空间中平行于垂直的判定与 性质练习题
高中 直线、平面垂直的判定与性质 知识点+例题+练习
教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
第25节-直线、平面垂直的判定与性质(原卷版)
第25节直线、平面垂直的判定与性质基础知识要夯实1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．[难点正本疑点清源]1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.2．两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．基本技能要落实考点一线面垂直的判定与性质【例1】(2020·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点.(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离.【方法技巧】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a ，l ⊥a ，l ⊂β⇒l ⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【跟踪训练】1.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是()A ．AD BC=B ．AC BD=C ．PE PF=D ．EP PF=2.(2020·南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC 的体积为312，求线段CE 的长.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：(1)PA ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面PAD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .【方法技巧】1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【跟踪训练】1.（如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AD ＝SD ，BC ＝CD＝12AB ，侧面SAD ⊥底面ABCD .(1)求证：平面SBD ⊥平面SAD ；(2)若∠SDA ＝120°，且三棱锥S －BCD 的体积为612，求侧面△SAB 的面积.(1)证明设BC ＝a ，则CD ＝a ，AB ＝2a ，由题意知△BCD 是等腰直角三角形，且∠BCD ＝90°，则BD ＝2a ，∠CBD ＝45°，所以∠ABD ＝∠ABC －∠CBD ＝45°，在△ABD 中，AD ＝222cos 45AB BD AB DB +-⋅⋅︒＝2a ，因为AD 2＋BD 2＝4a 2＝AB 2，所以BD ⊥AD ，由于平面SAD ⊥底面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面SAD ，又BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SAD .(2)解由(1)可知AD ＝SD ＝2a ，在△SAD 中，∠SDA ＝120°，SA ＝2SD sin 60°＝6a .作SH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则SH ＝SD sin 60°＝62a ，由(1)知BD ⊥平面SAD ，因为SH ⊂平面SAD ，所以BD ⊥SH .又AD ∩BD ＝D ，所以SH ⊥平面ABCD ，所以SH 为三棱锥S －BCD 的高，所以V S －BCD ＝13×62a ×12×a 2＝612，解得a ＝1.由BD ⊥平面SAD ，SD ⊂平面SAD ，可得BD ⊥SD ，则SB ＝22SD BD +＝22+＝2.又AB ＝2，SA ＝6，在等腰三角形SBA 中，边SA 上的高为642-＝102，则△SAB 的面积为12×6×102＝152.达标检测要扎实一、单选题1．在空间中，下列命题是真命题的是（）A ．经过三个点有且只有一个平面B ．平行于同一平面的两直线相互平行C ．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等D ．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面2．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题中错误的是（）A ．直线1PC 和平面11AA D D 所成的角为定值B ．点P 到平面1C BD 的距离为定值C ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值D ．直线CD 和平面1BPC 平行3．在如图所示的棱长为20的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为CD 的中点，点P 在侧面11ADD A 上，且到11A D 的距离为6，到1AA 的距离为5，则过点P 且与1A M 垂直的正方体截面的形状是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且22EF =，则三棱锥A BEF -的体积为（）A ．112B ．14C ．212D ．不确定5．如图.AB 是圆的直径，PA AC ⊥，PA BC ⊥，C 是圆上一点(不同于A ，B )，且PA AC =，则二面角P BC A --的平面角为（）A ．PAC ∠B ．CPA ∠C ．PCA ∠D ．CAB∠6．如图1，已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB ⊥BC ，D 在线段PC 上，AD ⊥PC ．将△PAD 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDC C ．PD ⊥ACD ．PB ＝2AN7．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出下列判断：①存在点F 使得1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置无关；④三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关.其中正确判断的有（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④8．已知正三棱锥A BCF -和正四棱锥A BCDE -的所有棱长均为2，如图将三棱锥A BCF -的一个面和正四棱锥A BCDE -的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体说法不正确的是（）A ．//AF CDB ．AF D E⊥C ．新几何体为三棱柱D ．正四棱锥A BCDE -的内切球半径为22-二、多选题9．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论中正确的是（）A ．三棱锥11A PB D -的体积不变B ．//DP 平面11AB DC ．11A P BD ⊥D ．平面1ACP ⊥平面PBD 10．如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1AP DC ⋅u u u r u u u u r不是定值C ．三棱锥11BD PC -的体积为定值D ．11DC D P⊥11．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取30θ=︒，侧棱长为21米，则（）A ．正四棱锥的底面边长为6米B ．正四棱锥的底面边长为3米C ．正四棱锥的侧面积为243平方米D ．正四棱锥的侧面积为123平方米12．正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为4，已知1AC ⊥平面α，1AC β⊂，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（）A ．α截得的截面形状可能为正三角形B ．1AA 与截面α所成角的余弦值为63C ．α截得的截面形状可能为正六边形D ．β截得的截面形状可能为正方形三、填空题13．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，给出下列结论：①异面直线AP 与1DD 所成的角范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②平面1PBD ⊥平面11AC D ；③点P 到平面11AC D 的距离为定值233；④存在一点P ，使得直线AP 与平面11BCC B 所成的角为π3.其中正确的结论是___________.14．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，123AA =.若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为___________.15．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．16．如图，把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离为a ，则异面直线AC 与BD 的距离为______．四、解答题17．如图长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA=，点E 为1DD 的中点.（1）求证：1//BD 平面ACE ；（2）求证：1EB ⊥平面ACE ；（3）求二面角1--A CE C 的余弦值.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △是等腰直角三角形，90DPA ∠=︒，底面ABCD 是直角梯形，其中AB AD ⊥，2AD =，3AB =，1BC =，3PB =，（1）证明：PC ⊥平面PAD ；（2）求二面角D PB C --的正切值．19．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，M 是圆周上任意一点，AN ⊥PM ，垂足为N ,AE ⊥PB ，垂足为E .（1）求证：平面PAM ⊥平面PBM .（2）求证：AEN ∠是二面角A-PB-M 的平面角.20．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 为长方形，11AA=，2AB BC ==，120ABC ∠= ，AM CM =.(1)求证：平面11AA C C ⊥平面1C MB ；(2)求直线1A B 和平面1C MB 所成角的正弦值；(3)在线段1A B 上是否存在一点T ，使得点T 到直线1MC 的距离是133，若存在求1AT 的长，不存在说明理由.21．如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 的中点．将ABD △沿BD 折起，使AB AC ⊥，连接AE 、AC 、DE ，得到三棱锥A BCD -．(1)求证：平面ABD ⊥平面BCD ；(2)若1AD =，二面角B AD E --的大小为60°，求三棱锥A BCD -的体积．22．在多面体ABCDEF 中，正方形ABCD 和矩形BDEF 互相垂直，G 、H 分别是DE 和BC 的中点，2AB BF ==．（1）求证：ED 平面ABCD ．（2）在BC 边所在的直线上存在一点P ，使得//FP 平面AGH ，求FP 的长；。
江苏省南京市高三数学二轮专题复习(第一层次)专题13空间的平行与垂直问题 Word版含答案
专题13：空间的平行与垂直问题班级 姓名一、前测训练1．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若D 、E 是棱CC 1，AB 的中点，求证：DE ∥平面AB 1C 1．提示：法一：用线面平行的判定定理来证： “平行投影法”：取AB 1的中点F ，证四边形C 1DEF 是平行四边形．“中心投影法”延长BD 与B 1C 1交于M ，利用三角线中位线证DE ∥法二：用面面平行的性质取BB 1中点G ，证平面DEG ∥平面AB 1C 1． 2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C(2)若E ，F 分别是A 1A ，C 1C 的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面BDF ．提示：(1)用面面平行的判定定理证： 证明BD ∥B 1D 1，A 1B ∥D 1C ． (2)证明BD ∥B 1D 1，BF ∥D 1E ．【变式】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1A 的中点．点F 在棱CC 1上，使得平面EB 1D 1∥平面BDF ．求证：点F 为棱CC 1的中点．3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1的中点，AC 交BD 于O ，求证：A 1O ⊥平面MBD提示：用线面垂直的判定定理：证BD ⊥平面AA 1C 1C ，从而得出BD ⊥A 1O ； 在矩形AA 1C 1C 中，用平几知识证明A 1O ⊥OM ；4．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均相等，D 为BB 1的中点，求证：A 1B ⊥C D ． 分析：要证明A 1B ⊥C D ，只要证明A 1B 与CD 所在的平面垂直，或CD 与A 1B 所在的平面垂直，但都没有现成的平面，构造经过CD 的平面与直线A 1B 垂直，或经过A 1B 的平面与直线CD 垂直．方法1：取AB 的中点E ，连CE ，证A 1B ⊥平面CDE ； 方法2：取B 1C 1的中点F ，连BF ，证CD ⊥平面A 1BF ．A E A 1B CC 1B 1DAM O A 1 D 1A B CD B 1C 1【变式】在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， D 为BB 1的中点， A 1B ⊥CD ，求证：AA 1＝AB ．5．如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PB ＝PD ，且E ，F 分别是BC ， CD 的中点．求证：平面PEF ⊥平面PAC ．提示：设EF 与AC 交于点O ，证EF ⊥AC ，EF ⊥OP ， 从而得出EF ⊥平面PAC ．【变式】如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，PB ＝PD ，且E ，F 分别是BC ， CD 的中点，若平面PEF ⊥平面PAC ，求证：四边形ABCD 是菱形．6．如图，已知VB ⊥平面ABC ，侧面VAB ⊥侧面VAC ，求证：△VAC 是直角三角形． 提示：过B 作BD ⊥VA ，垂足为D ，由侧面VAB ⊥侧面VAC ，得出BD ⊥侧面VAC ，从面BD ⊥AC ，由VB ⊥平面ABC ，得AC ⊥VB ，从而AC ⊥平面VAB ． 所以AC ⊥VA ．7．（1）设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝1，PC ＝2，则球O 的表面积是________．(2)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．答案 ：（1）6π；(2) 3二、方法联想1.线线平行B C DA P EF B C A V（1）证明线线平行 方法1：利用中位线；方法2：利用平行四边形； 方法3：利用平行线段成比例； 方法4：利用平行公理； 方法5：利用线面平行性质定理；方法6：利用线面垂直性质定理；方法7：利用面面平行．（2）已知线线平行，可得线面平行【变式1】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 为平行四边形，求证：EF ∥BC ． (平行公理证明线线平行，由线线平行得线面平行) 2．线面平行（1）证明线面平行 方法1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①在直线和平面外寻找一点P ；②连接PA 交平面α于点M ；③连接PA 交平面α于点N ，④连接MN 即为要找的平行线．方法2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点A 、B 构造两平行直线和平面α相交于M 、N ；②连接MN 即为要找的平行线．方法3：构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：①过A 做AC 平行于平面α内一条直线A ’C ’；②连结BC ；③平面ABC 即为所要找的平行平面．（2）已知线面平行方法1 可得线线平行，过直线l 做平面β交已知平面α于直线m ，则l ∥m ．方法2 可得面面平行【变式】（1）如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 是棱CC 1，AB 的上的点，且AE ＝23AB ，若DE ∥平面AB 1C 1，求CDDC 1的值．（已知线面，转化为线线平行）（2）E ，P ，G ，H 分别是四面体的棱ABCD 的棱AB 、CD 、CA 、CB 的中点，求证：PE ∥平面PGH ． （通过面面的平行证明线面平行） 3．面面平行（1）证明面面平行方法 在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行．注意 证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行．m lα① ② A B C A ’ C ’ ①② ① A M NB 或①② ③ P A B④ ① ② ③A B P ④M N M N M NN（2）已知面面平行 可得线线平行 4．线线垂直 （1）证明线线垂直方法1：利用线面垂直；构造垂面证线线垂直要证l 垂直于AB ，构造垂面证线线垂直步骤:如下图：①过A 找垂直于l 的直线AC ；②连结BC ，③证BC 垂直l ，则l ⊥面ABC ． 方法2：利用线线平行转移线线垂直； 方法3：利用勾股定理；方法4：利用等腰三角形三线合一； 方法5：利用菱形对角线互相垂直； 方法6：利用四边形为矩形． （2）已知线线垂直 可得线面垂直 5．线面垂直 （1）证明线面垂直方法 证明直线与平面内两条相交直线垂直． （2）已知线面垂直 可得线线垂直和面面垂直【变式】（1）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 交BD 于O ，点M 在棱CC 1上，且A 1O ⊥平面MBD ，求证：M 为棱CC 1的中点． （线面垂直得线线垂直）（2）在四面体ABCD 中，AD ⊥BC ，CA ＝CB ＝CD ＝1，BD ＝2，则△ABC 的面积为_____． （计算证明线线垂直）（3）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，AB 1⊥BC 1，求证：A 1C ⊥BC 1． （利用平行转移线线垂直，从而一条直线与两异面直线的 垂直转化为线面的垂直）6．面面垂直（1）证明面面垂直关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直．找垂线的一般方法：①分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面； ②找（或作）两平面交线的垂线．③若存在第三个平面与其中一个面垂直，则在第三个内作找或作它们的交线的垂线（可以就是第三个与另一个平面的交线），再将这个垂线转移到另一个平面内．（2）已知面面垂直优先在其中一个平面内找或作两个平面交线的垂线，转化为线面垂直．ABlC①② MOA 1D1ABCD B 1C 1A 1【变式】在四棱锥P －ABCD 中，CD ⊥平面PAD ，△PAD 是正三角形，DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB ．求证：平面PBC ⊥平面PDC.（存在第三个面与其中一个面垂直）提示1：取PD 中点M ，则AM ⊥平面PDC ，下面只需将AM 平移到平面PBC 内． 提示2：作出平面PAD 与平面PBC 的交线PN ，只需证明PN ⊥平面PDC ． 7．有关表面积、体积计算①表面距离问题考虑表面展开，转化成平面问题②体积计算，先证明高，后用体积公式求体积三、例题分析例1：在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝2AB ．(1)若F 为PC 的中点，求证：PC ⊥平面AEF ； (2)求证：CE ∥平面P AB ．提示：(1)证明：PC ⊥AF ，PC ⊥EF ．(2)①中心投影法：延长CD 与AB 交于G ，证明CE ∥PG ． ②平行投影法：取P A 中点M ，过C 作CN ∥AD 交AB 于N ． 证四边形CEMN 是平行四边形，从而得CE ∥MN ． ③面面平行的性质：取AD 中点H ，证明平面CEH ∥平面P AB ． 〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．证明直线与平面垂直．方法：(1)定义法：a ⊥b ，b 为平面α内任意一条直线⇒a ⊥平面α．(2)线面垂直的判定定理：a ⊥m ，a ⊥n ，m ⊂平面α，n ⊂平面α，m ∩n ＝A ⇒ a ⊥平面α．(3)面面垂直的性质定理：平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l ，a ⊂平面α，a ⊥l ⇒ a ⊥平面α．2．证明直线与平面平行．方法：(1)定义法：常常借助反证法完成；(2)判定定理：a ∥b ，a ⊄平面α，b ⊂平面α⇒a ∥平面α．用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线，其方法有：中心投影法与平行投影法． 证明线线平行常用方法：①平面几何的方法：三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等． ②面面平行的性质：α∥β，γ∩α＝m ，γ∩β＝n ⇒m ∥n ．ACBEPFPABC D③线面垂直的性质：a⊥平面α，b⊥平面α⇒a∥b．④公理4：a∥c，b∥c⇒a∥b．(3)面面平行的性质：平面α∥平面β，a⊂平面α⇒a∥平面α．二、方法选择与优化建议：1．用方法(2)，方法(2)是证明线面垂直的常用方法。
第十一讲 立体几何(一) 平行与垂直.
