第1章概率习题课 概率论与数理统计29页PPT
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概率论与数理统计课件ppt
简化数据结构，解释变量间的关系。
操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征 向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一 组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构， 用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果 。
随机变量可以取到任何实数值，且取 每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果， 且取每个结果的概率为一个确定的数 。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散 布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对 估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行 假设，然后根据检验结果判断假设是 否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概 率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种 基于蒙特卡洛模拟的统计推断方 法，通过构造一个马尔科夫链来 到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多 领域都有应用，如物理学、化学 、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间
操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征 向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一 组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构， 用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果 。
随机变量可以取到任何实数值，且取 每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果， 且取每个结果的概率为一个确定的数 。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散 布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对 估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行 假设，然后根据检验结果判断假设是 否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概 率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种 基于蒙特卡洛模拟的统计推断方 法，通过构造一个马尔科夫链来 到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多 领域都有应用，如物理学、化学 、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间
概率论与数理统计-绪论、第一章ppt课件
A B C
A B C A B C A B C AB C A BC A B C
B C A C A B
ABC
概率论与数理 A 6 “三人均未命中目标” : 统计课件
ABC
小
• 本节主要讲授： 1.随机现象； 2.随机试验和样本空间； 3.随机事件的概念；
结
成功在于专注并不懈努力
第一章 随机事件与概率
成功在于专注并不懈努力
• §1.1
随机事件
• §1.2
• §1.3 • §1.4
概率论与数理 统计课件
概率
条件概率 事件的独立性
§1.1 随机事件
成功在于专注并不懈努力
1.1.1 随机现象
现象按照必然性分为两类： 一类是确定性现象； 一类是随机现象。 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那 样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。
课程目标
成功在于专注并不懈努力
通过自学考试——以教材为基础，以考试大纲为中 心，达到考试要求，通过自学考试。 实际简单应用——在现实生活中简单应用概率论与 数理统计知识，学以致用，甚至研究学术问题。
概率论与数理 统计课件
目
录
成功在于专注并不懈努力
第一章 随机事件与概率(重点)
第二章 随机变量及其概率分布(重点)
解
(1) ABC
(4) A B C
——
(2) ABC
(3) ABC
概率论与数理 统计课件
( 5 ) A B CA B CA B C
成功在于专注并不懈努力
例1-5 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”,
i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.
概率论与数理统计课件(最新完整版)
“骰子出现2点”
图示 A与B互斥
A B
说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形式 A+B. 任意事件A与不可能事件为互斥.
5. 事件的差 事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与
B 的差. 记作 A- B(或 AB
)
实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合格”
与“直径合格”的差.
实例4 “从一批含有正
其结果可能为:
品和次品的产品中任意抽
取一个产品”.
正品 、次品.
实例5 “过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可 短. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联
系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 , 则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B. 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B
若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B. 2. 事件的和(并) “ 二 事 件A, B至 少 发 生 一 个 ” 也 是 个 一事件 , 称 为 事 件A 与 事 件 B的和事件.记 作A B， 显 然 A B {e | e A或e B}. 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并.
