东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--命题及其关系,充分条件,必要条件A

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7东北师大附属中学高三第一轮复习导学案二次函数A

二次函数一、知识梳理二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延．作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题．同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础．因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了．学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征．从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法．1、二次函数解析式的三种形式一般式：()()02≠++=a c bx ax x f顶点式：()()2()0fx a x h k a =-+≠零点式：()()02≠++=a c bx ax x f 存在零点21,x x ，则有()()12()()0fx a x x x x a =--≠2、二次函数的图象和性质（1）、二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的对称轴是，顶点的坐标，因此对任意的实数x ，都有。

当a >0 时，抛物线开中方向，在区间上是递增，在区间上，是递减，因此抛物线在处，取得最小值。

当a <0 时，抛物线开中方向，在区间上是递增，在区间上，是递减，因此抛物线在处，取得最大值。

（2）、二次函数的图象与x 轴的位置关系：由判别式判定 3、二次函数，二次方程，二次不等式的关系一般地，设二次函数f (x )=ax 2+bx +c ，二次方程ax 2+bx +c =0的根的差别式 ∆=b 2−4ac ，我们可以利用二次方程ax 2+bx +c =0的根求出不等式ax 2+bx +2二、题型探究[探究一]二次函数的最值问题例1：已知a ≥2,求函数f(x)=x 2+ax +3 (−1≤x ≤1)的最大值与最小值。

【走向高考】高三数学一轮总复习 1-2命题及其关系、充分条件与必要条件课件北师大版

课堂典例讲练
四种命题间的关系及命题真假的判断
[例 1]
把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并写
出它们的逆命题、否命题、逆否命题． (1)正三角形的三内角相等； (2)全等三角形的面积相等； (3)已知 a，b，c，d 是实数，若 a＝b，c＝d，则 a＋c＝b ＋d. [分析] 先找出原命题的条件 p 和结论 q，然后根据四种
命题之间的关系直接写出．
[解析]
(1)原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它
的三个内角相等”．逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形(或写成：三个内角相等的三角形是正三角形)．否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．
逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形(或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形)． (2) 原命题即是 “ 若两个三角形全等，则它们的面积相等”．逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等(或写成：面积相等的三角形全等)．否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等(或写成：不全等的三角形面积不相等)．
[答案] D
[解析] 本小题考查逆命题的写法，条件与结论互换．
2．“x>1”是“|x|>1”的(
)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析]
本题主要考查了充要条件．判定不是充分(或必要)
条件，可用“举例法”．当 x>1 时一定有|x|>1 成立，而|x|>1 时不一定有 x>1，如 x ＝－5.所以“x>1”⇒“|x|>1”而“|x|>1” ⇒ / x>1.

东北师大附属中学高三第一轮复习导学案导数的概念及运算A

导数的概念与运算(教案)A一、知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页）1、导数及有关概念：函数的平均变化率： 1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义：导数0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 5.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ()2求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=x y x ∆∆→∆0lim7.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；1(ln )x x'=；1(log )log a a x e x'=， ()x x e e '= ；()ln x x a a a '=8.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭9.复合函数的导数：（理科）设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'10.复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数11.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代12.导数的几何意义：是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率，即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.二、题型探究：探究1：导数的概念题型1．用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。

