普通最小二乘法(OLS)
一元线性回归模型的基本假设二、参数的普通最小二乘估计（OLS）
§2.2一元线性回归模型的参数估计一、一元线性回归模型的基本假设二、参数的普通最小二乘估计（OLS）三、参数估计的最大或然法(ML)四、最小二乘估计量的性质五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计单方程计量经济学模型分为两大类：线性模型和非线性模型•线性模型中，变量之间的关系呈线性关系•非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系一元线性回归模型：只有一个解释变量i i i X Y μββ++=10i=1,2,…,nY 为被解释变量，X 为解释变量，β0与β1为待估参数，μ为随机干扰项回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。
估计方法有多种，其中最广泛使用的是普通最小二乘法（ordinary least squares,OLS）。
为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。
注：实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。
一、线性回归模型的基本假设假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量；假设2、随机误差项μ具有零均值、同方差和不序列相关性：E(μi)=0i=1,2,…,nVar(μi)=σμ2i=1,2,…,nCov(μi,μj)=0i≠j i,j=1,2,…,n假设3、随机误差项μ与解释变量X之间不相关：Cov(X i,μi)=0i=1,2,…,n假设4、μ服从零均值、同方差、零协方差的正态分布μi~N(0,σμ2)i=1,2,…,n注意：1、如果假设1、2满足，则假设3也满足;2、如果假设4满足，则假设2也满足。
以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model,CLRM）。
二、参数的普通最小二乘估计（OLS）给定一组样本观测值（X i ,Y i ）（i=1,2,…n ）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.普通最小二乘法（Ordinary least squares,OLS ）给出的判断标准是：二者之差的平方和∑∑+-=-=ni i i n i X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ最小。
标准最小二乘法
标准最小二乘法标准最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）是一种常用于回归分析的方法，旨在通过拟合数据来找到最合适的模型。
在本文中，将详细介绍标准最小二乘法的原理、应用和计算步骤。
标准最小二乘法的原理十分简单直观，它通过寻找使得拟合模型与观测数据之间误差的平方和最小的参数估计值。
在回归分析中，我们通常会假设一个线性模型来描述自变量和因变量之间的关系。
标准最小二乘法通过最小化残差的平方和来找到最佳拟合的模型。
残差即观测值与拟合值之间的差异。
在应用标准最小二乘法进行回归分析时，需要先确定一个合适的模型。
通常，我们会选择一个线性模型来描述因变量和自变量之间的关系，然后通过参数估计找到最佳的拟合模型。
这一过程可以通过最小化残差平方和的方法来实现。
在计算步骤上，标准最小二乘法可以分为以下几个关键步骤。
首先，需要确定线性模型的形式，并根据实际情况选择自变量。
其次，通过收集样本数据，计算出相关的变量值。
然后，利用计算出的变量值进行模型参数的估计。
最后，通过计算残差平方和，确定最佳的拟合模型。
标准最小二乘法在实际应用中具有广泛的意义和应用价值。
例如，在经济学中，可以利用标准最小二乘法来估计供求关系和弹性系数。
在工程领域，可以通过标准最小二乘法来建立物理模型并进行预测。
在社会科学中，也可以利用标准最小二乘法来研究变量之间的关系。
总结而言，标准最小二乘法是一种常用的回归分析方法，通过最小化残差平方和来找到最佳的拟合模型。
它的计算步骤简单清晰，适用于各个领域的数据分析和预测。
通过合理应用标准最小二乘法，可以有效地研究自变量和因变量之间的关系，为实际问题提供有力的解决方案。
综上所述，标准最小二乘法是一种重要的分析工具，具有广泛的应用前景。
它不仅可以帮助我们理解数据，还可以通过拟合模型来进行预测和分析。
在实际应用中，我们应当遵循标准最小二乘法的原理和计算步骤，以确保分析结果的准确性和可靠性。
通过深入学习和理解标准最小二乘法，我们能够更好地利用这一工具解决实际问题。
最小二乘法 回归模型