第十一讲立体几何（一）平行与垂直【内容要点】垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.直线与平面是立体几何的核心内容，主要包括：三条公理、三个推论、三线平行公理（公理4）、三垂线定理及其逆定理、三种位置关系（直线与直线、直线与平面、平面与平面）。
其中“平行问题”与“垂直问题”是两类重要的证明问题。
【例题剖析】例1. 如图，已知平面α∥β∥γ，A，C∈α，B，D∈γ，异面直线AB和CD分别与β交于E和G，连结AD和BC分别交β于F，H．(2)判断四边形EFGH是哪一类四边形；(3)若AC=BD=a，求四边形EFGH的周长．需经过分别与AB(或CD)共面的直线(例如AD)进行过渡，再利用平面几何知识达到论证的目标。
(2)在(1)的基础上，不难判断EFGH四边形的类型。
(3)利用(1)、(2)的结果再进一步进行探索。
解：(1)由AB，AD确定的平面，与平行平面β和γ的交线分别为(2)面CBD分别交β，γ于HG和BD．由于β∥γ，所以HG∥BD．同理EH∥AC．故EFGH为平行四边形。
评述此问题的最终解决都是利用平面几何的有关知识进行的，这里利用了辅助平面ABD和ADC是关键所在，本题也是利用线面、面面、线线平行的互相转化这一基本思想得到最后结果的．例2. 正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线AC和BF上，且AM=FN 求证：MN∥平面BEC分析：证线面平行⇐线线平行，需找出面BEC中与MN平行的直线。
证明（一）：作NK∥AB交BE于K，作MH∥AB交BC于H∴MH∥NK∵ABCD与ABEF是两个有公共边AB的正方形∴它们是全等正方形∵AM=FN ∴CM=BN又∠HCM=∠KBN，∠HMC=∠KNB∴△HCM≌△KBN ∴MH=NK∴MHKN是平行四边形∴MN∥HK∵HK⊂平面BEC MN⊄平面BEC∴MN∥平面BEC证明（二）：分析：利用面面平行⇒线面平行过N作NP∥BE，连MP，∵NP∥AF∴FN/FB=AP/AB∵AM=FN，AC=BF∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC∴MP∥BC ∴平面MNP∥平面BCE∴MN∥平面BCE解题中经常需要作互相平行的直线，为了使作直线的位置符合要求，构造成平行四边形，利用平行四边形对边这一关系是作平行线的依据之一。
专题06五种直线、平面平行与垂直的判定与性质解题方法(解析版)
专题06五种直线、平面平行与垂直的判定与性质解题方法 题型一：求异面直线所成角题型二：证明线线、线面平行的方法题型三：证明面面平行的方法题型四：证明线线、线面垂直的方法题型五：证明面面垂直的方法题型一：求异面直线所成角一、单选题1．（2019·江苏苏州·高一期末）正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【分析】利用异面直线1AA 与BC 所成角的的定义，平移直线BC ，即可得答案．【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，易得190A AD ∠=︒．//AD BC ∴异面直线1AA 与BC 垂直，即所成的角为90︒.故选：D ．【点睛】本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题.2．（2020·宁夏银川·高一期末）下图的正方体ABCD A B C D ''''-中，异面直线AA '与BC '所成的角是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】B 【解析】只需将异面直线AA '与BC '平移至同一个平面内，转化为两条相交直线，即可求出它们所成的角．【详解】在正方体ABCD A B C D ''''-中，因为//AA BB ''，所以B BC ''∠即为异面直线AA '与BC '所成的角，因为45B BC ''∠=，所以异面直线AA '与BC '所成的角为45.故选：B.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决，根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．3．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，在正三棱锥D ABC -中，AD DC ⊥，点F 为棱AC 的中点，则异面直线DF 与AB 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C 【分析】取BC 的中点E ，∠DFE 即为所求，结合条件即求.【详解】如图取BC 的中点E ，连接EF ，DE ，则EF ∠AB ，∠DFE 即为所求，设DF a =，在正三棱锥D ABC -中，AD DC ⊥，故2,AB AC BC a DA DB DC ======，∠EF DE DF a ===，∠60DFE ∠=，即异面直线DF 与AB 所成角的大小为60.故选：C.4．（2021·湖北孝感·高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 和11B D 的交点，则异面直线BM 与1AD 所成的角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】A 【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即得结果.【详解】如图，连接1,BC MB ，因为1AD ∠1BC ，所以MBC 1∠或其补角为直线MB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB MC ⊥，又111MC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，111,BB B D ⊂平面1MBB ，所以MC 1⊥平面1MBB ，所以1MC PB ⊥，设正方体棱长为2，则111112BC MC AC ===1111sin 2MC MBC BC ∠===，而直角三角形中MBC 1∠是锐角， 所以16MBC π∠=，即异面直线BM 与1AD 所成的角是6π. 故选：A. 5．（2021·贵州毕节·高一期末）在空间四边形ABCD 中，AB CD =，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，若AB 与CD 所成的角为40°，则EF 与AB 所成角的大小为（ ）A ．20°B ．70°C ．20°或70°D ．40°或140°【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义转化为相交直线所成角，利用几何图形求EF 与AB 所成角的大小.【详解】取AC 的中点M ，BD 的中点N ，连接,,,,ME EN NF FM EF ，,,,M E N F 分别是,,,AC BC BD AD 的中点，//,//ME AB NF AB ∴，∴//ME NF ，同理//EN MF ，∴四边形MENF 是平行四边形，又AB CD =，∴=ME EN ，四边形MENF 是菱形，AB 与CD 所成的角为40，40MEN ∴∠=或140，∴EF 与AB 所成角是1202MEF MEN ∠=∠=或70. 故选：C二、多选题6．（2021·江苏常州·高一期末）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）A ．//BF CDB ．DG BH ⊥C ．CH 与BG 成60°角D ．BE 与平面ABCD 所成角为45°【答案】BCD 【分析】由正方体的平面展开图还原原正方体，再由正方体的结构特征结合空间角的概念逐个分析判断即可【详解】由正方体的平面展开图还原原正方体如图所示，由正方体的结构特征可知，BF 与CD 异面垂直，所以A 错误，DG CH ⊥，而CH 为BH 在平面DCGH 上的射影，所以DG BH ⊥，所以B 正确，连接AH ，由AB ∠GH ，AB GH =，可得四边形ABGH 为平行四边形，则AH ∠BG ，所以AHC ∠或其补角为异面直线CH 与BG 所成的角，连接AC ，可得AHC 为等边三角形，得CH 与BG 成60°角，所以C 正确，因为AE ⊥平面ABCD ，所以EBA ∠为BE 与平面ABCD 所成角为45︒，所以D 正确，故选：BCD三、填空题7．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_________. 【答案】3π 【分析】连接1A D 、BD ，证明11//A D B C ，可得1DA B ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成角，在1DA B △求1DA B ∠即可求解.【详解】如图，连接1A D 、BD ， 因为11A B DC ，所以四边形11A B CD 是平行四边形，所以11//A D B C ，所以1DA B ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，在1DA B △中，11DA A B BD ===，所以1DA B △是等边三角形，所以13DA B π∠=，即异面直线1A B 与1B C 所成角为3π， 故答案为：3π 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，具体步骤如下（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．（2022·陕西西安·高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，则异面直线1AB 与1BC 的夹角为_________． 【答案】3π 【解析】先证明11//AD BC ，可得11D AB ∠或其补角即为异面直线1AB 与1BC 所成的角，连接11D B ，在11AB D 中求11D AB ∠即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//,AB DC AB CD =， 1111//,,D C DC D C DC =所以1111//,AB D C AB D C =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC ，所以11D AB ∠或其补角即为异面直线1AB 与1BC 所成的角，连接11D B ，由1111ABCD A B C D -为正方体可得11AB D 是等边三角形， 所以113D AB π∠=.故答案为：3π 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．9．（2020·湖北湖北·高一期末）已知M 是长方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 的中点，底面ABCD 为正方形且12AA AB =，则AM 与11B D 所成角的大小用弧度制可以表示为______. 【答案】3π 【分析】取1AA 中点N ，连接11,B N D N ，可判断11D B N 即为AM 与11B D 所成角，求出即可.【详解】如图，取1AA 中点N ，连接11,B N D N ，设12=2AA AB =，,M N 是中点，可知1//AN B M 且1AN B M ，∴四边形1AMB N 是平行四边形，1//AM B N ∴,则11D B N 即为AM 与11B D 所成角， 可知11112,2,2B N B D D N ，113D B N，即AM 与11B D 所成角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，属于基础题.10．（2021·吉林·长春市第二十中学高一期末）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 依次是A 1D 1和B 1C 1的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为_____.【答案】35【解析】先推导出BF ∠AE ，从而∠BFC 是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值.【详解】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠E ，F 依次是A 1D 1和B 1C 1的中点，∠BF ∠AE ，∠∠BFC 是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则BF ＝CF ==∠cos ∠BFC 35==. ∠异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为35. 故答案为：35.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.11．（2021·山西吕梁·高一期末）已知正三棱柱中111ABC A B C -中，2AB =，14BB =，D ，E 分别是棱11A C ，1BB 的中点，则异面直线1B D 与AE 所成角的正切值为______.【分析】作出辅助线，证得1DB F ∠或其补角为异面直线1B D 与AE 所成角，然后求出相关线段的长度，进而在1B DF 中，利用余弦定理求出余弦值，进而可以求出结果.【详解】取1A A 的中点F ，连接1,B F DF ,因为E 分别是棱1BB 的中点，所以1AF B E =且1//AF B E ，所以四边形1AFB E 为平行四边形，故1//FB EA ，所以1DB F ∠或其补角为异面直线1B D 与AE 所成角，因为111A B C △为等边三角形，D 分别是棱11A C 的中点，所以111B DA C ，所以1B D ，在1Rt A DF 中，DF在Rt ABE △中，AE =1B F =在1B DF 中，2221cos DB F +-∠==0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1DB F ∠为异面直线1B D 与AE 所成角，而1tan DB F ∠=题型二：证明线线、线面平行的方法一、单选题1．（2020·湖南师大附中高一期末）设a 是直线，α是平面，则能推出//a α的条件是（ ）A ．存在一条直线b ，//a b ，b α⊂B ．存在一条直线b ，a b ⊥，b α⊥C ．存在一个平面β，a β⊂，//αβD ．存在一个平面β，a β⊥，αβ⊥【答案】C【分析】利用a α⊂可得到ABD 的反例，利用面面平行性质知C 正确.【详解】对于A ，若a α⊂，可满足//a b ，b α⊂，但无法得到//a α，A 错误；对于B ，若a α⊂，可满足a b ⊥，b α⊥，但无法得到//a α，B 错误；对于C ，由面面平行的性质知：若//αβ，a β⊂，则//a α，C 正确；对于D ，若a α⊂，可满足a β⊥，αβ⊥，但无法得到//a α，D 错误.故选：C.2．（2019·天津市红桥区教师发展中心高一期末）下列正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点， M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出直线AB ∠平面MNP 的图形的序号是（ ）A．①③B．①②C．①④D．②③【答案】A【分析】运用线面平行的判定、面面平行及线面相交、面面平行的性质，并结合图形即可判断结论在各图中是否正确NC PC，得平面MCPN【详解】图①，如图，作MC//NP，连接,AB NC，NC⊂平面MCPN∠AB//平面MCPN//即AB//平面MNP，故①项正确；AC AD CD图②，如图，连结,,由已知可得平面MNP//平面ACD；∠AB和平面ACD相交，∠AB不平行于平面MNP，故②项错误；图③，如图，连接CD由已知可得AB//CD，而MP//CD，可得AB//MP，∠平面AB⊄/平面MNP，又∠MP⊂平面MNP∠AB //平面MNP ，故③项正确；③④项，如图，由DB //MN ，MN ⊂平面MNP ，若AB //平面MNP ，又ABDB B = 则平面ACBD //平面MNP而由图可知，平面ACBD 不可能平行平面MNP∠AB 不平行于平面MNP ，故④项错误.综上，①③符合题意.故选：A二、填空题3．（2021·天津河东·高一期末）如图，CD αβ=，EF αγ=，AB βγ=，AB//α，则CD 与EF 的位置关系为___________．【答案】//CD EF【分析】由线面平行的性质有//AB CD ，根据线面平行的判定可得//CD γ，最后再由线面平行的性质即可得//CD EF .【详解】∠AB//α，AB β⊂，CD αβ=，∠//AB CD ，又AB γ⊂，CD γ⊄，∠//CD γ，又CD α⊂，EF αγ=， ∠//CD EF .故答案为：//CD EF4．（2021·浙江·高一期末）空间四边形ABCD 中，,E F 分别在边,AD CD 上，且满足DE DF EA FC =，则直线EF 与平面ABC 的位置关系是_________．【答案】平行【分析】由已知得//EF AC ，由此能证明//EF 平面ABC ．【详解】空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 上的点，且DE DF EA FC= //EF AC ∴，EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ．故答案为：平行．5．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）如图，平面////αβγ，直线,l m 分别与α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若13AB BC =，20DF =，则EF =_______.