第十章协方差分析讲解
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研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试验 仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不同，将 影响到猪的增重。但是，在实际试验中很难满足 试验仔猪初始重相同这一要求。
经研究发现：增重与初始重之间存在线性回归关 系。
• 这时可利用仔猪的初始重(记为x)与其增重 (记为y)的回归关系， 将仔猪增重都矫正为 初始重相同时的增重，于是初始重不同对 仔猪增重的影响就消除了。由于矫正后的 增重是应用统计方法将初始重控制一致而 得到的，故叫统计控制。统计控制是试验 控制的一种辅助手段。经过这种矫正，试 验误差将减小，对试验处理效应估计更为 准确。
2、协方差分析（适用：计量资料）
3、多因素分析（适用：计量、计数资料）
协方差分析(analysis of covariance，ANCOVA)
将线性回归与方差分析结合起来，检 验两组或多组修正均数间有无差异的一种 统计方法，用于消除混杂因素对分析指标 的影响。
协变量：在进行协方差分析时，混杂因素 统称为协变量。
n 1
是y的均方MSy，它是y的
方差
2 x
的无偏估计量；
(x x)( y y) 称为x与y的平均的离均差 n 1
的乘积和，简称均积，记为MPxy，即
(x x)( y y)
MPxy
n 1
xy
(
x)(
n
y)
n 1
（10-2）
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差
（covariance），记为COV(x,y)或
若 y 的变异主要由x的不同造成(处理没有显著 效应)，则各矫正后的 间y将 没有显著差异(但原y 间的差异可能是显著的)。
若 y的变异除掉x不同的影响外， 尚存在不同处 理的显著效应，则可期望y 各 间将y有显著差异 (但 原y间差异可能是不显著的)。此外，矫正后的 y和 原y的大小次序也常不一致。
因此，应用协方差分析前，要对资料进行 方差齐性检验和回归系数的假设检验（斜率同 质性检验），只有满足上述两个条件之后才能 应用，否则不宜使用。
协方差分析的应用条件
⑴各比较组协变量X与分析指标Y存在线性 关系（按直线回归分析方法进行判断）。 ⑵各比较组的总体回归系数βi相等，即各直 线平行(绘出回归直线，看是否平行)。
。统计学证明
xy
了，均积MPxy是总体协方差COV(x,y)的无偏估计
量，即 EMPxy= COV(x,y)。
于是，样本相关系数r可用均方MSx、MSy，均
积MPxy表示为：
r MPxy MS x MS y
（10-3）
相应的总体相关系数ρ可用x与y的总体标准
差 、x y，总体协方差COV(x,y)或 x表y 示如下：
协方差分析的基本思想： 在作两组或多组均数 y1，y2 …，yk的假
设检验前，用线性回归分析方法找出协变 量X与各组Y之间的数量关系，求得在假定X 相等时修定均数 y'1，y'2 ，y'k ，然后用方差 分析比较修正均数间的差别，这就是协方 差分析的基本思想。
协方差分析的应用条件
⑴要求各组资料都来自正态总体，且各组的方 差相等；（t检验或方差分析的条件） ⑵各组的总体回归系数βi相等，且都不等于0 （回归方程检验）。
(x x)( y y)
r
(x x)2 ( y y)2
若将公式右端的分子分母同除以自由度(n-1)，
得
r
(x x)( y y) /(n 1)
பைடு நூலகம்
(
x
x
)
2
(n
1)
(
y
y)
2
(n
1)（10-1）
其中
(x x)2
n 1
是x的均方MSx，它是x的
方差 x2的无偏估计量；
(y y)2
处理因素
T + S1
混杂因素
－
S2
T
e + s1 （实验组）
s2 （对照组） e
（在设计阶段控制混杂因素的方法）
在混杂因素中，有些是难以完全控制的， 如,天气变化，饲料的进食量；有些是可以控 制的，如年龄，动物的初始体重。
可以控制的混杂因素：最好在设计阶段（也可 在分析阶段）进行控制。 难以控制的混杂因素：在分析阶段进行控制。
