Ch12：数值计算方法之数值积分
《数值积分方法》课件
数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。
数值积分简介
定积分的数值计算方法
Newton-Cote’s 积分
若节点可以自由选取，则，一个自然的办法就是取等距节点。对区间做等距分割。 该数值积分称为Newton-Cote’s积分
定积分的数值计算方法
设节点步长
ba h , xi a ih, i 0, , n n
x a th
ai li ( x)dx
2、F(x)求不出 3、F(x)非常复杂
定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合
In ( f )
a
i 0
n
i
f ( xi )
称为积分系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关
定积分的数值计算方法
两个问题： 1、系数ai如何选取，即选取原则 2、若节点可以自由选取，取什么点好？
定义
代数精度
m 1 1 b h1 1 a f ( x, y0 )dx 2 2 f ( x0 , y0 ) f ( xi , y0 ) 2 f ( xm , y0 ) 2 i 1 m 1 1 b h1 1 a f ( x, yn )dx 2 2 f ( x0 , yn ) f ( xi , yn ) 2 f ( xm , yn ) 2 i 1
定积分的数值计算方法
误差
注意到，Simpson公式有3阶代数精度，因此为了对误差有更精确地估计，我们 用3次多项式估计误差
ab ab ab ab P3 (a) f (a), P3 (b) f (b), P3 ( ) f( ), P3 ' ( ) f '( ) 2 2 2 2
E2 ( f ) I ( f ) S ( f ) I ( f ) I ( P3 ) I ( P3 ) S ( f )
数值计算方法之数值积分
数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。
数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
首先介绍矩形法。
矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。
矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。
梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。
梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。
辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。
辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。
除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。
这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。
总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。
数值计算中的数值积分方法
数值计算中的数值积分方法数值计算是应用数学的一个分支，它主要涉及数值计算方法、算法和数值实验。
其中，数值积分作为数值计算中的一个重要环节，其作用在于将连续函数转化为离散的数据，从而方便计算机进行计算和处理。
本文将介绍数值积分的概念、方法和应用。
一、数值积分的概念数值积分是利用数值方法对定积分进行估计的过程。
在数值积分中，积分被近似为离散区间的和，从而可以被计算机进行处理。
数值积分中，被积函数的精确的积分值是无法计算的，而只能通过数值方法进行估计。
数值积分的目的是通过选取合适的算法和参数来尽可能减小误差，达到精度和效率的平衡。
二、数值积分的方法1. 矩形法矩形法是数学上最简单的数值积分方法之一。
矩形法的算法是将要积分的区间分为若干个小区间，然后计算每个小区间中矩形的面积，最后将所有小矩形的面积加起来得到近似的积分值。
矩形法的精度一般较低，适用于计算不需要高精度的函数积分。
2. 梯形法梯形法是数值积分中常用的一种方法，其原理是将区间分为若干个梯形，并计算每个梯形的面积，最后将所有梯形的面积加起来得到近似的积分值。
梯形法的计算精度较高，但其计算量较大。
3. 辛普森法辛普森法是数值积分中一种高精度的方法，它是利用二次多项式去估计原函数。
辛普森法的原理是将区间分为若干等分小区间，并计算每个小区间中的二次多项式的积分值，最后将所有小区间的积分值加起来得到近似的积分值。
辛普森法的优点是其精度高，计算量相对较小。
三、数值积分的应用数值积分方法在各个领域都有广泛的应用。
例如，它可以被用于工程学、物理学和金融学中的数值计算。
在工程学中，数值积分被用于数值模拟和计算机辅助设计中。
在物理学中，数值积分则被用于数值求解微分方程和计算机模拟等领域。
在金融学中，数值积分则被应用于计算复杂的金融模型和风险分析。