【答案】15【分析】分两种情况：（1）直线l 和m 在同一平面内（2）直线l 和m 不在同一平面内，即l 和m 异面然后利用面面平行的性质定理得到线线平行，进一步利用平行线分线段成比例定理得到结果．【详解】分两种情况：（1）直线l 和m 在同一平面内，设该平面为τ，连结,,AD BE CF因为平面////αβγ，==,=,AD BE CF αβγτττ，所以////AD BE CF ， 所以13AB DE BC EF ==，又20DF = ，所以15EF = ； （2）直线l 和m 不在同一平面内，即l 和m 异面，过D 作//DH AC ，平面////αβγ，∠,AB DG BC GH ==，设直线DH 与AC 所确定的平面为ξ，又,GE HF ξβξγ==，又//βγ，所以//GE HF ， 利用平行线分线段成比例，可得13AB DG DE BC GH EF ===，又20DF =，所以15EF =. 综上，15EF =.故答案为：15．三、解答题6．（2021·新疆·伊宁市第四中学高一期末）已知E F G H 、、、为空间四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、上的中点，求证：//EH FG .【分析】根据中位线定理与平行公理证明即可.【详解】证明：∠ 在ABD △中，E H 、为边AB DA 、的中点，∠ //EH BD ，∠在BCD △中，F G 、为边BC CD 、上的中点，∠//FG BD ，∠//EH FG .7．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱11,BB DD 的中点．求证：(1)//BD 平面AEF ；(2)EF ⊥平面11ACC A ．【分析】（1）易证得四边形BDFE 为平行四边形，可知//BD EF ，由线面平行的判定可得结论； （2）由正方形性质和线面垂直性质可证得BD AC ⊥，1AA BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面11ACC A ，由//EF BD 可得结论.(1),E F 分别为11,BB DD 的中点，11BB DD =，11//BB DD ，//BE DF ∴且BE DF =，∴四边形BDFE 为平行四边形，//BD EF ∴，又EF ⊂平面AEF ，BD ⊄平面AEF ，//BD ∴平面AEF .(2)四边形ABCD 为正方形，//BD AC EF BD BD EF ∴⊥∴⊥；1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，11//AA BDEF BD AA EF ∴⊥∴⊥， 又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，11EF ACC A ∴⊥平面8．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱1DD ，BC 的中点.(1)证明：1A D ⊥平面11ABC D ；(2)证明：//EF 平面11ABC D .【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证；（2）设11A D AD G ⋂=，由题可得EF ∠GB ，再利用线面平行的判定定理可证.(1)由正方体1111ABCD A B C D -的性质，可得11A D AD ⊥，AB ⊥平面11ADD A ，∴1AB A D ⊥，又1AD AB A ⋂=，∠1A D ⊥平面11ABC D ；(2)设11A D AD G ⋂=，连接,EG BG ，则11//,,//,,22EG AD EG AD BF AD BF AD == ∠//,EG BF EG BF =，∠四边形BFEG 为平行四边形，∠EF ∠GB ，又EF ⊄平面11ABC D ，GB ⊂平面11ABC D ，∠//EF 平面11ABC D9．（2022·陕西渭南·高一期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、1CC 的中点，AC 与BD 交于点O .求证：(1)1//CE FD ；(2)平面//AEC 平面1BFD .【分析】（1）证明出四边形1CED F 为平行四边形，可证得结论成立；（2）证明出//OE 平面1BFD ，//CE 平面1BFD ，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.(1)证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CC DD 且11CC DD =，因为E 、F 分别为1DD 、1CC 的中点，则1//CF D E 且1CF D E =，所以，四边形1CED F 为平行四边形，则1//CE FD .(2)证明：因为四边形ABCD 为正方形，ACBD O =，则O 为BD 的中点，因为E 为1DD 的中点，则1//OE BD ， OE ⊄平面1BFD ，1BD ⊂平面1BFD ，所以，//OE 平面1BFD ，因为1//CE FD ，CE ⊄平面1BFD ，1FD ⊂平面1BFD ，所以，//CE 平面1BFD ，因为OE CE E ⋂=，因此，平面//ACE 平面1BFD .题型三：证明面面平行的方法一、单选题1．（2021·贵州铜仁·高一期末）已知a ，b ，c 表示直线，α表示平面，给出下列命题：①若//a α，//b α，那么//a b ；②若b α⊂，//a α，那么//a b ；③若a c ⊥，b c ⊥，则a b ⊥；④若a α⊥，b α⊥，那么//a b ．其中正确的命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】对于①②③可以判断出直线a b 、可能平行，可能相交，也可能异面；对于②直线a b 、可能平行，也可能异面；对于④利用线面垂直的性质定理直接证明即可.【详解】对于①若//a α，//b α，那么直线a b 、可能平行，可能相交，也可能异面；故①错误； 对于②若b α⊂，//a α，那么直线a b 、可能平行，也可能异面；故②错误；对于③若a c ⊥，b c ⊥，那么直线a b 、可能平行，可能相交，也可能异面；故③错误；对于④若a α⊥，b α⊥，按照线面垂直的性质定理可得: //a b .故④正确.故选:B2．（2021·贵州·黔西南州同源中学高一期末）已知两条不重合的直线m n ，和两个不重合的平面αβ，，有下列命题：①若m α⊂，n β⊥，//αβ，则//m n ；②若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ；③若m n ⊥，m α⊥，则//n α；④若//m α，//n α，则//m n ．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】利用空间线面、线线，面面的位置关系一一判定各选项即可.【详解】①当m α⊂，n β⊥，//αβ，则m n ⊥，所以①错误；②因为m α⊥，//m n n α⇒⊥，又n β⊥则//αβ，所以②正确；③若m n ⊥，m α⊥，则//n α或n a ⊂，所以③错误；④若//m α，//n α，则//m n 或,m n 相交或,m n 异面，所以④错误.故选：A.二、多选题3．（2021·江苏·金陵中学高一期末）已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）A ．若,//m n n α⊥，则m α⊥B ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥C ．若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n β⊥D ．若,m n αα⊂⊂，且m 与n 不平行，//,//,m n ββ则//αβ【答案】BD【解析】结合空间线面位置关系及平行垂直的判定与性质定理对选项进行分别判断.【详解】A ：若,//m n n α⊥，则m 与α平行或相交或m α⊂，A 选项错误；B ：因为,ααβ⊥⊥m ，所以//m β或m β⊂，又n β⊥，所以m n ⊥，B 选项正确；C ：若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n 与β相交或平行或n β⊂，C 选项错误；D ：若一个平面内两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行，D 选项正确；故选：BD.三、填空题4．（2019·湖南·临澧县第一中学高一期末）平面几何中我们有“垂直于同一条直线的两条直线平行”，试将该命题中的直线（部分或全部）换成平面，写出一个在空间中成立的命题：_________.【答案】“垂直于同一直线的两个平面平行”或“垂直于同一平面的两直线平行”【分析】从直线到平面，从平面到空间进行类比得解.【详解】从直线到平面，从平面到空间进行类比得到一个在空间中成立的命题：“垂直于同一直线的两个平面平行”或“垂直于同一平面的两直线平行”.故答案为：“垂直于同一直线的两个平面平行”或“垂直于同一平面的两直线平行”【点睛】本题主要考查空间位置关系，考查类比推理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题5．（2021·贵州黔东南·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =， ,,E F G 分别是,,PC PD BC 的中点．(1)求证：PC AD ⊥；(2)求证：平面//PAB 平面EFG ．【分析】（1）由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥，再根据线面垂直的判定定理和性质定理得证（2）由//EF AB 证明//EF 平面PAB ，由//EG PB 证明//EG 平面PAB ，再由面面平行的判定定理证明即可.(1)由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥，又AD CD ⊥(ABCD 是正方形)，PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PDC ，所以AD PC ⊥.(2)由,E F 分别是线段,PC PD 的中点，所以//EF CD ，又ABCD 为正方形，//AB CD ，所以//EF AB ，又EF ⊄平面PAB ，所以//EF 平面PAB .因为,E G 分别是线段,PC BC 的中点，所以//EG PB ，又EG ⊄平面PAB ，所以//EG 平面PAB .因为,,EF EG E EF EG =⊂平面EFG ，所以平面//EFG 平面PAB . 6．（2021·广东江门·高一期末）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点.（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）设Q 为PA 的中点，G 为AOC △的重心，求证：面//OQG 平面PBC .【分析】（1）根据圆直径的性质，得BC AC ⊥，由PA ⊥平面ABC 得BC PA ⊥，利用线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面PAC ；（2）延长OG ，交AC 于M ，连结GM 、QM ，证出QM 是PAC △的中位线，得//QM PC .利用线面平行的判定定理证出//QM 平面PBC ，同理可得//QO 平面PBC ，根据面面平行的判定定理，可得平面//OQG 平面PBC .【详解】解：（1）∠AB 是圆O 的直径，∠BC AC ⊥，又∠PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∠BC PA ⊥.∠PA AC A =，∠BC ⊥平面PAC ；（2）延长OG ，交AC 于M ，连结GM 、QM ，∠G 为AOC △的重心，∠OM 是AOC △的中线，∠Q 为PA 的中点，M 为AC 的中点，∠//QM PC ，∠QM ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，∠//QM 平面PBC ，同理可得//QO 平面PBC ，∠QM 、QO 是平面OQG 内的相交直线，∠平面//OQG 平面PBC .7．（2021·贵州毕节·高一期末）如图甲，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（1）若:::PM MA BN ND PQ QD ==，求证：平面//MNQ 平面PBC ；（2）如图乙所示，若Q 满足:2PQ QD =，PM tPA =，当t 为何值时，//BM 平面AQC ．【答案】（1）证胆见解析，（2）12t = 【分析】（1）由已知比例式结合平行线截线段成比例证明线线平行，进一步得到线面平行，再由面面平行的判定定理可证得结论；（2）连接AC 交BD 于O ，连接OQ ，取PQ 的中点G ，连接BG ，则可得BG ∠OQ ，可得BG ∠平面AQC ，取PA 的中点M ,连接GM ，则GM ∠AQ ，可得GM ∠平面AQC ，则平面BGM ∠平面AQC ，则BM ∠平面AQC ，可得M 为PA 的中点.【详解】（1）证明：因为::PM MA PQ QD =，所以QM ∠AD ，因为AD ∠BC ，所以QM ∠BC ，因为QM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以QM ∠平面PBC ，因为::BN ND PQ QD =，所以QN ∠PB ，因为QN ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，，所以QN ∠平面PBC ，因为QM QN Q =,QM ⊂平面MNQ ,QN ⊂平面MNQ ，所以平面//MNQ 平面PBC ；（2）连接AC 交BD 于O ，连接OQ ，取PQ 的中点G ，连接BG ，则BG ∠OQ ，因为QO ⊂平面AQC ,BG ⊄平面AQC ，所以BG ∠平面AQC ，取PA 的中点M ,连接GM ，则GM ∠AQ ， 因为AQ ⊂平面AQC ，GM ⊄平面AQC ，， 所以GM ∠平面AQC ，因为BG GM G ⋂=，所以平面BGM ∠平面AQC ， 因为BM ⊂平面BGM ， 所以BM ∠平面AQC ， 此时M 为PA 的中点， 所以12PM PA =， 因为PM tPA =，所以12t =题型四：证明线线、线面垂直的方法 一、单选题1．（2021·辽宁·辽河油田第一高级中学高一期末）设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则下列条件一定能得到m β⊥的是（ ） A ．m αγ=，αγ⊥，βγ⊥ B ．αβ⊥，l αβ=，m l ⊥C ．n α⊥，n β⊥，m α⊥D ．αγ⊥，βγ⊥，m α⊥【答案】C【解析】根据排除法，结合线面垂直的判定，可得结果. 【详解】在A 中，因为m αγ=，所以,m m αγ⊂⊂， 而,m βγ⊥并不垂直于β内的所有直线， 所以β和m 可能不垂直，故A 错误； 在B 中，m 只垂直β内的一条直线， 所以不能推出m β⊥，故B 错误；在C 中，因为,n n αβ⊥⊥，所以α//β， 又m α⊥，所以m β⊥，故C 正确； 在D 中，由,αγβγ⊥⊥，不能推出α//β， 所以由m α⊥不能推出m β⊥，故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要是线面垂直的判定，属基础题.2．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）已知α，β，γ是三个不同的平面，l 是一条直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若αβ⊥，αγ⊥，l βγ=，则l α⊥B ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C ．若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥D ．若αβ⊥，l αβ=，l γ∥，则βγ⊥【答案】A【分析】利用面面垂直的性质，线面的位置关系，面面的位置关系，结合几何模型即可判断.【详解】对于A ，在平面α内取一点P ，在平面α内过P 分别作平面α与β，α与γ的交线的垂线a ,b ，则由面面垂直的性质定理可得,a b βγ⊥⊥，又l βγ=，∠,l a l b ⊥⊥，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故A 正确；对于B ，若αβ⊥，l α⊂，则l 与β位置关系不确定，可能l 与β平行、相交或l 在β内，故B 错误； 对于C ，若αβ⊥，βγ⊥，则α与γ相交或平行，故C 错误； 对于D ，如图平面,αβγ，且αβ⊥，l αβ=，l γ∥，显然β与γ不垂直，故D 错误. 故选：A.3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角的大小关系为（ ） A ．相等 B ．互补 C ．相等或互补 D ．不确定【答案】D【分析】EDF ∠的边DE 垂直平面EOF ，所以DE OE ⊥ ，作EF OF ⊥ 则DF OF ⊥.【详解】如下图所示，EOF ∠确定一个平面，EDF ∠的边DE 垂直平面EOF ，所以DE OE ⊥ ， 作EF OF ⊥，因为DE ⊥平面EOF ，而OF ⊂平面EOF ，故DE OF ⊥， 而EF DE E ⋂=，故OF ⊥平面EDF ，又DF ⊂平面EDF 中，则DF OF ⊥，对于给定的EOF ∠，当D 变化时，EDF ∠的取值范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故EOF ∠的大小跟EDF ∠无关.故选：D 二、填空题4．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面ABCD 满足条件___________时，有111AC B D ⊥.