• 所以， 处理平均数的回归矫正和矫正平均 数的显著性检验，能够提高试验的准确性 和精确性，从而更真实地反映试验实际。 这种将回归分析与方差分析结合在一起， 对试验数据进行分析的方法，叫做协方差 分析(analysis of covariance)。
二、估计协方差组分
在第六章曾介绍过表示两个相关变量线性相 关性质与程度的相关系数的计算公式：
两条回归直线不平行
结论： 本资 料不 宜做 协方 差分 析
两条条回归直线基本平行
各回归系数不 为零
结论： 本资 料可 以做 协方 差分 析
不满足条件时的处理方法
X与Y不满足线性关系时，通常情况下是 对X或Y或两者作适当的变量变换，使之符 合线性关系。
协方差分析适用的资料
协方差分析可用于： 完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设计、 析因设计等资料； 协变量X可以仅有一个，称一元协方差分析； 协变量也可以有多个，称多元协方差分析。
第十章 协方差分析
在科研中，实验效应除了受到处理因 素的作用外，尚受到许多非处理因素的影 响。如在研究临床疗效时，疗效的好坏不 仅与治疗措施有关，还受病人的年龄、性 别、病情、心理、环境、社会等因素的影 响。
药物临床疗效研究
混杂因
患者的状况（性别、年龄
素
药物
病情
疗效
举
例
心 理 因
其他因 素
素
各组间的效应进行比较，必须保持组间的 影响因素（混杂因素的比例）相同，组间 才具有可比性。
常见的实例
（1）比较不同施肥量对果树单株产量的影 响，果树起始干周是混杂因素。 （2）比较两种药物治疗高血压的疗效，年 龄是一个混杂因素。 （3）研究不同饲料对动物增加体重的作用 时，动物的初始体重、进食量等因素。 （4）… …
在分析阶段控制混杂因素的方法：
1、采用分层分析：如把年龄分组，再比较 同一年龄组的正常体重与超重组有无差别。 （适用：计量、计数资料）
协方差分析有二个意义 ， 一是对试验进行统 计控制，二是对协方差组分进行估计，现分述 如下。
一、对试验进行统计控制
为了提高试验的精确性和准确性 ，对处理以 外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。
但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使 试验控制达到预期目的。例如：
经研究发现：增重与初始重之间存在线性回归关 系。
• 这时可利用仔猪的初始重(记为x)与其增重 (记为y)的回归关系， 将仔猪增重都矫正为 初始重相同时的增重，于是初始重不同对 仔猪增重的影响就消除了。由于矫正后的 增重是应用统计方法将初始重控制一致而 得到的，故叫统计控制。统计控制是试验 控制的一种辅助手段。经过这种矫正，试 验误差将减小，对试验处理效应估计更为 准确。
2、协方差分析（适用：计量资料）
3、多因素分析（适用：计量、计数资料）
协方差分析(analysis of covariance，ANCOVA)
将线性回归与方差分析结合起来，检 验两组或多组修正均数间有无差异的一种 统计方法，用于消除混杂因素对分析指标 的影响。
协变量：在进行协方差分析时，混杂因素 统称为协变量。
n 1
是y的均方MSy，它是y的
方差
2 x
的无偏估计量；
(x x)( y y) 称为x与y的平均的离均差 n 1
的乘积和，简称均积，记为MPxy，即
(x x)( y y)
MPxy
n 1
xy
(
x)(
n
y)
n 1
（10-2）
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差
（covariance），记为COV(x,y)或
若 y 的变异主要由x的不同造成(处理没有显著 效应)，则各矫正后的 间y将 没有显著差异(但原y 间的差异可能是显著的)。
若 y的变异除掉x不同的影响外， 尚存在不同处 理的显著效应，则可期望y 各 间将y有显著差异 (但 原y间差异可能是不显著的)。此外，矫正后的 y和 原y的大小次序也常不一致。
因此，应用协方差分析前，要对资料进行 方差齐性检验和回归系数的假设检验（斜率同 质性检验），只有满足上述两个条件之后才能 应用，否则不宜使用。
协方差分析的应用条件