最小二乘法回归模型
最小二乘法回归模型是统计学中常用的一种数据分析工具，用于探索两个或多个变量之间的关系。
该模型基于最小二乘法原理，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来找到最佳的回归线或回归面，从而实现对数据的拟合和预测。
最小二乘法回归模型的基本假设是，因变量与自变量之间存在线性关系，并且误差项独立同分布，服从正态分布。
在此基础上，我们可以通过建立线性回归方程来描述这种关系，并利用最小二乘法原理来求解回归系数。
在最小二乘法回归模型中，我们通常使用普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）来估计回归系数。
OLS的核心思想是使得残差平方和（即预测值与实际值之差的平方和）达到最小。
通过求解最小化残差平方和的方程组，我们可以得到回归系数的估计值。
最小二乘法回归模型具有许多优点，如简单易行、计算方便、解释性强等。
它可以帮助我们了解变量之间的关系强度、方向以及预测未来的趋势。
同时，该模型还可以通过引入控制变量来消除其他因素的影响，提高回归分析的准确性。
然而，最小二乘法回归模型也存在一些限制和假设。
例如，它要求数据满足线性关系、误差项独立同分布等假设条件。
当这些假设不成立时，回归结果可能会受到偏差或误导。
因此，在应用最小二乘法回归模型时，我们需要对数据进行充分的探索和分析，以确保模型的有效性和可靠性。
总之，最小二乘法回归模型是一种强大的数据分析工具，它可以帮助我们揭示变量之间的关系并预测未来的趋势。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的模型和方法，以提高数据分析的准确性和可靠性。
第三讲普通最小二乘法
在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型：
Yi 0 1 X i i
随机抽取n组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）。
假如模型的参数估计量已经求得，为 那么Yi服从如下的正态分布： 于是，Y的概率函数为
2 ˆ ˆ Yi ~ N ( 0 1 X i , )
② 用最小二乘法拟合的直线来代表 x 与 y 之间的 关系与实际数据的误差比其他任何直线都小
2. 正规方程和估计量
取偏导数并令其为0，可得正规方程 ( ei2 ) ˆ ˆ X )0 2 (Yi 1 2 i ˆ
( ei2 ) ˆ ˆ X )X 0 2 (Yi 1 2 i i ˆ
普通最小二乘法（OLS） （Ｏrdinary Least Squares) 高斯被认为是历史上 最重要的数学家之一，并 享有“数学王子”之称。 高斯和阿基米德、牛顿并 列为世界三大数学家。一 生成就极为丰硕，以他名 字“高斯”命名的成果达 110个，属数学家中之最。
C.F.Gauss 1777－1855
解得模型的参数估计量为：
ˆ X i2 Yi X i Yi X i 0 nX i2 (X i ) 2 ˆ nYi X i Yi X i 1 2 2 n X ( X ) i i
可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型 结构参数的 最大或然估计量 与 普通最小
6
在家庭可支配收入-消费支出例中，对于所抽出的一组样 本数，参数估计的计算可通过下面的表进行。
表 2.2.1 参数估计的计算表
Xi
Yi
xi
yi
xi y i
xi2
y i2
X i2
Yi 2
普通最小二乘法名词解释
普通最小二乘法名词解释
普通最小二乘法 (Ordinary Least Squares, OLS) 是一种用于
数据拟合的统计方法。
它的思想是找到一组参数，使得拟合曲线与每个观测点的距离最小。
普通最小二乘法的假设是，拟合曲线是一个正态分布，其中观测点误差都服从正态分布的假设。
在应用普通最小二乘法之前，需要检验数据是否符合正态分布的假设。
普通最小二乘法假设每个观测点的误差是独立的，拟合曲线的误差是准确的。
普通最小二乘法的优点是它可以得到最佳的拟合结果，它的结果准确而可靠。
普通最小二乘法的缺点是它不能应付非正态分布的情况，也不能处理多重共线性的情况，这些都会降低拟合曲线的精确度。
ols 普通最小二乘法
ols 普通最小二乘法
普通最小二乘法（OLS）是一种用于在线性回归模型中估计未知参数的线性最小二乘法。
OLS通过最小二乘法原则选择一组解释变量的线性函数的参数：最小化给定数据集中观察到的因变量（被预测变量的值）与预测变量之间残差的平方和。
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
根据样本数据，采用最小二乘估计式可以得到简单线性回归模型参数的估计量。