（只需填写一种正确条件即可）【答案】AC BD ⊥(答案不唯一)【分析】直四棱柱1111ABCD A B C D -，11A C 是1A C 在上底面1111D C B A 的投影，当1111AC B D ⊥时，可得111AC B D ⊥，当然底面ABCD 满足的条件也就能写出来了. 【详解】根据直四棱柱1111ABCD A B C D -可得：1BB ∠1DD ，且11BB DD =，所以四边形11BB D D 是矩形，所以BD ∠11B D ，同理可证：AC ∠11A C ，当AC BD ⊥时，可得：1111AC B D ⊥，且1CC ⊥底面1111D C B A ，而11B D ⊂底面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥，而1111AC CC C =，从而11B D ⊥平面11A CC ，因为1AC ⊂平面11A CC ，所以111AC B D ⊥，所以当AC BD ⊥满足题意. 故答案为：AC BD ⊥. 三、解答题5．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）已知直线//m 平面α，直线l ⊥平面α.求证：l m ⊥. 【分析】过m 作平面β交平面α于直线m '，根据线面平行的性质易知//m m '，再由线面垂直的性质有l ⊥m '，由平行线的性质即可证结论.【详解】证明：如下图，过m 作平面β交平面α于直线m '， ∠//m α，m βα'⋂=， ∠//m m '，∠l ⊥α，而m α'⊂， ∠l ⊥m '，综上，l m ⊥，得证.6．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，90ADB PDC ∠=∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，M 是棱PC 上的点.(1)证明：PD ⊥底面ABCD ；(2)若三棱锥A BDM -的体积是四棱锥P ABCD -体积的14，设PM tMC =，试确定t 的值.【答案】(1)详见解析；(2)1t =.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，可得BD ⊥平面PAD ，然后利用线面垂直的判定定理即证； （2）由题可得14A BDM M ABD P ABCD V V V ---==，进而可得12MC PC =，即得.(1)∠90ADB ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，∠AD BD ⊥，平面PAD 底面ABCD =AD ，BD ⊂底面ABCD ， ∠BD ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∠BD ⊥PD ，又90PDC ∠=︒， ∠PD DC ⊥，BD DC D =， ∠PD ⊥底面ABCD ；(2)设PD h =，M 到底面ABCD 的距离为h '，∠三棱锥A BDM -的体积是四棱锥P ABCD -体积的14，∠14A BDM M ABD P ABCD V V V ---==，又11,33M ABD ABDP ABCD ABCDV Sh V Sh --'=⋅=⋅，12ABDABCDSS =，∠12h h '=，故12MC PC =， 又PM tMC =， 所以1t =.题型五：证明面面垂直的方法 一、多选题1．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知,a b 是两条不重合的直线，αβ，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若//αβ，a 与α所成的角和b 与β所成的角相等，则//a bB ．若a α⊥，a β⊥，则//αβC ．若//a b ，a α⊥，//b β，则αβ⊥D ．若//a α，//αβ，则//a β 【答案】BC【分析】判断命题真假可以直接对各选项逐个判断.对于A 可通过直观想象判断其存在平行或异面或相交几种情况；对于B 可通过直线与平面垂直的性质得到；对于C 通过直线与平面垂直性质和平面与平面垂直的判定定理判断；对于D 可直观想象知存在//a β或a β⊂两种情况.【详解】对于A ，若//αβ，a 与α所成的角和b 与β所成的角相等，则//a b 或a 与b 相交或a 与b 异面，故A 错误；对于B ，若a α⊥，a β⊥，由线面垂直的性质可知//αβ，故B 正确； 对于C ，若//a b ，a α⊥，则b α⊥，又因为//b β，则αβ⊥，故C 正确； 对于D ，若//a α，//αβ，则//a β或a β⊂，故D 错误. 故选:BC 二、解答题2．（2021·江苏南通·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点．（1）求证：//EF 平面P AB（2）若AP AD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，证明：平面PAD ⊥平面PCD【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合矩形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】（1）证明：因为点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以//EF CD 又在矩形ABCD 中，//AB CD ，所以//EF AB 又AB平面P AB ，EF ⊄平面P AB所以//EF 平面.PAB（2）证明：在矩形ABCD 中，AD CD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面P AD ，又AF ⊂平面P AD所以.CD AF ⊥①因为PA AD =且F 是PD 的中点，所以AF PD ⊥，②由①②及PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD CD D ⋂=所以AF ⊥平面PCD ．又AF ⊂平面P AD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ．3．（2021·广东·封开县渔涝中学高一期末）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的正方形，AP =PD =APD ∠平面ABCD ，E 为AP 的中点，F 为CD 的中点．（1）求证：EF ∠平面PBC ； （2）求证：平面APB ∠平面PCD ．【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】（1）设PB 的中点为G ，连接,EG FG ，因为E 为AP 的中点，所以//EG AB 且12EG AB =， 因为F 为CD 的中点，底面ABCD 是正方形， 所以//FC AB 且12FC AB =，因此//FC EG 且FC EG =， 所以四边形EGCF 是平行四边形，因此//EF GC ，因为EF ⊄平面PBC ，GC ⊂平面PBC ，所以EF ∠平面PBC ；（2）因为底面ABCD 是边长为3的正方形，所以3AD =，因为AP =PD = 所以有222AD PA PD =+，因此PD PA ⊥，因为底面ABCD 是正方形，所以BA DA ⊥，因为平面APD ∠平面ABCD ， 平面APD平面ABCD AD =，所以AB ⊥平面APD ，因为PD ⊂平面APD ，所以AB PD ⊥， 因为AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面APB ， 所以PD ⊥平面APB ，因为PD ⊂平面APD ， 所以平面APB ∠平面PCD .4．（2021·江苏扬州·高一期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 中点.（1）求证：1//BD 平面AEC ； （2）求证：平面1⊥B AC 平面11B BDD .【分析】（1）由线面平行的判定定理可证得结果；（2）证得AC ⊥平面11BDD B ，进而由面面垂直的判定定理可证得结果.【详解】（1）设AC 与BD 交于点O ，连结OE .因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以ABCD 为正方形，O 为BD 中点.又因为E 为1DD 中点，所以1//OE BD .又因为OE ⊂平面1,AEC BD ⊄平面AEC ，所以1//BD 平面AEC .（2）因为1111ABCD A B C D -是正方体，1BB ⊥平面ABCD .又AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥.又ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥.因为11,,AC BD AC BB BB ⊥⊥⊂平面11,BDD B BD ⊂平面111,BDD B BB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面11BDD B .又因为AC ⊂平面1B AC ，所以平面1⊥B AC 平面11B BDD .5．（2021·山东枣庄·高一期末）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是线段PA ，PC 的中点．（1）证明：平面BEF ⊥平面PBC ；（2）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线EF 与直线l 的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）//EF l ，理由见解析.【分析】（1）推导出AC PC ⊥，AC BC ⊥，AC ⊥平面PBC ，从而//EF AC ，进而EF ⊥平面PBC ，由此能证明平面BEF ⊥平面PBC ．（2）推导出//EF AC ，//EF 平面ABC ，根据线面平行的性质，即能证明//EF l ． 【详解】解：（1）因为PC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以AC PC ⊥.因为C 是以AB 为直径的圆O 上的点， 所以AC BC ⊥． 又PC BC C ⋂=， 所以AC ⊥平面PBC ．因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点， 所以//EF AC ． 所以EF ⊥平面PBC ．又EF ⊂平面BEF ，故平面BEF ⊥平面PBC ．。
考点22 空间几何平行问题(练习)(解析版)
考点22 空间几何平行问题【题组一 三角形中位线】1．如图，点E 和点F 分别是BC ，1A C 的中点，求证：//EF 平面11A B BA【答案】见解析【解析】证明如图，连接1A B .在1A BC 中，因为E 和F 分别是BC ，1A C 的中点，所以1//EF BA .又因为EF ⊄11A B BA ，1BA ⊂平面1AB BA ，所以//EF 平面11A B BA .2．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点，证明：//PB 平面AEC ;【答案】证明见解析【解析】设BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB又EO 平面AEC ，PB 平面AEC 所以PB ∥平面AEC ．3．如图所示，在三棱锥P ABC -中，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E ，证明：//EF ABP 平面【答案】见解析【解析】证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点 又F 为BC 的中点 EF ∴为BCP 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂平面平面 //EF ABP ∴平面4．如图,12AB AD CD ==,若M 为EA 中点,求证:AC ∥平面MDF【答案】证明见解析【解析】设EC 与DF 交于点N ,连结MN ,在矩形CDEF 中,点N 为EC 中点,如图:M 为EA 中点,∴MN ∥AC 又AC ⊄平面MDF ,MN ⊂平面MDF ∴AC ∥平面MDF ．5．已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ABCD ⊥底面，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点，求证：PA MDB ∥平面【答案】证明见解析【解析】连结AC ，交BD 于O ，由于底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点又M 为PC 的中点，//MO PA ，又MO MDB PA MDB ⊂⊄平面，平面//PA MDB ∴平面6．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，点D 是AB 的中点，求证：BC 1∥平面CA 1D ．【答案】略【解析】证明：如图所示，连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OD ，则O 是AC 1的中点．∵点D 是AB 的中点， ∴OD ∥BC 1.又∵OD ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ，∴BC 1∥平面CA 1D.【题组二 构造平行四边形证线面平行】1．如图，四棱锥P ABCD -中侧面P AB 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==, E 是PD 的中点，证明：直线CE ∥平面PAB【答案】见解析【解析】取PA 的中点F ,连FE FB 、, E 是PD 的中点, ∴FE //=12AD , 又BC //=12AD ∴FE //=BC ∴四边形EFBC 是平行四边形 CE ∴∥BF 又CE ⊄平面PAB ,BF ⊂平面PAB CE ∥平面PAB2．如图，菱形ABCD ，,E F 分别是,AB PD 的中点，求证：//EF 平面PBC ；【答案】证明见解析【解析】解法一：（1）取PC 中点H ，连接FH ，BH .因为,E F 分别是,AB PD 的中点，所以////FH DC BE ，且12FH DC BE ==， 所以四边形EFHB 为平行四边形，所以//EF BH ，因为BH ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，所以//EF 平面PBC .3．由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -，后得到的几何体如图所示.四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，证明：1//AO 平面11B CD【答案】证明见解析【解析】如图②所示，取11B D 的中点1O ，连接111CO ,AO 由于多面体1111ABCD A B C D -是四棱柱，所以11//A O OC ，11A O OC =， 因此四边形11AOCO 为平行四边形，所以11//A O O C .又1O C ⊂平面11B CD ，1AO ⊄平面11B CD ，所以1//AO 平面11B CD . 4．在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点，求证:FM ∕∕平面BDE【答案】见解析【解析】取BD 中点O ,连接,OM OE ,因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OM CD ,且12OM CD =, 因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE ,所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF ,所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =. 所以四边形OMFE 为平行四边形，所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ，且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .【题组三 线面垂直证线面平行】1．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 上一点，N 是1A C 的中点，MN ⊥平面1A DC .求证：1//MN AD .【答案】证明见解析【解析】因为四边形11ADD A 为正方形，所以11AD A D ⊥.又CD ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以1CD AD ⊥.因为1A D CD D =，所以1AD ⊥平面1A DC .又MN ⊥平面1A DC ，所以1∥MN AD .2．已知正方体1111ABCD A B C D -，,E F 分别为AC 和1A D 上的点，且EF AC ⊥，1EF A D ⊥.（1）求证：1//EF BD ；（2）求证：1,,BE D F DA 三条直线交于一点.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】证明：(1)如图，连结1AB 和1B C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D B C ，∵1EF A D ⊥，∴1EF B C ⊥，又EF AC ⊥，1AC B C C ⋂=，∴1EF AB C ⊥平面．又在正方体1111ABCD A B C D -中，11B C BC ⊥，111B C D C ⊥,1111BC D C C ⋂=∴111B C BC D ⊥平面，又111BD BC D ⊂平面，∴11B C BD ⊥．