(2) ABC or AB C;
( 3) ABC ;
概率论与数理统计课件_第一章
概率论与数理统计课件_第⼀章§4 等可能概型（古典概型）定义：若试验E满⾜：S中样本点有限(有限性)出现每⼀样本点的概率相等(等可能性)排列与组合加法原理：⼀件事分为m个⽅式，第i种办法有种⽅式，则完成该事件的⽅法总数为乘法原理：⼀件事分为m个步骤，第i种办法有种步骤，则完成该事件的⽅法总数为排列公式：全排列：组合公式：例1：⼀袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每⼀球的可能性相等，从袋中不放回摸两球，记A={恰是⼀红⼀黄}，求P(A)．解：例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)．解：例3：将n个不同的球，投⼊N个不同的盒中(n≤N)，设每⼀球落⼊各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限，记A＝{ 恰有n个盒⼦各有⼀球 }，求P(A)．解：例4: (抽签问题)⼀袋中有a个红球，b个⽩球，记a＋b＝n．设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸⼀球，不放回地摸n 次。
设 { 第k次摸到红球 }，k＝1,2,?-,n．求解1：解2：解3：将第k次摸到的球号作为⼀样本点：解4：§5 条件概率例：有⼀批产品，其合格率为90%，合格品中有95%为优质品，从中任取⼀件，?记A={取到⼀件合格品}， B={取到⼀件优质品}。
则 P(A)=90% ⽽P(B)=85.5%记：P(B|A)=95%P(A)=0.90 是将整批产品记作1时A的测度P(B|A)=0.95 是将合格品记作1时B的测度由P(B|A)的意义，其实可将P(A)记为P(A|S)，⽽这⾥的S常常省略⽽已，P(A)也可视为条件概率分析：⼀、条件概率定义：由上⾯讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质。
例如：例：某⼚⽣产的产品能直接出⼚的概率为70%，余下的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%的产品可以出⼚，20%的产品要报废。
求该⼚产品的报废率。
解：例：某⾏业进⾏专业劳动技能考核，⼀个⽉安排⼀次，每⼈最多参加3次；某⼈第⼀次参加能通过的概率为60%；如果第⼀次未通过就去参加第⼆次，这时能通过的概率为80%；如果第⼆次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为90%。
概率论与数理统计PPT1章
OPTION
一、随机试验
例1 随机试验的例子
6 第2章 随机变量及其分布
1. 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也 有可能反面朝上；
2. 抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数； 3. 某快餐店一天内接到的订单量； 4. 航班起飞延误的时间； 5. 一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
7 第2章 随机变量及其分布
3 第2章 随机变量及其分布
1.1 随机事件及其运算
一、随机试验 二、样本空间 三、随机事件 四、随机事件间的关系和运算
一、随机试验
4 第2章 随机变量及其分布
随机现象——在个别试验中呈现不确定的结 果, 而在大量重复试验中结果呈现某种规律性的现 象.这种规律性称为统计规律性.
概率论是一门研究随机现象及其统计规律的学 科.
2、随机事件之间的运算 （1）事件的并
事件的并
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 16
2、随机事件之间的运算 （2）事件的交（积）
事件的交
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 17
2、随机事件之间的运算 （3）事件的差
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 18
2、随机事件之间的运算 （4）对立事件
2、随机事件之间的运算
第2章 随机变量及其分布 19
从随机事件间的关系和运算可以看出，
01
OPTION
02
OPTION
03
OPTION
3、事件的运算性质
①交换律 ②结合律 ③分配律 ④对偶律
第2章 随机变量及其分布 20
3、事件的运算性质
例3
1 2 3 4
第2章 随机变量及其分布 21
一、随机试验
例1 随机试验的例子
6 第2章 随机变量及其分布
1. 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也 有可能反面朝上；
2. 抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数； 3. 某快餐店一天内接到的订单量； 4. 航班起飞延误的时间； 5. 一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
7 第2章 随机变量及其分布
3 第2章 随机变量及其分布
1.1 随机事件及其运算
一、随机试验 二、样本空间 三、随机事件 四、随机事件间的关系和运算
一、随机试验
4 第2章 随机变量及其分布
随机现象——在个别试验中呈现不确定的结 果, 而在大量重复试验中结果呈现某种规律性的现 象.这种规律性称为统计规律性.
概率论是一门研究随机现象及其统计规律的学 科.