但是估计量参数与总体真实参数的接近程度如何，是否存在更好的其它估计式，这就涉及到最小二乘估计式或估计量的最小方差（或最佳）（Best）性、线性（Linear）及无偏（Unbiased）性，简称为BLU特性。
这就是广泛应用普通最小二乘法估计经济计量模型的主要原因。
下面证明普通最小二乘估计量具有上述三特性。
1、线性特性
所谓线性特性，是指估计量分别是样本观测值的线性函数，亦即估计量和观测值的线性组合。
2、无偏性
无偏性，是指参数估计量的期望值分别等于总体真实参数。
3、最小方差性
所谓最小方差性，是指估计量与用其它方法求得的估计量比较，其方差最小，即最佳。
最小方差性又称有效性。
这一性质就是著名的高斯一马尔可夫（Gauss-Markov）定理。
这个定理阐明了普通最小二乘估计量与用其它方法求得的任何线性无偏估计量相比，它是最佳的。
普通最小二乘法
选择合适的回归模型，如线性回归、多项式回归等。
设定模型假设
确保满足回归分析的基本假设，如误差项独立同分布、误差项无系统偏差等。
建立模型
利用最小二乘法计算回归参数的最优估计值。
分析估计量的性质，如无偏性、有效性等，确保估计结果可靠。
参数估计
检验估计量性质
计算最小二乘估计量
03
模型选择与优化
普通最小二乘法的历史与发展
02
普通最小二乘法的原理
01
02
03
线性回归模型是一种预测模型，通过找到最佳拟合直线来预测因变量的值。
在线性回归模型中，自变量和因变量之间存在线性关系，即因变量可以表示为自变量的线性组合。
线性回归模型的一般形式为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βpxp + ε，其中y是因变量，x1, x2, ..., xp是自变量，β0, β1, β2, ..., βp是参数，ε是误差项。
详细描述
主成分回归是一种基于主成分分析的回归方法，通过提取解释变量中的主要成分，降低数据的维度，提高模型的解释性和稳定性。
总结词
主成分回归首先对解释变量进行主成分分析，提取出解释变量中的主要成分，然后将这些主成分作为新的解释变量进行回归分析。由于主成分能够反映原始变量中的大部分信息，因此这种方法能够减少数据的维度，降低多重共线性的影响，提高模型的稳定性和解释性。
无偏性
普通最小二乘法估计的参数具有无偏性，即估计的期望值等于真实值。
最佳线性无偏估计
普通最小二乘法能得到最佳线性无偏估计，即估计的方差最小。
优点
异方差性
普通最小二乘法对数据的异方差性敏感，可能导致估计结果失真。
普通最小二乘法
对随机扰动项u的假定
假定1：零均值假定:
u 在给定X的条件下， 的条件期望为零 i
E(ui Xi ) 0
假定2：同方差假定:
在给定X的条件下， 的条件
方差为某个常数 ui
2
Y
E(Y Xi )
Var(ui X i ) E[ui E(ui X i )]2 2
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23
第23页/共33页
概
率
密
度
f ( )
f (ˆ )
f (*)
估计值
24
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3、渐近性质（大样本性质）
思想:当样本容量较小时，有时很难找到方差最小的无偏估计，
需要考虑样本扩大后的性质（估计方法不变，样本数逐步增大）
一致性：
当样本容量 n 趋于无穷大时，如果
数的真实值，就称这个估计ˆ式 是
解得模型的参数估计量为：
ˆ
0
ˆ1
X
2 i
Yi
X iYi
nX
2 i
(X
i
)2
nYi X i YiX
nX
2 i
(X i
)2
X
i
i
可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型 结构参数的最大或然估计量与普通最小二乘估计 量是相同的。
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简单线性回归模型的最小二乘估计
用样本去估计总体回归函数，总要使用特定的方法，而任 何估
Xi X
14
假定3：无自相关假定:
随机扰动项 u i的逐次值互不相关
Cov(ui ,u j ) E[ui E(ui )][u j E(u j )]
E(uiu j ) 0
普通最小二乘法的拟合曲线准则
普通最小二乘法的拟合曲线准则1. 什么是普通最小二乘法？普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）是一种经典的统计学和数学工具，用于拟合数据点与数学模型的关系。
通过最小化观测数据点与拟合曲线之间的残差平方和来确定最佳拟合曲线，从而推断出数据点之间的潜在关系。
2. 拟合曲线的准则在进行数据拟合时，选择合适的拟合曲线准则对最终结果具有至关重要的影响。
常见的拟合曲线准则包括最小化残差平方和、最小化残差绝对值和最小化残差的百分比等。
