对数函数及其性质2
对数函数的性质与变化规律
对数函数的性质与变化规律对数函数是指以某个固定底数为底的数学函数。
对数函数在科学、经济以及其他领域中广泛应用，具有许多独特的性质和变化规律。
本文将介绍对数函数的基本性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、对数函数的基本性质1. 对数函数的定义对数函数是指以某个正数b作为底数，a为真数的对数表达式。
可以表示为log_b(a) = x，其中b称为底数，a称为真数，x称为以b为底a的对数。
对数函数可以用来解决指数方程、指数函数和指数关系中的问题。
2. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域为正实数集R^+，即所有大于零的实数。
对数函数的值域为实数集R，即所有实数。
3. 对数函数的图像当底数b大于1时，对数函数为增函数，图像从左下方无限逼近y 轴，并且获得正无限大的纵坐标值。
当底数0<b<1时，对数函数为减函数，图像从右上方无限逼近y轴，并且获得负无限大的纵坐标值。
对数函数的图像在横坐标轴上有一个渐近线y=0。
4. 对数函数的基本性质对数函数有以下基本性质：- 对数函数的符号性质：对于所有正数a，log_b(a)>0；对于所有0<a<1的数值，log_b(a)<0。
- 对数函数的乘法性质：log_b(a*c) = log_b(a) + log_b(c)。
- 对数函数的除法性质：log_b(a/c) = log_b(a) - log_b(c)。
- 对数函数的幂指数性质：log_b(a^r) = r*log_b(a)，其中r是任意实数。
二、对数函数的变化规律1. 对数函数的平移对数函数的图像可以进行水平和垂直的平移。
如果对数函数的表达式为y = log_b(x-k)，其中k是任意实数，那么对数函数的图像将向右平移k个单位。
如果对数函数的表达式为y = log_b(x) + k，其中k是任意实数，那么对数函数的图像将向上平移k个单位。
2. 对数函数的伸缩对数函数的图像可以进行水平和垂直方向上的伸缩。
高一数学对数函数及其性质2(2019年11月整理)
D．b>c>a
【解析】
a ＝ log3π>1 ， b ＝ log2
3
＝
1 2
log23∈21，1， c＝log3 2＝12log32∈0，12，
故有 a>b>c.故选 A.
【答案】 A
(1)已知 loga13>1，求 a 的取值范围； (2)已知 log132a<log13(a－1)，求 a 的ห้องสมุดไป่ตู้值范围．
∴log4125>log481，即3log45>2log23. (4)由对数函数性质知，
Log1/30.3>0，log20.8<0， ∴log1/30.3>log20.8.
1.(2009 年全国卷)设 a＝log3π，b＝log2 3，
c＝log3 2，则( ) A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>a>c
已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2) D．(2，＋∞)
【思路点拨】 由题目可以获取以下主要信息：
①函数y＝loga(2－ax)在[0,1]有意义， ②函数在[0,1]上是减函数．
解决本类问题应注意复合函数单调性的判定方法．
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高一数学对数函数及其性质2
(
2 x 8)
函数的奇偶性
例3、函数 y log2 (x x2 1)(x R)的奇偶性为
（）
A．奇函数而非偶函数 C．非奇非偶函数
B．偶函数而非奇函数 D．既奇且偶函数
二 函数的单调性
例4
1.求函数 y log 2 (x2 2x)
例2 求函数的值域
1 f ( x) log2 x
2 f ( x) loga x
x [1,2]
x [1,2]
3 f ( x) log 2( x2 2)
4 f ( x) log 2(8x x2 7)
5 f
(x)
(log2
x 2 )(log2
x) 4
2.2.2 对数函数及其性质（二）
对数函数y=log a x<1
图
y
y
象
o (1, 0)
（1, 0) xo
x
(1) 定义域： (0,+∞)
性 (2) 值域：R
(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(4) 0<x<1时, y<0;
质 x>1时, y>0
(4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0
; 宠物DR 宠物DR ；
不少于800字。不得抄袭。 [写作提示]“钥匙”是开锁的工具，它熟悉事物的机理，最了解锁的“心”，所以能够灵活机动，只轻轻一转，就“轻而易举”地打开了锁。对于一般的事物、问题而言，这里的“心”是指事物的关键之处、问题的症结所在；对于人的思想、情感而言，“心” 是指隐秘之处的思想和情感。“铁棒”天生不是开锁的料，只会砸“锁”、撬“锁”。我们可以把它理解为没有抓住事物的关键或问题的症结
对数函数的定义与性质
对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指可以将正实数映射到实数集上的函数。
常用的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。
自然对数函数以数学常数e为底的对数函数，通常以ln(x)表示，其中x为正实数。
常用对数函数以10为底的对数函数，通常以log(x)表示，其中x为正实数。
2. 性质2.1 对数函数的定义域和值域自然对数函数ln(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
常用对数函数log(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
2.2 对数函数的性质（1）对数函数的图像：自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)的图像都是单调递增的曲线。
（2）基本性质：对数函数具有以下基本性质：•ln(1) = 0，即自然对数函数ln(x)在x=1处的函数值为0。
•ln(e) = 1，即自然对数函数ln(x)在x=e处的函数值为1。
•log(1) = 0，即常用对数函数log(x)在x=1处的函数值为0。
•log(10) = 1，即常用对数函数log(x)在x=10处的函数值为1。
（3）对数函数的性质：对数函数具有以下性质：•ln(x y) = ln(x) + ln(y)，即自然对数函数ln(x y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的和。
•ln(x/y) = ln(x) - ln(y)，即自然对数函数ln(x/y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的差。
•ln(x^n) = n * ln(x)，即自然对数函数ln(x^n)等于n乘以自然对数函数ln(x)。
•log(x y) = log(x) + log(y)，即常用对数函数log(x y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的和。
•log(x/y) = log(x) - log(y)，即常用对数函数log(x/y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的差。
•log(x^n) = n * log(x)，即常用对数函数log(x^n)等于n乘以常用对数函数log(x)。
对数函数及其性质2
y 2 ( x R) 互为反函数
x
y 3 ( x R) x y a ( x R)
的反函数是什么?
y log3 x( x (0, ))
的反函数是什么?
y loga x( x (0, ))
演示
探究：两个互为反函数的图象间有什么关系？
对数函数与指数函数的关系： 对数函数和指数函数互为反函数
解：(1)根据对数的运算性质，
有pH=
-lg[H+]=lg[H+]-1= lg
1 [H ]
1 在(0， )上，随着[H ]的增大， 减小，相应地， [H ] 1 lg 也减小，即pH减小，即知随着溶液中氢离子 [H ] 的浓度增大，溶液中酸度就越小。
(2) [H ] 10 时 ，pH lg10 7， 所 以 当 纯 净 水 的 H是7。 p
复习与回顾
(一)对数函数的概念：
函数 y loga x (a 0, 且a 1)叫做对数函数． 其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞).
a＞1
y x=1 y
0＜a＜1
x=1
图 象
o
1
x
y= ㏒ax (a>1)
o
1
x y= ㏒ax (0<a<1)
定义域
( 0 , + ∞) R
值域
性 质
反函数
y 2x ( x R)
x log2 y
y log2 x( x (0, ))
对于任意一个y∈（０，＋∞）通过式子x＝log２y， x在Ｒ中都有唯一确定的值和它对应，这时我们就说 x＝log２y( y∈（０，＋∞））是函数y＝２x的反函 数．习惯上写成 y＝log２x 对数函数 y log2 x( x (0, )) 与 指数函数
对数函数的图像与性质2ppt
性
特殊点
单调性
奇偶性
在(0,+)上是减函数
非奇非偶函数 无最值
非奇非偶函数 无最值
当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0.