2、随机事件之间的运算 （1）事件的并
事件的并
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 16
2、随机事件之间的运算 （2）事件的交（积）
事件的交
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 17
2、随机事件之间的运算 （3）事件的差
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 18
2、随机事件之间的运算 （4）对立事件
2、随机事件之间的运算
第2章 随机变量及其分布 19
从随机事件间的关系和运算可以看出，
01
OPTION
02
OPTION
03
OPTION
3、事件的运算性质
①交换律 ②结合律 ③分配律 ④对偶律
第2章 随机变量及其分布 20
3、事件的运算性质
例3
1 2 3 4
第2章 随机变量及其分布 21
概率论与数理统计书ppt课件
a+b-1 个 球
另解： P(A) Ca1 (a b 1)! a
中 取 出
(a b)! a b
的
有放回是有序行为，无放回是无序行为 39
1-4
1.4 条件概率
1.4.1条件概率
在实际问题中，除了要知道事件A的概率 P( A) 外，有时还要考虑在“已知事件B发生”的条 件 下，事件A发生的概率。一般情况下，两者的 概率是不相等的，为了区P(别A B所) 见，我们把后者 称为条件概率。
12
事件的并（或称和） 定义：若事件A发生或事件B发生，则称这样
的事件为并事件，记为：A B。
结论：(A B) A ；(A B) B 。
B A
注：包括事件A与B 同时发生
13
例3
A=｛1，2，7，8，a,b,c｝, B=｛1,5,8，b,e｝
则 AUB=｛1，2，5，7，8，a,b,c,e｝
运动员平均分成两组，问4名种子选手：（1）
各有两人分在一组的概率；（2）分在同一组
的概率。
36
解（1）：n
C162
，m
C42C84
；
P( A)
15 33
（2）：m C82 ；
P( A) 1 33
例10、一盒中含有N－1个黑球，一个白球，每
次从盒中随机地取一只球，并还入一只黑球，
10
1.2.3事件之间的关系及其运算
定义：若事件A发生必导致事件B发生，则称
事件B包含事件A。记为：B A或A B。
比如例2中，A：表示小于3点事件，B表示小
于5点事件。）
11
事件相等
若事件A B且 B A，则称
另解： P(A) Ca1 (a b 1)! a
中 取 出
(a b)! a b
的
有放回是有序行为，无放回是无序行为 39
1-4
1.4 条件概率
1.4.1条件概率
在实际问题中，除了要知道事件A的概率 P( A) 外，有时还要考虑在“已知事件B发生”的条 件 下，事件A发生的概率。一般情况下，两者的 概率是不相等的，为了区P(别A B所) 见，我们把后者 称为条件概率。
12
事件的并（或称和） 定义：若事件A发生或事件B发生，则称这样
的事件为并事件，记为：A B。
结论：(A B) A ；(A B) B 。
B A
注：包括事件A与B 同时发生
13
例3
A=｛1，2，7，8，a,b,c｝, B=｛1,5,8，b,e｝
则 AUB=｛1，2，5，7，8，a,b,c,e｝
运动员平均分成两组，问4名种子选手：（1）
各有两人分在一组的概率；（2）分在同一组
的概率。
36
解（1）：n
C162
，m
C42C84
；
P( A)
15 33
（2）：m C82 ；
P( A) 1 33
例10、一盒中含有N－1个黑球，一个白球，每
次从盒中随机地取一只球，并还入一只黑球，
10
1.2.3事件之间的关系及其运算
定义：若事件A发生必导致事件B发生，则称
事件B包含事件A。记为：B A或A B。
比如例2中，A：表示小于3点事件，B表示小
于5点事件。）
11
事件相等
若事件A B且 B A，则称
概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-随机事件与概率
AB
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有
公共样本点构成的集合。
n
▲ 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,L An 的积事件 k 1
I
k 1
Ak
为可列个事件
A1
,
A2
,L
L
的积事件
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A B 记作： A B x x A且x B
2
0.4
18 0.36
4
0.8
27 0.54
247 0.494
251 0.502 26波2 动0最.52小4
258 0.516
概率统计
从上述数据可得:
(1) 频率有随机波动性
即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同.
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
解： S1 ｛正面，反面｝
S2 0,1, 2, 3,
概率统计
S3 1, 2, 3, S4 0,1, 2, 3, ,10
S5 1, 2, 3,4,5,6
注
E3 ：射手射击一个目标， 直到射中为止，观 察 其射击的次数
E4：从一批产品中抽取十 件，观察其次品数。
E5：抛一颗骰子，观察其 出现的点数。
义上提供了一个理
H
想试验的模型：
(H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
T
在每次试验中必
有一个样本点出
H
现且仅有一个样
本点出现 .