其中，最小二乘法的核心就是最小化残差平方和，使得拟合曲线与观测数据点之间的误差达到最小。
3. 评估拟合曲线的深度和广度为了全面评估拟合曲线的深度和广度，我们可以从以下几个方面进行考虑：- 数据拟合的准确性：通过分析拟合曲线与实际观测数据点之间的误差大小和分布情况，可以评估拟合曲线对数据的拟合程度。
一般来说，残差应该在一定范围内呈现随机分布，同时残差的平方和应该足够小，这样才能认为拟合曲线较好地拟合了数据点。
- 拟合曲线的泛化能力：除了拟合实际观测数据点外，我们还需要考虑拟合曲线在未知数据的泛化能力。
拟合曲线是否能够很好地适应新的数据点，是否具有较好的预测能力，这些都是评价拟合曲线广度的重要指标。
- 模型的复杂度：复杂的拟合曲线可能会过度拟合观测数据点，导致在未知数据上的预测能力降低；而过于简单的拟合曲线可能无法很好地拟合实际观测数据点。
我们需要对拟合曲线的复杂度进行合理的权衡，以达到最佳的拟合效果。
4. 个人观点和理解在我看来，普通最小二乘法是一种较为可靠和普遍适用的拟合方法，其核心准则即最小化残差平方和可以帮助我们得到相对较好的拟合效果。
然而，需要注意的是，在进行数据拟合时，我们应该不断地评估拟合曲线的准确性和泛化能力，并合理地考虑拟合曲线的复杂度，以得到更加可靠和实用的结果。
通过对普通最小二乘法的拟合曲线准则进行充分的评估，我们可以更深入地理解数据拟合的原理和方法，从而在实际应用中取得更加准确和可靠的结果。
gls 和ols 的协方差
gls 和ols 的协方差
GLS（广义最小二乘法）和OLS（普通最小二乘法）是统计学中常用的回归分析方法。
协方差是用来衡量两个随机变量之间的关系强度和方向的统计量。
在回归分析中，协方差可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关联程度。
首先，让我们来看GLS和OLS的定义。
OLS是一种回归分析方法，它通过最小化观测数据的残差平方和来估计模型参数。
这意味着它假设误差方差在所有自变量的取值上都是相同的，即误差项是同方差的。
而GLS则是一种更一般化的回归方法，它允许误差项的方差在不同的自变量取值下不同，因此可以更好地处理异方差性（即误差项方差不相等）的情况。
接下来，我们来看GLS和OLS的协方差。
在回归分析中，我们通常关心的是残差的协方差。
残差是因变量的观测值与回归模型预测值之间的差异，它们的协方差可以帮助我们评估模型的拟合程度和误差的相关性。
在OLS中，残差的协方差通常被假定为常数，因为OLS假设误差项是同方差的。
而在GLS中，由于允许误差项的方差在不同自变量取值下不同，因此残差的协方差也可以根据具体的模型设定而变化。
总的来说，GLS和OLS的协方差都是在回归分析中用来衡量误差项之间关联程度的重要统计量。
通过对协方差的分析，我们可以更好地理解回归模型的拟合情况和误差的特性。
在实际应用中，选择合适的回归方法和对协方差的合理处理都对建立准确的回归模型和进行有效的统计推断至关重要。
普通最小二乘法(OLS)
普通最小二乘法（OLS ）普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。
在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下（见图2.2.1中的散点），假如模型（2.2.1）的参数估计量已经求得到，为^0β和^1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见图2.2.1中的直线） i i x y ^1^0^ββ+= i=1,2,…,n (2.2.2)应该能够最好地拟合样本数据。
其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。
那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。
),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ˆˆˆˆ102110212ˆ,ˆ1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== (2.2.3)为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。
这就是最小二乘原则。
那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。
由于21^1^012^))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝ 是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。