质
最值
当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0.
例2 比较下列各组数中两个值的大小：
⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )
讲解范例 例2：求下列函数的定义域： ①y=logax2 ②y=loga(4-x)
解： ①要使函数有意义，则
x 0 x 0
2
∴函数的定义域是{x|x≠0} ② 要使函数有意义，则
4 x 0 x 4
∴函数的定义域是{x |x<4 }
例1中求定义域时应注意： ① 对数的真数大于0，底数大于0且 不等于1； ② 使式子符合实际背景； ③ 对含有字母的式子要注意分类讨 论。
对数函数的图像和性质课件 对数函数及其性质 对数函数的定义 对数函数图像作法 对数函数性质 指数函数, 指数函数,对数 函数 性质比较
对数函数的概念与图象
复习对数的概念 定义： 一般地，如果 aa 0, a 1
的b次幂等于N, 就是
a N
b
，那么数 b叫做
以a为底 N的对数，记作 loga N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
解: log 6 4
1 log 7 4 log 4 7
0 log 4 1 log 4 6 log 4 7 1 1 log 4 6 log 4 7 log 6 4 log 7 4
第二章 2.2.2 第2课时 对数函数及其性质(二)
第2课时 对数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.会解简单的对数不等式.3.了解反函数的概念及它们的图象特点.知识点一 不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴. 知识点二 反函数的概念一般地，像y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)这样的两个函数互为反函数.(1)y ＝a x 的定义域R 就是y ＝log a x 的值域；而y ＝a x 的值域(0，＋∞)就是y ＝log a x 的定义域. (2)互为反函数的两个函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.1.y ＝log 2x 2在(0，＋∞)上为增函数.( √ )2.212log y x 在(0，＋∞)上为增函数.( × )3.ln x <1的解集为(－∞，e).( × )4.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象相同.( √ )题型一 比较大小例1 (1)若a ＝log 0.23，b ＝log 0.22.5，c ＝log 0.20.3，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.c >a >b答案 B解析 因为0.3<2.5<3，且y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，所以c >b >a . (2)比较下列各组数的大小：①log 534与log 543；②1135log 2log 2与；③log 23与log 54.解 ①方法一 对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.方法二 因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.②由于1321log 21log 3=，1521log 21log 5=，又对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且0<15<13<1，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以3151l 2log 2og <.③取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练1 (1)设a ＝log 2π，12log πb =，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a 答案 C解析 a ＝log 2π>1，12log π0b <=，c ＝π－2∈(0,1)，所以a >c >b .(2)比较下列各组值的大小： ①2233log 0.5,log 0.6；②log 1.51.6，log 1.51.4；③log 0.57，log 0.67；④log 3π，log 20.8.解 ①因为函数23log y x =是减函数，且0.5<0.6，所以2233log 0.5log 0.6>.②因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4， 所以log 1.51.6>log 1.51.4.③因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57. ④因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8. 题型二 对数不等式的解法 例2 (1)7171lo lo g (g 4)x x >- ；(2)log a (2x －5)>log a (x －1). 解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}.(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4. 反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况进行讨论.(2)形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b ＝log a a b )，再借助y ＝log a x 的单调性求解.(3)形如log f (x )a >log g (x )a (f (x )，g (x )>0且不等于1，a >0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.跟踪训练2 (1)求满足不等式log 3x <1的x 的取值集合； (2)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围.解 (1)因为log 3x <1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x <log 33，即0<x <3.所以x 的取值集合为{x |0<x <3}. (2)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞).题型三 对数型复合函数的单调性命题角度1 求单调区间例3 求函数212log (1)y x =-的单调区间.解 要使212log (1)y x =-有意义，则1－x 2>0，所以x 2<1，所以－1<x <1， 因此函数的定义域为(－1,1). 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1).当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝12log t 减小.所以当x ∈(－1,0]时，212log (1)y x =-是减函数；同理可知，当x ∈[0,1)时，212log (1)y x =-是增函数.即函数212log (1)y x =-的单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间为[0,1).反思感悟 求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域.(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性. (3)判断出函数的增减性求出单调区间.跟踪训练3 求函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调区间.解 因为1－2x >0，所以x <12.又设u ＝1－2x ，则y ＝log 2u 是(0，＋∞)上的增函数. 又u ＝1－2x ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12时，u (x )是减函数， 所以函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围例4 已知函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上是减函数，∵0<12<1，∴12log ()y g x =是减函数，而已知复合函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)上恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g (2)＝(2)2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，22＋2].反思感悟 若a >1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，若0<a <1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 跟踪训练4 若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.[3，＋∞) 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围 答案 B解析 函数由y ＝log a u ，u ＝6－ax 复合而成，因为a >0，所以u ＝6－ax 是减函数，那么函数y ＝log a u 就是增函数，所以a >1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x ＝2时，u ＝6－ax 取得最小值，所以6－2a >0，解得a <3，所以1<a <3.故选B.1.不等式log 2(x －1)>－1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >23 B.{x |x >2}C.{x |x >1}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 答案 D解析 ∵log 2(x －1)>－1＝log 212，∴x －1>12，即x >32.2.函数f (x )＝－2x ＋5＋lg(2－x －1)的定义域为( )A.(－5，＋∞)B.[－5，＋∞)C.(－5,0)D.(－2,0) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5>0，2－x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >－5，2－x >20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－5，x <0，∴－5<x <0，故选C.3.如果2121l log og 0x y <<，那么( )A.y <x <1B.x <y <1C.1<x <yD.1<y <x 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D4.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________. 考点 函数的反函数 题点 求函数的反函数 答案 log 2x5.函数f (x )＝ln x 2的单调减区间为____________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (－∞，0)1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.2.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象是相同的，只是为了适应习惯用x 表示自变量，y 表示因变量，把x ＝log a y 换成y ＝log a x ，y ＝log a x 才与y ＝a x 关于直线y ＝x 对称，因为点(a ，b )与点(b ，a )关于直线y ＝x 对称.一、选择题1.函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 A解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥0，2x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥1，2x －1>0，∴x ≥1， ∴函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为[1，＋∞). 2.