T
概率统计
例4．若试验 E是测试某灯泡的寿命. 试写出该试验 E 的样本空间. 解：因为该试验的样本点是一非负数，
概率论与数理统计数学PPT课件
i 1
i 1
且 fn (A) 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p．
13
(二) 概率
定义1：fn ( A)的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 0 P( A) 1
2。 P(S) 1
k
k
3。 若A1, A2,…,Ak两两互不相容，则 P( Ai ) P( Ai )
3
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性：
1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
✓ ✓ ✓ ✓
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
①，②，…，n
Ak
)
a n
a
a}，Ak
b
{ ①，②，…，a
}
无关，且与 a， b都无关，若a ＝0呢？对吗？
为什么？
不 是 等 可 能 概
记第k次摸到的球的颜色为一样本点：
型
S＝{红色,白色}，Ak {红色} P( Ak ) 1 2 22
例7：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次 接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是 有规定的?
----------与k无关
21
解2：
视哪几次摸到红球为一样本点
, , ,, 12 k n
总样本点数为
Cna
，每点出现的概率相等，而其中有
C a1 n 1
个
样本点使 Ak
发生，
P( Ak )
概率论与数理统计课件第1章.ppt
AB
记作 A B
BA
例如 抛掷两颗骰子，观察出现的点数
A={出现1点} B={出现奇数点}
A B
相等事件（Equal）
B A且 A B A=B
B A
事件A与事件B含有相同的样本点 例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”
与事件“出现2，4或6点”是相等事件。
和事件 Union
和事件A∪B发生
什么是概率论
确定性现象 Certainty phenomena
在101325Ｐa的大气压下，将纯净水加热到 100℃时必然沸腾
垂直上抛一重物，该重物会垂直下落
随机现象 Random phenomena
掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点 抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上
两种不同的结果 概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科
A =｛出现奇数点｝是由三个基本事件 “出现1 点”、“出现3点” 、 “出现5 点” 组合而成的随 机事件．
样本空间Ω的任一子集A称为随机事件
A
属于事件A的样本点出现，则称事件A发生。
特例—必然事件Certainty Events
必然事件 ——记作Ω
•样本空间Ω也是其自身的一个子集 •Ω也是一个“随机”事件 •每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现 •必然发生
随机试验
掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况 试验的样本点和基本事件
• H：“正面向上” • T ：“反面向上”
样本空间 Ω={H，T}．
随机事件
试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况 Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT} A=“正面出现两次” ={HHT,HTH,THH} B=“反面出现三次” ={TTT} C=“正反次数相等” = Φ D=“正反次数不等” =Ω
概率论与数理统计PPT课件第一章习题课
解： P ( A B ) P( A B)
1 P( AB) 1 r
P( A B) P ( B A) q r P( A B) P( A) P( B) P( AB) 1 p r
P( A B ) 1 P ( A B) 1 p q r
13
P ( AB) P ( AB) P( B) (1 P ( A) P ( B) P ( AB ))P ( B)
P( B) ( P( B))2
P ( AB) P ( AB) P( B)
P( B) P( B) P( A) ( P( B)) P( B) P( AB)
a c ca
11
P ( AB ) P ( A | B) P( B )
P ( A) P ( AB ) 1 P( B)
a b c(1 a ) 1 b
12
11 已知 0<P(A)<1, 0< P(B)<1,
P ( A | B) P ( A | B ) 1
解：设A表示任取一件产品是一等品。B表示任取一 件产品是合格品。 则易知
P ( B ) 0.96
P ( A | B ) 0.75
P ( A) P ( AB ) P ( B ) P ( A | B )
0.96 0.75 0.72
23
21、在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的 概率是0.2，若乙机未被击落，就进行回击，击落 甲机的概率是0.3。若甲机未被击落，则再次进攻 乙机，击落乙机的概率是0.4。求这几个回合中， 甲机被击落的概率及乙机被击落的概率
