圆锥曲线章末复习提升课
高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习提升课课件湘教版选修2
高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习提升课课件湘教版选修2
2021/4/17
高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习提升课课件湘教版 选修2
第2章 圆锥曲线与方程
章末复习提升课
1．椭圆的焦点三角形 设 P 为椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点(不 在 x 轴上)，F1，F2 为焦点且∠F1PF2＝α，则 △PF1F2 为焦点三角形(如图)． (1)焦点三角形的面积 S＝b2tanα2. (2)焦点三角形的周长 L＝2a＋2c.
2．双曲线及渐近线的设法技巧
(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法
是：把标准方程中的 1 换成 0，即可得到两条渐近线的方程．如
双
曲线
xa22－
y2 b2
＝
1(a>0，
b>0)
的渐
近
线
方程
为
x2 a2
－
y2 b2
＝
0(a>0
，
b>0)，即 y＝±bax；双曲线ay22－xb22＝1(a>0，b&求曲线的方程是解析几何的基本问题之一，其求解的基本方法 有： (1)直接法：当动点与已知条件发生联系时，在设曲线上的动点 坐标为(x，y)后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式(如 两点间距离公式、点到直线距离公式，斜率公式、面积公式等) 和向量坐标运算，变换成 x，y 间的关系式(等式)，从而得到轨 迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法(又称直译法)．直 接法求轨迹经常要联系平面图形的性质．
法四：(代入法) 设 A(x1，y1)，B(x，y)， 由中点坐标公式得xy＝＝yx2211.，即xy11＝＝22yx.， 又因为(x1－1)2＋y21＝1， 所以(2x－1)2＋(2y)2＝1， 即 B 点的轨迹方程是x－122＋y2＝14(x≠0)．
章末复习提升课
章末复习提升课圆锥曲线的定义及应用已知双曲线x216－y225＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________．【解析】设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)．因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝12|PF′|，又|FN|＝|OF|2－|ON|2＝5，且由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－12|PF′|＝12(|PF|－|PF′|)－|FN|＝12×8－5＝－1.【答案】－1圆锥曲线定义的应用技巧(1)在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据定义直接写出圆锥曲线的轨迹方程．(2)焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决．(3)在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”之间的相互转化．已知点A (1，y 1)，B (9，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，y 2>y 1>0，点F 是抛物线的焦点，若|BF |＝5|AF |，则y 21＋y 2的值为______．解析：由抛物线的定义可知，9＋p2＝5⎝⎛⎭⎫1＋p 2，解得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，又因为A ，B 两点在抛物线上，所以y 1＝2，y 2＝6，所以y 21＋y 2＝22＋6＝10.答案：10圆锥曲线的方程与几何性质(1)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 为直线y ＝2b上的一点，△F 1MF 2是等边三角形，则椭圆C 的离心率为( )A.714B.77C.277D.3714(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 【解析】 (1)因为△F 1MF 2是等边三角形，故M (0，2b )，|MF 1|＝|F 1F 2|，即4b 2＋c 2＝2c ，即4b 2＋c 2＝4c 2，4a 2＝7c 2，e 2＝c 2a 2＝47，故e ＝277.故选C. (2)由离心率为2可知a ＝b ，c ＝2a ，所以F (－2a ，0)，由题意可知k PF ＝4－00－（－2a ）＝42a＝1，所以2a ＝4，解得a ＝22，所以双曲线的方程为x 28－y 28＝1.故选B.【答案】 (1)C (2)B求解离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距是c ，A ，B 分别是长轴、短轴的一个端点，O 为原点，若△ABO 的面积是3c 2，则这一椭圆的离心率是( )A.12 B.32 C.22D.33解析：选A.由题意得12ab ＝3c 2，即a 2(a 2－c 2)＝12c 4， 所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0， 所以a 2＝4c 2，a ＝2c ， 故e ＝c a ＝12.直线与圆锥曲线的位置关系已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点P 到左、右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若y 轴上一点M ⎝⎛⎭⎫0，37满足|MA |＝|MB |，求直线l 的斜率k 的值．【解】 (1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22， 所以a ＝2，e ＝c a ＝22，所以c ＝22×2＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝2－1＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)已知F 2(1，0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线与椭圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 22＋y 2＝1，化简得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k 1＋2k2， 所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2， ①当k ≠0时，AB 的中垂线方程为y －－k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，因为|MA |＝|MB |，所以点M 在AB 的中垂线上， 将点M 的坐标代入直线方程得： 37＋k 1＋2k 2＝2k1＋2k 2， 即23k 2－7k ＋3＝0， 解得k ＝3或k ＝36. ②当k ＝0时，AB 的中垂线方程为x ＝0，满足题意． 所以斜率k 的取值为0，3，36.直线与圆锥曲线位置关系问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有如下三种：①相交：Δ＞0⇔直线与椭圆相交；Δ＞0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ＞0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ＞0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ＞0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ＞0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ＞0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．③相离：Δ＜0⇔直线与椭圆相离；Δ＜0⇔直线与双曲线相离；Δ＜0⇔直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等许多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 的方程和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，消去y ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 因为OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2，所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，消去y ，得x 2＋4x －4＝0.|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2＝1＋22·（－4）2－4×（－4）＝410.设P ⎝⎛⎭⎫t ，－12t 2(－2－22<t <－2＋22)， 因为|AB |为定值，当点P 到直线l 的距离d 最大时，△ABP 的面积最大，d ＝⎪⎪⎪⎪2t ＋12t 2－222＋（－1）2＝⎪⎪⎪⎪12（t ＋2）2－45.因为－2－22<t <－2＋22， 所以当t ＝－2时，d max ＝455. 所以△ABP 面积的最大值为12×410×455＝8 2.1．若双曲线x 2m －y 2＝1的实轴长是离心率的2倍，则m ＝ ( )A ．1＋52B ．2C ．3D ． 5解析：选A ．由双曲线的方程，可知m >0，a ＝m ，b ＝1，则c ＝m ＋1，所以2m ＝2×m ＋1m，解得m ＝1＋52.故选A ．2．点A (2，1)到抛物线x ＝ay 2的准线的距离为3，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．14C ．14或－120D ．4或－20解析：选C ．抛物线x ＝ay 2可化为y 2＝1a x ，若a >0，则准线方程为x ＝－14a ，由题设，可得2＋14a ＝3，则a ＝14；若a <0，则准线方程为x ＝－14a，由题设，可得⎪⎪⎪⎪2＋14a ＝3，解得a ＝14(舍去)或a ＝－120.综上，实数a 的值为14或－120.故选C ．3．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2解析：选D ．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则当三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22，所以a 2≥2，所以a ≥2，所以长轴长2a ≥2 2.故选D ．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选B ．由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k >0)，即x 24k －y 25k ＝1，因为双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，所以4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B ．5．(2018·高考北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值；(3)设P (－2，0)，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点Q ⎝⎛⎭⎫－74，14共线，求k . 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝2 2.解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0.所以x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－34.|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝2（x 2－x 1）2＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意得x 21＋3y 21＝3，x 22＋3y 22＝3.直线P A 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)．由⎩⎨⎧y ＝y 1x 1＋2（x ＋2），x 2＋3y 2＝3得[(x 1＋2)2＋3y 21]x 2＋12y 21x ＋12y 21－3(x 1＋2)2＝0. 设C (x C ，y C )．所以x C ＋x 1＝－12y 21（x 1＋2）2＋3y 21＝4x 21－124x 1＋7.所以x C ＝4x 21－124x 1＋7－x 1＝－12－7x 14x 1＋7.所以y C ＝y 1x 1＋2(x C ＋2)＝y 14x 1＋7.设D (x D ，y D )．同理得x D ＝－12－7x 24x 2＋7，y D ＝y 24x 2＋7.