若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A.0<a <b <1 B.0<b <a <1 C.a >b >1 D.b >a >1答案 B解析 因为log a 2<0，log b 2<0， 所以0<a <1,0<b <1， 又log a 2<log b 2， 所以a >b ， 故0<b <a <1.3.函数f (x )＝12log x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.(0,1] C.(0，＋∞) D.[1，＋∞)答案 D解析 f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞).4.函数y ＝15log (1－3x )的值域为( )A.RB.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞) 答案 C解析 因为3x >0，所以－3x <0， 所以1－3x <1.又y ＝15log t (t ＝1－3x )是关于t 的减函数，所以y ＝15log t >15log 1＝0.5.已知log a 12<2，那么a 的取值范围是( )A.0<a <22B.a >22C.22<a <1 D.0<a <22或a >1 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D解析 当a >1时，由log a 12<log a a 2得a 2>12，故a >1；当0<a <1时，由log a 12<log a a 2得0<a 2<12，故0<a <22. 综上可知，a 的取值范围是0<a <22或a >1. 6.函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(1,2)D.(2,3) 答案 D解析 由－3＋4x －x 2>0，得x 2－4x ＋3<0，得1<x <3. 设t ＝－3＋4x －x 2，其图象的对称轴为x ＝2. ∵函数y ＝13log t 为减函数，∴要求函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间，即求函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间， ∵函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间是(2,3)，∴函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,3)，故选D.7.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，4] B.[4，＋∞ ) C.[－4,4] D.(－4,4] 答案 D解析 令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减， ∴函数g (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，且恒大于0， ∴12a ≤2且g (2)>0， ∴a ≤4且4＋a >0，∴－4<a ≤4， 故选D.8.已知指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫1a x，当x ∈(0，＋∞)时，有y >1，则关于x 的不等式log a (x －1)≤log a (6－x )的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，72 C.⎝⎛⎦⎤1，72 D.⎣⎡⎭⎫72，6答案 D解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫1a x 在x ∈(0，＋∞)时，有y >1， ∴1a>1，∴0<a <1. 于是由log a (x －1)≤log a (6－x )， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥6－x ，x －1>0，6－x >0，解得72≤x <6，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪72≤x <6.故选D. 二、填空题9.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点⎝⎛⎭⎫32，23，则a ＝________. 考点 函数的反函数 题点 反函数的图象与性质 答案2解析 因为点⎝⎛⎭⎫32，23在y ＝f (x )的图象上，所以点⎝⎛⎭⎫23，32在y ＝a x 的图象上，则有32＝23a ， 即a 2＝2，又因为a >0，所以a ＝ 2. 10.函数y ＝log 2(x 2－1)的增区间为________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (1，＋∞)解析 由x 2－1>0得函数的定义域为{x |x <－1或x >1}，又y ＝log 2x 在定义域上单调递增，y ＝x 2－1在(1，＋∞)上单调递增，∴函数的增区间为(1，＋∞).11.若函数f (x )＝log a x (其中a 为常数，且a >0，a ≠1)满足f (2)>f (3)，则f (2x －1)<f (2－x )的解集是________. 答案 {x |1<x <2} 解析 ∵f (2)>f (3)， ∴f (x )＝log a x 是减函数，由f (2x －1)<f (2－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x >0，2x －1>2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <2，x >1，∴1<x <2. 三、解答题12.已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2. (1)若f (x )>0，求x 的取值范围； (2)若x ∈(－1,3]，求f (x )的值域. 解 (1)函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2， ∵f (x )>0，即log 2(x ＋1)－2>0， ∴log 2(x ＋1)>2，∴x ＋1>4，∴x >3. 故x 的取值范围是x >3. (2)∵x ∈(－1,3]， ∴x ＋1∈(0,4]，∴log 2(x ＋1)∈(－∞，2]， ∴log 2(x ＋1)－2∈(－∞，0]， 故f (x )的值域为(－∞，0]. 13.已知f (x )＝12log (x 2－ax －a ).(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数，求实数a 的取值范围. 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12log (x 2＋x ＋1)，∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴12log (x 2＋x ＋1)≤123log 4＝2－log 23， ∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23].∵y ＝x 2＋x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，－12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，y ＝12log x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)令u (x )＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数， 又∵y ＝12log u (x )为单调减函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调减函数，且u (x )＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立. ⎝⎛⎭⎫提示：⎝⎛⎭⎫－∞，－12⊆⎝⎛⎭⎫－∞，a 2 因此⎩⎨⎧ a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0， 解得－1≤a ≤12. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12.14.若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________.考点 对数函数的综合问题题点 与单调性有关的对数函数综合问题答案 12解析 当a >1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝a ＋log a 2，f (x )min ＝a 0＋log a 1＝1，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12(舍去)； 当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝a 0＋log a (0＋1)＝1，f (x )min ＝a ＋log a 2，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴a ＝12. 综上所述，a ＝12. 15.已知函数f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x ).(1)求函数f (x )的定义域，并证明f (x )是定义域上的奇函数；(2)用定义证明f (x )在定义域上是增函数；(3)求不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0的解集.(1)解 由对数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，1＋x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >－1， 即－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1).∵f (－x )＝lg(1－x )－lg(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )是定义域上的奇函数.(2)证明 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(1＋x 1)－lg(1－x 1)－lg(1＋x 2)＋lg(1－x 2)＝lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴0<1＋x 1<1＋x 2，0<1－x 2<1－x 1，于是0<1＋x 11＋x 2<1,0<1－x 21－x 1<1， 则0<(1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<1，∴lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )是(－1,1)上的增函数.(3)解 ∵f (x )在(－1,1)上是增函数且为奇函数，∴不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0可转化为f (2x －5)<－f (2－x )＝f (x －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2x －5<1，－1<x －2<1，2x －5<x －2，解得2<x <3.∴不等式的解集为{x |2<x <3}.。
高中数学必修一课件：2.2.2 对数函数及其性质(二)
loga M loga N loga MN
判断对数函数奇偶性: f ( x) f ( x) 0或f ( x) f ( x) 0
(2) g ( x) lg
解：
x 1 x
2
x2 1 x
2 2
定义域为 R
2 lg ( x ) 1 x lg g ( x) g ( x)
3 2
3
u g ( x) x ax a 在 (, 1 3)上是减函数,
2 且当 x (, 1 3) 时, g ( x) x ax a 0
2 f ( x ) log x 0 a 1 时, a 4x 3
在 (3, ) 上递减, 在 (, 1) 上递增
2 f ( x ) log ( x ax a) 在区间 (, 1 3) 6 、若 2
上是增函数, 求 a 的取值范围?
解： 由于 y log 2 u 在 (0, )上是减函数, 则
解之，得函数定义域为
1 3 {x | x 2且x 1且x } 2 2
2 y log ( x 4 x 7) 的值域？ 2：求 3, 定义域： R 值域：
{x | x R且x 2} 值域： R 定义域：
2″
y log 2 ( x 2 4 x 4)
求 a的取值范围？
二次项系数 是否为0?