根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。
即0011001100ˆ,ˆ1ˆ,ˆ0=∂∂=∂∂====ββββββββββQQ(2.2.4)容易推得特征方程： ()0)ˆˆ(0ˆ)ˆˆ(101110==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i ni ii i i i n i i e x x yx e y y x yββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^1^0^1^0i i i i i i x x x y xn y ββββ （2.2.5） 所以有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 1012121121111ˆˆ)())(()()()(ˆβββ （2.2.6） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。
在引入虚拟变量后,普通最小二乘法
在引入虚拟变量后,普通最小二乘法普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，简称OLS）是一种经典的线性回归方法，在建立回归模型时被广泛使用。
然而，由于现实世界中的数据往往是复杂多样的，包括了多个因素和交互作用，仅仅使用OLS可能无法准确地表达数据之间的关系。
为了解决这个问题，可以引入虚拟变量（Dummy Variable）来进行模型拟合。
引入虚拟变量的目的是为了将定性变量（Qualitative Variable）转化为定量变量（Quantitative Variable）。
在回归模型中，通常定性变量是无法直接参与计算的，因此需要将其转化为虚拟变量。
虚拟变量可以将定性变量变成0和1的取值，使其能够成为线性回归模型中的自变量。
举个例子来说明虚拟变量的引入。
假设我们要研究一家电商平台的销售情况，研究对象包括了用户的性别、购买的商品类型以及是否参加了促销活动。
其中，用户的性别是一个定性变量，包括男性和女性；购买的商品类型也是一个定性变量，包括电子产品、衣物、食品等；是否参加了促销活动是一个二值型变量，取值为是或否。
为了将性别、商品类型和是否参加促销活动引入到回归模型中，我们需要为每一种变量引入虚拟变量。
例如，为性别引入虚拟变量，我们可以引入一个名为"性别"的虚拟变量，其取值为1代表男性，0代表女性。
同样地，我们可以为商品类型引入多个虚拟变量，如"电子产品"、"衣物"和"食品"等。
对于是否参加了促销活动这个二值型变量，我们只需要引入一个虚拟变量，例如"促销活动"，其取值为1代表参加，0代表不参加。
引入虚拟变量后，可以将其作为一个个线性回归模型中的自变量来进行模型拟合。
虚拟变量的系数代表了该定性变量的不同水平对因变量的影响。
例如，回归系数为正的虚拟变量意味着该定性变量对因变量有正向影响，回归系数为负则意味着有负向影响。
普通最小二乘法
第2章 普通最小二乘法2.1 一元回归模型的OLS 估计 2.2 多元回归模型的OLS 估计 2.3 回归方程的质量评价 2.4 估计模型总体拟合度的判定 2.5 2R被滥用的例证2.6 总结和习题回归分析的面包与黄油（这里类比回归分析的基本技术,译者注）是以一种被称为最小二乘法(OLS)的技术估计计量经济模型中的系数。
本章前两节对OLS 的工作原理及其使用理由进行概述。
实际应用中,OLS运算通常依赖计算机来完成，所以，OLS 的目标是什么以及如何实现这一目标是这部分内容的重点。
对一个已经估计的方程，你如何分辨它是好还是不好呢？存在很多有用的准则，包括估计的方程对实际数据的拟合程度。
但是，把注意力仅集中于拟合程度上也并非没有风险，所以本章还同时介绍了这一准则被滥用的例证。
2.1 一元回归模型的OLS 估计回归分析的目的在于对一个纯粹的理论方程： i i i X Y εββ++=10 (2-1)使用一组数据以建立如下的估计方程：ii X Y 10ˆˆˆββ+= (2-2) 其中符号“ˆ”表示对总体真值的一个样本估计值（对Y 而言，“总体真值”为E[Y|X]）。
估计技术的目的就是要得到对应的纯理论方程的系数的数值解。
为获得这些估计值而最为广泛使用的方法就是普通最小二乘法（OLS ）。
OLS 已经变成一种标准,即使分析中使用的是其他估计方法的结果，但OLS 估计值仍被作为参考的数值。
所谓普通最小二乘法，就是通过最小化残差的平方和而计算诸估计值(ˆs β)的一种回归估计技术。
即1：1求和符号Σ表示依其下标和上标所限定的i 的取值范围将其右侧项加总（或求和）。