记直线CQ ，DQ 的斜率分别为k CQ ，k DQ ，则k CQ －k DQ ＝y 14x 1＋7－14－12－7x 14x 1＋7＋74－y 24x 2＋7－14－12－7x 24x 2＋7＋74＝4(y 1－y 2－x 1＋x 2)． 因为C ，D ，Q 三点共线， 所以k CQ －k DQ ＝0. 故y 1－y 2＝x 1－x 2.所以直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.[A 基础达标]1．若双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一个焦点为(3，0)，则它的离心率为( )A ．22B ．423C ．324D ．2解析：选C ．由焦点为(3，0)知，1＋a 2＝9，所以a 2＝8，a ＝22，所以离心率e ＝322＝324.故选C ．2．设k <3，k ≠0，则下列关于二次曲线x 23－k －y 2k ＝1与x 25＋y 22＝1的说法正确的是( )A ．它们表示的曲线一条为双曲线，另一条为椭圆B ．有相同的顶点C ．有相同的焦点D ．有相同的离心率解析：选C ．当0<k <3时，则0<3－k <3，所以x 23－k －y 2k ＝1表示实轴在x 轴上的双曲线，a 2＋b 2＝3＝c 2.所以两曲线有相同的焦点； 当k <0时，－k >0且3－k >－k ，所以x 23－k ＋y 2－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆．a 2＝3－k ，b 2＝－k .所以a 2－b 2＝3＝c 2， 与已知椭圆有相同的焦点．3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：选C ．因为ba＝e 2－1＝54－1＝12，所以C 的渐近线方程为y ＝±12x .故选C ． 4．(2019·扬州检测)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，右焦点为F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－35，35B ．⎝⎛⎭⎫－355，355C ．⎝⎛⎭⎫－54，54 D ．⎝⎛⎭⎫－574，574解析：选D ．依题意，得m ＝3，所以x 225＋y 29＝1.以原点为圆心，c ＝4为半径作圆，则F 1F 2是圆的直径．若P 在圆外，则∠F 1PF 2为锐角；若P 在圆上，则∠F 1PF 2为直角；若P 在圆内，则∠F 1PF 2为钝角．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋y 29＝1，x 2＋y 2＝16，消去y ，得x ＝±574.故结合图形(图略)可知－574<x <574.5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，1B ．⎝⎛⎭⎫14，－1C ．(1，2)D ．(1，－2)解析：选B ．如图，因为点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1，选B ．6．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则此双曲线的离心率为________．解析：由题知PF 1⊥PF 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，|PF 1|＝3|PF 2|，得ca ＝3＋1. 答案：3＋17．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 的距离为6，若点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)(O为坐标原点)，则|OM →|＝________．解析：设F 1为右焦点， 因为|PF →|＝6， 所以|PF 1→|＝10－6＝4， 又OM →＝12(OP →＋OF →)，所以M 为PF 的中点， 所以OM 为△FPF 1的中位线， 所以|OM →|＝12|PF 1→|＝2.答案：28．已知直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F ，椭圆C 的上顶点为抛物线x 2＝43y 的焦点，则椭圆C 的方程为________．解析：根据题意，直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F ，所以F (1，0)，所以c ＝1.又因为椭圆C 的上顶点为抛物线x 2＝43y 的焦点， 所以b ＝3，b 2＝3， 所以a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝19．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一内接△OAB ，O 为坐标原点，若OA →·OB →＝0，直线OA 的方程为y ＝2x ，且|AB |＝413，求抛物线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，解得A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ， 又OA →·OB →＝0， 所以OA ⊥OB ，故直线OB 的方程为y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，联立得B (8p ，－4p )． 因为|AB |＝413，所以⎝⎛⎭⎫p 2－8p 2＋(p ＋4p )2＝16×13， 所以p ＝85，所以抛物线方程为y 2＝165x .10．设椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >2)的离心率为33，斜率为k 的直线l 过点E (0，1)且与椭圆交于C ，D 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC →＝DE →，求k 的值．解：(1)由题可得e 2＝c2a 2＝a 2－4a 2＝13，解得a 2＝6，所以椭圆的方程为x 26＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 26＋y 24＝1得(2＋3k 2)x 2＋6kx －9＝0. 则Δ＝36k 2＋36(2＋3k 2)＞0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6k 2＋3k 2，x 1x 2＝－92＋3k 2， 则CD 中点的横坐标为x 0＝－3k2＋3k 2，又E (0，1)，G ⎝⎛⎭⎫－1k ，0， 则GE 中点的横坐标为x 0′＝－12k，由GC →＝DE →知CD ，GE 的中点重合，得－3k 2＋3k 2＝－12k ， 解得k ＝±63.[B 能力提升]11．(2019·余姚检测)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＝0截得的弦长为25，则双曲线的离心率为( )A ． 3B ．62C ．355D ． 5解析：选C ．依题意可得渐近线方程为bx ±ay ＝0，而圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9.由弦长为25，可得圆心(3，0)到渐近线的距离为2，故3ba 2＋b 2＝2，即b 2a 2＝45，所以离心率e＝c a＝a 2＋b 2a 2＝355.故选C ． 12．(2019·漳州检测)如图所示，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆x 2＋y 2－4x －12＝0的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△F AB 的周长的取值范围是________．解析：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．易知抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由抛物线的定义，可得|AF |＝x A ＋2.圆x 2＋y 2－4x －12＝0的圆心(2，0)，半径R ＝4，所以△F AB 的周长L ＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝x A ＋2＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由题意，可知抛物线与圆的交点的横坐标均为2，所以x B ∈(2，6)，所以6＋x B ∈(8，12)．答案：(8，12)13．已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝1，F 是焦点，过点A (－2，0)的直线与抛物线交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N .(1)求抛物线的方程及y 1y 2的值；(2)若直线PQ ，MN 的斜率都存在，记直线PQ ，MN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值．解：(1)依题意，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，由准线x ＝p2＝1，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝－4x .由题意，设直线PQ 的方程为x ＝my －2，代入y 2＝－4x ， 消去x ，整理得y 2＋4my －8＝0，从而y 1y 2＝－8. (2)证明：设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则k 1k 2＝y 1－y 2x 1－x 2·x 3－x 4y 3－y 4＝y 1－y 2y 21－4－y 22－4·y 23－4－y 24－4y 3－y 4＝y 3＋y 4y 1＋y 2. 设直线PM 的方程为x ＝ny －1，代入y 2＝－4x ， 消去x ，整理得y 2＋4ny －4＝0，所以y 1y 3＝－4， 同理y 2y 4＝－4.故k 1k 2＝y 3＋y 4y 1＋y 2＝－4y 1＋－4y 2y 1＋y 2＝－4y 1y 2＝－4－8＝12，为定值． 14．(选做题)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N (5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0.(1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过点(2，0)作斜率为k 的直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得OA →·OB →≤－1？若存在，求出直线l 的斜率k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0知Q 为线段PN 的中点，且GQ ⊥PN ，则GQ 为线段PN 的中垂线，故|PG →|＝|GN →|，所以|GN →|＋|GM →|＝|PM →|＝6.故点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且其长半轴长a ＝3，半焦距c ＝5，所以短半轴长b ＝2.所以点G 的轨迹C 的方程是x 29＋y 24＝1.(2)设l 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 29＋y 24＝1⇒(9k 2＋4)x 2－36k 2x ＋36(k 2－1)＝0， 所以x 1＋x 2＝36k 29k 2＋4，x 1x 2＝36（k 2－1）9k 2＋4， y 1y 2＝[k (x 1－2)][k (x 2－2)]＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－20k 29k 2＋4， 则x 1x 2＋y 1y 2＝36（k 2－1）9k 2＋4－20k 29k 2＋4＝16k 2－369k 2＋4.由OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2≤－1， 得16k 2－369k 2＋4≤－1，解得k 2≤3225，故－425≤k ≤425.故存在这样的直线l ，使得OA →·OB →≤－1，且直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－425，425.。
课件1：第二章 章末复习课
【例 2】 若点 M(2，1)，点 C 是1x62 ＋y72＝1 椭圆的右焦点，点 A 是椭圆上的动点，则 |AM|＋|AC|的最小值是________． 解析 点 M(2，1)在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|， 而 a＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26， 所以(|AM|＋|AC|)最小＝8－ 26. 答案 8－ 26
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线 y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点 M、N.当|AM|
＝|AN|时，求 m 的取值范围．
解 (1)依题意，可设椭圆方程为ax22＋y2＝1，
则右焦点 F(
a2－1，0)，由题设|
a2－1＋2 2
2|＝3，
解得 a2＝3，故所求椭圆的方程为x32＋y2＝1.
