2020高考数学微专题数列的通项与求和(68张)
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通项与求和
(2) 1 解析：解法一：因为 an＝an－1－an－2，所以 an＋1＝an－an－1＝－an－2，即 an＝ an＋6.因为 S9＝6，S10＝5，所以 a10＝－1，即 a4＝－1，从而 a1＝－a4＝1. 解法二：设 a1＝a，a2＝b，则 a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，… 故 S9＝2b＝6，S10＝2b－a＝5，解得 a＝1＝a1. 点评：根据数列所给递推关系式求数列通项公式主要涉及的方法有：累加法、累 积法、待定系数法、转化为等差、等比数列和周期性．
故归纳猜想得 an＝1n.
第7页
考情分析 典型例题 课后作业
微专题十七 数列的通项与求和
2. 设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n∈N*)，则通项公 式 an＝________.
1 n
解析：解法一：因为(n＋1)a2n＋1＋an＋1an－na2n＝0，所以 (an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－
解法二：因为(n＋1)a2n＋1＋an＋1an－na2n＝0，所以 (an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0. 又因为 an＋1＋an>0，所以(n＋1)an＋1－nan＝0，即(n＋1)an＋1＝nan，所以数列{nan} 是常数列，即 nan＝a1＝1，所以 an＝1n(n∈N*)．
目标 1 根据递推关系式求 an 例 1 (1) 已知数列{an}满足 a1＝2，且对任意 n∈N*，恒有 nan＋1＝2(n＋1)an.求数 列{an}的通项公式； (2) 已知数列{an}满足 an＝an－1－an－2(n≥3，n∈N*)，它的前 n 项和为 Sn.若 S9＝6， S10＝5，则 a1 的值为________．
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题十七 数列的通项与求和
解法二：因为 an＝22n－n＋1＋11an－1(n≥2，n∈N*)，所以2na＋n 1＝2na－n1－＋1 1(n≥2，n∈N*)， 即数列2na＋n 1是常数列，所以2na＋n 1＝a31＝13，即 an＝2n＋3 1(n∈N*)．
nan]＝0.
又因为 an＋1＋an>0，所以(n＋1)an＋1－nan＝0，
即aan＋n 1＝n＋n 1，所以aa21·aa32·aa43·aa54·…·aan－n 1＝12×23×34×45×…×n－n 1，即 an＝1n(n∈N*)．
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题十七 数列的通项与求和
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题十七 数列的通项与求和
(1) an＝n·2n 解析：解法一：由 nan＋1＝2(n＋1)an，得aan＋n1＝2nn＋1，当 n≥2 时， aan－n 1＝n－2n 1， 所以当 n≥2 时，an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1＝n2－n1·2nn－－21·…·21·2·2＝n·2n， 当 n＝1 时上式也成立，所以数列{an}的通项公式为 an＝n·2n. 解法二：由 nan＋1＝2(n＋1)an，得na＋n＋11＝2ann，即ann是一个首项为 2，公比 2 的等
22n－n＋1＋11(n≥2，n∈N*)，
所以 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1＝22n－n＋1＋11·22nn－－21＋＋11·…·2221＋＋11·1＝2n＋3 1(n≥2，n∈N*)． 令 n＝1，a1＝1 符合，即 an＝2n＋3 1(n∈N*)．
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题十七 数列的通项与求和
目标 2 由 Sn 与 an 的关系求通项
例 2 已知数列{an}中，a1＝1，Sn 为数列{an}的前 n 项和，且当 n≥2 时，有anS2na－n S2n
＝1 成立，则 S2 019＝________.
微专题十七 数列的通项与求和
核心模块六 数列 微专题十七 数列的通项与求和
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题十七 数列的通项与求和
考课 情时 分作 析业
在近三年的高考题中，数列的通项与求和一直是高考重点，填空题中主要涉及等
差、等比的通项与求和，解答题主要是考察和项共存或者复杂关系式下的通项与
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题十七 数列的通项与求和
3. 已知数列{an}的首项为 1，an＝22n－n＋1＋11an－1(n≥2，n∈N*)，则它的通项公式 an
＝________. 2n＋3 1(n∈N*)
解析：解法一：因为 an＝22n－n＋1＋11an－1(n≥2，n∈N*)，所以aan－n 1＝
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题十七 数列的通项与求和
【思维变式题组训练】
1. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋anan(n∈N*)，试归纳出数列的通项 an＝________.
1
1
1 n
解析：因为 a1＝1，an＋1＝1＋anan，所以 a2＝12，a3＝1＋2 12＝13，a4＝1＋3 13＝14，…
比数列，即ann＝2n，即 an＝n·2n.
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题十七 数列的通项与求和
点评：本题中“nan＋1＝2(n＋1)an”可以转化为aan＋n 1＝2nn＋1利用累积法求解，也 可以转化为na＋n＋11＝2ann构造等比数列求解．一般地，对于根据所给递推关系求通项， 可以利用：① 叠加法；② 累积法；③ 转化法，其中转化法是指将其构造为等差 和等比数列来求解．
和的求解以及性质的论证问题．
年份 2017 2018 2019
填空题 T9等比数列的基本量 T14等差、等比数列的综合问题
T8等差数列
解答题 T19考察等差数列的综合问题 T19考察等差、等比数列的综合问题 T20等差、等比的综合问题
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题十七 数列的通项与求和
典课 型时 例作 题业
(2) 1 解析：解法一：因为 an＝an－1－an－2，所以 an＋1＝an－an－1＝－an－2，即 an＝ an＋6.因为 S9＝6，S10＝5，所以 a10＝－1，即 a4＝－1，从而 a1＝－a4＝1. 解法二：设 a1＝a，a2＝b，则 a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，… 故 S9＝2b＝6，S10＝2b－a＝5，解得 a＝1＝a1. 点评：根据数列所给递推关系式求数列通项公式主要涉及的方法有：累加法、累 积法、待定系数法、转化为等差、等比数列和周期性．
故归纳猜想得 an＝1n.
