北师大版九年级数学下册二次函数专题训练(参考答案)
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》复习训练题含答案解析 (29)
一、选择题1.对于题目“一段抛物线L：y=−x(x−3)+c与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值”．甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则( )A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确2.下列二次函数的图象与x轴有两个交点的是( )A．y=(x−23)2+155B．y=(x+23)2+155C．y=−(x−23)2−155D．y=−(x+23)2+1553.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象经过A(−4,−4)，B(6,−4)顶点为P，则下列说法中错误的是( )A．不等式ax2+bx+c>−4的解为−4<x<6B．关于x的方程a(x+4)(x−6)−4=0的解与ax2+bx+c=0的解相同C．△PAB为等腰直角三角形，则a=−15D．当t≤x≤t+2时，二次函数y=ax2+bx+c的最大值为at2+bt+c，则t≥04.在二次函数y=ax2+bx+c中，x与y的部分对应值如表所示：x⋯−1013⋯y⋯−3131⋯则下列说法：①图象开口向下；②图象的顶点坐标为(1,3)；③当x=4时，y的值为−3；④ −1是方程ax2+bx+c+3=0的一个根．其中正确的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0)，其对称轴为直线x=l，结合图象给出下列结论：① ac<0；② 4a−2b+c>0；③当x>2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标(1,n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：① 3a+b<0；② −1≤a≤−2；③对于任意实3数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个x的图象如图所示，则方程ax2+ 7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=23)x+c=0(a≠0)的两根之和( )(b−23A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x= 2．下列结论：① 4a+b=0；② 9a+c>3b；③ 8a+7b+2c>0；④若点A(−3,y1)，点B(−2,y2)，点C(8,y3)在该函数图象上，则y1<y3<y2；⑤若方程a(x+1)(x−5)=−3的两根为x1和x2，且x1<x2，则x1<−1<x2<5．其中正确的结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个9.在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个完美点(32,32)，且当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c−34(a≠0)的最小值为−3，最大值为1，则m的取值范围是( )A．−1≤m≤0B．2≤m<72C．2≤m≤4D．94<m≤7210.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P 到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y 与x之间的函数关系的是( )A．B．C．D．二、填空题11.已知A(−1,y1)，B(−2,y2)是抛物线y=−2x2上的两点，则y1y2（填>，<，=）．12.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点(−1,0)和点(0,−3)，且顶点在第四象限，则a的取值范围是．x+b与函数y=x2+∣2x2−1∣的图象有且只有三个交点，则b的值为．13.直线y=1214.在平面直角坐标系xOy中，函数y1=x(x<m)的图象与函数y2=x2(x≥m)的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P(0,n)且与x轴平行的直线总与图形G有公共点．写出一个满足条件的实数m的值为（写出一个即可）．15.已知二次函数y=−x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x2+2x+m=0的解为．16.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为．17.如图，一段抛物线：y=−x2+2x(0≤x≤2)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180∘得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180∘得C3，交x轴于点A3；⋯如此进行下去，直至得C15，若P(28.5,m)在第15段抛物线C15上，则m的值为．三、解答题18.已知二次函数图象过点A(−2,0)，B(4,0)，C(0,4)．(1) 求二次函数的解析式；(2) 如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC=90∘？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．(3) 点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=5，求点K的坐标．319.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,−6)，与x轴的一个交点坐标是A(−2,0)，求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；20.已知抛物线y=2x2−4x+c与x轴有两个不同的交点．(1) 求c的取值范围；(2) 若抛物线y=2x2−4x+c经过点A(2,m)和点B(3,n)，试比较m与n的大小，并说明理由．21.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长a的变化而变化．(1) 当矩形边长a为多少米时，矩形面积为200m2？(2) 求出S关于a的函数关系式，并写出自变量a的取值范围；(3) 当a是多少时，场地的面积S最大？22.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=nx2−4nx+4n−1(n≠0)，与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），与y轴交于点A．(1) 求抛物线顶点M的坐标；(2) 若点A的坐标为(0,3)，AB∥x轴，交抛物线于点B，求点B的坐标；(3) 在（2）的条件下，将抛物线在B，C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G，x+m与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围．若直线y=1223.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3) 在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．(4) 若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标．24.已知函数y=x2−2x−3．(1) 画出此函数的图象；（要求：列表、描点、连线）(2) 若方程x2−2x−3=k有实数解，则实数k的取值范围为．25.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的正半轴交于点A，B，与y轴的负半轴交于点C，点D为OC的中点，DA的延长线交抛物线于另一点E，连接OE．已知点A(1,0)，且S△AOD=2S△AOE．(1) 求点D和点E的坐标（用含字母c的代数式表示）．(2) 若tan∠OED=12，求该二次函数的函数表达式．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】把y=x+2代入y=−x(x−3)+c，得x+2=−x(x−3)+c，即x2−2x+2−c=0，∴Δ=(−2)2−4×1×(2−c)=−4+4c=0，解得c=1，∴甲的结果正确．2. 【答案】D【解析】A．顶点为(23,155)，在第一象限，且开口向上，所以与x轴无交点；B．顶点为(−23,155)，在第二象限，且开口向上，所以与x轴无交点；C．顶点为(23,−155)，在第四象限，且开口向下，所以与x轴无交点；D．顶点为(−23,155)，在第二象限，且开口向下，所以与x轴有两个交点．本题选择与x轴有两个交点的二次函数的图象．3. 【答案】D【解析】由函数图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象位于A(−4,−4)，B(6,−4)两点之间部分在y=−4的上方，即不等式ax2+bx+c>−4的解为−4<x<6，故A正确；由题意知，当x=−4或6时，a(x+4)(x−6)−4=−4，又因二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象经过A(−4,−4)，B(6,−4)，有当x=−4或6时，y=ax2+bx+c=−4，所以a(x+4)(x−6)−4=ax2+bx+c，则关于x的方程a(x+4)(x−6)−4=0的解与ax2+bx+c=0的解相同，故B正确；=1，由题意得，P点的横坐标为：−4+62则P点纵坐标为：a+b+c=a−2a+c=−a+c，若△PAB为等腰直角三角形，则点P到AB的距离等于AB的一半，(6+4)，得c=1+a，有−a+c+4=12则抛物线的解析式为：y=ax2+bx+x=ax2−2ax+a+1，，故C正确；把A(−4,−4)代入，得−4=16a+8a+a+1，解得a=−15由图象可知，当0≤t<1时，二次函数的最大值顶点的纵坐标>at2+bt+c，故D错误．4. 【答案】C5. 【答案】C【解析】抛物线开口向上，因此a>0，与y轴交于负半轴，因此c<0，故ac<0，所以①正确；抛物线对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(4,0)，则另一个交点为(−2,0)，于是有4a−2b+c=0，所以②不正确；x>1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④．6. 【答案】D【解析】利用抛物线的开口方向可得a<0，再由抛物线的对称轴可得b=2a，由此可对①进行判断；利用2≤c≤3结合已知条件可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c直线y=n−1的交点个数可对④进行判断．∵抛物线开口向下，∴a<0，=1，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a，∴3a+b=3a−2a=a<0，故①正确；∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，∴a−b+c=0，∴c=−3a，∵2≤c≤3，∴2≤−3a≤3，，故②正确；∴−1≤a≤−23∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，∴x=1时，二次函数有最大值为n，∴对于任意实数m，总有a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，∴抛物线y=ax2+bx+c直线y=n−1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，故④正确，故选D．7. 【答案】A8. 【答案】A=2，【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−4a，即4a+b=0，∴①正确；∵x=−3时，y<0，∴9a−3b+c<0，即9a+c<3b，∴②错误；∵抛物线经过点(−1,0)，∴a−b+c=0，而b=−4a，∴a+4a+c=0，则c=−5a，∴8a+7b+2c=8a−28a−10a=−30a，而a<0，∴8a+7b+2c>0，∴③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下且对称轴为x=2，A，B，C三点的橫坐标到对称轴的距离由远及近的是：(8,y3)，(3,y1)，(−2,y2)，∴y3<y1<y2，∴④错误；∵如图所示：抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(5,0)，∴抛物线解析式为y=a(x+1)(x−5)，∴方程a(x+1)(x−5)=−3的两根x1和x2为抛物线y=a(x+1)(x−5)与直线y=−3的交点的横坐标，∴x1<−1<5<x2；∴⑤错误．综上所述，其中正确的结论有3个．9. 【答案】C【解析】令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意，Δ=32−4ac=0，即4ac=9，又方程的根为−32a =32，解得 a =−1，c =−94，故函数 y =ax 2+4x +c −34=−x 2+4x −3， 如图，该函数图象顶点为 (2,1)，与 y 轴交点为 (0,−3)，由对称性，该函数图象也经过点 (4,−3)，∵ 函数图象在对称轴 x =2 左侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小，且当 0≤x ≤m 时，函数 y =−x 2+4x −3 的最小值为 −3，最大值为 1，∴2≤m ≤4．10. 【答案】B【解析】在 Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AB =6，BC =10，∴AC =√BC 2−AB 2=8．当 0≤x ≤6 时，AP =6−x ，AQ =x ，∴y =PQ 2=AP 2+AQ 2=2x 2−12x +36；当 6≤x ≤8 时，AP =x −6，AQ =x ，∴y =PQ 2=(AQ −AP )2=36；当 8≤x ≤14 时，CP =14−x ，CQ =x −8，∴y =PQ 2=CP 2+CQ 2=2x 2−44x +260．二、填空题11. 【答案】 >【解析】 ∵A (−1,y 1)，B (−2,y 2) 是抛物线 y =−2x 2 上的两点，∴y 1=−2×(−1)2=−2，y 2=−2×(−2)2=−8，∴y 1>y 2．故答案为：>．12. 【答案】 0<a <3【解析】 ∵ 抛物线 y =ax 2+bx +c (a >0) 过点 (−1,0) 和点 (0,−3)，∴{a −b +c =0,c =−3,∴a −b =3，b =a −3，∵ 顶点在第四象限，∴{−b 2a >0,4ac−b 24a<0, 即 −a−32a >0, ⋯⋯① 4a⋅(−3)−(a−3)24a<0, ⋯⋯② 解不等式①得，a <3，不等式②整理得，(a +3)2>0，∴a ≠−3，∴a 的取值范围是 0<a <3．故答案为：0<a <3．13. 【答案】12+√24 或 171614. 【答案】答案不唯一，如：1(0≤m ≤1)15. 