同理可得11B A BD ⊥，又111B A B C B ⋂=，∴11BD AB C ⊥平面．∴EF ∥1BD .（2）由题意可得1EF BD <（或者1D F 和BE 不平行），又由(1)知EF ∥1BD ，所以直线1D F 和BE 必相交，不妨设1BE D F G ⋂=，则1G D F ∈，又111D F AA D D 平面⊂，所以11G AA D D ∈平面，同理G ABCD ∈平面．因为11AA D D ABCD AD ⋂=平面平面，所以G AD ∈，所以BE 、1D F 、DA 三条直线交于一点．【题组四 三角形相似比证线线平行】1．如图，在四面体A BCD -中，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =求证：//PQ 平面BCD .【答案】证明见解析【解析】如下图所示，取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF FC =，连接OP 、OF 、FQ .3AQ QC =，3AQ DF QC FC ∴==，//QF AD ∴，且14QF AD =.O 、P 分别为BD 、BM 的中点，//OP AD ∴，且12OP DM =. M 为AD 的中点，14OP AD ∴=. //OP QF ∴且OP QF =，四边形OPQF 是平行四边形，//PQ OF ∴.PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，//PQ ∴平面BCD .2．如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，PA AB =，点E 、F 分别为P A 、AB 的中点，点D 在PC 上，且2PD DC =,明：//CF 平面BDE ；【答案】见解析【解析】设AE 中点为G ，连结GF ，GC ，则//GF EB ，//GF 平面EBD .32PG PC PE PD ==，∴//ED GC ，//GC 平面EBD ， ∴平面//GFC 平面EBD ，∴//FC 平面1EBD ；【题组五 线面平行性质证线线平行】1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，E 是11A C 上一点，但1//A B 平面1B DE ，则11A E EC 的值为_______. 【答案】12【解析】如下图所示，连接1BC 交1B D 于点F ，连接EF .在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BDF C B F ∴∆∆， D 为BC 的中点，111122BD BC B C ∴==，11112BF BD FC B C ∴==. 1//A B 平面1B DE ，1A B ⊂平面11A BC ，平面11A BC ⋂平面1B DE EF =，1//A B EF ∴，11112A E BF EC FC ∴==，故答案为12. 2.如图，在多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，平面BCEF ⋂平面ADEF EF =，60BAD ︒∠=，2AB =，1DE EF ==,求证：BC ∥EF；【答案】证明见解析【解析】证明：∵AD ∥BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，∴BC ∥平面ADEF .又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF 平面ADEF EF =，∴BC ∥EF ．3．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，点M ，N 分别是线段11A C ，1A B 的中点，设平面1MNB 与平面11BCC B 的交线为l ，求证：//MN l .【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示，连接1C B ，在11A BC 中，点M ，N 分别为11A C ，1A B 的中点，所以1MN //C B . 又MN ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B .又MN ⊂平面1MNB ，平面1MNB ⋂平面11BCC B l =，所以//MN l .4．如图所示，已知三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，过EF 的平面截三棱锥得到的截面为EFHG ，求证：//EF GH .【答案】证明见解析【解析】证明：在ABD △中，因为E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，所以由三角形的中位线定理可知//EF BD .又因为EF ⊄面BCD ，BD ⊂面BCD ，所以由线面平行的判定定理可知//EF 面BCD .又因为EF ⊂面EFHG ，面EFHG ⋂面BCD GH =，所以由线面平行的性质定理可知//EF GH .【题组六 面面平行性质证线线平行】1．在如图所示的五面体 ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，//EF 平面ABCD ，2EA ED AB EF ===，M 为BC 的中点.求证：//FM 平面BDE .【答案】证明见解析【解析】取CD 的中点N ，连接MN 、FN .因为N 、M 分别为CD 、BC 的中点，所以//MN BD .又BD ⊂平面BDE ，且MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ，因为//EF 平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，所以//EF AB .又22AB CD DN EF ===，//AB CD ，所以//EF DN ，EF DN =，所以四边形EFND 为平行四边形，所以//FN ED .又ED ⊂平面BDE ，且FN ⊄平面BDE ，以//FN 平面BDE .又FN MN N ⋂=，所以平面//MNF 平面BDE .又FM ⊂平面MFN ，所以//FM 平面BDE .2．如图，在正四棱锥P ABCD -中，点F 在棱PA 上，且2PF FA =，点E 为棱PD 的中点,求证：CE //平面BDF【答案】见详解【解析】如图取PF 的中点M ，又2PF FA =，所以F 为MA 的中点，连接AC 交BD 于点O因为四边形ABCD 正方形，所以O 为AC 的中点又点E 为棱PD 的中点，所以ME //DF OF //MC ，又,OF FD F MC ME M ⋂=⋂=且,OF FD ⊂平面BDF ，,MC ME ⊂平面MCE所以平面BDF //平面MCE ，又CE ⊂平面MCE所以CE //平面BDF .3．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，平面1A DCE 与1B B 交于点E .求证：1//EC A D .【答案】证明见解析【解析】因为BE ∥AA 1，AA 1⊂平面AA 1D ，BE ⊄平面AA 1D ，所以BE ∥平面AA 1D ．因为BC ∥AD ，AD ⊂平面AA 1D ，BC ⊄平面AA 1D ，所以BC ∥平面AA 1D ．又BE ∩BC ＝B ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE ∥平面AA 1D ．又平面A 1DCE ∩平面BCE ＝EC ，平面A 1DCE ∩平面AA 1D ＝A 1D ，所以EC ∥A 1D ．4．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，90DAB ︒∠=，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M ，N 分别是PB ，PC 的中点.求证：//DN 平面AMC .【答案】证明见解析【解析】如图，连接DB 交AC 于点F . ∵12DC AB =，//DC AB ，∴12DF FB =. 取PM 的中点G ，连接DG ，FM ，则1122GM PM BM ==，GM DF BM BF ∴=， //DG FM ∴.又DG ⊄平面AMC ，FM ⊂平面AMC ，∴//DG 平面AMC .连接GN ，则//GN MC .又GN 平面AMC ，MC ⊂平面AMC ，∴//GN 平面AMC .又GN DG G ⋂=，∴平面//DNG 平面AMC .又DN ⊂平面DNG ，∴//DN 平面AMC .5．如图，在四棱柱''''ABCD A B C D -中，点M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点、求证：//MN 平面ABCD .【答案】证明见解析.【解析】证明：如图， 设E 为棱1CC 的中点，连接NE ME ，.M N ，分别为1B C ，1DD 的中点，11////ME C B CB ∴，//NE CD .又ME NE ，在平面ABCD 的外部，//ME ∴平面ABCD ，NE ∥平面ABCD .又ME NE E ⋂=， ∴平面//MNE 平面ABCD .又MN ⊂平面MNE ，//MN ∴平面ABCD .【题组七 面面平行】1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1AD ，1BD B C ，的中点. 求证：（1）MN ∥平面11CC D D ；（2）平面MNP 平面11CC D D .【答案】证明见解析【解析】（1）如图，连接1,AC CD .∵四边形ABCD 是正方形，N 是BD 的中点，∴N 是AC 的中点. 又∵M 是1AD 的中点，∴1//MN CD .∵MN ⊄平面11CC D D ，1CD ⊂平面11CC D D ，∴//MN 平面11CC D D .（2）连接1BC ，1C D ，∵四边形11B BCC 是正方形，P 是1B C 的中点，∴P 是1BC 的中点.又∵N 是BD 中点，∴1PN C D .∵PN ⊄平面111,CC D D C D ⊂平面11CC D D ，∴PN 平面11CC D D .由（1）知MN ∥平面11CC D D ，且MN PN N ⋂=， ∴平面//MNP 平面11CC D D .2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F ，G 分别为11B C ，11A B ，AB 的中点． ()1求证：平面11//A C G 平面BEF ；()2若平面11AC G BC H ⋂=，求证：H 为BC 的中点．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】 () 1如图， E ，F 分别为11B C ，11A B 的中点，11//EF A C ∴， 11A C ⊂平面11AC G ，EF ⊄平面11AC G ，//EF ∴平面11AC G ， 又F ，G 分别为11A B ，AB 的中点，1A F BG ∴=， 又1//A F BG ，∴四边形1A GBF 为平行四边形，则1//BF A G ， 1A G ⊂平面11AC G ，BF ⊄平面11AC G ，//BF ∴平面11AC G ， 又EF BF F ⋂=，∴平面11//A C G 平面BEF ； ()2平面//ABC 平面111A B C ，平面11A C G ⋂平面11111A B C A C =， 平面11AC G 与平面ABC 有公共点G ，则有经过G 的直线，设交BC H =， 则11//AC GH ，得//GH AC ， G 为AB 的中点，H ∴为BC 的中点．。
立体几何(线、面平行、垂直的有关结论)必修2 立体几何线面关系的判定与性质
立体几何（线面平行、垂直的有关结论）空间中线面平行、垂直关系有关的定理：1、【线面平行的判定】平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。
2、【线面平行的性质】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。
3、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
4、如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。
5、如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
6、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
7、一条直线与两条平行直线中的一条直线相垂直，则这条直线也与另一条直线垂直。
8、与同一条直线都垂直的两条直线相互平行。
（）9、与同一个平面都垂直的两条直线相互平行。
10、两条平行直线中的一条直线与一个平面相垂直，则另一条直线也垂直于这个平面。
11、两条相互垂直的直线中的一条平行于一个平面，则另一条直线垂直于这个平面。
（）12、两条相互垂直的直线中的一条垂直于以个平面，则另一条直线平行于这个平面。
（）13、平面外的两条相互垂直的直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线平行于这个平面。
14、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面。
15、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
16、两个平面都与另一个平面相垂直，则这两个平面平行。
（）17、一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，则此平面也垂直于另一个平面。
18、如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
19、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。
20、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
21、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【知识归纳】：【典型例题】：【高考小题】：。
《平行与垂直》课件
物的高度、柱子和横梁等元素可以保持垂直，以实现视觉上的突出和力
量感。
02
城市规划
在城市规划中，垂直线用于划分不同的功能区域和空间层次。例如，商
业区、住宅区和公园等区域可以沿着垂直轴线进行布局，以实现空间的
有效利用和城市的可持续发展。
03
交通工程
在道路和桥梁设计中，垂直线用于支撑和连接不同的交通层面。这样可
如果一条直线与平面内的一条直 线垂直，那么这条直线与该平面
垂直。
斜线与平面
如果一条直线与平面内的两条相交 的直线都垂直，那么这条直线与该 平面垂直。
三垂线定理
如果平面内的一条直线与平面的一 条斜线在平面内的射影垂直，那么 这条直线与斜线垂直。
04
平行与垂直的应用
平行的应用
建筑学
在建筑设计中，平行线可以用来 构建对称、平衡和和谐的外观。 例如，窗户、门和墙面的线条可 以保持平行，以实现视觉上的统
填空题：若直线a与直线b平 行，且被直线c所截，则同位 角____，内错角____，同旁内
角____。
答案
判断题：错。应该是两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
选择题：B。
填空题：相等，相等，互补。
THANKS
感谢观看
一和美感。
交通工程
在道路和轨道设计中，平行线用 于规划车辆行驶的方向和路线。 这样可以确保交通流畅，减少事
故风险，并提高运输效率。
艺术与设计
在绘画、摄影和图形设计中，平 行线可以用来创造平衡、稳定和 动态的效果。艺术家可以利用平 行线来表达特定的主题和情感。
垂直的应用
01
建筑学
在建筑设计中，垂直线用于构建高大、雄伟和稳定的外观。例如，建筑
空间中的垂直关系(带答案)
