现代通信原理答案WORD版(_罗新民)指导书_第一章_绪论_习题详解1

第一章 绪论

1-1英文字母中e 出现概率为0.105, c 出现的概率为0.023, j 出现的概率为0.001。试分别计算它们的信息量。

解题思路：考查信息量的基本概念，用公式1log ()a I P

=。底数a 一般采用2，这时信息量单位为bit

解：bit P I e e 25.3105.0log log 22≈-=-=，

bit P I c c 44.5023.0log log 22≈-=-=， bit P I j j 97.9001.0log log 22≈-=-=

1-2有一组12个符号组成的消息，每个符号平均有四种电平，设四种电平发生的概率相等，试求这一组消息所包含的信息量。若每秒传输10组消息，则一分钟传输多少信息量？ 解题思路：考查平均信息量及信息量叠加的概念。每个符号有四种等概电平可能，因此先用

4

2

1

1

()log i i i

H x P P ==∑计算其平均信息量。整个消息的总信息量是12个符号的各自平均信息量（相等）的和。 解：（1）12=N ，4,3,2,1,4

1

==

i P i 。 每个符号的平均信息量为24log 1

log 22

===-

i

P I 比特/符号，则由12个符号组成的一组消息的信息量为bit I N I 24*==-

（2）每秒传输10组消息，则一分钟传输10×60组信息，因此信息传输速率为10×60×24

比特/分钟＝14400比特/分钟

1-3消息序列是由4种符号0、1、2、3组成的，四种符号出现的概率分别为3/8、1/4、1/4、1/8，而且每个符号出现都是相互独立的，求下列长度为58个符号组成的消息序列“2 0 1 0 2 0 1 3 0 3 2 1 3 0 0 1 2 0 3 2 1 0 1 0 0 3 2 1 0 1 0 0 2 3 1 0 2 0 0 2 0 1 0 3 1 2 0 3 2 1 0 0 1 2 0 2 1 0”的信息量和每个符号的平均信息量。

解题思路：考查平均信息量的概念。可以先求出每个符号的信息量，根据消息序列中各符号出现的次数得到消息序列的总信息量，再用符号数平均从而得到符号平均信息量。也可以先根据4

2

1

1

()log i i i

H x P P ==

∑直接求出这四种符号的平均信息量，再根据消息序列中符号个数得到消息序列的总平均信息量。 解：方法一：

0，1，2，3每符号各自携带的信息量分别为

02

3log 1.4158I bit =-=； bit 24

1

log I 21=-=；

bit 241log I 2

2=-=； bit 38

1

log I 23=-=； 则这58个符号所带的总信息量为

0I=23I =23 1.415223=110.545bit

123⨯+14⨯I +13⨯I +8⨯I ⨯+14⨯+13⨯+8⨯ ； 而每个符号的平均信息量

()

1.91/58

H x I bit =

≈ 符号 方法二：

每符号平均信息量为 4

2

2221

13811

()log

log 2log 4log 8 1.9/8348

i i i H x P bit P ==

=+⨯+≈ ∑符号 消息序列总平均信息量为

58()110.2I H x bit =⨯=

1-4某气象员用明码报告气象状态，有四种可能的消息：晴、云、雨、雾。若每个消息是等

概率的，则发送每个消息所需的最少二进制脉冲数是多少？若该4个消息出现的概率不等，且分别为1/4、1/8、1/8、1/2，试计算每个消息的平均信息量。

解题思路：考查从工程角度对信息量的定义。传输两个相互等概的消息时，要区别这两种消息，至少需要1位二进制脉冲；若要传输4个独立等概的消息之一，则至少需要2位二进制脉冲。

解：（1）需24log 2=个 （2）4

2

2221

1111

()log log 42log 8log 2 1.75482

i i i H x P P ==

=⨯+⨯⨯+⨯=∑比特/消息

1-5设数字信源发送-1.0V 和0.0V 电平的概率均为0.15，发送+3.0V 和+4.0V 电平的概率均为0.35。试计算该信源的平均信息量。

解题思路：考查信源平均信息量计算方法，采用4

2

1

1

()log

i i i

H x P P ==∑计算。 解：

4

1

22()log (20.15log 0.1520.35log 0.35)1.879/i i

i H x P P bit ==- =-⨯⨯+⨯⨯ ≈ ∑符号

1-6对二进制信源，证明当发送二进制码元1的概率和发送二进制码元0的概率相同时，信源熵最大，并求最大的信源熵。

解题思路：设发“1”的概率和发“0”的概率分别为P 和1-P ，则信源熵可表达为P 的函数H(P)，问题转化为求H(P)的最值及取到最值时P 的取值。

（1）证明：设发“1”的概率为P ，则发“0”的概率为1-P 。这时信源熵为

22

11

()log (1)log 1H P P P P P =+-- 欲使信源熵H(P)取最大值，令()

0dH P dP

=，则得到

2

21111log ()log (1)[(1)]0

ln 21(1)ln 2

P P P P P P +-+---=--- 由此得到2

2

11log log 1P P =-，求得1

12

P P =-=。 即当发送二进制码元“1”的概率和发送二进制码元“0”的概率相同时，信源熵最大。 （2）解：将1

2P =

代入H(P)的表达式，得到symbol bit P H P /1|)(2

1==。

1-7一个由字母A 、B 、C 、D 组成的信源，对传输的每一个字母用二进制脉冲编码：00代表A ，01代表B ，10代表C ，11代表D 。又知每个二进制脉冲的宽度为5ms 。 ① 不同字母等概率出现时，试计算传输的平均信息速率以及传输的符号速率； ② 若各字母出现的概率分别为：15 , 14 , 14 , 310A B C D P P P P ====，试计算平 均信息传输速率。 解题思路：考查信息传输速率和符号传输速率的概念及其关系。由每个脉冲的时间宽度可得 每个字母（符号）的时间宽度，其倒数就是符号传输速率r 。无论4个字母等概与否，符号 传输速率是一定的。根据教材式（1.10）()R rH x =，分别计算出①、②中的字母（符号） 平均信息量H(x)，就可以得到平均信息传输速率R 。

解：（1）每个脉冲宽5ms ，则每个字母（符号）占时宽为2×5×10－3＝10－

2秒

每秒传送符号数为2

1

10010

r -=

=符号/秒 每个字母的平均信息量为21

()log 24

H x =-=比特/符号

平均信息速率为()2100200/R rH x bit s ==⨯= （2）平均信息量为22211310

()log 52log 4log 1.985554103

H x =

⨯+⨯⨯+⨯=比特/符号 平均信息速率为1.9855100198.55/bit s ⨯=

1-8设数字键盘上有数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，发送任一数字的概率都相同。试问应以多快的速率发送数字，才能达到2 b/s 的信息速率？ 解题思路：仍然考查的是对()R rH x =的理解。