总之，数值积分方法是数学和计算机科学中非常重要的一部分。
通过不同的数值积分方法来近似计算定积分，我们能够利用计算机更加高效地进行数学计算和数据分析，从而使得数学和物理等学科的研究者能够更加快速地得出准确的结果。
数值计算方法数值积分与微分方程数值解
数值计算方法数值积分与微分方程数值解数值计算是计算数值结果的一种方法，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
数值计算方法涉及到估算数学问题的解，其中包括数值积分和微分方程数值解。
本文将分别介绍数值积分和微分方程数值解的基本原理和常用方法。
一、数值积分数值积分是通过数值计算方法来估计函数的积分值。
积分是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域的问题求解中。
传统的积分计算方法，如牛顿-柯特斯公式和高斯求积法，需要解析求解被积函数，但是对于大多数函数来说，解析求解并不容易或者不可能。
数值计算方法通过离散化被积函数，将积分问题转化为求和问题，从而得到近似的积分结果。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
1. 梯形法则梯形法则是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形的面积来近似原函数的面积，最后将所有小区间的梯形面积相加得到近似积分值。
2. 辛普森法则辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用一个二次多项式来近似原函数，最后将所有小区间的二次多项式积分值相加得到近似积分值。
3. 复化求积法复化求积法是一种将积分区间进一步细分的数值积分方法。
通过将积分区间划分为更多的小区间，并在每个小区间上应用辛普森法则或者其他数值积分方法，可以得到更精确的积分结果。
二、微分方程数值解微分方程是描述自然现象中变化的数学模型。
求解微分方程的解析方法并不适用于所有的情况，因此需要利用数值计算方法来估计微分方程的解。
常见的微分方程数值解方法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是最简单的微分方程数值解方法之一。
它通过将微分方程离散化，将微分运算近似为差分运算，从而得到微分方程的近似解。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进。
它通过使用两个不同的点来估计微分方程的解，从而得到更精确的近似解。
数值积分方法
(b a)3 12n 2
f (),
[a,b]
5.2.2 复化Simpson公式：
★ 计算公式
将[a, b] 2m 等分, m 为积分子区间数，记 n = 2m，n+1
为节点总数 ，h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih,
i = 0,1,2,…,n,
在[a, b]上恒为正时，f ( x)在[a, b]上为凹，表示梯形的面积大
于曲边梯形的面积，此时（5.2）式计算出的值比积分
b
f ( x)dx
a
的值大.
二、Simpson公式 n=2时的求积公式
将 [a, b] 二 等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2，
x2 = b 作为积分节点，构造二次Lagrange插值多
b x bdx 1 (b a) a ab 2
1
b
a l1( x)dx
b x adx 1 (b a) a ba 2
b
a
f
( x)dx
ba 2
f
(a)
f
(b)
T(f)
(5.2)
这是用线性插值函数代替被积函数导出的定积分近 似计算公式，称为梯形数值积分公式。
第五章 数值积分方法
问题提出
计算
I
b
f ( x)dx
F(a) F(b)
a
但是在许多实际问题经常遇到下列情况：
（1）原函数存在但不能用初等函数表示；
（2）原函数可以用初等函数表示，但结构复杂；
（3）被积函数没有表达式，仅仅是一张函数表。
数值积分
a
lk ( x)dx Aj lk ( x j ),
j 0
注意到, lk(xj) = ij , 上式右端实际上等于 Ak , 因而,
Ak lk ( x)dx.
a
b
即, (6.1) 是插值型求积公式.
推论 n+1个节点的插值型求积公式中的求积系数 Ak 满足
n k 0
Ak b a.
a k 0
b
n
(6.1)
式中 {x0,x1, , xn} 叫求积节点, 它们满足 a x0 x1 xn b ,
Ak 叫做求积系数， 它与被积函数无关. 用求积公式 (6.1)
计算积分近似值 In， 任务是确定节点与求积系数 Ak .
二、截断误差 (余项)
Rkn I I n f ( x)dx Ak f ( xk )
b
sin x x dx, a
b
e
a
b
x2
dx,
必须使用数值的方法去计算这些积分.
矩形公式 依积分中值定理知, 有 [a, b] , 使
a
b
f ( x)dx (b a) f ( )
曲边梯形的面积 等于矩形的面积!
故, 只要对平均高度 f ( ) 给出一种算法, 可得积分值的一 种算法.