空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直：如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_________________，则称这条直线和这个平面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直：1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β.2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点，∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C 中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，∴ 平面ACF∥平面B1DE．又∵ AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．（Ⅰ）证明：EA⊥PB；（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．而AB∩PA=A所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．而BM∩MG=M所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴ A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴ AA1⊥BD．（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCC1B1（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；（3）证明：B1E⊥AF．【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥ BC．在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1，∴ BB1⊥平面ABC，∵ AE⊂平面ABC，∴ BB1⊥ AE，…．（2分）又∵ BB1∩BC=B，…．（3分）BB1，BC⊂平面BB1C1C，∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×=11．…（6分）∴=•AE==…（7分）（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵ B1E⊂平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，EF==，∵ B1F2=B1E2+EF2，∴ B1E⊥EF…．（9分）又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF⊂平面AEF，∴ B1E⊥平面AEF，…．（11分）∵ AF⊂平面AEF，∴ B1E⊥AF．…．（12分）【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．（2）∵BC⊥平面PCD，∴ GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵ E是PC的中点，∴ S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．V C﹣DEG=V G=GC•S△DEC=××1=．﹣DEC（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG．在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1∵ BB1⊥平面A1B1C1∴ B1C1⊥BB1∵ B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1∴ B1C1⊥平面A1B1BA∴ A1B⊥B1C1 . 又∵ A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A1BD．设AB=a，CE=2a，∴，∴，，DE=，∴，∴A1E⊥A1D…∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1∴ A1E⊥BD. 又BD∩A1D=D ，∴ A1E⊥平面A1BD【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥ BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥ BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE 为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。
数学练习平行线与垂直线
数学练习平行线与垂直线平行线与垂直线是数学中常见的几何概念和问题。
它们既有理论意义，又有实际应用。
本文将从几何角度出发，探讨平行线与垂直线的定义、性质、判定方法以及一些相关的例题和应用。
一、平行线的定义与性质1. 平行线的定义：在平面上，如果两条直线不相交，且在平面上的任意一点，于其中一条直线上取一点，于另一条直线上取一点，这两个点的连线与两直线的交点所构成的角相等，则这两条直线称为平行线。
2. 平行线的性质：a) 平行线具有传递性。
若直线l // m，m // n，则l // n。
b) 平行线具有对称性。
若直线l // m，则m // l。
c) 平行线具有反身性。
任何一条直线与自身平行。
二、平行线的判定方法1. 相邻内角相等法：如果两条直线被一条横截线相交，而相邻的内角相等，则这两条直线是平行线。
2. 对顶内角相等法：如果两条直线被一条横截线相交，在其中相邻的内角之外的对顶内角相等，则这两条直线是平行线。
3. 夹角相等法：如果两条直线与一条直线相交，使得内、外两个相邻角相等，则这两条直线是平行线。
4. 平行线判定定理：如果两条直线分别与第三条直线相交，在同侧所成的内角互补，则这两条直线是平行线。
三、垂直线的定义与性质1. 垂直线的定义：在平面上，如果两条直线相交，在交点处所成的四个角中，相邻的两个角互为补角，则这两条直线称为垂直线。
2. 垂直线的性质：a) 垂直线具有传递性。
若直线l ⊥ m，m ⊥ n，则l ⊥ n。
b) 垂直线具有对称性。
若直线l ⊥ m，则m ⊥ l。
c) 垂直线具有反身性。
任何一条直线与自身垂直。
四、垂直线的判定方法1. 垂直线判定定理：如果一条直线与另一条直线相交，使得所成的两个内角互为直角，则这两条直线是垂直线。
五、例题与应用1. 例题1：已知直线l和m平行，AB是l上的一点，CD是m上的一点，如果∠ACB = 130°，求∠CDA的度数。
解析：由于l和m平行，所以根据平行线内角性质，得到∠ACB = ∠CDA，因此∠CDA的度数也是130°。
空间平行,垂直关系的判定与性质
空间平行,垂直关系的判定与性质
平面外一条直线，如果和平面中的两条相交直线垂直，那么，这条直线就和这个平面垂直；如果已知一条直线和一个平面a垂直，那么这条直线和所有与平面a平行的平面垂直；如果以知一条直线l和一个平面垂直，那么所有与直线l平行的直线都和这个平面垂直。
面面垂直
若两个平面的二面角为的直二面角（平面角就是直角的二面角），则这两个平面互相横向。
1、一个平面过另一平面的`垂线，则这两个平面相互垂直。
2、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相横向。
3、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
4、如果两个平面相互横向，那么在一个平面内旋转轴它们交线的直线旋转轴另一个平面。
5、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
6、如果两个平行平面都旋转轴第三个平面，那么它们的交线旋转轴第三个平面。
7、三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
8、如果两个平面互相横向，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
9、如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。
线面横向
如果一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则称该直线垂直于该平面。
1、一条直线与一个平面内的两条平行直线都横向，则该直线与此平面横向。
2、如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
3、如果两条直线旋转轴同一个平面，那么这两条直线平行。
必修二立体几何线面平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习
线面平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习一、线面平行判定及性质1.如图，在三棱锥P-ABC中，点Ο、D分别是AC、PC的中点，求证： OD//平面PABDOCBAP2.如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点. 求证：SA∥平面MDB.3.如图在四棱锥P-ABCD中，M、N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形，求证：MN//平面PAD4.已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥平面BDC ．求证：EH ∥BD .H G FE D BAC练习5.正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线AC 、FB 上，且M ，N 是对角线AC 、FB 的中点.求证：//MN 平面BCE6．如图,S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SM AM =NDBN, 求证：//MN 平面SBC二、面面平行判定及性质1.2.PMN D 1C 1B 1A 1D CA三、线面垂直判定及性质1.已知E ，F 分别是正方形ABCD 边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于M ，GC 垂直于ABCD 所在平面.求证：EF ⊥平面GMC ．M E ABCD G2.在三棱锥P ABC -中，AC BC =，ABP 为正三角形，D AB 记是的中点．求证：AB PCD ⊥平面.3.如图AB 是圆O 的直径，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，⊥PA 平面ABC .求证：BC ⊥平面P AC .4.在长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱21=AA ，EAC B P是侧棱1BB 的中点。
求证：AE ⊥平面11A D E .A综合题：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12,1AA AC BC ===，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.（1）求证：AB ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE ；（3）求三棱锥E ABC -的体积. C 1B 1A 1FE C BA。
专题1：空间向量法平行和垂直的证明基础知识和典型例题(原卷版)
专题1：平行和垂直的证明基础知识和典型例题（原卷版）一. 平面基本性质即三条公理公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,A B C A B C α⇒不共线确定平面,lP P P l αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩作用 判断线在面内确定一个平面证明多点共线公理2的三条推论：推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.二．直线与直线的位置关系共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
（既不平行，也不相交） 三．直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α 相交——有且只有一个公共点 符号 a ∩α= A 平行——没有公共点 符号 a ∥α说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 1．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号： ////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭1．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．求证：//EF 平面11AB C .2．已知正方体1111ABCD A B C D -图，求证：平面11//AB D 平面1BC D .2．直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
27 直线、平面平行及垂直的判定与性质(原卷版)-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练
清单27 直线、平面平行及垂直的判定与性质一、知识与方法清单1．空间中直线与平面之间的位置关系(1)直线在平面内，则它们有无数个公共点．(2)直线与平面相交，则它们有1个公共点．(3)直线与平面平行，则它们没有公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．【对点训练1】给出以下命题(其中a，b表示不同的直线，α表示平面)：①若a∥α，b∥α，则a∥b ；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b⊂α，则a∥b ；④若α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⊂线面平行”)l∥α，a⊂β，α∩β＝b⊂l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⊂线线平行”)l∥α，l⊂β，α∩β＝b⊂l∥b【对点训练2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面P AD.3．平面与平面之间的位置关系(1)两个平面平行，则它们没有公共点．(2)两个平面相交，则它们有一条公共直线，两个平面垂直是相交的一种特殊情况．【对点训练3】如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A ．垂直B ．相交不垂直C ．平行D ．重合4．平面与平面平行的判定和性质文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b【对点训练4】如图所示的四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是____________．(写出所有符合要求的图形序号)① ②③④5.证明平行时常用的其他性质(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【对点训练5】已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是()A.若m⊥α，m⊥β，则α∥βB.若α∥γ，β∥γ，则α∥βC.若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD.若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β6.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊂/α，b⊂α，a∥b⊂a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⊂a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂/α，a⊂/β，a∥α⊂a∥β)．【对点训练6】在如图所示的空间几何体中，AC⊥BC，四边形DCBE为矩形，点F，M分别为AB，CD的中点．求证：(1)FM∥平面ADE；(2)平面ACD⊥平面ADE.7.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．【对点训练7】已知四棱锥SABCD的各条棱长都相等，且点E、F分别是SB、SD的中点．(1)求证：AC⊥SB；(2)在SC上是否存在点M，使平面MBD∥平面AEF？若存在，求出SMMC的值；若不存在，说明理由．8.证明线面或面面平行时要转化为证明线性平行，在几何体中证明线性平行常要用到平面几何知识，如三角形的中位线与第3边平行，若四边形的一组对边平行且相等，则另一组对边平行等。
立体几何平行垂直的证明