【答案】 x 1=4，x 2=−2【解析】根据图象可知，二次函数 y =−x 2+2x +m 的部分图象经过点 (4,0)，∴ 该点适合方程 y =−x 2+2x +m ，代入，得 −42+2×4+m =0解得 m =8. ⋯⋯①把 ① 代入一元二次方程 −x 2+2x +m =0，得 −x 2+2x +8=0. ⋯⋯②解 ② 得 x 1=4，x 2=−2．16. 【答案】 x 1=−1，x 2=3【解析】由题意可得：抛物线对称轴是直线 x =1，且图象与 x 轴的一个交点为 (−1,0)，则图象与 x 轴的另一个交点为 (3,0)，故一元二次方程 ax 2+bx +c =0 的两根为：x 1=−1，x 2=3．17. 【答案】 0.75【解析】令 y =0，则 −x (x −2)=0，解得 x 1=0，x 2=2，∴A 1(2,0)，由图可知，抛物线 C 14 在 x 轴下方，相当于抛物线 C 1 向右平移 4×7=28 个单位得到 C 14，再将 C 14 绕点 A 14 旋转 180∘ 得 C 15，∴ 抛物线 C 15 解析式为 y =−(x −28)(x −30)，∵P (28.5,m ) 在第 15 段抛物线 C 15 上，∴m =−(28.5−28)(28.5−30)=0.75．三、解答题18. 【答案】(1) 二次函数的图象过点 A (−2,0)，B (4,0)，设二次函数解析式为 y =a (x +2)(x −4)，又二次函数的图象过点 C (0,4)，∴−8a =4 即 a =−12．故二次函数解析式为 y =−12x 2+x +4．(2) 线段上存在 M (−2429,5629)，使得 ∠BMC =90∘． 理由如下：设 BC 中点为 Q ，由题意，易知 Q 的坐标为 (2,2)，BC =4√2．若 ∠BMC =90∘，则 MQ =12BC =2√2．∵A (−2,0)，C (0,4)，∴AC 的中点 P 为 (−1,2)．设 PB 所在的直线为 y =kx +b ，则 {−k +b =2,4k +b =0. 得 k =−25，b =85， PB 所在的直线为 y =−25x +85．M 在线段 PB 上，设 M 的坐标为 (a,−25a +85)，其中 −1≤a ≤4．如图 1，分别过 M ，Q 作 y 轴与 x 轴的垂线 l 1，l 2，设 l 1，l 2 相交于点 T ，∴QT =∣∣−25a +85−2∣∣=∣∣25a +25∣∣，MT =∣a −2∣， ∵MQ 2=QT 2+MT 2，∴(25a +25)2+(a −2)2=8， 整理得 29a 2−92a −96=0，解得 a =−2429 或 a =4，当 a =4 时，B ，M 重合，不合题意（舍去），∴a =−2429，则 M 的坐标为 (−2429,5629)．故线段 PB 上存在 M (−2429,5629)，使得 ∠BMC =90∘．(3) 如图 2，过点 D 作 DE ⊥BC 于点 E ，设直线 DK 与 BC 交于点 N ，∵D (1,0)，B (4,0)，∠EBD =45∘，∴DB =3，DE =3√22，E (52,32)． ∵C (0,4)，∴ 直线 BC:y =−x +4．在 Rt △DNE 中，NE =DE tanθ=3√2253=9√210．① 若 DK 与射线 EC 交于点 N (m,4−m )，∴NE =√2(52−m)=9√210，∴m =85， ∴N (85,125)， ∴ 直线 DK:y =4x −4，∴{y =4x −4,y =−12x 2+x +4.解得 {x =2,y =4 或 {x =−8,y =−36.② 若 DK 与射线 EB 交于点 N (m,4−m )，∴NE =√2(m −52)=9√210， ∴m =175，∴N (175,35)，∴ 直线 DK:y =14x −14．{y =14x −14,y =−12x 2+x +4,解得 {x =3+√1454,y =−1+√14516 或 {x =3−√1454,y =−1−√14516.综上所述，抛物线上符合条件的点 K 坐标为：(2,4) 或 (−8,−36) 或 (3+√1454,−1+√14516) 或(3−√1454,−1−√14516)．19. 【答案】 ∵ 二次函数 y =x 2+bx +c 的图象与 y 轴交于点 C (0,−6)，与 x 轴的一个交点坐标是 A (−2,0)，∴ {c =−6,(−2)2−2b +c =0,解得，{b =−1,c =−6.∴ 该函数的解析式为 y =x 2−x −6，∵ y =x 2−x −6=(x −12)2−254， ∴ 顶点 D 的坐标为 (12,−254)．20. 【答案】(1) b 2−4ac =(−4)2−8c =16−8c ．由题意，得 b −4ac >0，∴16−8c >0，解得 c <2．∴c 的取值范围是 c <2．(2) m <n ．理由如下：∵ 抛物线的对称轴为直线 x =1，又 ∵a =2>0，∴ 当 x ≥1 时，y 随 x 的增大而增大．∵2<3，∴m <n ．21. 【答案】(1) 由题意得 a (30−a )=200．解得 a 1=10，a 2=20．∴ 边长 a 为 10 米或 20 米．(2) S =a (30−a )=−a 2+30a ．0 <a <30．(3) S =−a 2+30a =−(a −15)2+225．∴ 当 a =15 米时，S 最大，最大值为 225 平方米．22. 【答案】(1) M (2,−1)．(2) B (4,3)．(3) ∵ 抛物线 y =nx 2−4nx +4n −1(m ≠0) 与 y 轴交于点 A (0,3)，∴4n −1=3．∴n =1．∴ 抛物线的表达式为 y =x 2−4x +3，由 12x +m =x 2+4x +3，由 Δ=0，得：m =−116， ∵ 抛物线 y =x 2−4x +3 与 x 轴的交点 C 的坐标为 (1,0)，∴ 点 C 关于 y 轴的对称点 C 1 的坐标为 (−1,0)．把 (−1,0) 代入 y =12x +m ，得：m =12；把 (−4,3) 代入 y =12x +m ，得：m =5． ∴ 所求 m 的取值范围是 m =−116 或 12<m ≤5．23. 【答案】(1) 方法一：将 A (−1,0)，B (3,0)，C (0,3) 代入抛物线 y =ax 2+bx +c 中，得：{a −b +c =0,9a +3b +c =0,c =3,解得：{a =−1,b =2,c =3, ∴ 抛物线的解析式：y =−x 2+2x +3．(2) 方法一：连接 BC ，直线 BC 与直线 l 的交点为 P ；∵ 点 A ，B 关于直线 l 对称，∴PA =PB ，∴BC =PC +PB =PC +PA ．设直线 BC 的解析式为 y =kx +b (k ≠0)，将 B (3,0)，C (0,3) 代入上式，得：{3k +b =0,b =3, 解得：{k =−1,b =3,∴ 直线 BC 的函数关系式 y =−x +3．当 x =1 时，y =2，即 P 的坐标 (1,2)．(3) 符合条件的点有 4 个，M 1(1,√6)，M 2(1,−√6)，M 3(1,1)，M 4(1,0)．(4) 作点 O 关于直线 AC 的对称点 O 交 AC 于 H ，作 HG ⊥AO ，垂足为 G ，∴∠AHG +∠GHO =90∘，∠AHG +∠GAH =90∘，∴∠GHO =∠GAH ，∴△GHO ∽△GAH ，∴HG 2=GO ⋅GA ，∵A (−1,0)，C (0,3)，∴l AC ：y =3x +3，H (−910,310)， ∵H 为 OOʹ 的中点，∴Oʹ(−95,35)，∵D (1,4)，∴l OʹD ：y =1714x +3914，l AC ：y =3x +3， ∴x =−325，y =6625，∴Q (−325,6625)．【解析】(1) 方法二：∵A (−1,0)，B (3,0)，C (0,3)，∴y =−(x +1)(x −3)，即 y =−x 2+2x +3．(2) 方法二：连接 BC ．∵l 为对称轴，∴PB =PA ，∴C ，B ，P 三点共线时，△PAC 周长最小，把 x =1 代入 l BC ：y =−x +3，得 P (1,2)．(3) 方法一：抛物线的对称轴为：x =−b 2a =1，设 M (1,m )，已知 A (−1,0)，C (0,3)，则：MA 2=m 2+4，MC 2=(3−m )2+1=m 2−6m +10，AC 2=10．①若 MA =MC ，则 MA 2=MC 2，得：m 2+4=m 2−6m +10，得：m =1；②若 MA =AC ，则 MA 2=AC 2，得：m 2+4=10，得：m =±√6；③若 MC =AC ，则 MC 2=AC 2，得：m 2−6m +10=10，得：m 1=0，m 2=6，当 m =6 时，M ，A ，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的 M 点，且坐标为 M(1,√6)，(1,−√6)，(1,1)，(1,0)．方法二：设 M (1,t )，A (−1,0)，C (0,3)．∵△MAC 为等腰三角形，∴MA =MC ，MA =AC ，MC =AC ，(1+1)2+(t −0)2=(1−0)2+(t −3)2，∴t =1；(1+1)2+(t −0)2=(−1−0)2+(0−3)2，∴t =±√6；(1−0)2+(t −3)2=(−1−0)2+(0−3)2，∴t 1=6，t 2=0，经检验，t =6 时，M ，A ，C 三点共线，故舍去．综上可知，符合条件的点有 4 个，M 1(1,√6)，M 2(1,−√6)，M 3(1,1)，M 4(1,0)．24. 【答案】(1) 表格及图象如下：x ⋯−10123⋯y ⋯0−3−4−30⋯(2) k ≥−4【解析】(2) 方程 x 2−2x −3=k 有实数解，则 Δ≥0，即：(−2)2−4(−3−k )≥0，解得：k ≥−4．25. 【答案】(1) 如图 1，过 E 作 EH ⊥x 轴于 H ，当 x =0 时，y =c ，∴C (0,c )，∵ 点 D 为 OC 中点，∴D (0,c 2)，∵S △AOD =2S △AOE ，∴EH OD =12，∵OD ∥EH ，∴AE AO =EH OD =12，∴AH =12，EH =−c 4，∴E (32,−c 4)．(2) 如图2，作AM⊥AE，MN⊥OA，垂足分别为M，N，∵tan∠OED=12，∴AMAE =12，证明△AMN∽△EAH，∴MN=12AH=14，AN=12EH=−c8，∴ON=1+c8，∵tan∠EOH=MNON =EHOH，∴c2+8c+12=0，解得c=−2或−6．故解得函数表达式为y=−23x2+83x−2或y=−2x2+8x−6．。
北师大版九年级下专题训练(三) 求二次函数表达式的常见类型 含答案
北师大版九年级下专题训练(三) 求二次函数表达式的常见类型含答案►类型一已知三点求表达式1．已知：如图3－ZT－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求此抛物线的表达式．图3－ZT－12．如图3－ZT－2①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．图3－ZT－2►类型二已知顶点或对称轴求表达式3．如图3－ZT－3，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是______________．图3－ZT－34．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的表达式．5．已知抛物线经过点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求该抛物线的表达式．6．如图3－ZT－4，已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．图3－ZT－4► 类型三 已知抛物线与x 轴的交点求表达式7．抛物线与x 轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y 轴交于点(0，－3)，则此抛物线的表达式为( )A ．y ＝x 2＋2x ＋3B ．y ＝x 2－2x －3C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2＋2x －38．如图3－ZT －5，已知抛物线过A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(3，0)，且3AB ＝4OC ，则抛物线的表达式为______________．图3－ZT －59．已知抛物线的顶点坐标为(1，9)，它与x 轴有两个交点，两交点间的距离为6，求抛物线的表达式．► 类型四 根据图形平移求表达式10．一个二次函数图象的形状与抛物线y ＝－2x 2相同，顶点坐标为(2，1)，则这个二次函数的表达式为______________________________．11．将抛物线y ＝12x 2平移，使顶点的坐标为(t ，t 2)，并且经过点(1，1)，求平移后抛物线对应的函数表达式．12．把抛物线y ＝x 2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图3－ZT －6所示的抛物线．(1)求此抛物线的表达式；(2)在抛物线上存在一点M ，使△ABM 的面积为20，请直接写出点M 的坐标．图3－ZT －613．如图3－ZT －7，经过点A(0，－6)的抛物线y ＝1x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于B(－2，0)，C 两点．(1)求此抛物线的表达式和顶点D 的坐标；(2)将(1)中求得的抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线y 1，若新抛物线y 1的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围．图3－ZT －7详解详析1．解：把(－1，0)，(0，－3)，(4，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－3，16a ＋4b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.所以此抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3.2．解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)因为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2. (3)阴影部分的面积为2. 3．[答案] y ＝－x 2＋2x ＋3[解析] ∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴b2＝1，解得b ＝2. ∵抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)，∴0＝－9＋6＋c ，解得c ＝3， 故抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3. 4．解：∵二次函数图象的顶点为A (1，－4)，∴设该二次函数的表达式为y ＝a (x －1)2－4.将(3，0)代入表达式，得a ＝1， 故该二次函数的表达式为y ＝(x －1)2－4，即y ＝x 2－2x －3.5．解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝2且经过点A (1，0)， ∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0)． 设抛物线的表达式为y ＝a (x －1)(x －3)． 把(0，3)代入表达式，得3＝3a ， ∴a ＝1，∴该抛物线的表达式为y ＝(x －1)(x －3)， 即y ＝x 2－4x ＋3.6．