插值型求积系数为 Ak lk ( x)dx, 对它做积分变换
a
b
x a th, 则有
(b a)Ck( n ) lk ( x)dx
a
b
b
a j 0, j k
n
x xj xk x j
数值计算方法教案数值积分(有添加哦
数值积分教案教学目标：1. 理解数值积分的概念和意义；2. 掌握数值积分的基本方法和原理；3. 能够运用数值积分解决实际问题。
教学内容：1. 数值积分的概念和意义；2. 数值积分的基本方法：梯形法、辛普森法、高斯法等；3. 数值积分的原理：数值积分近似解的误差估计；4. 数值积分的应用：解决实际问题，如物理、工程等领域中的积分计算。
教学方法：1. 讲授法：讲解数值积分的概念、方法和应用；2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用数值积分解决；3. 练习法：让学生通过练习题巩固所学知识。
教学准备：1. 教案、PPT、教学视频等教学资源；2. 计算器、电脑等教学工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入数值积分的重要性，例如在物理、工程等领域中的应用；2. 引导学生思考如何利用数值方法近似计算积分值。
二、数值积分的概念和意义（10分钟）1. 讲解数值积分的定义；2. 解释数值积分的意义和作用；3. 举例说明数值积分在实际问题中的应用。
三、数值积分的基本方法（10分钟）1. 介绍梯形法、辛普森法和高斯法等基本方法；2. 讲解各种方法的原理和步骤；3. 通过实例演示数值积分的计算过程。
四、数值积分的原理（10分钟）1. 介绍数值积分近似解的误差估计；2. 解释误差估计的原理和意义；3. 引导学生思考如何选择合适的数值积分方法以减小误差。
五、数值积分的应用（10分钟）1. 分析实际问题，引导学生运用数值积分解决；2. 让学生通过练习题巩固所学知识；3. 引导学生思考数值积分在实际工程中的应用和限制。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对数值积分的概念和方法的理解；2. 练习题：评估学生对数值积分的应用能力；3. 课后作业：巩固学生对数值积分的掌握程度。
数值积分教案数值积分(有添加哦)六、梯形法的改进与应用（10分钟）1. 分析梯形法的局限性，如计算量大、精度低等问题；2. 介绍梯形法的改进方法，如自适应梯形法、辛普森法与梯形法的组合等；3. 通过实例讲解改进方法的原理和应用。
数值积分法
2）计算速度
影响因素：每步积分运算所花费的时间 积分的总次数
一般来说 对于系统阶次高、导函数复杂、精度要求高的复杂仿真 问题宜采用Adams预估—校正法。 为了提高仿真速度，在积分方法选定的前提下，应在保 证精度的前提下尽可能加大仿真步长，以缩短仿真总时间。
3）数值解的稳定性 小于四阶时，同阶的RK法的稳定性比显式Adams法好，但 不如同阶次的隐式Adams法好，因此，从数值解稳定性角 度考虑，应尽量避免采用显式Adams法。
因而，在确定积分方法以后，选择积分步长时，
需要考虑的一个重要的因素就是系统的动态响应
特性，对变化剧烈的快变量，不仅要选择高阶的
计算方法，而且要取较小的积分步长。
为了保证计算稳定性，步长只需限制在系统最小时间常数
的数量级，但为了保证足够的仿真精度，实际选用的积分 步长要比系统最小时间常数小很多。 根据经验，对于一般工程系统的仿真，若采用RK4法， 为保证计算精度在0.5%左右，可采用经验公式
误差分析
y(tk+1)—微分方程的真解（理论解、解析解） —微分方程的数值积分准确解（没有舍 入误差） yk+1—微分方程的数值积分近似解（有舍入误差）
整体截断误差
舍入误差
截断误差：分为局部截断误差和整体截断误差。 局部截断误差：假定前k步为微分方程精确解的误差。 整体截断误差：从初值开始，每步均有局部截断误差
数字系统、数的运算次序以及计算f(t,y)所用的程
序编码等因素有关。
收敛性
定义：设不考虑舍入误差和初始值误差，一
种数值积分格式，若对于任意固定的
tn=t0+nh，当h→0（同时n→∞）时求得的
yn →y(tn)，则称这种积分格式是收敛的。
ch定积分的数值计算实用
7.6.1）,所以称为梯形公式。
第4页/共13页
⑵ Simpson 公式
当n 2时，
C(02)
1 4
（2 t
0
1）(t
2)dt
1 6
C(22) ，
C1(2)
1
C(02)