⑴各比较组协变量X与分析指标Y存在线性 关系（按直线回归分析方法进行判断）。 ⑵各比较组的总体回归系数βi相等，即各直 线平行(绘出回归直线，看是否平行)。
。统计学证明
xy
了，均积MPxy是总体协方差COV(x,y)的无偏估计
量，即 EMPxy= COV(x,y)。
于是，样本相关系数r可用均方MSx、MSy，均
积MPxy表示为：
r MPxy MS x MS y
（10-3）
相应的总体相关系数ρ可用x与y的总体标准
差 、x y，总体协方差COV(x,y)或 x表y 示如下：
协方差分析的基本思想： 在作两组或多组均数 y1，y2 …，yk的假
设检验前，用线性回归分析方法找出协变 量X与各组Y之间的数量关系，求得在假定X 相等时修定均数 y'1，y'2 ，y'k ，然后用方差 分析比较修正均数间的差别，这就是协方 差分析的基本思想。
协方差分析的应用条件
⑴要求各组资料都来自正态总体，且各组的方 差相等；（t检验或方差分析的条件） ⑵各组的总体回归系数βi相等，且都不等于0 （回归方程检验）。
(x x)( y y)
r
(x x)2 ( y y)2
若将公式右端的分子分母同除以自由度(n-1)，
得
r
(x x)( y y) /(n 1)
பைடு நூலகம்
(
x
x
)
2
(n
1)
(
y
y)
2
(n
1)（10-1）
其中
(x x)2
n 1
是x的均方MSx，它是x的
方差 x2的无偏估计量；
(y y)2
处理因素
T + S1
混杂因素
－
S2
T
e + s1 （实验组）
s2 （对照组） e
（在设计阶段控制混杂因素的方法）
在混杂因素中，有些是难以完全控制的， 如,天气变化，饲料的进食量；有些是可以控 制的，如年龄，动物的初始体重。
可以控制的混杂因素：最好在设计阶段（也可 在分析阶段）进行控制。 难以控制的混杂因素：在分析阶段进行控制。
• 所以， 处理平均数的回归矫正和矫正平均 数的显著性检验，能够提高试验的准确性 和精确性，从而更真实地反映试验实际。 这种将回归分析与方差分析结合在一起， 对试验数据进行分析的方法，叫做协方差 分析(analysis of covariance)。
二、估计协方差组分
在第六章曾介绍过表示两个相关变量线性相 关性质与程度的相关系数的计算公式：
两条回归直线不平行
结论： 本资 料不 宜做 协方 差分 析
两条条回归直线基本平行
各回归系数不 为零
结论： 本资 料可 以做 协方 差分 析
不满足条件时的处理方法
X与Y不满足线性关系时，通常情况下是 对X或Y或两者作适当的变量变换，使之符 合线性关系。
协方差分析适用的资料
协方差分析可用于： 完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设计、 析因设计等资料； 协变量X可以仅有一个，称一元协方差分析； 协变量也可以有多个，称多元协方差分析。
第十章 协方差分析
在科研中，实验效应除了受到处理因 素的作用外，尚受到许多非处理因素的影 响。如在研究临床疗效时，疗效的好坏不 仅与治疗措施有关，还受病人的年龄、性 别、病情、心理、环境、社会等因素的影 响。
药物临床疗效研究
混杂因
患者的状况（性别、年龄
素
药物
病情
疗效
举
例
心 理 因
其他因 素
素
各组间的效应进行比较，必须保持组间的 影响因素（混杂因素的比例）相同，组间 才具有可比性。
常见的实例
（1）比较不同施肥量对果树单株产量的影 响，果树起始干周是混杂因素。 （2）比较两种药物治疗高血压的疗效，年 龄是一个混杂因素。 （3）研究不同饲料对动物增加体重的作用 时，动物的初始体重、进食量等因素。 （4）… …
在分析阶段控制混杂因素的方法：
1、采用分层分析：如把年龄分组，再比较 同一年龄组的正常体重与超重组有无差别。 （适用：计量、计数资料）
协方差分析有二个意义 ， 一是对试验进行统 计控制，二是对协方差组分进行估计，现分述 如下。
一、对试验进行统计控制
为了提高试验的精确性和准确性 ，对处理以 外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。
但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使 试验控制达到预期目的。例如：