例如，在式（2-3）中，意味着对从1到N 的整数将加总：2ie ∑=+++=Ni N i e e e e 1222212LOLS 最小化 (∑Ne 2=i i1N i ,,2,1L =) (2-3)因为这些残差()是真实值Y 和回归得到的估计值Y （即式（2-2）中的Y）之差，所以式（2-3）也可等价地表述为：OLS 最小化ie ˆ∑−2)ˆ(iiY Y。
普通最小二乘法(OLS)
)
, ˆ1
Y
ˆ2 X
ˆ2为X i，Yi的函数,是一个随机变量。
如果X i取定值，则ˆ2仅仅为Yi的函数。
因此，Yi的随机波动决定了ˆ2的随机波动。 或者说，Yi的生成方式决定了ˆ2的生成方式。 从而，ˆ2的概率分布取决于Yi的概率分布。
所以，要对真实的2做出统计推断，
必须明确Yi的概率分布。
使得残差平方和（residual sum of
squares,RuSˆi2S）最小Yi。 ˆ1 ˆ2 Xi 2
Y 样本 X
最小二乘估计量的推导
最小化 uˆi2 Yi ˆ1 ˆ2 Xi 2
uˆi2 ˆ1
2 2
Yi Yi
ˆ1 ˆ1
ˆ2 Xi ˆ2 Xi
0 Xi
0
uˆi 0 uˆi X i 0
正规方程组
Yi nˆ1 ˆ2 Xi
Yi Xi ˆ1
Xi ˆ2
X
2 i
解方程
ˆ2
Yi
ˆ1 ˆ2 Xi ˆ1
2
2
Yi ˆ1 ˆ2 Xi
uˆi2 ˆ2
Yi
ˆ1 ˆ2 Xi ˆ2
2
2
Yi ˆ1 ˆ2 X i X i
一阶条件
2 Yi ˆ1 ˆ2 Xi 0 2 Yi ˆ1 ˆ2 Xi Xi 0
5、残差和预测的Y值不相关。
uˆ i
yˆi
0
uˆi xi 0
单纯的最小二乘估计量只 能提供总体参数的一个点估计 值，却不能对总体参数做出任 何统计推断。要对总体参数从 而对因变量做统计推断，还需 要对回归模型进行一系列详细 的假定。
ols估计量一致的条件
ols估计量一致的条件
OLS（普通最小二乘法）估计量一致的条件是指在使用OLS进行
参数估计时，要求估计量在样本量趋于无穷时能够收敛于真实参数值，即估计量的期望值等于真实参数值。
一般来说，OLS估计量一
致的条件包括，（1）线性性，被解释变量和解释变量之间的关系应
该是线性的，也就是说，模型的真实形式应该是线性的；（2）零条
件均值，解释变量的条件期望值应该为零，即解释变量与误差项的
相关性应该为零；（3）同方差性，误差项的方差应该是常数，即误
差项的方差不应该随着解释变量的取值而变化；（4）无序列相关性，误差项之间应该是独立的，即误差项之间不应该存在相关性；（5）
解释变量的外生性，解释变量应该是外生的，即解释变量与误差项
之间不应该存在相关性。
当这些条件得到满足时，OLS估计量才能
够一致地估计出真实的参数值。
在实际应用中，研究者需要对数据
进行充分的检验，以确保OLS估计量满足一致性的条件。
同时，还
需要注意到一些特殊情况下，OLS估计量可能不满足一致性的条件，例如存在遗漏变量、测量误差等情况。
因此，在使用OLS进行参数
估计时，需要对数据和模型进行充分的分析和检验，以确保估计结
果的可靠性。
Eviews数据统计与分析教程5章 基本回归模型OLS估计-普通最小二乘法
选择工作文件窗口工具栏中的“Object”| “New Object”| “Equation”选项，在下图所示的对话框中输入方程变量。
EViews统计分析基础教程
一、普通最小二乘法（OLS）
2.方程对象
EViews5.1提供了8种估计方法： “LS”为最小二乘法； “TSLS”为两阶段最小二乘法； “GMM”为广义矩法； “ARCH”为自回归条件异方差； “BINARY”为二元选择模型，其中包括Logit模型、Probit 模型和极端值模型； “ORDERED”为有序选择模型； “CENSORED”截取回归模型； “COUNT”为计数模型。
五、 线性回归模型的检验
3.异方差性检验
异方差性的后果 ：
当模型出现异方差性时，用OLS（最小二乘估计法）得到的 估计参数将不再有效；变量的显著性检验（t检验）失去意 义；模型不再具有良好的统计性质，并且模型失去了预测 功能。
EViews统计分析基础教程
五、 线性回归模型的检验
4.序列相关检验
方法：
EViews统计分析基础教程
四、 线性回归模型的基本假定
线性回归模型必须满足以下几个基本假定：
假定1：随机误差项u具有0均值和同方差，即 E ( ui ) = 0 i=1，2，…，n Var ( ui ) = σ2 i=1，2，…，n 其中，E表示均值，也称为期望，在这里随机误差项u的 均值为0。Var表示随机误差项u的方差，对于每一个样本 点i，即在i=1，2，…，n的每一个数值上，解释变量y对 被解释变量x的条件分布具有相同的方差。当这一假定条 件不成立是，称该回归模型存在异方差问题。
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四、 线性回归模型的基本假定
普通最小二乘法和logit模型
