奥数-初中数学竞赛专项训练及答案-(3)

初中数学竞赛专项训练（3）（方 程）一、选择题：1、方程018)8(2=-++-a x a x 有两个整数根，试求整数a 的值 （ ）A. -8B. 8C. 7D. 9 2、方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53、若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的大小关系是（ ） A. △＞M B. △=MC. △＜MD. 不能确定4、已知ac b 42-是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ）A. ab ≥81 B. ab ≤81 C. ab ≥41 D. ab ≤41 5、已知1x 、2x 是方程0)53()2(22=+++--k k x k x 的两个实根，则2221x x +的最大值是（ ） A. 19B. 18C. 955D. 以上答案都不对6、已知z y x 、、为三个非负实数，且满足132523=-+=++z y x z y x ，　，z y x u 73-+=若，则u 的最大值与最小值之和为 （ ）A. 7762-B. 7764-C. 7768-D. 7774-7、若m 、n 都是正实数，方程022=++n mx x 和方程022=++m nx x 都有实数根，则m+n 的最小值是 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 108、气象爱好者孔宗明同学在x （x 为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。

则x 等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题1、已知两个方程0022=++=++a bx x b ax x 与有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、若)(016110161122b a b b a a ≠=++=++，　，则=-ba ab ＿＿＿＿＿＿＿3、已知关于x 的方程012)1(2=-+++n x n x 的两根为整数，则整数n 是＿＿＿＿＿4、设1x 、2x 是方程02)1(222=+++-k x k x 的两个实数根，且8)1)(1(21=++x x ，则k 的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、已知a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582=+-m x x 的两个根，则m ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿6、设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题1、关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数k 的值。

2、设方程0120012003200222=-⋅-x x 的较大根是r ，方程01200220012=+-x x 的较小根是s ，求r －s 的值。

3、确定自然数n 的值，使关于x 的一元二次方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，并求出此两根。

4、已知关于x 的一元二次方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k 的值。

5、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时1v 、2v 、3v 、4v 千米，且满足1v ＞2v ＞3v ＞4v ＞0，其中，水v 为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。

（2）经过1小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？参考答案一、选择题1、选B 。

原方程变为⎩⎨⎧-=--=-⎩⎨⎧=-=-∴=--1811811)8)((x a x x a x x a x 或，， 解得x=9或7，a ＝8。

2、选C 。

原方程有整数解的条件有且只有以下3种：仅有一个整数解。

为偶数。

故原方程此时时。

显然仅当或得为偶数。

解而③解；，即原方程有两个整数或，解之得②是方程的一个整数解；，此时而①23110113111211301032222=+-=-=-=-++-=-+-=-==-+-=≠-+=+x x x x x x x x x x x x x x x x综上所述知方程的解共有1＋2＋1＝4个。

应选。

即的根，所以是 因 、解：令B ,00)(4444)4()(2ax -m d 320020220202220M d c bx ax x c bx ax a ac b b b ax x a ac b b =∆==++++=+-++=--+=∆=4、应选B 。

因为方程有实数解，故042≥-ac b 。

由题意有。

，即的判别式非负，即是其解，所以方程，因为或则得。

令或者8108140202442442422222222≤≥--==++=+--=-=----=-+-ab ab ac b u b u au b u au acb u ac b a ac b b ac b a ac b b5、选B 。

由方程有实根，得△≥0，即184)5(19610)53(2)2(2)(5323440)4)(43(0161630)53(4)2(2221222221221222122121222取最大值时，当，得，。

又由x x k k k k k k k x x x x x x k k x x k x x k k k k k k k k +-=+-=---=++--=-+=+++=⋅-=+-≤≤-⇒≤++⇒≤++⇒≥++--6、选A 。

237)711()37(371137132523-=-+-+-=⇒⎩⎨⎧+-=-=⇒⎩⎨⎧=-+=++z z z z u z y z x z y x z y x由x ≥0，y ≥0得21173232733117730711037-⨯≤-≤-⨯⇒≤≤⇒⎩⎨⎧≥+-≥-z z z z 即11175-≤≤-u 7762)111(7511175-=-+-=+∴-=-=∴最大最小最大最小 ，u u u u7、选B 。