9
P ( A) P ( B ) P (C )
1 P( AB) 1 r
P( A B) P ( B A) q r P( A B) P( A) P( B) P( AB) 1 p r
P( A B ) 1 P ( A B) 1 p q r
13
P ( AB) P ( AB) P( B) (1 P ( A) P ( B) P ( AB ))P ( B)
P( B) ( P( B))2
P ( AB) P ( AB) P( B)
P( B) P( B) P( A) ( P( B)) P( B) P( AB)
a c ca
11
P ( AB ) P ( A | B) P( B )
P ( A) P ( AB ) 1 P( B)
a b c(1 a ) 1 b
12
11 已知 0<P(A)<1, 0< P(B)<1,
P ( A | B) P ( A | B ) 1
解：设A表示任取一件产品是一等品。B表示任取一 件产品是合格品。 则易知
P ( B ) 0.96
P ( A | B ) 0.75
P ( A) P ( AB ) P ( B ) P ( A | B )
0.96 0.75 0.72
23
21、在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的 概率是0.2，若乙机未被击落，就进行回击，击落 甲机的概率是0.3。若甲机未被击落，则再次进攻 乙机，击落乙机的概率是0.4。求这几个回合中， 甲机被击落的概率及乙机被击落的概率
9
P ( A) P ( B ) P (C )
概率论与数理统计第一章ppt课件
事件独立的例题：
P ( A 1 ) 1 / 5 , P ( A 2 ) 1 / 3 , P ( A 3 ) 1 / 4
P (A 1 A 2 A 3) 1P (A 1 A 2 A n)
3
1
1P(A1A2A3)
1P (A 1)P (A 2)P (A 3)
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
❖练习 某人从外地赶来参与紧急会议， 他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率 分别是0.3、0.2、0.1、0.4，假设他乘 飞机来就不会迟到；而乘火车、轮船或 汽车来迟到的概率分别为1/4、1/3、 1/12。
❖〔1〕求他迟到的概率；
❖〔2〕假设他迟到了，试推断他是怎样 来的，说说他的理由。
❖例4 据以往的临床记录，某种诊断 糖尿病的实验具有以下的效果：假设 一被诊断者患有糖尿病那么实验结果 呈阳性的概率为0.90；假设一被诊断 者未患糖尿病，那么实验结果呈阳性 的概率为0.06。又知受实验的人群患 糖尿病的概率为0.03。假设一被诊断 者其实验结果呈阳性，求此人患糖尿 病的条件概率。
这一节我们引见了
全概率公式
贝叶斯公式
它们是加法公式和乘法公式的综合运用, 同窗们可经过进一步的练习去掌握它们. 值得一提的是，后来的学者根据贝叶斯公 式的思想开展了一整套统计推断方法，叫 作“贝叶斯统计〞. 可见贝叶斯公式的影 响.
小结
全概率公式：由因遡果 贝叶斯公式：由果索因
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❖例2 甲、乙两人独立地对同一目的射击 一次，其命中率分别是0.5和0.4。现知 目的被命中，那么它是乙射中的概率是 多少？
❖例3 设0<P(A)<1，且P(B|A)=P(B|A )， 试证：A、B相互独立.
概率论与数理统计书ppt课件
条件概率与独立性
CHAPTER
随机变量及其分布
02
随机变量的概念与性质
定义随机变量为在样本空间中的实值函数，其取值依赖于随机试验的结果。
随机变量
讨论随机变量的可数性、可加性、正态性等性质。
随机变量的性质
离散型随机变量的概念
定义离散型随机变量为只能取可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
讨论离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
应用
中心极限定理及其应用
CHAPTER
贝叶斯推断与决策分析
07
贝叶斯推断的基本原理
金融风险管理
贝叶斯推断在金融风险管理领域有着广泛的应用，如信用风险评估、投资组合优化等。
医疗诊断
贝叶斯推断在医疗诊断方面也有着重要的应用，如疾病诊断、预后评估等。
机器学习与人工智能
贝叶斯推断在机器学习算法和人工智能领域中也有着广泛的应用，如朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型等。
参数估计与置信区间
01
点估计
用单一的数值估计参数的值。
02
区间估计
给出参数的一个估计区间，通常包括一个置信水平。
比较两个或多个组的均值差异，确定因素对结果的影响。
方差分析
检验两个或多个组的方差是否相等。
方差齐性检验
研究变量之间的关系，并预测结果。
回归分析
假设检验与方差分析
CHAPTER
回归分析与线性模型
应用
在现实生活中，大数定律被广泛应用于保险、赌博、金融等领域，通过统计数据来预测未来的趋势和风险。
大数定律及其应用
在独立随机变量序列中，它们的和的分布近似于正态分布，即中心极限定理。这意味着，当样本量足够大时，样本均值近似于正态分布。
概率论与数理统计ppt课件(完整版)
*
几何概型的概率的性质
对任一事件A ,有
三.统计定义:
(一) 频率
在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为fn(A).