C(22)
4， 6
因此得到 Simpson 公式
b
a
f(
x)dx
b 6
a
f(a)
4
f
a
b
2
f(b) 。
它的几何意义是用过点(a,
f(a))，
a
2
b
,
f a
2
b
和(b,
f(b))
的抛物线
y p2(x)与 x a， x b和 x 轴所围成的曲边梯形的面积，近 似代替由 y f(x)、 x a， x b和 x 轴所围成的曲边梯形的
面积（图 7.6.2），所以 Simpson 公式也称为抛物线公式。
第5页/共13页
第9页/共13页
⑴ 复化梯形公式
将 [a,b] 以 步 长 h b a 作 m 等 分 m
xi a ih
（i 0,1,2, ,m 1,m），在每一个小区间[xi1,xi ]使用梯形公式
b f(x)dx a
m
xi
i 1 xi 1
f(x)dx
h 2
m
[
i 1
f( xi1)
f(xi )] 。
1 3
(e1
4
e0
e1)
2.362053757…；
Cotes 公式 ：
I4
1 45
[7(e1
e1)
计算方法 2数值积分
a x0 x1 xn b
作f (x)的n 次插值多项式：
4
Ln ( x)
其中
f (x
k 0
n
k
)lk ( x)
lk ( x)(k 0,1,, n)
为n 次插值基函数。用 Ln(x) 近似代替被 积函数f (x)，则得
a f ( x)dx a Ln ( x)dx
记
Ck( n )
n (1) nk t (t 1) (t k 1)(t k 1) (t n)dt 0 n k!(n k )!
(2.1)
19
则
Ak b a Ck( n )
于是，由（1.3）就可写出相应的插值
型求积公式
b
a
f ( x)dx b a Ck( n ) f ( xk ) (2.2)
算意义。由插值型求积公式的余项（1.4） 易得
定理1 含有n +1个节点 xk (k=0,1,…,n )的
插值型求积公式（1.3）的代数精 度至少为n .
16
§2 牛顿—柯特斯公式
在§1 中，介绍了插值型求积公
式及其构造方法。在实际应用时，考 虑到计算的方便，常将积分区间等分
之，并取分点为求积分节点。这样构
xk a kh, (k 0,1,, n)
其中
ba h n
31
称为步长，然后在每个小区间[ xi-1，xi ] 上应用梯形公式（2.3），即
xk
xk 1
f ( x)dx
h f xk 1 ) f ( xk 2 (k 1, 2, n)
就可导出复合梯形公式
1 8 16 45 25 144 34 105
计算机方法-数值积分
14
算例: 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.
I
h 0
h f ( x )dx [ f (0) f ( h)] ah2 [ f (0) f ( h)] I 2
0
解:
f ( x) x
I
h
0
x 0dx h
I2 h
f ( x ) x1 f ( x) x 2
有 特别地：当 x
x1 x0
f ( x)dx
x1 x0
L2 ( x)dx
1 ( x0 x1 ) ,于是， 2
x1 x0
( x1 x0 ) x0 x1 f ( x )dx f ( x0 ) 4 f ( ) f ( x1 ) 6 2
Simpson公式
n
Ak
Ak
b a
k j
( x x j ) ( xk x j )
dx
由 节点决定， 与 f (x) 无关。
19
§5.1.4 插值求积法 - 余项
误差:
R[ f ] f ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
[ f ( x) Ln ( x)]dx Rn ( x)dx
a f ( x)dx F (b) F (a)
其中 F(x) 是 f (x) 的原函数之一，可用不定积分求得.
b
问题
被积函数 f (x) 是用函数表格提供; f(x) 极为复杂，求不出原函数; 大量函数的原函数不容易或根本无法求出.
0 e
1
x2
dx
sin x 0 x dx
1
计算方法数值积分插值型积分PPT课件
bn1 an1 n1
1
其系数
x
0
矩阵
x02
x
n 0
1 …
x1 …
x
2 1
…
…
x
n 1
…
1
x
n
x
2 n
当
xk (k 0,1,…, n)
互异时，有唯一
x
n n
解 {Ak }
定理4.1 n+1个节点的求积公式
插值型求积
b f(x)dx a
本段讲授机械求积方法.
