动力学习题解析

macx' ma cy '
mg FN
sin
mg
F'
cos
Jc FN xc ' xc '为质心的坐标
y'
x' F fFN
A aen ak
OC
aet
ar B
x'
ac acx' acy' aet aen ar ak
acx' acy'
ar aen aet ak
x(c' xc' x c '2x2c' )
22
2
mL
xc vCt, t
(2):求冲击结束后杆的内力。
F m 2 L
2
15
（3）求当杆AB与x轴平行时，小球B运动轨迹的曲率半径.
y B
O
I
A
vC
I 2m
动点：B；动系cx’y’
y’
va ve vr
ve aB
C
vc
x’ x
ω
vr
vB
vB vC vr aB at an an aB cos 450
(l
2
12xc2 ) 12gxc cos 24xc
xc
l2 f 12xc
g
sin
xc2
xc
7
第三阶段杆作平面运动(3自由度)， 应用刚体平面运动微分方程：
A
O
FN 0
y
C
macx 0
x mg
B
macy mg
O
Jc 0
8
第一阶段：定轴转动
3g cos ,2 3g sin ,
2l
l
应用质心运动定理：
mact mg cos FN
macn F mg sin
F fsFN * arctan 1
4
FN F
3 mg cos
4
3 mg sin
2
6
y'
第二阶段杆作平面运动(2自由度)，
F'
A
a FN cy '
O C acx'
mg B
应用刚体平面运动微分方程：
问题：运动分几个阶段？
A
C
O
B 第一阶段：定轴转动 （1个自由度）
第二阶段：平面运动 （2个自由度）
第三阶段：平面运动 （3个自由度）
5
FN
FA
OC
mg B
OC d
解：研究AB杆 受力分析和运动分析
第一阶段AB杆作定轴转 动(1自由度)，应用动量 矩定理：
(Jc md2) mgd cos
3g sin 2 3g sin
止放在光滑的水平面上。若每个小球的质量为m，当小球A受到
冲量I的作用后，（1）:求小球B的运动方程，初始时，B点的坐
标为（0，L/2）（2）求冲击结束后杆的内力。（3）求当杆AB
与Hale Waihona Puke Baidu轴平行时，小球B运动轨迹的曲率半径；
y
B
猜想一下：系统将如何运动.
O
I
A
运动过程： x 第一阶段：冲击过程
第二阶段：非冲击过程
2l
l
0 0,0 0
第二阶段：平面运动（未脱离）
(l2 12xc'2 ) 12gxc' cos 24xc' xc'
xc'
l2 f 12 xc'
g
sin
xc' 2
第三阶段：平面运动（脱离）
0
tan 1
1 4
,
0
3g l
sin
0
xc' 0
l 6
,
xc' 0
0
杆绕质心以恒定角速度转动
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三个阶段杆的角速度和角加速度随 的变化规律
I
mL
vr
I 2m
v2 B
an B
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例：机构在铅垂面内运动，均质杆AB、BC各处铰接，
均质圆盘纯滚动。AB杆匀速转动，其上作用一力偶M。
则图示瞬时(AB铅垂)，地面对圆盘的摩擦力 ，作
例：质量为m,长为l均质杆AC和BC铰接。图示瞬 时，两杆水平，铰链C的速度大小为u，两杆的角
速度为ω，方向如图所示。求：系统的动量,相对
于铰链C的动量矩，以及动能的大小。
u
A ω C ωB
p 2m u l
2 LrC 0
T mu2 1 ml2 2 - mul
3
1
例：质量为m,半径为R的均质圆盘在半径3R的固 定半圆滑道上纯滚动。φ为两圆心连线与铅垂线的 夹角。求：圆盘的动量,相对于固定点O的动量矩
3
例：系统由无初速开始运动，杆运动到铅垂位置时， 哪种情况杆的角速度最大？哪种情况杆的角速度最 小？
A:盘与杆固连
g
B:盘与杆光滑铰接
C: 纯 滚 动
4
例：均质杆AB长l，1/3放在固定的箱子上，两者的静
(动)摩擦因数为0.5。求：杆开始滑动时与水平线的夹 角，以及杆在运动过程中的角速度和角加速度。(不 计杆的宽度)
F mg
m 2 FNe FR
ac ao acto acno
ao R acto e acno e 2
e(g R2 ) 2 e2 R2
12
RCFI
方法二：LrA MA(F (e) ) rAC (maA)
aA R 2 FI ma A
O
aA
e
mg
A
F
m(e2 2 R2 ) mge ma Ae
l 1.0m
/ rad • s-2 / rad • s-1
/ rad 分离时杆质心C到O点的距离为：0.204 m
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例：质量为m，半径为r的非均质刚性圆盘在水平面 上纯滚动, 其质心在A处。 初始静止，质心由图示位 置运动到最低点时,下列哪个(些)量的大小为最小值。
A. 动量
A
B. 角加速度
e(g R2 ) 2 e2 R2
FN
方法三： T2 T1 W12 (mg )
C
O
mg
T2
1 2
mvC2
1 2
J C 2
T ( ,)
vC2 (R e sin )2 (e cos )2
T ( ,) mge sin f ( )
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例: 两个相同的小球用长为L （不计其质量）的细杆AB固连，静
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(1):求小球B的运动方程，初始时，B点的坐标为(0，L/2)。
y
B
y’
θ
2mvc
O C
I
ω
A
xB
xC
L sin ,
2
x’
yB
L 2
cos
n
应用冲量定理：p2
p1
I (e) i
i 1
2mvC 0 I
vC
I 2m
应用冲量矩定理：
x
n
LC2
LC1
MC
(
I
(e) i
)
i 1
2(m L) L 0 I L I
o
C. 相对质心的动量矩
D. 摩擦力
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例：图示偏心圆盘在水平面上纯滚动，已知偏心圆
盘对质心的回转半径为 ，图示瞬时偏心圆盘的角
速度为 ，求：该瞬时圆盘的角加速度。
解：受力分析和运动分析
R
aO
C
a
n co
O
e
acto
mg
A
F
FN
方法一：
macx macy
m(ao acno ) macto FN
和动能的大小。用 表 示。
O
3r φ
p 2mr LO 3mr2 T 3mr2 2
2
例：均质杆和均质圆盘质量均为m，杆长为l。初始
系统静止，突然给杆一个角速度。求:图示系统对O 轴的动量矩：(1) 杆和圆盘铰接，(2)杆和圆盘固连
O
l
R
m
Lo
4 3
ml 2
O
l
R
m
Lo
4 3
ml 2
1 2
mR2