北师大版版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用命题及其关系充分条件与必要条件教学案理

一、知识梳理１．命题在数学中，可以判断真假用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．２．四种命题及其关系（１）四种命题间的相互关系（２）四种命题的真假关系１两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；２两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．３．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q错误!pp是q的必要不充分条件p错误!q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p错误!q且q错误!p从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：（１）若A⊆B，则p是q的充分条件；（２）若A⊇B，则p是q的必要条件；（３）若A＝B，则p是q的充要条件；（４）若A B，则p是q的充分不必要条件；（５）若A B，则p是q的必要不充分条件；（6）若A错误!B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．二、教材衍化１．命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是________，是________命题（填“真”或“假”）．解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x２≤y２”．答案：若x≤y，则x２≤y２假２．设x∈R，则“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的________条件．解析：２—x≥0，则x≤２，（x—１）２≤１，则—１≤x—１≤１，即0≤x≤２，据此可知：“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的必要不充分条件．答案：必要不充分３．原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac２＞bc２”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：当c＝0时，ac２＝bc２，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac２＞bc２，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有２个．答案：２一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）“x２＋２x—３<0”是命题．（）（２）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．（）（３）若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．（）（４）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（）（５）q不是p的必要条件时，“p错误!q”成立．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）命题的条件与结论不明确；（２）含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；（３）对充分必要条件判断错误．１．命题“若a２＋b２＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a２＋b２≠0．２．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0．３．条件p：x>a，条件q：x≥２．（１）若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；（２）若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥２}，（１）因为p是q的充分不必要条件，所以A B，所以a≥２；（２）因为p是q的必要不充分条件，所以B A，所以a<２．答案：（１）a≥２（２）a<２四种命题的相互关系及真假判断（自主练透）１．命题“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是（）Ａ．若x２≥１，则x≥１或x≤—１Ｂ．若—１<x<１，则x２<１Ｃ．若x>１或x<—１，则x２>１Ｄ．若x≥１或x≤—１，则x２≥１解析：选Ｄ．命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是“若x≥１或x≤—１，则x２≥１”．１“若xy＝１，则x，y互为倒数”的逆命题；２“面积相等的两个三角形全等”的否命题；３“若m≤１，则x２—２x＋m＝0有实数解”的逆否命题；４“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是（）Ａ．１２Ｂ．２３Ｃ．４Ｄ．１２３解析：选Ｄ．１原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝１”，是真命题；２原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；３若m≤１，Δ＝４—４m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；４由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故１２３正确．Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．４解析：选Ｃ．因为P＝错误!＝错误!{k∈Z}，Q＝错误!，所以P Q，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为２．错误!（１）写一个命题的其他三种命题时需关注２点１对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；２若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．（２）判断命题真假的２种方法１直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；２间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断（师生共研）（１）（２0２0·郑州模拟）已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“错误!>错误!”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（２）（２0２0·延安模拟）已知p：x＝２，q：x—２＝错误!，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【解析】（１）若错误!>错误!，则错误!—错误!＝错误!>0．当0<a<b时，错误!>错误!成立；当a>0，b<0时，满足错误!>错误!，但0<a<b不成立．故“b>a>0”是“错误!>错误!”的充分不必要条件，故选Ａ．（２）当x—２＝错误!时，两边平方可得（x—２）２＝２—x，即（x—２）（x—１）＝0，解得x１＝２，x２＝１．当x＝１时，—１＝错误!，不成立，故舍去，则x＝２，所以p是q的充要条件，故选Ｃ．【答案】（１）A （２）C错误!判断充要条件的３种常用方法（１）定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．（２）等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（３）利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意３点（１）要分清条件与结论分别是什么．（２）要从充分性、必要性两个方面进行判断．（３）直接判断比较困难时，可举出反例说明．１．（２0１9·高考天津卷）设x∈R，则“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由x２—５x<0可得0<x<５．由|x—１|<１可得0<x<２．由于区间（0，２）是（0，５）的真子集，故“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的必要而不充分条件．２．（２0２0·安徽淮南二模）设λ∈R，则“λ＝—３”是“直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．当λ＝—３时，两条直线的方程分别为6x＋４y＋１＝0，３x＋２y—２＝0，此时两条直线平行；若直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行，则２λ×（１—λ）＝—6（１—λ），所以λ＝—３或λ＝１，经检验，两者均符合．综上，“λ＝—３”是“直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行”的充分不必要条件，故选Ａ．充分条件、必要条件的探求及应用（典例迁移）（１）设集合A＝{x|x>—１}，B＝{x|x≥１}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）Ａ．—１<x≤１Ｂ．x≤１Ｃ．x>—１Ｄ．—１<x<１（２）已知P＝{x|x２—8x—２0≤0}，非空集合S＝{x|１—m≤x≤１＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．【解析】（１）因为集合A＝{x|x>—１}，B＝{x|x≥１}，又因为“x∈A且x∉B”，所以—１<x<１；又当—１<x<１时，满足x∈A且x∉B，所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是“—１<x<１”．故选Ｄ．（２）由x２—8x—２0≤0，得—２≤x≤１0，所以P＝{x|—２≤x≤１0}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则错误!所以0≤m≤３．所以当0≤m≤３时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，３]．【答案】（１）D （２）[0，３]【迁移探究】（变问法）本例（２）条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|—２≤x≤１0}，因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，所以P⇒S且S⇒P.所以[—２，１0][１—m，１＋m]．所以错误!或错误!所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．错误!根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项（１）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．（２）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．１．命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Ａ．a≥9 Ｂ．a≤9Ｃ．a≥１0 Ｄ．a≤１0解析：选Ｃ．命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”⇔“对任意的x∈[１，３]，x２≤a”⇔9≤a.则a≥１0是命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选Ｃ．２．若“x２—x—6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．解析：由x２—x—6>0，解得x<—２或x>３．因为“x２—x—6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<—２或x>３}的真子集，即a≥３，故a的最小值为３．答案：３[基础题组练]１．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p的（）Ａ．逆命题Ｂ．否命题Ｃ．逆否命题Ｄ．否定解析：选Ｂ．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．２．“若x，y∈R，x２＋y２＝0，则x，y全为0”的逆否命题是（）Ａ．若x，y∈R，x，y全不为0，则x２＋y２≠0Ｂ．若x，y∈R，x，y不全为0，则x２＋y２＝0Ｃ．若x，y∈R，x，y不全为0，则x２＋y２≠0Ｄ．若x，y∈R，x，y全为0，则x２＋y２≠0３．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．设集合A＝{（x，y）|x≠y}，B＝{（x，y）|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{（x，y）|x ＝y}，B的补集D＝{（x，y）|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．１“若a≤b，则a＜b”的否命题；２“若a＝１，则ax２—x＋３≥0的解集为R”的逆否命题；３“周长相同的圆面积相等”的逆命题；４“若错误!x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为（）Ａ．２４Ｂ．１２３Ｃ．２３４Ｄ．１３４解析：选Ｂ．对于１，逆命题为真，故否命题为真；对于２，原命题为真，故逆否命题为真；对于３，“面积相等的圆周长相同”为真；对于４，“若错误!x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选Ｂ．５．设a，b均为单位向量，则“|a—３b|＝|３a＋b|”是“a⊥b”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．因为|a—３b|＝|３a＋b|，所以（a—３b）２＝（３a＋b）２，所以a２—6a·b＋9b２＝9a２＋6a·b＋b２，又因为|a|＝|b|＝１，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立．故选Ｃ．6．（２0２0·咸阳模拟）已知p：m＝—１，q：直线x—y＝0与直线x＋m２y＝0互相垂直，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．由题意得直线x＋m２y＝0的斜率是—１，所以错误!＝—１，m＝±１．所以p是q的充分不必要条件．故选Ａ．7．（２0２0·郑州模拟）设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·（b—c）＝0”是“b＝c”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由b＝c，得b—c＝0，得a·（b—c）＝0；反之不成立．故“a·（b—c）＝0”是“b ＝c”的必要不充分条件．8．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是（）Ａ．a＋b＞0 Ｂ．a—b＞0Ｃ．ab＞１Ｄ．错误!＞１解析：选Ａ．因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a—b＞0，ab ＞１，错误!＞１，故选Ａ．9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件．答案：充要１0．在命题“若m>—n，则m２>n２”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝２，n＝３，则２>—３，但２２<３２，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝—３，n＝—２，则（—３）２>（—２）２，但—３<２，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为３．答案：３１１．（２0２0·齐鲁名校调研）给出下列说法：１“若x＋y＝错误!，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；２“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题；３“a＝１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；４命题“若x<—１，则x２—２x—３>0”的否命题为“若x≥—１，则x２—２x—３≤0”．以上说法中正确的是________（填序号）．解析：对于１，“若x＋y＝错误!，则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，则x＋y＝错误!”，当x＝0，y＝错误!时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝错误!，故逆命题为假命题，１正确；对于２，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，２正确；对于３，“a＝±１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故３错误；对于４，根据否命题的定义知４正确．答案：１２４[综合题组练]１．（２0２0·抚州七校联考）A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为6５分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是（）Ａ．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格Ｂ．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分Ｃ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分Ｄ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选Ｃ．根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选Ｃ．２．（２0２0·合肥模拟）若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是（）Ａ．a＝b＝１Ｂ．a，b至少有一个为１Ｃ．a＝b＝２Ｄ．a＞１且b＞１解析：选Ｂ．因为a＋b＞ab，所以（a—１）（b—１）＜１．因为a，b∈N+，所以（a—１）（b—１）∈N，所以（a—１）（b—１）＝0，所以a＝１或b＝１．故选Ｂ．３．若命题“ax２—２ax—３>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知ax２—２ax—３≤0恒成立，当a＝0时，—３≤0成立；当a≠0时，得错误!解得—３≤a<0，故实数a的取值范围是—３≤a≤0．答案：[—３，0]４．已知命题p：x２＋２x—３＞0；命题q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．解析：由x２＋２x—３＞0，得x＜—３或x＞１，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥１．答案：[１，＋∞）。