频率的特性: 波动性和稳定性.
*
四.概率公理化定义:
定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件: 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） P(S)=1;（规范性) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间: 定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
*
(二) 乘法公式:
P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
*
B
A
S
2.和事件:
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
几何概型的概率的性质
对任一事件A ,有
三.统计定义:
(一) 频率
在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为fn(A).
频率的特性: 波动性和稳定性.
*
四.概率公理化定义:
定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件: 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） P(S)=1;（规范性) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间: 定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
*
(二) 乘法公式:
P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
*
B
A
S
2.和事件:
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
概率统计培训课件(ppt 29页)
|
x
|
1
e|x|dx
1
2
E(| X |2)
|
x |2
1 e|x |dx
x
2
1
exdx
2
2
2 1 x2exdx 2
20
D(| X |) 1
27
(2) E( X | X |)
x
|
x
|
1
e|x|dx
2
1 0 x2exdx 1 x2exdx 0
1, XY 0,
A, B同时发生 A, B不同时发生
E(XY) P(AB)
P(AB) P(A)P(B) 事件A ,B相互独立
？ X ,Y 相互独立.
23
错误原因
P(AB) P(A)P(B) P(X 1, Y 1) P(X 1)P(Y 1)
而这并不表明 X ,Y 相互独立. 本题要证明离散随机变量 X ,Y 相互
记 E(X ) C . 若结论不成立, 则
P(X C) 1 或等价地 P(X C) 0
于是
D(X ) (x C)2 P(X C) (x C)2 P(X x)
x: xC
4
右端第二项和式中至少有一项 P(X a) 0, a C
从而对应的(a C)2 0,因此 D(X ) (a C)2 P(X a) 0
i 1
i 1
12
4 - 10 设 X 表示试开次数 , 则其分布律为
X1 2
3 n
p 1 n 1 1 n 1 n 2 1 1
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2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ．
3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ; A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ．
4. 德.摩根律(对偶原则) ： 设Ai(i=1,2,…,n) 表示事件．
则
n
n
A i= A i ;
i1
i1
n
Ai =
7. 假设 P(A)=0.5, P(B)= 0.6, P(BA)0.8
则P(A B)= 0.7 ; P(B-A)= 0.2 .
3. A与B, A与B, A与B
3. P (A )0 ,P (B )0 , 则A、B互斥与A、B相互独立不能
4. 同时存在.
4. 若事件A和 Bi(i1,2,,n)独立, 且 BiBj (ij)
n
5. 则事件A和 B i 独立. i1
典型习题
1. 从大批产品中取产品检验，设事件Ak表示“第k次取到 合格产品”(k=1,2,3)，用A1,A2,A3表达下列各事件. (1) A表示“仅第一次取到合格产品”.
i1
n
A
．
i
i1
5. 对必然事件的运算法则：A∪S=S, A∩S=A
6.对不可能事件的运算法则：A∪Φ=A,A∩Φ=Φ．
概率定义 设E ---随机试验，S-----样本空间.
事件A P(A), 称为事件A的概率,
如果P(• )满足下列条件: 1 °非负性： 对于每一个事件A，有 P(A)≥0 ； 2 ° 规范性: 对于必然事件S , 有P(S)=1；
(2) B表示“第一次取到不合格产品,第二、三次至少有一次
取到合格产品”.