普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）和Logit模型是统计学中常用的两种回归分析方法。
它们分别适用于不同的数据类型和分析目的，在实际研究中应用广泛。
一、普通最小二乘法（OLS）普通最小二乘法是回归分析中最基本的方法之一，它的主要思想是通过最小化观测数据与回归模型预测值之间的残差平方和来确定模型的参数估计值。
简而言之，OLS试图找到一条最能拟合数据的线，使得观测值与模型预测值的误差平方和最小。
在使用OLS进行回归分析时，需要满足一些假设前提。
数据应该呈现线性关系。
误差项应该是独立同分布的。
自变量之间不应该存在多重共线性。
只有在这些假设成立的情况下，OLS才能够给出有效的参数估计和显著性检验结果。
二、Logit模型Logit模型是一种广义线性模型，它常用于处理二分类问题，例如判断一个人是否患有某种疾病、是否购物某种产品等。
Logit模型的特点是能够将输出值限定在0和1之间，因此非常适合处理概率问题。
在Logit模型中，因变量通常用二项分布，自变量经过线性组合后通过逻辑函数（Logistic Function）转化为概率。
Logistic Function的形式为：\[p(x)=\frac{1}{1+e^{-z}}\]其中，\(p(x)\)表示概率，\(z\)为线性组合函数。
通过Logit模型可以得到各个自变量对于因变量的影响程度，这对于解释变量间的相互作用关系非常有用。
在实际应用中，Logit模型通常通过最大似然估计来确定模型参数。
使用Logit模型时，需要注意数据的合理性和模型的拟合度，以免出现过拟合或欠拟合的情况。
三、两种方法的比较1. 数据类型适用性：OLS适用于连续型数据的回归分析，而Logit模型适用于二分类问题的概率预测。
2. 假设前提：OLS对数据的要求相对较为严格，需要确保数据线性相关、误差项独立同分布等假设成立；而Logit模型对数据类型的要求相对较小，更适用于实际应用场景。
多元回归分析中常用的矩阵算法
多元回归分析中常用的矩阵算法1.普通最小二乘法(OLS)普通最小二乘法是多元回归分析中最常用的方法之一、它使用线性代数中的矩阵方法来求解回归系数。
假设我们有一个包含n个样本和m个自变量的多元回归模型，可以用以下矩阵形式表示：Y=Xβ+ε其中，Y是n×1的因变量向量，X是n×m的自变量矩阵，β是m×1的回归系数向量，ε是n×1的误差向量。
OLS的目标是通过最小化误差平方和来估计回归系数β的最优解。
2.QR分解QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵(Q)和上三角矩阵(R)的方法。
在多元回归分析中，可以使用QR分解来估计回归系数β。
具体步骤如下：首先，将自变量矩阵X进行QR分解：X=QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵；然后，将模型进行变换：Y=Xβ+ε变为Q^TY=Rβ+Q^Tε；最后，通过最小二乘法来估计回归系数β：β=(R^TR)^{-1}R^TQ^TY。
QR分解可以提高计算的数值稳定性，减少浮点数误差。
3.奇异值分解(SVD)奇异值分解是一种将矩阵分解为奇异值矩阵(U)、对角线奇异值矩阵(S)和右奇异向量矩阵(V^T)的方法。
在多元回归分析中，可以使用SVD来求解最优的回归系数。
具体步骤如下：首先，对自变量矩阵X进行奇异值分解：X=UΣV^T，其中U和V^T是正交矩阵，Σ是奇异值矩阵；然后，将模型进行变换：Y=Xβ+ε变为U^TY=ΣV^Tβ+U^Tε；最后，通过最小二乘法来估计回归系数β：β=(Σ^TΣ)^{-1}Σ^TU^TY。
奇异值分解可以提供一个全面的线性变换视角，能够准确地描述数据的结构。
4.主成分分析(PCA)主成分分析是一种用于数据降维的方法。
在多元回归分析中，可以使用主成分分析来减少自变量的数量，并且通过线性组合生成新的维度，称为主成分。
主成分分析可以通过奇异值分解来实现。
具体步骤如下：首先，对自变量矩阵X进行中心化处理，即将每个变量减去其均值；然后，计算自变量矩阵X的奇异值分解：X=UΣV^T，其中U和V^T是正交矩阵，Σ是奇异值矩阵；最后，根据奇异值矩阵Σ选择前k个奇异值对应的主成分，将自变量投影到这些主成分上。
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普通最小二乘法（OLS ）
普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方
法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。
在已经获得样本观测值
i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下