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微专题十七 数列的通项与求和
2. 设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n∈N*)，则通项公 式 an＝________.
1 n
解析：解法一：因为(n＋1)a2n＋1＋an＋1an－na2n＝0，所以 (an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－
解法二：因为(n＋1)a2n＋1＋an＋1an－na2n＝0，所以 (an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0. 又因为 an＋1＋an>0，所以(n＋1)an＋1－nan＝0，即(n＋1)an＋1＝nan，所以数列{nan} 是常数列，即 nan＝a1＝1，所以 an＝1n(n∈N*)．
目标 1 根据递推关系式求 an 例 1 (1) 已知数列{an}满足 a1＝2，且对任意 n∈N*，恒有 nan＋1＝2(n＋1)an.求数 列{an}的通项公式； (2) 已知数列{an}满足 an＝an－1－an－2(n≥3，n∈N*)，它的前 n 项和为 Sn.若 S9＝6， S10＝5，则 a1 的值为________．
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微专题十七 数列的通项与求和
解法二：因为 an＝22n－n＋1＋11an－1(n≥2，n∈N*)，所以2na＋n 1＝2na－n1－＋1 1(n≥2，n∈N*)， 即数列2na＋n 1是常数列，所以2na＋n 1＝a31＝13，即 an＝2n＋3 1(n∈N*)．
nan]＝0.
又因为 an＋1＋an>0，所以(n＋1)an＋1－nan＝0，
即aan＋n 1＝n＋n 1，所以aa21·aa32·aa43·aa54·…·aan－n 1＝12×23×34×45×…×n－n 1，即 an＝1n(n∈N*)．
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微专题十七 数列的通项与求和
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微专题十七 数列的通项与求和
(1) an＝n·2n 解析：解法一：由 nan＋1＝2(n＋1)an，得aan＋n1＝2nn＋1，当 n≥2 时， aan－n 1＝n－2n 1， 所以当 n≥2 时，an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1＝n2－n1·2nn－－21·…·21·2·2＝n·2n， 当 n＝1 时上式也成立，所以数列{an}的通项公式为 an＝n·2n. 解法二：由 nan＋1＝2(n＋1)an，得na＋n＋11＝2ann，即ann是一个首项为 2，公比 2 的等
22n－n＋1＋11(n≥2，n∈N*)，
所以 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1＝22n－n＋1＋11·22nn－－21＋＋11·…·2221＋＋11·1＝2n＋3 1(n≥2，n∈N*)． 令 n＝1，a1＝1 符合，即 an＝2n＋3 1(n∈N*)．
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微专题十七 数列的通项与求和
目标 2 由 Sn 与 an 的关系求通项
例 2 已知数列{an}中，a1＝1，Sn 为数列{an}的前 n 项和，且当 n≥2 时，有anS2na－n S2n
＝1 成立，则 S2 019＝________.
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核心模块六 数列 微专题十七 数列的通项与求和
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微专题十七 数列的通项与求和
考课 情时 分作 析业
在近三年的高考题中，数列的通项与求和一直是高考重点，填空题中主要涉及等
差、等比的通项与求和，解答题主要是考察和项共存或者复杂关系式下的通项与
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微专题十七 数列的通项与求和
3. 已知数列{an}的首项为 1，an＝22n－n＋1＋11an－1(n≥2，n∈N*)，则它的通项公式 an
＝________. 2n＋3 1(n∈N*)
解析：解法一：因为 an＝22n－n＋1＋11an－1(n≥2，n∈N*)，所以aan－n 1＝
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微专题十七 数列的通项与求和
【思维变式题组训练】
1. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋anan(n∈N*)，试归纳出数列的通项 an＝________.
1
1
1 n
解析：因为 a1＝1，an＋1＝1＋anan，所以 a2＝12，a3＝1＋2 12＝13，a4＝1＋3 13＝14，…
比数列，即ann＝2n，即 an＝n·2n.
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考情分析 典型例题 课后作业
微专题十七 数列的通项与求和
点评：本题中“nan＋1＝2(n＋1)an”可以转化为aan＋n 1＝2nn＋1利用累积法求解，也 可以转化为na＋n＋11＝2ann构造等比数列求解．一般地，对于根据所给递推关系求通项， 可以利用：① 叠加法；② 累积法；③ 转化法，其中转化法是指将其构造为等差 和等比数列来求解．
和的求解以及性质的论证问题．
年份 2017 2018 2019
填空题 T9等比数列的基本量 T14等差、等比数列的综合问题
T8等差数列
解答题 T19考察等差数列的综合问题 T19考察等差、等比数列的综合问题 T20等差、等比的综合问题
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微专题十七 数列的通项与求和
典课 型时 例作 题业