解得 0 a 1
故函数定义域为R时, 0 a 1.
改变条件为：
3′已知函数 若 值域 为 值域 y lg(ax2 2ax 1)， 求 a 的取值范围？
R
解： (1) a 0 时， y lg 1 ,此时不 × 满足题设条件 ； (2) a 0 时，设 u ax2 2ax 1, 因为函数 y的值域是R, 则 a 0 解得 a 1 4a2 4a 0
2.2.2 对数函数及其性质
3 y x ( x R) 的反函数，并且画出原来的函数和它 例13：求函数
的反函数的图象。
解：由y x 3，得 x 3 y ∴函数 y x 的反函数是： y 3 x ( x R)
3 3 y x ( x R)和它的反函数 y 3 x ( x R) 的图象如图所示： 函数
(2)在定义域上是增函数
注：函数 y log a x(a 0且a 1) 的图象与 y log 1 x(a 0且a 1) 的 a 图象关于 x轴对称。 练习： 1. 函数 y log 4.3 x 的值域是（ D ）
A.(0,) C义：
一般地，我们把函数 y log a x(a 0, 且a 1) 叫做对数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域是(0,) 。
注：
x y a 1.由于指数函数 中的底数a满足a 0且a 1 ，则对数函数 y log a x 中的底数 a 也必须满足 a 0且a 1。
二、对数函数的图象和性质：
例2：函数 y log2 x 和 y log1 x 的图象。
2
一般地，对数函数y log a x(a 0，且a 1)的图象和性质 如下表所示：
0 a 1
图象
a 1
定义域 值域 性质 (2)在定义域上是减函数
(0,)
R
(1)过定点(1,0)，即x=1时，y=0
x f 1 ( y)
y 注：在函数 x f 1 ( y)中，表示自变量，表示函数。但在习惯上， x 我们一般用 x 表示自变量，用 y表示函数，为此我们常常对调函数 x f 1 ( y)中的字母 x, y，把它改写为 y f 1 ( x)。
2.如果函数 y f ( x)有反函数 f 1 ( x) ，那么函数 y f 1 ( x) 的反函 数就是y f ( x) 。
高中数学必修1课件：2.2.2《对数函数及其性质》 (共22张PPT)
值域: R
自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是： 增函数
列
x … 1/4 1/2 1 2 4 …
表 y log 2 x … -2 -1 0 1 2 …
y log 1 x … 2
2
1 0 -1 -2 …
y
描
2
点
1 11
这两个函数 的图象有什
42
0 1 23 4
x 么关系呢？
连 线
-1
-2
关于x轴对称
2.2 对数函数
2.2.2 对数函数及其性质 Nhomakorabea复习回顾
1 指数函数的概念；
复 习
2 指数函数的图像与性质：
3 对数的概念和基本运算法则
对数函数的概念
一般地,函数y =
(a＞0,且a≠1)
叫做对数函数.其中 x是自变量.
注意：
1.对数函数对底数的限制条件：a＞0,且a≠1
2.函数的定义域是（0,+∞）.
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象 0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
性
值域 : R
过定点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数
质 当x>1时，y>0
当x=1时，y=0 当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是减函数
当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0
作y=log2x的图象
列
x
1/4 1/2 1 2
表 y=log2x -2 -1 0 1
全国一等奖对数函数的图象和性质第二节教学设计
对数函数及其性质（2）一、教学内容分析《普通高中课程标准数学教科书·必修（1）》（人民教育出版社）高中一年级第二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时。
函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标。
必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。
为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。
二、学情与教材分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。
学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。
最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。
三、设计思想在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。
通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。
人教新课标版数学高一-必修一 对数函数及其性质2(第2课时)
第2课时 对数函数及其性质的应用问题导学一、比较两个对数的大小活动与探究1比较下列各组数中两个值的大小：(1)log 0.31.8，log 0.32.7；(2)3log 45,2log 23；(3)log 32，log 56；(4)13log 0.4，log 40.6；(5)log 20.4，log 30.4.迁移与应用1．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a2．比较下面两个值的大小：(1)log 2.10.4与log 2.10.3； (2)13log 8与13log 7；(3)log 67与log 53；(4)log 52与log 0.33.比较两个对数值的大小，若底数相同，可根据对数函数的单调性判断；若底数不相同，可借助中间量log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)或log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)来比较，也可换底后再比较．二、解对数不等式活动与探究2解下列不等式：(1)log 2(2x ＋3)＞log 2(5x －6)；(2)log 3(2x ＋1)＋13log (31)x -＞0； (3)12log (12)>2x -.迁移与应用1．如果1122log log 0x y <<，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x2．满足不等式log 3x ＜log 3(2－x )的x 的取值集合为______．3．函数y ＝ log 0.5(4x －3)的定义域为______．常见对数不等式有两种类型：(1)形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．若底数不同，先将底数化为相同的形式再求解．(2)形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．特别注意的是，每个对数的真数均为正．三、求函数的值域活动与探究3求下列函数的值域： (1)212log (23)y x x =-++；(2)y ＝log 3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x －2，x ∈[－3，－1]．迁移与应用1．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)2．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a 等于( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．43．函数12log (22)y x =+在x ∈[1,3]上的值域为______．求函数y ＝log a f (x )的值域时，先求出f (x )的值域，再利用对数函数y ＝log a u 的单调性求出原函数的值域．当堂检测1．若a ＝log 117，b ＝log 0.83，则( )A ．a ＞bB ．a ≥bC ．a ＜bD ．a ≤b2．函数(f x ( )A ．(－∞，2)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(1,2]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( ) A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)4．函数y ＝log 2(x 2－2x ＋3)的值域是__________．5．函数14log y x =的反函数是______．课前预习导学【预习导引】1．(1)(0，＋∞) 增 (0，＋∞) 减 (2)＞ ＜ ＜ ＞预习交流1 (1)log a m ＞log a n log a m ＜log a n (2)m ＞n m ＜n2．反函数预习交流2 提示：互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)中的两个数可直接用对应的对数函数的单调性比较；(2)中的两个数可化为同底的两个对数，然后用对应的对数函数的单调性比较；(3)中的两个对数的底数不同，真数也不同，但其中一个大于1，另一个小于1；(4)中两个数，一个小于0，一个大于0；(5)将两个对数换底后再比较．