初等数论试卷

一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________.
2.自然数225，226，…，240中的素数是_________.
3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________.
4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________.
5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________.
6.不定方程3x+4y=5的通解是_________.
7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________.
8.满足ϕ(n) =20的n 有多个，其中两个是_________.
9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.⎪⎭
⎫ ⎝⎛17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分)
1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解：
⎪⎩
⎪⎨⎧≡≡≡9).5(mod x 20),7(mod x 15),2(mod x
2.试求不定方程y 2+x=x 2
+y-22的所有正整数解.
3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解.
三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37
分)
1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。

2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系.
3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1.
4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a<b<c<d ，使得ad=bc.
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1.对于不同的整数n,最大公因数(4n-2,3n+1)将有不同的值,其可能得到的值共有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.以下各组数中,恰有一个素数和一个合数的数组是（ ）
A.101,103
B.117,119
C.131,133
D.141,143
3.设a 是整数,下面同余式必不成立的是（ ）
A.a 2≡-1(mod 4)
B.a 2≡2(mod 7)
C.a 2≡3(mod 11)
D.a 2≡-1(mod 13)
4.以下同余方程或同余方程组中,无解的是（ ）
A.6x ≡10(mod 22)
B.6x ≡10(mod 18)
C.⎩⎨⎧≡≡20) 11(mod x 8) 3(mod x
D. ⎩
⎨⎧≡≡9) 7(mod x 12) 1(mod x 5.在数201,202,203,204中不能表为两整数平方和的数共有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1.d(2000)=____;π(200)-π(180)=____.
2.为了编制1至2000之间的素数表,只需从中删去素数2,3,…,p 的倍数,留下的数(包括2,3,…,p 自身)就全是素数.为此,最小的p 是____.
3.设n 是合数,且ϕ(n)=6,则其中一个n 是____.
4.同余方程12x ≡8(mod 44)的解是____.
5.不定方程7x+5y=22的通解是____.
6.22004被31除所得余数是____.
7.华林(Waring)问题是指____.
8.依据勒让德 (Legendre)符号的值,同余方程x 2≡69(mod 199)的解的个数是____.(注:661是素数)
三、计算题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
1.解同余方程组⎪⎩
⎪⎨⎧≡≡≡11) (mod 34x 7) (mod 13x 9) (mod 6x
2.试用高斯(Gauss)逐步淘汰法解同余方程x 2≡33 (mod 97).
3.试求方程41-3x -⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+734x =0的实数解.
四、证明题(本大题共3小题，第1小题8分,第2小题10分,第3小题11分,共29分)
1.试证x 6+5=y 2无整数解.
2.试证形如4m-1的素数有无限多个.
3.设(a,m)=1,正整数n 使a n ≡1 (mod m)成立.这样的n 有多个,其中最小的记为δ.试论δ|n.
一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.ϕ(5600)=_____.
2.同余方程20x ≡14(mod 72)关于模72的解是_____.
3.不定方程7x+19y=213的整数解是_____.
4.模19的平方非剩余是_____.
5.同余方程x 2≡74(mod 101)有_____个解.
6.199!末尾连续地有_____个零.
7.547是_____.（填“素数”或“合数”）.
8.写出模10的一个最小的非负完全剩余系，并要求每项都是3的倍数，则此完全剩余系为_____.
9.最大公因数(n+1,3n+2)=_____.
10.欧拉定理表述为_____.
二、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)
1.求10
1010被7除所得的余数.
2.解同余方程组⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡15) 11(mod x 9). 5(mod x 7) 2(mod x
3.甲物每千克5元，乙物每千克3元，丙物每3千克1元，现在用100元买这三样东西共100千克，问各买几千克？
4.用高斯逐步淘汰法解同余方程x 2≡73(mod 137).
三、证明题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
1.若n=9k+t,t=3,4,5或6，k ∈Z ，证明方程x 3+y 3=n 无整数解.
2.设3|(a 2+b 2)，证明3|a 且3|b.
3.若(a,m)=1，x 通过模m 的简化剩余系，则ax 也通过模m 的简化剩余系.
4.
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.-30被-9除的余数是( )
A.-3
B.-6
C.3
D.6
2.下列给出的数中是合数的是( )
A.1063
B.1073
C.1093
D.1103
3.⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛4001000中5的幂指数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
4.不能表示为5x +7y （x , y 是非负整数）的最大整数是( )
A.23
B.24
C.25
D.26
5.下列给出的素数模数中，3是平方非剩余的是( )
A.37
B.47
C.53
D.59
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1.60480的标准分解式为______.
2.μ(50400)=______.
3.π(55.5)＝______.
4.对任意的正整数n ，最大公因数(12n +1,30n +3)=______.
5.若ϕ(n )=4，则n=______.
6.同余方程6x ≡7(mod 23)的解是______.
7.不定方程6x +9y =30的通解是______.
8.写出模10的一个最小的非负简化剩余系，并要求每项都是7的倍数，则此简化剩余系为______.
9.326被50除的余数是______.
10.梅森数M 23是______（填素数或合数）.
三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)
1.已知两正整数中，每一个除以它们的最大公约数所得的商之和等于18，它们的最小公倍数等于975，求这两个数。

2.有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。

已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？
3.求正整数x ，使x 2-1216是完全平方数。

4.已知563是素数，判断不定方程x2+563y=429是否有整数解。

四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
1.证明当n为整数时，504|n9-n3。

2.设(a, m)=1，若x通过模m的完全剩余系，则ax + b也通过模m的完全剩余系.。