空间平行、垂直的判定与证明题型一 线面平行的证明12.上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： ①利用三角形、梯形中位线的性质；②利用平行四边形的性质；③利用平行线分线段成比例定理． ④构造面面平行1、如图，PAD ∆是边长为3的等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD .点E 、F 分别为CD 、PD 上的点，且12PF CE FD ED ==，点G 为AB 上的一点，且12AG GB =.求证： //PG 平面AEF ；2、如图所示，P 是ABCD Y 所在平面外一点，E 、F 分别在PA 、BD 上，且PE ∶EA ＝BF ∶FD ． 求证：EF ∥平面PBC ．12第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面的一组交线；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．1、如图所示的多面体中，下底面ABCD Y 与上底面111A B C 平行，且111////AA BB CC ，1122,,3AB AC AA A AC AC BC π==∠=⊥，平面11ACC A ⊥平面ABC ，点M 为11B C 的中点．过点1B 作一个平面α与平面AMC 平行，并说明理由；2、已知四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，与交于点，为的中点，，为中点，为上一点，且. 证明：平面；利用线面平行的性质定理证明线线平行一条直线与一个平面 ,则过这条直线的任一平面与此平面的 与该直线平行.//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒I1、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，求证：⑴1BD ⊥平面11A C D ；⑵1//EF BD ．2、如图，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F. 证明：1//EF CB.3、已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH.FEA B C DA 1B 1C 1D 112．利用判定定理证明直线与平面垂直的一般步骤:分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．常见的垂直关系： ①直线与平面垂直则直线与平面内任意一条直线都垂直；②三角形全等、等腰三角形底边的角平分线、中线、高三线合一；③菱形、正方形的对角线垂直平分；④三角形中勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法．1、如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC ， (Ⅰ)求证：BE ∥平面PDA ；②若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB.2、如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=.(Ⅰ)证明:1AB AC ⊥; (Ⅱ)若2AB CB ==,1AC =求三棱柱111ABC A B C -的体积. 11．平面与平面垂直的判定定理21、如图，已知AB ⊥平面ACD ，∥DE AB ，△ACD 是正三角形，2AD DE AB ==，且F 是CD 的中点.(1)求证：∥AF 平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .2、如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点 在平面上的射影恰好落在边上．求证：平面平面 ；1、如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.(1)证明：AC ⊥HD ′； (2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′－ABCFE 的体积.2、如图，四面体ABCD 中，ABC D 是正三角形，AD CD =(Ⅰ)证明：AC BD ^；(Ⅱ)已知ACD D 是直角三角形, AB BD =,若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE EC ^,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.3、如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是边BC 上的点，DE 与AC 相交于点H ，且1CE =，AB =3BC =，现将ACD ∆沿AC 折起，如图2，点D 的位置记为D '，此时ED '=．(Ⅰ)求证：D H AE '⊥.1．如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，∥BC AD ，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．证明：∥CE 平面PAB .2．如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点．证明：直线CE ∥平面P AB .3．如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． 证明：平面ACD ⊥平面ABC .4．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明：1A O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.5．如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．6．在如图1-4所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1.(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．。
空间中平行于垂直的判定与性质练习题
1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在下列命题中，不是公理的是（ ）A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线3．已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且,a b αβ⊂⊂，给出下列结论：①若a ∥b ，则α∥β；②若α∥β，则a ∥b ；③若a ⊥b ，则α⊥β；④若α⊥β，则a ⊥b其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．如图，ABCD －A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）．A ．BD ∥平面CB1D1B ．AC1⊥BDC ．AC1⊥平面CB1D1D ．异面直线AD 与CB1角为60°5．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是 （ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交6．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若//,//,//m l m l αα则B ．若,,//m l m l αα⊥⊥则C ．若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则D ．若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则7．在正方体''''D C B A ABCD -中，下列几种说法正确的是（ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥C 、1AC 与DC 成45o 角D 、11A C 与1B C 成60o 角请点击8．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面11A ACC ； （Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面D BC 1；（Ⅲ）设M 为线段1BC 上任意一点，在D D BC 1内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ，并说明理由．9．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．给出以下四个结论：①直线AM 与直线C 1C 相交；②直线AM 与直线DD 1异面；③直线AM 与直线BN 平行；④直线BN 与直线MB 1异面．其中正确结论的序号为 （填入所有正确结论的序号）．A B CD A 1 B 1C 1A BCD 1A 1B 1C 1D M N10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E 是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．11．（本题满分14分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，ADPD=，AF ⊥PC于点F，FE∥CD交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）若OBDAC=⋂，证明//FO平面AED12．（本题满分14分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA//平面BDE；（2）平面PAC⊥平面BDE．PEDABCO参考答案1．D【解析】 试题分析：如图所示，连接B 1C ，则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°．故选：D ．考点：异面直线及其所成的角2．A【解析】试题分析：选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的． B,C,D 四个命题是平面性质的三个公理，所以选A ．考点：点，线，面的位置关系．3．A【解析】试题分析：若两个平面内分别有两条直线平行，则这两个平面不一定平行，所以命题?错误；若两个平面平行，则两个平面内的直线可能平行或异面，所以命题?错误；若两个平面内分别有两条直线垂直，则这两个平面不一定垂直，所以命题?错误；若两个平面垂直，则两个平面内的直线可能平行、垂直或异面，所以命题④错误；考点：直线与直线、平面与平面的平行与垂直的命题判断．4．D【解析】试题分析：由BD ∥B1D1，因此BD ∥平面CB1D1成立；AC1在底面的射影为AC ，由三垂线定理可得AC1⊥BD ，由三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥CB1，因此有AC1⊥平面CB1D1；异面直线AD 与CB1角为45°考点：1．空间线面的垂直平行关系；2．异面直线所成角5．D【解析】试题分析：因为a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，可知c 与b 的位置关系是异面或相交，故选择D考点：异面直线6．C【解析】试题分析：若//m l ，//m α，则//l α或l α⊂，所以A 选项是假命题；若m α⊥，l m ⊥，则//l α或l α⊂，所以B 选项是假命题；若//αβ，l α⊥，//m β，则l m ⊥，所以C 选项是真命题；若m α⊂，//m β，l β⊂，//l α，则//αβ或α与β相交，所以D 选项是假命题．故选C ．考点：空间点、线、面的位置关系．7．【解析】试题分析：由题意画出正方体的图形，结合选项进行分析即可．由题画出如下图形：11111AD A D C A D ∴∠Q P ,即为异面直线11A C 与AD 所成的角，而111C A D 45∠=︒，所以A 错； 因为11D C CD P ，利平行公理4可以知道：11AB CD C D P P ，所以B 错；1DC AB,C AB ∴∠Q P ,即为这两异面直线所成的角，而在1t R C AB V 中，1tan 2C AB ∠＝， 所以C 错；111A C AC B CA ∴∠Q P ，即为异面直线11A C 与1B C 所成的角，在正三角形1B CA V 中，1B CA 60∠=︒所以D 正确．考点：异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征．8．（1）证明如下；（2）证明如下；（3）证明如下；【解析】试题分析：（1）由题可知，若证明线面垂直，则从线线垂直入手，若一条直线垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直；（2）证明线面平行由3种方法，平行四边形法，中位线法，构造辅助平面法，本题采用三角形中位线法，DO 是三角形AB 1C 的中位线，因此直线//1AB 平面D BC 1．（3）若证明线线垂直，应该从线面垂直入手，由（1），我们可知CE ⊥平面BC 1D ．所以CE ⊥DM ．试题解析：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以AC CC BC CC ⊥⊥11,,C AC BC =I ．所以⊥1CC 底面ABC ．因为⊥BD 底面ABC ，所以BD CC ⊥1．由已知可得，底面ABC 为正三角形． 因为D 是AC 中点，所以AC BD ⊥,所以⊥BD 平面11ACC A ． 5分（Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点．因为D 是AC 中点， 所以1//AB OD ．又因为∈OD 平面D BC 1，//1AB 平面D BC 1，所以直线//1AB 平面D BC 1． 10分（Ⅲ）在DD BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE ⊥DM 此时点E 是在线段1C D 上．证明如下：过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，由（Ⅰ）可知⊥BD 平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ，所以CE BD ⊥． 又1CE C D ⊥，所以CE ⊥平面D BC 1．又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ． 14分考点：?线面垂直的判定定理?线面平行的判定定理9．②④【解析】试题分析：由异面直线判定定理知：①直线AM 与直线C 1C 异面；②直线AM 与直线DD 1异面；④直线BN 与直线MB 1异面，因为直线BN 与直线AE 平行,（E 为DD 1中点），所以③直线AM A B CD ABCO C 1A B C D A 1B 1 ME与直线BN异面．考点：异面直线判定定理10．（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）连接AC，交BD于点O，连接EO，由底面ABCD为矩形可知，对角线交点O 为AC中点，又因为E为PC中点，所以EO∥PA，强调直线PA?平面EDB，而EO?平面EDB，根据直线与平面平行的判定定理可知，PA∥平面EDB，本问主要考查直线与平面平行的知识，根据线面平行判定定理，只需在平面EDB内找到与PA平行的直线即可，证明时注意符号的表示要全，不要遗漏定理的条件；（2）由已知PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC，又根据底面为矩形得：CD⊥BC，且PD∩CD=D，则BC⊥平面PCD，而DE?平面PCD，所以BC⊥DE，由已知条件PA=AD，且E为PC中点，所以DE⊥PC，而BC∩PC=C，所以DE⊥平面PBC．所以DE⊥PB，又根据已知EF⊥PB，且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．本问多次使用线面垂直判定定理，要求学生熟练掌握线面垂直判定定理的使用．试题解析：证明：（1）连接AC交BD与O，连接EO．∵底面ABCD是矩形，∴点O是AC的中点．又∵E是PC的中点∴在△PAC中，EO为中位线∴PA∥EO．而EO?平面EDB，PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是矩形，∴DC⊥BC，且PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC，而DE?平面PDC，∴BC⊥DE．①∵PD=DC，E是PC的中点，∴△PDC是等腰三角形，DE⊥PC．②由①和②及BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．考点：（1）线面平行判定定理；（2）线面垂直判定定理．11．（1）详见解析，（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用其判定定理，即证线线垂直：由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥由,,AD PD AD DC PD DC C ⊥⊥=I ,PD DC PDC ⊂面⊥⇒AD 平面PDC ，CF PDC ⊂面CF AD ⊥⇒由C CF AF CF AF CF AD =⊥⊥I ,,,AF CF ADF ⊂面⊥⇒CF 平面ADF （2）证明线面平行一般利用其判定定理，即证线线平行：因为AD=PD ，由（1）知，F 为PC 中点，从而//AP FO ,因此由,AP ADE ⊂面FO ADE ⊄面得//FO 平面AED试题解析：（1）由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥（1分）由C DC AD DC AD PD AD =⊥⊥I ,,⊥⇒AD 平面PDC（3分，少一个条件扣一分）CF AD ⊥⇒（1分）由C CF AF CF AF CF AD =⊥⊥I ,,⊥⇒CF 平面ADF （2分）（2）因为AD=PD ，由（1）知，F 为PC 中点 从而//AP FO ,因此由,AP ADE ⊂面FO ADE ⊄面得//FO 平面AED ，本小题方法较多，关键采分点是证明线面平行的相关要素 考点：线面垂直判定定理，线面平行判定定理12．见解析【解析】 试题分析：（1）连接OE ，OE||PA ，由直线与平面平行的判定定理，可证得PA||平面BDE ；（2）由PO ⊥底面ABCD ，可得PO ⊥BD ；底面为正方形，可得BD ⊥AC ，由直线和平面垂直的判定定理，可得BD ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定定理，可证得平面PAC ⊥平面BDE ． 试题解析：（1）连结OE Q O 是正方形的中心O AC \是的中点又Q E 是PC 的中点 \OE 是PCA V 的中位线 \ OE||PA又Q OE Ì 平面BDE,PA Ë 平面BDE \PA||平面BDE;（2）Q PO ⊥底面ABCD ，BD Ì平面ABCD \PO ⊥BD?\BD⊥平面PAC又Q BD⊥AC AC PO O又Q BDÌ平面BDE\平面PAC⊥平面BDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．。
空间中的平行关系(基础+复习+习题+练习)
如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，∥，且，在棱上是否存在一 点，使平面∥平面？若存在，求点 的位置；若不存在，请说明理由．
走向高考：
（北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中， ，平面，且 ，点是的中点. 略； 求证：∥平面；略.