解：(1)∵函数y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上是减函数，且1.8＜2.7，∴log 0.31.8＞log 0.32.7.(2)3log 45＝log 4125,2log 23＝4log 43＝log 481.∵函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增函数，且125＞81，∴log 4125＞log 481，即3log 45＞2log 23.(3)∵函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，且2＜3，∴log 32＜log 33＝1.同理log 56＞log 55＝1.∴log 32＜log 56.(4)∵函数13log y x =在(0，＋∞)上是减函数，且0.4＜1， ∴1133log 0.4>log 1＝0.同理，log 40.6＜log 41＝0. ∴13log 0.4＞log 40.6.(5)log 20.4＝ln 0.4ln 2，log 30.4＝ln 0.4ln 3. ∵3＞2＞1，∴ln 3＞ln 2＞0.∴1ln 2＞1ln 3＞0. 又ln 0.4＜0，∴ln 0.4ln 2＜ln 0.4ln 3. 即log 20.4＜log 30.4.迁移与应用 1．A 解析：∵log 3π＞log 33＝1,0＝log 71＜log 76＜log 77＝1，log 20.8＜log 21＝0，∴a ＞b ＞c ，故选A.2．解：(1)∵函数f (x )＝log 2.1x 在(0，＋∞)上是增函数，且0.4＞0.3，故log 2.10.4＞log 2.10.3.(2)∵函数()13log f x x =在(0，＋∞)上是减函数，且8＞7， 故1133log 8<log 7.(3)∵log 67＞log 66＝1，log 53＜log 55＝1，∴log 67＞log 53.(4)∵log 52＞log 51＝0，log 0.33＜log 0.31＝0，∴log 52＞log 0.33.活动与探究2 思路分析：将各式化为同底的对数，利用对数函数的单调性化为一般不等式求解．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3＞0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65＜x ＜3. 所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫65，3.(2)由log 3(2x ＋1)＋13log (31)x -＞0得log 3(2x ＋1)＞13log (31)x --，即log 3(2x ＋1)＞log 3(3x －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1>0，3x －1>0，2x ＋1>3x －1，解得13＜x ＜2. 所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫13，2.(3)由12log (12)>2x -，得11221log (12)>log 4x -. ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，1－2x <14，解得38＜x ＜12. 所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫38，12.迁移与应用 1．D 解析：由1122log log x y <得x ＞y . 由1122log 0log 1y <=得y ＞1，∴x ＞y ＞1.2．(0,1) 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，2－x >0，x <2－x ，解得0＜x ＜1.3．⎝⎛⎦⎤34，1 解析：要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －3>0，log 0.5(4x －3)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34＜x ≤1. 活动与探究3 思路分析：先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的值域．解：(1)设u ＝－x 2＋2x ＋3＝－ (x －1)2＋4≤4， ∵12log y u =在(0，＋∞)上是减函数， ∴212log (23)x x -++≥12log 4＝－2.∴函数的值域为[－2，＋∞)．(2)设u ＝⎝⎛⎭⎫13x －2，∵x ∈[－3，－1]，∴3≤⎝⎛⎭⎫13x ≤27，即1≤u ≤25.∵函数y ＝log 3u 在(0，＋∞)上是增函数，∴0≤log 3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x －2≤log 325. ∴原函数的值域为[0，log 325]．迁移与应用 1．A2．D 解析：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上为增函数，∴log a (2a )－log a a ＝log a 2＝12，解得a ＝4，故选D. 3．[－3，－2] 解析：∵x ∈[1,3]，∴2x ＋2∈[4,8]．∴111222log 8log (22)log 4x ≤+≤，即－3≤12log (22)x +≤－2.【当堂检测】1．A 解析：∵a ＝log 117＞log 111＝0，b ＝log 0.83＜log 0.81＝0， ∴a ＞b .2．D 解析：由题意得12log (1)0x -≥，∴0＜x －1≤1，即1＜x ≤2.3．D 解析：当x ≤1时，由21－x ≤2，得1－x ≤1，即x ≥0， ∴0≤x ≤1.当x ＞1时，由1－log 2x ≤2，得log 2x ≥－1，即x ≥12，∴x ＞1. 综上，满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．4．[1，＋∞) 解析：令u ＝x 2－2x ＋3，则u ＝(x －1)2＋2≥2. ∵函数y ＝log 2u 在u ∈(0，＋∞)上是增函数， ∴y ≥log 22＝1.∴y ∈[1，＋∞)．。
2.2.2对数函数及其性质(2)
(3)已知 a>0，且 a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图像只 能是图中的( )
[答案] B
[解析] 函数 y＝loga(－x)的定义域是{x|x<0}，图像只能在 y 轴 左侧，故排除 A，C.再看单调性，y＝ax 的单调性与 y＝loga(－ x)的单调性正好相反，又排除 D.
【变式】 函数 f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是(
)
[答案] A
[解析] 因为 f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，排除选 项 C，又 f(0)＝0，排除选项 B，D，故选 A.
拓展
函数 f(x)＝1＋log2x 与 g(x)＝2－x＋1 在同一坐标 )
系下的图像大致是(
∴此函数不具备奇偶性．
拓展 已知函数 f(x)＝lg(ax ＋2x＋1)． (1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (2)若 f(x)的值域为 R， 求实数 a 的 取值范围．
2
解：(1)若 f(x)的定义域为 R，则关于 x 的不等式 ax2＋2x＋ 1>0 的解集为 R. 1 当 a＝0 时，x>－ ，这与 x∈R 矛盾，所以 a≠0. 2 当 a≠0
f(x)，∴f(x)＝log2|x|为偶函数． 1－x 1＋x 1－x －1 1－x (2)设 f(x)＝lg ，f(－x)＝lg ＝lg( ) ＝－lg 1＋x 1－x 1＋x 1＋x 1－x ＝－f(x)，∴y＝lg 为奇函数． 1＋x
x－1>0 (3)由于 x＋1>0
，∴x>1，定义域不关于原点对称．
a>0， 时，由题意得 解得 Δ ＝ 4 － 4 a <0 ，
对数函数图形与性质(二)课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
&g 1
∆= 4 − 4 ≥ 0
综上所述，实数a的取值范围 0，1
值域为全体实数，真数
要取遍所有正实数
例3.求函数f（x）＝log2（4x）•log2（2x）， ∈
1
4
, 4 的值域
解： f（x）＝ log2（4x）•log2（2x），
（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．
解(1)因为f（x）的定义域为R
所以ax2+2x+1>0对任意的 ∈ 恒成立
若a=0,则2x+1>0显然对任意的 ∈ 不恒成立，不合题意
>0
若 ≠ 0, 则
解得a>1
∆= 4 − 4 < 0
2 = 4 − 2 + 3 ≥ 0 从两个方面考虑
解之得： −4，4
（1）根据a与1的关系确定 在 ， 上的单调性
（2） > 在 ∈ ， 时恒成立，只需() >0即可
例4：若函数y = 2 (2-ax)在 ∈[0,1]上是减函数，则的取值范围是_____
2
+ 9 > 0可知函数的定义域为R
设 = 3 u, u= 2 -2x+10
∵ u= 2 -2x+10在 −∞, 1 单调递减，在（1，+∞)单调递增
又 = 3 u单调递增
∴f（x）＝log3（x2﹣2x+10）在 −∞, 1 单调递减，
在（1，+∞)单调递增
[归纳提升]
变式 .已知函数f（x）＝log3（x2﹣2x−10）
第二章 2.2.2对数函数及其性质(2)
答案：A
返回
3．不等式 log 1 (2x＋1)>log 1 (3－x)的解集为_____________．
2 2
2x＋1>0， 解析：由题意3－x>0， 2x＋1<3－x 1 2 ⇒－2<x<3.