高三北师大数学理一轮课时检测命题及其关系充分条件与必要条件含解析

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件1．若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若a ＝1，则有|a |＝1是真命题，即a ＝1⇒|a |＝1，由|a |＝1可得a ＝±1，所以若|a |＝1，则有a ＝1是假命题，即|a |＝1⇒a ＝1不成立，所以a ＝1是|a |＝1的充分而不必要条件．答案：A2．已知命题p ：∃n ∈N,2n＞1 000，则綈p 为( )． A ．∀n ∈N,2n≤1 000 B ．∀n ∈N,2n＞1 000 C ．∃n ∈N,2n ≤1 000D ．∃n ∈N,2n＜1 000解析特称命题的否定是全称命题．即p ：∃x ∈M ，p (x )，则綈p ：∀x ∈M ，綈p (x )．故选A. 答案 A3．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案：B4．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 (特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝12＜sin60°＝32，故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件．答案 D【点评】本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值特殊图形、特殊位置代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效. 5．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( ) A ．若a ∉M ，则b ∉M B ．若b ∉M ，则a ∈M C ．若a ∉M ，则b ∈MD ．若b ∈M ，则a ∉M解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D. 答案：D6 若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )．A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件解析若φ(a ，b )＝0，即a 2＋b 2＝a ＋b ，两边平方得ab ＝0，故具备充分性．若a ≥0，b ≥0，ab ＝0，则不妨设a ＝0.φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ＝b 2－b ＝0.故具备必要性．故选C.答案 C7．已知集合A ＝{x ∈R|12<2x<8}，B ＝{x ∈R|－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥2 B ．m ≤2 C ．m >2D ．－2<m <2解析：A ＝{x ∈R|12<2x<8}＝{x |－1<x <3}∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ∴AB∴m ＋1>3，即m >2. 答案：C 二、填空题8．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．解析：x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4得1≤x <2.答案：[1,2)9.已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切”，则p 是q 的________条件．解析：由直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切得，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离等于圆的半径，即有|a |2＝1，a ＝± 2.因此，p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要10．设p ：|4x －3|≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析 p ：|4x －3|≤1⇔12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0⇔a ≤x ≤a ＋1由pq ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得：0≤a ≤12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1211．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3 p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，πp 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π其中真命题的个数是____________．解析由|a ＋b |＞1可得a 2＋2a·b ＋b 2＞1，因为|a |＝1，|b |＝1，所以a·b ＞－12，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a·b ＞－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＞1，即|a ＋b |＞1，故p 1正确．由|a －b |＞1可得a 2－2a·b ＋b 2＞1，因为|a |＝1，|b |＝1，所以a·b ＜12，故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立，p 4正确．答案 212．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R”的逆命题．其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，由⎩⎪⎨⎪⎧ m >0Δ＝4m ＋12－4m m ＋3<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >0m >1⇒m >1.故⑤正确．答案：②③⑤ 三、解答题13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解析：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．14．求方程ax 2＋2x ＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件．解析：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一负根．当a ＝0时，x ＝－12适合条件．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a ≥0，∴a ≤1，当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1.当a <1时，若方程有且仅有一负根，则x 1x 2＝1a<0，∴a <0.综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.15．已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m >0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解析：p ：x ∈[－2,10]，q ：x ∈[1－m,1＋m ]，m >0， ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，∴p ⇒q 且q ⇒/ p . ∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10.∴m ≥9.16．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －3a ＋1<0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a<0}．(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝12时，A ＝{x |2<x <52}，B ＝{x |12<x <94}，∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，(∁U B )∩A ＝{x |94≤x <52}．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}，当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝Ø，符合题意；当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}．⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，解得－12≤a <13；综上，a ∈[－12，3－52]．。

