圆锥曲线章末复习提升课
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栏目 导引
第二章 圆锥曲线与方程
已知两个定点的距离为 6，动点 M 到这两个定点的距离之和 为 10，求 M 的轨迹方程．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 设两个定点为 A，B，|AB|＝6，以 AB 所在的直线 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标 系， 则 A(－3，0)，B(3，0)， 设 M(x，y)． 因为|MA|＋|MB|＝10， 所以 （x＋3）2＋y2＋ （x－3）2＋y2＝10， 即 （x＋3）2＋y2＝10－ （x－3）2＋y2.
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第二章 圆锥曲线与方程
两边平方化简得 5 （x－3）2＋y2＝25－3x. 两边再平方，化简得 16x2＋25y2＝400， 即2x52＋1y62 ＝1.
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椭圆
第二章 圆锥曲线与方程
[问题展示] (选修 2-1 P81 复习参考题 B 组 T2) 如图，从椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1.又点 A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，点 B 是椭圆 与 y 轴正半轴的交点，且 AB∥OP，|F1A| ＝ 10＋ 5.求椭圆的方程．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 可设 P(－c，y0)， 则（－a2c）2＋by022＝1， 所以 y0＝ba2(取正值)． 所以 P 的坐标为－c，ba2，又 A(a，0)，B(0，b)． 且 AB∥OP.
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第二章 圆锥曲线与方程
b2
所以
kAB＝kOP，即－ba＝－
a c
.
所以 b＝c，
第二章 圆锥曲线与方程
(3)因为 kAB＝ba＝ 22， 所以 kl＝－ 2. 设 l 的方程为 y＝－ 2x＋t，代入椭圆方程1x02＋y52＝1 得，5x2 －4 2tx＋2t2－10＝0. 由题意知 Δ＝(－4 2t)2－4×5(2t2－10)＝－8t2＋200＞0，即 －5＜t＜5.
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双曲线
第二章 圆锥曲线与方程
[问题展示] (选修 2-1 P80 复习参考题 A 组 T9)经过点 M (2，1)作直线 l 交双曲线 x2－y22＝1 于 A、B 两点，且 M 为 AB 的中点．求直线 l 的方程．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21－y212＝1①； x22－y222＝1②， ①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－12(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 因为 M(2，1)是 AB 的中点， 所以 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
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第二章 圆锥曲线与方程
已知 P(0，－3)，点 M 是圆 x2＋y2＝4 上任一点，在 y 轴上是 否存在一定点 Q(0，m)，使得|MP|2＋|MQ|2＝26 恒成立，若 存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 假设存在，且设 M(x0，y0)． 则 x20＋y20＝4①， x20＋(y0＋3)2＋x20＋(y0－m)2＝26②， 由①②得(6－2m)y0＋(m2－9)＝0③. 由题意知③式恒成立， 则6m－2－2m9＝＝00.. 所以 m＝3. 故存在定点 Q(0，3)，使|MP|2＋|MQ|2＝26 恒成立．
第二章 圆锥曲线与方程
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 所以 x1＋x2＝4 52t，x1x2＝2t2－5 10. 所以|MN|＝ [（x1＋x2）2－4x1x2]（1＋k2l ） ＝ 4 52t2－4·2t2－5 10[1＋（－ 2）2] ＝ 2245（－t2＋25）. 所以当 t＝0 时，|MN|max＝2 6.
第二章 圆锥曲线与方程
章末复习提升课
第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
曲线与方程
[问题展示] (选修 2-1 P37 习题 2.1A 组 T3)两个定点的距离 为 6，点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26，求点 M 的 轨迹方程．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 设两个定点为 A，B，|AB|＝6，以 AB 所在的直线 为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系， 则 A、B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)． 设 M 的坐标为(x，y)． 因为|MA|2＋|MB|2＝26. 所以(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝26， 即 x2＋y2＝4.
2c，
22c＝
2
→ OP.
所以存在实数 λ＝
2，使A→B＝
→ 2 OP.
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第二章 圆锥曲线与方程
(2)由第一问知|OA|＝a＝ 2c，|OB|＝b＝c. 所以 S△OAB＝12ab＝ 22c2＝522. 所以 c＝ 5，b＝ 5，a＝ 10. 所以椭圆方程为1x02 ＋y52＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
ac＝ 22.
所以 a＝ 2c，b＝ a2－c2＝c.
所以椭圆方程为2xc22＋yc22＝1，设 P(c，y0)(y0＞0)．
所以2cc22＋yc022＝1，y0＝
22c，即
P
点的坐标为c，
22c，
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第二章 圆锥曲线与方程
又 A(－a，0)，B(0，b)，
所以A→B＝(a，b)＝(
2c，c)＝
所以 a＝ b2＋c2＝ 2c.
又|F1A|＝a＋c＝( 2＋1)c＝ 10＋ 5. 所以 c＝ 5，b＝ 5，a＝ 10. 所以椭圆方程为1x02 ＋y52＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
如图，椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的离 心率 e＝ 22，A，B 分别是椭圆的左，上 顶点．P 是椭圆上第一象限内的点，F 为 右焦点，且 PF⊥x 轴．
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第二章 圆锥曲线与方程
(1)求证：存在实数 λ，使A→B＝λO→P，并求 λ 的值； (2)若△OAB 的面积为52 2，求椭圆方程； (3)在(2)的条件下，若与 AB 垂直的直线 l 与椭圆 C 相交于 M， N，求|MN|的最大值．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 (1)因为椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率
第二章 圆锥曲线与方程
已知两个定点的距离为 6，动点 M 到这两个定点的距离之和 为 10，求 M 的轨迹方程．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 设两个定点为 A，B，|AB|＝6，以 AB 所在的直线 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标 系， 则 A(－3，0)，B(3，0)， 设 M(x，y)． 因为|MA|＋|MB|＝10， 所以 （x＋3）2＋y2＋ （x－3）2＋y2＝10， 即 （x＋3）2＋y2＝10－ （x－3）2＋y2.