2 2
.过F1的直线l交C于
A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 __________．
解析 设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，
由e＝ 22，知ac＝ 22，故ba22＝12.由于△ABF2
的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋
|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为
又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，
则－m＋33mkk2＋1＝－1k，即2m＝3k2＋1
②
把②代入①得2m>m2，解得0<m<2，
由②得k2＝2m3－1>0，解得m>12，
故所求m的取值范围是(12，2)．
专题三 圆锥曲线中的定值、定点问题 以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的证明题常见的有：证明 直线过定点和证明某些量为定值．而解决这类定点与定值问题 的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到 定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找； 另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证， 这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．
第二章 圆锥曲线 章末复习【教师版】
第二章 圆锥曲线 章末复习学习目标1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步巩固和理解圆锥曲线的定义.3.掌握圆锥曲线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形 封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心 两条对称轴一条对称轴顶点 四个 两个 一个 离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程x ＝－p 2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小2.待定系数法求圆锥曲线标准方程 (1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．也可将椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，将双曲线方程设为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． (2)抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p 的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)，然后建立方程求出参数p 的值． 3．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0等价于直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0等价于直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0等价于直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．4．方法、规律归纳(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系； ②设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )； ③列式——列出动点P 所满足的关系式；④代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简； ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．(2)代入(相关点、转移)法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的． 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求轨迹方程： ①一个动点P (x ，y )在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点随P (x ，y )的变化而变化； ③变化过程中P (x ，y )满足一定的规律．(3)参数法：求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法要注意以下问题：参数的选取要具有代表性，参数方程是动点的轨迹方程，在化简参数方程为普通方程的时候不能改变方程的解集． (4)求圆锥曲线的标准方程，主要利用定义法及待定系数法．1．设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，|P A |－|PB |＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线．( × ) 2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．( × )3．方程2x 2－5x ＋2＝0的两根x 1，x 2(x 1<x 2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率．( √ ) 4．已知方程mx 2＋ny 2＝1，则当m >n 时，该方程表示焦点在x 轴上的椭圆．( × )5．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，116a .( √ )题型一 圆锥曲线定义的应用例1 设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 曲线C 1：x 26＋y 22＝1与曲线C 2：x 23－y 2＝1的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P 为第一象限的交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝26， |PF 1|－|PF 2|＝23，解得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3， 又|F 1F 2|＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理可求得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(6＋3)2＋(6－3)2－422×(6＋3)×(6－3)＝13.反思感悟(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决． (2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题． (3)求轨迹问题、最值问题，曲线方程也常常结合定义求解． 跟踪训练1(1)(2018·江西师大附中高二检测)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为( )A.23 B ．1 C.43 D.53(2)抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列 答案 (1)C (2)A解析 (1)|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝4，|AF 2|＋|BF 2|＝4－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4－|AB |，又|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列， 所以2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|. 于是3|AB |＝4，∴|AB |＝43.(2)如图，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知，|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3， 故选A.题型二 圆锥曲线方程与性质的应用 例2(1)如图，椭圆C 1，C 2与双曲线C 3，C 4的离心率分别为e 1，e 2与e 3，e 4，则e 1，e 2，e 3，e 4的大小关系是( )A ．e 2<e 1<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 4<e 3C ．e 1<e 2<e 3<e 4D ．e 1<e 2<e 4<e 3(2)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 (1)A (2)D解析 (1)椭圆离心率为e ，则e 2＝1－b 2a 2， ∴0<e 2<e 1<1. 双曲线的离心率为e ′，则e ′2＝1＋b 2a 2. ∴1<e 3<e 4. 因此0<e 2<e 1<1<e 3<e 4. (2)|F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2，∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.反思感悟 求解离心率有三种方法：(1)定义法；(2)建立参数a 与c 之间的齐次关系式；(3)几何法． 跟踪训练2(1)(2018·潍坊高二检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率为( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 6(2)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，则抛物线E 的标准方程为________________．答案 (1)C (2)x 2＝4y解析 (1)双曲线的渐近线为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，由对称性，取切线方程为bx －ay ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧bx －ay ＝0，y ＝x 2＋1，得x 2－b a x ＋1＝0，所以Δ＝b 2a 2－4＝0， 即b 2a 2＝4＝c 2－a 2a 2＝e 2－1， 因为e >1，所以e ＝ 5.故选C. (2)依题意知，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上， 所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的标准方程为x 2＝4y . 题型三 直线与圆锥曲线例3 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． 解 (1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1，① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2. 反思感悟直线与圆锥曲线的综合问题，主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等，求解这类问题时，通常采用代数方法，将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去其中一个未知量，通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系，同时，还经常利用根与系数的关系，采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题．跟踪训练3 已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，|PF 1|＋|PF 2|＝4，离心率为22. (1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆的两交点为A ，B ，线段AB 的中点C 在直线y ＝12x 上，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于2时，求直线l 的方程． 解 (1)由椭圆定义得2a ＝4，a ＝2，所以c ＝ae ＝2，故b ＝2， 所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y ＝kx ＋m 代入方程x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0.(*)所以x C ＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y C ＝kx C＋m ＝m1＋2k 2，所以m 1＋2k 2＝12·－2km1＋2k 2，解得k ＝－1，则(*)式变为3x 2－4mx ＋2m 2－4＝0， 则|AB |＝2|x 1－x 2|＝46－m 23，△OAB 底边AB 上的高h ＝|m |2，所以△OAB 的面积S ＝2(6－m 2)m 23.令2(6－m 2)m 23＝2，解得m ＝±3，把k ＝－1，m ＝±3代入(*)式，经检验，均满足Δ>0， 此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋y ＋3＝0.题型四 圆锥曲线中参数范围和最值问题例4 (1)已知P 为抛物线y ＝14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是________． 答案5－1(2)若抛物线x 2＝2y 上距离点A (0，a )的最近点恰好是抛物线的顶点，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．0<a ≤1C ．a ≤1D ．a ≤0答案 C反思感悟圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练4 (1)已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值等于________． 答案924(2)已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．①求满足上述条件的点M (x ，y )的轨迹C 的方程；②设曲线C 与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点P ，Q ，点A (0，－1)，当|AP |＝|AQ |时，求实数m 的取值范围．解 ①∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0，∴a 2－3b 2＝0， ∴x 2＋3y 2＝3，即点M (x ，y )的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.②由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋3y 2－3＝0，得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0. ∵曲线C 与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点，∴Δ＝(6km )2－12(1＋3k 2)(m 2－1)＝12(3k 2－m 2＋1)>0，即3k 2－m 2＋1>0.① 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点N (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝－3km1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋3k2.∵|AP |＝|AQ |，∴PQ ⊥AN .设k AN 表示直线AN 的斜率，又k ≠0，∴k AN ·k ＝－1.即－1－m1＋3k 23km 1＋3k 2·k ＝－1，得3k 2＝2m －1.