北师大版高三数学(理科)一轮复习1.2命题及其关系、充分条件与必要条件学案

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)充分条件与必要条件的相关概念①如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；③如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④如果q⇒p，且p⇒/q，则p是q的必要不充分条件；⑤如果⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[提醒]不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．(2)充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.(教材习题改编)“x>1”是“x2＋2x>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．解析：把命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0(教材习题改编)命题p：x2＝3x＋4，命题q：x＝3x＋4，则p是q的________条件．解析：当x2＝3x＋4时，x＝－1或4，当x＝－1时，x＝3x＋4不成立，即p⇒/q.当x＝3x＋4时，x≥0，3x＋4≥0，则x2＝3x＋4，即q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分四种命题的相互关系及其真假判断[典例引领](1)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0【解析】(1)“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．【答案】(1)D(2)C(2)由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[通关练习]1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B.依题意，得原命题的逆命题为：若一个数的平方是正数，则它是负数． 2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题解析：选B.对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x ＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.充分条件、必要条件的判断[典例引领](1)(2017·高考北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·高考天津卷)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 (1)因为m ，n 是非零向量，所以m ·n ＝|m |·|n |cos 〈m ，n 〉<0的充要条件是cos 〈m ，n 〉<0.因为λ<0，则由m ＝λn 可知m ，n 的方向相反，〈m ，n 〉＝180°，所以cos 〈m ，n 〉<0，所以“存在负数λ，使得m ＝λn ”可推得“m ·n <0”；而由“m ·n <0”，可推得“cos 〈m ，n 〉<0”，但不一定推得“m ，n 的方向相反”，从而不一定推得“存在负数λ，使得m ＝λn ”．综上所述，“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件，故选A.(2)由2－x ≥0，得x ≤2；由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2，因为[0，2](－∞，2]，所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件，故选B. 【答案】 (1)A (2)B(1)充分条件、必要条件的判断方法①利用定义判断：直接判断“若p ，则q ”“若q ，则p ”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．②从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．③利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假． (2)判断充要条件需注意三点 ①要分清条件与结论分别是什么． ②要从充分性、必要性两个方面进行判断． ③直接判断比较困难时，可举出反例说明．[通关练习]1．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为由“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，反过来，由A ⊆B 可以得到“a ＝3或a ＝2”，不一定推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件． 2．(2018·湖南省湘中名校高三联考)“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件，故选A.3．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A ，于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．法二：(等价转化法)x ＝y ⇒cos x ＝cos y ，而cos x ＝cos y ⇒/ x ＝y.充分条件、必要条件的应用[典例引领]已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，求m 的取值范围．【解】由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，知S ⊆P . 又因为集合S 非空，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．1.若本例条件不变，问是否存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件．2.本例条件不变，若“x ∈¬P ”是“x ∈¬S ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由本例知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为“x ∈¬P ”是“x ∈¬S ”的必要不充分条件，所以P ⇒S 且S ⇒/P .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[通关练习]1．若“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，则a 的最小值为________．解析：由x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3. 因为“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，所以{x |x >a }是{x |x <－2或x >3}的真子集，即a ≥3，故a 的最小值为3. 答案：32．已知集合A ＝{x |12<2x <8，x ∈R }，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |12<2x <8，x ∈R }＝{x |－1<x <3}，所以由已知x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，得A B ，所以m ＋1>3，即m >2. 答案：(2，＋∞)四种命题的真假关系原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，但它的逆否命题一定为真，即互为逆否命题的两个命题是等价命题，具有相同的真假性，但互为逆命题或互为否命题的两个命题真假性没有关系．因此一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．常用的正面叙述词语和它的否定词语若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{p (x )}，B ＝{q (x )}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件． (2)若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件． (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件． (4)若A B ，则p 是q 的充分不必要条件． (5)若A B ，则p 是q 的必要不充分条件．(6)若A ⊆/B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．易错防范(1)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．(2)注意区别A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )，与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．1．命题“若x ＞1，则x ＞0”的逆否命题是( ) A ．若x ≤0，则x ≤1 B ．若x ≤0，则x ＞1 C ．若x ＞0，则x ≤1D ．若x ＜0，则x ＜1解析：选A.依题意，命题“若x ＞1，则x ＞0”的逆否命题是“若x ≤0，则x ≤1”，故选A.2．原命题“若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠A ”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选D.由题意可知，否命题为“若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A ”，其为真命题；逆否命题为“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”，其为真命题．由等价命题的真假性相同可知，该命题的逆命题与原命题也为真命题．故选D.3．(2018·兰州市高考实战模拟)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，若a ⊥b ，则a ·b ＝0，即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，解得x ＝2或x ＝－12，所以x ＝2⇒a ⊥b ，反之a ⊥b ⇒x ＝2或x ＝－12，所以“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件，故选B.4．(2018·石家庄市教学质量检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin A >sin B ”是“a >b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设△ABC 外接圆的半径为R ，若sin A >sin B ，则2R sin A >2R sin B ，即a >b ；若a >b ，则a 2R >b2R ，即sin A >sin B ，所以在△ABC 中，“sin A >sin B ”是“a >b ”的充要条件，故选C.5．已知命题：“若a >2，则a 2>4”，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.原命题显然是真命题，其逆命题为“若a 2>4，则a >2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．6．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C ，使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ” 是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.依题意，若A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，当B ⊆∁U C ，可得A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，不妨令C ＝A ，显然满足A ⊆C ，B ⊆∁U C ，故满足条件的集合C 是存在的． 7．下列命题中正确的个数是( )①命题“若m >－1，则方程x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋2x －m ＝0有实根，则m >－1”；②“x ≠1”是“x 2－3x ＋2≠0”的充分不必要条件； ③一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0. A ．0 B ．3 C ．2D ．1解析：选C.对于①，命题“若m >－1，则方程x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋2x －m ＝0有实根，则m >－1”，故①正确；对于②，由x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝1或x ＝2，所以“x ≠1”不是“x 2－3x ＋2≠0”的充分不必要条件，故②错误；对于③，因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即k (－x )＋b ＝－(kx ＋b )，所以b ＝0，反之，如果b ＝0，那么f (x )＝kx ，所以f (－x )＝－kx ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故③正确．正确命题的个数为2，故选C.8．使a >0，b >0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a ＋b >0 B ．a －b >0 C ．ab >1D.ab>1 解析：选A.因为a >0，b >0⇒a ＋b >0，反之不成立，而由a >0，b >0不能推出a －b >0，ab >1，a b>1. 9．(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但是a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，选A.10．(2018·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若A ＝－B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1得A ＝－B ，故选B. 11．(2016·高考北京卷)设a ，b 是向量．则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |，故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |, 得|a ＋b|2＝|a －b |2，整理得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |, 故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D.12．(2018·河北石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是( )A ．若a >b >0，则ln a <ln bB ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2m －1)(m ∈R )垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆否命题为真命题D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：选D.因为函数y ＝ln x (x >0)是增函数，所以若a >b >0，则ln a >ln b ，故A 错误；若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错误；(特例法)互为逆否的两个命题是等价命题，而角的终边在第一象限，角α不一定是锐角，如α＝－315°，该角的终边落在第一象限，但不是锐角，故C 错误；命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )<0”是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2，4]上的图象连续不断，且在区间(－2，4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)>0，故D 正确．故选D.13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________．解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3.答案：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<314．对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；逆命题：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2. 答案：215．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]16．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )．设p ：x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，q ：m －3<f (x )<m ＋3.若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：因为p ：x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2⇒2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，所以f (x )∈[1，2]，又因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －3<1，m ＋3>2，解得－1<m <4，即m 的取值范围是(－1，4)．答案：(－1，4)1．(2018·四川南山模拟)已知条件p ：14<2x <16，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0，若p 是q 的充分而不必要条件，则a 的取值范围为( )A ．[－4，＋∞)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4]D ．(4，＋∞)解析：选B.由14<2x <16，得－2<x <4，即p ：－2<x <4. 方程(x ＋2)(x ＋a )＝0的两个根分别为－a ，－2.①若－a >－2，即a <2，则条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－2<x <－a ，由p 是q 的充分而不必要条件可得－a >4，则a <－4；②若－a ＝－2，即a ＝2，则(x ＋2)(x ＋a )<0无解，不符合题意；③若－a <－2，即a >2，则q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－a <x <－2，不符合题意．综上可得a <－4，故选B.2．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补，记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么“φ(a ，b )＝0”是“a 与b 互补”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.若φ(a ，b )＝0，即a 2＋b 2＝a ＋b ，两边平方得ab ＝0，故具备充分性．若a ≥0，b ≥0，ab ＝0，则不妨设a ＝0，φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ＝b 2－b ＝0，故具备必要性． 3．(2018·山西五校联考)已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．解析：p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}，由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，所以m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.答案：m ≥1或m ≤－74．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．答案：①②③5．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)否命题：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题为真命题，证明如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．6．已知p：x2－7x＋12≤0，q：(x－a)(x－a－1)≤0.(1)是否存在实数a，使綈p是綈q的充分不必要条件？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)是否存在实数a，使p是q的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：由题意知，p：3≤x≤4，q：a≤x≤a＋1.(1)因为¬p是¬q的充分不必要条件，所以¬p⇒¬q，且綈q⇒/¬p，所以q⇒p，且p⇒/q，即q是p的充分不必要条件，故{x|a≤x≤a＋1}{x|3≤x≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >3，a ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1<4，无解，所以不存在实数a ，使¬p 是¬q 的充分不必要条件．(2)若p 是q 的充要条件，则{x |a ≤x ≤a ＋1}＝{x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＋1＝4，解得a ＝3.故存在实数a ＝3，使p 是q 的充要条件．。

吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习导数(1)教案文

导数（1）一、知识梳理：（阅读选修教材2-2第18页—第22页）1、导数及有关概念：函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的几何意义：导数0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x ' 4.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.5.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ()2求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=xy x ∆∆→∆0lim 6.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=7.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、题型探究：【探究一】．导数的几何意义例1:已知曲线 .(1)、求曲线在点P （2，4）处的切线方程；(y=4x-4)(2)、求过点P（2，4）的曲线的切线方程；(y=x+2,y=4x-4)（3）、求过点P（0，0）的曲线的切线方程；(y=x)（4）、求斜率为1的曲线的切线方程。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学1.2.3充分条件与

课题：充分条件与必要条件学时：003学习：新授课学习目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养辨析能力以及培养良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．学习重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．难点：判断命题的充分条件、必要条件。

关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。

学生与教师共同探究过程：1．练习与思考写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.结论：置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：２．定义: 充分条件, 必要条件（1）：充分条件（2）：必要条件3．例题分析：例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x ＝1，则x2－ 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数．例2：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?(1)若x ＝ y，则x2＝ y2；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a ＞b,则ac＞bc．4、巩固练习：P12 习题1.2-- 1(1)(2),2(1)(2)题5．作业 P12:习题1.2A组--第3、4题6.学后反思：一般地，判断条件是结论的什么条件时，注意以下问题（1）条件是相互的；（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：A． p是q的充分而不必要条件；B. p是q的必要而不充分条件；C.p是q的充要条件；D. p是q的既不充分也不必要条件．。

北师大版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件教学案文

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[最新考纲] 1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(对应学生用书第4页)1．命题可以判断真假，用文字或符号表述的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p[常用结论]1．在四种形式的命题中，真命题的个数只能为0,2,4.2．p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件．其他情况依次类推．3．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q的充分不必要条件⇔A B；p是q的必要不充分条件⇔A B；p是q的充要条件⇔A＝B.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( ) (2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则q ”． ( ) (3)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( ) (4)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”． ( )[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．下列命题是真命题的是( ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2＞0, 则x ＞1”的逆否命题A [令a ＝c ＝0，b ＝d ＝－1，则ac ＜bd ，故B 错误；当a ＝2时，a 是素数但不是奇数，故C 错误；取x ＝－1，则x 2＞0，但x ＜1，故D 错误．]2．命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是( ) A ．“若x ＜y ，则x 2＜y 2” B ．“若x ＞y ，则x 2＞y 2” C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2” D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”C [根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．故选C.]3．“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2.故选B.]4．命题“若α＝π3，则sin α＝32”的逆命题为________命题，否命题为________命题．(填“真”或“假”)假假 [若α＝π3，则sin α＝32的逆命题为“若sin α＝32，则α＝π3”是假命题；否命题为“若α≠π3，则sin α≠32”是假命题．](对应学生用书第4页)⊙考点1 命题及其关系判断命题真假的两种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；(2)间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．1.下列命题是真命题的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2[答案] A2．下列命题中的真命题是( )①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ④“若x ＝312，则x 是无理数”的逆否命题． A ．①②③④ B ．①③④ C ．②③④D ．①④B [①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”，是真命题；②“正多边形都相似”的逆命题是“相似的多边形是正多边形”，为假命题；③“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实根”是真命题，故其逆否命题也是真命题；④“若x ＝312，则x 是无理数”是真命题，故其逆否命题也是真命题．故选B.]3．已知命题α：如果x ＜3，那么x ＜5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的有________．(填序号)①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题； ②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题； ③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．①③ [本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．]4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[m∈R是大前提，故该命题的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0.”]四种命题的三个处理技巧(1)要分清原命题的条件与结论．当原命题有大前提时，它的其他三种命题要保持大前提不变，只需改变小前提和结论．如T4.(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(3)判断一个命题是真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题可举反例．⊙考点2 充分、必要条件的判定充分条件和必要条件的三种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系．(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如¬p是¬q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(1)(2019·浙江高考)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4 ”是“ab≤4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)[一题多解](2019·天津高考)设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)(2019·北京高考)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B(3)C[(1)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2ab，即ab≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A.(2)法一：|x －1|＜1⇔－1＜x －1＜1⇔0＜x ＜2. 当0＜x ＜2时，必有0＜x ＜5；反之，不成立．所以，“0＜x ＜5”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件．法二：因为{x ||x －1|＜1}＝{x |0＜x ＜2}{x |0＜x ＜5}，所以“0＜x ＜5”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件．(3)当b ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )为偶函数，则f (－x )＝cos(－x )＋b sin(－x )＝cos x －b sin x ＝f (x )，∴－b sin x ＝b sin x 对x ∈R 恒成立，∴b ＝0.故“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的充分必要条件．故选C.][逆向问题](2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1C [若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0.]判断充要条件需注意三点(1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1.(2019·重庆模拟)已知x ∈R ，则“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件B [x 2－5x －6＝0⇔x ＝－1或x ＝6，∵x ＝－1⇒x ＝－1或x ＝6，而x ＝－1或x ＝6推不出x ＝－1，∴“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分而不必要条件，故选B.]2．给定两个命题p ，q ，若¬p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为¬p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒¬p ，但¬p q ，其等价于p ⇒¬q ，但¬qp ，故选A.]3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件D [非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．] ⊙考点3 充分条件、必要条件的应用根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．已知P ＝{x |－2≤x ≤10}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S的必要条件，则m 的取值范围为________．[0,3] [由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S P .又S 为非空集合，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．] [母题探究]把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围． [解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论．设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 3或4[由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.]。