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，4)， ∴设此抛物线的表达式为y ＝a (x －1)2＋4. ∵抛物线过点B (0，3)，∴3＝a (0－1)2＋4，解得a ＝－1，∴此抛物线的表达式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E (0，－3)，连接AE 交x 轴于点P . 设直线AE 的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝7，b ＝－3，∴直线AE 的表达式为y ＝7x －3. 当y ＝0时，x ＝37，∴当PA ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为(37，0)．7．[解析] B 由抛物线与x 轴交于点(－1，0)和(3，0)，设此抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)．又因为抛物线与y 轴交于点(0，－3)，把x ＝0，y ＝－3代入y ＝a (x ＋1)(x －3)，得－3＝a (0＋1)(0－3)，即－3a ＝－3，解得a ＝1，故此抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.故选B.8．[答案] y ＝－x 2＋2x ＋39．解：由抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的两个交点分别为(－2，0)和(4，0)，所以设其表达式为y ＝a (x ＋2)(x －4)．将(1，9)代入表达式，得9＝a (1＋2)(1－4)， 解得a ＝－1.所以抛物线的表达式为y ＝－(x ＋2)(x －4)， 即y ＝－x 2＋2x ＋8.10．[答案] y ＝－2x 2＋8x －7或y ＝2x 2－8x ＋911．解：根据题意，得平移后的抛物线的表达式为y ＝12(x －t )2＋t 2. ∵平移后的抛物线经过点(1，1)， ∴1＝12(1－t )2＋t 2，解得t ＝1或t ＝－13，∴平移后抛物线对应的函数表达式为y ＝12(x －1)2＋1或y ＝12(x ＋13)2＋19， 即y ＝1x 2－x ＋3或y ＝1x 2＋1x ＋1.12．解：(1)此抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)2－4，即y ＝x 2＋2x －3.(2)∵当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴A (1，0)，B (－3，0)，∴AB ＝4.设点M 的坐标为(m ，n )． ∵△ABM 的面积为20， ∴12AB ·|n |＝20，解得n ＝±10. 当n ＝10时，m 2＋2m －3＝10， 解得m ＝－1＋14或m ＝－1－14， ∴M (－1＋14，10)或M (－1－14，10)； 当n ＝－10时，m 2＋2m －3＝－10，此方程无解． 故点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)．13．解：(1)∵点A 的坐标为(0，－6)， ∴y ＝12x 2＋bx －6.∵该抛物线过点B (－2，0)，∴12×(－2)2－2b －6＝0，解得b ＝－2， ∴此抛物线的表达式为y ＝12x 2－2x －6. ∵y ＝12x 2－2x －6＝12(x －2)2－8， ∴抛物线的顶点D 的坐标为(2，－8)．(2)平移后所得新抛物线的表达式为y 1＝12(x －2＋1)2－8＋m ， 即y 1＝12(x －1)2－8＋m ， ∴顶点P 的坐标为(1，m －8)．对于y ＝12x 2－2x －6，令y ＝0，得12x 2－2x －6＝0，解得x 1＝6，x 2＝－2， ∴C (6，0)，∴直线AC 的表达式为y ＝x －6， 当x ＝1时，y ＝－5. ∵点P 在△ABC 内，∴⎩⎨⎧m －8＜0，m －8＞－5，解得3<m <8.。
北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题(附答案)
北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，03．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或34．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形P ABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm26．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣67．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8D．98．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或﹣C．2或﹣D．2或﹣或﹣9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或C．3或﹣D．﹣3或﹣10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定二．填空题（共10小题）11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是．12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是．14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为﹣2，则m的值为．16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝．17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是．19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝．20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是．三．解答题（共5小题）21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝，max{0，3}＝；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A 为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x ≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．（1）当c＝1时，求M1，M2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或解：二次函数的对称轴为直线x＝m①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，0解：抛物线的对称轴是直线x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．3．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5解得：h＝5或h＝1（舍）；③若1≤h≤3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．4．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或2解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1故选：D．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形P ABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6cm．设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm∴S四边形P ABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC•BC﹣PC•CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15．∵1＞0，∴当t＝3时，四边形P ABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．6．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6解：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤，∴当x＝时，y取最大值，y最大＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5．故选：C．7．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7B．7.5C．8D．9解：设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点∴解得，∴y＝﹣x2+5x﹣4设过点B（4，0），C（0，﹣4）的直线的解析式为y＝kx+m解得，即直线BC的直线解析式为：y＝x﹣4设点D的坐标是（x，﹣x2+5x﹣4）∴＝﹣2（x﹣2）2+8∴当x＝2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8．故选：C．8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或﹣C．2或﹣D．2或﹣或﹣解：二次函数对称轴为直线x＝m①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4解得m＝﹣，不合题意，舍去；②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，解得m＝±∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，∴m＝﹣；③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2．综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．故选：C．9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或C．3或﹣D．﹣3或﹣解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，解得：m＝3；②m＜0，抛物线开口向下∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，解得：m＝﹣；故选：C．10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小∴y3最小，y1最大，故选：A．二．填空题（共10小题）11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是s≥9．解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；故答案为：s≥9．12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝9．解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4）当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是﹣1.5或．解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上当m＞2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，综上，m 的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是1，最大值是9．解：由题意可得：y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1∵开口向上，∴当x＝1时，有最大值：y max＝9，当x＝﹣1时，y min＝1．故答案为1，9．15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为﹣2，则m的值为﹣2或．解：由题意可知抛物线的对称轴为x＝m，开口方向向上当m≤﹣1时，此时x＝﹣1时，y可取得最小值﹣2，∴﹣2＝1+2m+1，∴m＝﹣2；当﹣1＜m＜2时，∴此时x＝m，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝m2﹣2m2+1∴m＝±，∴m＝；当m≥2时，此时x＝2时，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝4﹣4m+1，∴m＝不符合题意故答案为：﹣2或．16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝﹣5．解：∵y＝﹣（x+3）2+5，∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3把y＝3代入函数解析式得到3＝﹣（x+3）2+5，解得x1＝﹣5，x2＝﹣1．∴a＝﹣5．故答案是：﹣5．17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为1．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是﹣4或2．解：∵y＝﹣x2+mx，∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝∵＝①当≤﹣1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，∴﹣1﹣m＝3解得：m＝﹣4；②当≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，∴﹣4+2m＝3解得：m＝（舍去）．③当﹣1＜＜2，即﹣2＜m＜4时，当x＝时，函数最大值为3，∴﹣+＝3解得m＝2或m＝﹣2（舍去），综上所述，m＝﹣4或m＝2故答案为﹣4或2．19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝1．解：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是0．解：由题意得：x≥0，y＝6﹣2x≥0，解得：0≤x≤3．∵μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y＝x2+2x（6﹣2x）+（6﹣2x）2﹣3x﹣2（6﹣2x）＝x2﹣11x+24＝﹣∴当x≤时，y随x的增大而减小，故当x＝3时，μ的最小值为﹣＝0．故答案为：0．三．解答题（共5小题）21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4∵对称轴是直线x＝1．∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，∴a＜0不合题意；②a＞0时，抛物线开口向上∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1；（3）①t＜0时，∵a＝1，∴b＝﹣2a＝﹣2∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3∵m﹣n＝3，∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；②≤t＜1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4∵m﹣n＝3，∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；③0＜t≤时，y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；④t≥1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；综上，t的值为﹣1或2．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC 于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y （cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴∴∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为5；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x＝2∴点（0，5）和（4，n）关于直线x＝2对称，∴n＝5，故答案为：5；（2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x＝2时，y有最小值，最小值是1；（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大∵m＜m+1，∴y1＜y2．25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x ≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．（1）当c＝1时，求M1，M2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L 上“美点”的个数；（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．解：（1）当c＝1时，函数y＝﹣x2+x+c＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+．又∵﹣2020≤x≤1，∴M1＝，y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．又∵1≤x≤2020，∴M2＝2；（2）当x＝1时，y＝﹣x2+x+c＝c﹣；y＝﹣x2+2cx+1＝2c．若点A，B重合，则c﹣＝2c，c＝﹣，∴L1：y＝﹣x2+x﹣（﹣2020≤x≤1）；L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．又点A，B重合，则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．（3）y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x＝时，M1＝+cy＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c当2020≥c≥1时，M2＝c2+1，∴|+c﹣c2﹣1|＝，∴c＝﹣1（舍去）或c＝2；当c＜1时，M2＝2c，∴|2c﹣﹣c|＝，∴c＝3（舍去）或c＝﹣；∴c＝﹣或2．当c＞2020时，M2＝﹣20202+4040c+1，∴|﹣20202+4040c+1﹣﹣c|＝∴c≈1010（舍弃），综上所述，c＝﹣或2．。
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数含答案(高分练习)
北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知点A（﹣3，7）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A.（0，7）B.（﹣1，7）C.（﹣2，7）D.（﹣3，7）2、若将函数y=a（x+3）（x-5）+b（a≠0）的图象向右平行移动1个单位，则它与直线y=b的交点坐标是( )A.（－3，0）和（5，0）B.（－2，b）和（6，b）C.（－2，0）和（6，0）D.（－3，b）和（5，b）3、将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )A. B. C. D.4、若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的一个交点坐标为（m，0），则代数式m2﹣2m+2017的值为（）A.2019B.2018C.2016D.20155、下列二次函数的图象中，其对称轴是x=1的为（）A.y=x 2+2xB.y=x 2﹣2xC.y=x 2﹣2D.y=x 2﹣4x6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A.2B.4C.8D.167、记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数.已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（）A.y＝﹣（x﹣60）2+1825B.y＝﹣2（x﹣60）2+1850C.y＝﹣（x ﹣65）2+1900D.y＝﹣2（x﹣65）2+20008、如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y=﹣x2，当水位线在AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（）A.3 mB. mC.4 mD.9 m9、函数y＝2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1， y1），B（x2， y2），且|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则（）A.y1＜y2B.y1＝y2C.y1＞y2D.y1、y2的大小不确定10、在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（）A.0B.1C.2D.311、已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：① ；② ；③ ；④；⑤ ．正确的是（）A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤12、由二次函数，可知（）A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线C.当x<3时，y随x的增大而增大D.其最小值为113、抛物线y=（x＋2）2＋1的对称轴是（）A.直线x＝－1B.直线x＝1C.直线x＝2D.直线x＝－214、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根15、函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2-a2 等代数式的值中，正数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________ .17、一个函数有下列性质：①它的图象不经过第四象限；②图象经过点（1，2）；③当x>1时，函数值y随自变量x的增大而增大.满足上述三条性质的二次函数解析式可以是________（只要求写出一个）.18、如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是________．19、已知函数y=-3（x-2）2+4，当x=________时，函数取得最大值为________.20、已知函数的图象与两坐标轴共有两个交点，则的值为________．21、如果抛物线y=（2+k）x2﹣k的开口向下，那么k的取值范围是________ ．22、抛物线y=x2﹣3x﹣15 与x 轴的一个交点是（m，0），则2m2﹣6m 的值为________．23、已知二次函数y=ax2（a≠0的常数），则y与x2成________ 比例．24、设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为________．25、若一个二次函数的二次项系数为﹣1，且图象的顶点坐标为（0，﹣3）．则这个二次函数的表达式为________三、解答题(共5题，共计25分)26、已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB＝2，求m的值．27、某宾馆有30个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天160元时，房间会全部住满。
北师大版九年级下册数学《二次函数的运用》同步练习(含答案)
二次函数的运用一 、填空题（本大题共2小题）1.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为2.某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年二 、解答题（本大题共14小题）3.小强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线、满足抛物线21855y x x =-+，其中()y m 是球的飞行高度，()x m 是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ．（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行的最大水平距离．（3）若小强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．4.某民俗旅游村为了接待游客的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可以全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应地减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费为多少元？5.某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系502600=-+，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成y x（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多6.矩形ABCD中，8cm6cm，．动点E从点C开始沿边CB向点B以AD AB==2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y (单位：2cm)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）7.足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度()x s的函数图象（不考虑空气的阻力），已知y m关于飞行时间()足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s．（1）求y关于x的函数关系式；（2）足球的飞行高度能否达到4.88米？请说明理由；（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为 2.44m （如图所示，足球的大小忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？8.有一个截面边缘为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．如图把它的截面边缘的图形放在所示的直角坐标系中．（1）直接写出抛物线的顶点坐标；（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；（3）如图，在对称轴右边2m处，桥洞离水面的高是多少？9.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 单元测试训练卷(word 含答案)
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1． 下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2 2． 如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＜0，k ＞03． 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( )A ．当x<1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4C ．当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋3>0的解集是1<x<3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－34． 下列关于二次函数的说法错误的是( )A ．抛物线y ＝－2x 2＋12x ＋1的对称轴是直线x ＝3B ．对于抛物线y ＝x 2－2x －3，点A(3，0)不在它的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋3)2－3的顶点坐标是(－3，－3)D ．函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)5． 点P(m ，n)在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2＋ax ＋4的图像上．则m －n 的最大值等于( )A ．154B ．4C ．－154D ．－1746． 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7． 如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48． 如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二．填空题（共6小题，4*6=24）9．抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10． 若二次函数y ＝x 2＋2x ＋a 的图象与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是__________．11． 如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为 ．12． 已知二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．13． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14． 