解：(1) (2)
A1 A2 A3
A1(A2 A3)
2．对于任意两事件A和B,有 P(A-B)= ( ).
(A) P(A)-P(B);
(B) P(A)-P(B)+P(AB) ;
(C) P(A)-P(AB); (D) P(A)+P(B)- P(AB).
等可能概型(古典概型)
1.定义： 设E是试验，S是E的样本空间，若 (1) 试验的样本空间的元素只有有限个； (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同. 这种试验称为等可能概型或古典概型．
2.古典事件数 S中基本事件的总数
几个重要公式
1.条件概率 2.乘法公式
答案:B
解析:由题设知:ABC,且P(AB) ≤P(C) 又由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) ≤1,知 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B) ≥P(A)+P(B)-1 即P(C) ≥P(AB) ≥P(A)+P(B)-1
6. 假设 P(A)=0.4, P(AB)= 0.7, (1)若A与B互不相容, 则P(B)= 0.3 ; (2)若A与B相互独立, 则P(B)= 0.5 .
P(AB )
P(BA)
, P(A)0
P(A)
P(AB)=P(B|A)P(A) (P(A)>0)，
3.全概率公式
P (A )P (AB 1)P (B 1)P (AB 2)P (B 2)
P (AB n)P (B n)
4.贝叶斯公式.
P(Bi A)PP (B (A iA ))
P(ABi)P(Bi)
n
,i1,2,,n
(A) 事件A是必然事件 (B)P(A/B)=0
(B)(C) A B
(D )B A
答案:D
解析:由于P(B|A)=P(AB)/P(A)=1,可知P(AB)=P(A).从而 有A B.
5.设当事件A与B同时发生时,事件C必发生, 则下列 结果正确的是( ). (A) P(C)P(A)+P(B)-1; (B) P(C)P(A)+P(B)-1; (C) P(C)=P(AB); (D) P(C)= P(AB).
3 °可列可加性: 设A1，A2，… 是两两互不相容 的事件，即对于 ij,A iA j ,i,j 1 ,2 , , 则
P(A1∪A2 ∪ …)=P( A1)+P(A2 )+ …
•性质 (1) P(φ)=0 ．
(2)(有限可加性) 若A1，A2，… An 两两不相容，
P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+ … +P(An) (3) 若A B，则有 P(B– A)=P(B) – P(A) ;
P ( A i 1 A i 2 A i k ) P ( A i 1 ) P ( A i 2 ) P ( A i k )
则称这n个事件相互独立.
独立的性质:
1. 设A和B是两个事件,且P(A) ＞0.若A和B相互独立,则
2.
P(B/A)=P(B).反之亦然.
2. 若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立:
答案：C
解析：直接利用概率性质（3）
3．对于任意两事件A和B,若有 P(AB)=0,则下列命
题正确的是 ( ).
(A) A与B互斥 ;
(B) A与B独立;
(C) P(A)=0,或P(B)=0; (D) P(A-B)= P(A) .
答案：D
解析：直接利用概率性质（3）
4. 假设事件A和B满足P(B|A)=1,则( )
主要内容
事件间的关系与事件的运算
(一)事件间的关系 1. 事件的包含(子事件)：AB; 2.事件的和：A∪B 3.事件的积: AB; 4. 差事件: A-B=A-AB=AB 5. 互斥事件(互不相容事件):AB= 6. 互逆事件: AB= 且A∪B=S
• 事件的运算法则
1. 交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A ．
P(ABj)P(Bj)
j1
独立性
定义1 设A,B是两事件,如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B)，
则称事件A,B为相互独立的随机事件.
定义2 设A1,A2...An是n个事件，如果对于任意的1≤i<j≤n,
P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) 则称这n个事件两两相互独立.
定义3 如果对于任意的k(k≤n),及任意的2≤i1<i2<...<ik≤n,
一般有 P(B – A)=P(B) –P(AB) (4) 对于任一事件A，有P(A)≤1
(5) 对于任一事件A，有P(A )=1 –P(A)，
(6) (加法公式) P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)