1 2 答案：{x|－2<x<3}
1 x>－2， ⇒x<3， 2 x< 3
－
1 3
.
返回
取得最小值时 x＝ 2
1 － 3 － 2 3
＝ 2<2，
这时 x [2,8]，舍去． 32 1 1 若2loga8＋2 －8＝1， 1 则 a＝2，此时取得最小值时
1－ 3 x＝2 2 ＝2
2∈[2,8]符合题意，
1 ∴a＝2.
＝(log2x－1)(log2x－2)
返回
＝(log2x)2－3log2x＋2，(6 分) 令 t＝log2x. ∵x∈[ 2，8]，
1 ∴t∈2，3，(8
分)
利用换元法解决问题时， 一定要求出换元后的变 量的取值范围，即新 函数的定义域.
求此类函数的最值，应 借助函数的图象求解， 此处极易将两端点处的 函数值作为最值，从 而导致解题错误.
返回
[随堂即时演练]
1．设 a＝log54，b＝log53，c＝log45，则 A．a＜c＜b C．a＜b＜c B．b＜c＜a D．b＜a＜c ( )
解析：由于 b＝log53＜a＝log54＜1＜log45＝c，故 b＜ a＜c.
答案：D
返回
2．函数
f(x)＝lg
1 的奇偶性是 2 x ＋1＋x
对数函数性质
对数函数性质对数函数是高中数学中的一个重要知识点，在许多数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
在学习对数函数时，我们需要掌握对数函数的性质，在这里，我将为大家详细介绍对数函数的性质，希望能对大家的学习有所帮助。
一、对数函数定义及性质对数函数的公式为：y=loga x ，其中x、y、a都是实数，a>0，且a≠1。
1.定义域和值域（1）定义域：对数函数的定义域为正实数集R+（2）值域：对数函数的值域为实数集R2.奇偶性（1）当a>1时，对数函数是增函数，是奇函数。
（2）当0<a<1时，对数函数是减函数，是偶函数。
（3）对于任意的a，对数函数均不具有周期性。
3.单调性（1）当a>1时，对数函数是单调递增的；（2）当0<a<1时，对数函数是单调递减的；（3）对于任意的a，对数函数均单调。
4.对称轴当a>1时，对数函数的对称轴是y=x；当0<a<1时，对数函数的对称轴是y=-x。
5.渐近线当a>1时，对数函数的x轴渐近线是x轴；当0<a<1时，对数函数的y 轴渐近线是x轴。
二、对数函数在求解实际问题中的应用对数函数是一种用于描述关系紧密的现象的数学工具，它广泛应用于数学、物理、化学、生物等领域。
下面分别介绍对数函数在不同领域的应用。
1.经济学中的应用对数函数在经济学中有广泛的应用，例如在计算经济增长率和物价指数时常常用到对数函数。
（1）经济增长率的计算对数函数可以用来表示数据的增长趋势。
在经济学中，经济增长率是一个重要指标。
假设某国的国内生产总值（GDP）在2010年为100亿美元，在2011年增加到120亿美元，那么这个国家的GDP增长率为：所以，GDP的增长率为20%。
可以使用以下公式来计算增长率：增长率 = log10(120) - log10(100) = 0.0792。
因此，增长率为7.92%。
（2）物价指数的计算物价指数是描述物价水平的一个指标。
对数函数及其性质(2)
2.2.2 对数函数及其性质（2）从容说课研究对数函数需从研究函数的一般规律入手.本节课起承上启下的作用，侧重于研究对数函数的单调性、奇偶性.对于比较大小的问题，一般常用方法有：底相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小；底相同，指数不同的，可看作同一指数函数上的几个函数值，用指数函数的单调性比较大小；底数不同，真数相同的几个数，可通过图象比较大小，也可通过换底公式比较大小；底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”.对于对数函数奇偶性的判定不能仅从形式上去观察而得出结论，应从定义上严格加以论证，这类问题技巧性较强.对数函数的单调性需严格按定义来加以论证.三维目标一、知识与技能1.掌握对数函数的单调性.2.会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.二、过程与方法1.通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.2.培养学生的数学应用的意识.三、情感态度与价值观1.用联系的观点分析、解决问题.2.认识事物之间的相互转化.教学重点利用对数函数单调性比较同底对数大小.教学难点不同底数的对数比较大小.教具准备投影、作业讲义.教学过程一、创设情景，引入新课上一节，大家学习了对数函数y=log a x的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.这一节，我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题.二、讲解新课例题讲解【例1】比较下列各组数中两个值的大小：（投影显示）（1）log23.4，log23.8；（2）log0.51.8，log0.52.1；（3）log a5.1，log a5.9；（4）log75，log67.请同学们回顾一下我们利用指数函数的有关性质比较大小的方法和步骤，并完成以下练习.（生板演前三题，师组织学生进行课堂评价，师生共同讨论完成第四题）解：（1）对数函数y =log 2x 在（0，+∞）上是增函数，且3.4＜3.8.于是log 23.4＜log 23.8.（2）对数函数y =log 0.5x 在（0，+∞）上是减函数，且1.8＜2.1，于是log 0.51.8＞log 0.52.1.（3）当a ＞1时，对数函数y =log a x 在（0，+∞）上是增函数，于是log a 5.1＜log a 5.9； 当0＜a ＜1时，对数函数y =log a x 在（0，+∞）上是减函数，于是log a 5.1＞log a 5.9. 请观察第（4）题，你认为它和其他三题有什么区别？两个对数式的底数和真数均不相同.能否找到一个具体的对数函数，根据这个函数的单调性来比较它们的大小呢？……这种困惑同学们以前遇到过吗？以前我们是怎样解决这类问题的呢？解：因为函数y =log 7x 和函数y =log 6x 都是定义域上的增函数，所以log 75＜log 77=1=log 66＜log 67.所以log 75＜log 67.本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较.已知log m 4＜log n 4，比较m 、n 的大小.该题和我们以前见到的题目有什么不同？已知对数式的大小关系，要求我们确定底数的大小关系.你能解决这个问题吗？……你能解决与这个问题有关的一个问题吗？若变量在真数位置上，我就可以解决这个问题了.你能设法对原式进行变换使变量在真数位置上吗？……你最希望已知条件的不等式两边的对数式变成怎样的形式？log 4m 和log 4n .如果能找到log 4m 和log m 4的关系，这个问题就可以了，请回顾一下对数的运算法则，你能找到log 4m 和log m 4的关系吗？