②∵3k 2>0，∴m >12.将②代入①得2m －1－m 2＋1>0，即m 2－2m <0，解得0<m <2， ∴m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，2.1．已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是( )A.x 236＋y 220＝1(x ≠0)B.x 220＋y 236＝1(x ≠0) C.x 26＋y 220＝1(x ≠0) D.x 220＋y 26＝1(x ≠0) 答案 B解析 由△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，可得|AB |＋|AC |＝12>|BC |，所以顶点A 的轨迹为椭圆， 其中2a ＝12,2c ＝8，所以a ＝6，c ＝4， 所以b 2＝36－16＝20，方程为x 220＋y 236＝1. 因为A ，B ，C 三点构成三角形，三点不能共线，所以x ≠0，故轨迹方程为x 220＋y 236＝1(x ≠0)，故选B.2．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 由点到直线的距离公式得|2b |a 2＋b 2＝3， 解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ 1＋b 2a2＝2. 故选A.3．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝12，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A ．1B ．3C ．5D ．7 答案 C解析 ∵F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，∴F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝12， 即x 1＋x 2＝10，∴线段AB 的中点的横坐标为12(x 1＋x 2)＝5，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为5.故选C.4．已知双曲线x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为双曲线的右焦点，过F 的直线与双曲线的两渐近线交点分别为M ，N ，若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝________. 答案 3解析 由题意知渐近线的斜率为±33，F (2,0)，∴∠FOM ＝30°，直线MN 的倾斜角为60°或120°. 由双曲线的对称性，设倾斜角为60°，∴直线MN ：y ＝3(x －2)，分别与两渐近线方程联立可求得M (3，3)，N ⎝⎛⎭⎫32，－32.∴|MN |＝3.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (2,1)，离心率为22，过点B (3,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆的方程； (2)若|MN |＝322，求直线MN 的方程． 解 (1)由题意有4a 2＋1b2＝1，e ＝c a ＝22，a 2－b 2＝c 2， 解得a ＝6，b ＝3，c ＝3， 所以椭圆方程为x 26＋y 23＝1.(2)由直线MN 过点B 且与椭圆有两个交点，可设直线MN 方程为y ＝k (x －3)，代入椭圆方程整理得(2k 2＋1)x 2－12k 2x ＋18k 2－6＝0， Δ＝24－24k 2>0，得k 2<1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 22k 2＋1，x 1x 2＝18k 2－62k 2＋1，|MN |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝322，解得k ＝±22，满足k 2<1，所以所求直线方程为x －2y －3＝0或x ＋2y －3＝0.1．利用待定系数法求圆锥曲线标准方程一般是先定位、后定量，即2．求离心率的三种方法(1)定义法；(2)方程法；(3)几何法．3．解决直线与圆锥曲线的综合问题通常从方程思想入手． 4．解决定点、定值问题的常规处理策略(1)从特殊情况入手，先求含有变量的定点、定值，再证明这个点(值)与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点(值)．11。
高中数学第2章圆锥曲线与方程章末综合提升教学用书教案新人教A版选修2_1
第2章 圆锥曲线与方程[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]圆锥曲线的定义及应用1】 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．以上都不对(2)已知双曲线C 的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A ．13B ．14C ．23D ．24(1)C (2)B [(1)把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5．∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．(2)由e ＝ca＝2，得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a ，又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ， |F 2A |＝2a ． 又|F 1F 2|＝2c ＝4a ，所以cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－|AF 1|22·|AF 2|·|F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a ＝14．故选B ．]“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.[跟进训练]1．已知双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y＝3(x ＋c )与双曲线的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则双曲线的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3＋1D [直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1(－c,0)，由于其斜率为3， ∴tan ∠MF 1F 2＝3， ∴∠MF 1F 2＝60°． 又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，∴MF 2⊥MF 1且|MF 1|＝12|F 1F 2|＝c ，|MF 2|＝3c ．由双曲线定义得， |MF 2|－|MF 1|＝3c －c ＝2a ，∴双曲线的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1．]圆锥曲线的方程【例2】 (1)已知椭圆与双曲线y 4－x 12＝1的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于85，则此椭圆的方程为( )A ．x 29＋y 225＝1B ．x 225＋y 29＝1C ．x 25＋y 2＝1D ．x 2＋y 25＝1 (2)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |(其中B 位于A ，C 之间)，且|AF |＝4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝6xD ．y 2＝2x(1)A (2)B [(1)因为双曲线的焦点为(0，－4)，(0,4)，离心率为e 1＝42＝2，所以椭圆的离心率e 2＝852＝45．设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ca＝4 5，c＝4，a2＝b2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝5，b＝3，所以椭圆的方程为y225＋x29＝1．故选A．(2)如图，过A，B分别作AD，BE垂直于抛物线的准线，垂足为D，E，G为准线与x轴的交点，由抛物线的定义，得|BF|＝|BE|，|AF|＝|AD|＝4．因为|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BE|，则在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，所以|AC|＝2|AD|＝8，所以|CF|＝8－4＝4，所以|GF|＝|CF|2＝2，即p＝|GF|＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．]求圆锥曲线方程的一般步骤,一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0).(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.[跟进训练]2．(1)以x 轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8yC [由题意知2p ＝8，故选C ．](2)焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 24＋y 2＝1C ．y 24＋x 23＝1D ．x 2＋y 24＝1 A [依题意，得a ＝2，a ＋c ＝3，故c ＝1，b ＝22－12＝3，故所求椭圆的标准方程是x 24＋y 23＝1．]圆锥曲线的几何性质【例3】 (1)如图所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ．2B ． 3C ．32D ．62(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． 思路探究：(1)由椭圆可求出|AF 1|＋|AF 2|，由矩形求出|AF 1|2＋|AF 2|2，再求出|AF 2|－|AF 1|即可求出双曲线方程中的a ，进而求得双曲线的离心率．(2)根据离心率的关系列出关于a ，b 的方程，求出ba，再求渐近线方程．(1)D (2)x ±2y ＝0 [(1)由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝23．因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3，所以C 2的离心率e ＝c a ＝62．(2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a，e 2＝a 2＋b 2a．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，所以b a ＝22． 故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0．]求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.[跟进训练]3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ，A ，B 分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO 的面积是3c 2，则这一椭圆的离心率是( )A ．12B ．32C ．22D ．33A [12ab ＝3c 2，即a 2(a 2－c 2)＝12c 4，所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0，所以a 2＝4c 2，a ＝2c ，故e ＝c a ＝12．]直线与圆锥曲线的位置关系【例4】 已知椭圆x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．思路探究：(1)利用定义解题．(2)利用勾股定理和弦长公式来解． [解] (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d <1得|m |< 52．(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3． ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎫－122[m 2－4(m 2－3)] ＝1524－m 2．由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)．∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33．直线与圆锥曲线的三种位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：(1)相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件.(2)相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切. (3)相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离.[跟进训练]4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，直线l ：x ＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，求a 的取值范围． [解] (1)由椭圆的离心率为22，得a ＝2c ， 由A (2,0)，得a ＝2，∴c ＝2，b ＝2， ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1．(2)由e ＝22，设椭圆方程为x 2a 2＋2y 2a 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a 2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0，若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解．设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (0)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4，故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤233，2．。
《圆锥曲线章末复习课
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研一研·题型解法、解题更高效
→ → (2)证明 ∵OP· OQ＝0，∴OP⊥OQ， 显然直线OP的斜率存在，且不为0，
1 ∴可设直线OP：y＝kx，则直线OQ：y＝－k x， 2 4a 4a y ＝4ax， 由 得P k2 ， k ； y＝kx，
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章末复习课
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研一研·题型解法、解题更高效
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题型一 圆锥曲线定义的应用 圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”， 对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的 意识，“回归定义”是一种重要的解题策略． → 例1 已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足 AF → ＝3FB，则弦AB的中点到准线的距离为________． 解析 F的坐标为(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)， → → ∵AF＝3FB，∴(1－x1，－y1)＝3(x2－1，y2)． ∴1－x1＝3x2－3，且－y1＝3y2， 即x1＋3x2＝4，y1＝－3y2.
