∏⇔⇔3,2,1,0F 即为主合取范式，且无主析取范式。

4、))(())((C B A C B A ⌝∧⌝→⌝∧∧→。

解：原式))(())((C B A C B A ⌝∧⌝∨∧∧∨⌝⇔
（按分配律展开）
)()()()(C B C B C B A A C B A A ⌝∧⌝∧∧∨⌝∧⌝∧⌝∨∧∧∨∧⌝⇔ ∑⇔∨⇔⌝∧⌝∧⌝∨∧∧⇔7,0000111)()(m m C B A C B A （主析取）
∏⇔6,5,4,3,2,1（主合取范式）
五、证明下列各式
1、)(B A ⌝∧⌝，C B ∨⌝，C ⌝⇒A ⌝；
证明： ①C ⌝
（已知） ②C B ∨⌝ （已知） ③B C ⌝→⌝ ② ④B ⌝
①、③ ⑤)(B A ⌝∧⌝ （已知） ⑥B A ∨⌝ ⑤ ⑦A B ⌝→⌝ ⑥ ⑧A ⌝
④、⑦
2、Q P ∨⌝，Q R ⌝→⇒R P ⌝→；
证明： ①P
（已知） ②Q P ∨⌝ （已知） ③Q P → ② ④Q
①、③ ⑤Q R ⌝→ （已知） ⑥R Q ⌝→ ⑤ ⑦R ⌝
④、⑥
3、Q S ⌝→，R S ∨，R ⌝，Q P ↔⌝⇒P 。

证明： ①P ⌝
（假设） ②Q P ↔⌝ （已知） ③Q
①、②
④R ⌝
（已知） ⑤R S ∨ （已知） ⑥S R →⌝ ⑤ ⑦S
④、⑥ ⑧Q S ⌝→ （已知） ⑨Q ⌝
⑦、⑧ ⑩Q Q ⌝∧
③、⑨
矛盾
六、某单位有四个人甲、乙、丙、丁，现在要派其中的两个人参加乒乓球比赛，试问：按
下述三个条件共有几种派法？如何派？ （1）乙和丙不能都去； （2）丙去则丁要留下；
（3）若甲去则丙和丁要去一人。

解：设A ：甲去，B ：乙区，C ：丙去，D ：丁去，则条件转化为下列三式
)(C B ∧⌝，D C ⌝→，)(D C A ∨→
且它们三式同时成立。

又因为
)()()(D C D C D C ∧⌝∨⌝∧⇔∨
故
∧∧⌝))((C B ∧⌝→)(D C ))((D C A ∨→
∧⌝∨⌝∧⌝∨⌝⇔))()((D C C B )))()(((D C D C A ∧⌝∨⌝∧∨⌝ ∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∨⌝∧⌝∨⌝∧⌝⇔))()()()((D C C C D B C B
))()((D C D C A ∧⌝∨⌝∧∨⌝
（按分配律展开成12项）
)()()()(A D C A C C A D B A C B ⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔
)()()(D C C C D C D B D C C B ⌝∧∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∧⌝∨
)(D C D C ⌝∧∧⌝∧⌝∨
)()()(D C C C D C D B D C C B ∧⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∧⌝∨
)(D C D C ∧⌝∧⌝∧⌝∨
上述析取式中，有些项不符合题意，比如)(A C B ⌝∧⌝∧⌝表示三个人都不参赛，另外如
)(D C C B ⌝∧∧⌝∧⌝等都是矛盾的，即真值为F ，应该在原式中删除，进而原式简化为
∨⌝∧⌝)(A C ∨⌝∧∧⌝)(D C B )()(D C D C B ∧⌝∨∧⌝∧⌝
所以有乙、丁去，或甲、丙去，或甲、丁去，三种派法，由于)(D C ∧⌝这项也表示可派乙、丁去，或甲、丁去，所以总共也只有三种派法——乙、丁去，或甲、丙去，或甲、丁去。

七、用谓词表达式描述下列句子。

1、非尔普斯是游泳运动员；
解：)(x W ：x 是游泳运动员，c ：非尔普斯，则有)(c W ；
2、没有哪个网络学院学生入学最初不是热血沸腾的。

解：)(x N ：x 是网络学院学生，)(x E ：x 入学最初是热血沸腾的，则有
))()()((x E x N x →∀；
3、每个有理数都是实数；
解：)(x Q ：x 是有理数，)(x R ：x 是实数，则有))()()((x R x Q x →∀；
4、并非每个实数都是有理数；
解：)(x Q ：x 是有理数，)(x R ：x 是实数，则有))()()((x Q x R x →∀⌝，或
))()(()(x Q x R x →⌝∃；
5、某些运动员是大学生；
解：)(x L ：x 是运动员，)(x S ：x 是大学生，则有))()()((x S x L x ∧∃；
6、不是所有的运动员都是大学生；
解：)(x L ：x 是运动员，)(x S ：x 是大学生，则有))()()((x S x L x →∀⌝；
7、所有士兵都崇拜某些将军。

解：)(x K ：x 是士兵，)(x G ：x 是将军，),(y x A ：x 崇拜y ，则有勤劳的蜜蜂有糖
吃
)),()()(()()((y x A y G y x K x ∧∃→∀。