结论：log m 4=m4log 1. 有了这个关系，题中已知条件就变为m 4log 1＜n 4log 1，你能据此确定m 、n 的大小关系吗？已知条件对于m 、n 有什么限制吗？由已知可得m 、n 都大于0，且都不等于1. 在这个条件的限制下，你能由条件m 4log 1＜n 4log 1确定m 、n 的大小关系吗？ 将条件m 4log 1＜n4log 1进行怎样的变换才能确定m 、n 的大小关系呢？将两边同乘以log 4m ·log 4n 即可.能直接乘以log 4m ·log 4n 吗？乘以log 4m ·log 4n 之后原式中的不等号方向如何变化？解：∵log m 4＜log n 4，∴m 4log 1＜n4log 1. 当m ＞1，n ＞1时，得0＜m 4log 1＜n 4log 1， ∴log 4n ＜log 4m .∴m ＞n ＞1.当0＜m ＜1，0＜n ＜1时，得m 4log 1＜n4log 1＜0， ∴log 4n ＜log 4m .∴0＜n ＜m ＜1.当0＜m ＜1，n ＞1时，得log 4m ＜0，0＜log 4n ，∴0＜m ＜1，n ＞1.∴0＜m ＜1＜n .综上所述，m 、n 的大小关系为m ＞n ＞1或0＜n ＜m ＜1或0＜m ＜1＜n .【例2】 判断函数f （x ）=ln （21x +－x ）的奇偶性.你觉得要解决这个问题需要掌握哪些知识？即函数单调性的定义以及运用函数的单调性判断函数单调性的方法和步骤以及对数的定义.如何运用这些知识解决这个问题呢？至此，你能解决这个问题吗？ 解：∵12+x ＞x 恒成立，故f （x ）的定义域为（－∞，+∞），又∵f （－x ）=ln （21x ++x ）=－ln x x ++211=－ln 2222)1(1x x xx -+-+=－ln （21x +－x ）=－f （x ），∴f （x ）为奇函数.在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f （x ）和f （－x ）之间的关系.f （x ）为奇函数⇔f （－x ）=－f （x ）⇔f （x ）+f （－x ）=0⇔)()(x f x f -=－1〔f （x ）≠0〕， f （x ）为偶函数⇔f （－x ）=f （x ）⇔f （－x ）－f （x ）=0⇔)()(x f x f -=1〔f （x ）≠0〕. 在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断.你能够用这些等价的变形再次研究例3吗？看一看哪一种方法最好.【例3】（1）证明函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（0，+∞）上是增函数；（2）问：函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（－∞，0）上是减函数还是增函数？分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.（1）证明：设x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=log 2（x 12+1）－log 2（x 22+1），∵0＜x 1＜x 2，∴x 12+1＜x 22+1.又∵y =log 2x 在（0，+∞）上是增函数，∴log 2（x 12+1）＜log 2（x 22+1），即f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（0，+∞）上是增函数.（2）解：是减函数，证明可以仿照上述证明过程.利用定义证明函数的单调性是研究单调性问题的重要方法.【例4】 已知f （log a x ）=)1()1(22--a x x a ，其中a ＞0，且a ≠1. （1）求f （x ）；（2）求证：f （x ）是奇函数；（3）求证：f （x ）在R 上为增函数.分析：利用换元法，可令t =log a x ，求出f （x ），从而求出f （x ）.证明奇函数及增函数可运用定义.（1）解：设t =log a x ，则t ∈R ，∴x =a t （x ＞0）.则f （t ）=)1()1(22--a a a a t t =12-a a （a t －a －t ）. （2）证明：∵f （－x ）=12-a a （a －x －a x ）=－12-a a （a x －a －x ）=－f （x ）， ∴f （x ）为奇函数.（3）证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 2）－f （x 1）=12-a a ；（a 2x －a －2x ）－（a 1x －a －1x ）］ =12-a a ；（a 2x －a 1x ）+a －1x a －2x （a 2x －a 1x ）］ =12-a a （a 2x －a 1x ）（1+a －1x a －2x ）. 若0＜a ＜1，则a 2－1＜0，a 1x ＞a 2x ，∴f （x 2）＞f （x 1）.∴y =f （x ）在R 上为增函数；若a ＞1，则a 2－1＞0，a 1x ＜a 2x .∴f （x 2）＞f （x 1）.∴y =f （x ）在R 上为增函数.综上，a ＞0，且a ≠1时，y =f （x ）是增函数.二、目标检测课本P 85练习3.答案：（1）＜ （2）＜ （3）＞ （4）＞三、课堂小结通过本节的学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并能掌握分类讨论思想.四、布置作业课本P88习题2.2B第2，3题.板书设计2.2.2 对数函数及其性质（2）1.对数函数大小比较方法2.复合函数的单调性和奇偶性的判断一、例题解析二、学生训练、目标检测题评析三、课堂小结与布置作业。
对数函数及其性质
1 (2) y log 2 x
1 (3) y log 7 ( ) 1 3x
【探究】在同一直角坐标系中用描点法画出函 数
y log 1 x y log 1 x y log2 x y log3 x
2
3
的图象。
2.对数函数y=logax (a>0且a≠1) 的图象和性质:
[问题提出] 1.什么是对数函数？其大致图象如何？ 函数y＝logax (a＞0且a≠1)叫做对数函数，
定义域为(0,＋∞) 例1 求下列函数的定义域:
(1) y log a x
2
{x|x≠0}
( 2) y log a (4 x ) {x|x<4}
变式练习 求下列函数的定义域： (1) y log (1 x)
0<x<1
y>0
y<0
2.对数函数y=logax (a>0且a≠1) 的图象和性质:
图象特征: 性质:
(1)都在y轴右方;
（2）图像不关于原点 和y轴不对称 (3)向y轴正负方向无限 延伸 (4)都过点(1,0) (5)当a>1时,从左向右看逐 渐上升;当0<a<1时,从左向 右看逐渐下降
(1)定义域:(0,+∞)
2.2.2 对数函数及其性质
(1)
P70
1.对数的定义P62 ：
一般地，如果a(a＞0, a≠1)的b次幂等于N， 就是ax＝N ，那么数x叫做以a为底N的对数， 记作：logaN＝x.