高考数学一轮复习第一章 1.3命题及其关系充要条件学案理含解析北师大版

1.3 命题及其关系、充要条件必备知识预案自诊知识梳理 1.命题概念用语言、符号或式子表达的,可以判断的陈述句特点(1)能判断真假;(2)陈述句分类命题、命题2.四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系(2)四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题 ( 或 ). ②互逆或互否的两个命题真假性 . 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念p ⇒qp 是q 的条件,q是p 的条件p ⇒q ,且q p p 是q 的条件p q ,且q ⇒p p 是q 的条件p ⇔q p 是q 的条件 p q ,且q pp 是q 的条件1.在四种形式的命题中,真命题的个数只能为0,2,4.2.p 是q 的充分不必要条件,等价于¬q 是¬p 的充分不必要条件.其他情况依次类推.3.集合与充要条件:设p ,q 成立的对象构成的集合分别为A ,B ,p 是q 的充分不必要条件⇔A⫋B ;p 是q 的必要不充分条件⇔A ⫌B ;p 是q 的充要条件⇔A=B.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)命题“若α=π4,则tan α=1”的否命题是“若α=π4,则tan α≠1”.( )(2)命题“若x 2-3x+2>0,则x>2或x<1”的逆否命题是“若1≤x ≤2,则x 2-3x+2≤0”. ( ) (3)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假性没有关系. ( ) (4)当q 是p 的必要条件时,p 是q 的充分条件. ( ) (5)“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的充分不必要条件是q ”表达的意义相同. ( ) 2.(2020山西太原五中6月模拟,理2)设z=a+b i,且a ,b ∈R ,“z 是纯虚数”是“a=0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.(2020江西上饶三模,文5)已知a ,b ∈R ,则“a>b ”是“ab >1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知命题“若x=5,则x 2-8x+15=0”,则它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个5.命题“在空间中,若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是 .关键能力学案突破考点命题及其相互关系【例1】(1)已知原命题为“若a n +a n+12<a n ,n ∈N +,则{a n }为递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A.真、真、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假(2)设a ,b ∈R ,原命题“若x>12(a+b )2,则x>a 2+b 2”,则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是 ( )A.逆命题与否命题均为真命题B.逆命题为假命题,否命题为真命题C.逆命题为假命题,逆否命题为真命题D.否命题为假命题,逆否命题为真命题思考由原命题写出其他三种命题应注意什么?如何判断命题的真假? 解题心得1.写一个命题的其他三种命题时,需注意: (1)对于不是“若p ,则q ”形式的命题,需先改写;(2)若命题有大前提,则写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例即可.3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.对点训练1(1)命题“若x ,y 都是偶数,则x+y 也是偶数”的逆否命题是( ) A.若x+y 是偶数,则x 与y 不都是偶数 B.若x+y 是偶数,则x 与y 都不是偶数 C.若x+y 不是偶数,则x 与y 不都是偶数 D.若x+y 不是偶数,则x 与y 都不是偶数(2)原命题为“若z 1,z 2互为共轭复数,则|z 1|=|z 2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A.真、假、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假考点充分条件、必要条件的判断(多考向探究)考向1 定义法判断【例2】(2020辽宁实验中学五模,文3)已知a 为正数,则“a>1”是“a -1a +log 2a>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件考向2 集合法判断【例3】(2020山东烟台模拟,3)“a<2”是“任意x>0,a ≤x+1x ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件考向3 等价转化法判断【例4】函数f (x )={log 2x ,x >0,-2x +a ,x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A.a<0B.0<a<12C.12<a<1D.a ≤0或a>1解题心得充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据p ⇒q ,q ⇒p 是否同时成立进行判断.(2)集合法:根据p ,q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:指对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直到转化成容易判断充要条件为止.对点训练2(1)(2020河南开封三模,文3,理3)已知a ,b ∈R ,则“a>b ”是“a|a|>b|b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件(2)设p :关于x 的方程4x -2x -a=0有解;q :关于x 的不等式log 2(x+a-2)>0对于任意x>0恒成立,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件(3)(2020江苏镇江期末,3)使不等式1+1x >0成立的一个充分不必要条件是( ) A.x>-1 B.x ≥0C.x<-1或x>1D.-1<x<0考点充分条件、必要条件的应用【例5】若不等式m-1<x<m+1成立的充分不必要条件是13<x<12,则实数m 的取值范围是 .思考如何求与充分条件、必要条件有关的参数问题?解题心得1.与充要条件有关的参数问题的求解方法:解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解.2.充要条件的证明方法:在解答题中证明一个命题是另一个命题的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.对点训练3已知P={x|x 2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m ≤x ≤1+m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件,求m 的取值范围.变式发散1本题条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.变式发散2本题条件不变,若¬P是¬S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.1.写一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断命题的真假时,可以借助原命题与其逆否命题同真或同假的关系来判定.2.充分必要关系的几种判断方法:(1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.(2)等价法:利用p⇒q与¬q⇒¬p;q⇒p与¬p⇒¬q;p⇔q与¬q⇔¬p的等价关系.对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.(3)集合间关系法:设A={x|p(x)},B={x|q(x)},利用集合A,B的关系来判断.1.当一个命题中含有大前提时,其他三种命题也必须含有该大前提,也就是大前提不变.2.在判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式.3.判断条件之间的关系,要注意条件之间的推出方向,正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言.1.3命题及其关系、充要条件必备知识·预案自诊知识梳理1.真假真假2.(2)①等价同真同假②没有关系3.充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分又不必要考点自诊1.(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×2.A由z是纯虚数,可得a=0;当a=0时,若b=0,则z为实数0,故选A.3.D由a>b ab >1,由ab>1a>b,故选D.4.B原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3或x=5,故其逆命题“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题,故选B.5.在空间中,若四点中存在三点共线,则这四点共面逆否命题是既否条件又否结论,故答案为:在空间中,若四点中存在三点共线,则这四点共面.关键能力·学案突破例1(1)A(2)A(1)从原命题的真假入手,由于a n+a n+12<a n⇔a n+1<a n⇔{a n}为递减数列,即原命题和逆命题均为真命题,又原命题与其逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,则其逆命题、否命题和逆否命题均为真命题.(2)∵原命题:设a,b∈R,原命题“若x>12(a+b)2,则x>a2+b2”是假命题,∴原命题的逆否命题是假命题.原命题的逆命题“若x>a2+b2,则x>12(a+b)2”是真命题,∴原命题的否命题是真命题.故选A.对点训练1(1)C(2)B(1)由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”.(2)先证原命题为真,当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+b i(a,b∈R),则z2=a-b i,则|z1|=|z2|=√a2+b2,∴原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假,取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假,故选B.例2C由a>1,可得a-1a +log2a>0,反之,令f(a)=a-1a+log2a=log2a-1a+1,易知函数f(a)在(0,+∞)上递增,又f(1)=0,所以要使a-1a +log2a>0,则a>1,所以“a>1”是“a-1a+log2a>0”的充要条件.故选C.例3A若任意x>0,a≤x+1x ,则a≤x+1x min,因为x+1x≥2,当且仅当x=1x时,等号成立,所以a≤2,因为{a|a<2}⫋{a|a≤2},所以“a<2”是“任意x>0,a≤x+1x”的充分不必要条件,故选A.例4A 因为函数f (x )过点(1,0),即x=1为f (x )的一个零点,所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y=-2x +a (x ≤0)没有零点⇔函数y=2x (x ≤0)与直线y=a 无公共点.由数形结合,可得a ≤0或a>1.又因为{a|a<0}⫋{a|a ≤0,或a>1},故选A .对点训练2(1)C (2)B (3)C (1)设f (x )=x|x|={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,由二次函数的单调性可得函数f (x )为增函数,则若a>b ,则f (a )>f (b ),即a|a|>b|b|,反之也成立,所以“a>b ”是“a|a|>b|b|”的充分必要条件,故选C .(2)若p 成立,则a=4x -2x =(2x -12)2−14,所以a ≥-14,即a 的取值范围为[-14,+∞);若q 成立,则x+a-2>1对任意x>0恒成立,所以a>3-x 对任意x>0恒成立,则a ≥3.即a 的取值范围为[3,+∞).由于[3,+∞)⫋[-14,+∞),所以p 是q 的必要不充分条件,故选B .(3)不等式1+1x >0⇔x+1x>0⇔(x+1)x>0,故不等式的解集为(-∞,-1)∪(0,+∞).A,B,C,D 四个选项中,只有C 对应的集合为(-∞,-1)∪(0,+∞)的真子集.故选C . 例5-12,43 ∵13<x<12是m-1<x<m+1的充分不必要条件,∴13,12⫋(m-1,m+1),即{m -1<13,m +1≥12或{m -1≤13,m +1>12,∴-12≤m<43,或-12<m ≤43, ∴-12≤m ≤43.对点训练3解由x 2-8x-20≤0,得-2≤x ≤10,∴P={x|-2≤x ≤10}. ∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件,则S ⊆P.∴{1-m ≥-2,1+m ≤10,解得m ≤3. 又S 为非空集合,∴1-m ≤1+m ,解得m ≥0.综上,m 的取值范围是[0,3]. 变式发散1解不存在.由原题知P={x|-2≤x ≤10}.若x ∈P 是x ∈S 的充要条件,则P=S ,∴{1-m =-2,1+m =10,∴{m =3,m =9,m 不存在. 变式发散2解由原题知P={x|-2≤x ≤10},∵¬P 是¬S 的必要不充分条件,∴P ⇒S 且S P.∴[-2,10]⫋[1-m ,1+m ],∴{1-m ≤-2,1+m >10或{1-m <-2,1+m ≥10,∴m ≥9,即m 的取值范围是[9,+∞).。