同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍， 2 2
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有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.
a2＋b2 7 7 2 7 又双曲线的离心率e＝ ＝ ，所以 ＝ ， a a a 4 2 2 x y 所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为 4 － 3 ＝1.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
∴b＝1.∴c2＝a2＋b2＝5，∴c＝ 5，∴2c＝2 5.
答案
2 5
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
x2 y2 x2 y2 跟踪训练 2 已知椭圆 2＋ 2＝1 和双曲线 2－ 2＝1 3m 5n 2m 3n 3 y＝± 4 x ． 有公共的焦点， 那么双曲线的渐近线方程是__________
《圆锥曲线》章末复习课件精选全文
2
1
2
(2)处理中点弦问题时,一般有两种思路,思路一:联立方程组,消元,利用根与系数的关系
进行“设而不求”;思路二:利用“点差法”
知识要点整合
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
四、圆锥曲线中的弦长、中点弦问题
例4
x2 y 2
已知椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 的一个顶点为A(0,1),离心率为
一、圆锥曲线的定义及应用
2
2
例1 (1)一动圆与两圆: x 2 y 2 1和 x y 6 x 5 0都外切,则动圆圆心的轨迹为( )
A.抛物线
B.双曲线
C.双曲线的一支
D.椭圆
(2)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为
2
.
2
过F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为______.
例2
x2 y 2
3
(1)若椭圆 2 2 1(a b 0) 的离心率为
2
a
b
1
A. y 2 x
B. y 2 x
C. y 4 x
x2 y 2
,则双面线 2 2 1的渐近线方程为(
a
b
1
y
x
D.
4
x2 y 2
(2)已知双曲线 a 2 b2 1(a 0, b 0) 的左焦点为F,离心率为
,且
a
2
x2
2
y
1
2, c 1.易得椭圆方程为
课件2：第二章 章末复习课
3.方程的思想
方程思想是从分析问题的数量关系入手,通过联想 与类比,将问题中的条件转化为方程或方程组,然后通过 解方程或方程组从而使问题获解.在求圆锥曲线方程、 直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或 方程组来解决.
4.分类讨论的思想
分类讨论思想就是将整体问题化为部分问题来解决, 运用分类讨论思想解决问题时必须保证分类科学、统一、 不重、不漏,并力求简便,求圆锥曲线方程时,若焦点所在轴 的位置不确定,则需要讨论;对含有参数的轨迹问题常需要 对参数讨论.
M(
－
c,y0),
则
－c2 a2
＋
y02 b2
＝
1,
解
得
:y0
＝
b2 a
.
∴
kOM
＝
y0 －c
＝
－
abc2,kAB＝－ab,∵OM∥AB,∴kOM＝kAB,即－abc2＝－ba,∴b＝c.
∴a＝
2c,∴e＝ac＝
2 2.
(2)设|QF1|＝m,|QF2|＝n,∠F1QF2＝θ,则 m＋n＝2a,|F1F2|＝ 2c,在△F1QF2 中, cos θ＝m2＋2nm2－ n 4c2＝m＋n22－m2nmn－2a2
①不妨设点 S 在 AD 边上,T 在 CD 边上,可知 1≤m< 5,S(－
2,m－2),D(－2,1),所以|ST|＝ 2|SD|＝ 2[1－(m－2)]＝ 2
(3－m),因此||PSQT||＝54
5－m2 3－m2,
令 t＝3－m(1≤m< 5),则 m＝3－t,t∈(3－ 5,2],
所以||PSQT||＝54
第二章 圆锥曲线与方程
章末复习
专题一 圆锥曲线定义的应用
圆锥曲线综合章末复习课件
长轴长：2a，短轴长：2b |F1F2|＝2c c e＝a(0<e<1)
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
3.关于椭圆的几何性质的几点说明 (1)利用椭圆的范围，可以求参数的范围． (2)椭圆的对称性与其标准方程的关系：方程中以－x换x，
方程不变，则曲线关于 y 轴对称；以－ y 换 y ，方程不变，则曲
线关于 x 轴对称；两者同时换，方程不变，则曲线关于原点对 称． (3)椭圆的离心率与椭圆的圆扁程度：离心率越接近于 1， 椭圆越扁；离心率越接近于0，椭圆越圆．
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
二、双曲线及其简单几何性质 1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小
焦点在 y 轴上 y2 x2 a2－b2＝1(a>0，b>0)
图象
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
焦点在 x 轴上 范围 对称性 顶点 轴长 焦距 离心率 渐近线 x y ± ＝0 a b x≤－a 或 x≥a
焦点在 y 轴上 y≤－a 或 y≥a
关于原点中心对称，关于 x 轴和 y 轴轴对称 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
知能整合提升
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升 热点考点例析 阶段质量评估
高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习提升教学案新人教B版选修1-1
第二章圆锥曲线与方程1．能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程，能够用“坐标法”研究椭圆的基本性质，能够利用数形结合思想、分类讨论思想、参数法解决椭圆中的有关问题．2．能够根据所给的几何条件熟练地求出双曲线方程，并能灵活运用双曲线定义、参数间的关系解决相关问题；准确理解参数a、b、c、e的关系、渐近线及其几何意义，并灵活运用．3．会根据方程形式或焦点位置判断抛物线的标准方程的类型；会根据抛物线的标准方程确定其几何性质以及会由几何性质确定抛物线的方程．了解抛物线的一些实际应用．题型一圆锥曲线定义的应用研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题．例1 若点M(1,2)，点C是椭圆x216＋y27＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．答案 8－2 5解析 设点B 为椭圆的左焦点，则B (－3,0)，点M (1,2)在椭圆内，那么|BM |＋|AM |＋|AC |≥|AB |＋|AC |＝2a ，所以|AM |＋|AC |≥2a －|BM |， 而a ＝4，|BM |＝1＋32＋22＝25，所以(|AM |＋|AC |)min ＝8－2 5.跟踪演练1 抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( ) A ．x 1，x 2，x 3成等差数列 B ．y 1，y 2，y 3成等差数列 C ．x 1，x 3，x 2成等差数列 D ．y 1，y 3，y 2成等差数列答案 A解析 如图，过A 、B 、C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义： |AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3，∴选A.题型二 有关圆锥曲线性质的问题有关求圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等是考试中常见的问题，只要掌握好基本公式和概念，充分理解题意，大都可以顺利求解．例 2 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2B.3C.2D.32答案 C解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意b a ·(－b a ) ＝－1，故b 2a2＝1，所以c 2－a 2a2＝1即e 2＝2，所以双曲线的离心率e ＝ 2.故选C.跟踪演练2 已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±152yB ．y ＝±152xC ．x ＝±34yD ．y ＝±34x 答案 D解析 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， ∴椭圆焦点(±3m 2－5n 2，0)， 双曲线焦点(±2m 2＋3n 2，0)，∴3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2，又∵双曲线渐近线为y ＝±6·|n |2|m |·x ，∴由m 2＝8n 2，|m |＝22|n |，得y ＝±34x . 题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行．2．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题．3．这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等．例3 已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)且(a ＋3b )⊥(a －3b )．(1)求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意，得a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0. 化简得x 23＋y 2＝1，∴Q 点的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(ⅰ)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN . 则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. (ⅱ)当k ＝0时，|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，由m 2<3k 2＋1，解得－1<m <1.综上所述，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， 当k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1)．跟踪演练3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝63，a ＝3，∴c ＝2，b ＝1.∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝ 3. ②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)． 把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2－13k 2＋1. ∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 23k 2＋12－12m 2－13k 2＋1 ＝12k 2＋13k 2＋1－m 23k 2＋12＝3k 2＋19k 2＋13k 2＋12· 当k ≠0时|AB |2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4.当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时Δ＝12(3k 2＋1－m 2)>0，当k ＝0时，|AB |＝3.综上所述，|AB |max ＝2. ∴当|AB |最大时，△AOB 面积取得最大值S ＝12×|AB |max ×32＝32.1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现．2．圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，高考对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一个是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在选择题和填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查．3．圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容，高考对此进行重点考查，主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解，试题一般以圆锥曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等为主进行交汇命题．4．虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线、圆锥曲线的对称轴等都是直线．高考不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是选择题、填空题，也可以是解答题．5．高考对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．。
第二讲：圆锥曲线(提高版)(教师版)
精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年 级：高二 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：包钦文 课程主题：圆锥曲线期末复习（提高版） 授课时间：2018.12学习目标教学内容知识梳理： 椭圆1、椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.P 为平面上一动点，则12122222c P PF PF a c P F F c P >⇔⎧⎪+==⇔⎨⎪<⇔⎩点轨迹为椭圆点轨迹为线段点轨迹不存在.2、标准方程：若焦点在x 轴上，则标准方程为22221x y a b+=；若焦点在y 轴上，则标准方程为22221y x a b+=.其中0a b >>，且222a b c =+. 3、点与椭圆的位置关系：设点()00P x y ，，椭圆方程为22221x y a b+=，则：122200122212121212P PF PF ax y P PF PF a a b P PF PF a⎧>⇔⇔+>⎪+=⇔⇔+=⎨⎪<⇔⇔+<⎩在椭圆外在椭圆上在椭圆内（其中21F F 、为椭圆焦点）.4、椭圆的简单性质：设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，两焦点分别为21F F 、，P 为椭圆上一点，则122PF PF a +=。
当12PF PF =时，12F PF ∠最大；当P 在长轴端点时，1PF 取最大值为a c +，2PF 取最小值为a c -。
5、椭圆的焦点三角形、通径：6、椭圆的参数方程7、椭圆的切线方程与切点弦方程8、椭圆的第二定义双曲线1、双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点21,F F 叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离12||F F 叫做焦距. 注意点：（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21F F ； （2）当12||||2PF PF a -=时，动点的轨迹是与2F 对应的双曲线的一支， 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支.2、标准方程：12222=-by a x ，焦点在x 轴上，其中)0(222>>+=a c b a c ，焦点)0,(F )0,(21c c F 、-12222=-b x a y ，焦点在y 轴上，其中)0(222>>+=a c b a c ，焦点),0(F ),0(21c c F 、- 3、几何性质：以椭圆方程12222=-by a x ，)0(222>>+=a c b a c 为例（1）对称性：对称轴为0=x ，0=y ；对称中心为)0,0(O （三个对称性）；（2）顶点：)0,()0,(21a A a A -为双曲线的两个顶点；线段21A A 叫双曲线的实轴，21A A 长为a 2，a 叫做半实轴长；y 轴上的两个特殊点),0(1b B ),0(2b B -在双曲线中也有非常重要的作用，把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长； （3）范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧，即：a x ≥； （4）渐近线：双曲线渐近线的方程为x aby ±=； 4、特殊双曲线： （一）等轴双曲线定义：若b a =即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线。
高中数学同步课件 圆锥曲线章末复习提升
因为O→P＝
36O→S＋
33O→T，所以xy＝＝
36x′， 33y′，
即x′＝ y′＝
236yx，，将其代入(*)得x62＋y32＝1，
所以动点 P 的轨迹 C 的方程为x62＋y32＝1.
(2)点M(－1，0)，若直线l：x－y－1＝0交C于A，B两点，求△MAB的面积.
x－y－1＝0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x62＋y32＝1
所以 C 错误. 当 m＝1 时，直线 l 的方程为 x＝y－2，即 x－y＋2＝0，原点到直线 l 的距离
为2＝ 2
2，
所以 S△MON＝12×16× 2＝8 2.当 m＝－1 时，同理求得 S△MON＝8 2，D 正
确.故选 AD.
要点三 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系主要围绕直线与圆锥曲线相离、相切、相交展开， 并衍生出弦长，中点弦等相关问题，直线与圆锥曲线在解析几何、代数、三角 和平面向量中均有论述，是高考数学的主干知识和重点考查内容.
∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，
∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|. 又∵|AA′|＝x1＋p2，
|BB′|＝x2＋p2，|CC′|＝x3＋p2， ∴2x2＋p2＝x1＋2p＋x3＋p2， ∴2x2＝x1＋x3，故选 A.
(2)已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的 顶点A的轨迹方程.
由(1)知抛物线的焦点坐标为F(1，0)，则直线AB的方程为x＝my＋1， 代入抛物线的方程有y2－4my－4＝0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 则 k1＝x1y＋1 2＝myy1＋1 3， k2＝x2y＋2 2＝myy2＋2 3，
陈美珍圆锥曲线复习课教案
陈美珍圆锥曲线复习课教案一、教学目标1. 回顾圆锥曲线的定义、性质和图形，加深对圆锥曲线的基本概念的理解。
2. 巩固圆锥曲线的相关公式和定理，提高解题能力。
3. 通过复习，培养学生对圆锥曲线的空间想象能力和直观感知能力。
二、教学内容1. 圆锥曲线的定义和性质2. 圆锥曲线的标准方程3. 圆锥曲线的相关公式和定理4. 圆锥曲线的图形特点5. 圆锥曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 圆锥曲线的定义和性质2. 圆锥曲线的标准方程及其推导3. 圆锥曲线的相关公式和定理的应用4. 圆锥曲线的图形特点的识别和运用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解圆锥曲线的定义、性质、标准方程和相关公式定理。
2. 利用多媒体展示圆锥曲线的图形，增强学生的空间想象能力。
3. 通过例题解析，引导学生运用圆锥曲线的性质和公式定理解决实际问题。
4. 组织学生进行小组讨论和交流，分享学习心得和解题经验。
五、教学过程1. 导入：简要回顾圆锥曲线的定义和性质，激发学生的学习兴趣。
2. 新课：讲解圆锥曲线的标准方程及其推导，强调相关公式和定理。
3. 案例分析：分析圆锥曲线在实际问题中的应用，引导学生运用所学知识解决实际问题。
4. 课堂练习：布置具有代表性的练习题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调圆锥曲线的图形特点和应用。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问的方式，了解学生对圆锥曲线基本概念的理解程度。
2. 练习题解答：检查学生对圆锥曲线相关公式和定理的应用能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度，了解他们对圆锥曲线图形特点的认识。
七、课后作业1. 复习圆锥曲线的定义、性质、标准方程和相关公式定理。
2. 完成课后练习题，包括简单应用题和综合题。
3. 准备课堂小测验，测试自己对圆锥曲线的掌握情况。
八、教学反思1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法是否适合学生的需求。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程章末复习提升课件 北师大版选修21
显然M移到M′，AM′∥Ox时，
A，M，E共线，此时|ME|＋|MA|最小，
把 y＝－2 代入 y2＝8x，得 x＝12，∴M(12，－2).