2.几个常用的结论（P63） ：
（1）负数与零没有对数 （2） loga 1 0 （3） loga a 1 loga N （4）对数恒等式：a
用描点法画函数
对数函数及其性质2
对数函数及其性质（第二课时）天津市滨海新区汉沽五中刘学军一、教材与学情分析：本节课为人教版（A版）普通高中课程标准实验教科书（必修1）第二章对数函数及其性质的第二课时，其主要包括三个内容，①同底数的两个对数比较大小（例8）②对数函数的实际应用（例9）．③反函数.例8中3个小题都是同底的对数函数比较大小，相互联系，逐个深入，利用对数函数单调性求解。
对数函数的实际应用题部分，主要是让学生体会到对数在实际生活中有广泛的应用，培养学生数学应用意识，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力.两个内容实际上统一在函数图象和性质的运用上，使得两个内容不是孤立的知识点，而是服务于对数函数的学习．对于反函数课标要求了解指数函数和对数函数是互为反函数，教学中我们将在反函数的教学中对两种函数图象和性质做一个简单梳理，通过学习进一步明确指、对数函数的关系，培养学生联系的观点，在揭示两种函数的关系中，加深对两种函数的认识.反函数实际上是指、对数函数关系的整体呈现，具体的体现在函数性质的许多方面，教学中通过几何画板课件，直观展示这种数学关系下，函数性质的变化，有利于发展学生数形结合的思想.使学生感受到数与形的统一，内容与形式的和谐.本节应用题教学中，通过对教材中例题和练习题的改编，使题目在实际生活的背景中体现更丰富的数学原理，更能引导学生综合运用对数函数的知识，解决问题，既激发了学生学数学、用数学的兴趣，也在解题训练上提升了一个台阶.二、教学目标：1．知识与技能①进一步理解对数函数的图象和性质。
②能应用对数函数性质解决实际中的问题．③了解反函数的概念，理解同底数的指数函数与对数函数互为反函数.在反函数的研究中加深对指数函数和对数函数性质的理解.2．过程与方法①在对数函数图象和性质的教学中，进一步领悟函数思想、等价转化、分类讨论、数形结合的思想．②在反函数的研究过程中，学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数性质上的联系.③培养学生对应用数学知识解决实际问题的能力，在解题中把具体的实际问题化归为数学问题．3.情感、态度、价值观①培养学生严谨的科学态度. 启发学生用所获得的结果去解释实际现象．②用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互转化.三、重点、难点：重点：对数函数性质的深化及其应用.难点：1.对反函数概念的理解，并从中理解指、对数函数图象和性质的关系.2.如何把具体的实际问题化归为数学问题，利用对数函数模型进行求解.四、教法：启发引导，探索发现（多媒体辅助教学）.五、学法与教具：学法：通过图象，理解对数函数与指数函数的关系. 强调要有数形结合、分类讨论、转化的数学思想教具：多媒体、几何画板六、教学过程：（一）．复习铺垫导入新课与学生共同回忆对数函数，且的图象和性质，＞10＜＜1图象性质（1）定义域（0，+∞）；（2）值域R；（3）过点（1，0），即当=1，=0；（4）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数本节课我们继续研究对数函数的性质，并应用这些知识解决一些问题，引入新课，板书课题: 对数函数及其性质（第二课时）（二）．例题讲解，强化性质教师课件展示两个例题例8 比较下列各组数中两个值的大小：（1），(2) ，（3），与学生共同完成，教师板书，强化分类讨论的数学思想。
2.2.2对数函数及其性质
当0＜a＜1时
y
1
5.1 5.9
o
1
5.1 5.9 x
o
x
loga5.1＜ loga5.9
loga5.1＞ loga5.9
(4) log0.37，log97.
log0.37＜log0.31＝0， log97＞log91＝0， ∴log0.37＜log97.
5.
log 67 , log 7 6 ;
定义域 : 值 域 :
( 0,+∞) R
在(0,+∞)上是：减函数
(3)根据对称性（关于x轴对称）已知 f ( x) log3 x 的图象，你能画出 y 1
f ( x) log1 x 的图象吗？
3
o
1
x
(4)当 0<a<1时与a>1时的图象又怎么画呢?
对数函数y=logax
(a＞0,且a≠1) 的图象与性质
下列是6个对数函数的图象，比较它们底数的 大小
规律：在 x=1的右边看图象,图 象越高底数越小.即图高底小
y loga1 x
y
y loga2 x y loga3 x
0 1
x
y loga4 x
y loga5 x y loga6 x
y
图 形
y=log
2
x
y=log
10
x
0
1
y=log
(2) log a2 a2 1.9 与 log a2 a2 1.7；
(2)∵a ＋a＋2＝a＋2 ＋4≥4>1， ∴y＝ log a2 a2 x 是增函数. 又 1.9>1.7， ∴ log a2 a2 1.9> log a2 a2 1.7.
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课题名称第二章基本初等函数1 对数函数及其性质2
教学目标1、知识与技能：
①掌握对数函数的单调性.
②会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.
2、过程与方法：通过对对数函数的学习，培养学生数学应用的意识。
3、情感态度与价值观：用联系的观点分析、解决问题；认识事物之间的相互转化。
重、难点【重点】：知识技能目标①②【难点】：知识技能目标②
教学第一环节：预习导学、自主学习（教师交给学生提取有效信息的通用工具、设置多样化预习题、对预习情况进行督察；学生在预习课自主完成文本阅读、提取有效信息、自主完成预习任务、梳理生成问题、建构文本知识体
系。
）认真阅读“对数函数及其性质”一节，回答下列问题。
一、对数函数的图象和性质
0＜a＜1a＞1
图像
定义域
值域
性质
试试:常用对数函数：，自然对数函数：。
二、指数函数与对数函数的区别和联系（结合指数函数与对数函数的图象和性质来分析）
三、反函数
对数函数，和指数函数
互为反函数，它们的图象关于直线对称。
【预习小结】：
【需要解答的问题】组长收集本组困惑问题和学生预习生成问题，并将其中一份教学案上交任课教师。
问题：
组长签字：
教学第二环节：教师点拨与解读（教师点拨学生在预习过程中困惑的地方、生成的问题、教材重点难点；解读文本核心知识、知识体系、知识之间的逻辑关系；利用典型例题进行导学、变式演示、交给学生解题通用工具、提升学生的感悟力。
）[典例分析]例1 比较下列各组数中两个值的大小：
（1）log23.4，log23.8；（2）log0.51.8，log0.52.1；
（3）log a5.1，log a5.9；（4）log75，log67.
例2、解不等式：)5
(
2
)1
2(
2
log
log+
-
-<x
x
【总结提升】：各小组推荐本组展示人员，开展小结展示活动，教师点评
教学第三环节：探究展示，教师点评（教师设计适当的探究性问题交给学生当堂讨论、小组集体合作派代表展示成果、教师巡查答疑、对学生进行鼓励性点评、在探究中师生共同总结解决一类问题的规律、提升学生自我概括、归纳、描述、说明等综合能力）【课堂检测】：
1、比较下列各组数中两个值的大小：
（1）log0.7 1.3和log0.71.8；（2）log35和log64.
（3）(lg n)1.7和(lg n)2 (n＞1)；
2、若n
m
2
1
2
1log
log<，则有（）
A m>n;
B m<n;
C m=n;
D m和n的大小不确定。
3、不等式)2
(
3
)
1(
3
log
log+
->x
x
的解集。
4、函数log(1)
a
y x
=-(01)
a a
>≠
且的反函数的图象经过点（1，4），求a的值.
教师/学生
评价与反思
做得较好的地方：
尚需改进的地方：。