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1．以上结论中，正确的结论序号是________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．16．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)17．(8分) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．(1)求b、c的值；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标；(3)根据图像直接写出：点C关于直线x＝2的对称点D的坐标为________；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示)．18．(10分) 如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．19．(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶T1到x轴的距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P．(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并指出点P会落在哪个台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE 沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9．高，(0，15)10．a ＜111．⎝⎛⎭⎫2，32 12．m≥－213．014．①④15．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 即a 的值为1，b 的值为－2．16．解： (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m ．∴m ＝－1．∴y ＝x －1．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>317．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为(2，0)．∴抛物线为y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，∴b ＝4，c ＝－4．(2)画出抛物线如图：点C 的坐标为(0，－4)．(3)(4，－4)；(4－m ，n)18．(1)将点A(1，0)代入y ＝(x －2)2＋m 中得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，所以二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1．当x ＝0时，y ＝4－1＝3，所以点C 坐标为(0，3)，由于点C 和点B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以点B 坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1 (2)当kx ＋b≥(x －2)2＋m 时，1≤x≤419．解：(1)对于抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12，令y ＝0，则－x 2＋4x ＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝6，∵OA ＝2，∴A(－2，0)，∴点A 的横坐标为－2．补画y 轴，如图所示，由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4．5，7)，右边的端点为(6，7)．当x ＝4．5时，y ＝9．75>7，当x ＝6时，y ＝0<7，对于y ＝－x 2＋4x ＋12，当y ＝7时，7＝－x 2＋4x ＋12，解得x ＝－1或x ＝5，∴抛物线与台阶T 4有交点，∴点P 会落在台阶T 4上．(2)设抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12与台阶T 4的交点为R ，则R(5，7)．由题意知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过R(5，7)，最高点的纵坐标为11，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4c －b 2－4＝11，－25＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝14，c ＝－38或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝2(舍去)，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋14x －38，∴抛物线C 的对称轴为直线x ＝7，易知台阶T 5的左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7．5，6)，∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点．(3)对于抛物线C ：y ＝－x 2＋14x －38，令y ＝0，得到－x 2＋14x －38＝0，解得x ＝7＋11或x ＝7－11(舍去)，∴抛物线C 交x 轴于(7＋11，0)，当y ＝2时，2＝－x 2＋14x －38，解得x ＝4(舍去)或x ＝10，∴抛物线经过(10，2)，在Rt △BDE 中，∠DEB ＝90°，DE ＝1，BE ＝2，∴当点D 与(7＋11，0)重合时，点B 的横坐标最大，最大值为8＋11，当点B 与(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10，∴点B 横坐标的最大值比最小值大11－2．。
新北师大版九年级数学下册《二次函数》专题练习
北师大版九年级数学下册二次函数及其应用（参考答案）一、填空题：１、抛物线 y ＝－x 2＋1 的开口向 。
２、抛物线 y ＝2x 2 的对称轴是 。
３、函数 y ＝2 (x －1)2 图象的顶点坐标为 。
４、将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为 。
５、函数 y ＝x 2＋bx ＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b ＝ 。
６、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值。
７、函数 y ＝12 (x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。
８、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝ 。
９、若点 A ( 2, m) 在函数 y ＝x 2－1 的图像上，则 A 点的坐标是 。
10、抛物线 y ＝2x 2＋3x －4 与 y 轴的交点坐标是 。
11、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上。
。
12、已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图1所示：则这个二次函数的解析式是 y ＝ 。
二、选择题： １、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D ２、已知函数 y ＝(m ＋2) 22 m x是二次函数，则 m 等于（ ）A 、±2B 、2C 、－2D 、±2３、已知 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图2所示，则 a 、b 、c 满足（ ） A 、a ＜0，b ＜0，c ＜0 B 、a ＞0，b ＜0，c ＞C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0 D 、a ＜0，b ＜0，c ＞0 ４、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D５、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点６、抛物线 y ＝x 2－4x ＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ）A 、0B 、4C 、－4D 、2 三、解答题：１、如图3，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式。
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》专题训练(含答案)
北师大版九年级下册第二章二次函数专题训练一．选择题（共10小题）1．下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．圆的面积S与半径R之间的关系2．抛物线y＝2（x+3）2+5的对称轴是（）A．x＝3 B．x＝﹣5 C．x＝5 D．x＝﹣33．抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（）A．B．C．D．4．二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，y取得最大值为﹣4，且二次函数图象还经过点（1，﹣7），则二次函数的表达式为（）A．y＝﹣3x2+12x﹣16 B．y＝﹣3x2+12x﹣8C．y＝3x2+12x﹣16 D．y＝3x2+12x﹣85．如果正三角形的边长为x，那么它的面积y与x之间的函数关系是（）A．B．C．D．6．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4 7．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣58．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＞﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a＝b；③t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）；④3b+2c＜0；⑤点（﹣，y1），（，y2），（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y3＜y2，其中正确结论的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．210．关于x的二次函数+，其中a为锐角，则：①当a为30°时，函数有最小值﹣；②函数图象与坐标轴可能有三个交点，并且当a为45°时，连接这三个交点所围成的三角形面积小于1；③当a＜60°时，函数在x＞1时，y随x的增大而增大；④无论锐角a怎么变化，函数图象必过定点．其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④二．填空题（共8小题）11．抛物线y＝﹣x2﹣6x+2的对称轴为直线．12．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是．13．如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC 上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y 关于x的函数关系式是．（不需写出x的取值范围）．14．在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x 轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为15．将二次函数y＝x2﹣2x化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为．16．二次函数y＝﹣3（x+2）2﹣1的最大值是．17．已知A（m，n），B（m+8，n）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则n ＝．18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象过点A（3，m）．（1）当a＝﹣1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标；（2）如图，直线l：y＝kx+c（k＜0）交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD⊥x轴交直线l于点D，作QE⊥y 轴于点E，连接DE．设∠QED＝β，当2≤x≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，a＝．三．解答题（共8小题）19．已知函数y＝3x2﹣2x﹣1，求出此抛物线与坐标轴的交点坐标．20．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2（m为常数）．（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值；（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的值．21．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+4回答下列问题：（1）用配方法将其化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴（3）当x取何值时，y随x增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小？22．如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知某个二次函数的图象经过点A（1，2），B （2，﹣1），C（4，﹣1），且该二次函数的最小值是﹣2．（Ⅰ）请在图中描出该函数图象上另外的两个点，并画出图象；（Ⅱ）求出该二次函数的解析．24．抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），它的形状与y＝3x2相同，但开口方向与之相反．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）求抛物线与y轴的交点坐标．25．双十一期间，某百货商场打算对某商品进行一次促销活动，该商品的进价为每件20元．在之前的销售过程中发现，当每件售价定为30元时，每月销售量为500件，若售价每提高1元，每月的销售量将减少10件．（1）设该商品售价提高x元时，每月获得的利润为y元，求y关于x的函数解析式；（2）如果商场想要获得的月利润为8000元，则该商品的销售单价应定为每件多少元？（3）若有关物价部门规定，该商品的销售单价不得高于其进价的两倍，则此时商场获得的最大月利润是多少？26．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：x…0 1 2 3 4 …y… 3 0 ﹣1 0 m…（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C 的横坐标为4，求△ABC的面积．