（见图2.2.1中的散点），假如模型（2.2.1）的参数估计量
已经求得到，为^0β和^
1β，并且是最合理的参数估计量，那
么直线方程（见图2.2.1中的直线）
i i x y ^
1^0^ββ+= i=1,2,…,n
(2.2.2)
应该能够最好地拟合样本数据。
其中
^
i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释
变量的观测值计算得到的。
那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。
),()(102
2101ββββQ u x y Q i i n
i i ==--=∑∑= ()()
),(min ˆˆˆˆ1
02
1
102
12ˆ,ˆ1
1
ββββββββQ x y y y u Q n
i i n
i i i =--=-==∑∑∑==
(2.2.3)
为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。
这就是最小二乘原则。
那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。
由于
2
1
^
1^01
2
^
))(()(∑∑+--=n
i i n
i i x y y y Q ββ＝
是
^
0β、^
1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。
根据罗彼塔法则，当Q 对^
0β、
^
1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。
即
1
1001
100ˆ,ˆ1
ˆ,ˆ0=∂∂=∂∂====ββββββββββQ Q (2.2.4)
容易推得特征方程：
()0)ˆˆ(0ˆ)ˆˆ(101
110==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i
i
n
i i i i i i
n
i i
e x x y
x e y y x y
ββββ
解得：
∑∑∑∑∑+=+=2^
1
^
^
1
^
i
i
i
i
i
i
x
x x y x
n y ββββ （2.2.5）
所以有：⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧
-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n
i i i n
i i n i i n i i n i i n i i i 1012121
121111ˆˆ)())(()()()(ˆβββ （2.2.6） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。
为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。
由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。
但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。
记
∑=
-
i x n
x 1
∑=
-
i y n y 1
y y y
x x x
i i i i -=-=
（2.2.6）的参数估计量可以写成
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧
-===∑∑==x
y x y x n t i n
t i i 101211ˆˆˆβββ (2.2.7)
至此，完成了模型估计的第一项任务。
下面进行模型估计的第二项任务，即求随机误差项方差的估计量。
记i i i i
y y u
e ˆˆ-==为第i 个样本观测点的残差，即被解释变量的估计值与观测值之差。
则随机误差项方差的估计量为
2
ˆ2
2
-=
∑n e i
u σ
(2.2.8)
在关于2ˆu σ的无偏性的证明中，将给出（2.2.8）的推导过程，有兴趣的读者可以参考
有关资料。
在结束普通最小二乘估计的时候，需要交代一个重要的概念，即“估计量”和“估计值”的区别。
由（2.2.6）给出的参数估计结果是由一个具体样本资料计算出来的，它是一个“估计值”，或者“点估计”，是参数估计量
^0β和^
1β的一个具体数值；但从另一个角度，仅仅
把（2.2.6）看成
^
0β和^
1β的一个表达式，那么，则是i y 的函数，而i y 是随机变量，所以^
β和^
1β也是随机变量，在这个角度上，称之为“估计量”。
在本章后续内容中，有时把
^
0β和
^1β作为随机变量，有时又把^0β和^
1β作为确定的数值，道理就在于此。
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