由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分 区间[a, b]内存在一点ξ，使得 谜
b f(x)dx (b a)f(ξ), ξ [a, b] a
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 f ( ξ) 的矩形面积。但点ξ的具体位置是未知的, 因而f ( ξ )
计算方法 (Numerical Analysis)
第6次 数值积分-插值型积分-误差求积公式的收敛性与稳定性
第四章 数值积分
1. 数值积分引论 2. 机械求积方法 3. 以简单函数近似逼近被积函数方法-插值型
求积公式 4. 插值型求积公式的例子 5. 求积公式的收敛性和稳定性
数值积分引论
第四章 数值积分
代替原被积函数f(x)，即
b f(x)dx b (x)dx
a
a
以此构造数值算法。
要求：
• 函数(x)
应该对f(x)有充分的逼近程度,并
且容易计算其积分。
• 通常，将(x) 选取为f(x)的插值多项式,
这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分
Ch12：数值计算方法之数值积分
• 设f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间，x0,x1,…,xn为
[a,b]内的n+1个互异的点，记Ln(x)为相应的拉格朗 日插值多项式，那么我们有 f(x)=Ln(x)+Rn(x)
两边同时积分得： f ( x )dx
a b
b
a b
Ln ( x )dx Rn ( x )dx
不超过n的多项式与它的任意n+1个基点的插值多项 式恒等，再由求积公式的代数精度的定义，我们立 即得到：
• 由n+1个基点的拉格朗日插值多项式所形成的求积公式的
代数精度至少式n，为此，我们上面的wk改写为 w(n,k),k=0,1,…,n。
记 我们有 w ( n, k )
b
a
l k ( x )dx
• 微积分学中我们曾研究过，定积分保持函数的线性
关系不变，它的含义是，若f(x),g(x)都是[a,b]上的可 积函数，则对任意实数u,v,我们有u· f(x)+v· g(x)也是 [a,b]上的可积函数，而且
b a
[u f ( x ) v g( x )]dx u
b
a
f ( x )dx v
方法，最后建议的方法是变步长复化辛卜生加速算 法，为此，需要经过一个曲折的分析过程。
等函数，在这种情况下并不能利用牛顿-来布尼兹公 式进行计算。
12.1 求积公式与代数精度的概念
• 由定积分的定义可知，连续函数f(x) 在区间[a,b]上
的定积分近似值可以表示为[a,b]内的一些点 x0,x1,…,xn处的函数值f(x0),f(x1),…,f(xn)的加权和或 线性组合，即
第12章：数值积分与数值微分
计算方法数值积分
计算方法数值积分数值积分也叫数值积分法，是一种利用数值计算方法来近似计算定积分的技术。
数值积分法的基本思想是将求解定积分的问题转化为连续函数的逼近问题，通过对确定的函数值进行加权平均来估计定积分的值。
数值积分法的步骤如下：1.将被积函数f(x)分割成若干个小区间；2.在每个小区间上选择一个或多个代表点，计算这些代表点的函数值；3.将这些函数值与一组预先选定的权重相乘，并将结果求和，即可得到最终的近似积分值。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。
它将每个小区间上的函数值等分为一个常量，用矩形面积的和来近似计算定积分。
具体来说，矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
其中，左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点，右矩形法以右端点作为代表点，中矩形法以每个小区间的中点作为代表点。
梯形法是通过近似使用梯形面积来计算定积分。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值重新排列为两个连续点的直线，并计算这些直线与x轴之间的面积和。
具体来说，梯形法通过连接每个小区间的左右两个函数值，构成一个梯形来近似计算定积分。
辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值近似为一个二次多项式，并计算这些多项式的积分值。
辛普森法使用了更多的代表点，其中每两个相邻的代表点组成一个小区间，并使用一个二次多项式来逼近这个小区间上的函数。
