高等数学同济第五版

定了一个函数，记作 (x) ，即
x
(x) a f (x)dx
或
x
(x) f (t)dt
a
定理1 如果 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，则定
积分上限函数 (x) 并且它的导数是
x
a
f
(t)dt
在 [a,b] 上可导，
'(x) d
x
f (t)dt f (x)
dx a
(a x b)
高等数学
同济第五版
主讲：ห้องสมุดไป่ตู้阳师范学院数学系 何一农
微积分基本公式
一 、复习 二 、引例 三 、变上限函数 四 、牛顿—莱布尼兹公式 五 、举例 六 、注意 七 、思考题
一 复习
10
x2dx
lim
n
n
(
i
)2
i1 n
1 n
lim 1 i 2 n n3
lim
n
1 n3
1 6
n(n
1)(2n
1)
b
a f (x)dx F (b) F (a).
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三、变上限的函数及其导数
设 f (x)在[a,b]上连续，x [a,b] ，由于x 在 [a, x]
上仍然连续，故定积分
x
a
f
( x)dx 存在，于
是，如果上限 x 在区间 [a,b] 上任意变
动，则对于每一个取定的 x 值，定积
分有一个对应值，所以在区间[a, b]上确
来表示；
T1
另一方面这段路程可以通过位置函数 s(t) 在 [T1,T2 ] 上的增量 s(T2 ) s(T1) 来表示。由此可见，位置函数
s(t) 与速度函数 v(t) 之间有如下关系
T2
T1
v(t)dt
s(T2
)
s(T1 )
(1)
如果 f (x) 在[a,b] 上连续，并且 F(x) 是f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则
(4)
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五、例题
例1：计算定积分 1 x 2 dx. 0
例2： 求直线 y 2x 3 与抛物线 y x2 所围 成图形的面积（如图
所示）．
例3： 汽车以每小时 36km 速度行驶，到 某处需要减速停车． 假定汽车以等加速度 a 5m s2 刹车。问从开始刹车到停车，汽 车行走了多少距离？
lim 1 (1 1 )(2 1 )
n 6
n
n
1
3
返回
二、变速直线运动中位置函数与速度函数
之间的联系
若一物体作变速直线运动，设时刻 t 时，物体所
在位置为s(t) ，其速度为连续函数 v(t), 则由定积
分可的以定用义 速可v(得t) 在物区体间在时[T1间,T2间]上隔的[T定1,T积2 ]分内，T2经v(过t)d路t 程
(3)
定理2：如果函数 f (x) 在区间 [a,b] 上 连续，则
x
(x) a f (t)dt
就是 f (x)在 [a,b]上的一个原函数。
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四、牛顿——莱布尼兹公式
定理3 如果 f (x) 在[a,b] 上连续，并且 F(x) 是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则
b
a f (x)dx F (b) F (a).
公式 ,例如
1
ex2 dx 0
2 sin x
1
dx x
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思考题
如果 f (x) 连续, (x) 可导,问
( x)
a f (t)dt
是否可导?导数为多少?
返回
y
y f (x)
(x) f ()
0a
x x x b
x
返回
注意 1
在运用牛顿—莱布尼兹公式求定积分时，
必须指明被积函数是否连续，如果被积
函数在积分区间上不连续，则不能用牛
顿—莱布尼兹公式进行计算． 例如
显然是1错1 x12误dx的 ，1x原11因 在2.于 1
上不连续．
x2
在[-1，1]
注意 2
如果函数 f (x) 的原函数不是初等函数,
则求它的定积分时不能使用牛顿—莱布尼兹