因方程有实根，故⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-0440822m n n m ，因此有m n m 646424≥≥，则46400)64(33≥≥>≥-m m m m m ，，则，因，得m 最小值是4。

又。

的最小值为，故的最小值为即，得622824n m n n n m n +≥≥≥8、选C 。

设全天下雨a 天，上午晴下午雨b 天，上午雨下午晴c 天，全天晴d 天。

由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d ＝2，故b=4，c=3，于x ＝a+b+c+d=9。

二、填空题ax a b x b a x b a x b a a bx x b ax x x x x x =--==++=≠=--=++=++∴3211121121312110110)1)((001，。

解方程得＝ 。

代入任一方程可得，故，而 两式相减得，，。

、和、为、设两个方程的根分别 2、由已知a 、b 是方程016112=++x x 的两根。

001611<<∴⎩⎨⎧=-=+∴b a ab b a ， ，而574164121414)(41)(412±=-±=-+±=-=-=-ab b a b a ab b a b a a b 3、012)1(2=-+++n x n x 的两根为整数，它的判别式为完全平方式，故可设22)12(4)1(k n n =--+=∆（k 为非负整数），即4)3(22=--k n 满足上式的n 、k 只能是下列情况之一： ⎩⎨⎧-=---=+-⎩⎨⎧=--=+-⎩⎨⎧-=---=+-⎩⎨⎧=--=+-∴2323232343131343k n k n k n k n k n k n k n k n 或或或 解得n ＝1、5。

4、解：由题意得： ①，得210)2(4])1(2[222≥≥+-+=∆k k k 又2)1(222121+=+=+k x x k x x ，521)1(221)()1)(1(22212121++=++++=+++=++k k k k x x x x x x 所以 由已知得 ②，，解得138522=-==++k k k k由①②得k ＝1。

5、解：由已知b 2-4b+m=0 ① b 2-8b+5m=0 ② ①－②得：4b-4m=0 ∴b ＝m ③将③代入①得：m 2-4m+m=0 ∴m=0或m=3。

6、解：04)2(84)2(4222>+-=+-=--=∆a a a a a∴对于任意实数a ，原方程总有两个实数根。

由根与系数的关系得：863)49(218929)(2)2)(2(2222122112212121---=-+-=++-=--∴-=-=+a a a x x x x x x x x a x x a x x ∴当a=49时原式有最大值－863三、解答题1、解：①当k=0时，x=-1，方程有有理根。

②当k ≠0时，因方程有有理根，所以若k 是整数，则k k 4)1(2--=∆＝162+-k k 必为完全平方数，即存在非负整数m ，使2216m k k =+-配方得：8)3)(3(8)3(22=--+-=--m k m k m k 由，其积为是奇偶性相同的整数，与833m k m k --+-所以它们均为偶数，又m k m k －－＞＋－33，从而有⎩⎨⎧-=---=+-⎩⎨⎧=--=+-43232343m k m k m k m k 或 ∴k=6或k=0（舍去）综合①②可知，方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，整数k 的值为k=0或k=6。

2、解：由前一方程得：0200212002120022222=---x x 即020021)200211(222=---x x 设方程两根为1x 、2x ，且1x ＞2x 由根与系数的关系得：22122120021200211-=-=+x x x x 则1x ＝1，2x ＝-220021同理由后一方程得：020011)200111(2=++-x x设方程两根为'1x 、'2x ，且'1x ＞'2x ，则'1x ＝1，'2x ＝20011由上述可知：r=1，s ＝20011， 所以r －s ＝1－20011＝200120003、解：设方程两根为1x 、2x ，则1x +2x ＝4n －5 ∵4n －5是奇数，即1x +2x 是奇数∴1x 与2x 必定一奇一偶，而1x 与2x 都是质数。