辛普森法的精度比矩形法和梯形法要高。
数值积分法的精度受步长的影响，步长越小，近似误差越小。
在实际计算中，需要根据被积函数的特点和计算精度的要求来选择合适的数值积分法和步长。
此外，为了提高计算精度，还可以采用自适应步长和复合数值积分等方法。
总之，数值积分是求解定积分的一种近似计算方法，其基本思想是对函数的逼近和面积的加权平均。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等，选择合适的方法和步长可以提高计算精度。
数值积分法在科学计算领域和工程实践中被广泛应用。
数值分析讲义第四章数值积分
方法的选取
不同的数值积分方法具有不同 的收敛性和稳定性，应根据具 体问题选择合适的方法。
初值和边界条件
初值和边界条件对数值积分的 收敛性和稳定性也有影响，不 合理的初值和边界条件可能导 致数值积分发散或误差增大。
05
数值积分的应用实例
在物理模拟中的应用
01
流体动力学模拟
数值积分被广泛应用于流体动力 学模拟中，如计算流体速度、压 力、温度等的分布。
02
数值积分方法
矩形法
总结词：简单直观
详细描述：矩形法是一种基本的数值积分方法，它将积分区间划分为若干个小的矩形，然后求和近似计算积分值。由于计算 简单直观，适用于初学者理解数值积分的基本思想。
梯形法
总结词：易于理解
详细描述：梯形法是另一种数值积分方法，它将积分区间划分为若干个小的梯形，然后求和近似计算 积分值。与矩形法相比，梯形法更接近于真实曲线下面积的形状，因此误差相对较小。
衍生品定价
通过数值积分方法，可以 对复杂的衍生品进行定价， 如期权、期货等。
蒙特卡洛模拟
蒙特卡洛模拟是一种基于 随机抽样的数值积分方法， 常用于估计预期收益和风 险。
在图像处理中的应用
图像滤波
通过数值积分方法，可以 对图像进行滤波处理，如 平滑、锐化等。
图像重建
在图像重建中，数值积分 常用于从部分图像数据中 恢复完整的图像。
辛普森法
总结词：精度较高
详细描述：辛普森法是数值积分的一种改进方法，它利用了被积 函数在积分区间的端点和中心点的函数值进行近似计算，因此精 度相对较高。辛普森法是数值积分中常用的方法之一。
高斯法
总结词：高精度
VS
详细描述：高斯法是一种基于高斯积 分的数值积分方法，它利用了被积函 数在积分区间内的高斯点的函数值进 行近似计算，具有很高的精度。高斯 法适用于需要高精度计算的情况，但 计算过程相对复杂。
数值计算方法 数值积分基本公式 - 数值积分基本公式
求
积 公 式
? 存在的问题
1.插值型求积公式的求积系数当节点不等 距时很难求得；
2.误差表达式中的不确定点的处理有难度
4
设 将 积 分 区 间a , b n等 分 , 记 步 长h b a ,
n
牛
选 取 等 距 节 点xk a kh
顿 － 柯 特 斯
将xk
a
kh, h
b
a n
,
x
a
th代 入 求 积 公 式 得 ：
当 n 2时 , 这 时 柯 特 斯 系 数 为
C
2
0
1 4
2 t 1t 2dt 1 ,
0
6
C
1
2
1 2
2 tt 2dt 4 ,
0
6
C
2
2
1 4
2 tt 1dt 1 .
0
6
这时的求积公式为：
S
ba 6
f
a
4
f
a
2
b
f
b
辛普森公式的误差
取 H 3(a) f (a), H 3(b) f (b),
H
3
(
a
2
b
)
f
(
a
2
b
),
H
3
(
a
2
b
)
f ( a b ) 2
误差估计
根 据H ermite 插 值 余 项 ：
b
b
nb
a f ( x )dx a Ln ( x )dx a lk ( x)dx f ( xk )
k0
求 积 公
注意到：Ak
b
a lk ( x)dx
计算方法数值积分教学PPT
ji
Rn ( f )
b a
f (n (n
1) ( )
1)!
n
1
(
x
)
dx
b f ( x)dx
a
n
f ( xi )ai(n) Rn ( f )
i0
}
推导具体计算公式
由
ai(n)
b a
jn x x j dx, j0 xi x j
ji
xi a ih, x j a jh, ba
5888/ 28350
-928/ 28350
10496/ 28350
-4540/ 28350
10496/ 28350
例如：n=2时，有
c(2) 0
1 6
,
c(2) 1
4 6
,
c(2) 2
1 6
n=3时，有
c(3) 0
1 8
,
c(3) 1
3 8
,
c(3) 2
3 8
,
c(3) 3
1 8
-928/ 28350
a
( i
n)
i!
