江苏省南通市2014届高考数学最后一卷 有答案

南通市2014届高三数学临门一脚 分数学I 卷和II 卷，有答案

数学I

参考公式：

棱锥的体积公式：1

3V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．

上．

． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 3．不等式组0,

0,2x y x y ⎧⎪

⎨⎪+⎩

≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．

4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．

5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ． 6．已知函数23,0,

()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩

≤若f (x )=5，则x = ▲ ．

7．设函数f (x )=log 2x (0

(第8题图)

(第10题图)

(第9题图)

9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为 ▲ ．

10．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+=

▲ ．

11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则22

42x y x y

+-的最小值为 ▲ ．

12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13

的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．

13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同

的实数x 1，x 2，x 3，使得

312123

()

()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 ▲ ． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，

a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．

．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）

如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；

(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．

(第15题图)

B

A

C

如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3

π

，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：

(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．

17．（本小题满分14分）

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)过点(1，1)．

(1)

，求椭圆的方程；

(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．

①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；

(不需要解答过程)

②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B

在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．

(第17题图

)

图1

图2

(第16题图)

设数列{a n }，a 1=1，1133

n n n a a +=+．

数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2

221111n n n d b b +=++． (1)求证：数列{b n }为等差数列；

(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．

20．（本小题满分16分）

设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1

(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=2

3

1e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由．

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．

内作答．．．

．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．

B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦

A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；

(2)求属于2λ的一个特征向量α．

C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

圆C

的参数方程为12cos ,

2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩

(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原

点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．

D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1

D

(第21A 图)