北师大版九年级下册第2章《二次函数》单元练习题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．圆的面积S与半径R之间的关系【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．【解答】解：A、关系式为：y＝kx+b，故A错误；B、关系式为t＝，故错误；C、关系式为：C＝3a，故C错误；D、S＝πR2，故D正确．故选：D．2．抛物线y＝2（x+3）2+5的对称轴是（）A．x＝3B．x＝﹣5C．x＝5D．x＝﹣3【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该抛物线的对称轴，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y＝2（x+3）2+5，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，故选：D．3．抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（）A．B．C．D．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）2﹣1．故选：B．4．二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，y取得最大值为﹣4，且二次函数图象还经过点（1，﹣7），则二次函数的表达式为（）A．y＝﹣3x2+12x﹣16B．y＝﹣3x2+12x﹣8C．y＝3x2+12x﹣16D．y＝3x2+12x﹣8【分析】根据题意得出顶点坐标（2，﹣4），再由抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣4，再把（1，﹣7）代入，求出a，b，c的值，即可得出二次函数的解析式．【解答】解：由题意得抛物线的顶点坐标（2，﹣4），∵图象的顶点为（2，﹣4），且经过点（1，﹣7），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣4，再把（1，﹣7）代入，可得a（1﹣2）2﹣4＝﹣7，∴a＝﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝﹣3（x﹣2）2﹣4，即y＝﹣3x2+12x﹣8；故选：B．5．如果正三角形的边长为x，那么它的面积y与x之间的函数关系是（）A．B．C．D．【分析】首先画出图形，再利用三角函数值计算出三角形BC边上的高，然后再利用三角形面积公式算出面积即可．【解答】解：如图：∵△ABC为正三角形，AD为BC边上的高，且AB＝AC＝BC＝x；∴AD＝x．∴它的面积y与x之间的函数关系是：y＝x×x＝x2．故选：D．6．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx 与直线y＝t的交点的横坐标，当x＝1时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，∴﹣5＜t≤4．故选：D．7．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）x…﹣2﹣1012…y…﹣11﹣21﹣2﹣5…A．﹣11B．﹣2C．1D．﹣5【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y＝﹣3x2+1x＝2时y＝﹣11，故选：D．8．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＞﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a，则2a+b+c ＝c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x＝1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b＝﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；∵x＝1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴x（ax+b）≤a+b，所以③正确；∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，而b＝﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④错误．故选：B．9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a＝b；③t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）；④3b+2c＜0；⑤点（﹣，y1），（，y2），（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y3＜y2，其中正确结论的个数是（）A．5B．4C．3D．2【分析】利用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（最小值），增减性逐个进行判断，得出答案．【解答】解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故①正确；对称轴为x＝﹣1，即：﹣＝﹣1，也就是2a＝b，故②正确；当x＝﹣1时，y最大＝a﹣b+c，当x＝t时，y＝at2+bt+c，∴at2+bt+c≤a﹣b+c，即：t（at+b）≤a﹣b，故③正确；由抛物线的对称性可知与x轴另一个交点0＜x＜1，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，又2a＝b，即a＝b，代入得：b+b+c＜0，也就是3b+2c＜0；因此④正确；点A（﹣，y1），B（，y2），C（，y3）到对称轴x＝﹣1的距离分别为L A、L B、L C，则有L A＞L C＞L B，且A、B在对称轴左侧，C在对称轴的右侧，故y1＜y3＜y2，因此⑤正确，综上所述，正确的结论有5个，故选：A．10．关于x的二次函数+，其中a为锐角，则：①当a为30°时，函数有最小值﹣；②函数图象与坐标轴可能有三个交点，并且当a为45°时，连接这三个交点所围成的三角形面积小于1；③当a＜60°时，函数在x＞1时，y随x的增大而增大；④无论锐角a怎么变化，函数图象必过定点．其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④【分析】①由于2sin a＞0，所以函数一定有最小值，将a的值代入抛物线的解析式中，将解析式写成顶点式可得函数的最小值．②令y＝0，在所得方程中若根的判别式大于0，那么抛物线的图象与坐标轴的交点可能有三个：与x轴有两个交点，与y轴有一个交点；当抛物线经过原点时，抛物线的图象与坐标轴只有两个交点．首先将a的值代入解析式，先设抛物线与x轴的两个交点横坐标为x1、x2，那么这两点间的距离可表示为|x1﹣x2|＝，以这条线段为底，抛物线与y轴交点纵坐标的绝对值为高即可得到三交点围成的三角形的面积值，然后判断是否小于1即可．③由①知，抛物线的开口向上，所以一定有最小值；首先求出抛物线的对称轴方程，若x＝1在抛物线对称轴右侧，那么y随x的增大而增大；若x＝1在抛物线对称轴的左侧，那么随x的增大，y值先减小后增大．④图象若过定点，那么函数值就不能受到变量sin a的影响，所以先将所有含sin a的项拿出来，然后令sin a的系数为0，可据此求出x的值，将x的值代入抛物线的解析式中，即可得到这个定点的坐标．【解答】解：①当a＝30°时，sin a＝，二次函数解析式可写作：y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣；所以当a为30°时，函数的最小值为﹣；故①正确．②令y＝0，则有：2sin ax2﹣（4sin a+）x﹣sin a+＝0，△＝（4sin a+）2﹣4×2sin a×（﹣sin a+）＝24sin2a+＞0，所以抛物线与x轴一定有两个交点，再加上抛物线与y轴的交点，即与坐标轴可能有三个交点（当图象过原点时，只有两个交点）；设抛物线与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0）；当a＝45°时，sin a＝，得：y＝x2﹣（2+）x﹣，则：三角形的面积S＝|x1﹣x2|×＝×＝×≈0.3＜1故②正确．③∵2sin a＞0，且对称轴x＝﹣＝1+＞1，∴x＝1在抛物线对称轴的左侧，因此x＞1时，y随x的增大先减小后增大；故③错误．④y＝2sin ax2﹣（4sin a+）x﹣sin a+＝sin a（2x2﹣4x﹣1）﹣x+；当2x2﹣4x﹣1＝0，即x＝1±时，抛物线经过定点，且坐标为：（1+，﹣）、（1﹣，）；故④正确．综上，正确的选项是①②④，故选C．二．填空题（共8小题）11．抛物线y＝﹣x2﹣6x+2的对称轴为直线x＝﹣3．【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣6x+2＝﹣（x+3）2+11，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，故答案为：x＝﹣3．12．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是0．【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．【解答】解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，解得k＝0或k＝3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴k的值是0时．故答案为：0．13．如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是y＝﹣+12x．（不需写出x的取值范围）．【分析】根据题意和三角形相似，可以用含x的代数式表示出DG，然后根据矩形面积公式，即可得到y与x的函数关系式．【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，BC＝12，BC上的高AH＝8，DE＝x，矩形DEFG 的面积为y，∴DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴，得DG＝，∴y＝x＝+12x，故答案为：y＝+12x．14．在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为﹣0.75【分析】观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为﹣1时，函数值大于0，求得﹣1和0的平均数﹣0.5，对应的数值为﹣0.75，与自变量为﹣1的函数值异号，再求﹣1和﹣0.5的平均数﹣0.75，对应的数值为0.0625，即可求得这个根在﹣0.75与﹣0.5之间任意一个数作为近似解，由﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，即可求得近似值．【解答】解：观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为﹣1时，函数值大于0，因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在﹣1＜x＜0这一段经过x轴，也就是说，当x取﹣1、0之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在﹣1、0之间有根．我们取﹣1和0的平均数﹣0.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为﹣1的函数值异号，所以这个根在﹣1与﹣0.5之间，取﹣1和﹣0.5的平均数﹣0.75，计算可知，对应的数值为0.0625，与自变量为﹣0.5的函数值异号，所以这个根在﹣0.75与﹣0.5之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，该近似解为﹣0.75，故答案为﹣0.75．15．将二次函数y＝x2﹣2x化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为y＝（x﹣1）2﹣1．【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣1）2﹣1．16．二次函数y＝﹣3（x+2）2﹣1的最大值是﹣1．【分析】因为此题中解析式为顶点式的形式，所以根据其解析式即可求解．【解答】解：∵二次函数y＝﹣3（x+2）2﹣1，∴当x＝﹣2时，二次函数y＝﹣3（x+2）2﹣1的最大值为﹣1，故答案为﹣1．17．已知A（m，n），B（m+8，n）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则n＝2020．【分析】由A（m，n）、B（m+8，n）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2018上两点，可得A（h ﹣4，0），B（h+4，0），当x＝h+4时，n＝﹣（h+4﹣h）2+2018＝2002【解答】解：∵A（m，n）、B（m+8，n）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，∴A（h﹣4，n），B（h+4，n），当x＝h+4时，n＝﹣（h+4﹣h）2+2036＝2020，故答案为2020．18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象过点A（3，m）．（1）当a＝﹣1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标（1，4）；（2）如图，直线l：y＝kx+c（k＜0）交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD⊥x轴交直线l于点D，作QE⊥y轴于点E，连接DE．设∠QED＝β，当2≤x≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，a＝﹣．【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，可以直接得到答案；（2）将点Q（x，y）代入抛物线解析式得到：y＝ax2﹣2ax+c．结合一次函数解析式推知：D（x，kx+c）．则由两点间的距离公式知QD＝ax2﹣2ax+c﹣（kx+c）＝ax2﹣（2a+k）x．在Rt△QED中，由锐角三角函数的定义推知tanβ＝＝＝ax﹣2a﹣k．所以tanβ随着x的增大而减小．结合已知条件列出方程组，解该方程组即可求得a的值．【解答】解：（1）当a＝﹣1，m＝0时，y＝﹣x2+2x+c，A点的坐标为（3，0），∴﹣9+6+c＝0．解得c＝3．∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．即y＝﹣（x﹣1）2+4．∴抛物线的顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．（2）∵点Q（x，y）在抛物线上，∴y＝ax2﹣2ax+c．又∵QD⊥x轴交直线l：y＝kx+c（k＜0）于点D，∴D点的坐标为（x，kx+c）．又∵点Q是抛物线上点B，C之间的一个动点，∴QD＝ax2﹣2ax+c﹣（kx+c）＝ax2﹣（2a+k）x．