(1)ni (n i)!
hn
n 0
n
(s
j0 ji
j) hn hds
(1)ni (b a)
i! (n i)!
n 0
n
(s
j0 ji
j ) ds
a(n) i
(b
a)
c(n) i
,
ci(n)
(1)ni i! (n i)!
n 0
n
(s
j0
j ) ds
ji
}
由
}
5.1.1 牛顿-柯特斯求积公式的构造
数值积分方法讨论
数值积分方法讨论
数值积分是指通过一定数学方法和算法，将一个定积分转化成一个数值问题，然后用计算机进行计算的过程。
数值积分方法是数值分析中的一类重要算法，具有广泛的应用场景，例如在物理、工程、统计学等领域中都有着广泛的应用。
常见的数值积分方法包括牛顿-柯莱公式、梯形公式、辛普森公式、
龙贝格公式等等。
其中，梯形公式是最基本的数值积分方法，它的思想是将定积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上用线性函数近似替代被积函数，最后将所有小区间的函数值相加得出数值积分的结果。
不过，不同的数值积分方法在精度、计算复杂度、收敛速度等方面都有着不同的特点。
例如，在积分区间相同的情况下，辛普森公式的精度要比梯形公式高，但是辛普森公式的计算复杂度也会相应增加，因此要根据具体的应用场景选择合适的数值积分方法。
除此之外，在进行数值积分时，还需要注意一些常见的问题，如积分区间的选择、点的选取、积分误差的控制等等。
在实践中，结合具体问题的特点来选择合适的数值积分方法，并注意一些常见问题的处理，才能得到准确、有效的数值积分结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 微积分学中我们曾研究过，定积分保持函数的线性
关系不变，它的含义是，若f(x),g(x)都是[a,b]上的可 积函数，则对任意实数u,v,我们有u·f(x)+v·g(x)也是 [a,b]上的可积函数，而且
b
b
b
a [u f ( x) v g( x)]dx u a f ( x)dx v a g( x)dx
• 假如x0,x1,…,xn为[a,b]的一个等份分划那么求积公式
(1)中的w0,w1,…,wn的选取仅仅只与n有关，从而可以 简化对求积公式的研究。
• 结论，只要给出了一个如何确定（1）式中的诸
w0,w1,…,wn的机制，我们就可以得到相应的对任何 被积函数都有效的计算定积分方法。
2.求积公式的性质
b
kn
f ( x)dx
a
wk f (xk )
k0
（1）
其中w0,w1,…,wn仅与x0,x1,…,xn有关而与被积函数f(x) 无关。我们把这样的公式称为求积公式，也称为机
械求积公式。
1．术语和记号
• 为了计算f(x) 在区间[a,b]上的定积分近似值，我们通
常的做法是，把积分区间[a,b]划分为n等分，记 h=(b-a)/n,x0=a,xk=a+kh,k=0,1,2,…,n,称x0,x1,…,xn为 [a,b]的一个等份分划。
4．截断误差
• 在求积公式中，我们使用的是近似等号，这是因为，对于一 般的被积函数来说，利用这些公式计算所得的结果除了舍入 误差外，还有截断误差，因为定积分是用极限来定义的。
• 有时为了进行误差分析，我们可以把上面的（1）式写成
b
kn
f ( x)dx
a
wk
f (x k
)
R[
f
]
k 0
（1’）
等函数，在这种情况下并不能利用牛顿-来布尼兹公 式进行计算。
• 本章的主要任务是寻找求数值积分的最有效的计算
方法，最后建议的方法是变步长复化辛卜生加速算 法，为此，需要经过一个曲折的分析过程。
12.1 求积公式与代数精度的概念
• 由定积分的定义可知，连续函数f(x) 在区间[a,b]上的
定积分近似值可以表示为[a,b]内的一些点x0,x1,…,xn 处的函数值f(x0),f(x1),…,f(xn)的加权和或线性组合， 即
• 设f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间，x0,x1,…,xn为