解析答案
跟踪训练 4 已知向量 a＝(x， 3y)，b＝(1,0)，且(a＋ 3b)⊥(a－ 3b). (1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程； 解 由题意得， a＋ 3b＝(x＋ 3， 3y)，a－ 3b＝(x－ 3， 3y)， ∵(a＋ 3b)⊥(a－ 3b)，∴(a＋ 3b)·(a－ 3b)＝0， 即(x＋ 3)(x－ 3)＋ 3y· 3y＝0， 化简得x32＋y2＝1，∴点 Q 的轨迹 C 的方程为x32＋y2＝1.
解析答案
2.分类讨论思想 分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对 研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论， 最后综合各类的结果得到整个问题的结果.如曲线方程中含有的参数的 取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有 时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论.
此时椭圆的标准方程为2y72 ＋x92＝1.
故所求椭圆的标准方程为x92＋y32＝1 或2y72 ＋x92＝1.
解析答案
3.函数与方程思想 圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能 较快地找到解题的突破口.用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值 问题，最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外， 而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的 方法解有关圆锥曲线的最值问题. 方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的 条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程 思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常 重要的地位.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经 常利用方程或方程组来解决.
【精品】圆锥曲线复习课共46页文档
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
46
▪26、要使整个人生都来自得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
21-22版：章末复习课(步步高)
章末复习课一、圆锥曲线定义的应用1．圆锥曲线的定义的应用较广泛，求轨迹问题、最值问题、方程的化简等都会涉及到定义的应用．2．借助圆锥曲线的定义，培养直观想象与数学运算素养．例1 设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 曲线C 1：x 26＋y 22＝1与曲线C 2：x 23－y 2＝1的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P 为第一象限的交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝26， |PF 1|－|PF 2|＝23，解得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3， 又|F 1F 2|＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理可求得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(6＋3)2＋(6－3)2－422×(6＋3)×(6－3)＝13.反思感悟 (1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决． (2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题．(3)求轨迹问题、最值问题，曲线方程也常常结合定义求解． 跟踪训练1 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为( ) A.23 B ．1 C.43 D.53(2)抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( ) A ．x 1，x 2，x 3成等差数列 B ．y 1，y 2，y 3成等差数列 C ．x 1，x 3，x 2成等差数列 D ．y 1，y 3，y 2成等差数列 答案 (1)C (2)A解析 (1)|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝4， |AF 2|＋|BF 2|＝4－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4－|AB |， 又|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列， 所以2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|. 于是3|AB |＝4，∴|AB |＝43.(2)如图，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知，|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|. 又∵|AA ′|＝x 1＋p2，|BB ′|＝x 2＋p2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3，故选A.二、圆锥曲线方程与性质的应用1．结合圆锥曲线方程研究圆锥曲线的性质是本章的重点和热点． 2．通过圆锥曲线方程与性质的应用，提升逻辑推理与数学运算素养．例2 (1)如图，椭圆C 1，C 2与双曲线C 3，C 4的离心率分别为e 1，e 2与e 3，e 4，则e 1，e 2，e 3，e 4的大小关系是( )A ．e 2<e 1<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 4<e 3C ．e 1<e 2<e 3<e 4D ．e 1<e 2<e 4<e 3(2)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 (1)A (2)D解析 (1)椭圆离心率为e ，则e 2＝1－b 2a 2， ∴0<e 2<e 1<1.双曲线的离心率为e ′，则e ′2＝1＋b 2a 2. ∴1<e 3<e 4.因此0<e 2<e 1<1<e 3<e 4.(2)|F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.反思感悟 求解离心率有三种方法：(1)定义法．(2)建立参数a 与c 之间的齐次关系式．(3)几何法．跟踪训练2 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B ．2 C. 5 D. 6(2)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，则抛物线E 的标准方程为________________．答案 (1)C (2)x 2＝4y解析 (1)双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，由对称性，取切线方程为bx －ay ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧bx －ay ＝0，y ＝x 2＋1， 得x 2－b a x ＋1＝0，所以Δ＝b 2a2－4＝0， 即b 2a 2＝4＝c 2－a 2a 2＝e 2－1， 因为e >1，所以e ＝ 5.故选C. (2)依题意知，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上， 所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的标准方程为x 2＝4y . 三、直线与圆锥曲线1．直线与圆锥曲线的问题是重点、难点，也是热点，注意二次方程根与系数的关系的应用．2．通过直线与圆锥曲线的位置关系，提升逻辑推理与数学运算素养．例3 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． 解 (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)， 由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1，① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ， 则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，综上，12<m <2，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2.反思感悟 直线与圆锥曲线的综合问题，主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等，求解这类问题时，通常采用代数方法，将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去其中一个未知量，通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系，同时，还经常利用根与系数的关系，采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题．跟踪训练3 已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，|PF 1|＋|PF 2|＝4，离心率为22.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆的两交点为A ，B ，线段AB 的中点C 在直线y ＝12x 上，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于2时，求直线l 的方程． 解 (1)由椭圆定义得2a ＝4，a ＝2， 所以c ＝ae ＝2，故b ＝2， 所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋m 代入方程x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0.(*)所以x C ＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y C ＝kx C ＋m ＝m1＋2k 2， 所以m 1＋2k 2＝12·－2km 1＋2k 2，解得k ＝－1，则(*)式变为3x 2－4mx ＋2m 2－4＝0， 则|AB |＝2|x 1－x 2|＝46－m 23，△OAB 底边AB 上的高h ＝|m |2， 所以△OAB 的面积S ＝2(6－m 2)m 23.令2(6－m 2)m 23＝2，解得m ＝±3，把k ＝－1，m ＝±3代入(*)式，经检验，均满足Δ>0， 此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋y ＋3＝0. 四、圆锥曲线中参数范围和最值问题1．圆锥曲线中参数范围和最值问题是难点、热点，解决的方法有几何法和代数法． 2．利用参数的范围与最值问题培养数学运算素养．例4 (1)已知P 为抛物线y ＝14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是________． 答案5－1(2)若抛物线x 2＝2y 上距离点A (0，a )的最近点恰好是抛物线的顶点，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,1] C ．(－∞，1] D ．