∵QE＝x，∴在Rt△QED中，tanβ＝＝＝ax﹣2a﹣k．∴tanβ是关于x的一次函数，∵a＜0，∴tanβ随着x的增大而减小．又∵当2≤x≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，且tanβ随着β的增大而增大，∴当x＝2时，β＝60°；当x＝4时，β＝30°．∴，解得，故答案为：﹣．三．解答题（共8小题）19．已知函数y＝3x2﹣2x﹣1，求出此抛物线与坐标轴的交点坐标．【分析】根据函数y＝3x2﹣2x﹣1，可以求得该函数与x轴和y轴的交点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝3x2﹣2x﹣1，∴当y＝0时，0＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1），解得，x1＝﹣，x2＝1，当x＝0时，y＝﹣1，∴此抛物线与坐标轴的交点坐标是（﹣，0），（1，0），（0，﹣1）．20．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2（m为常数）．（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值；（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的值．【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题．【解答】解：（1）依题意m2﹣m＝0且m﹣1≠0，所以m＝0；（2）依题意m2﹣m≠0，所以m≠1且m≠0．21．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+4回答下列问题：（1）用配方法将其化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴（3）当x取何值时，y随x增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小？【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）二次函数的一般形式中的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x＝h，顶点坐标是（h，k）．（3）结合对称轴及开口方向可确定抛物线的增减性．【解答】解：（1）y＝﹣x2﹣x+4＝﹣（x+1）2+；（2）由（1）可得顶点为（﹣1，）；对称轴x＝﹣1；（3）图象开口向下，x＜﹣1时，函数为增函数，此时y随x增大而增大；当x＞﹣1时，函数为减函数，此时y随x增大而减小．22．如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）先将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m求出m的值，根据点的对称性确定B点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），求出三角形ABC的面积，分两种情况画出图形，如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，根据三角形ABP面积为三角形ABC面积，表示出三角形ABP的面积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出满足题意P的坐标．【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m得（1﹣3）2+m＝0，解得m＝﹣4．所以二次函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，即y＝x2﹣6x+5；当x＝0时，y＝9﹣4＝5，所以C点坐标为（0，5），由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝3，所以B点坐标为（6，5），将A（1，0）、B（6，5）代入y＝kx+b得，，解得：．所以一次函数解析式为y＝x﹣1；（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），∵S△ABP＝S△ABC，∵，如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，∴＝15，∴E（a，a﹣1）∴PE＝﹣a2+7a﹣6，∴，∴a2﹣7a+12＝0解得：a1＝4，a2＝3，∴P1（3，﹣4），P2（4，﹣3），如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，同理可得＝15，∴，解得a＝0（舍去），a＝7，∴P3（7，12）．综合以上可得P点坐标为（3，﹣4）或（4，﹣3）或（7，12）．23．如图，在平面直角坐标系中，已知某个二次函数的图象经过点A（1，2），B（2，﹣1），C（4，﹣1），且该二次函数的最小值是﹣2．（Ⅰ）请在图中描出该函数图象上另外的两个点，并画出图象；（Ⅱ）求出该二次函数的解析．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的对称性可过A、C分别作平行x轴的线段，且分别被对称轴平分，即可求得另外的两个点，利用描点法可画出函数图象；（Ⅱ）设出顶点式，代入A的坐标，即可求得解析式．【解答】解：（Ⅰ）∵B（2，﹣1），C（4，﹣1），且该二次函数的最小值是﹣2．∴该二次函数图象的顶点为（3，﹣2），∵点A（1，2），∴A关于对称轴对称的点为（5，2），利用描点法可画出函数图象，如图；（Ⅱ）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，代入A（1，2）得2＝4a﹣2，解得a＝1，∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣6x+7．24．抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），它的形状与y＝3x2相同，但开口方向与之相反．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）求抛物线与y轴的交点坐标．【分析】（1）由抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），得出h＝﹣2，抛物线y＝a（x+h）2的形状与y＝3x2的相同，开口方向相反，得出a＝﹣3，从而确定该抛物线的函数表达式；（2）根据图象上点的坐标特征求得即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），∴﹣h＝2，∴h＝﹣2，抛物线y＝a（x+h）2的形状与y＝3x2的相同，开口方向相反∴a＝﹣3，则该抛物线的函数表达式是y＝﹣3（x﹣2）2．（2）在函数y＝﹣3（x﹣2）2中，令x＝0，则y＝﹣12，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣12）．25．双十一期间，某百货商场打算对某商品进行一次促销活动，该商品的进价为每件20元．在之前的销售过程中发现，当每件售价定为30元时，每月销售量为500件，若售价每提高1元，每月的销售量将减少10件．（1）设该商品售价提高x元时，每月获得的利润为y元，求y关于x的函数解析式；（2）如果商场想要获得的月利润为8000元，则该商品的销售单价应定为每件多少元？（3）若有关物价部门规定，该商品的销售单价不得高于其进价的两倍，则此时商场获得的最大月利润是多少？【分析】（1）根据销售问题的数量关系单件利润乘以销售量等于月利润即可求解；（2）根据（1）中求得的函数解析式，代入8000，利用一元二次方程即可求解；（3）根据销售单价不得高于其进价的两倍确定自变量的取值进而求得最大值．【解答】解：（1）根据题意，得y＝（30﹣20+x）（500﹣10x）＝﹣10x2+400x+5000．答：y关于x的函数解析式为y＝﹣10x2+400x+5000．（2）当y＝8000时，8000＝﹣10x2+400x+5000．解得x1＝10，x2＝30．则30+x＝40或60．答：该商品的销售单价应定为每件40元或60元．（3）y＝﹣10x2+400x+5000．＝﹣10（x﹣20）2+9000，因为商品的销售单价不得高于其进价的两倍，所以当x＝10，即售价为40元时，月利润最大，最大月利润为8000元．答：最大月利润为8000元．26．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：x…01234…y…30﹣10m…（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．【分析】（1）根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；（2）根据表格中的数据和题意，可以写出点B、点A和点C的坐标，再求出直线AC和x轴的交点，即可得到△ABC的面积．【解答】解：（1）由表格可知，该函数有最小值，当x＝2时，y＝﹣1，当x＝4和x＝0时的函数值相等，则m＝3，即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），m的值是3；（2）由题意可得，点B的坐标为（1，0），点A的坐标为（2，﹣1），点C的坐标为（4，3），设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，，得，所以直线AC的函数解析式为y＝2x﹣5，当y＝0时，0＝2x﹣5，得x＝2.5，则直线AC与x轴的交点为（2.5，0），故△ABC的面积是：＝3．。
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题(含答案)
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题(含答案)(满分：100分 时间：100分钟)一、选择题(本大题共10小题；每小题3分；共30分) 1．下列函数中；不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2答案：D2．抛物线y ＝x 2+3与y 轴的交点坐标为（ ）A ．（3；0）B ．（0；3）C ．（0；3）D ．（3；0）答案：B3．把二次函数y ＝－14x 2－x ＋3用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式( )A ．y ＝－14(x －2)2＋2B ．y ＝14(x －2)2＋4C ．y ＝－14(x ＋2)2＋4D ．y ＝21122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋3答案：C4．将抛物线y ＝3x 2向左平移2个单位；再向下平移1个单位；所得抛物线为( ) A ．y ＝3(x －2)2－1 B ．y ＝3(x －2)2＋1 C ．y ＝3(x ＋2)2－1 D ．y ＝3(x ＋2)2＋1 答案：C5．对抛物线y ＝－x 2＋2x －3而言；下列结论正确的是( ) A ．与x 轴有两个交点 B ．开口向上C ．与y 轴的交点坐标是(0,3)D ．顶点坐标是(1；－2) 答案：D6．二次函数y ＝2x 2＋mx ＋8的图象如图所示；则m 的值是( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．6 答案：B6题图 8题图 9题图7．点P 1（﹣1；y 1）；P 2（3；y 2）；P 3（5；y 3）均在二次函数y ＝﹣x 2+2x +c 的图象上；则y 1；y 2；y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＝y 2＞y 3B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＝y 2答案：A8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)的图象如图所示；当－5≤x ≤0时；下列说法正确的是( )A ．有最小值－5、最大值0B ．有最小值－3、最大值6C ．有最小值0、最大值6D ．有最小值2、最大值6 答案：B9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示；下列结论正确的是( )A ．a <0B ．b 2－4ac <0C ．当－1<x <3时；y >0D ．－b2a＝1答案：D10．在同一平面直角坐标系内；一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋8x ＋b 的图象可能是( )A B C D答案：C二、填空题(本大题共8小题；每小题3分；共24分)11．若函数y ＝(m －3)2213m m x ＋－是二次函数；则m ＝______. 答案：－512．抛物线y ＝2x 2－bx ＋3的对称轴是直线x ＝1；则b 的值为________． 答案：413．如果抛物线y ＝(m +1)2x 2+x +m 2﹣1经过原点；那么m 的值等于 ． 答案：114．已知抛物线y ＝x 2﹣6x +m 与x 轴仅有一个公共点；则m 的值为 ． 答案：915．二次函数的部分图象如图所示；则使y ＞0的x 的取值范围是 ． 答案：﹣1＜x ＜315题图 16提图 17题图 18题图16．如图所示；已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (1,0)；B (3,0)两点；与y 轴交于点C (0,3)；则二次函数的图象的顶点坐标是________．答案：(2；－1)17．如图；在平面直角坐标系中；抛物线y ＝﹣23（x ﹣3）2+k 经过坐标原点O ；与x 轴的另一个交点为A ．过抛物线的顶点B 分别作BC ⊥x 轴于C 、BD ⊥y 轴于D ；则图中阴影部分图形的面积和为 ． 答案：1818．如图；在正方形ABCD 中；E 为BC 边上的点；F 为CD 边上的点；且AE ＝AF ；AB ＝4；设EC ＝x ；△AEF 的面积为y ；则y 与x 之间的函数关系式是__________．答案：y ＝－12x 2＋4x三、解答题(本大题共5小题；共46分)19．求经过A (1,4)；B (－2,1)两点；对称轴为x ＝－1的抛物线的解析式． 解：∵对称轴为x ＝－1；∴设其解析式为y ＝a (x ＋1)2＋k (a ≠0)． ∵抛物线过A (1,4)；B (－2,1)；∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 1＋12＋k ；1＝a －2＋12＋k.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1；k ＝0.∴y ＝(x ＋1)2＝x 2＋2x ＋1.20．已知；在同一平面直角坐标系中；反比例函数y ＝5x与二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象交于点A (－1；m )．(1)求m ；c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．解：(1)∵点A 在函数y ＝5x的图象上；∴m ＝5－1＝－5.∴点A 坐标为(－1；－5)． ∵点A 在二次函数图象上； ∴－1－2＋c ＝－5；即c ＝－2.(2)∵二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x －2； ∴y ＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1.∴对称轴为直线x ＝1；顶点坐标为(1；－1)．