1第一章-函数与极限答案

第一章 函数与极限

第一节 映射与函数

1.填空题:

（1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 x y = 对称.

（2

）函数21

()1f x x =-的定义域为__________________________；

（3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} .

（4）设b ax x f +=)(，则=-+=h x f h x f x )

()()(ϕ a .

（5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1

- ，=)]}([{x f f f x .

（6）函数2x

x e e y --=的反函数为 。

（7

）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1

2. 选择题:

（1）下列正确的是：(B ，C )

A.2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数.

B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数.

C.⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0

,10,00

,1sgn x x x

x y 是x 的奇函数.

D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. .

（2）)sin()(2x x x f -=是( A ).

A.有界函数；

B. 周期函数；

C. 奇函数；

D. 偶函数.

（3）设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ).

A.1；

B.–1；

C.2；

D.–2.

（4）函数2

1

arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）

(A)1≤x ； (B)13≤≤-x ；

(C))1,3(-； (D){}{}131≤≤-⋂

（5）函数

⎩⎨⎧≤<+≤≤--=3

0,104,3)(2x x x x x f 的定义域是（ ）

(A)04≤≤-x ； (B)30≤

(C))3,4(-; (D){}{}3004≤<⋃≤≤-x x x x .

（6）函数x x x y sin cos +=是（ ）

(A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数； (D)奇偶函数.

（7）函数

x

x f 2cos 1)(π+=的最小正周期是（ ）

(A)2π； (B)π； (C) 4 ； (D)2

1 .

（8）函数2

1)(x x

x f +=在定义域为（ ）

(A)有上界无下界； (B)有下界无上界；

(C)有界，且 2121)(≤≤x f ； (D)有界，且

2

122≤+≤-x x .

（9）与2)(x x f =等价的函数是（ ）

(A) x ； (B) 2)(x ； (C) 33)(x ； (D) x .

3．设132)1(2--=-x x x g

（1） 试确定c b a ,,的值使

c x b x a x g +-+-=-)1()1()1(2 ；

（2） 求)1(+x g 的表达式

解. 352)1(,0,1,22++=+===x x x g c b a

4．求x x x f sgn )1()(2+=的反函数)(1x f -.

解：⎪⎩⎪⎨⎧-<+--=>

-=-1

,)1(0

,01

,1)(1x x x x x x f

5．设249)3lg(1

)(x x x f -+-=，求)(x f 的定义域及)]7([-f f 。

6．已知2sin )(,cos 1))((x

x x x f =+=ϕϕ，求)(x f .

解：)1(22x -；

7．设()f x 的定义域是[]0,1，求下列函数的定义域：

（1） ()x f e

解：由010()x x e x f e ≤≤⇒≤⇒的定义域为(,0]-∞.

（2） (ln())f x

解：由0ln 11(ln )x x e f x ≤≤⇒≤≤⇒的定义域为[1,]e .

（3） (arctan )f x

解：由0arctan 10tan1(arctan )x x f x ≤≤⇒≤≤⇒的定义域为[0,tan1].

（4） (cos )f x 解：由0cos 122,0,1,2,,(cos )22x n x n n f x ππππ≤≤⇒-≤≤+=±±⇒的定义域为[2,2],22n n n Z π

π

ππ-+∈.

8．设 -0,0(),0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，20,0(),0

x g x x x ≤⎧=⎨->⎩，

求[()],[()],[()],[()].f f x g g x f g x g f x

解：0,()00,

0[()](),()0,0

f x x f f x f x f x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>>⎩⎩.

20,()0

[()](),()0g x g g x g x g x ≤⎧=⎨->⎩，而()0,(,)g x x ≤∈-∞+∞，故[()]0g g x =.

0,()0[()](),()0

g x f g x g x g x ≤⎧=⎨>⎩，而()0,(,)g x x ≤∈-∞+∞，故[()]0f g x =.

220,()00,

[()]().(),()0,0f x x g f x g x f x f x x x ≤≤⎧⎧===⎨⎨->->⎩⎩.