[a,b]内的n+1个互异的点，记Ln(x)为相应的拉格朗 日插值多项式，那么我们有
f(x)=Ln(x)+Rn(x)
两
边
同
时
积
分
得
： b a
f
( x)dx
b
a
Ln ( x)dx
b
a
Rn ( x)dx
如果我们取
b
b
a f ( x)dx a Ln ( x)dx
• 不难验证，求积公式也保持函数的线性关系不变，
即
kn
wk [u f ( xk ) v g( xk )]
k0
kn
kn
u wk f ( xk ) v wk g( xk )
k0
k0
3.几种常见的求积公式
• 在后面的讨论中，我们将经常用到下面一些非常简单的求积 公式，他们是中点公式、梯形公式和辛卜生公式。
其中R[f]表示的就是截断误差。
• 考察前面给出的三个求积公式，如果被积函数是线性函数， 那么利用中点公式或梯形公式所得到的结果就是准确值，否 则一般不是。对于一般的非线性函数，感觉上辛卜生公式更 好一些。
• 为了刻划求积公式对一般的被积函数的精确度，我们引进代 数精度的概念。
5.代数精度的概念
• 定义：一个求积公式
(1) 中点公式
b
a
f
( x)dx
（b
a）
f
(a
2
b)
(2) 梯形公式
b
a
f ( x)dx
（b a）[ 1 2
f (a)
1 2
f (b)]
辛卜生公式
b
a
f ( x)dx
（b a）[ 1 6
f (a)
4 6
f (a b) 2
1 6
f (b)]
• 中点公式我是我们课程中强调的一个名词，与求积公式（1） 对比分析，可以认为它是这样一种机制：把积分区间分为2 等分，取w0=w2=0，w1=1所形成的求积公式。从几何上看， 它实际上是取区间中点的函数值与区间长的积作为定积分值， 类似于用中位线乘以高来计算梯形的面积。
b
kn
f ( x)dx
a
wk f (xk )
k0
如果对所有的次数不超过m的多项式严格相等，而对某些 m+1次多项式不相等，则称该公式具有代数精度m，或该公 式的代数精度为m。
• 利用求积公式的线性性，我们不难证明下面的结论。
定理：如果求积公式对1，x,…,xm严格相等，而对xm+1不相 等，则该公式的代数精度为m。
• 作为课外练习，鼓励大家给出完整证明。
6.基本结论
• 我们可以利用上面的定理所给出的方法证明辛卜生
公式的代数精度是3，而中点公式和梯形公式的代数 精度是1。
• 现在我们可以对这三个公式作一个简单的评价：
• 中点公式和梯形公式的代数精度虽然都是1，但中点公式
只计算一个点的函数值，而梯形公式却要计算两个点处 的函数值，所以中点公式优于梯形公式。
那
么
截
段
误
差
为
： b a
Rn
(
x
)dx
2.利用插值多项式导出求积公式
பைடு நூலகம்
利用 以及 可得 亦即 记 则有
b
a
f ( x)dx
b
a
L n
(
x
)dx
kn
L (x) n
[lk ( x)
f
( x )] k
k0
b
a
f ( x)dx
b
a
kn
[l
k
(
x
)
f ( x )]dx k
k0
b
a
f ( x)dx
kn
[
b
a
l
• 与梯形公式相比，辛卜生公式只多计算一个点的函数值，
但代数精度却增加到3，显然辛卜生公式更为优越。
10．2 牛顿-柯特斯求积公式
• 牛顿-柯特斯求积公式就是利用Lagrange插值多项式
导出的求积公式。
• 把一般的函数的积分转化为相应的插值多项式函数
的积分也是我们学习插值法的基本目的之一。
1.利用插值多项式近似替代被积函数
k
(
x
)dx
]
f (x ) k
k0
w k
b
a
l
k
(
x
)dx
k 0,1,..., n
第12章：数值积分与数值微分
• 设f(x)是[a,b]上连续可积的实函数，求f(x)在[a,b]上
的数值积分也就是求f(x)在[a,b]上的定积分的数值解。
• 即使我们能找到f(x)的一个原函数F(x)的解析形式,并
利用牛顿-来布尼兹公式进行计算，在许多情况下这 也是非常麻烦的。
• 问题的关键在于，初等函数的原函数不一定还是初