21．下图是一座拱桥的截面图；拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m ；拱桥的跨度为10cm ．桥洞与水面的最大距离是5m ．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中； （1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．解：（1）抛物线的顶点坐标为（5；5）；与y 轴交点坐标是（0；1）； 设抛物线的解析式是y ＝a （x ﹣5）2+5； 把（0；1）代入y ＝a （x ﹣5）2+5；得a ＝﹣425； ∴y ＝﹣425（x ﹣5）2+5（0≤x ≤10）；（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4；∴4＝﹣425（x﹣5）2+5；∴425（x﹣5）2＝1；∴x1＝152；x2＝52；∴两景观灯间的距离为152﹣52＝5（米）．22．元旦期间；某宾馆有50个房间供游客居住；当每个房间每天的定价为180元时；房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时；就会有一个房间空闲．如果游客居住房间；宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．（1）若房价定为200元时；求宾馆每天的利润；（2）房价定为多少时；宾馆每天的利润最大？最大利润是多少？解：（1）若房价定为200元时；宾馆每天的利润为：（200﹣20）×（50﹣2）＝8640（元）；答：宾馆每天的利润为8640；（2）设总利润为y元；则y＝（50﹣18010x）（x﹣20）＝﹣110x2+70x+1360＝﹣110（x﹣350）2+10890故房价定为350时；宾馆每天的利润最大；最大利润是10890元．23．如图；已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧）；与y轴交于点B；且OA＝OB．（1）求线段AC的长度：（2）若点P在抛物线上；点P位于第二象限；过P作PQ⊥AB；垂足为Q．已知PQ＝；求点P的坐标．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与y轴交于点B；且OA＝OB；∴点B的坐标为（0；3）；∴OB＝OA＝3；∴点A的坐标为（﹣3；0）；∴0＝﹣（﹣3）2+b×（﹣3）+3；解得；b＝﹣2；∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1）；∴当y＝0时；x1＝﹣3；x2＝1；∴点C的坐标为（1；0）；∴AC＝1﹣（﹣3）＝4；即线段AC的长是4；（2）∵点A（﹣3；0）；点B（3；0）；∴直线AB的函数解析式为y＝x+3；过点P作PD∥y轴交直线AB于点D；设点P的坐标为（m；﹣m2﹣2m+3）；则点D的坐标为（m；m+3）；∴PD＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m；∵PD∥y轴；∠ABO＝45°；∴∠PDQ＝∠ABO＝45°；又∵PQ⊥AB；PQ＝2；∴△PDQ是等腰直角三角形；∴PD＝2sin4522PQ=︒＝2；∴﹣m2﹣3m＝2；解得；m1＝﹣1；m2＝﹣2；当m＝﹣1时；﹣m2﹣2m+3＝4；当m＝﹣2时；﹣m2﹣2m+3＝3；∴点P的坐标为（﹣2；3）或（﹣1；4）．24．如图；在平面直角坐标系中；顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A 和x轴上的点B；AO＝OB＝2；∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM；求S△AOM；（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2；抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F 的左侧）；如果△MBF与△AOM相似；求所有符合条件的抛物线C2的表达式．解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B；AO＝OB＝2；∠AOB ＝120°；∴点B （2；0）；点A （﹣1；﹣）；∴220223(1)(1)a b a b ⎧=⨯+⨯⎪⎨-=⨯-+⨯-⎪⎩；得333a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；∴该抛物线的解析式为y ＝2232333(1)3333x x x -+=--+； （2）连接MO ；AM ；AM 与y 轴交于点D ； ∵y ＝22323331)3333x x x -+=--+； ∴点M 的坐标为（1；33）； 设过点A （﹣13；M （1；33）的直线解析式为y ＝mx +n ；333m n m n ⎧-+=-⎪⎨+=⎪⎩；得2333m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；∴直线AM 的函数解析式为y 23x 3当x ＝0时；y 3∴点D 的坐标为（0；﹣33）；∴OD ＝33； ∴S △AOM ＝S △AOD +S △MOD ＝33；（3）①当△AOM ∽△FBM 时；OM OABM BF=； ∵OA ＝2；点O （0；0）；点M （13；点B （2；0）； ∴OM ＝233；BM ＝233；∴OM ＝BM ；解得；BF ＝OA ＝2；∴点F 的坐标为（4；0）； 设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝23(1)3x --+c ； ∵点F （4；0）在抛物线C 2上；∴c ＝33 ∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝23(1)333x --+； ②当△AOM ∽△MBF 时；OM OABF BM=； ∵OA ＝2；点O （0；0）；点M （1；33）；点B （2；0）； ∴OM ＝233；BM ＝233；∴BF ＝23； ∴点F 的坐标为（83；0）； 设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝23(1)3x --+d ； ∵点F （83；0）在抛物线C 2上；∴d 253；∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝231)x -253．。
2.1 二次函数 北师大版数学九年级下册练习(含答案)
数是a+s=2﹣=+．下列函数是二次函数的是（ ）＝．）+4C．a﹣=+2．下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）＝＝＝A．y=a+bx+c B．x2+y﹣2=0B．C．y2﹣ax=﹣2 D．﹣y2+1=014．下列函数中是二次函数的是（ ）A．y＝B．y＝（x+3）2﹣x2C．y＝D．y＝x（x﹣1）15．函数y=（m﹣n）+mx+n是二次函数的条件是（ ）A．m、n是常数，且m≠0B．m、n是常数，且m≠nC．m、n是常数，且n≠0D．m、n可以为任何常数16．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（ ）A．﹣2B．2C．±2D．0三、解答题17．当k为何值时，函数为二次函数？18．已知函数y＝（m﹣1）+3x为二次函数，求m的值．19．已知是二次函数，求m的值．20．当m为何值时，y＝（m+1）x+3x﹣2是二次函数？参考答案1．﹣2．2．﹣6．3．0．4．a＞1或a＜1．5．﹣1．6．﹣3．7．C．8．C．9．B．10．D．11．C．12．A．13．B．14．D．15．B．16．B．17．解: ∵函数为二次函数，∴k2+k=2，k﹣1≠0，∴k1=1，k2=﹣2，k≠1，∴k=﹣2．18．解：由题意：，解得m＝﹣1，∴m＝﹣1时，函数y＝（m﹣1）+3x为二次函数．19．解：∵是二次函数，∴m+1≠0且m2−m＝2解得m=2．20．解：∵y＝（m+1）x+3x﹣2是二次函数，∴m2﹣3m﹣2＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，故m＝4．。
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九年级数学下册二次函数及其应用
一、填空题：
１、抛物线 y ＝－x 2
＋1 的开口向 。
2、函数 y ＝2 (x －1)2 图象的顶点坐标为 。
４、将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位,向右平移3个单位，所得的抛物线的解析式为 。
５、函数 y ＝x 2＋bx ＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b ＝ 。
６、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值。
７、函数 y ＝1
2
(x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。
８、将 y ＝-2x 2+4x ＋6 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝ 。
９、若点 A ( 2, m) 在函数 y ＝x 2－1 的图像上，则 A 点的坐标是 。
10、抛物线 y ＝2x 2＋3x －4 与 Y 轴的交点坐标是 。
抛物线 y ＝x 2＋3x －4 与X 轴的交点坐标是 。
11、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上。
。
12、已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示：则这个二次函数的解析式是 y ＝ 。
二、选择题： １、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）
A 、一次函数关系
B 、正比例函数关系
C 、反比例函数关系
D 、二次函数关系 ２、已知函数 y ＝(m ＋2) 2
2
m
x 是二次函数，则 m 等于（ ）
A 、±2
B 、2
C 、－2
D 、±2
３、已知 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图2所示，则 a 、b 、c 满足（ ）
A 、a ＜0，b ＜0，c ＜0
B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0 图
C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0
D 、a ＜0，b ＜0，c ＞0
４、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝1
2
gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是
（ ）
A B C D
５、抛物线 y ＝－x 2
不具有的性质是（ ）
A 、开口向下
B 、对称轴是 y 轴
C 、与 y 轴不相交
D 、最高点是原点
６、抛物线 y ＝x 2－4x ＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ）
A 、0
B 、4
C 、－4
D 、2 三、解答题：
１、矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式。
② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2。
t t
t t
２、已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式。
３、已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。
4、已知二次函数的图像经过（0，0），（-2，0），且可由抛物线y ＝2x 2
＋3x －4平移得到，求该二次函数的解析式。
5、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与
水平距离 x (m) 之间的函数关系式为 y ＝－112x 2＋23x ＋5
3
，求小明这次试掷的成 绩及铅球的出手时的高度。
6、某企业投资100万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收33万元，设生产线投产后，从第一年到第 x 年维修、保养费累计．．为 y （万元），且 y ＝ax 2＋bx ，若第一年的维修、保养费为 2 万元，第二年的为 4 万元。
求：y 的解析式。
7、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m ，跨度为 10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系
中。
①求这条抛物线所对应的函数关系式。
②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？
1.已知二次函数图象顶点为C（1，0），直线 y=x+m 与该二次函数交于A，B两点，其中A点（3，4），B点在y轴上.（1）求m值及这个二次函数关系式；
（2）P为线段AB上一动点（P不与A，B重合），过P做x轴垂线与二次函数交于点E，设线段PE长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x取值范围；
（3）D为线段AB与二次函数对称轴的交点，在AB上是否存在一点P
出P点坐标；若不存在，请说明理由。
2.抛物线y=x²+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C
A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy 中是否存在点P，与A、B、C
四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在
点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，
请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由.
3如图所示，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，
求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作
MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，
请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形. 若存在，请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P 为线段OC上的动点，连接BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，求点N运动路径的长.
如图，点A（1，0），B（0
x轴和y轴上，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°.
（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；
（2）若点P（m
APB与△ABC面积相等，求m的值.
x
x。