高三数学一轮 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件导学案理北师大版

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件2014高考会这样考 1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充分条件与必要条件．复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．[难点正本疑点清源]1．等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．2．集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件；(2)若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A B ，且B A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．1．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题为“若ab ≠0，则a ≠0”，而由ab ≠0，可得a ，b 都不为零，故a ≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题． 2． “x >2”是“1x <12”的________条件．答案充分不必要解析 ①x >2⇒2x >0⇒x 2x >22x ⇒1x <12， ∴“x >2”是“1x <12”的充分条件．②1x <12⇒x <0或x >2D ⇒/x >2. ∴“x >2”是“1x <12”的不必要条件．3．已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“a ＋b2＝ab ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析因为若a ＝b <0，则a ＋b2≠ab ，所以充分性不成立；反之，因为a ＋b2＝ab ⇔a＝b ⇔a ＝b ≥0，所以必要性成立，故“a ＝b ”是“a ＋b2＝ab ”的必要不充分条件．4． (2011·天津)设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析因为A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ) (x∈R)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.题型一四种命题的关系及真假例1 已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．答案 D解析命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．探究提高 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数答案 C解析由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C. 题型二充要条件的判断例2 已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( )A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点 B ．p ：f －xf x＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A思维启迪：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断．答案 D解析对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，从而可得m <－2或m >6.所以p 是q 的必要不充分条件；对于B ，由f －xf x＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f －xf x＝1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ；反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A . 所以p ⇔q .综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D.探究提高判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件； ③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真．命题的序号是________．答案 ①④解析对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列 {a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④. 题型三利用充要条件求参数例3 已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件．思维启迪：解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．解 (1)由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是{a |－3≤a ≤5}．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0，故“a ＝0”是“M ∩P ＝{x |5<x ≤8}”的一个充分但不必要条件．探究提高利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．变式训练3 已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解设A ＝{x |x 2－4x －5≤0}＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－a ＋3<x <a ＋3}，因为p 是q 的充分不必要条件，从而有A B .故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3<－1，a ＋3>5，解得a >4.等价转化思想在充要条件关系中的应用典例：(12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论．规范解答解方法一由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，[2分]∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}，[3分] 由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，[5分] ∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}．[6分] ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分]方法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件，[2分] 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，[4分] 由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．[6分] ∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分]温馨提醒本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.方法与技巧1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的． 3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．失误与防范1．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式．2．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题：若tan α≠1，则α≠π4.2． (2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案 D解析 ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)， ∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x . 又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.3．已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B 解析因为MN ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B. 4．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题答案 A解析对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝⎩⎪⎨⎪⎧y y ≥0－y y ，必有x >y ；对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案 ①③④解析对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③对；对于④显然对．6．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．答案 [3,8)解析因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.7． (2011·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________.答案 3或4解析 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4. 当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3；当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 三、解答题(共22分)8． (10分)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．解原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. 判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－14<0，∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题．9． (12分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解由题意得p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，且等号不能同时取到，∴2≤m ≤4.B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·上海)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵mn >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n <0，当m >0，n >0且m ≠n 时，方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，当m <0，n <0时，方程mx 2＋ny 2＝1不表示任何图形，所以条件不充分；反之，当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时有mn >0，所以“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 2．已知p ：1x －2≥1，q ：|x －a |<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，3]B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3)答案 C 解析由1x －2≥1，得2<x ≤3；由|x －a |<1，得a －1<x <a ＋1.若p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤2a ＋1>3，即2<a ≤3.所以实数a 的取值范围是(2,3]，故选C.3．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 A ＝{x |－4≤x ≤4}，若A ⊆B ，则a >4.a >4D /⇒a >5，但a >5⇒a >4.故“A ⊆B ”是“a >5”的必要不充分条件．二、填空题(每小题5分，共15分)4．设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞)解析当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合；当a ≠0时，不等式ax2＋2x ＋1>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝22－4a <0，解得a >1.若命题q 为真，则0<4a －3<1，解得34<a <1.由题意，可知p ，q 一真一假．当p 真q 假时，a 的取值范围是 {a |a >1}∩{a |a ≤34或a ≥1}＝{a |a >1}；当p 假q 真时，a 的取值范围是{a |a ≤1}∩{a |34<a <1}＝{a |34<a <1}；所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞)．5．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4，得1≤x <2.点评 “A 或B ”的否定是“綈A 且綈B ”．6． “m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．答案充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，∵m <14⇒m ≤14，反之不成立．故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．三、解答题7． (13分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x －a ＋<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －a 2－2x －a <0.(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x －52<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －94x －12<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94， ∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94. ∴(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52.②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，∴－12≤a <13.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.。

吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习导数(2)教案文

导数（2）【探究二】：导数的运算：例2：求下列函数的导数（1）、sin2x（2）、(3)、【探究三】：求导运算后求切线方程例3：已知函数(1)、若a=1，点P 为曲线上的一个动点，求以点p 为切点的切线的斜率取最小值时的切线方程；(y=x+)（2）、求函数在（0，+）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a 。

(a=1)【探究四】．研究函数的图象例4、（08届云南平远一中五模）函数)(x f y =在定义域)3,23(-内可导，其图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为(A ).A [)3,2]1,31[Y - .B ]38,34[]21,1[Y - .C [)2,1]21,23[Y - .D ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--3,38]34,21[1,23Y Y 例5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为(B)A ．(-∞，12)∪(12,2)B ．(－∞，0)∪(12，2) C ．(－∞，12∪(12，＋∞) D ．(－∞，12)∪(2，＋∞) 解析：选B.由f (x )图象单调性可得f ′(x )在(－∞，12)∪(2，＋∞)大于0，在(12，2)上小于0，∴xf ′(x )<0的解集为(－∞，0)∪(12，2)．三、方法提升1.利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，还要注意公式不能用混；2.求复合函数的导数的时候，应分析复合函数的结构，有时一个函数不能一次分解完成，这就需要进一步分解；3.可以利用导数求曲线的切线方程，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点4.求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.5.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.四、反思感悟：五、课后作业（1）一、选择题1.对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足()1()x f x -'≥0，则必有(D).A (0)(2)f f +()21f < .B (0)(2)f f +≤()21f.C (0)(2)f f +≥()21f .D (0)(2)f f +()21f >2．设函数()f x ，()g x 在[],a b 上均可导，且()()f x g x '>'，则当a x b <<时，有(C).A ()()f x g x > .B ()()f x g x <.C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+3、()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是(C)4、0()sin f x x =，10()()f x f x ='，21()()f x f x ='，…，1()()n n f x f x +='，n N ∈，则 =(A).A sin x .B sin x - .C cos x .D cos x -5、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为(A).A 430x y --=；.B 450x y +-=；.C 430x y -+=；.D 430x y ++=6、曲线12x y e =在点()24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D).A 29e 2.B 24e .C 22e .D 2e 二．填空题： 7、已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '= -48、已知1cos ()xf x xe-=，则()f x '= 三、解答题：9、求下列函数的导数： ()1()21sin y x =+； ()221y x =+；()32ln 1y x =+； ()411x x e y e +=-；()52sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()6ln x y e x =⋅()7sin 1cos x y x=+； ()8()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅10．设,点P （t ，0）是函数与函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线。

高考数学复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件练习理北师大

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第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件练习理北师大版基础巩固题组（建议用时：25分钟）一、选择题1。

(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根"的逆否命题是( ) A.若方程x2＋x－m＝0有实根,则m＞0B。

若方程x2＋x－m＝0有实根,则m≤0C.若方程x2＋x－m＝0没有实根,则m＞0D。

若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0".答案D2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的（）A。

充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D。

既不充分也不必要条件解析因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1,所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0"的充要条件.答案A3。

设α,β是两个不同的平面,m是直线且mα,则“m∥β”是“α∥β"的（)A.充分不必要条件B。

2019届一轮复习北师大版充分必要条件学案

2019年高考数学总复习命题及其关系、充分条件与必要条件考点一.四种命题的关系及真假判断1. 以下关于命题的说法正确的有________ (填写所有正确命题的序号).①“若log 2a>0，则函数f(x)＝log a x (a>0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x, y 都是偶数,则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；[ om]④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价.解对于①，若log 2a>0，则a>1 ⇒f(x)＝log a x 在其定义域内是增函数;对于③，其逆命题是“若x ＋y 是偶数,则x, y 都是偶数”, 是假命题.所以选②④ 考点二.充分、必要、充要条件的概念与判断1.与集合(1)非空集合A 、B 中，p x ∈A ∪B ，q x ∈B ；则p 是q____________条件.解 x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，所以p 是q 的必要不充分条件.（2）设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，则“M a ∈”是“N a ∈”的_必要不充分条件．（3）设集合{2}M x x =>，{3}P x x =<，则“()x M P ∈⋃”是“()x M P ∈⋂”的_____________条件．2.与方程（1）已知x 、y ∈R ，p (x －1)2＋(y －2)2＝0， q (x －1)(y －2)＝0，则p 是q 的条件解条件p x ＝1且y ＝2，条件q x ＝1或y ＝2，故p 是q 的充分不必要条件.3.与不等式（1）已知:2p x >，:2q x ≥，那么p 是q 的_____充分不必要___条件．（2）已知p 1＜x ＜2，q x (x －3)＜0，则p 是q 的条件．（充分不必要）（3）(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的___________________条件；[来解因为(4)(1)0x x -+≥的解集为[1,4]-，401x x -≥+的解集为(1,4]-，故是必要不充分条件.必要不充分(4)对于实数x 、y ，p x ＋y ≠8，q x ≠2或y ≠6；则p 是q 的条件。

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