(－∞，0] 答案 C解析 设点P (x ，y )为抛物线上的任意一点，则点P 离点A (0，a )的距离的平方为|AP |2＝x 2＋(y －a )2＝x 2＋y 2－2ay ＋a 2，∵x 2＝2y ，∴|AP |2＝2y ＋y 2－2ay ＋a 2＝y 2＋2(1－a )y ＋a 2(y ≥0)， ∴|AP |2关于y 的二次函数图象的对称轴为a －1， ∵离点A (0，a )最近的点恰好是抛物线的顶点， ∴a －1≤0，即a ≤1.反思感悟 圆锥曲线中最值与范围的求法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练4 已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值等于________． 答案9241．已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A.x 236＋y 220＝1(x ≠0) B.x 220＋y 236＝1(x ≠0) C.x 26＋y 220＝1(x ≠0) D.x 220＋y 26＝1(x ≠0)答案 B解析 由△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)， 可得|AB |＋|AC |＝12>|BC |， 所以顶点A 的轨迹为椭圆，其中2a ＝12,2c ＝8，所以a ＝6，c ＝4， 所以b 2＝36－16＝20，方程为x 220＋y 236＝1. 因为A ，B ，C 三点构成三角形，三点不能共线， 所以x ≠0，故轨迹方程为x 220＋y 236＝1(x ≠0)，故选B.2．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 由点到直线的距离公式得|2b |a 2＋b 2＝3， 解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 故选A.3．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝12，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 答案 C解析 ∵F 是抛物线y 2＝4x 的焦点， ∴F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝12， 即x 1＋x 2＝10，∴线段AB 的中点的横坐标为12(x 1＋x 2)＝5，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为5.故选C.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)答案 C解析 ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意得b a >2，∴e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋4＝5，故选C.5．已知双曲线x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为双曲线的右焦点，过F 的直线与双曲线的两渐近线交点分别为M ，N ，若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝________. 答案 3解析 由题意知渐近线的斜率为±33，F (2,0)，∴∠FOM ＝30°，直线MN 的倾斜角为60°或120°. 由双曲线的对称性，设倾斜角为60°， ∴直线MN ：y ＝3(x －2)， 分别与两渐近线方程联立可求得 M (3，3)，N ⎝⎛⎭⎫32，－32.∴|MN |＝3.。
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 可设 P(－c，y0)， 则（－a2c）2＋by022＝1， 所以 y0＝ba2(取正值)． 所以 P 的坐标为－c，ba2，又 A(a，0)，B(0，b)． 且 AB∥OP.
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第二章 圆锥曲线与方程
b2
所以
kAB＝kOP，即－ba＝－
a c
.
所以 b＝c，
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双曲线
第二章 圆锥曲线与方程
[问题展示] (选修 2-1 P80 复习参考题 A 组 T9)经过点 M (2，1)作直线 l 交双曲线 x2－y22＝1 于 A、B 两点，且 M 为 AB 的中点．求直线 l 的方程．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21－y212＝1①； x22－y222＝1②， ①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－12(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 因为 M(2，1)是 AB 的中点， 所以 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
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第二章 圆锥曲线与方程
已知 P(0，－3)，点 M 是圆 x2＋y2＝4 上任一点，在 y 轴上是 否存在一定点 Q(0，m)，使得|MP|2＋|MQ|2＝26 恒成立，若 存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 假设存在，且设 M(x0，y0)． 则 x20＋y20＝4①， x20＋(y0＋3)2＋x20＋(y0－m)2＝26②， 由①②得(6－2m)y0＋(m2－9)＝0③. 由题意知③式恒成立， 则6m－2－2m9＝＝00.. 所以 m＝3. 故存在定点 Q(0，3)，使|MP|2＋|MQ|2＝26 恒成立．
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第二章 圆锥曲线与方程
(1)求证：存在实数 λ，使A→B＝λO→P，并求 λ 的值； (2)若△OAB 的面积为52 2，求椭圆方程； (3)在(2)的条件下，若与 AB 垂直的直线 l 与椭圆 C 相交于 M， N，求|MN|的最大值．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 (1)因为椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率
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第二章 圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
(3)因为 kAB＝ba＝ 22， 所以 kl＝－ 2. 设 l 的方程为 y＝－ 2x＋t，代入椭圆方程1x02＋y52＝1 得，5x2 －4 2tx＋2t2－10＝0. 由题意知 Δ＝(－4 2t)2－4×5(2t2－10)＝－8t2＋200＞0，即 －5＜t＜5.
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第二章 圆锥曲线与方程
章末复习提升课
第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
曲线与方程
[问题展示] (选修 2-1 P37 习题 2.1A 组 T3)两个定点的距离 为 6，点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26，求点 M 的 轨迹方程．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 设两个定点为 A，B，|AB|＝6，以 AB 所在的直线 为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系， 则 A、B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)． 设 M 的坐标为(x，y)． 因为|MA|2＋|MB|2＝26. 所以(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝26， 即 x2＋y2＝4.
第二章 圆锥曲线与方程
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 所以 x1＋x2＝4 52t，x1x2＝2t2－5 10. 所以|MN|＝ [（x1＋x2）2－4x1x2]（1＋k2l ） ＝ 4 52t2－4·2t2－5 10[1＋（－ 2）2] ＝ 2245（－t2＋25）. 所以当 t＝0 时，|MN|max＝2 6.
ac＝ 22.
所以 a＝ 2c，b＝ a2－c2＝c.
所以椭圆方程为2xc22＋yc22＝1，设 P(c，y0)(y0＞0)．
所以2cc22＋yc022＝1，y0＝
22c，即
P
点的坐标为c，
22c，
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第二章 圆锥曲线与方程
又 A(－a，0)，B(0，b)，
所以A→B＝(a，b)＝(
2c，c)＝
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第二章 圆锥曲线与方程
两边平方化简得 5 （x－3）2＋y2＝25－3x. 两边再平方，化简得 16x2＋25y2＝400， 即2x52＋1y62 ＝1.
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椭圆
第二章 圆锥曲线与方程
[问题展示] (选修 2-1 P81 复习参考题 B 组 T2) 如图，从椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1.又点 A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，点 B 是椭圆 与 y 轴正半轴的交点，且 AB∥OP，|F1A| ＝ 10＋ 5.求椭圆的方程．
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第二章 圆锥曲线与方程
已知两个定点的距离为 6，动点 M 到这两个定点的距离之和 为 10，求 M 的轨迹方程．
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ห้องสมุดไป่ตู้
第二章 圆锥曲线与方程
【解】 设两个定点为 A，B，|AB|＝6，以 AB 所在的直线 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标 系， 则 A(－3，0)，B(3，0)， 设 M(x，y)． 因为|MA|＋|MB|＝10， 所以 （x＋3）2＋y2＋ （x－3）2＋y2＝10， 即 （x＋3）2＋y2＝10－ （x－3）2＋y2.
2c，
22c＝
2
→ OP.
所以存在实数 λ＝
2，使A→B＝
→ 2 OP.
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第二章 圆锥曲线与方程
(2)由第一问知|OA|＝a＝ 2c，|OB|＝b＝c. 所以 S△OAB＝12ab＝ 22c2＝522. 所以 c＝ 5，b＝ 5，a＝ 10. 所以椭圆方程为1x02 ＋y52＝1.
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所以 a＝ b2＋c2＝ 2c.
又|F1A|＝a＋c＝( 2＋1)c＝ 10＋ 5. 所以 c＝ 5，b＝ 5，a＝ 10. 所以椭圆方程为1x02 ＋y52＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
如图，椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的离 心率 e＝ 22，A，B 分别是椭圆的左，上 顶点．P 是椭圆上第一象限内的点，F 为 右焦点，且 PF⊥x 轴．