《平行四边形及其性质》知识讲解(基础)

平行四边形及其性质（基础）
【学习目标】
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理.
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．
4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。

“夹在两条平行线间的垂线段相
等”．
【要点梳理】
知识点一、平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点二、平行四边形的性质定理
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点三、平行线的性质定理
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
1、如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，若AF 、BE 分别为∠DAB 、∠CBA 的平分线．求证：DF ＝EC ．
【答案与解析】
证明：∵ 在ABCD 中，CD ∥AB ，
∠DFA ＝∠FAB ．
又∵ AF 是∠DAB 的平分线，
∴ ∠DAF ＝∠FAB ，
∴ ∠DAF ＝∠DFA ，
∴ AD ＝DF ．
同理可得EC ＝BC ．
∵ 在ABCD 中，AD ＝BC ，
∴ DF ＝EC ．
【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件．
举一反三：
【变式】如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE ＝AF ，请你猜想：线段BE 与线段DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.
【答案】
证明：猜想：BE ∥DF 且BE ＝DF.
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴CB=AD ，CB ∥AD
∴∠BCE ＝∠DAF
在△BCE 和△DAF 中
CB AD BCE DAF
CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BCE ≌△DAF
∴BE ＝DF ，∠BEC ＝∠DFA
∴BE ∥DF
即 BE ∥DF 且BE ＝DF.
2.（2016·永州）如图，在▱ABCD 中，∠BAD 的角平分线AE 交CD 于点F,交BC 的延长线于点E ．
（1）求证：BE=CD ；
（2）连接BF ，若BF ⊥AE ，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD 的面积．
【思路点拨】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA ，即可证明；（2）证明△ABE 为等边三角形，由勾股定理求出BF ，由AAS 证明△ADF ≌△ECF ，得出△ADF 与△ECF 的面积相等，平行四边形ABCD 的面积=△ABE 的面积，即可得出结果．
【答案与解析】
（1）证明：∵在平行四边形ABCD 中，AD∥BC，AB ∥CD ，AB=CD ，
∴∠AEB =∠DAE ，
又∵AE 是∠BAD 的角平分线，
∴∠B AE =∠DAE ，
∴∠AEB =∠BAE ，
∴AB =BE ，
∴BE=CD ．
（2）解：∵AB =BE ，∠BEA=60°
∴△ABE 为等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF ⊥AE ，
∴AF=EF=2，
∴
BF=
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF ，∠DAF=∠E ，
在△ADF 和△ECF 中，
D ECF DAF
E A
F EF ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
,
∴△ADF ≌△ECF （AAS ）
∴△ADF 的面积=△ECF 的面积，
∴平行四边形ABCD 的面积=△ABE 的面积
=11422
AE BF ⋅=⨯⨯=． 【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定、勾股定理；解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．
3.如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，AB 上，DE=BF ，把平行四边形沿直线EF
折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G．求证：（1）∠1=∠2；
(2）DG=B′G．
【思路点拨】（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠2=∠FEC，由折叠得出∠1=∠FEC=∠2，即可得出答案；
（2）求出EG=B′G，推出∠DEG=∠EGF，由折叠求出∠B′FG=∠EGF，求出DE=B′F，证△DEG ≌△B′FG即可．
【答案与解析】
证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，
∴∠2=∠FEC，
由折叠得：∠1=∠FEC，
∴∠1=∠2；
（2）∵∠1=∠2，
∴EG=GF，
∵AB∥DC，
∴∠DEG=∠EGF，
由折叠得：EC′∥B′F，
∴∠B′FG=∠EGF，
∵DE=BF=B′F，
∴DE=B′F，
∴△DEG≌△B′FG（SAS），
∴DG=B′G．
【总结升华】本题考查了平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
4.如图，已知▱ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB=BE．
【思路点拨】根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥CD，推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，证△CDF ≌△BEF，推出BE=DC即可．
【答案与解析】
证明：∵F 是BC 边的中点，
∴BF=CF ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC ，AB ∥CD ，
∴∠C=∠FBE ，∠CDF=∠E ，
∵在△
CDF 和△BEF 中
＝＝＝C FBE CDF E CF BF ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩
∴△CDF ≌△BEF （AAS ），
∴BE=DC ，
∵AB=DC ，
∴AB=BE ．
【总结升华】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出△CDF ≌△BEF ．
举一反三：
【变式】如图，已知在▱ABCD 中，延长AB ，使AB=BF ，连接DF ，交BC 于点E ．
求证：E 是BC 的中点．
【答案】
证明：在□ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=CD ，
∴∠CDF=∠F ，∠CBF=∠C ，
∵AB=FB ，
∴DC=FB ，
∴△DEC ≌△FEB ，
∴EC=EB ，
即E 为BC 的中点．
类型二、平行线的性质定理及其推论
5.（1）如图1，已知△ABC ，过点A 画一条平分三角形面积的直线；
（2）如图2，已知l 1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等；
（3）如图3，点M 在△ABC 的边上，过点M 画一条平分三角形面积的直线．
【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画直线即可；
（2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；
（3）结合（1）和（2）的结论进行求作．
【答案与解析】
【总结升华】此题主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等．
举一反三：
【变式】（南京校级期中）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．
探索：
已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD．
应用此定理进行证明求解．
应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求证：∠B=∠C；
应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和．
【答案】
探索：
证明：如图1，
连接AC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA
∵AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB=CD；
应用一：
证明：如图2，
作DE∥AB交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴AB=DE
∵AB=CD，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠C
∵DE∥AB，
∴∠B=∠DEC，
∴∠B=∠C；
应用二、
解：如图3，
作DF∥AC交BC的延长线于点F
∵AD∥BC，∴AC=DF、AD=CF，
∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BEC，
∵AC⊥BD，∴∠BDF=∠BEC=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF=5，
故BC+AD=BC+CF=BF=5．。