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第二章 圆锥曲线与方程
两边平方化简得 5 （x－3）2＋y2＝25－3x. 两边再平方，化简得 16x2＋25y2＝400， 即2x52＋1y62 ＝1.
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椭圆
第二章 圆锥曲线与方程
[问题展示] (选修 2-1 P81 复习参考题 B 组 T2) 如图，从椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1.又点 A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，点 B 是椭圆 与 y 轴正半轴的交点，且 AB∥OP，|F1A| ＝ 10＋ 5.求椭圆的方程．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 可设 P(－c，y0)， 则（－a2c）2＋by022＝1， 所以 y0＝ba2(取正值)． 所以 P 的坐标为－c，ba2，又 A(a，0)，B(0，b)． 且 AB∥OP.
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第二章 圆锥曲线与方程
b2
所以
kAB＝kOP，即－ba＝－
a c
.
所以 b＝c，
第二章 圆锥曲线与方程
(3)因为 kAB＝ba＝ 22， 所以 kl＝－ 2. 设 l 的方程为 y＝－ 2x＋t，代入椭圆方程1x02＋y52＝1 得，5x2 －4 2tx＋2t2－10＝0. 由题意知 Δ＝(－4 2t)2－4×5(2t2－10)＝－8t2＋200＞0，即 －5＜t＜5.
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双曲线
第二章 圆锥曲线与方程
[问题展示] (选修 2-1 P80 复习参考题 A 组 T9)经过点 M (2，1)作直线 l 交双曲线 x2－y22＝1 于 A、B 两点，且 M 为 AB 的中点．求直线 l 的方程．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21－y212＝1①； x22－y222＝1②， ①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－12(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 因为 M(2，1)是 AB 的中点， 所以 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
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第二章 圆锥曲线与方程
已知 P(0，－3)，点 M 是圆 x2＋y2＝4 上任一点，在 y 轴上是 否存在一定点 Q(0，m)，使得|MP|2＋|MQ|2＝26 恒成立，若 存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 假设存在，且设 M(x0，y0)． 则 x20＋y20＝4①， x20＋(y0＋3)2＋x20＋(y0－m)2＝26②， 由①②得(6－2m)y0＋(m2－9)＝0③. 由题意知③式恒成立， 则6m－2－2m9＝＝00.. 所以 m＝3. 故存在定点 Q(0，3)，使|MP|2＋|MQ|2＝26 恒成立．
第二章 圆锥曲线与方程
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 所以 x1＋x2＝4 52t，x1x2＝2t2－5 10. 所以|MN|＝ [（x1＋x2）2－4x1x2]（1＋k2l ） ＝ 4 52t2－4·2t2－5 10[1＋（－ 2）2] ＝ 2245（－t2＋25）. 所以当 t＝0 时，|MN|max＝2 6.
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第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
曲线与方程
[问题展示] (选修 2-1 P37 习题 2.1A 组 T3)两个定点的距离 为 6，点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26，求点 M 的 轨迹方程．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 设两个定点为 A，B，|AB|＝6，以 AB 所在的直线 为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系， 则 A、B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)． 设 M 的坐标为(x，y)． 因为|MA|2＋|MB|2＝26. 所以(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝26， 即 x2＋y2＝4.
2c，
22c＝
2
→ OP.
所以存在实数 λ＝
2，使A→B＝
→ 2 OP.
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第二章 圆锥曲线与方程
(2)由第一问知|OA|＝a＝ 2c，|OB|＝b＝c. 所以 S△OAB＝12ab＝ 22c2＝522. 所以 c＝ 5，b＝ 5，a＝ 10. 所以椭圆方程为1x02 ＋y52＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
ac＝ 22.
所以 a＝ 2c，b＝ a2－c2＝c.
所以椭圆方程为2xc22＋yc22＝1，设 P(c，y0)(y0＞0)．
所以2cc22＋yc022＝1，y0＝
22c，即
P
点的坐标为c，
22c，
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第二章 圆锥曲线与方程
又 A(－a，0)，B(0，b)，
所以A→B＝(a，b)＝(
2c，c)＝
所以 a＝ b2＋c2＝ 2c.
又|F1A|＝a＋c＝( 2＋1)c＝ 10＋ 5. 所以 c＝ 5，b＝ 5，a＝ 10. 所以椭圆方程为1x02 ＋y52＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
如图，椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的离 心率 e＝ 22，A，B 分别是椭圆的左，上 顶点．P 是椭圆上第一象限内的点，F 为 右焦点，且 PF⊥x 轴．
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第二章 圆锥曲线与方程
(1)求证：存在实数 λ，使A→B＝λO→P，并求 λ 的值； (2)若△OAB 的面积为52 2，求椭圆方程； (3)在(2)的条件下，若与 AB 垂直的直线 l 与椭圆 C 相交于 M， N，求|MN|的最大值．
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第二章 圆锥曲线与方程
【解】 (1)因为椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率