（山东文）如图，在直四棱柱中， B C D A
已知，． 求证：；设是上一点，试确定 的位置，使平面，并说明理由．
（北京文）如图，在中，，，分别为，的中点，点为线段上的一点，将 沿折起到的位置，使，如图.求证： ∥平面；略.略.
(安徽) 如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,，，都是 正三角形；
证明直线∥；求棱锥的体积.
（届高三福建师大附中期中文）如图,在直角梯形中,,,.将 沿折起,使 平面平面,得到几何体,如图所示.（Ⅰ）若为的中点，试在线段上找一 点，使 ∥平面，并加以证明；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略. A B C D 图2 B A C D 图1
（届高三福建师大附中期中文）在如图所示的多面体中，已知正方形和 直角梯形所在的平面互相垂直，，∥，， 求证：平面；略；略；略.
典例分析：
考点一 线线平行
问题1．(山东) 如图所示，在三棱锥中，平面，，分别是的中点，，
与交于点，与交于点，连接.求证：∥；略.
考点二 线面平行
问题2．( 新课标Ⅱ) 如图，直棱柱
中， 分别是
的中点， ．证明： 平面 ;略．
问题3．(海南高考改编) 如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，
点在上，且，在棱上是否存在一点，使∥平面？证明你的结论．
与此
的
么过该直线的任意一个平
一条直线平行，则该直线 面与已知平面的
与此平面平行.
与该直线
符号语
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（1分） 由平面（2分） （2）因为AD=PD，由（1）知，F为PC中点 从而,因此由得平面，本小题 方法较多，关键采分点是证明线面平行的相关要素 考点：线面垂直判定定理，线面平行判定定理 12．见解析 【解析】 试题分析：（1）连接OE，OE||PA，由直线与平面平行的判定定理，可 证得PA||平面BDE；（2）由PO
1．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为
A．
B．
C．
D．
2．在下列命题中，不是公理的是（ ）
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都
在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该
与
成
角
请点击8．（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长 为的正方形，为线段的中点．
A B C D A1 B1 C1
（Ⅰ）求证：⊥平面； （Ⅱ）求证：直线∥平面； （Ⅲ）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在 点，使，并说明理由． 9．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1，C1C的中 点．给出以下四个结论：
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（Ⅲ）在内的平面区域（包括边界）存在一点，使此时点是在线段上． 证明如下：过作交线段于， 由（Ⅰ）可知平面，而平面，所以． 又，所以⊥平面． 又平面，所以． 14分 C1 A B C D A1 B1 M
E 考点：线面垂直的判定定理线面平行的判定定理 9．②④ 【解析】 试题分析：由异面直线判定定理知：①直线AM与直线C1C异面；②直线 AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面，因为直线BN与直线AE平 行,（E为DD1中点），所以③直线AM与直线BN异面． 考点：异面直线判定定理 10．（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】 试题分析：（1）连接AC，交BD于点O，连接EO，由底面ABCD为矩形可 知，对角线交点O为AC中点，又因为E为PC中点，所以EO∥PA，强调直线 PA⊄平面EDB，而EO⊂平面EDB，根据直线与平面平行的判定定理可知， PA∥平面EDB，本问主要考查直线与平面平行的知识，根据线面平行判 定定理，只需在平面EDB内找到与PA平行的直线即可，证明时注意符号 的表示要全，不要遗漏定理的条件；（2）由已知PD⊥底面ABCD,得 PD⊥BC，又根据底面为矩形得：CD⊥BC，且PD∩CD=D，则BC⊥平面 PCD，而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，由已知条件PA=AD，且E为PC中点， 所以DE⊥PC，而BC∩PC=C，所以DE⊥平面PBC．所以DE⊥PB，又根据已 知EF⊥PB，且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．本问多次使用线面垂直判 定定理，要求学生熟练掌握线面垂直判定定理的使用． 试题解析：证明：（1）连接AC交BD与O，连接EO．
平面 ．
参考答案 1．D 【解析】
试题分析：如图所示，连接B1C，
则B1C∥A1D，B1C⊥BC1，∴A1D⊥BC1，∴A1D与BC1所成的角为90°．
故选：D． 考点：异面直线及其所成的角 2．A 【解析】 试题分析：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公 理是不需要证明的． B,C,D四个命题是平面性质的三个公理，所以选A． 考点：点，线，面的位置关系． 3．A 【解析】 试题分析：若两个平面内分别有两条直线平行，则这两个平面不一定平 行，所以命题错误；若两个平面平行，则两个平面内的直线可能平行或 异面，所以命题错误；若两个平面内分别有两条直线垂直，则这两个平 面不一定垂直，所以命题错误；若两个平面垂直，则两个平面内的直线 可能平行、垂直或异面，所以命题④错误； 考点：直线与直线、平面与平面的平行与垂直的命题判断． 4．D 【解析】 试题分析：由BD∥B1D1，因此BD∥平面CB1D1成立；AC1在底面的射影为 AC，由三垂线定理可得AC1⊥BD，由三垂线定理可知AC1⊥B1D1， AC1⊥CB1，因此有AC1⊥平面CB1D1；异面直线AD与CB1角为45° 考点：1．空间线面的垂直平行关系；2．异面直线所成角 5．D
又
平面 又
平面BDE 平面
平面 ． 考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
∵底面ABCD是矩形， ∴点O是AC的中点． 又∵E是PC的中点 ∴在△PAC中，EO为中位线 ∴PA∥EO． 而EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB， ∴PA∥平面EDB． （2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC． ∵底面ABCD是矩形， ∴DC⊥BC， 且PD∩CD=D， ∴BC⊥平面PDC，而DE⊂平面PDC， ∴BC⊥DE．① ∵PD=DC，E是PC的中点， ∴△PDC是等腰三角形，DE⊥PC．② 由①和②及BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC． 而PB⊂平面PBC， ∴DE⊥PB． 又EF⊥PB且DE∩EF=E， ∴PB⊥平面EFD． 考点：（1）线面平行判定定理；（2）线面垂直判定定理． 11．（1）详见解析，（2）详见解析 【解析】 试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用其判定定理，即证线线垂 直：由PD⊥平面ABCD，得由平面 ， 由平面（2）证明线面平行一般利用其判定定理，即证线线平行：因为 AD=PD，由（1）知，F为PC中点，从而,因此由得平面 试题解析：（1）由PD⊥平面ABCD，得（1分） 由平面 （3分，少一个条件扣一分）
D．异面直线AD与CB1角为60°
5．若，是异面直线，直线∥，则与的位置关系是 （ ）
A．相交
B．异面
C．平行
D．异面或相交
6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的
是（ ） A．若 B．若 C．若 D．若 7．在正方体
中，下列几种说法正确的是（ ） A、
B、
C、
与
DC成
角
D、
【解析】 试题分析：因为，是异面直线，直线∥，可知与的位置关系是异面或相 交，故选择D 考点：异面直线 6．C 【解析】 试题分析：若，，则或，所以A选项是假命题；若，，则或，所以B选项 是假命题；若，，，则，所以C选项是真命题；若，，，，则或与相 交，所以D选项是假命题．故选C． 考点：空间点、线、面的位置关系． 7． 【解析】 试题分析：由题意画出正方体的图形，结合选项进行分析即可． 由题画出如下图形：
（1）证明：PA∥平面EDB； （2）证明：PB⊥平面EFD．
11．（本题满分14分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，， AF⊥PC于点F，FE∥CD交PD于点E. （1）证明：CF⊥平面ADF； （2）若，证明平面
12．（本题满分14分）如图， 是正方形， 是正方形的中心，
底面 ， 是 的中点．求证：（1） //平面 ；（2）平面
底面ABCD，可得PO
BD；底面为正方形，可得BD
AC，由直线和平面垂直的判定定理，可得BD
平面PAC，由面面垂直的判定定理，可证得平面PAC
平面BDE． 试题解析：（1）连结
是正方形的中心
的中点 又
是PC的中点
是
的中位线
OE||PA 又 平面BDE, 平面BDE PA||平面BDE;
（2）
底面 ， 平面ABCD
①直线AM与直线C1C相交； ②直线AM与直线DD1异面； ③直线AM与直线BN平行； ④直线BN与直线MB1异面． 其中正确结论的序号为
（填入所有正确结论的序号）．
评卷 得分 人
三、解答题（题型注释）
10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面 ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
点的公共直线
3．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，给出下列结论：
①若∥，则∥；
②若∥，则∥；
③若⊥，则⊥；
④若⊥，则⊥
其中正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）．
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
即为异面直线
与AD所成的角，而
，所以A错； 因为
，利平行公理4可以知道：
，所以B错；
,即为这两异面直线所成的角，而在
中，
所以C错；
即为异面直线
与
所成的角，在正三角形
中，
所以D正确． 考点：异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征． 8．（1）证明如下；（2）证明如下；（3）证明如下； 【解析】 试题分析：（1）由题可知，若证明线面垂直，则从线线垂直入手，若 一条直线垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直；（2）证明线面平 行由3种方法，平行四边形法，中位线法，构造辅助平面法，本题采用 三角形中位线法，DO是三角形AB1C的中位线，因此直线平面．（3）若 证明线线垂直，应该从线面垂直入手，由（1），我们可知CE⊥平面 BC1D．所以CE⊥DM． 试题解析：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以,．所以底 面． 因为底面，所以．由已知可得，底面为正三角形． 因为是中点，所以,所以平面． 5分 （Ⅱ）证明：如图，连接交于点，连接．显然点为的中点．因为是中 点， 所以．又因为平面，平面，所以直线平面． 10分 A B C D A1 B1 C1 O