数列通项公式求法大全配练习及答案

数列通项公式的十种求法

一、公式法

*

11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈

1

*11()n n

n a a a q

q n N q

-==

⋅∈ 二、累加法 )(1n f a a n n +=+

例 1 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

（3 1.n n a n =+-）

三、累乘法 n n a n f a )(1=+

例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

（(1)1

2

32

5

!.n n n n a n --=⨯⨯⨯）

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为

1

2(1)5n n n

a n a +=+，进而求出

1

32

112

21

n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅

⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。 例4已知数列{}n a 满足112311

23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项

公式。（!

.2

n n a =）

评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为

1

1(2)n n

a n n a +=+≥，进而求出

1

3

212

2

n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅

⋅，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

四、待定系数法 q pa a n n +=+1 ()n f pa a n n +=+1 n

n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

例5 已知数列{}n a 满足112356n

n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

（125n n n a -=+）

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+⨯转化为1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列

{}n a 的通项公式。

例6 已知数列{}n a 满足1135241n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

（1133522n n

n a -=⨯-⨯-）

评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+⨯+转化为

115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+，从而可知数列{522}n n a +⨯+是等比数列，进而求

出数列{522}n n a +⨯+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

例7 已知数列{}n a 满足2

1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

（42

231018n n a n n +=---）

评注：本题解题的关键是把递推关系式2

12345n n a a n n +=+++转化为

2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列

2{31018}n a n n +++是等比数列，进而求出数列2{31018}n a n n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

五、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)

解法：这种类型一般利用⎩⎨

⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)

2()

1(11n S S n S a n n n

例8已知数列{}n a 前n 项和2

2

14---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公

式n a .

六

例9已知数列{}n a 满足1132313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以1

3n +，得

111

21

3333n n n n n a a +++=++， 则

111

21

3333n n n n n a a +++-=+，故 11223

211

2232

111122122()()()(

)33333

333

212121213

()()()()3333333332(1)11111()1

333333

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

因此1

1(13)

2(1)2113133133223n n n n n

a n n ---=++=+-

-⨯， 则211

33.322

n n n a n =

⨯⨯+⨯- 评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n n n a a +=+⨯+转化为11

121

3333

n n n n n a a +++-=+，进而求出11223

21111223

21(

)()()(

)333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+，即得数列3n n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。